matematika untuk fisika
DESCRIPTION
Olimpiade FisikaTRANSCRIPT
Syamsu Rosid
Departemen Fisika, Universitas Indonesia
me = 9,1 x 10-31 kg 5 943 000 000 is 5.943 x109 dan untuk 0.0000832 is 8.32 x10-5.
Contoh: 102 x 105 = 107 103 x 10-8 = 10-5
Perkalian
Pembagian
Penjumlahan
mnmn xxx
mn
m
n
xx
x
nn xx /1
nmmn xx
2
2
2
1
1
)(
R
rGm
R
r
mG
rR
mGgg
00 222
2
2
xDxdt
xd
iDxiDiD 2,10
tAtxSolusi cos)(:
Aplikasi
mM
IR
gRT
pm
2
22
244
e = Euler’s constant = 2.718
Some useful properties of logarithms
Distance d between two points having coordinates (x1 , y1) and (x2 , y2) is
Circle
Ellips
Parabola with vertex at y = b
Rectangular Hyperbola
0)( ½
0 ½ ) (-
2
2
xLmgkx
kxxLmg
)(
0sin)2(sin2
diketahuiMdanm
mMmm
2
2
2
0
22
0
)(2
2
1
dmMv
MmkqQx
xd
kqQ
Mm
mMv
Diketahui gelombang EM dengan vector medan listrik E berbentuk:
Komponen-komponennya:
, maka
, maka
)(cosˆ)(cosˆ),( tkxzEtkxyEtxE ozoy
)cos(),( tkxEtxE oyy )cos( tkxE
E
oy
y
)cos(),( tkxEtxE ozz
sin)sin(cos)cos( tkxtkxE
E
oz
z
sin1cos
2
oy
y
oy
y
E
E
E
E
Kuadratkan kedua ruas diatas, menghasilkan:
Itu memenuhi persamaan Ellips dengan sumbu panjang membentuk sudut sebesar:
sin1cos
2
oy
y
oy
y
oz
z
E
E
E
E
E
E
2
22
sincos2
oz
z
oy
y
oy
y
oz
z
E
E
E
E
E
E
E
E
cos2
2tan22
ozoy
ozoy
EE
EE
Hukum Cosinus
Hukum Sinus
tm
kkAkxf
2cos3 2
Perhatikan sistem di samping. Ada benang melilit sebuah silinder dan ujung lain benang diikat ke dinding. Jarak dari titik ikat ke titik sentuh silinder dengan dinding adalah L. Jari-jari silinder adalah r. Anggap ada gesekan antara silinder dan dinding dengan koefisien gesek maksimum µ. Massa silinder adalah m.
• Anggap sistem setimbang. Hitung berapa tegangan benang T, gaya normal N dan gaya gesek f ! • Hitung berapa nilai minimum µ agar kesetimbangan
ini bisa tercapai! Nyatakan jawaban anda dalam variabel r, L, m dan g.
18
(total 9 poin) a. Perhatikan diagram gaya di samping (1 poin)
b. Kesetimbangan sumbu x : N = T sin . (1 poin)
Kesetimbangan sumbu y : f + T cos = mg. (1 poin)
c. Jumlah torka : fr = Tr. (1 poin) f = T.
d. Hubungan sudut (1 poin)
r
L
T f
N
mg
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
sin ; cos2 2
2sin ; cos
r L
r L r L
rL L r
r L r L
19
e. Dari persamaan persamaan di atas di dapat
(0,5 poin)
f. (1 poin)
g. (0,5 poin)
h. (2 poin)
2 2
22
r LT mg
L
N=r
Lmg
2 2
22
r Lf mg
L
2 2
2
f r L
N rL
20
Tentukan percepatan masing-masing benda yang ditunjukkan pada gambar jika nilai m1, m2 dan diberikan. Abaikan gesekan. (Soal seleksi kabupaten 2006)
21
Dari geometri, bisa diperoleh
Gaya yang bekerja pada sisi miring m2 mengarah tegak lurus permukaan miring ini (gaya normal).
Pers. gerak m1 diberikan oleh N cos(/2) = m1 a1
Pers. gerak m2 diberikan oleh m2 g − 2N sin (/2) = m2 a2
Dengan menyelesaikan ketiga persamaan ini, didapat
dan
22
Untuk x << 1
xx
xe
nxx
x
n
)1ln(
1
11
2R
mGg 2)( rR
mGgg
2
2221
1
1
R
r
R
mG
R
rR
mGgg
R
r
R
Gmgg 21
2
R
r
g
g
R
rgg 22
Dengan x dalam radian
Untuk x << 1
xx
x
xx
tan
1cos
sin
maF
2
2
sindt
dmmg
g
dt
d
2
2
02
2
g
dt
d
mg
mg sin
l
gT
g
22
GHS
0
)(2
)0(!
...)0("!2
)0(')0()(n
nn
fn
xf
xxffxf
Deret Maclaurin:
Adalah deret Taylor yang diekspansi disektar titik asal a = 0
0
)(
2
)(!
