JUDUL MAKALAH

PENERAPAN MATEMATIKA DALAM PELAJARAN FISIKA

Oleh

Steven Day Dumanauw

NIM: 09725045

JURUSAN PENDIDIKAN SAINS

FAKULTAS PASCA SARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2009

Steven day dumanauw S2 sains November 2009 1

BAB I

PENDAHULUAN

Fisika matematis adalah cabang ilmu yang mempelajari "penerapan matematika untuk menyelesaikan persoalan fisika dan pengembangan metode matematis yang cocok untuk penerapan tersebut, serta formulasi teori fisika". Ilmu ini dapat dianggap sebagai penunjang fisika teoritis dan fisika komputasi.

BAB II

PENERAPAN MATEMATIKA DALAM FISIKA

1. Pendahuluan

Pelajaran Fisika salah satu ilmu yang membahas gejala dan prilaku alam, sepanjang dapat diamati oleh manusia. Cara mengungkapkannya tidak saja kualitatif tetapi juga kuantitatif. Dengan demikian ada empat cara memahami ilmu fisika tersebut. Pertama kita memerlukan kejelasan tentang matra atau wadah gejala dan prilaku alam itu berlangsung, kedua kejelasan tentang objek yang menjadi fokus bahasan. ketiga, kita perlu kenal alat dan media yang akan digunakan untuk menangkap gejala dan prilaku alam tersebut, dan keempat adalah bahasa yang digunakan untuk mengungkap prilaku alam tersebut. Bahasa yang digunakan untuk mengungkap peristiwa alam tersebut adalah bahasa matematika. Matematika memegang peranan penting dalam fisika. Matematika di dalam fisika dipelajari secara khusus yaitu dalam mata pelajaran fisika matematika. Fisika matematika membahas secara terpadu dan sistematis matematika yang dipakai dalam fisika. Ilmu ini erat sekali hubungannya dengan fisika teori yang berupaya membahas hukum-hukum fisika secara matematika melalui penelaah secara logis dan perhitungan serta penerapan secara kuantitatif berbagai hukum-hukum fisika secara empiris. Pada bab I , pembahasan matematika dibatasi pada penerapan operator nabla, persamaan diferensial, sistem koordinat dan penerapan integral dalam fisika

2. Penerapan Operator Nabla

Operator nabla atau disebut juga operator del dengan simbol , yang bukan merupakan suatu vektor dalam arti biasanya. Sebagai vektor operator nabla tidak berdiri sendiri, tetapi bekerja pada suatu fungsi tertentu. Misalkan terdapat fungsi dengan satu variabel f(x) . Misal turunan dari derivatif df/dx, ini artinya bahwa df = (df/dx)dx, yang maksudnya perubahan dari x, sebesar da akan menyebabkab perubahan harga f sebesar df, dimana df/dx addalah faktor pembandingnya. Interferensi geometris dari df/dx merupakan kemiringan dari lengkungan f(x).

Misal suatu fungsi suhu dengan tiga variabel yaitu T(x,y,z) yang menunjukkan suhu pada suatu ruangan. Menurut teori derivatif parsial pernyattan ini dapat ditulis:

dT = (1.1)

= , dengan dl = i dx + j dy + kdz

Steven day dumanauw S2 sains November 2009 2

maka gradien suhu T = , merupakan besaran vektor dengan tiga

konponennya yang masing-masing mempunyai arah sesuai dengan arah suatu vektor i, j dan k. Jadi interferensi geometri suatu gradien, seperti vektor yang mempunyai harga dan arah dan ditulis dalam bentuk abstrak, yaitu dT = = (1.2)Operator del dedifinisikan sebagai deferensial dari suatu fungsi yang oleh koordinat kartesius

definisiskan = .

Ada tiga cara dalam perkalian untuk opertor nabla, seperti dalam vektor:1. Bekerja pada fungsi skalar yang disebut gradien.

