kuliah fisika matematika

Deret Fourier Fisika Matematika II 1

KULIAH 1 Fungsi Periodik dan Rerata Fungsi

A. Pendahuluan

Enam perkuliahan pertama membahas deret Fourier. Perkuliahan pertama tentang fungsi periodik dan penentuan nilai rerata fungsi pada suatu interval. Kedua topik ini merupakan konsep dasar penting untuk menentukan nilai koefisien deret Fourier. Oleh karena itu di akhir perkuliahan pertama, Saudara diharapkan mampu menentukan periode dari fungsi periodik, menggambar sket fungsi periodik, dan

menuliskan persamaan fungsi periodik berdasarkan sket/grafik. menentukan nilai rata-rata suatu fungsi pada interval tertentu

Agar mudah mengikuti perkuliahan ini, Saudara memiliki pemahaman tentang fungsi, grafik fungsi, dan integral. Saudara diharapkan membaca kembali keterampilan persyaratan ini dari buku-buku teks kalkulus. B. Fungsi Periodik

Deret Fourier adalah deret tak hingga dari fungsi sin dan cos atau eksponensial dari fungsi periodik. Deret Fourier diperlukan karena beberapa alasan antara lain, banyak permasalahan fisika seperti gelombang bunyi, radio, cahaya, arus listrik a-c, dan sebagainya terdiri dari gabungan berbagai frekuensi dan memiliki bentuk sin atau cos; fungsi periodik lebih tepat bila dikembangkan dalam deret dari fungsi yang periodik (sin dan cos merupakan fungsi yang periodik); deret pangkat tidak menampung fungsi yang diskontinyu dan fungsi yang tidak dapat didiferensialkan.

Bentuk umum dari deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi periodik dengan periode 2l adalah

102

1n

nn xl

nsinbxl

ncosaaxf

sedangkan deret Fourier bentuk eksponensial kompleks adalah

-n

xl

ni

necxf

dengan nnn c,b,a disebut sebagai koefisien Fourier. Untuk menentukan koefisien Fourier, fungsi periodik dan rerata fungsi pada suatu interval

harus dikuasai dengan baik. Fungsi periodik didefinisikan sebagai berikut Fungsi )(xf disebut fungsi periodik jika )()( xfpxf untuk setiap x; dengan p adalah periode fungsi )(xf .

Contoh: xsin memiliki periode 2 , 4 , 6 , …. karena xx sin2sin ; xsinxsin 4 ;

xsinxsin 6 , dan seterisnya (lihat grafik xsiny di bawah). Periode xsin adalah 2 karena 2 adalah nilai periode yang terkecil.

xsinnxsin 2


xcos memilki periode 2 , 4 , 6 , …. karena xcosxcos 2 ; xcosxcos 4 ; xcosxcos 6 ; dan seterusnya (lihat grafik xcosy di halaman berikutnya).

Periode xcos adalah 2 karena 2 adalah nilai periode terkecil.

xcosnxcos 2

nxsin atau nxcos memiliki periode n2

xsin + xsin 2 memiliki periode 2 . Periode dari fungsi hasil penjumlahan fungsi-fungsi yang periodik adalah periode yang terbesar di antara fungsi-fungsi yang dijumlahkan.

x2sin memiliki periode 1 karena xx 2sin12sin

lxsin memiliki 2l karena

lxsin

lxsinlx

lsin

22

lxncos memiliki periode

nl2 karena

lxncos

lxncos

nlx

lncos

22

lxni

e

memiliki periode nl2 karena l

xninlx

lni

ee

2

Pada umumnya, fungsi periodik diberikan pada satu periode dan dituliskan sebagai

x

xxf

0,10,0

)(

Fungsi periodik ini memiliki periode 2 . Sket grafik )(xf ditunjukkan oleh gambar di bawah.

1

- 0 2 3 -2 -3

periode

periode


Soal – soal 1.1 Tentukan apakah fungsi berikut periodik dan jika ya tentukan periodenya (periode terkecil atau disebut juga sebagai.periode fundamental).

