BAB 2ANALISIS VEKTOR DAN PENGERTIAN MEDAN

2.1 UmumPada Bab 4 kita membahas tentang pengertian dasar besaran vektor serta aljabarnya yang hanya dibatasi pada vektor vektor bernilai tetap, baik besar maupun arahnya. Pada bab ini, bahasannya akan ditingkatkan pada fungsi bernilai vektor atau medan vektor dan kalkulus vektor, yaitu diferensiasi serta integrasi fungsi fungsi bernilai vektor. Isi bahasan ini tergolong bidang kalkulus atau analisis vektor yang memainkan peranan penting dalam kajian mekanika, hidrodinamika dan teori elektromagnet. Manfaat utamanya memberikan rumusan ringkas berbagai basaran fisika yang bergantung pada posisi dan juga pada arah, serta hukum hukum fisika yang mengatur keterkaitan mereka.Uraian bab ini menggunakan pendekatan fisika untuk mengenalkan pengertian dasar seperti medan vektor, divergensi, integral lintasan, permukaan, serta teorema integral divergensi dan Stokes. Sebagai contoh, integral lintasan dikaitkan dengan pengertian usaha dalam mekanika, integral permukaan dengan fluks atau jumlah garis gaya yang menembus suatu permukaan. Bahasan kita akan diawali dengan pengertian fungsi bernilai vektor.

2.2 Fungsi Vektor Satu VariabelTinjau sebuah partikel yang bergerak dalam ruang berdimensi 3, R3. Karena bergerak, koordinat posisinya (x, y, z) selalu berubah, atau bergantung pada waktu . Ini berarti, vektor posisi nya juga bergantung pada waktu t : (2.1)Dengan demikian, titik terminal vektor selalu berubah mengikuti posisi sesaat benda. Jadi, jejak titik terminal vektor adalah kurva lintasan benda , dengan sebagai parameter kurva, seperti yang diperlihatkan pada gambar 6.1a. Sebagai contoh, vektor posisi benda yang bergerak sepanjang heliks pada Gambar 6.1b adalah :

Gambar 2.1 (a) Vektor posisi dan kurva lintasan C.(b) Heliks C dan vektor .

Vektor posisi pada Pers. (6.1) adalah contoh fungsi vektor satu variabel yang secara geometris menyatakan sebuah kurva dalam ruang dengan parameter . Secara umum, vektor dengan ketiga komponennya dan merupakan fungsi dari sebuah variabel yaitu : (2.2)merupakan sebuah fungsi vektor satu variabel.

2.3 Diferensiasi Fungsi Vektor Satu VariabelTinjau Gambar 2.2a dengan adalah kurva lintasan benda. Misalkan pada saat benda berada di titik dengan vektor posisi , dan pada saat ia berada di titik dengan vektor posisi . Selisih kedua vektor posisi ini, yaitu : = = = (2.3)disebut vektor perpindahan benda. Pada Gambar 2.2a, adalah vektor . Maka, dalam selang waktu , kecepatan rata rata benda didefinisikan sebagai berikut :

Gambar 2.2 (a) Vektor perpindahan (b) Vektor limit menyinggung kurva .

Jika dibuat sekecil mungkin, maka vektor perpindahan yang bersangkutan semakin menghampiri busur kurva lintasan , seperti diperlihatkan pada Gambar 2.2b. Jika , maka vektor yang kini berimpit dengan busur kurva dan arahnya sejajar garis singgung kurva lintasan di . Pada keadaan limit ini, kecepatan rata rata yang bersangkutan praktis adalah kecepatan benda pada saat posisinya berada di yang disebut kecepatan sesaat atau kecepatan benda, yaitu :

Setiap komponen di ruas kanan Pers. (2.5), menurut Kalkulus, berturut turut adalah diferensiasi dan Secara matematika, Pers. (2.5) adalah definisi diferensiasi atau turunan fungsi vertor satu variabel terhadap yang dinotasikan sebagai :

Karena diferensial

menyinggung kurva maka kecepatan pada pers. (2.6) arahnya juga menyinggung kurva lintasan . Selanjutnya, didefenisikan pula turunan kedua vektor :

yang merupakan vektor kecepatan benda.Secara umum, jika ketiga fungsi komponen dan dari fungsi vektor satu variabel pada pers. (2.2) merupakan diferensiabel, maka diferensiasi fungsi vektor didefinisikan sebagai :

Jadi, turunan sebuah fungsi vektor adalah sebuah vektor yang komponen komponennya adalah turunan dari masing masing komponen . Begitupula didefinisikan turunan orde tinggi dan seterusnya.

Contoh 2.1:Hitunglah vektor kecepatan dan percepatan dari sebuah partikel yang bergerak sepanjang heliks dengan persamaan vektor posisi .Penyelesaian :Menurut pers. (2.5), vektor kecepatan benda adalah :

sedangkan vektor percepatannya adalah :

Rumus DiferensiasiBerikut adalah rumus diferensiasi vektor yang pembuatannya dapat diperlihatkan dengan menerapkan definisi (2.9).Jika dan adalah fungsi fungsi vektor diferensiabel dari skalar , maka :1) 2) Jika adalah sebuah fungsi diferensiabel dari maka : 3) 4) 5) 6)

2.4 Medan Skalar Dan VektorPada umumnya, nilai berbagai besaran fisika tidaklah sama pada titik yang berbeda dalam ruang. Sebagai contoh, suhu di dekat tempat perapian lebih tinggi daripada suhu yang jauh dari tempat perapian. Begitupula, besar dan arah kecepatan aliran fluida dalam sebuah pipa tak lurus yang luas penampangnya berubah ubah, tidaklah sama dalam berbagai titik sepanjang pipa.Kedua jenis besaran ini, secara umum didefinisikan sebagai berikut :Definisi 2.1 :Jika pada setiap titik P (x, y, z) dari suatu daerah dalam ruang dikaitkan :(a) Sebuah skalar , maka fungsi skalar (x, y, z) mendefinisikan sebuah medan skalar dalam daerah .(b) Sebuah vektor F, maka fungsi vektor F (x, y, z) mendefinisikan sebuah medan vektor dalam daerah . Dalam komponen :F (x, y, z) = Fx (x, y, z) i + Fy (x, y, z) j + Fz (x, y, z) k(2.10)Medan skalar (x, y, z) dan medan vektor F (x, y, z) sering disingkat dengan notasi (r) dan F (r).

