web viewsuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan...

18
GARIS LURUS 1. Persamaan Garis Lurus Suatu garis lurus dapat kita misal sebagai garis potong pada 2 bidang datar. Garis-garis istimewa yang sudah kita kenal adalah sumbu x , y dan z. Sumbu x adalah garis potong bidang XOY dan XOZ, sehingga persamaan sumbu x ialah y = 0 , z = 0. Dengan pemikiran serupa kita dapat persamaan sumbu y ialah x = 0, z = 0. Dari persamaan sumbu z ialah x = 0, y = 0. Gambar 1 Suatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan YOZ. Misal kan x = mz + p, y = nz+q atau dapat ditulis : x = mz + p 1

Upload: truongnga

Post on 02-Feb-2018

248 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

GARIS LURUS

1. Persamaan Garis Lurus

Suatu garis lurus dapat kita misal sebagai garis potong pada 2 bidang datar.

Garis-garis istimewa yang sudah kita kenal adalah sumbu x , y dan z. Sumbu x adalah

garis potong bidang XOY dan XOZ, sehingga persamaan sumbu x ialah y = 0 , z = 0.

Dengan pemikiran serupa kita dapat persamaan sumbu y ialah x = 0, z = 0. Dari

persamaan sumbu z ialah x = 0, y = 0.

Gambar 1

Suatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan

memproyeksikannya pada bidang XOZ dan YOZ. Misal kan x = mz + p, y = nz+q

atau dapat ditulis : x = mz + p

y = nz + q

Kalau garis nya diberikan sebagai garis potong dua bidang sebarang saja, maka

bidang-bidang memproyeksikannya dapat mudah dicari. Misalnya garis g

persamaannya

g : A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

1

Page 2: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

Bidang memproyeksikan garis g tersebut pada bidang XOZ, diperoleh dengan

mengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis

g pada bidang YOZ, diperoleh dengan mengeliminirkan x dari kedua persamaan g

diatas.

Jadi jika y kita eliminir, diperoleh :

(A1B2 - A2B1)x + (B2 C1- B1C2)z + (B2D1 - B1D2) = 0

Jadi jika x kita eliminir, diperoleh :

(A2B1 - A1B2)y + (A2C1 - A1C2)z + (A2D1 - A1D2) = 0

Persamaan garis dapat ditulis sebagai berikut :

x = B 1C 2−B2 C 1A 1 B 2−A 2B 1Z + B 1 D2−B 2 D1

A 1B 2−A 2 B 1

y = A 2C 1−A 1C 2A 1B 2−A 2B 1 Z + A 2D 1−A 1 D2

A 1B 2−A 2B 1

Jika disesuaikan dengan x = mz + p dan y = nz + q, maka diperoleh :

m = |B1 C1B2 C2|

|A1 B1A2 B2|

p = |B1 D1B2 D2|

|A1 B1A2 B2|

2

Gambar 2

Page 3: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

n = |C1 A1C2 A2|

|A1 B1A2 B2|

q = |D1 A1D2 A2|

|A1 B1A2 B2|

Contoh soal:

Tentukan persamaan dari garis potong bidang-bidang 2x - y - 5z = -14 dan 4x + 5y +

4z = 28 !

Jawab :

x = B 1C 2−B2 C 1A 1 B 2−A 2B 1Z + B 1 D2−B 2 D1

A 1 B 2−A 2 B 1

= −4+2510+4 Z + 28−70

10+4

= 2114

z+(−42)14

= 32

z−3

y = A 2C 1−A 1C 2A 1B 2−A 2B 1 Z + A 2D 1−A 1 D2

A 1B 2−A 2B 1

= −20−8

10+4 Z + 56+5610+4

= −2814

z+ 11214

= −2 z+8

2. Persamaan Vektor, Parametrik dan Simetrik Garis Lurus

a. Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada satu titik

Pada gambar dibawah ini l adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan

vektor posisi ro dan sejajar dengan vektor v = ai + b j + ck . Untuk menentukan

persamaan garis l, diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis l, maka P⃗o P // v dan