2. Bekerja pada fungsi vektor yang disebut divergensi, melalui perkalian dot.

3. Bekerja pada fungsi vektor melalui perkalian silang yang disebut rotasi atau curl

x =

=

beberapa aturan dalam perkalian operator nabla1.2. x ( x x ( x ) + ( ) + ( )3. = 4. x = ( x ) - .( x ).5. = f( x ) - .( f).6. x ( x ) = Perkalian tripel1. x = x ) = x )2. x ( x ) = Turunan kedua1. ( x ) = 0.2. x = 03. x ( x ) = x -

3. Gradien, Divergensi dan Rotasi/Curl3.1 Gradien

Anggap medan skalar (x,y,z) sebagai fungsi skalar pada setiap titik ruang (x,y,z) dalam koordinat kartesius. Seebagai fungsi skalar ia harus mempunyai nilai sama pada titik ruang dan tidak bergantung pada rotasi sistem koordinat. ( ) = ( , ).

Steven day dumanauw S2 sains November 2009 3

= = =

Jadi gradien itu merupakan suatu vektor dengan konponen yang disebut gradien , dalam koordinat kartesius ditulis

=

Bila , maka

= ( ).( )

= (1.3)Jadi = merupakan perubahan fungsi skalar terhadap perubahan posisi dr. misalkan titik P dan Q adalah 2 buah titik yang terletak pada permukaan adalah konstan dan jarak P dan Q adalah dr, sehingga = cos = 0, dengan

Hal ini berarti . Bila diambil dari suatu permukaan = C ke permukaan berikutnya = C2, maka

= = cos (1.4)

dr dr

Gambar 1.1 Arah gradien dalam sistem koordinat kartesius.Agar mempunyai nilai tertentu, maka haruslah minimum. Bila dipilih

sejajar dengan , berarti , sehingga . Jadi gradien atau adalah suatu vektor yang berarah pada , dengan ketentuan bahwa pada arah perubahan maksimum.Gradien suatu skalar merupakan konsep yang penting dalam fisika, yang menyatakan hubungan antara medan listrik dengan medan potensial V. hubungan tersebut ditulis . (1.5)Tinjauan yang paling mudah mengenai gradien adalah mengenalkan gagasan turunan berarah dari suatu fungsi peubah banyak, yaitu laju perubahan fungsi pada arah tertentu. Turunan berarah

fungsi skalar biasanya dinyatakan dengan , dimana dr menyaatakan vektor perpindahan

yang sangat kecil pada arah yang ditinjau, maka :

Steven day dumanauw S2 sains November 2009 4

Untuk lebih jelasnya turunan berarah, mari kita tinjau fungsi skalar dua peubah. Jadi menyatakan medan skalar dua dimensi. dapat digambarkan sebagai suatu fungsi x dan y, seperti gambar 1.2 di bawah ini

Gambar 1.2. Fungsi

Untuk fungsi turunan berarah di titik xo, yo bergantung pada arahnya. Jika kita

pilih arah yang bersesuaian dengan , maka akan diperoleh

=

untuk arah diperoleh hasil sebagai berikut:

=

besarnya harga dr =

Gambar 1.3 di bawah ini menunjukkan fungsi yang dirajah kembali sebagai peta kontur.

Gambar 1.3. Fungsi dari gambar 1.2Dengan demikian suatu fungsi gradien dapat didefinisikan sebagai berikut:

Steven day dumanauw S2 sains November 2009 5

Gradien suatu fungsi skalar adalah suatu vektor yang harganya merupakan turunan-turunan maksimum di titik yang sedang ditinjau, sedangkan arahnya merupakan arah turunan berarah maksimum di titik tersebut.Lambang gradien yang lazim digunakan adalah operator nabla ( ) dan grad

(1.6)

3.2 DivergensiOperator lain yang penting, yang pada dasarnya merupakan turunan, adalah operator divergensi, seperti divergensi vektor F, yang lazim ditulis dengan div F atau yang didefinisikan sebagai berikut:Divergensi suatu vektor adalah limit integral permukan persatuan volume yang melingkupi permukaan dan mendaki nol.