Contoh 2.2 : Medan Skalar(a) Distribusi suhu T pada selembar logam , mendefinisikan sebuah medan skalar T (x, y, z).(b) Fungsi (x, y, z) = z3 xy2 mendefinikan sebuah medan skalar dalam ruang.

Contoh 2.3 : Medan Vektor(a) Kecepatan aliran fluida pada setiap titik (x, y, z) dalam fluida, mendefinisikan sebuah medan skalar (x, y, z).(b) Medan elektrostatik mendefinisikan sebuah medan vektor dalam ruang. Di sini, ketiga komponennya adalah :

2.5 Gradien Dan Turunan ArahTinjaulah sebuah meddan skalar (x, y, z) yang terdefinisikan dalam daerah , misalkan suhu dalam ruang. Diferensial total d diperoleh dari :

Ruas kanan dapat dituliskan dalam pernyataan hasil kali titik :

Ini adalah hasil kali titik antara vektor dengan medan vektor . Medan vektor ini disebut gradien yang dilambangkan dengan grad atau (dibaca del ). Secara definisi :

Dengan demikian, Pers. (2.11) dapat disederhanakan menjadi :

Jika adalah diferensial vektor kedudukan sepanjang kurva C : , maka , dan

adalah diferensial panjang atau matriks dari kurva . Jika diambil sebagai parameter kurva , maka :

adalah vektor singgung satuan dari kurva .Kita selanjutnya mendefinisikan turunan medan skalar dalam arah sebagai :

dengan vektor satuan dalam arah yang lazim disebut turunan arah medan skalar . Secara fisika, menyatakan laju perubahan ( rate ) medan skalar dalam arah .Jika adalah sudut antara vektor dan , maka . Karena maka maksimum, yakni untuk = 0, atau dalam arah yaitu arah

Contoh 2.4 :Jika hitunglah :(a) Medan vektor gradien (b) Turunan arah medan skalar dalam arah vektor di titik Penyelesaian :(a) Dari definisi (2.12) mengenai medan vektor gradien, kita peroleh :

(b) Untuk menghitung turunan arah medan skalar dalam arah vektor yaitu , kita hitung terlebih dahulu vektor satuan . Karena panjang vektor adalah :

maka

Dengan demikian,

Di titik nilainya adalah :

Vektor Normal PermukaanTinjau sebuah permukaan dalam ruang yang persamaannya diberikan dalam bentuk implisit : dengan merupakan sebuah tetapan. Maka, pada permukaan ini berlaku: atau Karena koordinat , maka menyinggung setiap kurva pada permukaan , atau dengan kata lain, menyinggung permukaan . Dengan demikian, kita peroleh kesimpulan berikut:vektor tegak lurus permukaan Karena adalah nilai turunan arah dalam arah , atau normal permukaan ia sering disebut turunan normal dan dilambangkan dengan Fungsi selanjutan disebut fungsi permukaan.

Contoh 2.5 :Permukaan dalam diberikan oleh persamaan : Hitunglah :(a) Normal satuan permukaan (b) Persamaan bidang singgung yang menyinggung permukaan di titik Penyelesaian :(a) Fungsi permukaan adalah : sehingga

Di titik , nilai adalah : dan Jadi, menurut Pers. (2.17), normal satuan permukaan adalah :

(b) Secara geometris, bidang yang menyinggung persamaan di titik tegak lurus permukaan di titik tersebut. Jadi, persamaan bidang singgung ini adalah :

atau

2.6 Divergensi Dan CurlTinjau aliran air pada suatu daerah dengan kecepatan aliran di setiap titikdiberikan oleh medan vektor kecepatan Kurva kurva dengan vektor singgung ini disebut garis arus (streamlines). Jika adalah rapat massa fluida, maka jumlah massa fluida yang menembus tegak lurus elemen vektor luas permukaan dalam selang waktu adalah jumlah massa yang terdapat dalam volume atau (lihat gambar 2.3). Jika kecepatan aliran tidaklah tegak lurus terhadap ekemen vektor luas maka volume sehingga jumlah massa fluida yang menembus permukaan dengan luas tiap satuan waktu atau debit fluida adalah :

dengan dan adalah normal satuan permukaan luas

Gambar 2.3 Elemen volume dalam aliran fluida.Sekarang, tinjaulah suatu elemen volume empat persegi panjang dalam daerah aliran fluida (lihat gambar 2.3), dengan titik pusat Aliran fluida menembus (masuk maupun keluar) keenam sisi elemen volume ini, dan kita akan menghitung jumlah fluida yang keluar darinya per satuan waktu.Merujuk dari gambar 2.3, debit fluida yang menembus permukaan (1) adalah :

sedangkan yang menembus permukaan (2) adalah :

Jadi, neto laju massa fluida yang keluar dari elemen volume dalam arah aliran adalah :

Dengan cara yang sama, neto laju massa fluida yang keluar dari elemen volume dalam arah aliran dan berturut turut adalah :

Jadi, total neto laju massa fluida yang keluar dari elemen volume adalah :

Besaran di dalam tanda kurung, secara matematis dapat dirumuskan sebagai hasil kali titik seperti berikut :

Secara umum, jika adalah sebuah medan vektor diferensiabel, maka divergensi medan vektor yang disingkat didefinisikan sebagai berikut :

Secara fisika, jika Pers. (2.21) dibagi dengan kita peroleh tafsiran bahwa menyatakan neto laju massa fluida yang keluar dari suatu volume satuan di titik Medan vektor diferensiabel yang memenuhi sifat : disebut solenoidal.

