ma1201 matematika 2a - · pdf file10.4 persamaan parametrik kurva di bidang ... pada saat t,...
TRANSCRIPT
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2016/2017
8 Maret 2017
Kuliah yang Lalu
10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari Ini
10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 3
11.5 FUNGSI BERNILAI VEKTOR DANGERAK SEPANJANG KURVA
MA1201 MATEMATIKA 2A
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 4
• Menghitung limit dan turunan fungsi ber-nilai vektor
• Menentukan kecepatan dan percepatan darisuatu partikel yang bergerak sepanjangkurva yang diketahui persamaan posisinya
Fungsi Bernilai Vektor
Fungsi F yang memetakan tiapbilangan real t ϵ I ke suatu vektorF(t) di R2 atau R3 disebut sebagaifungsi bernilai vektor.
Sebagai contoh,
F(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2π
merupakan fungsi bernilai vektor. Daerah nilai fungsi ini adalahlingkaran yang berpusat di (0,0) danberjari-jari 1.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 5
1
F(π/2)
0 2ππ/2
Limit Fungsi Bernilai Vektor
Kita tuliskan apabilauntuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0sehingga
Secara intuitif: semakin dekat t ke c, semakin dekat F(t) ke L.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 6
LtFct
)(lim
.)(0 LtFct
F(t), t ≈ cL
Teorema
Misalkan F(t) = f(t)i + g(t)j. Maka F mempunyailimit di c jika dan hanya jika f dan g mempunyailimit di c. Dalam hal ini,
Sebagai akibatnya, F kontinu di c jika dan hanyajika f dan g kontinu di c. Dlm hal ini,
Catatan. Hal serupa berlaku utk fungsi bernilaivektor di R3.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 7
.).(lim).(lim)(lim jtgitftFctctct
).()(lim cFtFct
Contoh/Latihan
Tentukan nilai F(0) agar fungsi F yang di-definisikan
menjadi fungsi yg kontinu di setiap titik.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 8
,0,1sin
)(
tjt
ei
t
ttF
t
Turunan Fungsi Bernilai Vektor
Misalkan F = (f, g) adalah fungsi bernilai vektor. Turunan F di c didefinisikan sebagai
Berdasarkan teorema tentang limit fungsibernilai vektor, kita dapatkan: jika f dan gmempunyai turunan di c, maka
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 9
.)()(
lim)('ct
cFtFcF
ct
.)(')(')(' jcgicfcF
Teorema
Misalkan F dan G mempunyai turunan, p fungsiskalar yang mempunyai turunan, dan c skalar. Maka
1.
2.
3.
4.
5.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 10
)(')(')]()([ tGtFtGtFDt
)('.)](.[ tFctFcDt
)()(')(')()]().([ tFtptFtptFtpDt
)(')()()(')]()([ tGtFtGtFtGtFDt
))((').('))](([ tpFtptpFDt
Teorema
Misalkan F dan G fungsi bernilai vektor di R3. Jika F dan G mempunyai turunan, maka
6.
Catatan. Dt menyatakan operasi turunanterhadap t.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 11
)(')()()(')]()([ tGtFtGtFtGtFDt
Contoh/Latihan
Tentukan apakah fungsi F yang didefinisikansebagai
mempunyai turunan di 0.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 12
,0,
,0,1sin
)(
tji
tjt
ei
t
ttF
t
Contoh/Latihan
Diketahui F(t) = (cos t, sin t) dan p(t) = t2. Tentukan:
1. Dt[p(t).F(t)]
2. DtF(p(t))
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 13
Integral Fungsi Bernilai Vektor
Intergral dari fungsi F = (f,g) yang bernilaivektor di R2 didefinisikan sebagai
Catatan. Integral dari fungsi bernilai vektor diR3 didefinisikan serupa.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 14
jdttgidttfdttF .)(.)()(
jdttgidttfdttF
b
a
b
a
b
a
.)(.)()(
Gerak Sepanjang Kurva
Misalkan sebuah partikel bergerak sepanjangsuatu kurva di bidang dengan persamaan
r(t) = f(t)i + g(t)j, t ϵ I,
yakni, pada saat t, vektor posisi partikel tsbadalah (f(t),g(t)).