P⃗o P= λ v dengan λ bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O

3

Page 4: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

adalah

ro=( xo , yo , zo )

dan r=⟨ x , y , z ⟩

maka Po P=r−ro

dan karena

P⃗o P= λ v

maka :

r−ro= λv

r=ro+λ v

Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis l dan memenuhi

persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan

tersebut. Dengan kata lain, persamaan garis l yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar

dengan vektor v= ⟨ a , b , c ⟩ adalah r=ro+λ v . Atau, (Persamaan vektor garis l)

⟨ x , y , z ⟩=⟨ xo , yo , zo ⟩+λ ⟨ a , b , c ⟩

⟨ x , y , z ⟩=⟨ xo+ λa , y o+λb , zo+λc ⟩

4

Gambar 3

r=ro+λ v

Page 5: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

Maka diperoleh :

Jika kita

eliminir

parameter λ , yaitu λ = x−xo

a; λ=

y− yo

b; λ=

z−zo

c

Maka untuk persamaan garis lurus diketahui melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan

bilangan vektor arah v= ⟨ a ,b , c ⟩ adalah :

Contoh soal

Tentukan persamaan garis yang melalui P(1,2,3) dan sejajar dengan a = (-1,1,4) !

Penyelesaian :

t=p+λ a

Pers. vektor garis g:

⟨ x , y , z ⟩=⟨ xo , yo , zo ⟩+λ ⟨ a , b , c ⟩

⟨ x , y , z ⟩=⟨1 ,2 ,3 ⟩+λ ⟨−1 ,1 , 4 ⟩

⟨ x , y , z ⟩=¿(1 -λ , 2+λ , 3+4 λ ¿

Persamaan parameter garis g:

x=xo+λa = 1 -λ

y= yo+ λb=2+ λ

z=zo+λc = 3+4 λ

Persamaan simetrik garis g:

x−xo

a = y− yo

b=

z−zo

c

x−1−1 = y−2

1= z−3

4

5

x=xo+λa

y= yo+ λb

z=zo+λc

x−xo

a = y− yo

b=

z−zo

c dengan syarat a,b,c ≠ 0

(Persamaan parametrik garis l)

(Persamaan simetrik garisl)

Page 6: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

b. Persamaan vektor pada dua titik

Untuk mencari persamaan vektor dari garis yang melalui 2 titik A(x1, y1, z1)

dengan vektor letak adan B(x2, y2, z2) dengan vektor letak b ,kita dapat mengambil

sebarang titik R(x, y,z) pada garis tersebut yang vektor posisinya adalah r=⟨ x , y , z ⟩.

Dari kondisi ini dapat ditentuan bentuk persamaan vektor garis AB sebagai berikut :

r=a+λ A⃗B dengan λ bilangan real

r=a+λ ( b−a )

( xyz )=( x1

y1

z1)+ λ¿

⟨ x , y , z ⟩=⟨ x1 , y1 , z1 ⟩+ λ ⟨ x2−x1 , y2− y1, z−z1 ⟩

Diperoleh

Dengan mengeliminir λ dari persamaan parametrik diatas, akan diperoleh persamaan

simetrik dari garis AB sebagai berikut:

Contoh soal)

Tentukan persamaan garis g yg melalui (1,2,3) dan (3,5,4) !

Penyelesaian:

O⃗B=O⃗A+ A⃗B

A⃗B=O⃗B−O⃗A

6

(Persamaan simetrik garis AB)

(Persamaan vektor garis AB)

(Persamaan parametrik garis AB)

x=x1+λ(x2−x1)

y= y1+λ ( y2− y1 ).

z=z1+λ(z2−z1)

x−x1

x2−x1 = y− y1

y2− y1=

z−z1

z2−z1

Page 7: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

A⃗B= (3 ,5 , 4 )−(1 , 2 ,3 )

¿ (2 ,3 ,1 )

O⃗A + A⃗T = O⃗T

O⃗T =O⃗A + λ A⃗B

( x , y , z )=(1 ,2 , 3 )+λ (2 ,3 ,1 )