Contoh 2.6 :Tentukan tetapan a agar medan vektor bersifat solenoidal.Penyelesaian :Medan vektor bersifat solenoidal, jika Menurut persamaan (6.22) :

Jadi, jika Rumusan medan skalar divergensi pada persamaan (2.22) member kesan bahwa operator diferensiasi : berperilaku sebagai besaran vektor yang memenuhi operasi hasilkali titik vektor. Tetapi, perlu dicatat bahwa berbeda dari vektor biasa, operator hanyalah bekerja dari sebelah kiri, sehingga hubungan komutatif tidaklah berlaku. Ruas kiri adalah suatu medan skalar, sedangkan ruas kanan adalah suatu operator diferensiasi baru.Berikut ini merupakan operasi hasilkali silang (x), kita definisikan sebagai curl dari medan vektor sebagai berikut :curl

Terlihat bahwa curl adalah sebuah medan vektor.Tafsiran fisikanya dapat kita lihat sebagai berikut. Tinjau kembali rotasi benda tegar yang dibahas pada Bab 4. Telah diperlihatkan bahwa kecepatan linear dari setiap titiknya pada posisi dari titik asal di poros benda tegar yang berotasi dengan kecepatan sudut tetap adalah curl

Jadi, yang menunjukkan bahwa curl sebuah medan vektor berhubungan dengan sifat rotasi medan vektor yang bersangkutan. Dalam hal adalah medan vektor kecepatan aliran fluida, maka sebuah pedal yang ditempatkan pada daerah di mana maka berputar pada sumbunya. Medan vektor diferensiabel yang memenuhi sifat : disebut irotasional.

Contoh 2.7 :Jika hitunglah di titik Penyelesaian :Menurut persamaan (2.23) :

atauDi titik kita peroleh :

Rumus Rumus Yang Mengandung Berikut adalah beberapa rumus yang mengandung operator del Jika adalah medan vektor diferensiabel, dan medan skalar diferensiabel, maka dengan menggunakan definisi operator pada persamaan (2.12), pada persamaan (2.22), dan pada Pers. (2.23), diperoleh :(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Jika dan memiliki turunan kedua yang kontinu, maka(9) dengan disebut operator Laplace.(10) (11) (12)

Dalam ketiga pasal berikut kita akan membahas integrasi vektor yang muncul dalam berbagai persoalan fisika.

2.7 INTEGRASI VEKTOR BIASAMisalkan adalah sebuah vektor yang bergantung pada satu variabel atau parameter Maka integral tak-tentu dari didefinikan sebagai :

Bila terdapat sebuah vektor sehingga maka

dengan C sebuah vektor tetap.Integral tentu antara limit dan b, untuk kasus (2.25), seperti halnya pada integral skalar biasa, adalah :

Contoh 2.8 :Jika kecepatan sebuah partikel pada sebarang saat adalah : tentukanlah kecepatan dan kedudukan benda tersebut untuk sebarang saat jika diketahui bahwa pada saat dan Penyelesaian :Dari hubungan diferensiasi antara kecepatan dan kecepatan yang diberikan oleh Pers. (2.8) : kita peroleh :

Dengan menyisipkan pernyataan di ruas kiri, kita peroleh :

Selanjutnya, dari hubungan diferensiasi antara kecepatan dan menurut Pers. (2.6), dengan cara yang sama kita peroleh :

2.8Integral LintasanPerhatikan sebuah benda yang bergerak sepanjang kurva C: r = r(t), dari titik P ke titik Q, dan pada kurva itu bekerja gaya sebesar F(r) = F(x,y,z) seperti pada gambar 2.4. Selanjutnya, kita akan menghitung usaha yang dilakukan gaya F pada benda tersebut. Untuk itu, pada kurva C antara P dan Q kita bagi atas jumlah perpindahan ri, dimana ri merupakan vector kedudukan pada titik ke-i pada busur kurva C yang diapit dengan tali busur ri, sebanyak N bagian, ri dan rN berturut-turut adalah vector kedudukan titik awal P dan titik akhir Q.

Gambar 2.4 Usaha pada gaya F(ri) pada perpindahan ri sepanjang kurva C.

