BAB VI

PERSAMAAN-PERSAMAAN FISIKA MATEMATIKA

(dipresentasikan oleh Edi Purwanto)

Pada Bab ini kita akan membicarakan tiga dari banyaknya persamaan-

persamaan diferensial parsial orde dua yang paling penting yang ada dalam fisika

matematika: persamaan kalor/panas, persamaan Laplace, dan persamaan

gelombang. Pada bagian 1 kita akan mengingat kembali pernyataan teorema

divergensi dan kita memperoleh dua integral identitas yang berguna yang dikenal

sebagai Identitas Green. Pada bagian 2, kita memperoleh persamaan konduksi

kalor/panas dan menggambarkan berbagai macam masalah nilai batas awal yang

dikaitkan dengannya. Pada bagian 3, kita memaparkan fenomena yang berkaitan

dengan fisika, dikenal sebagai fenomena keadaan tetap, yang diatur dalam

persamaan Laplace’s. Pada bagian 4, kita akan memaparkan tentang fenomena

fisika untuk satu, dua, dan tiga dimensi persamaan gelombang. Terakhir, pada

bagian 5 kita mendefinisikan apa itu masalah well-posed yang dikaitkan dengan

persamaan diferensial parsial, dan diberikan contoh yang well-posed dan yang

tidak.

1. Teorema Divergensi dan Identitas Green

Teorema divergensi adalah salah satu teorema yang paling berguna dalam

persamaan diferensial parsial. Teorema Divergence ini biasanya dipelajari di

Kalkulus lanjutan. Pada bab ini kita mengingat kembali pernyataan teorema

Divergensi dan mencoba untuk mengaplikasikannya.

Misalkan Ω merupakan domain yang terbatas di R3 dengan kondisi sebagai

berikut :

(a) Pembatas S=∂Ω dari Ω terdiri dari sejumlah permukaan mulus yang

berhingga. (ingat lagi bahwa permukaan mulus adalah permukaan ketinggian

dari fungsi di C1 dengan gradien yang taknol.)

1

(b) Sebarang garis lurus yang sejajar ke sebarang sumbu-sumbu koordinat

memotong S di sejumlah titik-titik yang berhingga atau mempunyai seluruh

interval yang bersamaan dengan S.

Misalkan n=(nx , ny ,nz) merupakan vektor normal satuan terhadap S

mengarah langsung ke bagian luar dari Ω (lihat gambar 1.1). Misalkan

Gambar 1.1

(1.1 ) V ( x , y , z )=( P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z) )

merupakan medan vektor yang terdefinisi pada penutup Ωdari Ω sedemikian

sehingga setiap komponen-komponen fungsi P , Q, R berada di C1(Ω) dan C0(Ω),

dan andaikan bahwa integral dari

∭n

( ∂ P∂ x

¿+∂Q∂ y

+ ∂ R∂ z

)dxdydz ¿

adalah konvergen.

2

y

x

z

Berdasarkan asumsi-asumsi diatas pada Ω dan V , teorema divergensi

menyatakan bahwa

(1.2 )∭n

( ∂ P∂ x

¿+∂ Q∂ y

+ ∂ R∂ z

)dxdydz=∬S

( P nx+Q n y+R nz ) dσ ¿

dimana dσ adalah bagian dari permukaan S. Integran pada sebelah kiri dari

persamaan (1.2) dikenal sebagai divergensi dari medan vektor V dan dinotasikan

sebagai

(1.3 )÷V=∇ .V =∂ P∂ x

+ ∂Q∂ y

+ ∂ R∂ z

Dimana ∇= ∂∂ x

+ ∂∂ y

+ ∂∂ z

=(D1 ,D 2 , D3). Integran pada sebelah kanan dari

persamaan (1.2) adalah komponen dari V yang memberi arah dari bagian luar

untuk batas S. Jika dinotasikan sebagai vektor maka persamaan (1.2) bisa

dituliskan sebagai

(1.4 )∭Ω

¿V dxdydz=∬S

V .n dσ

atau, dalam notasi yang lebih kompak,

(1.5 )∫Ω

∇ . V dv=∫S

V . n dσ

Teorema divergensi menyatakan bahwa jika domain Ω dan medan vektor

V memenuhi kondisi-kondisi di atas, maka integral atas Ω dari divergensi dari V

adalah sama dengan integral atas batas S dari Ω dari komponen V yang mengarah

vektor normal luar terhadap S.