Jadi persamaan vektornya adalah

( x , y , z )=(2λ+1;3 λ+2; λ+3)

Persamaan parameternya adalah

x=2 λ+1 ; y=3 λ+2; z= λ+3¿

Persamaan simetriknya adalah :

x−12 = y−2

3= z−3

1

3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata

Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai

perpotongan 2 buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita dapat pula menyatakan suatu

garis lurus sebagai perpotongan sebarang

dua bidang rata yang melalui garis lurus

tersebut. Misalnya,Garis lurus g adalah

7

Page 8: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

perpotongan bidang rata V1 = A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan  bidang V2 = A2x + B2y +

C2z + D2 = 0.

Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang

rata, kita perhatikan gambar disamping. Maka n1= [A1, B1, C1], n2 = [A2, B2, C2], jelas

bahwa n1 x n2 = a, dimana a = [ a, b, c ] merupakan vektor arah dari garis g.

Jadi a = n1 x n2 

a = | i j kA1 B1 C1

A2 B2 C2|

a = [|B1 C1

B2 C2||C1 A1

C2 A2||A1 B1

A2 B2|]Untuk mengubah bentuk persamaan V1 = 0 = V2 menjadi bentuk

x−x1

a =

y− y1

b=

z−z1

c , kita harus menentukan pula koordinat (x1, y1, z1).

Sebarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil titik potong dengan

bidang berkoordinat, misalnya, XOY  z = 0, diperoleh

A1x + B1y + D1 = 0

A2x + B2y + D2 = 0

Yang bila diselesaikan diperoleh:

x=|−D1 B1

−D2 B2||A1 B1

A2 B2|y=

|A1 −D1

A2 −D2||A1 B1

A2 B2|

Contoh Soal

Tentukan vektor arah (a) Garis lurus x - 2y + z = 1 dan 3x - y + 5z = 8 !

8

Page 9: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

Jawab :

a = | i j kA1 B1 C1

A2 B2 C2|

a = [|B1 C1

B2 C2||C1 A1

C2 A2||A1 B1

A2 B2|]a = [|−2 1

−1 5||1 15 3||1 −2

3 −1|]Dimana a = |−2 1

−1 5| = -9 , b = |1 15 3| = -2 , c = |1 −2

3 −1| = 5

atau [a, b, c] = [-9, -2,5]

Ambil z = 0 x = |1 −28 −1||1 −23 −1|

= 155 = 3

y = |1 13 8|

5 = 1

Titik yang melalui garis lurus yang merupakan perpotongan ke-2 bidang rata V1 dan

V2 adalah (3,1,0) pada garis lurus, persamaannya dapat tulis:

[ x, y,z ] = [ 3,1,0 ] + λ [ -9. -2, 5 ]

4. Kedudukan Dua Garis Lurus

Didalam ruang berdimensi tiga, dua garis lurus mungkin dapat sejajar, berimpit,

berpotongan, ataupun bersilangan. Diketahui garis lurus:

Garis g1 : [x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ [a1, b1,c1]

Garis g2 : [x, y, z] = [x2, y2, z2] + λ [a2, b2,c2]

Ada beberapa kedudukan garis lurus antara g1 dan g2 :

1. g1 // g2 , jika dan hanya jika [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2] ; μ bilangan ≠ 0 atau

9

Page 10: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

a1

a2=

b1

b2=

c1

c2

2. g1 berimpit g2 jika dan hanya jika :

a. [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2]

b. [ x2-x1, y2-y1, z2-z1] = μ [a2, b2,c2]

3. kalau arah g1 yaitu [a1, b1,c1] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2] tidak berkelipatan, maka

g1 dan g2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. maka titik potongnya [x0, y0,

z0] berarti ada λ1 sehingga [x0, y0, z0] = [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1] dan ada λ2

sehingga [x0, y0, z0] = [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2].