1. xcosxsin 25 2.

1n lxncos 3. nxcos

kxnsin

2 4. nxnx cossin

5. k

xnk

xn 2cos2sin 6. t5cos3 7. 14sin2 t

8. )8cos(5.0 t 9. tsin5 10. tt 3cos3sin2 11. 88 2sin32sin3 tt 12. ttt 3sin2sinsin 13. ttt 6cos4cos2cos 14. Jika )(xf dan )(xg adalah fungsi periodik dengan periode p maka tunjukkan bahwa

)()()( xgbxfaxh juga periodik dengan periode p.

15. Jika )(xf adalah fungsi periodik dengan periode p maka tunjukkan bahwa

axf dan

)(bxg dengan a dan b konstanta (tidak sama dengan nol) juga periodik dengan masing-

masing periode ap dan bp .

Gambarkan grafik fungsi periodik berikut (fungsi diberikan pada satu periode)

16.

x

xxf

2,12,1

)( 17.

xxx

xf0,sin

0,0)(

18.

x

xx

xf

2,020,10,0

)( 19.

x

xkx

xf

2,022,2

2,0)(

20.

21

21

0,0,0

)(xxx

xf 21.

32,120,2/

)(xxx

xf

22. 20,)( xxxf 22. 11,)( 2 xxxf

23.

40,04,

)(xxxx

xf 24.

030

302x,

x,x)x(f

25.

846402

x,xx,x

)x(f

Tuliskan persamaan fungsi dari sket grafik fungsi periodik berikut ini 26. 27. 28. -

1

- 0 /2 -/2

a

- 0

0


29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. C. Nilai Rerata Fungsi

Rerata dari satu set bilangan diperoleh dengan menjumlahkannya dan membagi dengan banyak bilangan. Dengan cara yang sama maka rerata fungsi )(xf pada interval (a, b) (lihat

Gambar 1.1) adalah n

xfxfxfxf n)(...)()()( 21 .

nxfxfxfxf n)(...)()()( 21

- 0 /2 -/2

/2

-

0

0 -

- 0 /2 -/2

/2

-

0

-

-

0

2

2 0

Vo

2 0

0 2

y

x x1=a

y = f(x)

Figure 1.1

xn=b x2 x3


Jika jarak antar nx dan 1nx adalah sama yakni x, maka rerata )(xf pada interval (a, b) menjadi

xn

xxf

xnxxfxfxfxf

n

ii

n

121

)()(...)()()( dengan nx = b – a

Jika n dan x0 maka sehingga diperoleh rerata fungsi )(xf pada interval (a, b)

ab

dxxfxf

b

a

)(

)( (1.1)

Untuk fungsi periodik, biasanya rerata )(xf ditentukan pada interval periodenya. Pada kasus tertentu, rerata fungsi periodik ada yang bernilai nol, misalnya rerata sin x atau cos x pada interval periodenya (–, ) atau (0, 2). Berikut adalah contoh-contoh cara menentukan rerata suatu fungsi 1. Rerata x2sin dan x2cos pada interval satu periode Rerata x2sin pada satu periode yakni pada interval ,

π

π

dxxπ

2sin21 =

π

π

dxxπ 2

2cos121 =

)2sin(

41

21 xx =

21

42

Rerata x2cos pada satu periode yakni pada interval ,

dxx2cos

21 =

dxx

22cos1

21 =

)2sin(

41

21 xx =

21

42

Cara lain yang juga mudah adalah dengan menggunakan fakta bahwa luas daerah di bawah kurva x2sin dan x2cos untuk seperempat periode adalah sama.

dxxdxx 22 cossin atau

dxnxdxnx 22 cossin untuk n 0.