Kondisi (a ) dan (b ) bukan merupakan kondisi yang paling umum pada

domain Ω yang memenuhi teorema divergensi. Kondisi-kondisi yang lebih umum

dapat ditemukan, contohnya, dalam buku Kellog. Domain-domain yang

memenuhi kondisi umum ini disebut “normal”. Tentunya semua domain

yangdipertimbangkan dalam buku ini adalah normal.

3

(dipresentasikan oleh Yuliyanto Nuriana)

Dua penerapan dari teorema divergensi dikenal dengan Identitas Green.

Kita gunakan notasi biasa dari kalkulus vektor.

Jika u(x , y , z )∈C2, maka gradien u didefinisikan dengan

(1.6 )∇u=grad u=( ∂ u∂ x

,∂ u∂ y

,∂u∂ z )

dan divergen gradien u didefinisikan dengan

(1.7 )∇2u=∇ .∇u=¿ grad u=∂2 u∂ x2 +

∂2u∂ y2 +

∂2u∂ z2

Operator differensial parsial ∇2 dikenal sebagai operator Laplace dan juga

disimbolkan oleh ∆

(1.8) ∇2u=∆ u.

Identitas differensial

(1.9) u∇2 w=∇ . (u∇w )−(∇u ) . (∇w ).

Andaikan u ,w∈C2 (Ω ) dan u ,w∈C1 (Ω ) dan integral

∫Ω

u∇2 wdv

konvergen. Maka, pengintegralan dari persamaan (1.9) atas Ω

∫Ω

u∇2 wdv=∫Ω

∇ . (u∇w ) dv−∫Ω

(∇u ) . (∇w ) dv .

Pengaplikasian teorema divergensi untuk integral pertama (dengan medan vektor

V=u∇w) dan penggunaan fakta bahwa ∇w . n adalah turunan langsung ∂ w∂n

,

maka akan diperoleh identitas Green pertama

4

(1.10 )∫Ω

u∇2wdv=∫S

u∂ w∂ n

dσ−∫Ω

(∇u ) . (∇w ) dv

Pertukaran u dengan w (pada persaman 1.9) dan pengurangan kedua

persamaannya akan menghasilkan

(1.11) u∇2 w−w∇2u=∇ . (u∇w−w∇u ).

Jika u ,w∈C2 (Ω ) dan u ,w∈C1 (Ω ) dan integral

∫Ω

(u∇2 w−w ∇2u ) dv

konvergen, maka pengintegralan persamaan (1.11) atas Ω dan pengaplikasian

teorema divergensi akan menghasilkan identitas Green kedua

(1.12) ∫Ω

(u∇2 w−w ∇2u ) dv=∫Ω(u

∂ w∂ n

−w∂ u∂ n )dσ .

Identitas Green ini akan digunakan dalam mempelajari persamaan Laplace (Bab

VII).

Teorema divergensi dan identitas Green benar untuk medan vektor dan

fungsi-fungsi dari sebarang variabel-variabel bebas.

Masalah-Masalah

1.1. Periksa identitas diferensial (1.9 ).

Solusi (oleh kelompok 7): Akan ditunjukkan

u∇2 w=∇ . (u∇w )−(∇u ) . (∇w )

Perhatikan persamaan di sisi kiri

∇ . (u∇w )=( ∂∂ x

,∂

∂ y,

∂∂ z ) .(u( ∂ w

∂ x,

∂ w∂ y

,∂ w∂ z ))

5

¿( ∂∂ x

,∂

∂ y,

∂∂ z ) .(u ∂ w

∂ x,u

∂ w∂ y

, u∂ w∂ z )

¿ ∂ u∂ x

∂ w∂ x

+u∂2 w∂ x2 + ∂u

∂ y∂ w∂ y

+u∂2 w∂ y2 + ∂ u

∂ z∂ w∂ z

+u∂2w∂ z2

(∇u ) . (∇w )=( ∂ u∂ x

,∂ u∂ y

,∂ u∂ z ) .( ∂ w

∂ x,

∂ w∂ y

,∂ w∂ z )

¿ ∂ u∂ x

∂ w∂ x

+ ∂ u∂ y

∂ w∂ y

+ ∂ u∂ z

∂ w∂ z

kemudian,

∇ . (u∇w )−(∇u ) . (∇w )=( ∂ u∂ x

∂ w∂ x

+u∂2 w∂ x2 + ∂u

∂ y∂ w∂ y

+u∂2 w∂ y2 + ∂ u

∂ z∂ w∂ z

+u∂2 w∂ z2 )