Maka, kecepatan dan percepatan partikel tsbadalah
v(t) = f’(t)i + g’(t)j, t ϵ I,
a(t) = f’’(t)i + g’’(t)j, t ϵ I.3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Gerak Sepanjang Kurva
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 16
r(t)
v(t)
a(t)
Contoh
Diketahui sebuah partikel bergerak di bidangdengan persamaan
r(t) = (cos 2t, sin 2t), t > 0.
(a) Tentukan vektor kecepatan dan percepatan-nya.
(b) Periksa bahwa dan . (c) Buktikan bahwa lajunya, yaitu|v(t)|, konstan.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 17
)()( tvta )()( trtv
Soal
Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang/ ruang dengan r(t) menyatakan vektor posisinyapada saat t. Buktikan bahwa |r(t)| konstan jikadan hanya jika r(t) ● r ’(t) = 0.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 18
11.6 GARIS DAN GARIS SINGGUNG DIRUANG
MA1201 MATEMATIKA 2A
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 19
• Menentukan persamaan garis di ruang, baikdalam bentuk persamaan vektor, persamaanparametrik, atau persamaan Cartesius
Persamaan Garis di Bidang
Persamaan Cartesius garis di bidangyang memotong sumbu-y di P(0,c) dan mempunyai gradien m adalah
y = mx + c.
Persamaan garis ini dapat dinyatakandalam bentuk persamaan parametrik
x = t, y = mt + c,
atau persamaan vektor
r(t) = (t, mt+c) = (0,c) + t(1,m).3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 20
c1
m
Garis melalui (0,c) dan mempunyaivektor arah (1,m).
Persamaan Garis di Bidang
Dari persamaan parametrik
x = t, y = mt + c,
kita dapat pula memperolehpersamaan simetrik
Perhatikan bahwa garis melaluiP(0,c) dan mempunyai vektorarah v = (1,m) terekam dalampersamaan simetrik.3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 21
c1
m
.1
0
m
cyx
Persamaan Garis di Ruang
Persamaan garis yang melalui titik P(x0,y0,z0) danmempunyai vektor arah v = (a,b,c) adalah
r(t) = (x0,y0,z0) + t(a,b,c) … persamaan vektor
x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc … p. parametrik
persamaan simetrik
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 22
...000
c
zz
b
yy
a
xx
Contoh
Diketahui sebuah garis melalui titik P(1,-2,3) danQ(4,5,6). Tentukan persamaan vektor, persamaanparametrik, dan persamaan simetrik garis tsb.
Jawab:
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 23
Soal 1
Persamaan bidang yang melalui titik P(x0,y0,z0)dan mempunyai vektor normal n = (n1,n2,n3) diberikan oleh (x – x0, y – y0, z – z0)●n = 0.
Tentukan persamaan garis yang merupakanperpotongan dua bidang: 2x – y – 5z = -6 dan4x + 5y + 4z = 9.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 24
Garis Singgung pada Kurva di Ruang
Persamaan
r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k
menyatakan sebuah kurva di ruang.
Pada saat t = t0, vektor posisi-nya adalah r(t0) dan vektorsinggung-nya adalah
r’(t0) = f’(t0)i + g’(t0)j + h’(t0)k.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 25
r(t0)
r’(t0)
Persamaan Garis Singgung pada Kurva
Persamaan parametrikgaris singgung padakurva tsb di titik P = r(t0) adalah:
x = f(t0) + t.f’(t0),
y = g(t0) + t.g’(t0),
z = h(t0) + t.h’(t0).
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 26
r(t0)
r’(t0)
P
Contoh
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva r(t) = (t, t2, t3) di titik P(1,1,1).
Jawab: r’(t) = (1, 2t, 3t2). Di titik P(1,1,1), t = 1, sehingga r’(1) = (1, 2, 3). Jadi, persamaan garissinggung di P adalah
x = 1 + sy = 1 + 2sz = 1 + 3s
dengan s menyatakan paramater. [Apa hubunganantara s dan t?]
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 27
Soal 2
Tentukan persamaan garis singgung pada kurvar(t) = (cos t, sin t, t) di titik P(-1,0,π).
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 28