Berarti [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1]= [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2]. atau

a1 λ1 + a2 λ2 = x2 – x1

b1 λ1 + b2 λ2 = y2 – y1

c1 λ1 + c2 λ2 = z2 – z1

berdasarkan teori persamaan linier, nilai λ1 dan λ2 ada determinan :

|a1 a2 x2 – x1

b1 b2 y2 – y1

c1 c2 z2 – z1|= 0

merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada satu titik. sedangkan

persamaan bidang yang memuat kedua garis g1, g2 tersebut :

|a1 a2 x – x1

b1 b2 y – y1

c1 c2 z – z1|= 0

Jika nilai determinannya tidak sama dengan 0, maka kedua garis lurus tersebut

bersilang.

Contoh Soal

Tunjukkan bahwa g1 : ( x – 4 ) = y+3−4 =

z+17 berpotongan dengan g2 :

x−12

= y+1−3

=Z+108 tentukan titik potong serta bidang yang memuat g1 dan g2

tersebut .

Jawab:

10

Page 11: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

g1 : [x,y,z] = [ 4, -3, -1 ] + λ [1, -4, 7]

g2 : [x,y,z] = [1, -1, -10] + λ [2, -3, 8]

| 1 2 1−4−4 −3 −1+3

7 8 −10+1| = | 1 2 −3−4 −3 27 8 −9|= 0

Jadi g1 dan g2 berpotongan. titik potong diperoleh dari persamaan:

λ1 + 2 λ2 = -3

-4 λ1 – 3λ2 = 2

7 λ1 + 8 λ2 = -9

cukup diambil dua persamaan saja, diperoleh λ1 = 1, λ2 = -2. titik potong

diperoleh dengan memasukkan λ = λ1 ke persamaan diperoleh [x0, y0, z0] = [4, -3, -

1] + 1 [1, -4, 7] = [5, -7, 6]; sehingga potong : (5, -7, 6). (boleh juga dengan

memasukkan λ = λ2 = 2 persamaan g2).

bidang rata yang memuat g1 dan g2 mempunyai vektor arah [1, -4, 7] dan [2, -3, 8]

serta melalui titik (4, -3, -1), Jadi persamaan vektorisnya : [x,y,z] =[4, -3,-1] + λ

[1, -4, 7] + μ [2, -3, 8] atau bentuk liniernya (sesuai persamaannya (31)) :

| 1 2 x−4−4 −3 y+3

7 8 z+1| = 0 11x - 6y - 5z – 67 = 0

5. Kedudukan Garis Lurus Dan Bidang Rata

Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = [a, b, c] dan bidang rata V dengan

vektor normal n = [A, B, C] maka :

11

Page 12: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

1. garis lurus g sejajajr bidang rata V ↔ vektor arah garis tegak lurus normal

bidang atau a.n = 0 atau aA + bB +cC = 0

2. garis lurus g tegak lurus bidang rata V ↔ vektor arah garis lurus = vektor

normal bidang rata (atau kelipatannya) atau ↔ aA

= bB

= cC

3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi a┴n atau a.n = 0

atau aA + bB + cC = 0 dan sebarang titik P pada g harus terletak pula pada

bidang V.

Latihan :

1. Tentukan persamaan garis potong bidang-bidang x – y – z = 1 dan 3x – 3y +7z = 9 !

2. Carilah persamaan parametrik dan simetrik garis lurus yang melalui titik-titik (1, -2, 3)

dan (4, 5, 6)!

12

Page 13: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

3. Tentukanlah persamaan-persamaan vektor, parametrik dan simetrik untuk garis yang

melalui titik A(3, -2, 4) dan B(5, 6, -2)!

4. Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 3, 2) serta tegak lurus bidang-bidang V1 = x

+2y = 2z = 5 dan V2 = 3x + 5y + 2z = 8

5. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P (1, 0, -1) terletak pada bidang V

= x +3y + z = 0 serta juga tegak lurus garis lurus g1 : x + 2y – z = 3, 2y – 3y +5z =1

Daftar Pustaka

Suryadi H.S, D. 1984. Serial Matematika dan Komputer Aski Teori dan Soal ILMU UKUR

ANALITIK RUANG. Jakarta : Ghalia Indonesia.

Sukirman. 2009. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Edisi I. Jakarta : Penerbit Universitas

Terbuka.

13

Page 14: Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada

14