−( ∂u∂ x

∂ w∂ x

+ ∂u∂ y

∂ w∂ y

+ ∂u∂ z

∂ w∂ z )

¿u∂2 w∂ x2 +u

∂2 w∂ y2 +u

∂2 w∂ z2

karena

u∇2 w=u∂2 w∂ x2 +u

∂2w∂ y2 +u

∂2 w∂ z2

maka, terbukti bahwa

u∇2 w=∇ . (u∇w )−(∇u ) . (∇w )

1.2. Misalkan u berada di C2 ( Ω) dan di C1 (Ω ), dimana Ω adalah domain

terbatas yang normal di Rn, dan andaikan bahwa

∇2u=0di Ω

u=0 pada S ,

dimana S adalah batas dari Ω. Tunjukkan bahwa u ≡0 di Ω. [petunjuk: pada

identitas Green pertama atur w=u . juga gunakan fakta bahwa jika integral

atas Ω dari fungsi kontinu yang nonnegatif sama dengan nol, maka fungsi

teridentifikasi di Ω.

6

1.3. Misalkan u berada di C2 ( Ω) dan di C1 (Ω ), dimana Ω adalah domain

terbatas yang normal di Rn, dan andaikan bahwa

∇2u=0di Ω

∂ u∂ n

=0 pada S

Tunjukkan bahwa u ≡ konstan di Ω

1.4. Misalkan u∈C2 ( Ω )∩C1 ( Ω ) menjadi solusi nontrivial dari

∇2u+ λu=0 diΩ ,

u=0 pada S ,

dimana Ω adalah domain terbatas yang normal, dan λ adalah konstanta.

Tunjukkan bahwa λ ≥ 0.

(dipresentasikan oleh Nurharis Haryanto)

2. Persamaan Konduksi Kalor

Pada bagian ini, kita peroleh persamaan diferensial parsial yang harus

dipenuhi oleh suatu fungsi yang menggambarkan dengan proses konduksi kalor di

sebuah benda. Kita kemudian akan membicarakan tentang kondisi tambahan harus

dipenuhi dalam menentukan distribusi suhu pada benda.

Misalkan Ω menotasikan bagian dalam benda dan fungsi u(x , y , z , t)

dinotasikan sebagai suhu di titik (x , y , z) pada benda pada saat t . Kita asumsikan

bahwa u(x , y , z , t) anggota di C2 fungsi yang bergantung padaa variabel x , y , z

dan C1 dengan fungsi yang bergantung pada variabel t .

Proses konduksi kalor mengikuti hukum fisika. Misalkan S permukaan

mulus di dan n dinotasikan vektor normal pada S. Jumlah kalor (energi termal) q

yang keluar menembus S ke sisi vektor normal n pada interval waktu t 1 sampai t 2

diberikan

(2.1 ) q=−∫t 1

t 2

∬S

k (x , y , z) ∂ u∂ n

dσdt

Pada (2.1) ∂ u/∂ n dinotasikan turunan u terhadap vektor normal n di titik (x , y , z)

pada S dan pada saat t . Fungsi k (x , y , z ) bernilai positif dan disebut konduktivitas

7

termal pada benda di titik (x , y , z). Kita asumsikan konduktivitas termal

k (x , y , z ) adalah fungsi pada posisi (x , y , z) dan tidak bergantung terhadap

vektor normal n pada permukaan S di titik (x , y , z¿. Jadi, suatu benda dikatakan

isotropik jika konduktivitas energi tidak bergantung terhadap vektor normal n.

Misalkan A daerah bagian Ω dibatasi permukaan tertutup S dengan bagian

luar normal n. Perubahan jumlah kalor pada daerah bagian A dari t=t 1 sampai

t=t 1 diberikan oleh

(2.2 )∭A

c ( x , y , z ) ρ ( x , y , z ) [ u ( x , y , z , t2 )−u ( x , y , z , t1 ) ]dxdydz .

(dipresentasikan oleh Ayu Indri Astuti)

Pada persamaan (2.2 ), c ( x , y , z ) adalah kalor jenis dan ρ ( x , y , z ) adalah kerapatan

suatu benda pada titik ( x , y , z ). Dengan mengikuti aturan konservasi energi

termal, perubahan kalor pada A harus sama dengan jumlah kalor yang masuk ke

A melalui batas S pada interval waktu t=t 1 sampai t=t 2, dan jumlah kalor

diberikan oleh

(2.3 )∫t 2

t 2

∬S

k ( x , y , z ) ∂ u∂ n

dσdt .