Maka persamaan usaha oleh gaya F sepanjang kurva C dengan perpindahan ri adalah: (2.27)Jadi persamaan usaha total yang dilakukan gaya F(r) terhadap benda sepanjang kurva C dari titik P hingga titik Q, adalah: Dengan membagi kurva C antara titik P dengan titik Q , yakni dengan mengambil, sehingga , merupakan differensial kurva C, maka usaha total gaya F(r) sepanjang kurva C adalah: (2.28)Integral pada persamaan (2.28) merupakan integral lintasan vector gaya F(r) sepanjang kurva C dari titik P hingga titik Q. Berbeda dengan integral biasa, integral lintasan pada umumnya bergantung pada bentuk lintasan. Artinya nilai integral lintasan pada sepanjang lintasan yang berbeda antara dua titik P dan Q yang pada umumnya tidak sama besar.Analisa perhitungan integral lintasan (2.28) dilakukan dengan mengubahnya menjadi integral biasa terhadap parameter kurva C. Misalkan persamaan parameter kurva C diberikan oleh persamaan (2.1), elemen differensial dr diberikan oleh persamaan (2.7). Karena vector gaya F(r) yang diperhatikan adalah yang ditunjukkan pada kurva C, maka gaya tersebut juga akan bergantung pada parameter t, yaitu: (2.29)Masukkan persamaan (2.7) dan (2.29) kedalam persamaan (2.28), sehingga diperoleh : (2.30)Jika titik P dan titik Q berturut-turut berhubungan dengan parameter tP dan tQ, maka dengan memasukkan persamaan (2.30) kedalam integral lintasan (2.28),kita dapat memperoleh integral satu variable biasa, yaitu: (2.31)Berikut adalah beberapa sifat dari integral lintasan,yaitu:a. Jika F(r) = F1(r) + F2(r), maka: (2.32)b. Jika C = C1 U C2 dan C1 C2 = R (titik potong), maka: (2.33)

Contoh 2.9 :Jika , hitunglah dari titik O(0, 0, 0) ke titik P(2, 1, 1) sepanjang kedua lintasan berikut :a. C1 : garis lurus OPb. C2 : x = 2t2 , y = t , z = t3Penyelesaian :a. Persamaan garis yang melewati titik O(0, 0, 0) dan titik P(2, 1, 1) memiliki vector arah: , maka persamaan garis OP dalam parameter t adalah:

Sehingga:

Pada garis OP, medan vector A adalah:

Sehingga diperoleh:

Batas integral terhadap parameter t dicari dengan menghitung nilai t yang bersangkutan terhadap titik awal O(0, 0, 0) dan titik P(2, 1, 1) dari persamaan parameter garis OP diatas. Kita memperoleh titik awal O dan titik akhir P.Dengan demikian, integral lintasan yang dihitung akan berubah menjadi integral biasa, yaitu:

b. Kurva C2 memiliki persamaan parameter sebagai berikut:

Dengan melakukan perhitungan yang sama dengan soal (a), maka untuk menghitung medan vector dr dan A pada kurva C2 ,adalah sebagai berikut:

Karena titik awal O(0, 0, 0) dan titik P(2, 1, 1), berturut-turut berkaitan dengan parameter to = 0 dan tp =1, maka:

Bandingkan hasil (a) dan hasil (b), maka akan terlihat bahwa nilai integral lintasan yang bersangkutan, dari O ke P sepanjang garis lurus OP dan kurva C2 tidak sama.

Contoh 2.10 :Jika , hitunglah sepanjang lingkaran dalam arah positif dari (0, 1, 1) hingga (1, 0, 1).Penyelesaian :Dengan memilih sudut sebagai parameter lingkaran C, maka persamaan parameternya adalah sebagai berikut :

Dengan titik awal (0, 1, 1) berhubungan dengan , dan titik akhir (1, 0, 1) berhubungan dengan atau . Untuk putaran positif, parameter , jadi kita ambil .Dengan menggunakan parameter koordinat ini, medan vector F pada lingkaran C adalah:

Sedangkan,

Sehingga,

Dengan demikian, integral lintasan yang dihasilkan adalah sebagai berikut:

Medan Vektor KonservatifIntegral lintasan suatu medan vector F, pada umumnya bergantung pada lintasan C, seperti yang ditunjukkan pada contoh 2.9. Khusus untuk medan vector gradient dengan adalah suatu medan scalar, jika P dan Q adalah titik awal dan titik akhir, maka:

Jadi, integral lintasan suatu medan vector gradien hanya bergantung pada titik awal dan titik akhir lintasan, dan tidak bergantung pada lintasan C. Secara fisika, usaha oleh medan gaya gradient tidak bergantung pada lintasan, tetapi hanya bergantung pada titik awal dan titik akhir benda. Jadi, untuk setiap lintasan tertutup C, berlaku:

Medan vector gradient ini disebut dengan medan vector konservatif. Secara fisika, medan scalar adalah energy potensial medan gaya F.Menurut rumus , maka medan vector gradient memenuhi sifat , maka F adalah solenoidal.

2.9Integral Permukaan Jumlah massa fluida yang menembus permukaan S seluas dA per satuan waktu adalah:

Dimana , dan normal satuan elemen luas permukaan dA.Dengan demikian, untuk permukaan berhingga S, yang umumnya lengkung, laju jumlah massa fluida yang menembusnya ditunjukkan oleh integral: (2.34)Persamaan tersebut dikenal sebagai integral permukaan medan vector . Pada teori electromagnet, jika adalah medan elektrostatik, maka integral permukaan menyatakan jumlah garis gaya atau fluks medan elektrik yang menembus permukaan S.Sebuah permukaan S, pada dasarnya adalah himpunan titik dalam ruang tiga dimensi yang koordinatnya diberikan oleh persamaan parameter: (2.35)Dengan dan kedua parameter permukaan permukaan yang didefenisikan dalam suatu daerah pada bidang datar . Dengan demikian, secara vector, permukaan S adalah tempat kedudukan semua titik dengan vector kedudukan: (2.36)Persamaan 2.36 diatas menunjukkan bahwa jika dengan tetap, maka nyatakanlah sebuah kurva pada permukaan S dengan . Begitu pula halnya jika adalah tetap, maka menyatakan kurva pada permukaan S. Dengan demikian dan berturut-turut menyinggung kurva dan pada permukaan S. Keduanya membentuk sisi dasar petak jajaran genjang singgung infinitesimal pada permukaan S, seperti terlihat pada gambar 2.5. Menurut aljabar , luas petak jajaran genjang ini adalah elemen vector luas permukaan S, yakni: (2.37)

