metode matematika untuk fisika

METODE MATEMATIKA UNTUK FISIKA

Oleh : Davit Sipayung

Pokok Bahasan :

1. Sistem Bilangan Real dan Operasi Hitungan

2. Bentuk Eksponen , Akar, Notasi Ilmiah, Simbol Matematika dan Logaritma

3. Persamaan Linear, Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat dan Pertidaksamaan

4. Deret Aritmatika, Deret Geometri dan Notasi Sigma

5. Geometri, Trigonometri dan Bilangan Kompleks

6. Irisan Kerucut

7. Limit dan Turunan

8. Deret Binomial Newton , Deret Taylor dan Deret Maclaurin

9. Integral

10. Matriks

2 Pembina Olimpiade Fisika

davitsipayung.blogspot.com

Newton adalah seorang ilmuwan fisika yang berhasil menjelaskan gerak benda ke dalam bentuk

formulasi matematika, yang kita kenal dengan hukum Newton. Matematika menjadi bahasa sains yang

banyak digunakan untuk menjelaskan gerak benda-benda. Kita dapat melakukan interpretasi fisika dari

persamaan gerak suatu benda. Misalnya, kita dapat menentukan bentuk lintasan gerak benda dari

persamaan posisi benda itu. Walaupun gerak benda tidak bisa dilihat secara langsung oleh mata , kita

tetap bisa mengetahui keadaan benda dari persamaan geraknya. Karena itu, penting untuk kita terlebih

dahulu belajar metode matematika untuk memudahkan dalam belajar sistem gerak benda. Kita akan

belajar materi matematika seperti aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus. Ada baiknya anda

terlebih dahulu menyelesaian pokok bahasan bab ini sebelum melangkah ke bab selanjutnya.

1. Sistem Bilangan Real dan Operasi Hitungan

Bilangan real

Bilangan real (nyata) adalah gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irrasional.

1. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk x/y di mana x, y bilangan

bulat dan 0y .

Contoh 1.1 :

Contoh bilangan rasional adalah 8 ; -2; 2/3; 1/9 0,999..... ; 12/9 0,1212... 0,12

2. Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk x/y di mana x,y

bilangan bulat dan 0y .

Contoh 1.2 :

Contoh bilangan irrasional adalah 2,34511... ; e = 2,71828...; 3,14159...

Barisan bilangan

1. Bilangan bulat : ...,-3, -2,-1,0,1,2,3,...

2. Bilangan cacah : 0,1,2,3,4,...

3. Bilangan asli : 1,2,3,4,...

4. Bilangan genap : ..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...

5. Bilangan ganjil : ..., -5, -3, -1, 1,3, 5, ...

Operasi hitungan

Empat operasi penting dalam aljabar :

1. penjumlahan x + y

2. pengurangan x - y

3. perkalian x × y, x·y atau xy

4. pembagian x : y , x

y , atau x/y

Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian :

1. Hukum komutatif

x + y = y + x dan xy = yx 2+3 = 3 + 2 dan 4 5 5 4

2. Hukum asosiatif

x + ( y + z ) = ( x + y ) + z 2 + (4+6) = (2 + 4) + 6

3. Hukum distributif

x ( y + z) = xy + xz 4(7+9) = 4 7 4 9

Sifat operasi pembagian :

:a c a b a d ad

b d c d b c bc



Contoh 1.3 :

5 12 5 3 15 5

6 3 6 12 72 24

3 3

6 3 6 6 2

x y x x x

y y y

Perkalian khusus :

a b c ab ac

a b c d ac ad bc bd

2 2 2 2a b a b a b a b ab

2 2 2 2a b a b a b a b ab

2 2a b a b a b

1.2 Bentuk Eksponen , Akar, Notasi Ilmiah, Simbol Matematika dan Logaritma

Bentuk Eksponen

Bentuk an menunjukkan perkalian bilangan a dengan bilangan itu sendiri sebanyak n kali.

Contoh 2.1 : 3a a a a 42 2 2 2 2 5x x x x x x

Sifat-sifat operasi pangkat :

1. 0 1 , jika 0a a 05 1

2. 1

, jika 0nn

a aa

2 22 2

1 13 , 3

3 3

3. m n m na a a 2 5 2 5 710 10 10 10

4. , jika 0m

m nn

aa a

a

44 2 2

2

1010 10

10

5. n

m mna a

3

2 2 3 6a a a

6. m m mab a b

2 2 22 2a a

7. , jika 0

m m

m

a ab

b b

3 33 3

3

4 44 a

a a

8. mn

n ma a 5 3 23 3 3

3 35 2a a a a a a

Contoh 2.2 :

5 35 3

32 3 2

2

4 4 4 44

4 464 2

4

14 4 41 3 5 12 22 2 2 10 22 2 2 2

32 322 2

x y x yx y x y x y

x y x y

Contoh 2.3 :

Salah satu aplikasi operasi pangkat dalam mekanika adalah menentukan dimensi suatu besaran. M, L,

dan T berturut-turut adalah dimensi massa, panjang, dan waktu dalam mengukur viskositas.

Sederhanakan dimensi viskositas di bawah ini!



2 1

2:

MLT LT

LL

Penyelesaian : 2

1 22

MLTML T

L

dan 1

1LTT

L

2 11 2 1 1 1

2: :

MLT LTML T T ML T

LL

Persamaan pangkat : ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x

Contoh 2.4 :

Hitung nilai x pada persamaan berikut ini!

a. 22 4x

b. 3 2x xL L L

c. 19 1

243 3

x

x

Penyelesaian :

a. 2 22 2x 2 2x

Nilai x adalah x = 4.

b. 3 2 3x x xL L L 3 3x

Nilai x adalah x = 1.

c. 2( 1)

5

33

3

xx

1

5

33

3

xx

63 3x x Jadi ,

6x x 3x

Bentuk akar

Jika xn = y, maka nx y .

Contoh 2.5 :

11

2 2 224 4 4 2 2

1 14 44 416 (16) (2 ) 2

1

13 33 327 27 3 3

Akar pangkat dua dari suatu bilangan a umumnya dituliskan dengan a .

Sifat-sifat operasi akar :



1. n n na x b x a b x

2. n

n x x

3. nn nxy x y

4. n

nn

x x

y y

5. mm

n nm nx x x

6. n m mnx x

Contoh 2.6 :

Penggunaan sifat-sifat operasi akar :

1. 5 3 2 3 5 2 3 7 3 , 6 5 3 5 6 3 5 3 5

2. 2 3

34 4 , 5 5

3. 33 5 3 5 23 3 312 4 3 2 3 , x y x y xy y

4. 9 9 3

2 2 2

3 3

33

9 9 9

64 464

5. 44

33 34 3 48 8 2 2 16

6. 3 46 3 123 3, 13 13

Contoh 2.7 :

12 27 48 2 3 3 3 4 3 3

125 20 45 5 5 2 5 3 5 0

Contoh 2.8 :

Rasionalkan penyebut dari bentuk akar di bawah ini !

a. 2

3

b. 3

2 1

Penyelesaian:

a. 2 2 3 2 3

33 3 3

b. 3 2 1 3( 2 1)

3( 2 1)2 12 1 2 1

Notasi Ilmiah

Bilangan yang sangat kecil dan sangat besar dapat ditulis menggunakan notasi ilmiah untuk

memudahkan dalam penulisannya. Misalnya, kecepatan cahaya adalah 3×108 m/s, massa elektron

adalah 9,109 × 10−31

kilogram, dan massa Bumi adalah 5,9742 × 1024

kilogram.

Bentuk umum notasi ilmiah :

10na

di mana 1 10a dan 10n disebut orde.



Contoh 2.9 : Jari-jari Bumi adalah R = 6.400.000 m = 6,4 × 10

6 m

Konstanta gravitasi universal adalah G = 0,0000000000667 Nm2/kg

2 =6,67×10

-11 Nm

2/kg

2

4 7 42,31 10 5 10 m 1,155 10 m

Simbol Matematika

a b artinya a sama dengan b

a b artinya a lebih besar dari b

a b artinya a jauh lebih besar dari b

a b artinya a lebih kecil dari b

a b artinya a jauh lebih kecil dari b

a b artinya a mendekati dengan b

a b artinya a mendekati sama dengan b

a b artinya a sebanding dengan b

a b artinya a identik dengan b

a artinya positif atau negatif a

Logaritma

Bentuk umum logaritma :

logx aa b b x

di mana a > 0, a 1 dan b > 0 .

Bilangan a disebut sebagai bilangan basis/pokok.

Contoh 2.10 : 22 3 log3x x

33 2 log2b b

2 log4 4 2 2xx x

2log100 2 100 10a a a

Sifat-sifat logaritma :

1. log 1a a

2. log 1 0a

3. loga na n

4. log log loga a abc b c

5. log log loga a abb c

c

6. log loga m ab m b

7. log logna m am

b bn

8. log

loglog

ca

c

bb

a

9. log logn

a n ab b

Contoh 2.11 :

Penggunaan sifat-sifat logaritma :

1. 5 log 5 1



2. 100 log 1 0

3. 3 4log 3 4

4. 2 2 2 2log 2 log 2 log 1 logx x x

5. 2 2 2 24log log 4 log9 2 log9

9

6. 6 2 6log3 2 log 3

7. 33 2 32

log4 log 43

8. 7

57 7

log 7 1log7

log5 log5

9. 2

3 2 3 2log 9 log3 4

Contoh 2.12 :

Hitung nilai x untuk persamaan berikut ini ! 2 2 5 15 3x x

Penyelesaian : 2 2 5 1log5 log3x x

2 2 log5 5 1 log3x x

2log5 5log3 log3 2log5x

log3 2log5

5log3 2log5x

Logaritma dibedakan menjadi dua bagian berdasarkan nilai basisnya :

Logaritma biasa memiliki bilangan basis adalah 10. 10 10log100 log100 , log 2 log100

Jika bilangan basis adalah 10 , maka tidak perlu dituliskan.