Menyamakan jumlah persamaan (2.2 ) dan (2.3 ), kita peroleh

(2.4 )∭A

c ( x , y , z) ρ ( x , y , z ) [u ( x , y , z ,t 2 )−u ( x , y , z ,t 1 ) ] dxdydz=∫t2

t2

∬S

k ( x , y , z ) ∂ u∂ n

dσdt .

Sekarang,

u ( x , y , z , t 2 )−u ( x , y , z ,t 1 )=∫t 2

t 1

∂ u∂ t

( x , y , z , t ) dt

dan, karena ∂ u/∂ n=∇u .n , teorema divergensi diterapkan untuk medan vektor

V=k∇u

∬S

k∂u∂ n

dσ=∭A

∇ . (k∇u ) dxdydzdt

Akibatnya, persamaan (2.4 ) menjadi,

8

∫t2

t1

∭A

cρ∂ u∂ t

dxdydzdt=∫t2

t1

∭A

∇ . (k∇u )dxdydzdt

atau

∫t2

t1

∭A

[cρ∂ u∂t

−∇ . ( k∇u )]dxdydzdt=0

Karena integran pada persamaan (2.5 ) adalah kontinu dan karena persamaan (2.5 )

benar untuk daerah bagian A dan pada setiap interval [ t 1, t 2 ], (lihat dalam masalah

2.1), yaitu integran harus sama dengan nol untuk setiap ( x , y , z ) di Ω dan untuk

setiap t . Kemudian,

(dipresentasikan oleh Irmatul Hasanah)

cρ∂ u∂ t

−∇ . (k∇ u )=0

atau

(2.6 )cρ∂ u∂ t

−[ ∂∂ x (k ∂ u

∂ x )+ ∂∂ y (k

∂ u∂ y )+ ∂

∂ z (k∂ u∂ z )]=0

Persamaan (2.6 ) disebut persamaan konduksi panas pada suatu benda

isotropik. Disebut juga Persamaan kalor atau persamaan difusi. Jika benda adalah

isotropik homogen, maka k , ρ , dan c adalah konstan dan persamaan (2.6 )

membentuk

(2.7 ) cρk

∂ u∂ t

−( ∂2u∂ x2 +

∂2 u∂ y2 +

∂2 u∂ z2 )=0.

Persamaan (2.7 ) dapat disederhanakan dengan mengubah skala waktu : atur

t '=(k /cρ )t dan kemudian membuang koefisien utama pada (2.7 ) menjadi

(2.8 ) ∂u∂ t

−( ∂2 u∂ x2 +

∂2u∂ y2 +

∂2u∂ z2 )=0.

9

Kita simpulkan bahwa jika suatu fungsi u ( x , y , z , t ) menggambarkan

distribusi suhu pada tubuh isotropik homogen selama interval waktu yang

ditentukan, maka u ( x , y , z , t ) memenuhi persamaan (2.8 ) untuk setiap ( x , y , z )

pada bagian dala tubuh Ω dan untuk setiap t pada interval waktu tersebut.

Bagaimana pun persamaan (2.8 ) mempunyai takhingga banyak solusi. Untuk

memilih dari solusi yang takhingga ini, solusi khusus yang menggambarkan

distribusi suhu tubuh yang sebenarnya, kondisi tambahan harus dinyatakan

dengan jelas.

Dari pertimbangan fisika, cukup untuk mengharapkan bahwa spesifikasi

dari distribusi suhu pada benda di suatu waktu t 0, bersama dengan spesifikasi dari

distribusi suhu pada batas ∂ Ω dari benda untuk setiap t ≧ t0, secara lengkap

menentukan distribusi suhu pada benda untuk setiap t ≧ t0. Kondisi

(2.9 ) u ( x , y , z , t 0 )=ϕ ( x , y , z ) , ( x , y , z )∈Ω

Yang menentukan distribusi suhu pada saat t 0 yang dikenal sebagai kondisi awal.

