makalah aljabar linier

8/17/2019 MAKALAH ALJABAR LINIER

1/27


2/27

Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT, karena kuasa dankasihNya akhirnya kami dapat menyelesaikan tugas makalah vektor dalamruang dimensi tiga ini tepat pada waktunya. Makalah ini kami buat dalamrangka memenuhi tugas yang diberikan Ibu Dosen dalam pertemuan mingguini.

Makalah ini disusun agar dapat memberi referensi tambahan materiAljabar Linier sehingga bermanfaat khususnya untuk kami para mahasiswa.

dalam penyusunan makalah ini tentu saja tidak lepas dari kesalahan,oleh karena itu kami mohon maaf atas segala kesalahan dan kekuranganmakalah ini.

terimakasih kami ucapkan kepada Ibu Dosen Nining Afrianti, S.Pdselaku dosen Aljabar Linier yang telah membimbing kami dalam penulisan

makalah ini, dan kepada rekan-rekan mahasiswa yang ikut berpartisipasi.semoga makalah vektor dalam ruang dimensi tiga ini bermanfaat

untuk kita semuaLabuhanbatu, 22 Maret 2016

Penulis

Kata Pengantar


3/27

Halaman Judul 1

Kata Pengantar 2

Daftar Isi 3

BAB I (PENDAHULUAN)

Latar Belakang Masalah 4

Rumusan Masalah 5

Tujuan Penulisan 5BAB II (PEMBAHASAN)

Pengertian Vektor 6

Vektor Geometris 6

Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga 14

Modulus Vektor 19

Vektor Posisi 20

Pergeseran Sumbu 21

Fungsi Mempelajari Vektor 23

BAB III (PENUTUP)

Latihan 24

Kesimpulan dan Saran 26

Daftar Pustaka 27

Daftar Isi


4/27

1.1. Latar Belakang MasalahBerbicara tentang vektor dalam ruang dimensi tiga ada

baiknya kita tahu terlebih dahulu apa itu vektor. Vektor dalammatematika adalah sebuah besaran yang memiliki arah dan nilaiatau secara geometris vektor dapat disajikan dengan ruas garisberarah. Pada dasarnya setiap bagian matematika memilikifungsi masing-masing, baik fungsi matematikanya sertapenerapan dalam kehidupan, tidak terkecuali dengan vektor.

Secara sistematis, kita kadang-kadang menyatakan bahwasebuah fungsi vektor A (x, y, z) mendefenisikan suatu medan

vektor karena mengaitkan suatu vektor dengan setiap titik disuatu daerah, sementara dalam kehidupan manusia, vektorberfungsi salah satunya dalam hal teknologi GPS. Berkaitankarenanya kami akan membahas sedikit tentang vektor dalamruang dimensi tiga.

BABIPENDAHULUAN


5/27

1.2. Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan Vektor?

2. Apa yang dimaksud dengan vektor A (x, y, z) atau vektordalam ruang dimensi tiga?

3. Bagaiamana vektor secara geometrisnya?4. Apa fungsi vektor dipelajari?

1.3. Tujuan Penulisan

1. Mengetahui apa itu vektor.

2. Mengetahui vektor dalam ruang dimensi tiga.

3. Mengetahui vektor geometris.

4. Mengetahui fungsi vektor dipelajari.


6/27

2.1. Pengertian VektorVektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Objek dapatdinyatak sebagai suatu vektor harus bisa dikuantitasi (memilikinilai) dan juga arah. Contoh : Sebuah mobil bergerak dengankecepatan 20 m/s ke selatan. Contoh vektor lainnya adalah gayadan perpindahan.

2.2. Vektor GeometrisVektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen garisberarah atau panah.

Ekor panah dinamakan titik permulaan (titik awal atau titikintial)

Ujung panah dinamakan titik akhir (titik terminal)

Panjang ruas garis panah mewakili besar (panjang) vektor

Arah anak panah mewakili arah vektor

BAB IIPEMBAHASAN


7/27


8/27

Penjelasan dari gambar tersebut :

Gambar 1.a.

Titik pangkal suatu vektor adalah A

Titik ujungnya adalah B

Dituliskan v = AB

Gambar 1.b.

Pada gambar 1.b. Vektor-vektor tersebut panjang dan arahnyasama, dan disebut ekuivalen. Vektor-vektor yang ekuivalendipandang sama walaupun mungkin terletak pada posisi berbeda

Jika v dan w dituliskan v = w

Defenisi : Jika v dan w adalah 2 vektor sembarang, maka jumlah v + wadalah vektor yang ditentukan sebagai berikut : letakkan vektor wsedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v.Vektor v+w dinyatakan oleh panah dari titik pangkal v ke titik ujungw. (gambar 2.a.)


9/27

Pada gambar 2.b., kita telah menyusun dua jumlah v+w (panah I)dan w+v (panah II). Terbukti bahwa :

v+w = w+vw w

v v+w v v+w w+v v

w

gambar 2.a. Gambar 2.b.