Logaritma natural memiliki bilangan basis adalah bilangan natural (e = 2,71828182....)

log lne b b

Cara membaca ln b adalah Lon b. Bentuk eksponen lnx b adalah expxb e x . Sifat

logaritma natural sama dengan sifat logaritma biasa hanya mengganti notasi log menjadi ln.

Contoh 2.13 : 3ln 3x x e

Gbr. 1.1 : Kurva eksponensial

x

y

y = exp x

y = ln x

1

1 x

y

y = exp - x

1



0 00 0

ln atau exp( )kt ktv vkt e v v e v kt

v v

3. Persamaan Linear, Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat dan Pertidaksamaan

Persamaan Linear

Persamaan linear memiliki variabel –variabel hanya pangkat satu. Persamaan linear dengan variabel x

dan y dapat dituliskan dalam bentuk umum : 0ax by c

atau y m x c

di mana m dan c adalah konstanta yang dapat bernilai positif dan negatif. Konstanta c sebagai titik

potong sumbu y di x = 0. Konstanta m dinamakan kemiringan garis atau disebut gradien. Gradien

adalah rasio perubahan y terhadap perubahan x. Gradien garis yang menghubungkan titik (x1 ,y1) dan

titik (x1 ,y1) adalah

2 1

2 1

y yym

x x x

Gradien dari persamaan garis 0ax by c adalah /m a b . Perhatikan Gbr. 1.3 bahwa garis

mendatar mempunyai gradien nol, garis yang naik mempunyai gradien positif, dan garis yang turun

mempunyai gradien negatif. Gradien untuk garis tegak tidak terdefenisi.

Dua buah garis dengan gradien m1 dan m2 sejajar jika m1 = m2.

Gbr. 1.3 : Nilai gradien garis

x

y

Gradien positif

Garien negatif

Garien nol

Garien tak

terdefenisi

y

∆y

∆x

x1 x2

y1

y2

m

y = mx+c

x

Gbr. 1.2 : Kurva persamaan linear y = m x + c



Dua buah garis dengan gradien m1 dan m2 tegak lurus jika 1 2 1m m

Persamaan garis dengan gradien m melaui titik (x1 ,y1) :

1 1y y m x x

Persamaan garis yang melaui titik (x1 ,y1) dan titik (x2 ,y2) :

1 1

2 1 2 1

y y x x

y y x x

Titik tengah garis yang menghubungkan titik A(x1 ,y1) dan titik B(x2 ,y2) :

1 2 1 2,2 2

x x y y

Jarak antara titik A(x1 ,y1) dan titik B(x2 ,y2) :

2 2

2 1 2 1d x x y y

Jarak titik (x1 ,y1) ke garis 0ax by c :

1 1

2 2

ax by cd

a b

Contoh 3.1 :

a. Tentukan gradien garis yang melalui titik A (2,2) dan titik B (4,8)!

b. Tentukan persamaan garis f yang memiliki gradien -3 dan melalui titik (2,3)!

c. Tentukan persamaan garis g yang melalui titik A (2,-1) dan titik B (0,3)!

d. Gambarkan persamaan garis y = 2x - 4 dalam koordinat kartesian!

Penyelesaian :

a. Misalkan titik A (x1 ,y1) = A(2,2) dan titik B (x2 ,y2) = B(4,8). Gradien garis yang melalui titik A

dan titik B adalah

2 1

2 1

8 23

4 2

y ym

x x

b. Misalkan titik A (x1 ,y1) = A (2,3) dengan gradien m = -3. Persamaan garis f adalah

1 1y y m x x

3 3 2y x

3 9y x

c. Misalkan titik A (x1 ,y1) = A(2,-1) dan titik B (x2 ,y2) = B (0,3).

Persamaan garis g adalah

( 1) 2

3 ( 1) 0 2

y x

1 2 2y x

2 3y x

d. Untuk mendapatkan grafik dari persamaan linear, kita terlebih dahulu menentukan titik potong

garis pada sumbu x dan sumbu y. Titik potong garis pada sumbu x ketika y = 0 adalah di titik ( 2,0).

Titik potong garis pada sumbu y ketika x=0 adalah di titik (0,-4). Letakkan kedua titik ini dalam

koordinat kartesian, kemudian tarik garis yang menghubungkan kedua titik ini.



Contoh 3.2 :

Tentukan titik potong antara garis x + 2y = 5 dan 2x - 4y = -6 !

Penyelesaian :

Titik potong (x,y) akan melalui kedua persamaan garis ini. Titik ini diperoleh dengan menyelesaikan

persamaan-persamaan ini secara simultan.

x = 5-2y

Sehingga,

2(5-2y ) - 4y = -6

Kita akan memperoleh bahwa titik potong kedua garis ini adalah (1,2).

Persamaan Kuadrat

Sebuah persamaan yang mengandung suatu variabel berpangkat dua dinamakan persamaan kuadrat.

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 2 0a x bx c

dengan a,b, dan c adalah konstanta dengan 0a . Solusi atau akar-akar persamaan kuadrat adalah

2

1,2

4

2

b b acx

a

dengan

2

1

4

2

b b acx

a

dan

2

2

4

2

b b acx

a

Rumus diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah 2 4D b ac

Dari nilai diskriminan dapat diketahui jenis-jenis akar-akar persamaan kuadrat:

Jika D>0, kedua akarnya real dan berbeda

Jika D=0, kedua akarnya real dan sama

Jika D<0, kedua akarnya imajiner

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah

1 2 0x x x x

21 2 1 2 0x x x x x x

Contoh 3.3 :

Tentukan akar-akar dari persamaan di bawah ini!

a. 22 5 3 0x x

b. 21

2( ) 0kx mg L x

c. 122

2cos cos 1 0

Gbr. 1.4 : Kurva persamaan garis y = 2x -4

x

y

2

-4

y = 2x-4



d. 4 213 36 0t t

e. 6 0t t

Penyelesaian :

a. Konstanta a = 2, b = -5, dan c = -3. Akar-akar persamaan kuadrat 22 5 3 0x x adalah

22

1,2

( 5) ( 5) 4(2)( 3)4 5 7

2 2(2) 4

b b acx

a

Kita mendapatkan bahwa 1

5 73

4x

dan

2

5 7 1

4 2x

b. Persamaan kuadrat 21

2( ) 0kx mg L x dapat dituliskan menjadi

212

0kx mg x mgL

2 2 2 0kx mg x mg L

Konstanta a = k, b = -2mg, dan c = -2mgL. Karena itu,

22

1,2

2 ( 2 ) 4( )( 2 )4

2 2

mg mg k mgLb b acx

a k

2 2

1,2

2mg m g mgkLx

k

c. Persamaan kuadrat ini memiliki variabel cosβ. Konstanta a = 2, b =1/2 , dan c = -1. Karena itu,

21 122 2

1,2

( ) 4(2)( 1)4cos

2 2(2)

b b ac

a

1 12 4

1,2

8 1 1cos 33

4 8 8

d. Persamaan ini dapat diubah ke dalam bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan x = t2.

Sehingga, 2 13 36 0x x

4 9 0x x

Jadi x = 4 dan x=9. Karena x= t

2, sehingga t

2 = 4 dan t

2 = 9, menghasilkan

2 dan 3t t

e. Persamaan ini dapat diubah ke dalam bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan x = t .

Sehingga, 2 6 0x x

2 3 0x x

Jadi x = 2 dan x= -3.

Karena x = t , dan t tidak pernah negatif, sehingga solusi yang memenuhi adalah x = 2,

menghasilkan t = 4.

Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah 2( )y f x a x bx c

dengan a, b, dan c adalah konstanta dan 0a .



Rumus persamaan sumbu simetri adalah

2p

bx

a

Nilai maksimum dan minimum (nilai ekstrim) suatu fungsi kuadrat adalah

2 4

4 4p p

D b acy y x

a a

Bentuk kurva fungsi kuadrat dinamakan parabola.

Jika a >0 , parabola akan terbuka ke atas sehingga mempunyai titik balik minimum .

Jika a <0 , parabola akan terbuka ke bawah sehingga mempunyai titik balik maksimum.

Diskriminan dari fungsi kuadrat adalah 2 4D b ac

Dari nilai diskriminan dapat diketahui kedudukan kurva fungsi kuadrat :

Jika D>0, kurva memotong sumbu x di dua buah titik (x1,0) dan (x2,0).

Jika D=0, kurva menyinggung di sebuah titik pada sumbu x di titik (x1,0) .

Jika D<0, kurva tidak memotong sumbu x.