Karena 1cossin 22 nxnx maka

2cossin 22

dxdxnxnx sehingga

dxnxdxnx 22 cossin . Jadi rerata sin2 x dan cos2 x pada satu periode adalah

dxnx2sin

21 =

dxnx2cos

21 =

21 (1.2)

2 0

sin2x

2 0

cos2x


b. Menentukan rerata nxmx cossin pada satu periode Cara 1: Menggunakan hubungan trigonometri DCDCDC sinsin)(cos)(sin2 2

121

dxnxmxcossin

21 =

dxxnmxnm )sin()sin(

41

=

xnm

nmxnm

nm)cos(1)cos(1

41

= 0 karena kk cos)cos( (1.3a)

Cara 2: Menggunakan formula Euler yakni ieekx

ikxikx

2sin

;

2cos

ikxikx eekx

; dan

0)(1

ikikikx eeik

dxe karena kee ikik cos sebab sin k = 0

dxnxmxcossin

21 =

dxee

iee inxinximximx

2.

221

=

dx

ieeee xnmixnmixnmixnmi

421 )()()()(

= 0 (1.3b) Dengan cara yang sama, maka dapat diperoleh hasil sebagai berikut

(1.4)

Soal-soal 1.2

1. Buktikan bahwa

0sin

21 dxmx dan

0cos

21 dxmx

2. Buktikan bahwa

2

0

021 dxmxsin dan

2

0

021 dxmxcos

3. Buktikan bahwa

l

l

dxxl

ml

0sin21 dan

l

l

dxxl

ml

0cos21

0cossin

21 dxnxmx

0,00,

,0sinsin

21

21

nmnmnm

dxnxmx

0,10,

,0coscos

21

21

nmnmnm

dxnxmx


4. Buktikan bahwa

0,00,

,0sinsin

21

21

nmnmnm

dxnxmx

5. Buktikan bahwa

0,10,

,0coscos

21

21

nmnmnm

dxnxmx

6. Buktikan bahwa

l

l nmnmnm

dxxl

nxl

ml

0,00,

,0sinsin

21

21

7. Buktikan bahwa

0,10,

,0coscos

21

21

nmnmnm

dxxl

nxl

ml

8. Buktikan bahwa

l

nm,nm,nm,

dxxl

ncosxl

mcosl

2

021

010

0

21

9. Buktikan bahwa l

dxxl

ncosxl

msinl

2

0

021

10. Buktikan bahwa

l

l

dxxl

nxl

ml

0cossin21

11. Buktikan bahwa l

dxxl

ncosxl

msinl

2

0

021

12. Buktikan bahwa

l

sebaliknyaatauganjilngenapmnm

mlganjilnmataugenapnm

mdxx

lnx

lm

0

22 ,,2,,,0

0,0cossin

Tentukan rerata fungsi berikut pada interval yang dicantumkan di belakangnya 13. xxx 3sin32sin2sin ; (0, 2) 14. xe1 ; (0, 1) 15. xsin ; (0, ) 16. x2

12cos ; (0, /2) 17. xcos ; (0, 3) 18. x2sin ; ),( 6

76

19. x3sin 2 ; (0, 4) 20. xx 6cos2 ; (0, /6) 21. sin x + sin2 x; (0, 2) 22. cos2 7x/2; (0, 8/7) 23. xxxx 3cossin2sinh3 23 at 5,5 24. xxxxxx 22 cos2cosh5cos43sin2 at ,

25. Buktikan bahwa )(21cossin 22 abdxkxdxkx

b

a

b

a

jika k(b – a) kelipatan

Gunakan no 25 untuk menentukan integral berikut:

26. a.

3/4

0

2

23sin

dxx b.

2/3

2/

2

2cos

dxx 27. a. 4/11

4/1

2cos dxx b.

2

1

2

3sin dxx


28. a.

/2

0

2sin dtt b. 2

0

2 2cos dtt

29. Simpangan partikel yang bergerak harmonik sederhana terhadap posisi setimbang memiliki bentuk tAy sin atau )sin( tAy bergantung pada pemilihan syarat awal. Tunjukkan bahwa rerata energi kinetik partikel yang bermassa m (pada satu periode) sama untuk kedua formula di atas. Tentukan rerata energi kinetik untuk )sin( tAy dengan dua cara: (a) pemilihan batas integral sehingga pengubahan variabel dapat menyederhanakan integral ke dalam bentuk tsin ; (b) menderetkan )sin( t dengan penjumlahan trigonometri.


