1

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub

Persamaan Parametrik

Kurva-kurva yang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan

parametrik. Dalam persamaan ini, setiap titik-titik pada kurva x dan y merupakan fungsi dari t.

Variabel t dinamakan parameter. Secara singkat ditulis:

x = x (t)

y = y (t)

Membuat Sketsa Kurva Persamaan parametrik

1. Gambarlah kurva persamaan parametrik: x = t, y = t2 untuk -4 ≤ t ≤ 4

Jawab

a. Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri dari kolom t, x dan y. Kemudian plot nilai-nilai x

terhadap y, untuk mempermudah dapat menggunakan perangkat lunak.

Tabel t, x dan y Kurva antara x dan y

t x = t y = t2

-4 -4 16

-3 -3 9

-2 -2 4

-1 -1 1

0 0 0

1 1 1

2 2 4

3 3 9

4 4 16

Kurva yang dihasilkan berupa parabola.

2. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = 2cos t dan y = 2 sin t untuk 0 ≤ t ≤ 2

Pertama-tama kita buat tabel yang terdiri dari kolom t, x dan y. Hasilnya ditunjukkkan pada tabel

dibawah ini

2

Tabel nilai t, x dan y

t x y

t x y

0.00 3.0000 0.0000 3.36 -2.9287 -0.6500

0.12 2.9784 0.3591 3.48 -2.8299 -0.9960

0.24 2.9140 0.7131 3.60 -2.6903 -1.3276

0.36 2.8077 1.0568 3.72 -2.5120 -1.6401

0.48 2.6610 1.3853 3.84 -2.2976 -1.9290

0.60 2.4760 1.6939 3.96 -2.0502 -2.1902

0.72 2.2554 1.9782 4.08 -1.7732 -2.4199

0.84 2.0024 2.2339 4.20 -1.4708 -2.6147

0.96 1.7206 2.4576 4.32 -1.1472 -2.7720

1.08 1.4140 2.6459 4.44 -0.8071 -2.8894

1.20 1.0871 2.7961 4.56 -0.4554 -2.9652

1.32 0.7445 2.9061 4.68 -0.0971 -2.9984

1.44 0.3913 2.9744 4.80 0.2625 -2.9885

1.56 0.0324 2.9998 4.92 0.6184 -2.9356

1.68 -0.3270 2.9821 5.04 0.9653 -2.8404

1.80 -0.6816 2.9215 5.16 1.2984 -2.7045

1.92 -1.0264 2.8189 5.28 1.6129 -2.5296

2.04 -1.3565 2.6758 5.40 1.9041 -2.3183

2.16 -1.6671 2.4942 5.52 2.1679 -2.0737

2.28 -1.9537 2.2766 5.64 2.4006 -1.7992

2.40 -2.2122 2.0264 5.76 2.5987 -1.4989

2.52 -2.4389 1.7470 5.88 2.7594 -1.1771

2.64 -2.6305 1.4425 6.00 2.8805 -0.8382

2.76 -2.7842 1.1172 6.12 2.9601 -0.4874

2.88 -2.8979 0.7759 6.24 2.9972 -0.1295

3.00 -2.9700 0.4234 6.28 3.0000 -0.0096

3.12 -2.9993 0.0648 6.28 3.0000 0.0024

3.24 -2.9855 -0.2947

3

Dalam menyajikan data-data nilai t, buatlah selisih antara nilai t cukup kecil supaya diperoleh

kurva yang smooth. Makin kecil, kurva makin smooth.

Kurva yang dihasilkan

Kurva yang dihasilkan berbentuk lingkaran.

3. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = cos t dan y = 2 sin 2t untuk 0 ≤ t ≤ 2

t x y

t x y

0.00 0.000000 0.000000

3.60 -0.44252 0.793668

0.20 0.198669 0.389418

3.80 -0.61186 0.96792

0.40 0.389418 0.717356

4.00 -0.7568 0.989358

0.60 0.564642 0.932039

4.20 -0.87158 0.854599

0.80 0.717356 0.999574

4.40 -0.9516 0.584917

1.00 0.841471 0.909297

4.60 -0.99369 0.22289

1.20 0.932039 0.675463

4.80 -0.99616 -0.17433

1.40 0.98545 0.334988

5.00 -0.95892 -0.54402

1.60 0.999574 -0.05837

5.20 -0.88345 -0.82783

1.80 0.973848 -0.44252

5.40 -0.77276 -0.98094

2.00 0.909297 -0.7568

5.60 -0.63127 -0.97918

2.20 0.808496 -0.9516

5.80 -0.4646 -0.82283

2.40 0.675463 -0.99616

6.00 -0.27942 -0.53657

2.60 0.515501 -0.88345

6.20 -0.08309 -0.1656

2.80 0.334988 -0.63127

6.40 0.116549 0.23151

3.00 0.14112 -0.27942 3.20 -0.05837 0.116549 3.40 -0.25554 0.494113

4

Kurva yang dihasilkan:

Mengubah Persamaan Parametrik Menjadi Persamaan Kartesian

1. Ubahlah persamaan parametrik ke dalam bentuk kartesian

a. x = t - 1, y = t2

b. x = 2cos t dan y = 2 sin t

Jawab

1. a. persamaan parametrik :

x = t – 1 t = x + 1

y = t2 y = (x + 1)

2 = x

2 + 2x + 1

persamaan kartesian : y = x2 + 2x + 1

Ini adalah persamaan kuadrat, kurvanya berupa parabola

b. persamaan parametrik : x = 2cos t dan y = 2 sin t

cos

2

xt

sin

2

yt

persamaan identitas: sin2t + cos

2t = 1

2 2

12 2

y x

2 2 4x y

Ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

X

y

5

Mengubah Persamaan Kartesian Menjadi Persamaan Parametrik

1. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian xy = 9

Jawab

Misal 3x t

9xy 3 9ty 3

yt

Jadi persamaan parametrik: 3x t ,3

yt

Catatan: bisa saja satu bentuk persamaan kartesian memiliki bentuk parametrik lebih dari satu.

Coba pikirkan, kenapa?

2. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian 26 1y x x

Jawab

Misal x = sin

26sin 1 siny

6sin cosy

3sin 2y

Jadi persamaan parametrik: x = sin, y = 3sin2

Atau

Misal x = cos

26cos 1 cosy

6cos siny

3sin 2y

Jadi persamaan parametrik: x = cos, y = 3sin2

3. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian 2 29 16 144!x y

6

Jawab:

2 29 16 144x y

2 2

116 9

x y Bandingkan dengan cos

2 + sin

2 = 1

22cos

16

x 4cosx

22sin

9

y 3siny

Jadi persamaan parametrik: x = 4cos, y = 3sin

Latihan

1. Gambarkan sketsa grafik persamaan parametrik berikut ini

a. x = 2t, y = t + 4, -2 ≤ t ≤ 3

b. x = 3t – 1, y = 3t2 + 2, -4 ≤ t ≤ 4

c. x = 3t, y = t2-3 untuk-3 ≤ t ≤ 3

d. x = 3t2, y = t

3 untuk-3 ≤ t ≤ 3

e. 2 4x t ,

312y t , untuk-3 ≤ t ≤ 3

f. 3 2 4x t t , 1y t , untuk-2 ≤ t ≤ 2

g. 2x t ,

1y

t , untuk-3 ≤ t ≤ 3

h. 4sinx , 4cosy , untuk 0 ≤ ≤ 2

i. 5cosx , 3siny , untuk 0 ≤ ≤ 2

j. secx , tany , untuk-3 ≤ ≤ 3

k. x = cost - 2cos2t, y = sint - 2cost sint, untuk -0 ≤ t ≤ 2

l. Persamaan Lemniscate Bernoulli

7

Untuk 0 ≤ t ≤ 2

m. x = 31cost - 7cos 31/7t, y = 17sin t – 7sin31/7t, untuk 0 ≤ t ≤ 14

n. x = 17cost + 7cos17/7t, y = 17sin t – 7sin17/7t, untuk 0 ≤ t ≤ 14

o. x = cost + 1/2cos7t + 1/3sin17t, y = sin t + 1/2 sin 7t + 1/3cos17t, untuk 0 ≤ t ≤ 2

2. Tentukanlah bentuk kartesian dari persamaan parametrik berikut ini

a. x = t + 4, y = 1-2t

b. x = t + 1, y = t2

- 2

c. 3

xt

, 4y t

d. x = t2, y = t

3

e. x = t2-1, y = t

3 + 2

f. x = t2,

2y

t

g. 1 t

xt

,

1 ty

t

h. x = 3cos, y = 4sin

i. x = sin, y = cos2

j. x = 3cos, y = 5cos2

k. x = 3sec, y = 3tan

l. 1

1

tx

t

, 2

1

ty

t

3. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian berikut ini

a.24y x x , misal x= 2cos

8

b. 21

xy

x

, gunakan 1 + tan2 = sec

2

c.