Menggambar kurva fungsi kuadrat

Gambarkan kurva fungsi kuadrat 2 4 3y x x ke dalam koordinat kartesian.

Titik potong fungsi kuadrat pada sumbu x ketika y = 0. 2 4 3 0x x

1 3 0x x

Kita akan mendapatkan bahwa x1 =3 dan x2 =1.

Titik potong fungsi pada sumbu x di titik (x1,0) dan (x2,0) adalah (3,0) dan (1,0).

Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y ketika x = 0. 20 4(0) 3 3y

Jadi, titik potong pada sumbu y adalah (0,3)

Titik balik fungsi kuadrat (titik maksimum atau titik minimum )

Gbr.1.6 : Kurva fungsi kuadrat ditinjau nilai a dan D

x

y a > 0

D> 0

a > 0

D = 0 a > 0

D<0

a < 0

D> 0 a < 0

D = 0 a < 0

D < 0

Gbr.1.5 : Kurva fungsi kuadrat 2( )y f x ax bx c

x1 x2 xp x

y

c

yp

Titik balik ( xp,yp )

2y ax bx c

Sumbu simetri x=xp



Axis titik balik disebut juga sumbu simetri,

( 4)2

2 2(1)p

bx

a

Ordinat titik balik disebut juga nilai maksimum atau minimum, 2 24 ( 4) 4(1)(3)

14 4 4(1)p

D b acy

a a

atau 2( ) 2 4(2) 3 1p py x

Titika balik kurva (xp ,yp) adalah (2,-1)

Masukkan titik-titik (x1,0), (x2,0) dan (xp ,yp) ke dalam koordinat kartesian .

Membentuk fungsi kuadrat

Jika kita mengetahui grafik fungsi kuadrat, maka kita dapat membentuk persamaan fungsi kuadrat

tersebut. Berikut metode untuk membentuk persamaan kuadrat.

1. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di titik (x1,0) dan (x2,0) serta melalui suatu titik (x3,y3).

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk :

1 2y a x x x x

Nilai a diperoleh dengan mensubstitusi nilai titik (x3,y3) ke persamaan fungsi kuadrat ini.

2. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xp,yp ) dan melalui suatu titik (x1,y1).

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk :

2

p py a x x y

Nilai a diperoleh dengan mensubstitusi nilai titik (x1,y1) ke persamaan fungsi kuadrat ini.

3. Grafik fungsi kuadrat melalui titik (x1,y1), (x2,y2) dan (x3,y3).

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk : 2y ax bx c

Nilai a,b dan c diperoleh dengan mensubstitusi nilai titik (x1,y1), (x2,y2) dan (x3,y3) ke persamaan

fungsi kuadrat ini.

Hubungan garis y mx n dan parabola 2y a x bx c adalah

2mx n ax bx c

2 0ax b m x c n

Nilai D dari persamaan ini adalah

2

4D b m a c m

Jika:

D > 0, garis memotong parabola di dua titik

D = 0, garis memotong parabola di satu titik (hanya menyinggung parabola)

D < 0, garis dan parabola tidak berpotongan

Gbr.1.7 : Kurva fungsi kuadrat 2 4 3y x x

1 3 2 x

y

c

-1

Titik balik ( 2,1 )

2 4 3y x x

Sumbu simetri x=2



Contoh 3.4 :

Tentukan persamaan fungsi kuadrat dari kurva di bawah ini!

Penyelesaian :

a. Grafik fungsi kuadrat y(x) memotong sumbu x di titik (x1,0) = (1,0) dan (x2,0) = (4,0) dan melalui

titik (x3,y3) = (4,0). Persamaan fungsi kuadratnya adalah

1 2y a x x x x

1 4y a x x

Substitusikan nilai (0,4) ke persamaan ini, maka kita akan memperoleh

4 0 1 0 4a

1a

Jadi, persamaan fungsi kuadrat Gbr.1.8a adalah

1 4y x x

2 5 4y x x x

b. Grafik fungsi kuadrat y(t) memiliki titik balik (yp,tp ) =(1,5) dan (y1,t1) = (0,0). Persamaan fungsi

kuadratnya adalah

2

p py a t t y

2

1 5y a t

Substitusikan titik (0,0) ke persamaan ini, maka kita akan memperoleh

2

0 0 1 5a

5a

Jadi, persamaan fungsi kuadrat Gbr.1.8b adalah

2

5 1 5y t

25 10y t t t

Pertidaksamaan

Sifat-sifat pertidaksamaan :

1. Jika a < b , maka a + c > b + c

2. Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d

3. Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc

4. Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc

5. Jika a < b, maka an < b

n tetapi n na b

6. Jika 0 < a < b maka 1 1

a b

Contoh 3.5 :

Selesaikan solusi pertidaksamaan berikut ini !

x

y

1 4

4

Gbr.1.8a : Soal 1.3.4a

1

y(m)

Gbr.1.8b : Soal 1.3.4b

t(s)

5

0



a. 2t-5 > 4t-2

b. t2 - t >2

c. 1

02

t

t

Penyelesaian :

a. 2t-5 > 4t-2 (tambahkan 5 )

2t > 4t + 3 (tambahkan -4t)

-2t > 3 (kalikan dengan -1/2)

t < -3/2

b. Nolkan ruas kanan

t2 - t -2 > 0

Temukan faktor dari persamaan kuadrat dan masukkan akar-akarnya ke dalam garis bilangan.

( t+1)(t -2 > 0

Ambil titik-titik uji -2, 0, 3 ( sembarang titik pada ketiga selang tersebut yang memenuhi).

Titik uji Nilai (t+1)(t-2) Tanda

-2 4 +

0 -2 -

3 4 +

Kita simpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan t2

- t >2 adalah selang yang

bernilai positif, yaitu t < -1 dan t > 2.

c. Masukkan faktor dari pertidaksamaan 1

02

t

t

ke dalam garis bilangan dan tentukan tanda titik

uji.

Untuk t=2 , pertidaksamaan ini tidak terdefenisi sehingga bukan menjadi himpunan penyelesaian.

Kita simpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1

02

t

t

adalah selang yang

bernilai negatif , yaitu 1 2t .

Contoh 3.6 :

Tentukan solusi yang memenuhi dari kedua pertidaksamaan 2 2t dan 2 2 1t .

Penyelesaian : 2 2 2 2 1t t

4 1/ 2t t

Solusi dari kedua pertidaksamaan ini adalah irisan dari kedua solusi pertidaksamaan ini, yaitu

4t

Nilai mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan oleh |x|, didefenisikan sebagai

| | jika 0

| | jika <0

x x x

x x x

Contoh 3.7 :

| 8 | 8 , | 0 | 0 , | 7 | 7 7

| 2 | 8 2 8 atau - 2 8x x x

-1 -2

+++ --- +++

-1 -2

+++ --- +++



Sifat-sifat nilai mutlak :

1. ab a b

2. aa

b b

3. a b a b

4. a b a b

5. 2x x

6. x a x a

7. x a a x a

8. danx a x a x a

9. 2 2x x

10. 2 2x y x y

4. Deret Aritmatika, Deret Geometri dan Notasi Sigma

Deret Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan yang selisih dua suku berdekatan selalu sama. Penjumlahan dari

barisan aritmatika disebut sebagai deret aritmatika.

Bentuk umum barisan aritmatika :

1 2 3 4, , , , ....U U U U , , 2 , 3 , ....a a b a b a b

dengan 2 1 4 3 1n nb U U U U U U .

Contoh 4.1 :

Barisan aritmatika

2, 4, 6, 8,..... b = 4-2 = 6-4 = 2

20, 15, 10, 5, .... b = 15-20 = 10-15= -5

Deret aritmatika

2 + 4 + 6 + 8 + .....

20 + 15 + 10 + 5+ ....

Rumus barisan aritmatika:

1. Rumus suku ke-n adalah 1nU a n b

2. Rumus jumlah n suku pertama adalah 2 12 2n n

n nS a U a n b

Gbr. 1.9 : Kurva fungsi mutlak

y = |x| 1

y = |x-1|

y

x



dimana :

a adalah suku pertama, n adalah jumlah suku, b adalah beda, Un adalah suku ke-n, dan Sn adalah

jumlah suku n pertama.

Contoh 4.2 :

a. Tentukan suku ke-8 dan suku ke-17 dari barisan berikut ini !

20, 15, 10, 5, ....

b. Tentukan jumlah dari dua puluh suku pertama dari deret berikut ini!

3 + 6 + 9 + 12 + ...

Penyelesaian :

a. Suku pertama a =20. Beda dari barisan ini adalah b = 15 - 20 = - 5.

Suku ke-8 adalah 8 20 8 1 5 20 35 15U

Suku ke-17 adalah 17 20 17 1 5 20 80 60U

b. Suku pertama a =3. Beda dari barisan ini adalah b = 6 - 3 = 3

Jumlah dua puluh suku pertama adalah

20

202 3 20 1 3 630

2S

Deret Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang perbandingan suatu suku dengan suku sebelumnya selalu tetap.

Penjumlahan dari barisan geometri disebut sebagai deret geometri.

Bentuk umum :

1 2 3 4, , , , ....U U U U 2 3, , , , ....a ar ar ar

dengan 2 4

1 3 1

n

n

UU Ur

U U U

.