KULIAH 2 Deret Fourier Bentuk Sin – Cos

A. Pendahukuan

Pada perkuliahan kedua ini, Saudara akan mempelajari deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi periodik dengan periode 2l dengan l adalah bilangan real. Saudara akan mempelajari bagaimana menentukan koefisien Fourier 0a , na , nb dan setelah menemukan nilainya kemudian mensubstitusikannya ke dalam bentuk umum deret Fourier, maka Saudara akan mendapatkan deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi tersebut. Oleh karena itu, di akhir perkuliahan kedua ini Saudara diharapkan mampu menentukan deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi periodik dengan periode sembarang.

Untuk memudahkan proses perkuliahan kedua ini, Saudara diharapkan menyiapkan keterampilan dasar tentang integral fungsi sin atau cos dan integral sin atau cos dikalikan dengan fungsi x. Saudara diharapkan membaca kembali keterampilan persyaratan ini dari buku-buku teks kalkulus. B. Deret Fourier Bentuk Sin – Cos

Fungsi periodik )(xf dengan periode 2l dapat dideretkan ke dalam deret Fourier bentuk sin – cos yang memiliki bentuk umum sebagai berikut

1

0

2 nnn x

ln sinbx

ln cosaaxf (2.1)

nn ba dan disebut sebagai koefisien Fourier. Menentukan 0a Rerata fungsi pada sisi kiri dan setiap fungsi pada sisi kanan persamaan (2.1) pada satu periode dalam interval l,l adalah

...dxxl

cosal

dxal

dxxfl

l

l

l

l

l

l

1021

21

21

21 ...dxx

lnsinb

l...dxx

lsinb

l

/

ln

l

l

2

121

1 (2.2)

Berdasarkan persamaan (1.3a) dan (1.3b) pada KULIAH 1, maka dapat diperoleh bahwa seluruh suku pada sisi kanan persamaan (2.2) sama dengan nol kecuali suku pertama sehingga diperoleh

l

l

f(x)dxl

a 10 (2.3)

Menentukan 1a

Setiap suku pada persamaan (2.1) dikalikan dengan xl

cos kemudian ditentukan nilai

reratanya pada interval l,l

...dxxl

ncosxl

cosal

...dxxl

cosal

x dxl

cosal

x dxl

cos xfl

l

ln

l

l

l

l

l

l

2

121

21

21 2

1021

...xdxl

cosxl

nsinbl

...dxxl

cosx l

sinbl

l

ln

l

l

2

121

1 (2.4)

Berdasarkan persamaan (1.4) pada KULIAH 1, maka seluruh suku pada sisi kanan persamaan (2.4) sama dengan nol kecuali suku pertama sehingga dapat diperoleh

l

l

x dxl

cosxfl

a 11 (2.5)


Menentukan na

Seluruh suku pada kedua sisi persamaan (2.1) dikalikan dengan xl

ncos kemudian

ditentukan nilai reratanya pada interval l,l

l

ln

l

l

l

l

l

l

xdxl

ncosal

dxxl

ncosxl

cosal

x dxl

ncosal

x dxl

ncos xfl

2102

1

21

21

21

21

...xdxl

ncosxl

nsinbl

...dxxl

ncosx l

sinbl

l

ln

l

l

2

121

1 (2.6)

Berdasarkan persamaan (1.4) pada KULIAH 1, maka dapat ditentukan maka seluruh suku pada sisi kanan persamaan (2.6) sama dengan nol kecuali suku yang mengandung cos kuadrat sehingga dapat diperoleh

l

ln x dx

lncosxf

la 1 (2.7)

Menentukan nb

Seluruh suku pada kedua sisi persamaan (2.1) dikalikan dengan xl

nsin kemudian

ditentukan nilai reratanya pada interval l,l

l

lm

m

l

lm

l

l

l

l

dxxl

nsinxl

msinbl

xdxl

nsinxl

mcosal

x dxl

nsinal

x dxl

nsinxfl 2

121

21

21

102

1

(2.8)

