web viewsuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan...
TRANSCRIPT
GARIS LURUS
1. Persamaan Garis Lurus
Suatu garis lurus dapat kita misal sebagai garis potong pada 2 bidang datar.
Garis-garis istimewa yang sudah kita kenal adalah sumbu x , y dan z. Sumbu x adalah
garis potong bidang XOY dan XOZ, sehingga persamaan sumbu x ialah y = 0 , z = 0.
Dengan pemikiran serupa kita dapat persamaan sumbu y ialah x = 0, z = 0. Dari
persamaan sumbu z ialah x = 0, y = 0.
Gambar 1
Suatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan
memproyeksikannya pada bidang XOZ dan YOZ. Misal kan x = mz + p, y = nz+q
atau dapat ditulis : x = mz + p
y = nz + q
Kalau garis nya diberikan sebagai garis potong dua bidang sebarang saja, maka
bidang-bidang memproyeksikannya dapat mudah dicari. Misalnya garis g
persamaannya
g : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
1
Bidang memproyeksikan garis g tersebut pada bidang XOZ, diperoleh dengan
mengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis
g pada bidang YOZ, diperoleh dengan mengeliminirkan x dari kedua persamaan g
diatas.
Jadi jika y kita eliminir, diperoleh :
(A1B2 - A2B1)x + (B2 C1- B1C2)z + (B2D1 - B1D2) = 0
Jadi jika x kita eliminir, diperoleh :
(A2B1 - A1B2)y + (A2C1 - A1C2)z + (A2D1 - A1D2) = 0
Persamaan garis dapat ditulis sebagai berikut :
x = B 1C 2−B2 C 1A 1 B 2−A 2B 1Z + B 1 D2−B 2 D1
A 1B 2−A 2 B 1
y = A 2C 1−A 1C 2A 1B 2−A 2B 1 Z + A 2D 1−A 1 D2
A 1B 2−A 2B 1
Jika disesuaikan dengan x = mz + p dan y = nz + q, maka diperoleh :
m = |B1 C1B2 C2|
|A1 B1A2 B2|
p = |B1 D1B2 D2|
|A1 B1A2 B2|
2
Gambar 2
n = |C1 A1C2 A2|
|A1 B1A2 B2|
q = |D1 A1D2 A2|
|A1 B1A2 B2|
Contoh soal:
Tentukan persamaan dari garis potong bidang-bidang 2x - y - 5z = -14 dan 4x + 5y +
4z = 28 !
Jawab :
x = B 1C 2−B2 C 1A 1 B 2−A 2B 1Z + B 1 D2−B 2 D1
A 1 B 2−A 2 B 1
= −4+2510+4 Z + 28−70
10+4
= 2114
z+(−42)14
= 32
z−3
y = A 2C 1−A 1C 2A 1B 2−A 2B 1 Z + A 2D 1−A 1 D2
A 1B 2−A 2B 1
= −20−8
10+4 Z + 56+5610+4
= −2814
z+ 11214
= −2 z+8
2. Persamaan Vektor, Parametrik dan Simetrik Garis Lurus
a. Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada satu titik
Pada gambar dibawah ini l adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan
vektor posisi ro dan sejajar dengan vektor v = ai + b j + ck . Untuk menentukan
persamaan garis l, diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis l, maka P⃗o P // v dan
P⃗o P= λ v dengan λ bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O
3
adalah
ro=( xo , yo , zo )
dan r=⟨ x , y , z ⟩
maka Po P=r−ro
dan karena
P⃗o P= λ v
maka :
r−ro= λv
r=ro+λ v
Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis l dan memenuhi
persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan
tersebut. Dengan kata lain, persamaan garis l yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar
dengan vektor v= ⟨ a , b , c ⟩ adalah r=ro+λ v . Atau, (Persamaan vektor garis l)
⟨ x , y , z ⟩=⟨ xo , yo , zo ⟩+λ ⟨ a , b , c ⟩
⟨ x , y , z ⟩=⟨ xo+ λa , y o+λb , zo+λc ⟩
4
Gambar 3
r=ro+λ v
Maka diperoleh :
Jika kita
eliminir
parameter λ , yaitu λ = x−xo
a; λ=
y− yo
b; λ=
z−zo
c
Maka untuk persamaan garis lurus diketahui melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan
bilangan vektor arah v= ⟨ a ,b , c ⟩ adalah :
Contoh soal
Tentukan persamaan garis yang melalui P(1,2,3) dan sejajar dengan a = (-1,1,4) !