Contoh 4.3 :

Barisan geometri

1, 2, 4, 8,.....

27, 9, 3, 1,....

Deret geometri

1+ 2 + 4 + 8+ .....

27 + 9 + 3 + 1 + ....

Rumus barisan geometri :

1. Rumus suku ke-n adalah 1nnU ar

2. Rumus jumlah n suku pertama adalah 1

1

n

n

a rS

r

di mana :

a adalah suku pertama, n adalah jumlah suku, r adalah rasio (nilai perbandingan)

Un adalah suku ke-n, Sn adalah jumlah suku n pertama.

Contoh 4.4 :

a. Tentukan suku ke-8 dan suku ke-11 dari barisan berikut ini :

3, 9, 27, 81, ...

b. Tentukan jumlah dari delapan suku pertama dari deret berikut ini : 4 8 16 32 64

Penyelesaian :

a. Suku pertama a =3. Rasio dari barisan ini adalah 9/3 3r



Suku ke-8 adalah 8 1 78 3 3 6581U ar

Suku ke-12 adalah 11 1 1011 3 3 177147U ar

b. Suku pertama a =2. Rasio dari barisan ini adalah 2r

Jumlah dari delapan suku pertama adalah

8 8

9

1 4 2 11.020

1 2 1

a rS

r

Jumlah Deret tak berhingga

Jumlah deret tak berhingga dari setiap deret dengan 1 1r dinyatakan oleh

1

aS

r

Contoh 4.5 :

a. 1 1 1

12 4 8

11 dan

2a r

12

12

1 1

aS

r

b. 2 31 e e e , dengan (0 < e <1).

1 dana r e

1

1 1

aS

r e

Notasi Sigma

Suatu deret dapat dinyatakan dalam notasi sigma. Notasi sigma disimbolkan dengan .

Bentuk umum notasi sigma : n

ii m

a

dimana k,m dan n adalah bilangan bulat.

Contoh 4.6 :

1 2 3 41

n

i ni

a a a a a a

4

0

2 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1 3 5 7i

i

62 2 2 2 2 2 2

1

2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6i

i

2 2 2 2 2 2

1

1 1 2 3 4 1n i n

i

i n

1

1 1 1 1

1 1 1 1 2 2 1 3 3 1k k k

Sifat-sifat notasi sigma :

Untuk bilangan bulat a, b dan n berlaku bahwa :

1. 1

1n

k

n



2. ( )b b

k kk a k a

c a c a

3. ( )b b b

k k k kk a k a k a

a b a b

4. ( )b b b

k k k kk a k a k a

a b a b

5. n pn

k k pk m k m p

a a

Contoh 4.7 :

1. 5

1

1 5k

2. 6 6

1 1

2 2 2 2k k

k k

3. 8 8 8

2 2

3 3 3k k k

k k k k

4. 4 10 10

3 3 3

1 5 1

( 1) ( 1) ( 1)k

k k k

5. 6 10 2 1222 2

2 2 2 0

1 2 1 4 5n n n

n n n n

5. Geometri, Trigonometri dan Bilangan Kompleks

Geometri

Penyiku suatu sudut

Sudut α dan β dikatakan berpenyiku jika α + β = 900. Sudut yang dibentuk oleh α + β adalah siku-

siku.

Pelurus suatu sudut

Sudut α dan β dikatakan berpelurus jika α + β = 1800. Sudut yang dibentuk oleh suatu garis adalah

1800.

Sifat-sifat garis sejajar

Dua garis l dan g berpotongan di titik A dan B.

1

A B

2

3

3

4

3

1 2

3

3

4

3

α β

β α



1. Sudut sehadap

1 1 2 2 3 3 4 4, , ,A B A B A B A B

2. Sudut bertolak belakang

1 3 2 4 1 3 2 4, , ,A A A A B B B B

3. Sudut dalam berseberangan

1 3 4 2,A B A B

4. Sudut luar berseberangan

2 4 3 1,A B A B

5. Sudut dalam sepihak

1A dan 2B disebut sudut dalam sepihak ,

1A +2B = 180

0

4A dan 3B disebut sudut dalam sepihak ,

4A +3B = 180

0

6. Sudut luar sepihak

1A dan 2B disebut sudut luar sepihak ,

2A +1B = 180

0

4A dan 3B disebut sudut luar sepihak ,

3A +4B = 180

0

Jumlah sudut segi-n

Jumlah sudut segitiga = 1800

a + b + c =1800

Jumlah sudut segiempat = 2×180

0 = 360

0

Jumlah sudut segilima = 4×1800 = 540

0

Jumlah sudut segienam = 5×1800 = 720

0

Hubungan sudut dan garis-garis yang saling tegak lurus :

Kesebangunan segitiga

1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

Garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran

1a

1b

1c

2c

2a

2b

θ

θ

a

b

c

a

b



Garis yang menyinggung lingkaran membentuk sudut 900 terhadap garis yang menghubungkan titik

singgung dengan pusat lingkaran itu.

Sudut keliling dan sudut pusat

Sudut pusat (θ) sama dengan dua kali sudut keliling (α). 2

Rumus-rumus geometri :

Segitiga

Jajaran genjang

Trapesium

Lingkaran

Silinder tegak

Keliling = 2πr

Luas = πr2

r

Luas = 2

a bt

a

t

b

a

t Luas = at

a

b

θ

c

t

Luas =1 1

sin2 2

at ab

C

A

B

θ α

β α O A



Bola

Kerucut tegak

Trigonometri

Sudut

Sudut dapat dinyatakan dalam satuan derajat dan radian. Satu derajat (0) didefenisikan sebagai ukuran

sudut pusat yang dibentuk oleh panjang busur lingkaran yang sama dengan 1/360 dari keliling

lingkaran. Sudut yang dibentuk satu lingkaran penuh adalah 3600. Satu menit (′) adalah 1/60 derajat ;

Satu detik (′′ ) adalah 1/60 menit, atau 1/3600 derajat.

Contoh 5.1 :

a. 0 0 030,5 30 0,5 60 30 30

b. 0 0 0 0 030,11 30 0,11 60 30 6,6 30 6 0,6 60 30 6 6

c. 0 0

0 0 0 0 0 030 4510 30 45 10 10 0,5 0,0125 10,5125

60 3600

Satu radian (rad) didefenisikan sebagai sudut pusat yang dibentuk oleh panjang busur yang sama

dengan radius lingkaran.

Keliling lingkaran adalah 2πr dan membentuk sudut 3600. Karena itu,.

02 radian = 360

0radian = 180

00180

1 radian = 57,296

r

r

1 radian

Luas selimut = πrs

Volume = 1

3πr

3

r

t s

Luas permukaan = 4πr2

Volume = 4

3πr

3

r

r Luas dinding = 2πrh

Volume = πr2h



1 derajat = radian = 0,017453rad180

dimana =3,14

Contoh 5.2 :

a. 0 00

30 30 rad = rad6180

b. 0 00

5150 150 rad = rad

6180

c. 0

0180rad = = 45

4 4

d. 0

07 7 180rad = = 210

6 6

Panjang busur

Besar panjang busur (s) sama dengan perkalian radius (r) dengan sudut pusat (θ) dalam radian. s r

Contoh 5.3 :

a. Sebuah lingkaran memiliki radius 30 cm, panjang busur yang dibentuk oleh sudut pusat 3

rad

adalah

30cm =10 cm3

s r

b. Sebuah lingkaran memiliki radius r cm, panjang busur yang dibentuk oleh sudut pusat 045 adalah

cm4

s r r

Luas sektor lingkaran

Luas A sektor lingkaran dengan radius r dan sudut pusat θ dalam radian adalah

21

2A r

Contoh 5.4 :

Sebuah lingkaran memiliki radius 30 cm, panjang busur yang dibentuk oleh sudut pusat 3

rad adalah

22 21 1

30cm =150 cm2 2 3

A r

r

θ A

r θ

s



Teorema Phytagoras

Dalam segitiga siku-siku : 2 2 2c a b

Fungsi trigonometri dalam segitiga siku-siku

Kita akan memperoleh hubungan bahwa

1cosec =

sin

1sec =

cos

1cot =

tan

Contoh 5.5 :

Contoh 5.6 :

Jika sinθ = 1/3 , maka tentukanlah nilai cosθ dan tanθ .

Penyelesaian:

Kita akan menggunakan bantuan segitiga siku-siku untuk mendapatkan nilai cosθ dan tanθ.

