Outline

BAB 8. Persamaan Parametrik Kurva diBidang dan Sistem Koordinat Polar

Ilham Saifudin

Teknik InformatikaUniversitas Muhammadiyah Jember

31st December 2015

KALKULUS Ilham Saifudin

Outline

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG

Pengertian

Persamaan Elips dan Hiperbola

Turunan fungsi parametrik

SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius

Persamaan kurva dalam koordinat polar

KALKULUS Ilham Saifudin

Outline

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG

Pengertian

Persamaan Elips dan Hiperbola

Turunan fungsi parametrik

SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius

Persamaan kurva dalam koordinat polar

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

KALKULUS

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG

Pengertian

Persamaan Elips dan Hiperbola

Turunan fungsi parametrik

SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius

Persamaan kurva dalam koordinat polar

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Secara umum

1. Mengenali kurva di bidang yang dinyatakan dalam persamaanparametrik

2. Menyatakan kurva di bidang dalam persamaan parametrik

3. Menghitung turunan dan integral dengan menggunakan persamaanparametrik

Bentuk persamaan parametrikElips dan hiperbola merupakan kurva di bidang yang bukan merupakan

grafik dari suatu fungsi. Jadi, elips dan hiperbola tidak dapat dinyatakan

dalam persamaan y = f (x). Namun,dengan menggunakan parameter t , elips

dan hiperbola dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik x = f (t),

y = g(t), dengan t ∈ I, untuk suatu interval I.

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Secara umum

1. Mengenali kurva di bidang yang dinyatakan dalam persamaanparametrik

2. Menyatakan kurva di bidang dalam persamaan parametrik

3. Menghitung turunan dan integral dengan menggunakan persamaanparametrik

Bentuk persamaan parametrikElips dan hiperbola merupakan kurva di bidang yang bukan merupakan

grafik dari suatu fungsi. Jadi, elips dan hiperbola tidak dapat dinyatakan

dalam persamaan y = f (x). Namun,dengan menggunakan parameter t , elips

dan hiperbola dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik x = f (t),

y = g(t), dengan t ∈ I, untuk suatu interval I.

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Secara umum

1. Mengenali kurva di bidang yang dinyatakan dalam persamaanparametrik

2. Menyatakan kurva di bidang dalam persamaan parametrik

3. Menghitung turunan dan integral dengan menggunakan persamaanparametrik

Bentuk persamaan parametrikElips dan hiperbola merupakan kurva di bidang yang bukan merupakan

grafik dari suatu fungsi. Jadi, elips dan hiperbola tidak dapat dinyatakan

dalam persamaan y = f (x). Namun,dengan menggunakan parameter t , elips

dan hiperbola dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik x = f (t),

y = g(t), dengan t ∈ I, untuk suatu interval I.

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Secara umum

1. Mengenali kurva di bidang yang dinyatakan dalam persamaanparametrik

2. Menyatakan kurva di bidang dalam persamaan parametrik

3. Menghitung turunan dan integral dengan menggunakan persamaanparametrik

Bentuk persamaan parametrikElips dan hiperbola merupakan kurva di bidang yang bukan merupakan

grafik dari suatu fungsi. Jadi, elips dan hiperbola tidak dapat dinyatakan

dalam persamaan y = f (x). Namun,dengan menggunakan parameter t , elips

dan hiperbola dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik x = f (t),

y = g(t), dengan t ∈ I, untuk suatu interval I.

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Secara umum

1. Mengenali kurva di bidang yang dinyatakan dalam persamaanparametrik

2. Menyatakan kurva di bidang dalam persamaan parametrik

3. Menghitung turunan dan integral dengan menggunakan persamaanparametrik

Bentuk persamaan parametrikElips dan hiperbola merupakan kurva di bidang yang bukan merupakan

grafik dari suatu fungsi. Jadi, elips dan hiperbola tidak dapat dinyatakan

dalam persamaan y = f (x). Namun,dengan menggunakan parameter t , elips

dan hiperbola dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik x = f (t),

y = g(t), dengan t ∈ I, untuk suatu interval I.

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan Elips dan Hiperbola

KALKULUS

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG

Pengertian

Persamaan Elips dan Hiperbola

Turunan fungsi parametrik

SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius

Persamaan kurva dalam koordinat polar

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan Elips dan Hiperbola

Persamaan Elips dan Hiperbola

1. Persamaan cartesius elips dan hiperbola

1. x2

a2 + y2

b2 = 1

2. x2

a2 −y2

b2 = 1

2. Persamaan parametrik elips dan hiperbola

1. x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0, 2Π]

2. x = a cosh t , y = b sinh t , t ∈ R

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan Elips dan Hiperbola

Persamaan Elips dan Hiperbola

1. Persamaan cartesius elips dan hiperbola

1. x2

a2 + y2

b2 = 1

2. x2

a2 −y2

b2 = 1

2. Persamaan parametrik elips dan hiperbola

1. x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0, 2Π]

2. x = a cosh t , y = b sinh t , t ∈ R

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan Elips dan Hiperbola

Persamaan Elips dan Hiperbola

1. Persamaan cartesius elips dan hiperbola

1. x2

a2 + y2

b2 = 1

2. x2

a2 −y2

b2 = 1

2. Persamaan parametrik elips dan hiperbola

1. x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0, 2Π]

2. x = a cosh t , y = b sinh t , t ∈ R

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan Elips dan Hiperbola

Persamaan Elips dan Hiperbola

1. Persamaan cartesius elips dan hiperbola

1. x2

a2 + y2

b2 = 1

2. x2

a2 −y2

b2 = 1

2. Persamaan parametrik elips dan hiperbola

1. x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0, 2Π]