Fungsi ϕ ( x , y , z) adalah fungsi yang diberikan yang terdefinisi pada penutup Ω

dari Ω. Kondisi

(2.10 ) u ( x , y , z , t )=f ( x , y , z ,t ) ; (x , y , z )∈∂ Ω , t ≧ t 0

yang menentukan distribusi suhu pada batas ∂ Ω dari benda untuk setiap t ≧ t0

dikenal sebagai kondisi batas. Fungsi f ( x , y , z ) adalah fungsi yang diberikan yang

terdefinisi untuk ( x , y , z ) pada batas ∂ Ω dan untuk setiap t ≧ t0. Masalah mencari

solusi dari persamaan diferensial parsial (2.8 ) yang memenuhi kondisi awal (2.9 )

dan kondisi batas (2.10 ) dikenal sebagai masalah nilai awal batas. Dapat

ditunjukkan dibawah suatu asumsi tambahan, yaitu masalah ini mempunyai solusi

tunggal u ( x , y , z , t ) yang didefinisikan untuk setiap ( x , y , z ) pada Ω dan untuk

setiap t ≥ t 0 (Lihat pada bab IX). Fungsi ini menyatakan distribusi suhu

sebelumnya pada benda untuk setiap t ≧ t0.

10

Kondisi persamaan (2.10 ) tidak hanya kondisi batas, yang bersama-sama

dengan kondisi awal (2.9 ), menentukan sebuah solusi tunggal dari persamaan

kalor. Terlebih dalam menentukan suhu pada batas dari tubuh, seseorang mungkin

berharap untuk menentukan kalor fluks yang melalui batas. Ini mengarah kepada

kondisi batas

(2.11 ) ∂ u∂ n

( x , y , z ,t )=g ( x , y , z , t ); ( x , y , z )∈∂ Ω , t ≧ t 0

Dimana ∂ u/∂ n mennotasikan turunan berarah dari u pada vektor normal n

terhadap ∂ Ω. Fungsi g ( x , y , z , t )adalah fungsi yang diberikan terdefinisi untuk

( x , y , z ) pada ∂ Ω dan untuk t ≧ t0. Pada kasus batas yang terisolasi, g=0 Kondisi

batas lain dapat dispesifikasikan. Pengetahuan tentang suhu pada medium di

sekitar benda dan dari kalor fluks melalui batas mengarah kepada kondisi

(2.12 ) α ( x , y , z ) ∂ u∂ n

(x , y , z , t )+β ( x , y , z ) u ( x , y , z , t )

¿h ( x , y , z , t ); ( x , y , z )∈∂ Ω , t ≧ t 0 .

Fungsi α (x , y , z ) dan β (x , y , z )diberikan dan terdefinisi ( x , y , z ) pada ∂ Ω, dan

h ( x , y , z , t ) diberikan dan terdefinisi ( x , y , z ) pada ∂ Ω dan t ≧ t0.

Sekarang misalkan kita pertimbangkan lempengan dari ketebalan konstan

dengan dua permukaan bidang yang terisolasi. Jika distribusi suhu awal tidak

berbeda melalui ketebalan lempengan, maka setiap waktu berikutnya suhu pada

lempengan tidak berbeda melalui ketebalannya, dan jika kita memilih sistem

koordinat dengan sumbu-z tegak lurus dengan lempengan, suhu pada lempengan

adalah fungsi yang hanya bergantung pada x , y , dan t . Persamaan kalor (2.8)

untuk lempengan menjadi

(2.13 ) ∂u∂ t

−( ∂2 u∂ x2 +

∂2u∂ y2 )=0

11

Akhirnya, mari kita mempertimbangkan silinder batang dengan permukaan

silindernya terisolasi dan suhu awal yang konstan di setiap bagian yang

bersebrangan. Jika kita memilih sistem koordinat dengan garis tengah pada batang

sepanjang sumbu-x, maka suhu tidak berbeda atas bagian yang bersebrangan dan

hanya akan menjadi fungsi dari x dant saja. Persamaan kalor untuk silinder ini

(2.14 ) ∂ u∂ t

−∂2 u∂ x2 =0

Pada penutupan bab ini, disebutkan bahwa persamaan (2.6) dan (2.8) juga

terdapat pada materi difusi dari fluida melalui porous medium dan dipelajari dari

proses difusi lain yang memuat cairan dan gas.

Masalah-Masalah

2.1. Misalkan f ( x1 , …, xn ) fungsi kontinu pada suatu domain Ω dari Rn dan

andaikan bahwa untuk setiap daerah bagian A di Ω,

(2.15 )∫A

…∫

f ( x1 , …, xn ) d x1 …dxn=0.