23 1 xy

x

, gunakan x = sin atau x = 1/t

4., Sederhanakan 2 2 6 4 12 0x y x y kedalam bentuk

2 2( ) ( ) 1x y kemudian

ubah kedalam bentuk persamaan parametrik

5. Sederhanakan 2 29 4 18 16 43 0x y x y kedalam bentuk

2 2

2 2

( ) ( )1

x y

a b

kemudian ubah kedalam bentuk persamaan parametrik

6. Dengan mensubtitusi y = tx, tunjukkan bahwa persamaan kartesian3 3 3x y xy dapat

dikonversi menjadi persamaan parametrik 3

1

tx

t

,

2

3

3

1

ty

t

7. Ambil contoh kasus gerak parabola seperti di ilustrasikan, gerak ini dapat diuraikan menjadi

dua komponen yaitu dalam arah x/horizontal dan dalam arah y/vertikal.

Berdasarkan konsep-konsep fisika, tentukan persamaan parametrik untuk

menentukankedudukan x dan y.

x

y

vo

9

SISTIM KOORDINAT KUTUB

Dalam bagian ini, kita akan mempelajari koordinat kutub dan hubungannya dengan koordinat

kartesian. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif suatu titik terhadap sumbu polar dan titik

kutub O (0,0). Titik pada koordinat kutub dinyatakan jari-jari dan sudut.

Dalam sistim koordinat polar titik asal O dinamakan kutub (pole) dan sumbu x dinamakan

sumbu kutub (polar axis).

Setiap titik pada koordinat kartesius diperoleh dari perpotongan antara x dan y, sedangkan titik

pada koordinat polar merupakan titik potong antara jari-jari lingkaran yang berpusat pada titik

kutub dan garis arah sudut.

Sistim Koordinat Kartesian Sistim Koordinat Kutub

P (r, )

O

r

x

Koordinat kutub :

P (r, )

r : jarak dari O ke P (arah dari O menuju P)

: sudut antara sumbu x dan garis OP

10

Koordinat Kutub

Sekarang kita belajar menyatakan posisi suatu titik dalam koordinat polar. Perhatikanlah

beberapa contoh titik-titik dibawah ini

Dalam gambar diatas ada dua lingkaran yang kecil berjari-jari 2 dan yang besar berjari-jari 3.

Dan juga terdapat dua garis lurus yang menunjukkan sudut diukur dari sumbu polar.

Titik A terdapat pada lingkaran kecil (r=2) dengan sudut /4 sehingga dapat dinyatakan

A (2, /4)

Titik B terdapat pada lingkaran besar (r=3) dengan sudut /2 sehingga dapat dinyatakan

B (3, /2). Coba lanjutkan untuk titik C, D, E dan F sebagai latihan.

Konversi koordinat kutub ke koordinat kartesius

P (r, )

O

r

x

y

x

y

Kartesius ke Kutub Kutub ke Kartesius

r2 = x

2 + y

2 x = r cos

= tan-1

(y/x) y = r sin

y

x

/4 3/4

5/4 7/4

2 3 1 -1 -2 -3

3

2

1

-1

-2

-3

A

B

C D

E

F

11

Contoh:

1. Ubahlah titik-titik dibawah ini ke bentuk kutub

a. (-3,-4)

b. (5,- 7)

2. Ubahlah titik-titik dibawah ini ke bentuk kartesius

a. (2, 1/3)

b. (-3, 4/3)

Jawab

a. Dari titik (-3, -4) diperoleh x = -3 dan y = -4

r2 = x

2 + y

2

= (-3)2 + (-4)

2

= 25

r = 5

= tan-1

(4/3) = 233o

Kartesius: (-3, -4), kutub: (5, 233o)

b. Dari titik (5, -7) diperoleh x = -3 dan y = -4

r2 = x

2 + y

2

= (5)2 + (-7)

2

= 25+ 49

= 71

r = 71

= tan-1

(-7/5) = 305,54o

Kartesius: (5, -7), kutub: ( 71 , 305,54o)

2. a. Dari titik (2, 1/3) diperoleh r = 2 dan = 1/3

x = r cos

= 2 cos1/3

= 2 1/2

= 1

12

y = r sin

= 2 sin1/3

= 2 1/2 3

= 3

Kutub (2, 1/3), kartesius: (1, 3 )

b. Dari titik (-3, 4/3) diperoleh r = -2 dan = 4/3

x = r cos

= -3 cos 4/3

= -3 (-1/2)

= 3/2

y = r sin

= 2 sin 4/3

= -3 (-1/2 3 )

= 3/2 3

Kutub (-3, 4/3), kartesius: (3/2, 3/2 3 )

Dalam sistim koordinat kartesius, setiap titik dinyatakan oleh x dan y secara spesifik artinya titik

berbeda, maka x dan y nya pun berbeda. Lain halnya dalam sistim koordinat kutub karena r

punya arah dan nilai punya acuan arah putar dan bersifat periodik sebesar 2 maka untuk titik

yang sama dapat dinyatkan oleh r dan yang berbeda-beda dengan jumlah representasi tak

berhingga.