4sin =

5

5cosec

4

3cos =

5

5sec =

3

4tan =

3

3cot

5

4

3

5

5

c θ

a

b

c

c

θ

a

b

c

c

sisidepansin =

sisimiring

a

c

sisimiringcosec

sisidepan

c

a

sisisampingcos =

sisimiring

b

c

sisimiringsec =

sisisamping

c

b

sisidepantan =

sisisampin

a

g b

sisidepancot =

sisisamping

b

a



Gunakan teorema phytagoras untuk mendapatkan nilai b, 2 2 23 1 b

8 2 2b

Sehingga,

2 2cos =

3

1 1

tan = 242 2

Fungsi trigonometri dari sudut istimewa

Fungsi trigonometri dalam kuadran

Fungsi sudut negatif

sin sin cosec cosec

cos cos sec sec

tan tan cot cot

Perbandingan sudut-sudut berelasi

θ sinθ cosθ Tanθ

0 0 1 0

300

1/2 12

3 13

3

370 3/5 4/5 ¾

450 1

22 1

22 1

530 4/5 3/5 4/3

600 1

23 1/2 3

900 1 0 -

900 < θ < 180

0

x

y

I II

III IV

sin θ = +

cosec θ = +

+

tan θ = +

sec θ = +

Semua

positif

cos θ = +

sec θ = +

0 < θ < 900

180

0 < θ < 270

0

2700 < θ < 360

0

1

b

3

c

θ



0 0

0 0

0 0

sin 90 cos sin 90 cos

cos 90 sin cos 90 sin

tan 90 cot tan 90 cot

0 0

0 0

0 0

sin 180 sin sin 180 sin

cos 180 cos cos 180 cos

tan 180 tan tan 180 tan

0 0

0 0

0 0

sin 270 cos sin 270 cos

cos 270 sin cos 270 sin

tan 270 cot tan 270 cot

0 0

0 0

0 0

sin 360 sin sin 360 sin

cos 360 cos cos 360 cos

tan 360 tan tan 360 tan

Contoh 5.7 :

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

sin150 sin 180 30 sin30 1/ 2

cos210 cos 270 60 sin 60 3 2

tan330 tan 360 30 tan30 3 3

cos sin cos2 cos cos 1 12

Indentitas trigonometri

sintan

cos

cos

cotsin

2 2sin cos 1 2 21 cot cosec 2 21 tan sec

Contoh 5.7 :

Buktikan relasi trigonometri berikut ini!

a. cot tan cosec sec

b. 2cos

1 sin1 sin

c. 2

2

cos sec cossec

sin

Penyelesaian :

a. 2 2cos sin cos sin 1

cot tan cosec secsin cos sin cos sin cos

b. 2 2 1 sin 1 sincos 1 sin

1 sin1 sin 1 sin 1 sin



c. 22 2

22 2 2 2 2

cos sec 1cos sec cos cos cos sintan sec

sin sin sin sin cos

Segitiga

Aturan sinus :

sin sin sin

a b c

Luas segitiga :

1 1 1Luas sin sin sin

2 2 2bc ac ab

Contoh 5.7 :

Tentukan panjang sisi b dari segitiga di bawah ini!

Penyelesaian :

Gunakan aturan sinus bahwa

0 0

2

sin 45 sin 30

b

00

2sin 45 2 2 m

sin30b

Aturan cosinus : 2 2 2 2 cosa b c bc 2 2 2 2 cosb a c ac 2 2 2 2 cosc a b ab

Contoh 5.8 :

Tentukan panjang sisi c dari segitiga di bawah ini!

3 m

2 m

600

c

2 m b

300 45

0

a

c

b

α β

γ



Penyelesaian :

Gunakan aturan kosinus bahwa 2 2 2 02 3 2 2 3 cos60c

2 14 9 12 6

2c

Jadi,

6 mc

Rumus jumlah dan selisih sudut

sin sin cos cos sinA B A B A B

sin sin cos cos sinA B A B A B

cos cos cos sin sinA B A B A B

cos cos cos sin sinA B A B A B

tan tan

tan1 tan tan

A BA B

A B

tan tan

tan1 tan tan

A BA B

A B

Contoh 5.9 :

Tentukan nilai sinus, cosinus dan tangen dari sudut 150 !

Penyelesaian :

0 0 0 0 0 0sin15 sin 45 30 sin 45 cos30 cos45 sin30

1 1 1 1 6 22 3 2

2 2 2 2 4

0 0 0 0 0 0cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin 45 sin30

1 1 1 1 6 22 3 2

2 2 2 2 4

0 0

0 00 0

tan 45 tan30 1 3 3 3 3tan15 tan 45 30 2 3

1 tan 45 tan30 1 1 ( 3 3) 3 3

Rumus sudut rangkap dua sin 2 2sin cosA A A

2 2 2 2cos2 cos sin 1 2sin 2cos 1A A A A A

2

2 tantan 2

1 tan

AA

A

Contoh 5.10 :

Tentukan nilai cos 22,50 !

Penyelesaian : 2cos2 2cos 1A A

0 2cos2 22,5 2cos 22,5 1 0 2cos45 2cos 22,5 1

212 2cos 22,5 1

2

1 1 2 2 1cos22,5 2 2 2

2 4 4 2



Rumus setengah sudut

2 1 cossin

2 2

A A 2 1 cos

cos2 2

A A 2 1 cos

tan2 1 cos

A A

A

Contoh 5.11 :

Jika cos x = k , dimana k suatu bilangan positif yang kurang dari satu. Besar sudut x < 900. Tentukan

nilai dari 12

sin x !

Penyelesaian :

2 1 cossin

2 2

x x

1sin

2 2

x k

Ambil nilai 12

sin x yang bernilai positif karena sudut x berada di kuadran pertama. Jadi,

1sin

2 2

x k

Rumus perkalian trigonometri

2sin cos sin sinA B A B A B

2cos sin sin sinA B A B A B

2cos cos cos cosA B A B A B

2sin sin cos cosA B A B A B

Contoh 5.12 :

Tunjukkan bahwa

a. 10 02

2sin75 cos15 1 3

b. 1

cos2 cos cos3 cos2

x x x x

Penyelesaian :

a. 10 0 0 0 0 0 0 02

2sin75 cos15 sin(75 15 ) sin(75 15 ) sin90 sin60 1 3

b. 1 1

cos2 cos cos(2 ) cos(2 ) cos3 cos2 2

x x x x x x x x

Rumus jumlah dan selisih trigonometri

2 2sin sin 2sin cosA B A BA B

2 2sin sin 2cos sinA B A BA B

2 2cos cos 2cos cosA B A BA B

2 2cos cos 2sin sinA B A BA B

Contoh 5.13 :

Tunjukkan bahwa

a. 0 0 0sin 40 sin 20 cos10

b. 0 0 1sin75 sin15 2

2

Penyelesaian:

a. 0 0 0 0

0 0 0 0 040 20 40 20sin 40 sin 20 2sin cos 2sin30 cos10 cos10

2 2



b. 0 0 0 0

0 0 0 075 15 75 15 1sin 75 sin15 2cos sin 2cos45 sin30 2

2 2 2

Invers Trigonometri

Jika sin y x , maka -1sin atau siny arc x y x

Jika cos y x , maka -1cos atau cosy arc x y x

Jika tan y x , maka -1tan atau tany arc x y x

Contoh 5.14 : 12 6

arcsin( )

arccos( 1)

1tan (1)4

Persamaan trigonometri

1. sin k

Misalkan bahwa 1sin sink , maka 0360n

0180 360n

2. cos k

Misalkan bahwa 1cos cosk , maka 0360n

0360n

3. tan k

Misalkan bahwa 1tan tank , maka 0180k

di mana k adalah bilangan bulat.

Contoh 5.15 :

Carilah semua solusi persamaan trigonometri di bawah ini untuk interval 00 360 !

a. 12

sin

b. 12

cos 2

c. tan 3

Penyelesaian :

a. 12

sin

11 02

sin sin 30

Gunakan 0360n dan substitusi n=0, maka 030

Gunakan 0(180 ) 360n dan substitusi n=0, maka

0 0 0180 30 150

Jadi, solusinya adalah 300 dan 150

0.

b. 12

cos 2

11 02

cos cos 2 45

Gunakan 0360n dan substitusi n=0, maka



045

Gunakan 0360n dan substitusi n=1, maka 0 0 045 360 315

Jadi, solusinya adalah 45

0 dan 315

0.

c. tan 3

1 0tan cos 3 60

Gunakan 0180n dan substitusi n=0 dan n=1, maka 045

dan 0 0 0 0180 60 180 240

Gunakan 0360n dan substitusi n=0, maka 0 0 045 360 315

Jadi, solusinya adalah 60

0 , 240

0 dan 315

0.

Contoh 5.16 :

Carilah solusi persamaan trigonometri di bawah ini untuk interval 0 !

22sin 3sin 2 0

Penyelesaian :

Kita dapat menuliskan 22sin 3sin 2 0 dalam bentuk

2sin 1 sin 2 0

Tidak ada solusi θ untuk sin 2 . Jadi, solusi hanya berasal dari

2sin 1 0

1sin

2

Untuk interval sudut 0 , solusinya adalah 300 dan 150

0.

Grafik fungsi trigonometri

1. Grafik y = sinθ

2. Grafik y = cosθ

θ

y

π 2π 3π

1

-1

y = sinθ



3. Grafik y = tanθ

Sifat-sifat grafik sinus dan kosinus :

1. Sinθ dan cosθ keduanya berkisar antara -1 sampai 1

2. Kedua grafik berulang( periodik) pada selang yang berdampingan sepanjang 2π

3. Grafik y = sinθ sama seperti y = cosθ, tetapi digeser π/2 satuan ke kanan.

Operasi Bilangan Kompleks

Bilangan imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan tidak real atau tidak nyata. Satuan bilangan kompleks adalah 1

dan disimbolkan dengan i. Bilangan imajiner sangat penting dalam sains.

1 i

Contoh 5.17 :

4 4 1 2i

81 81 1 9i

2 1 1 1i 3 2i i i i

4 4 42 2 16i i

Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah gabungan bilangan real dan bilangan imajiner. Simbol z disebut sebagai

bilangan kompleks atau variabel kompleks.