Div v = = (1.7)

Harga limitnya mudah dihitung, sehingga diperoleh divergensi pada koordinat tegak lurus sebagai berikut:

Div =

Divergensi dapat didefinisikan sebagai perkalian antara operator nabla dengan vektor melalui perkalian dot. Dalam pengertian fisika divergensi didefinisikan sebagai kecepatan suatu fluida

dengan yang mampat dengan rapat massa pada titik ruang (x.y.z) dengan volume dxdydz.

Gambar 1.4 Proses aliran fluida

Netto aliran fluida (dalam arah x) = dxdydz dan secara total melaui kotak volume

diperoleh netto aliran fluida keluar per detik

Karena netto aliran fluida mampat (compressible fluid) keluar dari elemen volume per satuan volume per detik adalah dan disebut divergensi. Mengingat adanya persamaan kontinuitas, dimana rumus

dalam hal ini, merupakan fungsi terhadap waktu maupun ruang, ditulis .Persoalan divergensi muncul pada berbagai hal dalam fisika, seperti pada medan elektromagnet, kebocoran neutron dalam reaktor, dan tentang peluang rapat arus dalam mekanika kuantum.

Steven day dumanauw S2 sains November 2009 6

Gabungan dimana f = fungsi skalar dan adalah fungsi vektor, secara matematika dapat ditulis

=

= Dalam hal khusus , maka vektor dikatakan homogen, seperti dijumpai dalam pembahasan tentang medan magnet . Teorema divergensi. Integral dari divergensi suatu vektor pada volume V sama dengan integral permukaan komponen normal vektor itu pada permukaan yang dilingkupi V, yaitu

(1.8)

3.3 Rotasi atau CurlRotasi adalah perkalian operator nabla dengan vektor melalui perkalian silang. Perumusan rotasi ditulis sebagai: x =

=

x

=

Interpretasi fisika dari rotasi adalah sebagai sirkulasi fluida pada suatu loop. Ambil sebagai loop tersebut terletak di bidang x – y. Sirkulasi tidak lain yaitu mencari integral

Perhatikan gambar di bawah ini :

(xo,yo+dy) (xo+dy,yo+dy)

(xo,yo) (xo+dx,yo)

Gambar 1.5 Sirkulasi fluida pada suatu loopHasil integrasi loop 1234 = sirkulasi 1234

=

=

= x

4. Sistem Koordinat4.1 Koordinat kartesius

Steven day dumanauw S2 sains November 2009 7

Koordinat kartesius dapat dinyatakan dalam fungsi f(x,y,z), dan

1. Gradien

2. Divergensi =

3. Rotasional x =

=

4.2 Sistem Koordinat Bola

Dalam beberpa hal kita dapat memakai pengetahuan kita mengenai sistem bujur dan lintang yang dipakai untuk menetukan tempat pada permukaan bumi, tetapi dalam hal tersebut kita hanya titik pada permukaan bumi, sedangkan titik di atas dan di bawah permukan bumi tidak ditinjau. Sistem koordinat bola dpat dibangun berdasarkan ketiga sumbu cartesian, seperti pada gmbar 1.6. Sistem koordinat bola merupakan fungsi dari .

Gambar 1.6 Sistem koordinat bola = . = = p.l.t = . . =

1. Gradiennya :

Steven day dumanauw S2 sains November 2009 8

2. Divergensinya :

3. Rotasionalnya : x =

4.3 Koordinat SilinderKoordinat silinder merupakan fungsi dari f( )

1. Gradiennya:

2. Divergensi :

3. Rotasionalnya : x =

Gambar 1.7 Sistem koordinat silinder

5. Fungsi Delta Diracbanyak usaha yang dilakukan oleh para ahli fisika untuk menyatakan suatu peristiwa alam dengan menggunakan bahasa matematika, seperti dalam menyatakan muatan titik sebagai suatu hal yang khusus dari fungsi rapatan muatan yang umum, yaitu merupakan cara matematika yang berguna dalam banyak perhitungan. Selanjutnya muatan titik dapat dituliskan dalam bentuk untuk