Gambar 2.5 Elemen Luas Permukaan S, Dengan menggunakan persamaan parameter permukaan (2.35) dan elemen vector luas (2.37) pada integral permukaan (2.34), kita peroleh integral lipat dua dalam parameter dan yang selanjutnya dihitung dalam bab 1. Dalam bab ini, kita hanya akan membahas tiga macam parameterisasi permukaan sederhana, yaitu: koordinat kartesius silinder dan bola . Berikut pembahasannya :a. Parameterisasi dalam Koordinat KartesiusMisalkan permukaan S diberikan oleh persamaan permukaan dalam koordinat kartesius: adalah normal terhadap bidang seperti pada gambar 2.6. Dalam hal ini, koordinat dan dapat diambil sebagai kedua parameter permukaan S. karena kedua parameter ini mempunyai tafsiran geometris yang jelas dalam system koordinat kartesius, maka pernyataan elemen vector luasnya akan kita hitung secara geometris.

Gambar 2.6 (a) Permukaan S yang normal terhadap bidang xy. (b) Elemen luas dan .Urutan perhitungannya adalah sebagai berikut:a) Hitung vector normal satuan permukaan S:Menurut persamaan (2.17), normal permukaan adalah: sehingga (2.38)b) Selesaikan persamaan permukaan untuk variable z:Dari penyelesaian ini diperoleh persamaan: c) Nyatakan medan vector dan dalam x dan y:Karena , dan maka dari persamaan z yang diperoleh pada (b), kita peroleh: (2.39) (2.40)d) Elemen luas dA dinyatakan dalam :Perhatikan kembali gambar 2.6b, secara geometris, adalah proyeksi dA pada bidang xy yang memiliki normal permukaan. Jika adalah sudut antara bidang yang memuat dA dan , maka hubungan antara kedua elemen luas ini adalah:

Dari gambar 2.6b, tampak bahwa adalah juga sudut antara normal bidang dA dan , normal bidang . Karena dan adalah vector satuan, maka:

Sehingga diperoleh: (2.41)

e) Tentukan , proyeksi S pada bidang xy:Daerah integrasi yang berhubungan diperoleh dengan mencari proyeksi batas permukaan S pada bidang xy. Untuk itu perlu disketsakan permukaan S dan proyeksinya.f) Hitung integral lipat duanya:Dengan memasukkan persamaan (2.37), (2.38), dan (2.39) kedalam integral permukaan (2.34) kita memperoleh integral lipat dua: (2.42)Uraian langkah penyelesaian yang sama juga berlaku untuk permukaan yang normal terhadap bidang yz dan zx.

Contoh 2.11Jika , dan S adalah bidang dalam oktan pertama, hitunglah .Penyelesaian:Karena bidang S normal terhadap bidang xy, kita dapat memilih x dan y sebagai parameter bidang S. dengan menyelesaikan persamaan bidang bagi z, kita peroleh: .Dengan demikian, nilai medan vector F pada bidang S adalah:

Selanjutnya normal satuan dari permukaan S dihitung dari fungsi permukaan . Kita peroleh: , dan , maka normal satuan bidang S adalah: dan Dari sketsa permukaaan S pada gambar 2.7a, kita peroleh proyeksi bidang S dalam oktan pertama pada bidang xy, , adalah daerah dalam kuadran pertama yang dibatasi oleh sumbu x positif, y positif, dan garis perpotongan bidang S dengan bidang xy, atau , yaitu . Pada gambar 2.7b diperlihatkan sketsa daerah yang bersangkutan.

Gambar 2.7 (a) Permukaan bidang S. (b) Daerah integrasi .Dengan demikian, integral permukaan berubah menjadi integral lipat dua:

b. Parameterisasi dalam Koordinat SilinderMisalkan S adalah permukaan silinder: dengan z sebagai sumbu simetrinya, maka koordniat sudut dan z dapat kita pilih sebagai dua parameternya. Persamaan permukaan S, dengan demikian, menurut persamaan (2.47) dengan r = a, adalah: (2.43)Dengan demikian, factor kedudukannya adalah:

Sehingga,

Karena itu, vector elemen luas permukaan silinder S ini, menurut persamaan (2.37) adalah:

(2.44)

Medan vector F(x, y, z) pada permukaan S, adalah F(x(), y(), z) (, z). Untuk menyederhanakan perhitungan, kita hitung dulu dalam system koordinat kartesis, yang menghasilkan medan scalar: (x, y, z) = F.n, lalu masukkan persamaan parameter (2.43).

Contoh 2.12:Jika dan S adalah permukaan silinder yang terdapat dalam oktan pertama antara z = 0 dan z = 5, hitunglah .Penyelesaian:Karena permukaan silinder S: memiliki jari-jari , maka persamaan parameternya adalah: Dengan menggunakan elemen vector luas , maka:

Permukaan silinder yang ditinjau adalah yang terletak dalam kuadran pertama, jadi dari = 0 hingga = /2, dan antara z = 0 hingga z = 5. Jadi:

c. Parameterisasi dalam Koordinat BolaMisalkan S adalah permukaan bola: dengan pusat simetri dititik asal O(0, 0, 0), maka koordinat sudut , dan dapat kita pilih sebagai kedua parameternya. Persamaan Permukaan parameter S menurut persamaan (1.50) dengan r = a, adalah: (2.45) Dengan demikian vector kedudukannya adalah:

Sehingga: Maka, vector elemen luas permukaan bola S ini, menurut persamaan (2.37) adalah: (2.46)

Medan vector F(x, y, z) pada permukaan bola S, adalah: F(x (, ) ), y(, ), z() ) = V(, ). Untuk menyederhanakan perhitungan, sama seperti koordinat silinder.