Berdasarkan persamaan (1.4) pada KULIAH 1, maka dapat ditentukan maka seluruh suku pada sisi kanan persamaan (2.8) sama dengan nol kecuali suku ketika m = n sehingga dapat diperoleh

l

ln x dx

lnsinxf

lb 1 (2.9)

Dengan demikian dapat dirangkum bahwa

Contoh 1, tentukan deret Fourier bentuk sin – cos dari

x,x,

xf01

00

Fungsi ini memiliki periode 2 , sehingga l Menentukan 0a

1011

0

0

0

dxdxf(x)dxπ

aπ

π

Deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi periodik dengan periode 2l adalah

1

0

2 nnn x

ln sinbx

ln cosaaxf

dengan

l

ln x dx

lncosxf

la 1 and

l

ln x dx

lnsinxf

lb 1


Grafik fungsi ini ditunjukkan oleh Gambar 2.1 Menentukan na

π

π

π

πn nx dx. nx dx.

π nx dxf(x)

πa

0

0

cos1cos01cos1

π

n ,nπ

nxsinn.π nx dxcosπ

a0

000

111

na = 0 kecuali n = 0 karena telah ditentukan sebelumnya bahwa 0a = 1 Menentukan nb

π

π

π

πn nx dx. nx dx.

π nx dxf(x)

πb

0

0

sin1sin01sin1

1110

11

0

n

π

n nππ

nnxcos

π nx dxsin

πb atau

odd2

even0n,n

n,bn

Dengan demikian deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi tersebut adalah

odd,n n

nxsinπ

xf1

221 atau

...xsinxsinxsinxsin

πxf

77

55

33

12

21

Sket/grafik deret Fourier ini dapat dilihat pada Gambar 2.2

. -6 -4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-6 -4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 suku 3 suku

-6 -4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-6 -4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4 suku 501 suku Gambar 2.2 Grafik n suku pertama dari deret Fourier

1

– 0 2 3 –2 –3 Gambar 2.1


Contoh 2, tentukan deret Fourier sin – cos dari

x,x,

xg00

01

Periode fungsi adalah 2 , maka l Menentukan 0a

1011

0

0

0

dxdxdxxfπ

aπ

π

Menentukan na

π

π

π

πn dx nx dxcos

π nx dxcosxf

πa

0

0

011

0

000111 ,nnxsinn.π nx dxcos

πan

0na keculai 0n karena 0a = 1 Menentukan nb

π

π

π

πn nx dxsin. nx dxsin.

π nx dxsinxf

πb

0

0

0111

nn nπn

nxcosπ

nx dxsinπ

b 111011 0

ganjil2genap0

n,n

n,bn

Deret Fourier sin – cos dari fungsi tersebut adalah

odd,n n

nxsinπ

xg1

221

Contoh 3, tentukan deret Fourier sin – cos dari

x,

x,xh

0101

Menentukan 0a

011

0

0

0

dxdxdxxfπ

aπ

π

Menentukan na

π

π

π

πn nx dxcos nx dxcos

π nx dxcosxf

πa

0

011

00

01

n

nxsinn

xsinπ

an

Menentukan nb

π

π

π

πn nx dxsin. nx dxsin.

π nx dxsinxf

πb

0

0

1111

111110

011 0

nnn nπn

nxcosnnxcos

π nx dxsin

πb


odd4

even0n,n

n,bn

Deret Fourier sin – cos dari fungsi tersebut adalah

odd,n n

nxsinπ

xh1

4

Deret Fourier sin – cos pada contoh 3 dapat diperoleh dari deret Fourier contoh 1 dikurangi deret Fourier contoh 2 karena xgxfxh . Deret Fourier sin – cos pada contoh 3 dapat juga ditentukan dari contoh 1 karena dapat diperoleh bahwa 12 xfxh . Dengan