Perhatikanlah contoh berikut

x /4

2 3 1 -1 -2 -3

y

2

1

-1

-2

A

13

Dalam sistim kartesius: A (2, 2)

Dalam sistim kutub:

A (2 2 , /4), A (2 2 , /4 + 2), A (2 2 , /4 + 4),… A (2 2 , /4 + 2n)

Boleh juga

A (2 2 , -7/4), A (2 2 , -7/4+2), A (2 2 , -7/4+4), …A (2 2 , -7/4+ 2n)

Boleh juga

A (-2 2 , 5/4), A (-2 2 , 5/4+2), A (-2 2 , 5/4+4), … A (-2 2 , 5/4+ n2)

Dengan n = 1, 2, 3,…

Mengkonversi persamaan kartesian ke kutub

1. Ubahlah persamaan berikut ke kutub

y = 3x- 8

jawab

ingat: x = r cos dan y = r sin

y = 3x- 8

r sin = 3r cos - 8

r sin - 3r cos = - 8

r (sin - 3 cos) = - 8

8

3cos sinr

2. Ubahlah persamaan berikut ke kutub

x2+ (y - 3)

2 = 9

jawab

x2+ (y - 3)

2 = 9

x2

+ y2

- 6y + 9 = 9

x2

+ y2- 6y = 0

r2 – 6 r sin = 0

14

r(r - 6 sin ) = 0

r - 6 sin = 0

r = 6 sin

Mengkonversi persamaan kutub ke kartesian

3. Ubahlah persamaan berikut ke kartesian

r cos = -4

jawab

r cos = -4

x = -4

4. Ubahlah persamaan berikut ke kartesian

r2 = 4r cos

Jawab

r2 = 4r cos

x2 + y

2 = 4x

x2 -4x + y

2 = 0

x2 -4x + 4 + y

2 = 4

(x - 2)2 + y

2 = 4

15

Membuat grafik pada sistim koordinat kutub

Buatlah grafik himpunan titik-titik koordinat polar dengan syarat-syarat berikut:

a. r = 2

b. -2 ≤ r ≤ 3

c. r ≤ 0, = 1/4

d. 1/4 ≤ ≤ 1/6

Jawab

Solusinya ditunjukkan pada gambar dibawah ini

Latihan

1. Manakah titik-titik koordinat polar berikut ini yang menunjukkan titik yang sama

x 2 3 1 -1 -2 -3

y

2

1

-1

-2

x 2 3 1 -1 -2 -3

y

2

1

-1

-2

-3

-3

a. b.

x

/4

2 3 1 -1 -2 -3

y

2

1

-1

-2

x

/4

2 3 1 -1 -2 -3

y

2

1

-1

-2

/6

c. d.

16

a. (3, 0)

b. (-3, 0)

c. (2, 2/3)

d. (2, 7/3)

e. (-3,)

f. (2, /3)

g. (-3, 2)

h. (-2, -/3)

2. Plot titik-titik koordinat polar berikut ini

a. (1, /6)

b. (-1, /6)

c. (2, /6)

d. (3, /6)

e. (2, /4)

f. (2, -/4)

g. (3, 5/6)

h. (-3, 10/4)

3. Konversi koordinat kartesius dibawah ini menjadi koordinat polar

a. (3, 4)

b. (-2, 3 )

c. (1, -2)

d. (10, - 2 )

e. (-5, 7)

f. (-6, -4 3 )

g. (-8, 6)

h. (12, -5)

4. Konversi koordinat polar dibawah ini menjadi koordinat kartesius

a. ( 2 , /4)

17

b. (0, /2)

c. (-3, 2/3)

d. (- 7 , 5/6)

e. ( 2 3 , -/4)

f. ( 2 , /4)

g. (0, /2)

h. (-3, 2/3)

5. Buatlah grafik dari himpunan titik-titik koordinat polar yang memenuhi syarat berikut ini

a. r = 4

b. = 2/3, r ≤ -2

c. = /3, -1 ≤ r ≤ 3

d. r = 2, 0 ≤ ≤

e. 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ ≤ /2

f. -3 ≤ r ≤ 2, = /4

g. r ≤ 0, = /4

h. 2/3 ≤ r ≤ 5/6

6. Konversi persamaan polar berikut ini menjadi persamaan kartesius

a. r cos = 4

b. r sin = -5

c. r cos + r sin = 1

d. r = cot csc

e. r = 2cos + 2 sin

f. r2 + r

2cos sin = 1

g. r2 sin 2 = 2

h. r = 2cos - sin

7. Konversi persamaan kartesius berikut ini menjadi persamaan polar

18

a. x = 7

b. x - y = 3

c. y = 5

d. x y= 2

e. x2 + y

2 = 5

f. x2 - y

2 = 1

g. x2 + xy + y

2 = 1