Bentuk umum bilangan kompleks : z a bi

di mana a bagian real dari z atau disimbolkan oleh Re{z} dan bi bagian imajiner atau biasa

disimbolkan oleh Im{z}. a dan b adalah bilangan real.

Contoh 5.18 :

2 3z i , 5 4z i dan 2 4z i

θ

y

π 2π 3π

y = tanθ

y = cosθ

θ

y

π 2π 3π

1

-1



Konjugat bilangan kompleks

Konjugat bilangan kompleks z a bi adalah z a bi .

Contoh 5.19 :

Konjugat bilangan kompleks 2 3z i adalah 2 3z i .

Konjugat bilangan kompleks 7 8z i adalah 8 7z i .

Operasi bilangan kompleks

1. Penjumlahan dua bilangan kompleks

a bi c d i a c b d i

2. Pengurangan dua bilangan kompleks

a bi c d i a c b d i

3. Perkalian dua bilangan kompleks

2a bi c d i ac adi bci bdi ac bd ad bc i

4. Pembagian dua bilangan kompleks

2 2

ac bd ad bc ia bi a bi c di

c di c di c di c d

Contoh 5.20 :

1. 2 3 5 6 2 5 3 6i i i

2. 2 4 3 7 2 3 4 7 1 3i i i i

3. 3 4 2 5 6 20 15 8 14 23i i i i

4. 2 4 2 4 5 3 22 14 11 7

5 3 5 3 5 3 34 17 17

i i i ii

i i i

Modulus bilangan kompleks

Modulus atau besar dari sebuah bilangan kompleks z a bi didefenisikan sebagai

2 2r z a b zz

Modulus biasanya disimbolkan dengan r.

Contoh 5.21 : 2 23 2 3 2 13z i

Diagram Argand atau bidang kompleks

Bilangan kompleks z = x + yi dapat digambarkan dalam bidang xy yang disebut sebagai bidang

kompleks atau diagram argand. Sumbu x dan y berturut-turut adalah sumbu real dan imaginer.

Kita dapat menuliskan letak titik P(x,y) dalam bidang polar :

sinx r , cosy r

di mana 2 2r x y dan θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis OP terhadap sumbu x.

Kita dapat menuliskan bahwa

cos sin cos sinz x yi r i r r i

Sekarang kita gunakan formula euler bahwa cos sinie i . Karena itu,

θ

r

X

Y P(x,y)

x

y

O



iz re

Contoh 5.22 :

1. 36 cos60 sin60 6 cos sin 63 3

iz i i e

4 1 14 5 cos sin 4 2 2 2 2 1

4 4 2 2iz e i i i

6. Irisan Kerucut

Bidang yang memotong kerucut dengan berbagai sudut akan menghasilkan kurva lingkaran, elips,

parabola dan hiperbola.

Irisan kerucut menunjukkan kedudukan titik-titik terhadap garis l tetap (garis arah) dan sebuah titik

tetap (fokus) F.

P

F

L

garis l

Hiperbola, e > 1

Parabola, e = 1

Elips, 0 < e < 1

Lingkaran, e = 0

Gbr. 1.11 : Kurva irisan kerucut berdasarkan nilai eksentrisitas (e)

Lingkaran

Elips

Parabola

Hiperbola

Gbr. 1.10 : Irisan kerucut



Himpunan titik-titik P yang perbandingan antara jarak PF dari fokus dan jarak PL dari garis arah

adalah suatu konstanta positif e (dinamakan keeksentrikan atau eksentrisitas). | | | |PF e PL

Untuk e = 0, irisan kerucut tersebut adalah lingkaran, 0 < e < 1 sebuah elips, e = 1 sebuah parabola,

dan e > 1 sebuah hiperbola.

Persamaan lingkaran (e = 0)

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik fokus.

Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik O (0,0) dan jari-jarinya r adalah 2 2 2x y r

Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik O (a,b) dan jari-jarinya r adalah

2 2 2x a y b r

atau 2 2 0x y Ax By C

dengan pusat lingkaran di titik O(a,b)= O ,2 2

A B

dan jari-jari lingkaran

2 2

2 2

A Ar C

Contoh 6.1 :

Sebuah lingkaran memiliki persamaan

2 2

2 3 25x y

Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.

Penyelesaian :

Lingkaran berpusat di titik (2,3) dan memiliki radius 5 satuan.

Persamaan Parabola (e =1)

Parabola adalah himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis arah l dan fokus F.

Dari syarat |PF|=|PL|, kita peroleh

Gbr.1.13

x= -p

L (-p,y) P (x,y)

F(p,0) x

y

Gbr.1.12 : Lingkaran dengan pusat di titik O (a,b)

O(a,b)

x

y

2 2 2x a y b r

r



2 2 2 2( ) ( 0) ( ) ( )x p y x p y y

Kita akan memperoleh bentuk persamaan umum parabola mendatar dan terbukan ke kanan adalah 2 4y px

dimana p sebagai jarak dari fokus ke puncaknya.

Contoh 6.2 :

Tentukan fokus dan garis arah parabol y2 = 8 x.

Penyelesaian : Oleh karena y

2 = 4(2) x, maka p=2. Sehingga fokus ada di titik (3,0); dan garis arah adalah x=-3.

Persamaan Elips ( 0 < e < 1)

Persamaan umum elips adalah 2 2

2 21

x x

a b

dimana 21b a e . Bilangan 2a dinamakan garis tengah panjang (sumbu mayor) dan 2b garis

tengah pendek (sumbu minor ).

Contoh 6.3 :

Sebuah elips memiliki persamaan 2 2

125 16

x y

Tentukan fokus, eksentrisitas, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor dari elips tersebut.

Penyelesaian :

Nilai a = 5 dan b= 4, sehingga

2 2 25 16 3c a b

Titik fokus elips adalah di (0,3) dan (0,-3).

Eksentrisitas elips adalah e = c/a = 3/5 =0,6.

Panjang sumbu mayor elips adalah 2a = 8 satuan.

Panjang sumbu minor elips adalah 2b= 4 satuan.

Persamaan Hiperbol (e >1)

Persamaan umum Hiperbol adalah 2 2

2 21

x y

a b

dimana 2 1b a e . Oleh karena c = ae, kita peroleh 2 2 2c a b . Sekarang kita nyatakan y dalam x,

F(c,0) F′(-c,0) A(a,0) A′(-a,0)

x

y

B(b,0)

B′(-b,0)

c b

a

2 2

2 21

x x

a b

2 2 2a b c

ce

a

Gbr. 1.14 : Elips



2 2by x a

a

Untuk x → , kita akan mendapatkan persamaan asimtot :

by x

a

1.7 Limit dan Turunan

Limit

Bentuk umum limit :

lim ( )x a

f x b

dibaca limit dari f(x) untuk x mendekati a adalah b.

Perhatikan sebuah fungsi yang dibentuk oleh 3 1

( )1

xf x

x

Fungsi ini tidak terdefenisikan pada x=1, karena di titik ini f(x) =0/0, yang tidak memiliki arti. Akan

tetapi, kita masih menentukan nilai f(x) untuk x mendekati satu. Pengertian sederhana dari limit adalah

pendekatan.

x 3 1

1( ) x

xf x

1,1 3,310

1,01 3,030

1,001 3,003

↓ ↓

1 ?

↑ ↑

0,999 2,997

0,99 2,970

0,9 2,710

Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa 3

1

1lim 3

1x

x

x

Kita juga dapat menentukan nilai dari limit sutu fungsi menggunakan aljabar.

Gbr. 1.15 : Hiperbol

2 2

2 21

x x

a b

2 2 2a b c

ce

a

F(c,0) F′(-c,0)

A(a,0) A′(-a,0) x

y by x

a

by x

a

c b

a



232 2

1 1 1

1 11lim lim lim 1 1 1 1 3

1 1x x x

x x xxx x

x x

Contoh 7.1 :

3lim(2 1) 2 3 1 5x

x

2

5 5 5

5 14 5lim lim lim 1 6

5 5x x x

x xx xx

x x

0

sinlim 1x

x

x

Turunan

Masalah yang mendasari ide turunan adalah garis singgung suatu fungsi dan kecepatan sesaat suatu

benda.

Kemiringan garis suatu fungsi

Perhatikan grafik persamaan y=f(x). P kedudukannya di titik

Kemiringan fungsi f(x) di titik P dapat dituliskan dalam bentuk

tan

0 0

( )lim limx x

f x x f xym

x x

Contoh 7.2 :

Cari kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = 2x2 sebagai fungsi x .

Penyelesaian :

2 2

tan0 0

( ) 2 2lim limx x

f x x f x x x xm

x x

2 2 2

tan0

2 4( ) 2 2limx

x x x x xm

x

tan0

lim 2 4 2x

m x x x

Kemiringan f(x) untuk x = 0 adalah mtan = 0 .

Kemiringan f(x) untuk x = 1 adalah mtan = 2 .

Gbr.1.5 : Garis singgung f(x)

x+∆x x

y

( )y f x

x

f(x)

f (x+∆x)

)

∆x

∆y

Garis singgung dengan

gradien mtan

Q

P



Kecepatan sesaat suatu benda

Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 10 m/s selama 5s dan memiliki kecepatan 20 m/s selama 5s.