2. x = a cosh t , y = b sinh t , t ∈ R

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan Elips dan Hiperbola

Persamaan Elips dan Hiperbola

1. Persamaan cartesius elips dan hiperbola

1. x2

a2 + y2

b2 = 1

2. x2

a2 −y2

b2 = 1

2. Persamaan parametrik elips dan hiperbola

1. x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0, 2Π]

2. x = a cosh t , y = b sinh t , t ∈ R

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan Elips dan Hiperbola

Persamaan Elips dan Hiperbola

1. Persamaan cartesius elips dan hiperbola

1. x2

a2 + y2

b2 = 1

2. x2

a2 −y2

b2 = 1

2. Persamaan parametrik elips dan hiperbola

1. x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0, 2Π]

2. x = a cosh t , y = b sinh t , t ∈ R

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan Elips dan Hiperbola

Persamaan Elips dan Hiperbola

1. Persamaan cartesius elips dan hiperbola

1. x2

a2 + y2

b2 = 1

2. x2

a2 −y2

b2 = 1

2. Persamaan parametrik elips dan hiperbola

1. x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0, 2Π]

2. x = a cosh t , y = b sinh t , t ∈ R

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan Elips dan Hiperbola

Contoh

Persamaan parabola y = x2 dapat dinyatakan dalampersamaan parametrikx = t , y = t2 dengan t ∈ Rsebaliknya, persamaan parametrikx = t + 1, y = t2 + 1dapat dinyatakan dalam persamaan cartesius dengan caramengeliminasi t :t = x − 1 ⇒ y = (x − 1)2 + 1 = x2 − 2x + 2yang merupakan persamaan sebuah parabola.

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan Elips dan Hiperbola

Latihan

Buktikan dengan menggambar kurva bahwa kedua persamaanparametrik berikut merupakan persamaan yang memilikibentuk yang sama:

1. x = cos t , y = sin t , −Π

2 ≤ t ≤ Π

2

2. x =√

1 − t2, y = t , −1 ≤ t ≤ 1

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan Elips dan Hiperbola

Latihan

Buktikan dengan menggambar kurva bahwa kedua persamaanparametrik berikut merupakan persamaan yang memilikibentuk yang sama:

1. x = cos t , y = sin t , −Π

2 ≤ t ≤ Π

2

2. x =√

1 − t2, y = t , −1 ≤ t ≤ 1

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Turunan fungsi parametrik

KALKULUS

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG

Pengertian

Persamaan Elips dan Hiperbola

Turunan fungsi parametrik

SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius

Persamaan kurva dalam koordinat polar

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Turunan fungsi parametrik

Turunan fungsi parametrik

Misalkan f dan g mempunyai turunan yang kontinu danf ′(t) 6= 0. Maka persamaan parametrikx = f (t), y = g(t),menyatakan y sebagai sebuah fungsi dari x yang dapatditurunkan dengandydx =

dydtdxdt

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Turunan fungsi parametrik

Contoh

1. Diketahui x = 4 cos t , y = 5 sin t dengan 0 < t < 3.Tentukan dy

dx pada saat t = Π

4 .

2. Tentukan dydx dan garis singgung di titik θ = Π

3 untuk sikloidx = r(θ − sinθ) dan y = r(1 − cosθ)

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Turunan fungsi parametrik

Contoh

1. Diketahui x = 4 cos t , y = 5 sin t dengan 0 < t < 3.Tentukan dy

dx pada saat t = Π

4 .

2. Tentukan dydx dan garis singgung di titik θ = Π

3 untuk sikloidx = r(θ − sinθ) dan y = r(1 − cosθ)

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

KALKULUS

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG

Pengertian

Persamaan Elips dan Hiperbola

Turunan fungsi parametrik

SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius

Persamaan kurva dalam koordinat polar

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

PengertianSistem koordinat polar terdiri dari sumbu polar (berupa setengah garis , yang

berimpit dengan sumbu x positif pada bidang R2) dan titik asal O. Setiap titik

P pada bidang kemudian dinyatakan dengan jaraknya dari O, sebutlah r ,

besar sudut θ yang dibentuk oleh ruas garis OP dan sumbu polar dihitung

berlawanan arah dengan arah jarum jam. dapat kita tulis P = P(r , θ)

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius

KALKULUS

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG

Pengertian

Persamaan Elips dan Hiperbola

Turunan fungsi parametrik

SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius

Persamaan kurva dalam koordinat polar

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius

Jika P = P(r , θ), maka P dapat dinyatakan dalam koordinatcartesius sebagai P = P(x , y) denganx = r cos θ dan y = r sin θ.Sebaliknya, jika P = P(x , y), maka P dapat dinyatakan dalamkoordinat polar P = P(r , θ) denganr2 = x2 + y2 dan tanθ = y

x ,dengan Penafsiran nilai θ yang tepat untuk x = 0.

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan kurva dalam koordinat polar

KALKULUS

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG

Pengertian

Persamaan Elips dan Hiperbola

Turunan fungsi parametrik

SISTEM KOORDINAT POLAR

Pengertian

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius

Persamaan kurva dalam koordinat polar

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan kurva dalam koordinat polar

Persamaan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari R dapat dinyatakan

secara sederhana dalam koordinat polar sebagai r = R, 0 ≤ θ ≤ 2Π.

Persamaan setengah garis y = x dengan x > 0, dapat dinyatakan dalam

koordinat polar sebagai θ = Π

4 , r > 0

KALKULUS Ilham Saifudin

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG SISTEM KOORDINAT POLAR

Persamaan kurva dalam koordinat polar

Thank You

KALKULUS Ilham Saifudin