? Â·  · web viewsuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang...

Download ? Â·  · Web viewSuatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan ... Persamaan vektor, parametrik dan simetrik

Post on 02-Feb-2018

226 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

GARIS LURUS

1. Persamaan Garis Lurus

Suatu garis lurus dapat kita misal sebagai garis potong pada 2 bidang datar. Garis-garis istimewa yang sudah kita kenal adalah sumbu x , y dan z. Sumbu x adalah garis potong bidang XOY dan XOZ, sehingga persamaan sumbu x ialah y = 0 , z = 0. Dengan pemikiran serupa kita dapat persamaan sumbu y ialah x = 0, z = 0. Dari persamaan sumbu z ialah x = 0, y = 0.

Gambar 1

Suatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan YOZ. Misal kan x = mz + p, y = nz+q atau dapat ditulis :x = mz + p

y = nz + q

Kalau garis nya diberikan sebagai garis potong dua bidang sebarang saja, maka bidang-bidang memproyeksikannya dapat mudah dicari. Misalnya garis g persamaannya

g : A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Bidang memproyeksikan garis g tersebut pada bidang XOZ, diperoleh dengan mengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, diperoleh dengan mengeliminirkan x dari kedua persamaan g diatas.

Gambar 2

Jadi jika y kita eliminir, diperoleh :

(A1B2 - A2B1)x + (B2 C1- B1C2)z + (B2D1 - B1D2) = 0

Jadi jika x kita eliminir, diperoleh :

(A2B1 - A1B2)y + (A2C1 - A1C2)z + (A2D1 - A1D2) = 0

Persamaan garis dapat ditulis sebagai berikut :

x = z +

y = z +

Jika disesuaikan dengan x = mz + p dan y = nz + q, maka diperoleh :

m =

p =

n =

q =

Contoh soal:

Tentukan persamaan dari garis potong bidang-bidang 2x - y - 5z = -14 dan 4x + 5y + 4z = 28 !

Jawab :

x= z +

= z +

=

=

y = z +

= z +

=

=

2. Persamaan Vektor, Parametrik dan Simetrik Garis Lurus

a. Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada satu titik

Pada gambar dibawah ini adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan vektor posisi dan sejajar dengan vektor = a + b + c. Untuk menentukan persamaan garis , diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis , maka // dan dengan bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O adalah dan maka dan karena maka :

Gambar 3

Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis dan memenuhi persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain, persamaan garis yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar dengan vektor = adalah Atau,

Maka diperoleh :

Jika kita eliminir parameter , yaitu =

Maka untuk persamaan garis lurus diketahui melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan bilangan vektor arah = adalah :

= dengan syarat a,b,c 0

Contoh soal

Tentukan persamaan garis yang melalui P(1,2,3) dan sejajar dengan a = (-1,1,4) !

Penyelesaian :

Pers. vektor garis g:

(1 -

Persamaan parameter garis g:

= 1 -

=

Persamaan simetrik garis g:

=

=

b. Persamaan vektor pada dua titik

Untuk mencari persamaan vektor dari garis yang melalui 2 titik A(x1, y1, z1) dengan vektor letak dan B(x2, y2, z2) dengan vektor letak kita dapat mengambil sebarang titik R(x, y,z) pada garis tersebut yang vektor posisinya adalah . Dari kondisi ini dapat ditentuan bentuk persamaan vektor garis AB sebagai berikut :

dengan bilangan real

Diperoleh

Dengan mengeliminir dari persamaan parametrik diatas, akan diperoleh persamaan simetrik dari garis AB sebagai berikut:

=

Contoh soal)

Tentukan persamaan garis g yg melalui (1,2,3) dan (3,5,4) !

Penyelesaian:

+ =

+

Jadi persamaan vektornya adalah

Persamaan parameternya adalah

Persamaan simetriknya adalah :

=

3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata

Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai perpotongan 2 buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita dapat pula menyatakan suatu garis lurus sebagai perpotongan sebarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Misalnya,Garis lurus g adalah perpotongan bidang rata V1= A1x + B1y + C1z + D1= 0 dan bidang V2= A2x + B2y + C2z + D2= 0.

Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang rata, kita perhatikan gambar disamping. Maka n1= [A1, B1, C1], n2= [A2, B2, C2], jelas bahwa n1x n2= a, dimana a = [ a, b, c ] merupakan vektor arah dari garis g.

Jadi a = n1x n2

a =

a =

Untuk mengubah bentuk persamaan V1 = 0 = V2 menjadi bentuk = , kita harus menentukan pula koordinat (x1, y1, z1).

Sebarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil titik potong dengan bidang berkoordinat, misalnya, XOYz = 0, diperoleh

A1x + B1y + D1= 0

A2x + B2y + D2= 0

Yang bila diselesaikan diperoleh:

Contoh Soal

Tentukan vektor arah (a) Garis lurus x - 2y + z = 1 dan 3x - y + 5z = 8 !