Sangat jelas bagi kita bahwa fungsi delta memberikan ungkapan matematika pada gagasan fisika untuk suatu muatan titik pada . Bentuk lain fungsi delta dapat juga digunakan untuk menyatakan rapat muatan permukaan , yaitu sebaran muatan yang berharga nol di setiap tempat, kecuali pada permukaan tertentu. Dengan perluasan ini integral tunggal yang mencakup

. Penerapan selanjutnya dapat menjelaskan fungsi berikut:

Steven day dumanauw S2 sains November 2009 9

F adalah sebarang fungsi skalar atau vektor, karena fungsi yang diintegralkan berharga nol kecuali di . Selanjutnya

Jika , maka untuk muatan titik di

Fungsi delta untuk hukum Gauss dalam bentuk diferensial

untuk muatan titik q di r = 0, maka

karena , maka

Selanjutnya

Teorema divergensi yang diterapkan pada suatu bola kecil berjejari R yang berpusat dititik asal, menghasilkan

Soal dan Pembahasan1. Unit vekor

=

=

= + +

=

=

Jika = , maka =

Steven day dumanauw S2 sains November 2009 10

+ +

= =

Soal Latihan (bahan Tutorial)

1. Jelaskan struktur atom pada kain wol, pipa plastik, dan ebonit2. Kenapa pipa plastik yang digosok-gosok ke kain wol, pipa plastik menjadi muatan positip?3. Sobekan-sobekan kertas yang tadinya netral, bila didekatkan dengan pipa plastik yang sudah

termuati, sobekan-sobekan kertas yang netral tadi dapa ditarik oleh pipa plastik tersebut.4. Jelaskan konsep induksi di bawah ini

a. elektroskop, jika pada kepala elektroskop didekatkan dengan benda yang bermuatan positip, apa yang terjadi, jika kepala elektroskop tersebut dihubungakan dengan bumi, sementara benda bermuatan positif masih tetap berada ditempat, bagamana daun-daun elektroskop tersebut. Selanjutnya hubungan ke tanah dilepas, sementara benda bermuatan masih tetap berada ditempat, apa yang terjadi pada daun elektroskop, dan apa yang terjadi, jika benda bermuatan dijauhkan dari kepala elektroskop tersebut!

b. Jelaskan konsep penangkal petir ! 5. hitung laplace dari fungsi

a. T = b. T = c. T =

6. tentukan vektor satuan yang tegak lurus pada permukaan , di titik (1,2,1).7. Diketahui fungsi skalar s(x,y,z) = (x2 + y2 + z2)-3/2

Hitung gradien s di titik (1,2,3).8. Tunjukkan bahwa:

a. , dimana V adalah volume per mukaan

tertutup.

b. x , tunjukkan bahwa = 0, untuk setiap permukaan tertutup.

9. Suatu partikel bergerak dalam lintasan lingkaran

a. Hitung x

b. Tunjukkan bahwa x = 0

Hitung harga rotasional berikut ini .10. Bila dan hitung

a. , b. , c. , d.

12. Diketahui suatu medan

dan , tentukan mana diantara kedua medan

diatas merupakan medan elektrostatika ? Syarat medan elektrostatika adalah dan

Steven day dumanauw S2 sains November 2009 11

BAB III

PENUTUP

Ilmu ini (Matematika) dapat dianggap sebagai penunjang fisika teoritis dan fisika komputasi.

Bahasa yang digunakan untuk mengungkap peristiwa alam tersebut adalah bahasa matematika. Matematika memegang peranan penting dalam fisika. Matematika di dalam fisika dipelajari secara khusus yaitu dalam mata pelajaran fisika matematika.

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Steven day dumanauw S2 sains November 2009 12