Kecepatan rata-rata mobil adalah

1 1 2 2

1 2

10 5 20 5m s 15 m s

5 5

v t v tv

t t

Jika mobil bergerak dengan persamaan posisi mobil sebagai fungsi waktu 210s t

Kecepatan sesaat benda pada setiap waktu dapat ditemukan menggunakan konsep kecepatan rata-rata

untuk limit 0t . Kecepatan benda setiap waktu adalah

0 0

( )lim limx x

s t t s tsv

t t

2 2 2

0

10 20( ) 10 10limt

t t t t tv

t

0lim 20 10 20t

v t t t

Kecepatan sesaat benda pada t = 0 s adalah v = 0 m/s.

Kecepatan sesaat benda pada t = 1 s adalah v =20 m/s.

Kecepatan sesaat benda pada t = 1s memiliki arti bahwa gradien fungsi s = 10t2 pada waktu t=1s. Jadi,

kecepatan sesaat menunjukkan gradien dari fungsi posisi terhadap waktu.

Defenisi Turunan

Turunan dari fungsi y = f(x) adalah fungsi lain ( )

( )df x dy

f xdx dx

yang dituliskan dalam bentuk

0

( )limx

y x x y xdy

dx x

Contoh 7.3 :

Carilah turunan dari masing-masing fungsi dibawah ini terhadap variabel x :

a. y = 3

b. y = 2 x

c. y = 3 x2

Penyelesaian :

a. 0 0

( ) ( ) 3 3lim lim 0x x

dy y x x y xy

dx x x

b. 0 0

2( ) 2 2lim lim 2x x

dy x x x xy

dx x x

c. 2 2

0

3( ) 3lim 6x

dy x x xy x

dx x

Aturan Turunan

1. Jika y k , maka 0y .

y = x2

x

y

1 2 -1 -2

1

2 (1,2)



2. Jika ny k x , maka 1ny k n x

3. Jika y u v , maka y u v

4. Jika ny u , maka 1ny nu u

5. Jika y uv , maka y u v uv

6. Jikau

yv

, maka2

u v u vy

v

Contoh 7.4 :

Carilah turunan dari masing-masing fungsi berikut ini:

a. y = 3

b. y = 2 x3

c. y = 2 x2 + 6x

d. y = (x2+2)

10

e. y = (x3+2) (x+1)

5

f. y =2 2

1

x

x

Penyelesaian :

a. 0y

b. 3 1 22 3 6y x x

c. 2 1 1 12 2 6 4 6y x x x

d. Misalkan 2 2u x dan 2u x .

10 1 9

1 2 210 2 2 20 2ny nu u x x x x

e. Misalkan 2 2u x dan 5( 1)v x .

5 422 1 5( 1) 1y u v u v x x x x

f. Misalkan 2 2u x dan 1v x

2 2

2 2 2

(2 )( 1) ( 2) 2 2

( 1) ( 1)

u v uv x x x x xy

v x x

Turunan Trigonometri

1. Jika siny x , maka cosy x

2. Jika cosy x , maka siny x

3. Jika tany x , maka 2secy x

4. Jika cosecy x , maka cosec coty x x

5. Jika secy x , maka sec tany x x

6. Jika coty x , maka 2cosecy x

7. Jika siny u , maka cosy u u

8. Jika cosy u , maka siny u x

Contoh 7.5 :


a. sin 2y x

b. sin (3 2)y x

c. cos 2y x

d. cos(3 5)y x



e. 3cos 2 sin2y x x

Penyelesaian :

a. 2cos2y x

b. 3cos(3 2)y x

c. 2sin 2y x

d. 3sin(3 5)y x .

e. Misalkan 3 2cos 2 6cos 2u x u x dan sin 2 2cos2v x v x .

2 36cos 2 sin2 2cos 2y u v uv x x x

Turunan fungsi ln dan eksponensial

1. Jika y = ln x, maka 1

yx

2. Jika y = ln u, maka 1

y uu

3. Jika y = ex, maka xy e

4. Jika y = eu, maka y = u eu

Contoh 7.6 :


a. 2xy e

b. ln 2y x

Penyelesaian :

a. 22 xy e

b. 2 1

2y

x x

Aturan Rantai

Andaikata bahwa y = f(u) dan u = g(x). Aturan rantai memiliki bentuk

dy dy du

dx du dx

Contoh 7.7 :

Cari dy

dx dari y = (x

2+1)

10.

Penyelesaian :

Misalkan u = x2+1, maka y = u

10.

9 2 910 2 20 ( 1)dy dy du

u x x xdx du dx

Turunan tingkat tinggi

Bentuk f disebut turunan pertama dari f. f disebut turunan kedua dari fungsi f. Turunan ke-n dari

fungsi y = f(x) dilambangkan dengan n

n

d y

dx.

Contoh 7.8 :

Jika 32 2 2y x x , maka



23 2dy

y xdx

2

6d y

y xdx

3

36

d yy

dx

Turunan Implisit

Misalkan suatu persamaan memiliki bentuk 2 3 2y yx x

Untuk mendapatkan dy

dx, kita gunakan aturan rantai pada setiap suku. Kita peroleh

3 22 3 2dy dy dx dx

y x x y xdx dx dx dx

3 22 3 2dy dy

y x x y xdx dx

3 22 2 3dy

y x x x ydx

2

3

2 3

2

dy x x y

dx y x

Diferensial

Turunan y terhadap x dituliskan dalam bentuk dy/dx. Lambang dy dan dx sebenarnya memilii arti

tersendiri. Bentuk dy menunjukkan pertambahan kecil ∆y dan bentuk dx menunjukkan pertambahan

kecil ∆x. Andaikan y= f(x), maka

( )dy f x dx

Contoh 7.9 :

Cari dy jika (a) y = x3 + 2x

. (b) y = 2πx

2 .

Penyelesaian

a. 2(3 2)dy x dx

b. 2dy x dx

Aturan diferensial

1. 0dk

2. ( )d ku k du

3. ( )d u v du dv

4. ( )d u v du dv

5. 2

u vdu udvd

v v

6. 1n nd u nu du

Konsep turunan sangat penting dalam menyelesaikan kasus-kasus dalam fisika seperti untuk

menentukan gradien, kecepatan, percepatan, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Beberapa

kegunaan turunan dalam fisika :

a. Menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.

Misalkan suatu fungsi y = f(x), maka y akan maksimum ketika

0dy

dx atau 0( ) 0f x .



Nilai x0 disebut titik stasioner yang menyebabkan fungsi y maksimum atau dapat kita sebut

sebagai titik setimbang.

b. Fungsi f naik pada interval I , ketika ( ) 0f x

Fungsi f turun pada interval I , ketika ( ) 0f x

c. Fungsi f cekung ke atas pada interval I , ketika ( ) 0f x

Fungsi f cekung ke bawa pada interval I , ketika ( ) 0f x

8. Deret Binomial Newton , Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Deret Binomial Newton

Untuk setiap bilangan riil n dan |x|<1 berlaku

2 3

( 1) 2( 1)(1 ) 1

2! 3!n

n n nn nx nx x x

Contoh 8.1 :

a.

2 2 3 2 3( 2) 3 4( 2)( 3)

(1 ) 1 ( 2) 1 2 3 42! 3!

x x x x x x x

b.

31 1 1 112 2 2 2 22 3 2 32

( )( ) ( )( )( )1 1 1 1(1 ) 1 1

2 2! 3! 2 8 16x x x x x x x

Kita dapat melakukan pendekatan ketika x<<1 :

(1 ) 1nx nx

1

21

(1 ) 12

x x

1(1 ) 1x x

Deret Taylor

Bentuk umum deret Taylor adalah

2 3( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2! 3!

f a f af x f a f a x a x a x a

Contoh 8.2 :

Potensial interaksi dua buah atom dalam molekul diatomik memenuhi persamaan

12 6

A BV r

r r

Cari bentuk deret Taylor dari potensial ini di sekitar titik setimbangnya.

Penyelesaian:

Misalkan titik setimbang potensial ini adalah r0, sehingga

0 20 0 0 0

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2!

f rf r f r f r x r r r

Kita akan mendapatkan titik setimbang

6013 7

12 60 2

d A Bf r r A B

dr r r

Gunakan ekspansi Taylor, kita dapatkan

2012 6 14 8

0 0 0 0

1 156 42( ) ( )

2

A B A Bf r r r

r r r r

Deret Maclaurin



Apabila a = 0, kita peroleh deret Maclaurin

2 3(0) (0)( ) (0) (0)

2! 3!

f ff x f f x x x

Contoh 8.3 :

Tentukan deret Maclaurin untuk f(x) = sin x.

Penyelesaian:

(4) (4)

( ) cos (0) 1

( ) sin (0) 0

( ) cos (0) 1

( ) sin (0) 0

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f

Sehingga, 3 5 7

sin3! 5! 7!

x x xx x

Deret Maclaurin yang penting

1. 3 5 7

sin3! 5! 7!

x x xx x

2. 2 4 6

cos 12! 4! 6!

x x xx

3. 3 52

tan | |3 15 2

x xx x x

4. 2 3 411

1x x x x

x

5. 2 3 4

ln(1 )2! 3! 4!

x x xx x

6. 2 3 4

12! 3! 4!

x x x xe x

Jika x<<1,

2

1

1sin 1 cos 1 tan 1

2

(1 ) 1 ln(1 ) 1x

x x x x

x x x x e x

1.9 Integral

Konsep integral adalah kebalikan dari operasi pendifrensialan (turunan). Integral dibagai menjadi dua,

yaitu intergral tentu dan integral tak tentu.