Contoh 2.13:Hitunglah Jika , dan S adalah seluruh permukaan bola Penyelesaian:Karena permukaan bola S: memiliki jari-jari , maka persamaan parameternya adalah:

Karena elemen vector luas permukaan bola S menurut persamaan (2.46) adalah: , maka:, karena Jadi, integral permukaan medan vector F terhadap seluruh permukaan bola adalah:

2.10 Teorema Green dalam BidangTeorema integral menyatakan bahwa:

Teorema berikut ini mengaitkan integral lipat dua dari turunan parsial fungsi dua variable dengan integral lintasan fungsi yang bersangkutan. Berikut ini adalah teorema Green dalam bidang yang berbunyi sebagai berikut:Teorema 2.1: Teorema Green dalam BidangMisalkan C sebuah kurva diferensiabel tertutup dalam bidang xy yang normal terhadap sumbu x maupun sumbu y. Jika M(x, y) dan N(x, y) adalah dua fungsi diferensiabel, maka: (2.47)Dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup C.Ruas kiri adalah integral lintasan sepanjang lintasan tertutup C arah positif. Berikut adalah pembuktiannya:

Ganbar 2.8 Teorema Green dalam Bidang

Dengan x sebagai parameter kurva C, maka:

(2.48)Kedua, dengan meninjau C sebagai kurva normal terhadap sumbu-y, dan mengambil y sebagai parameter, sehingga didapat: (2.49)Lalu, jumlahkan persamaan (2.48) dengan persamaan (2.49), maka diperoleh hubungan yang ditunjukkan oleh persamaan (2.47).

Contoh 2.14:Periksalah kebenaran teorema Green dua dimensi untuk integral lintasan dengan C adalah sebuah kurva tertutup yang disusun oleh kurva dan Penyelesaian:Pertama, kita hitung dahulu integral lintasannya. Pada gambar 2.9 dibawah ini terlihat kurva C. Kedua kurva penyusunnya adalah dan berpotongan pada dua titik yang diperoleh dari penyelesaian persamaan aljabar: yaitu (0, 0) dan (1, 1).

Gambar 2.9Kita peroleh: Kedua, kita hitung integral lipat dua: Persamaan hasil perhitungan kedua integral ini memperlihatkan secara eksplisit kebenaran teorema Green dalam bidang.

2.11Teorema StokesPerhatikan kembali teorema Green dua dimensi diatas. Dengan melihat fungsi M(x, y) dan N(x, y) sebagai komponen x dan y dari medan vector F(x, y), yaitu , maka integral lintasan di ruas kiri persamaan (2.47), dalam pernyataan vector adalah:

Selanjutnya, karena:

Dan elemen vector luas bidang xy adalah , maka:

Jadi, dalam notasi vector, teorema Green dua dimensi adalah: (2.50)Perluasannya dalam ruang tiga dimensi dikenal dengan teorema Stokes yang berbunyi:Teorema 2.2: Teorema StokesMisalkan C sebuah kurva differensial tertutup dalam ruang tiga dimensi yang normal terhadap ketiga sumbu koordinat x, y, dan z. Jika suatu medan vector differensial, maka:

Dengan S adalah kurva yang dibatasi kurva tertutup C.

Contoh 2.15Jika diketahui , dan C adalah lingkaran pada bidang xy, periksalah kebenaran hokum Stokes untuk kedua permukaan tertutup yang dibatasi lingkaran C berikut:a. Bidang lingkaran S: b. Permukaan setengah bola S: diatas bidang xy.Penyelesaian:Pertama, kita hitung dahulu integral lintasannya. Gunakan persamaan parameter lingkaran C: dengan sudut sebagai parameter, maka: , jadi untuk satu putaran dalam arah positif :

Berikut kita menghitung integral permukaan bersangkutan. Untuk itu kita hitung dahulu medan curl F. maka diperoleh:

a. Untuk bidang lingkaran S: , elemen vector luasnya adalah: dengan dA adalah elemen luas lingkaran berjari-jari a, sehingga:

Sesuai dengan hasil integral lintasan diatas, sebagaimana diperlihatkan oleh teorema Stokes (2.50).b. Untuk permukaan setengah bola S: elemen vector luasnya adalah: , dengan dA elemen luas permukaan bola berjari-jari a, sehingga:

Gunakan parameter sudut koordinat bola (, ), maka: dan Sehingga untuk setengah permukaan bola atas :

Hasil penyelesaian diatas sesuai dengan teorema Stokes (2.50).

2.12 Teorema DivergensiPada bagian 2.6 dijelaskan bahwa massa fluida yang menembus elemen faktor luas ndA adalah v.ndA= U.ndA. dengan demikian laju massa fluida yang menembus permukaan tertutup S adalah:(2.51)Di samping itu,dalam soal yang sama kita dapat bahwa besaran V.U menyatakan laju massa fluida yang keluar dari satuan volume. Dengan demikian jika V adalah volume ruang yag dibatasi permukaan S,maka berlaku: (2.52)Samakan pers.(2.51) dan pers.(2.52) maka diperoleh teorema berikut:

Teorema 9.3: Teorema DivergensiMisalkan S adalah sebuah permukaan tertutup yang normal terhadap ketiga bidang koordinat xy,yz dan zx,dan F(r) sebuah medan vektor diferensiabel. Jika V adalah volume ruang yang dibatasi S,maka berlaku: (2.53)Sama halnya dengan teorema Stokes,diharapkan pembaca dapat melihat analisis vektornya. Contoh soal berikut memperlihatkan hubungan teorema divergensi tersebut.