Jumlah v+w v+w = w+v


10/27

Dan bahwa jumlah tersebut bertautan dengan diagonal jajarangenjang yang ditentukan oleh v dan w jika vektor-vektor inidiletakkan sehingga keduanya mempunyai titik pangkal yangsama. Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dandinyatakan dengan 0. kita mendefenisikan

0+v = v+0 = v

Untuk setiap vektor v. Karena tidak ada arah alami untuk vektornol, kita setuju bahwa vektor nol dapat mempunyai sembarangarah yang sesuai dengan masalah yang sedang

dipertimbangkan. Jika v adalah sembarang vektor tak nol, maka–v, negatif dari v, didefenisikan sebagai vektor yang besarnyasama dengan v, tetapi arahnya terbalik (gambar 3)


11/27

gambar 3. (Negatif dari v mempunyaipanjang yang sama dengan v, tetapi arahnya terbalik)

Vektor ini mempunyai sifat v+(-v) = 0

Mengapa? Disamping itu, kita defenisikan -0 = 0. Pengurangan vektordidefenisikan sebagai berikut :

Defenisi : jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka selisih wdari v didefenisikan sebagai :

v-w = v+(-w)

v-w v v v-w

-w w w

Gambar 4.a. Gambar 4.b.

v

-v

.


12/27

Untuk mendapatkan selisih v-w tanpa menyusun–

w, posisikan v dan w sehingga titik-titik pangkalnya berimpitan ; vektor darititik ujung w ke titik ujung v adalah vektor v-w (gambar 4b)

Defenisi : Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatubilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefenisikan

sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan yangarahnya sama dengan arah v jika k>0 dan berlawanan arahdengan v jika k


13/27

(-3)v

2v

v (-1)v

½ v

Gambar 5

Suatu vektor berbentuk kv disebut suatu penggandaan skalar dari v.

Sebagamana yang ditunjukkan dalam gambar 5, vektor-vektor yangmerupakan penggandaan skalar satu sama lain adalah sejajar.Sebaliknya, dapat ditunjukkan bahwa vektor tak nol yang sejajar adalahpenggandaan skalar satu sama lain.


14/27

2.3. Vektor Dalam Ruang Dimensi TigaVektor di ruang 3 adalah vektor yang memiliki 3 buah sumbuyaitu x, y, dan z, yang saling berpotongan ketiga sumbu sebagaipangkal perhitungan. Vektor-vektor dalam ruang dimensi 3

dapat diuraikan dengan tiga bilangan real denganmemperkenalkan suatu sistem koordinat segi empat. Untukmembangun suatu sistem koordinat tersebut, pilih suatu tutukO, yang disebut titik asal, dan pilih tiga garis yang saling tegaklurus, yang disebut sumbu-sumbu koordinat, yang melalui titik

asal. Beri nama sumbu-sumbu ini dengan x, y, dan z, dan pilihsuatu arah positif untuk masing-masing sumbu koordinat danjuga satu satuan panjang untuk mengukur jarak (gambar 9a)


15/27

Setiap pasangan sumbu koordinat menentukan suatu bidang yangdisebut bidang koordinat. Bidang-bidang koordinat ini disebutsebagai bidang xy, bidang xz, dan bidang yz. Untuk setiap titik Pdalam ruang dimensi 3 kita beri tiga bilangan (x, y, z), yang disebutkoordinat P, sebagai berikut : Lewatkan tiga bidang sejajar dengan

bidang koordinat yang melalui P, dan nyatakan titik potong ketigabidang ini dengan tiga sumbu koordinat X, Y, dan Z (Gambar 9b)

Gambar 9.a Gambar 9.b

Koordinat P didefenisikan sebagai panjang bertanda

X = OX, y=OY, z=OZ


16/27

Pada gambar 10 titik-titik yang koordinatnya adalah (4, 5, 6) dan (-3, 2, -4)

Gambar 10

Sistem koordinat segi empat dalam ruang dimensi 3 mempunyai duakategori, tangan kiri dan tangan kanan. Suatu sistem tangan kananmempunyai sifat yang ditunjukkan oleh suatu sekrup biasa dalam arahpositif pada sumbu z disebut sistem tangan kiri, jika sekrup diputar kearah mengendurkan (gambar 11b)


17/27

Gambar 11 a gambar 11 bTangan kanan tangan kiri

Jika seperti pada gambar 12, suatu vektor v dalam ruang dimensi 3

diposisikan sehingga titik pangkalnya ada pada titik asal sistemkoordinat segi empat, maka koordinat titik ujungnya disebutkomponen v, dan kita tulis

v = (v1, v2, v3)


18/27

y

(v1, v2, v3)v

z

Gambar 12

x

Jika v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah dua vektor pada ruangdimensi 3, maka uraian yang serupa dengan yang digunakan untuk

vektor pada bidang dapat digunakan untuk menyusun hasil berikut iniv dan w ekuivalen jika dan hanya jika v1=w2, v2=w2, dan v3=w3

v+w=(v1+w1, v2+w2, v3+w3)

kv=(kv1, kv2, kv3), dengan k adalah sembarang skalar


19/27

2.4. Modulus VektorModulus vektor yaitu besar atau panjang suatu vektor, jikasuatu vektor dengan koordinat titik A (x1, y1, z1) dan B (x2, y2,z2) maka modulus (besar) atau panjang vektor dapat

dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B, yaitu :|AB| = ( − )+( − )+( − )