Jawab :

a =

a =

a =

Dimana a = = -9 , b = = -2 , c = = 5

atau [a, b, c] = [-9, -2,5]

Ambil z = 0 x = = = 3

y = = 1

Titik yang melalui garis lurus yang merupakan perpotongan ke-2 bidang rata V1dan V2adalah (3,1,0) pada garis lurus, persamaannya dapat tulis:

[ x, y,z ] = [ 3,1,0 ] + [ -9. -2, 5 ]

4. Kedudukan Dua Garis Lurus

Didalam ruang berdimensi tiga, dua garis lurus mungkin dapat sejajar, berimpit, berpotongan, ataupun bersilangan. Diketahui garis lurus:

Garis g1 : [x, y, z] = [x1, y1, z1] + [a1, b1,c1]

Garis g2 : [x, y, z] = [x2, y2, z2] + [a2, b2,c2]

Ada beberapa kedudukan garis lurus antara g1 dan g2 :

1. g1 // g2 , jika dan hanya jika [a1, b1,c1] = [a2, b2,c2]; bilangan 0 atau

1. g1 berimpit g2 jika dan hanya jika :

1. [a1, b1,c1] = [a2, b2,c2]

1. [ x2-x1, y2-y1, z2-z1] = [a2, b2,c2]

1. kalau arah g1 yaitu [a1, b1,c1] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2] tidak berkelipatan, maka g1 dan g2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. maka titik potongnya [x0, y0, z0] berarti ada 1 sehingga [x0, y0, z0] = [x1, y1, z1] + 1 [a1, b1,c1] dan ada 2 sehingga [x0, y0, z0] = [x2, y2, z2] - 2 [a2, b2,c2].

Berarti [x1, y1, z1] + 1 [a1, b1,c1]= [x2, y2, z2] - 2 [a2, b2,c2]. atau

a1 1 + a2 2 = x2 x1

b1 1 + b2 2 = y2 y1

c1 1 + c2 2 = z2 z1

berdasarkan teori persamaan linier, nilai 1 dan 2 ada determinan :

= 0

merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada satu titik. sedangkan persamaan bidang yang memuat kedua garis g1, g2 tersebut :

= 0

Jika nilai determinannya tidak sama dengan 0, maka kedua garis lurus tersebut bersilang.

Contoh Soal

Tunjukkan bahwa g1 : ( x 4 ) = = berpotongan dengan g2 : tentukan titik potong serta bidang yang memuat g1 dan g2 tersebut .

Jawab:

g1 : [x,y,z] = [ 4, -3, -1 ] + [1, -4, 7]

g2 : [x,y,z] = [1, -1, -10] + [2, -3, 8]

= = 0

Jadi g1 dan g2 berpotongan. titik potong diperoleh dari persamaan:

1 + 2 2 = -3

-4 1 32 = 2

7 1 + 8 2 = -9

cukup diambil dua persamaan saja, diperoleh 1 = 1, 2 = -2. titik potong diperoleh dengan memasukkan = 1 ke persamaan diperoleh [x0, y0, z0] = [4, -3, -1] + 1 [1, -4, 7] = [5, -7, 6]; sehingga potong : (5, -7, 6). (boleh juga dengan memasukkan = 2 = 2 persamaan g2).

bidang rata yang memuat g1 dan g2 mempunyai vektor arah [1, -4, 7] dan [2, -3, 8] serta melalui titik (4, -3, -1), Jadi persamaan vektorisnya : [x,y,z] =[4, -3,-1] + [1, -4, 7] + [2, -3, 8] atau bentuk liniernya (sesuai persamaannya (31)) :

= 0 11x - 6y - 5z 67 = 0

5. Kedudukan Garis Lurus Dan Bidang Rata

Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = [a, b, c] dan bidang rata V dengan vektor normal n = [A, B, C] maka :

1. garis lurus g sejajajr bidang rata V vektor arah garis tegak lurus normal bidang atau a.n = 0 atau aA + bB +cC = 0

1. garis lurus g tegak lurus bidang rata V vektor arah garis lurus = vektor normal bidang rata (atau kelipatannya) atau

1. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi an atau a.n = 0 atau aA + bB + cC = 0 dan sebarang titik P pada g harus terletak pula pada bidang V.

Latihan :

1. Tentukan persamaan garis potong bidang-bidang x y z = 1 dan 3x 3y +7z = 9 !

2. Carilah persamaan parametrik dan simetrik garis lurus yang melalui titik-titik (1, -2, 3) dan (4, 5, 6)!

3. Tentukanlah persamaan-persamaan vektor, parametrik dan simetrik untuk garis yang melalui titik A(3, -2, 4) dan B(5, 6, -2)!

4. Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 3, 2) serta tegak lurus bidang-bidang V1 = x +2y = 2z = 5 dan V2 = 3x + 5y + 2z = 8

5. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P (1, 0, -1) terletak pada bidang V = x +3y + z = 0 serta juga tegak lurus garis lurus g1 : x + 2y z = 3, 2y 3y +5z =1

Daftar PustakaSuryadi H.S, D. 1984.Serial Matematika dan Komputer Aski Teori dan Soal ILMU UKUR ANALITIK RUANG. Jakarta : Ghalia Indonesia.

Sukirman. 2009. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Edisi I. Jakarta : Penerbit Universitas Terbuka.

12