Contoh 2.16:Periksalah kebenaran teorema divergensi,secara eksplisit jika Fy2 z2 )(), dan V adalah volume bola pejal yang dibatasi oleh permukaan bola y2 z2 25Penyelesaian:Pada contoh 2.13 telah dihitung bahwaintegral permukaan medan vektor F dari soal ini terhadap seluruh permukaan bola S: y2 z2 25,adalah: 5)(4)Teorema divergensi (9.530 dapat dibuktikan dengan menghitung medan divergensi sehingga diperoleh:y2 z2 ) () 3y2 z2 )y2 z2 ) y2 z2 ) 5(y2 z2 )Jadi integral volum yang harus kita hitung adalah: Dengan menggunakan koordinat bola (r,) maka menurut per.(8.52) dan (8.54): x dVr2 sinmaka diperoleh:IdV 2)r2 sin4dr)()(55)(4Jadi,5)(4Sesuai dengan hasil integral permukaannya sebagaimana diisyaratkan oleh teorema divergensi (2.53)

2.13 Sistem Koordinat LengkungPada bagian 2.5 dan 2.6 dipelajari bahwa rumusan operator diferensial faktor: grad ( sangat bermanfaat dalam hukum fisika yang berkaitan dengan teori hidrodinamika,dan elektromagnet. Tetapi rumusan tersebut masih terbatas pada penggunaan sistem koordinat kartesis (x,y,z). Untuk persoalan tertentu seperti aliran fluida atau medan elektrik yang memiliki simetri silindris atau bola. Dalam hal ini penggunaan sistem koordinat lengkung yang sesuai,yakni sistem koordinat silinder atau bola,ternyata mengalihkan persoalannya menjadi sederhana untuk ditangani.

Sistem Koordinat Lengkung OrtogonalDalam hal ini akan dibahas tentang ketiga operator diferensiasi vektor yang disebut di atas dlam koordinat lengkung ortogonal. Misalkan koordinat kartesis (x,y,z) berkaitan dengan koordinat lengkung (u,v,w) melalui hubungan transformasi:x (2.54)yang juga memiliki transformasi balik (invers):u (2.55)misalkan,r, atau r (2.56)adalah vektor kedudukan sembarang titik P relatif terhadap sistem koordinat kartesis XYZ. Maka menurut pers 2.54:radalah vektor kedudukan titik P relatif terhadap sistem koordinat lengkung UVWjika u1 dan v2, dengan 1 dan 2 konstan maka:r1, 2 ,w) (2.58a)adalah vektor kedudukan sembarang titik P pada suatu kurva dengan parameter w,yang disebu kurva koordinat w.r1,v, 3) (2.58b)r2, 3) (2.58c)menyatakan kurva koordinat v dan u. Ketiga kurva koordinat ini dikatakan membentuk sistem koordinat lengkung UVW.

Vektor Basis Dan Faktor Skala Koordinat Lengkung OrtogonalDengan demikian, , , dan Masing-masing vektor singgung terhadap kurva koordinat: u,v dan w. Maka vektor satuan dalam masing-masing arah kurva koordinat lengkung ini adalah: u , , v , w (2.59a)Denganhuvdan hw (2.59b)adalah panjang vektor singgung bersangkutan,atau juga disebut sebagai faktor skala. Dalam buku ini kita hanya akan meninjau sistem koordinat lengkung ortogonal,berlaku: u . v0 , u . w0 , v . w0 (2.60)Ketiga vektor satuan: u , v, w membentuk himpunan vektor basis koordinat lengkung bersangkutan.

Contoh 2.17:Tinjau sistem koordinat silinder:x , ytentukan hubungan antara himpunan vektor basis sistem koordinat silinder dengan kartesis.Penyelesaian:uvektor singgung bersangkutannya adalah: Dan panjang masing-masingnya:hr jadi hubungan antara himpunan vektor basis sistem koordinat silinder: ( r , , z) dengan (,) menurut 2.59a adalah: r . r . z zYang menyatakan bahwa sistem koordinat silinder (r,adalah ortogonal. Lihat gambar 2.10 di bawah.

(a) (b)Gambar 2.10 sistem koordinat: (a)silinder, (b)bola, serta vektor basisnya.

Elemen Jarak Atau MetrikJika P dan Q adalah 2 titik dalam ruang masing-masing dengan vektor kedudukan r dan rdr,maka elemen kuadrat jarak antara kedua titik tersebut,kuadrat metriknya adalah:ds2 (2.62)dalam sistem koordinat kartesis: drdydz, sehingga kuadrat metriknya adalah:ds2222sedangkan dalam sistem koordinat lengkung,dengan rr(u,v,w):dr dudvdw (2.63)maka diperoleh:ds2222 (2.64)

Contoh 2.18:tuliskan kuadrat metrik untuk sistem koordinat:(a). Silinder: xr cos(b). Bola: xPenyelesaian:(a). Silinder Pada contoh 2.16 telah dihitung bahwa: hrhdan hzsehingga kuadrat metriknya adalah:ds22r2d2dz2 (2.65)(b). Bola Pada soal 2.16 dibuktikan bahwa:hr1, h sehingga kuadrat metriknya adalah:ds22r2 sin2 d2 r2 d2 (2.66)

9.14 Operator Diferensiasi Vektor Dalam Sistem Koordinat Lengkung Operator Gradien Misalkan (u,v,w) adalah sebuah medan skalar dalam sistem satuan UVW. Karena adalah sebuah vektor,maka dalam sistem koordinat ini dengan vektor basis ( u , v , w ):fu u fv v fw w (2.67)Dengan fu ,fv ,fw ditentukan sebagai berikutd . dr fu u fv v fw wkarena d du dv dw , maka:fu , fv , fw (2.68)substitusi 2.68 ke dalam 2.67 maka diperoleh pernyataan operator gradien dalam sistem koordinat:grad u fv v fw w (2.69)