Dan jika suatu vektor a disajikan dalam bentuk linier

a = + +

maka modulus vektornya :

|a| = + +


20/27

2.5. Vektor PosisiVektor Posisi P adalah vektor yang berpangkal di titik O (0, 0, 0)dan berujung di titik P (x, y, z).

Bila ditulis :

=

Modulus/besar vektor posisi adalah :

|| = + +


21/27

2.6. Pergeseran SumbuPenyelesaian atas banyak permasalahan dapat disederhanakandengan menggeser sumbu koordinat untuk memperoleh sumbubaru yang sejajar dengan sumbu aslinya. Pada gambar 14.a. Kitatelah menggeser sumbu suatu sistem koordinat xy, untuk

mendapatkan suatu sistem koordinat x’y’ yang titik awalnya O’ berada pada titik (x, y) = (k,l). Suatu titik P pada ruang dimensi 2sekarang mempunyai koordinat (x, y) dan koordinat (x’, y’).Untuk melihat bagaimana keduanya terkaitkan, tinjau vektor O’P (gambar 14.b. Pada sistem xy titik pangkalnya berada pada (k, l)

dan titik ujungnya berada pada titik (x, y), sehingga O’P. Padasistem x’y’ titik pangkalnya berada pada (0, 0) dan titik ujungnyaberada pada (x’, y’) sehingga O’P=(x’, y’). Oleh karena itu

x‘ = x – k y’ = y - 1


22/27

Rumus ini disebut persamaan pergeseran

Gambar 14 a Gambar 14.b


23/27

2.7. Fungsi Mempelajari VektorAdapun fungsi dari mempelajari vektor adalah sbb :

Memiliki pengetahuan dasar tentang vektor

Mengetahui fungsi dan pengaplikasiannya dalam kehidupan,

yaitu sebagai pengaruh besar dalam sistem navigasi GPS,pembuatan grafis dalam komputer

Menyadari secara agamais, mempelajari vektor sama dengankehidupan, yaitu dimulai dari sebuah titik, yaitu titik awal dandidahului oleh sebuah titik lagi, yaitu titik akhir

Dan secara agamais, sebuah vektor sebagai suatu titik yang

nanti membentuk suatu garis, maka sepatutnya manusiaharus memiliki tujuan hidup yang jelas. Adapun inti dari hidupmanusia adalah memiliki satu tujuan yaitu mendapat ridhoAllah SWT.


24/27

3.1. Latihan1. Tentukan modulus/besar vektor berikut :

AB = dengan titik A (1, 4, 6) dan B (3, 7, 9)

Penyelesaian

|AB| = (3 − 1)+(7 − 4)(9 − 6) |AB| = 22

2. Tentukan modulus vektor berikut : a = 2i+j+3k

Penyelesaian

|a| = 2 + 1 + 3

|a| = 14

BAB IIIPENUTUP


25/27

3. Jika v = 2, -6, 4) maka 2v adalah

Penyelesaian

V=(2, -6, 4) maka 2v = (4, -12, 8)

4. Jika v=(1, -3, 2) dan w = (4, 2, 1), maka v+w adalah...

Penyelesaianv+w = (5, -1, 3)

5. Jika v=(-3, 1, 2) dan v=(4, 0, -8), maka 6v + 2v adalah ...

Penyelesaian

v=(-3, 1, 2) maka 6v = (-18, 6, 12)

v=(4, 0, -8) maka 2v = (8, 0, -16)

6v+2v = (-18, 6, 12) + (8, 0, -16)

= (-10, 6, -4)


26/27

3.2. Kesimpulan dan Saran1. Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah2. Vektor dapat dinyatakan dengan anak panah3. Panjang garis mewakili panjang vektor4. Arah anak panah memiliki arah vektor5. Vektor diruang 3 dimensi adalah vektor yang mempunyai 3 buah sumbu

yaitu x, y, z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbusebagai pangkal perhitungan

6. Modulus vektor yaitu besar atau panjang suatu vektor7. Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal di titik O (0, 0, 0) dan

berujung di titik P (x, y, z)8. Vektor memiliki fungsi dalam kehidupan dan secara agamais

Dalam Vektor begitu banyak hal uang dapat kita pelajari, untuk itu marilahsama-sama kita pikirkan sebagai bentuk usaha kita menambah ilmu danwawasan kita


27/27

1. Dasar-dasar Aljabar Linier. Howard Anton,

Tangerang, Binarupa Aksara2. Aljabar Linier Dasar. R. Gunawan Santosa. 2009.

Yogyakarta, CV Andi Offset.

3. Aljabar Linier Matriks. 2010. Yogyakarta

4. Aplikasi Vektor Dalam Kehidupan. Google.com

5. Vektor Pada Ruang Tiga. Google.com

DAFTAR PUSTAKA

makalah aljabar linier

Documents