Tunjukkan bahwa f pasti nol secara identik di Ω. [Petunjuk: Andaikan f

positif pada suatu titik P dari Ω. Karena f kontinu, f akan positif pada suatu

bola yang berpusat pada P. Pertimbangkan (2.12 ) ketika diambil untuk

menjadi bola tersebut.]

Solusi (Oleh Kelompok 7): Andaikan f ( x1 , …, xn ) positif, yaitu

f ( x1 , …, xn )>0 maka

∫A

f ( x1 , …, xn ) d x1>0

∫A

∫

f ( x1 ,…, xn ) d x1 dx2>0

⋮

12

∫A

…∫

f ( x1 , …, xn ) d x1 …dxn>0

ini kontradiksi dengan pernyataan persamaan 2.15. Oleh karenanya, haruslah

f ( x1 , …, xn )=0.

2.2. Turunkan persamaan (2.8 ) dari (2.7 ).

Solusi (Oleh Kelompok 7): Diketahui

(2.7 ) cρk

∂ u∂ t

−( ∂2u∂ x2 +

∂2 u∂ y2 +

∂2 u∂ z2 )=0.

Misalkan t '=(k /cρ )t , maka

dt'

dt= k

cρ

Perhatikan bahwa

∂ u∂ t

=∂u∂t '

d t '

dt=∂ u

∂ t '

kcρ

substitusi ke persamaan (2.8) diperoleh

cρk

∂ u∂ t

−( ∂2u∂ x2 +

∂2 u∂ y2 +

∂2 u∂ z2 )=0

⟺ cρk ( ∂u

∂t '

kcρ )−( ∂2 u

∂ x2 + ∂2u∂ y2 + ∂2u

∂ z2 )=0

⟺ ∂ u∂ t' −( ∂2u

∂ x2 +∂2u∂ y2 +

∂2u∂ z2 )=0

kemudian ganti t '=t, diperoleh

(2.8 ) ∂u∂ t

−( ∂2 u∂ x2 +

∂2u∂ y2 +

∂2u∂ z2 )=0.

13

2.3. Tulis masalah nilai awal batas yang harus diselesaikan untuk mengetahui

distribusi suhu sebelumnya pada silinder batang yang panjangnya L dengan

permukaan silinder yang terisolasi, diberikan distribusi suhu awal dari

batang pada saat t=t 0 dan suhu pada bagian ujung batang untuk setiap t ≧ t0.

(dipresentasikan oleh Oksendi Vitra S)

3. Persamaan Laplace

Persamaan Laplace

(3.1 ) ∂2u∂ x2 +

∂2 u∂ y2 +

∂2 u∂ z2 =0

Berkembang dari studi tentang kelas besar dari fenomena fisika yang diketahui

sebagai fenomena keadaan tetap. Fenomena-fenomena ini dikarakterisasi oleh

kenyataan bahwa fenomena-fenomena tersebut tidak bergantung pada variabel

waktu t . Mari kita pertimbangkan kasus fungsi distribusi suhu dalam keadaan

tetap yang homogen dan isotropik. Karena fungsi u tidak bergantung pada

variabel waktu t , ∂ u∂ t

=0 dan persamaan konduksi kalor menjadi persamaan

laplace (3.1). Jika Ω adalah notasi untuk bagian dalam benda, fungsi temperatur

keadaan tetap u ( x , y , z , ) pasti memenuhi persamaan (3.1) pada setiap titik

( x , y , z , ) pada Ω.

Persamaan (3.1) memiliki banyak solusi tak terbatas. Untuk menentukan

solusi khusus yang mendeskripsikan distribusi temperatur yang sebenarnya pada

benda, kondisi tambahan harus dispesifikkan. Kenyataan ini sangat kontras

dengan persamaan kalor (2.8) yang mendeskripsikan fenomena yang bergantung

pada waktu, tidak ada kondisi awal yang dibutuhkan untuk menspesifikkan

persamaan (3.1). Formula yang tidak bergantung pada waktu pada kondisi terbatas

(2.10), (2.11) dan (2.12) adalah

(3.2)u ( x , y , z )=f ( x , y , z , ); ( x , y , z )∈∂ Ω

14

(3.3 ) ∂u∂ n

( x , y , z , )=g (x , y , z , t ) ; ( x , y , z )∈∂ Ω

(3.4 ) α ( x , y , z ) ∂u∂ n

( x , y , z )+ β ( x , y , z )u ( x , y , z )=h ( x , y , z ); ( x , y , z )∈∂ Ω

Masalah mencari solusi dari Persamaan Laplace (3.1) yang memenuhi

salah satu dari kondisi batas (3.2), (3.3), atau (3.4) disebut Masalah Nilai Batas.