)(
...)("!2
)()(')()()(
n
nn
afn
ax
afax
afaxafxf
1
)(
n
n
naxdx
dy
axxy
dx
dyBBxAy
cxxbxxaxxy )()()( 3
cxxbxxxxxxaxxy )()33()( 3223
xbxxxxxaxyxxyy )33()()( 322
bxxxaxx
y
dx
dy
xx
]33[ 22
00limlim
baxdx
dy 23
cbxaxxy 3)(
y = ax3 dy = 3ax2 dx dy/dx = 3ax2
32cos sin 2
2N mg
02cos3sin2
02cos3sin2
2cos3sin2
2cos2.2
3sin2
0
mgd
dN
dmg
ddmgdN
d
dN
03sin2sin6
0sin213sin2
2
2
1 19sin 0,893
6
Jika potensial listrik
(x,y,z) = x2 + y2 + z2 = 9
Maka aliran arus listriknya:
yang arahnya tegak lurus bidang
R
h
R
r
g
g
gRRR
mG
dR
dg
dRR
mGdg
R
mGg
22
22
2
2
2
kz
jy
ix
ˆˆˆ
0
dz
zdy
ydx
xd
0. rd
Dua buah bola identik yang bermassa A dan B terhubung oleh sebuah batang yang sangat ringan jatuh dari posisi vertikal seperti pada gambar. Tentukan besar sudut sehingga gaya yang diberikan pada dinding vertikal oleh A bernilai maksimum. (Petunjuk: Gunakan turunan/diferensiasi untuk mencari nilai maksimum).
35
Misalkan di B, gaya yang diterima dinding vertikal adalah maksimum,
maka dari kekekalan energi mekanik,
(1)
Diagram benda bebas sistem saat di B adalah
36
A
B
sinL
L
2
2
11 sin
2
2 1 sin
B
B
mv mgL
v gL
F
F
w
Nx
r1
2
Untuk partikel 1 pada arah radial (2),
Untuk partikel 2 pada arah x (3),
Substitusi (1) dan (3) ke (2),
Agar bernilai maksimum, maka
37
2
1
2
sin
Br
B
vF m
L
vF mg m
L
2 0
cos 0
cos
xF
N F
N F
32cos sin 2
2N mg
2
2
0
2sin 3cos 2 0
2sin 3 1 2sin 0
6sin 2sin 3 0
dN
d
1 19sin 0,893
6
Sebuah peluru ditembakkan ke atap/langit-langit sebuah rumah dengan kecepatan awal vo dan membentuk sudut terhadap bidang datar (lihat gambar). Jika bentuk langit-langit rumahnya seperti ditunjukkan gambar, tentukan: a. sudut agar peluru bisa mencapai atap dalam waktu yang
sesingkat-singkatnya, b. waktu tempuh minimum dari peluru untuk mencapai atap
rumah c. syarat vo agar peluru bisa mencapai atap untuk berapapun
nilai sudut nya.
(Petunjuk: gunakan turunan/diferensiasi untuk mencari
nilai minimum, dimana a adalah konstanta) 38
i
x
x
iix
dxxfxxfLuasi
2
1
)()(lim0
cxdxxx
dxln1
)1(1
)1(1
1
1
1
2
1
2
1
nn
xxdxx
nCn
xdxx
nnx
x
n
nn
dengan u = x2 dan v = ex
dengan u = x dan v = ex
43433342 )()43( yxyxddyyxdxyx
kjiC
kjiB
kjiA
ˆ4ˆˆ3
ˆ2ˆ2ˆ
ˆˆ3ˆ2
• Operasi Vektor:
Penambahan
Selisih/pengurangan
Perkalian dot
Perkalian cross
sin
cos
BABA
BABA
kecepatan linier v = r sin . Jadi v = x r = kecepatan sudut. Luas daerah yang di sapu jika vektor posisi
r = (2t + 1) i + 3t2 j – 4k pada saat t = 2s adalah ...
T, N, dan B adalah vektor satuan
torsi; = curvature dari C pada titik tertentu
= 1/ = jari-jari curvature = 1/ = jari-jari torsi
TBds
NdN
ds
BdN
ds
Td
;;
dt
AdAmakatAJika
),(
Jika x = 3 cos t, y = 3 sin t, dan z = 4t. Tentukan:
a- vektor satuan tangen T
b- vektor satuan principal normal N,
c- curvature dan jejari curvature
d- vektor satuan binormal B,
e- torsion dan jejari torsion
Tentukan sudut antara kedua permukaan:
x2 + y2 + z2 = 9 dan z = x2 + y2 – 3 di titik (2, -1, 2)
Tunjukan bahwa F = (2xy + z3)i + x2 j + 3xz2 k adalah medan gaya konservatif. ◦ Tentukan potensial skalarnya
◦ Tentukan besarnya kerja yang dilakukan untuk menggerakan benda dari (1, -2, 1) ke (3, 1, 4)
Ketinggian sebuah bukit (dalam meter) dapat dinyatakan dalam bentuk:
h(x, y) = 10 (2xy – 3x2 – 4y2 – 18x + 28y + 12)
dimana x dan y dalam km, masing-masing dalam arah timur-barat dan utara-selatan. Tentukan:
a- posisi puncak bukit
b- ketinggian puncak bukit
c- kemiringan bukit di lokasi 1 km ke timur dan 1 km ke utara bukit ini; arah kemiringan di titik ini.