Operator Divergensi Misalkan A sebuah medan vektor,pernyataannya adalah:A Au u Av v Aw w (2.70)

Dengan komponen Au,Av,dan Aw adalah fungsi dari (u,v,w) maka divergensi medan A adalah: Au u ) Av v ) Aw w ) (2.71)

Untuk menghitung divergensi di ruas kanan,hubungkan dengan contoh 2.19 di bawah:() , () () (2.73)

Maka dengan menggunakan rumus divergensi pada 2.6, 2.72 serta rumusan gradien (2.69) diperoleh:div ( (hvhwAu) (huhwAv) (huhvAw) ) (2.74)

Operator Laplacian 2Dengan operator grad ( dan div (),selanjutnya dapat diturunkan Laplacian dari medan skalar ,2. Dalam sistem koordinat kartesis adalah:2 (2.75)

Dalam sistem koordinat,dengan rumus 2.69 dan 2.74 maka diperoleh:2 () () () (2.76)

Contoh 2.19:Buktikan pers 2.72Penyelesaian:Pada contoh ini hanya dibuktikan hubungan:)Tinjau rumus operasi grad 2.69 dengan mengambil maka berturut-turut diperoleh: , , (2.77)

Karena ( u , v , w ) membentuk sistem vektor basis ortogonal,maka: u x v w (2.78)Substitusi hubungan 2.77 ke dalam perkalian silang x : x (2.79)Selanjutnya meninjau divergensi ruas kiri pers.2.79 dengan rumus divergensi no.6 pada 9.6,maka diperoleh: (2.80)Maka Substitusi pers 2.80 pada ruas kiri pers 2.79,terbukti bahwa: 0

Contoh 2.20:Jika adalah medan skalar,turunkan persamaan laplacian 2 dalam sistem koordinat silinder dan bolaPenyelesaian:(a). Sistem koordinat silinder (r,Pada contoh 2.16 telah dihitung,maka 2(r ) (2.78)

Operator Curl Dengan cara yang sama ditetapkan untuk menurunkan rumusan diferensiasi vektor dan . hasil perhitungan diringkas dalam determinan berikut:Curl A (2.79)

Contoh 2.21:Nyatakan X A dalam sistem koordinat silinder (r,Penyelesaian:Dengan menggunakan faktor skala sistem koordinat silinder (r,: , diperoleh:

X A Dengan menghitung determinannya diperoleh arti eksplisit dalam sistem koordinat silinder (r, X A r ( (2.80)

SOAL-SOALFungsi vektor satu variabel:1. Vektor kedudukan sebuah benda adalah:r hitung keempat besaran berikut,saat t(a)., (b)., (c)., (d).

2. jika A , dan B hitunglah(a). (b). Gunakan rumus diferensiasi pada 2.3 dan bandingkan hasilnya.

3. Buktikan rumus diferensiasi fungsi vektor 1 variabel pada 2.3

4. Jika percepatan sebuah benda tiap waktu t adalah:a carilah dulu kedudukannya,r(t),pada waktu t,diketahui kecepatan awalnya v(0)-3 dan kedudukan awalnya r(0)

GRADIEN,DIVERGENSI DAN CURL

5. (a). Carilah turunan arah medan skalar: di titik (1,-1,-2) pada arah u- (b). Dalam arah manakah,di titik (1,-1,-2) turunan arah bernilai maksimum?

6. diketahui permukaan bola S: (x2 (y-12z2Tentukanlah (a).normal satuan n permukaan bola S di titik P(-1,3,2), (b).bidang singgung V permukaan bola S di titik P(-1,3,3)

7. hitunglah: dan : jika:(a). A(b). A

8. jika A B ,hitunglah:(a).Gunakan rumus diferensiasi pada 2.6 kemudian bandingkan hasilnya

9. buktikan rumus diferensiasi fungsi vektor 1 variabel pada pasal 2.6

10. carilah medan skalar sehingga F, jika:(a). F4x , dan (b). F dan

11. buktikan rumus diferensiasi medan skalar dan vektor yang mengandung operator pada 2.6

INTEGRAL LINTASAN DAN PERMUKAAN

12. Hitunglah integral lintasan dari medan vektor F sepanjang lintasan C berikut:(a). F 3x(x-1) , C r(t) t (b). F C r(t)

13. Hitunglah integral permukaan )dA,jika:(a). F dan S adalah permukaan bola:z2 (b). F , dan S adalah permukaan silinder , antara bidang z dan z

14. (a). Hitunglah integral permukaan dA, jika:F dan S adalah permukaan:z 9-x2-9y2(b). Gunakan teorema Stokes untuk menghitung kembali nilai integral permukaan pada

15. Hitunglah nilai integral permukaan tertutup:, jika:F-x2) , dan S adalah seluruh permukaan yang dibatasi oleh silinder: , bidang z(b). Gunakan teorema divergensi untuk menghirung kembali nilai permukaan intergral tertutup pada (a)

KOORDINAT LENGKUNG

16. Koordinat bola sebuah titik P dalam ruang: (r, berkaitan dengan koordinat kartesis (x,y,z) melalui persamaan transformasi koordinat (8.52),yakni:X r sin Perlihatkan bahwa ketiga persamaan yang bersangkutan adalah: hr , , dan

17. Jika A adalah sebuah medan vektor,turunkanlah rumus operasi curl A dalam koordinat ortogonal yang diberikan oleh pernyataan determinan 2.79.

z

y

r

z

x

0

r

z

y

r

z

x

0

r