Lebih spesifiknya, masalah masalah mencari solusi dari (3.1) yang memenuhi

kondisi batas (3.2) dikenal sebagai Masalah Dirichlet. Masalah untuk

menyelesaikan subjek (3.1) terhadap kondisi batas (3.3) dikenal sebagai Masalah

Neumann. Terakhir, masalah untuk menyelesaikan subjek (3.1) terhadap kondisi

batas (3.4) dikenal sebagai Masalah Campuran atau Masalah Nilai Batas Ketiga.

Masalah-masalah ini akan lebih lanjut dipelajari pada Chapter VII.

Dalam kasus sebuah lempengan dengan ketebalan yang konstan,

temperatur keadaan tetap u adalah fungsi dengan hanya dua variabel dan

memenuhi Persamaan Laplace Dua Dimensi.

Persamaan Laplace dua dimensi mengatur bentuk dari sebuah selaput

lentur seperti contoh selaput drum. Selaput tersebut merupakan selaput yang

tahan akan segala jenis perentangan atau penarikan ke segala arah tanpa

mengubah bentuk aslinya . Misalkan selaput lentur tersebut menempati daerah

pada bidang (x,y) yang dibatasi oleh kurva mulus C, dan Ω menyatakan interior

dari daerah tersebut. Sumbu u ortogonal ke bidang (x,y) (lihat Gambar 3.1).

Misalkan batas kurva mulus C diparametrikkan oleh persamaan

Misalkan setiap titik di batas selaput dipindahkan sepanjang garis tegak

lurus bidang (x,y) dan batas tersebut terikat di sepanjang kurva .

Kurva memproyeksikan bidang (x,y) atas kurva C dan diberi persamaan

15

∂2u∂ x2

+ ∂2u∂ y2

=0 .. .(3 .5 )

x=x (s ), y= y ( s ); s∈ I .

~C

~C

x=x (s ), y= y ( s ) , u=φ(s ) ; s∈ I .

Selaput tersebut kemudian mengambil bentuk permukaan yang diberikan

oleh persamaan berbentuk

Sekarang kita membuat asumsi:

(a) Pada saat kita memindahkan selaput dari bidang (x,y) ke bentuk akhirnya

yaitu u = u(x, y), setiap titik di selaput bergerak hanya pada sepanjang garis

yang paralel ke sumbu u.

(b) Selaput bentuknya hanya berubah sedikit, oleh karena itu nilai turunan

dan adalah kecil.

Dari kedua asumsi (a) dan (b) dapat ditunjukkan bahwa fungsi u(x, y)

haruslah memenuhi Persamaan Laplace Dua Dimensi (3.5). Jadi, untuk

menentukan bentuk akhir dari selaput tersebut kita harus menyelesaikan Masalah

Dirichlet.

16

C

)0),(),(( sysx

x

u

y

u=u( x , y ); (x , y )∈~ .

∂u /∂ y∂u /∂ x

∂2u∂ x2

+ ∂2u∂ y2

=0 ; ( x, y )∈

u( x, y )=φ (x , y ) ; ( x, y )∈C

Gambar 3.1

Persamaan Laplace juga muncul dalam pembelajaran medan gaya yang

“dapat diturunkan dari sebuah potensial”. Sebagai contoh misalakan F adalah

medan gaya yang disebabkan dari distribusi muatan listrik di ruangan. F(x, y, z)

adalah vektor gaya yang bertindak sebagai sebuah unit muatan yang ditempatkan

di titik (x, y, z). Dapat ditunjukkan bahwa F dapat diturunkan dari sebuah fungsi

potensial u; sebagai contoh, terdapat fungsi u sebagai berikut

F = - grad u.

Potensial u memenuhi Persamaan Laplace di setiap titik di ruangan yang

bebas dari muatan listrik. Medan gaya gravitasi oleh karena distribusi massa di

ruangan tersebut juga dapat diturunkan dari sebuah potensial dan fungsi potensial

itu sendiri memenuhi Persamaan Laplace di setiap titik di ruangan yang bebas dari

massa.

17