Integral tak tentu

Misalkan f(x) adalah turunan dari fungsi F(x), maka F(x) disebut sebagai anti turunan dari f(x).

Anti turunan dari f(x) dinamakan integral dari f(x) yang dilambangkan

( ) ( )f x dx F x c

Sifat-sifat integral tak tentu .

1. 0dx c

2. k dx k x c

3. 11

1n nx dx x c

n

, 1n



Contoh 9.1 :

dx x c

2 2 1 31 1

2 1 3x dx x c x c

1 31 12 2 2

12

1 2

1 3x dx x dx x c x c

4. ( ) ( )k f x dx k f x dx

Contoh 9.2 :

3 3 3 1 42 1

2 23 1 2

x dx x dx x c x c

1 1 24

4 4 21 1

xdx xdx x c x c

11 1 12 2 2

12

1 12

1dx x dx x c x c

x

5. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Contoh 9.3 :

3 3 4 24 3 8 4 3 8 8x x dx x dx xdx dx x x x c

4 4 5 23

3 2 5 3 2 5 55

x x dx x dx xdx dx x x x c

Integral fungsi eksponensial

a. x xe dx e c

b. 1

ax axe dx e ca

c. 1

lndx x cx

Contoh 9.4 :

2 21

2t te dt e c

5 51

5t te dt e c

Integral fungsi trigonometri

a. sin cosxdx x c

b. cos sinxdx x c

c. 2sec tanxdx x c

d. 2cosec cotxdx x c

e. sec tan secx xdx x c

f. cosec cot cosecx x dx x c

g. 1

sin cosax b dx ax b ca

h. 1

cos sina x b dx ax b ca



Contoh 9.5 :

1sin 2 cos2

2xdx x c

1cos5 sin5

5xdx x c

1

sin 3 cos 33

x dx x c

1

cos 2 sin 2t dt t c

Integral substitusi

( ) ( )f g x g x dx f u du

Contoh 9.6 :

a.

22

5

1

xdx

x

Misalkan 2 1 2u x du xdx

Sehingga

2

2 22

5 5 5 5

2 2 2 11

xdx u du c c

u xx

b. 1

dxax b

Misalkan u ax b du a dx

Sehingga 1 1 1 1

ln lndu

dx u c ax b cax b a u a a

c. 3cos sinx xdx

Misalkan cos sinu x du dx

Sehingga 3 3 4 41 1

cos sin cos4 4

x xdx u du u c x c

Integral Parsial

udv uv vdu

Contoh 9.7 :

a. cosx xdx

Misalkan u x du dx

cos sindv x v x

Sehingga cos sin sin sin cosx xdx x x xdx x x x c

b. 2 sinx xdx

Misalkan 2 2u x du xdx

sin cosdv x x v x

Sehingga 2 2 2sin cos cos cos sin cosx xdx x x x x dx x x x x x c

c. ln xdx



Misalkan lndx

u x dux

dv dx v x

Sehingga ln ln lnxdx x x dx x x x c

Integral tentu

Bentuk Umum integral tentu :

( ) ( ) ( ) ( )b

b

aa

f x dx F x F b F a

Contoh 9.8 :

a. 1 1

2

00

2 1 0 1xdx x

b. 22

2 3 3 3

1 1

1 1 1 132 2 2 2 2 1 2 1

3 3 3 3x dx x x

c. 6

2

00

1 1sin cos cos cos0 1

3 2 2xdx x

Sifat-sifat Integral tentu

1. ( ) ( )b b

a a

k f x dx k f x dx

2. ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx f x dx

3. ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

4. ( ) 0a

a

f x dx

5. 0

( ) 2 ( ) , untuk ( ) fungsi genap ( ) ( )a a

a

f x dx f x dx f x f x f x

( ) 0 , untuk ( ) fungsi ganjil ( ) ( )a

a

f x dx f x f x f x

6. ( ) ( ) ( )c b c

a a b

f x dx f x dx f x dx

Beberapa integral yang sering digunakan :

12 2

1tan

dx x

a ax a

1 2 2

2 2sin , 0

dx xa x

aa x

2 2

2 2ln

dxx x a

x a

3 2 2 22 2

1xdx

x ax a

3 2 2 2 22 2

dx x

a x ax a



10. Matriks

Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan

kolom. Bentuk umum matriks :

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

dimana m menunjukkan jumlah kolom dan n menunjukkan jumlah baris.

Contoh 10.1 :

1. Matriks bujursangkar : 2 2

2 0

1 4A

2. Matriks baris : 1 3 1 7 5A

3. Matriks kolom : 3 1

1

10

6

A

4. Metriks nol : 2 2

0 0

0 0O

5. Matriks Diagonal : 3 3

2 0 0

0 5 0

0 0 7

A

6. Matriks Indentitas : 2 2

1 0

0 1I

7. Matriks transpose A (notasi , AT

)

Matriks transpose diperoleh dengan mengubah baris matriks A menjadi kolom matriks pada

matriks AT

.

2 0

1 4A

, maka 2 1

0 4TA

Operasi Matriks

1. Penjumlahan matriks

a b d e a d b e

c d f g c f d g

2 4 1 2 2 1 4 2 3 6

3 6 3 2 3 3 6 2 0 8

2. Pengurangan matriks

a b d e a d b e

c d f g c f d g

10 8 3 2 7 6

7 2 1 1 6 1

3. Perkalian suatu matriks dengan skalar

a b ka kbk

c d kc kd



2 3 8 124

0 1 0 4

4. Perkalian suatu matriks dengan matriks lain

m q m n p qC A B

A B bisa dilakukan jika n=p dan hasilnya berukuran m×q.

a b e f ae bg af bh

c d g h ce dg cf dh

2 3 6 5 2 6 3 8 2 5 3 9 36 37

1 4 8 9 1 6 4 8 1 5 4 9 38 41

3 1 7 3 7 1 8 29

5 2 8 5 7 2 8 51

Determinan Matriks

1. Determinan matriks berordo 2×2

Jika matriks A=a b

c d

, maka determinan matriks A = |A|=a b

c d = ad-bc

2 42 6 4 5 8

5 6

2. Determinan matriks berordo 3×3

Metode Sarrus

a b c

A aei bfg cdh gec hfa idbd e f

g h i

Cara mudah untuk mengingat :

Contoh 10.2 :

2 5 1 2 5 1 2 5

2 4 8 5 10 7 ( 1) 1 3 7 4 ( 1) 3 10 2 8 1 51 4 10 1 4 10 1 4

7 3 8 7 3 8 7 3

2 5 1

64 350 3 28 60 40 3391 4 10

7 3 8

Metode Kofaktor

a b c a b c a b

aei bfg cdh gec hfa idbd e f d e f d e

g h i g h i g h

+ + +

- - -



a b ce f d f d g

a b cd e fh i g i g h

g h i

Contoh 10.3 :

2 5 1

4 10 1 10 1 42 5 ( 1) 2(32 30) 5(8 70) (3 28) 3391 4 10

3 8 7 8 7 37 3 8

Matriks dan Persamaan linear

Solusi persamaa linear dua dan tiga variabel dapat diperoleh menggunakan determinan matriks yang

dikenal dengan metode Cramer.

1. Dua buah persamaan linear dua variabel x dan y,

1 1 1a x b y c

2 2 2a x b y c

semiliki solusi

xDx

D

yDy

D

dimana

1 1

2 2

a bD

a b

1 1

2 2

x

c bD

c b

1 1

2 2

a cD

a c

Contoh 10.3 4

Carilah solusi persamaan linear dari

x + 2y = 5

2x - 4y = -6

menggunakan metode Cramer!

Penyelesaian :

1 28

2 4D

5 28

6 4xD

1 516

2 6yD

Jadi,

81

8xD

xD

162

8

yDy

D

2. Tiga buah persamaan linear tiga variabel x, y dan z,

1 1 1 1a x b y c z d

2 2 2 2a x b y c z d

3 3 3 3a x b y c z d

memiliki solusi

xDx

D ,

yDy

D dan zD

zD

dimana



1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

D a b c

a b c

, 1 1 1

2 2 2

3 3 3

x

d b c

D d b c

d b c

, 1 1 1

2 2 2

3 3 3

y

a d c

D a d c

a d c

, 1 1 1

2 2 2

3 3 3

z

a b d

D a b d

a b d

Persaman linear homogen

Bentuk umum :

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

Dalam bentuk matriks :

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

0

n

n

m m mn n

a a a x

a a a x

a a a x

Solusi persamaan di atas yang memiliki bentuk 1 2 0nx x x disebut solusi trivial. Solusi

selain itu disebut solusi non trivial. Syarat agar dihasilkan solusi nontrivial adalah nilai determinan

sama matriks sama dengan nol.

11 12 1

21 22 2

1 2

0

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

metode matematika untuk fisika

Documents