Penyelesaian :
t=p+λ a
Pers. vektor garis g:
⟨ x , y , z ⟩=⟨ xo , yo , zo ⟩+λ ⟨ a , b , c ⟩
⟨ x , y , z ⟩=⟨1 ,2 ,3 ⟩+λ ⟨−1 ,1 , 4 ⟩
⟨ x , y , z ⟩=¿(1 -λ , 2+λ , 3+4 λ ¿
Persamaan parameter garis g:
x=xo+λa = 1 -λ
y= yo+ λb=2+ λ
z=zo+λc = 3+4 λ
Persamaan simetrik garis g:
x−xo
a = y− yo
b=
z−zo
c
x−1−1 = y−2
1= z−3
4
5
x=xo+λa
y= yo+ λb
z=zo+λc
x−xo
a = y− yo
b=
z−zo
c dengan syarat a,b,c ≠ 0
(Persamaan parametrik garis l)
(Persamaan simetrik garisl)
b. Persamaan vektor pada dua titik
Untuk mencari persamaan vektor dari garis yang melalui 2 titik A(x1, y1, z1)
dengan vektor letak adan B(x2, y2, z2) dengan vektor letak b ,kita dapat mengambil
sebarang titik R(x, y,z) pada garis tersebut yang vektor posisinya adalah r=⟨ x , y , z ⟩.
Dari kondisi ini dapat ditentuan bentuk persamaan vektor garis AB sebagai berikut :
r=a+λ A⃗B dengan λ bilangan real
r=a+λ ( b−a )
( xyz )=( x1
y1
z1)+ λ¿
⟨ x , y , z ⟩=⟨ x1 , y1 , z1 ⟩+ λ ⟨ x2−x1 , y2− y1, z−z1 ⟩
Diperoleh
Dengan mengeliminir λ dari persamaan parametrik diatas, akan diperoleh persamaan
simetrik dari garis AB sebagai berikut:
Contoh soal)
Tentukan persamaan garis g yg melalui (1,2,3) dan (3,5,4) !
Penyelesaian:
O⃗B=O⃗A+ A⃗B
A⃗B=O⃗B−O⃗A
6
(Persamaan simetrik garis AB)
(Persamaan vektor garis AB)
(Persamaan parametrik garis AB)
x=x1+λ(x2−x1)
y= y1+λ ( y2− y1 ).
z=z1+λ(z2−z1)
x−x1
x2−x1 = y− y1
y2− y1=
z−z1
z2−z1
A⃗B= (3 ,5 , 4 )−(1 , 2 ,3 )
¿ (2 ,3 ,1 )
O⃗A + A⃗T = O⃗T
O⃗T =O⃗A + λ A⃗B
( x , y , z )=(1 ,2 , 3 )+λ (2 ,3 ,1 )
Jadi persamaan vektornya adalah
( x , y , z )=(2λ+1;3 λ+2; λ+3)
Persamaan parameternya adalah
x=2 λ+1 ; y=3 λ+2; z= λ+3¿
Persamaan simetriknya adalah :
x−12 = y−2
3= z−3
1
3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata
Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai
perpotongan 2 buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita dapat pula menyatakan suatu
garis lurus sebagai perpotongan sebarang
dua bidang rata yang melalui garis lurus
tersebut. Misalnya,Garis lurus g adalah
7
perpotongan bidang rata V1 = A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan bidang V2 = A2x + B2y +
C2z + D2 = 0.
Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang
rata, kita perhatikan gambar disamping. Maka n1= [A1, B1, C1], n2 = [A2, B2, C2], jelas
bahwa n1 x n2 = a, dimana a = [ a, b, c ] merupakan vektor arah dari garis g.
Jadi a = n1 x n2
a = | i j kA1 B1 C1
A2 B2 C2|
a = [|B1 C1
B2 C2||C1 A1
C2 A2||A1 B1
A2 B2|]Untuk mengubah bentuk persamaan V1 = 0 = V2 menjadi bentuk
x−x1
a =
y− y1
b=
z−z1
c , kita harus menentukan pula koordinat (x1, y1, z1).
Sebarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil titik potong dengan
bidang berkoordinat, misalnya, XOY z = 0, diperoleh
A1x + B1y + D1 = 0
A2x + B2y + D2 = 0
Yang bila diselesaikan diperoleh:
x=|−D1 B1
−D2 B2||A1 B1
A2 B2|y=
|A1 −D1
A2 −D2||A1 B1
A2 B2|
Contoh Soal
Tentukan vektor arah (a) Garis lurus x - 2y + z = 1 dan 3x - y + 5z = 8 !
8
Jawab :
a = | i j kA1 B1 C1
A2 B2 C2|
a = [|B1 C1
B2 C2||C1 A1
C2 A2||A1 B1
A2 B2|]a = [|−2 1
−1 5||1 15 3||1 −2
3 −1|]Dimana a = |−2 1
−1 5| = -9 , b = |1 15 3| = -2 , c = |1 −2
3 −1| = 5
atau [a, b, c] = [-9, -2,5]
Ambil z = 0 x = |1 −28 −1||1 −23 −1|
= 155 = 3
y = |1 13 8|
5 = 1
Titik yang melalui garis lurus yang merupakan perpotongan ke-2 bidang rata V1 dan
V2 adalah (3,1,0) pada garis lurus, persamaannya dapat tulis:
[ x, y,z ] = [ 3,1,0 ] + λ [ -9. -2, 5 ]
4. Kedudukan Dua Garis Lurus
Didalam ruang berdimensi tiga, dua garis lurus mungkin dapat sejajar, berimpit,
berpotongan, ataupun bersilangan. Diketahui garis lurus:
Garis g1 : [x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ [a1, b1,c1]
Garis g2 : [x, y, z] = [x2, y2, z2] + λ [a2, b2,c2]
Ada beberapa kedudukan garis lurus antara g1 dan g2 :
1. g1 // g2 , jika dan hanya jika [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2] ; μ bilangan ≠ 0 atau
9
a1
a2=
b1
b2=
c1
c2
2. g1 berimpit g2 jika dan hanya jika :
a. [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2]
b. [ x2-x1, y2-y1, z2-z1] = μ [a2, b2,c2]
3. kalau arah g1 yaitu [a1, b1,c1] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2] tidak berkelipatan, maka
g1 dan g2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. maka titik potongnya [x0, y0,
z0] berarti ada λ1 sehingga [x0, y0, z0] = [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1] dan ada λ2
sehingga [x0, y0, z0] = [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2].
Berarti [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1]= [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2]. atau
a1 λ1 + a2 λ2 = x2 – x1
b1 λ1 + b2 λ2 = y2 – y1
c1 λ1 + c2 λ2 = z2 – z1
berdasarkan teori persamaan linier, nilai λ1 dan λ2 ada determinan :
|a1 a2 x2 – x1
b1 b2 y2 – y1
c1 c2 z2 – z1|= 0
merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada satu titik. sedangkan
persamaan bidang yang memuat kedua garis g1, g2 tersebut :
|a1 a2 x – x1
b1 b2 y – y1
c1 c2 z – z1|= 0
Jika nilai determinannya tidak sama dengan 0, maka kedua garis lurus tersebut
bersilang.
Contoh Soal
Tunjukkan bahwa g1 : ( x – 4 ) = y+3−4 =
z+17 berpotongan dengan g2 :
x−12
= y+1−3
=Z+108 tentukan titik potong serta bidang yang memuat g1 dan g2
tersebut .
Jawab:
10
g1 : [x,y,z] = [ 4, -3, -1 ] + λ [1, -4, 7]
g2 : [x,y,z] = [1, -1, -10] + λ [2, -3, 8]
| 1 2 1−4−4 −3 −1+3
7 8 −10+1| = | 1 2 −3−4 −3 27 8 −9|= 0
Jadi g1 dan g2 berpotongan. titik potong diperoleh dari persamaan:
λ1 + 2 λ2 = -3
-4 λ1 – 3λ2 = 2
7 λ1 + 8 λ2 = -9
cukup diambil dua persamaan saja, diperoleh λ1 = 1, λ2 = -2. titik potong
diperoleh dengan memasukkan λ = λ1 ke persamaan diperoleh [x0, y0, z0] = [4, -3, -
1] + 1 [1, -4, 7] = [5, -7, 6]; sehingga potong : (5, -7, 6). (boleh juga dengan
memasukkan λ = λ2 = 2 persamaan g2).
bidang rata yang memuat g1 dan g2 mempunyai vektor arah [1, -4, 7] dan [2, -3, 8]
serta melalui titik (4, -3, -1), Jadi persamaan vektorisnya : [x,y,z] =[4, -3,-1] + λ
[1, -4, 7] + μ [2, -3, 8] atau bentuk liniernya (sesuai persamaannya (31)) :
| 1 2 x−4−4 −3 y+3
7 8 z+1| = 0 11x - 6y - 5z – 67 = 0
5. Kedudukan Garis Lurus Dan Bidang Rata
Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = [a, b, c] dan bidang rata V dengan
vektor normal n = [A, B, C] maka :
11
1. garis lurus g sejajajr bidang rata V ↔ vektor arah garis tegak lurus normal
bidang atau a.n = 0 atau aA + bB +cC = 0
2. garis lurus g tegak lurus bidang rata V ↔ vektor arah garis lurus = vektor
normal bidang rata (atau kelipatannya) atau ↔ aA
= bB
= cC
3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi a┴n atau a.n = 0
atau aA + bB + cC = 0 dan sebarang titik P pada g harus terletak pula pada
bidang V.
Latihan :
1. Tentukan persamaan garis potong bidang-bidang x – y – z = 1 dan 3x – 3y +7z = 9 !
2. Carilah persamaan parametrik dan simetrik garis lurus yang melalui titik-titik (1, -2, 3)
dan (4, 5, 6)!
12
3. Tentukanlah persamaan-persamaan vektor, parametrik dan simetrik untuk garis yang
melalui titik A(3, -2, 4) dan B(5, 6, -2)!
4. Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 3, 2) serta tegak lurus bidang-bidang V1 = x
+2y = 2z = 5 dan V2 = 3x + 5y + 2z = 8
5. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P (1, 0, -1) terletak pada bidang V
= x +3y + z = 0 serta juga tegak lurus garis lurus g1 : x + 2y – z = 3, 2y – 3y +5z =1
Daftar Pustaka
Suryadi H.S, D. 1984. Serial Matematika dan Komputer Aski Teori dan Soal ILMU UKUR
ANALITIK RUANG. Jakarta : Ghalia Indonesia.
Sukirman. 2009. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Edisi I. Jakarta : Penerbit Universitas
Terbuka.
13
14