menggunakan ide ini, maka deret Fourier sin – cos dari

23

2

22

10

x,x,

xl dapat diperoleh

dari deret Fourier contoh 1 yang digeser sejauh 2 ke kiri atau 2

xfxl dan deret

Fourier nya adalah (mengganti x dengan 2x pada contoh 1

1

1

1

2

121212

212

21

n

n

oddn n

xncosnxnsin

πxl

Soal-soal 2 Setiap fungsi di bawah ini adalah fungsi periodik dengan periode 2. Gambar grafik fungsi tersebut untuk beberapa periode kemudian tentukan deret Fourir bentuk sin – cos

1.

xx

xf0,0

0,1)( 2.

x

xx

xf

2,020,10,0

)( 3.

x

xxf

2,12,0

)(

4.

x

xxf

2,12,1

)( 5.

xk

xkxf

0,0,

)( 6.

x

xx

xf

2,120,1

0,0)(

7.

020202021

xdanx,

xdanx,)x(f 8.

23

21221

x,

x,)x(f

9.

xx

xf0,2

0,0)( 10.

x

xkx

xf

2,022,2

2,0)( 11.

xxx

xf0,

0,0)(

12. xxxf ,)( 13. xxxf ,1)( 14.

x

xxxf

0,00,

)(

15.

xxx

xf0,sin

0,0)( 16.

xx

xxxf

0,0,

)(

17.

xx

xxxf

0,40,4

)( 18. xxxf ,)( 2


19. 20,)( 2 xxxf 20. xexf x ,)(

21. xxxf ,cosh)( 22.

23

2,41

22,)(

2

2

x

xxxf

23.

23

2,022,cos

)(0

x

xxVxf 24.

x

xxVxf0,0

0),1()(2

0

25. 20,1)( xxxf 26. xxxxf ,)( 2 27. xexf x ,)( 28. xxxf ,)( 3 29. Tunjukkan bahwa xxxf ,)( dapat dituliskan sebagai

0

212)12cos(42)(

n nxnxf

30. Tunjukkan bahwa xxxf ,sin)( dapat dituliskan sebagai

02 142cos42)(

n nnxxf

Masing-masing grafik berikut ini diberikan untuk satu periode. Tentukan deret Fourier bentuk sin – cos dari setiap grafik berikut ini. 31. 32.

33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.

1

- 0 /2 -/2

a

- 0 -

0

- 0 /2 -/2

/2

-

0

0 -

- 0 /2 -/2

/2

-

0

-

-

0


40. 41. 42. Soal – soal no 43 – 84 adalah soal-soal no 1 – 42 tetapi dengan periode 2l (–l, l). Hal ini berarti diganti dengan l atau /2 diganti dengan l/2. Tentukan deret Fourier bentuk sin – cos dari setiap fungsi tersebut. Fungsi=fungsi pada soal – soal no 85 – 88 diberikan untuk satu periode. Sket grafik fungsi untuk tiga periode dan tentukan deret Fourier bentuk sin – cos dari setiap fungsi tersebut. 85a. 2xxf , – < x < ; b. 2xxf , 0 < x < 2 86a. xexf , – < x < ; b. xexf , 0 < x < 2 87a. xxf 2 , –2 < x < 2; b. xxf 2 , 0 < x < 4 88a. xsinxf , –1/2 < x < 1/2; b. xsinxf , 0 < x < 1 89. Fungsi xxf diberikan pada interval – 1 < x < 1. Sket grafik fungsi tersebut jika

periodenya 2 dan tentukan deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi tersebut. Masing-masing grafik berikut ini diberikan untuk satu periode. Sket grafik fungsi untuk tiga periode dan tentukan deret Fourier bentuk sin – cos dari fungsi-fungsi tersebut.

90. xxf , 0 < x < 2 91.

30,101,0

)(xx

xf

92. 2xxf , 0 < x < 10 93.

21

21

0,0,0

)(xxx

xf

94.

32,120,2/

)(xxx

xf

2

2 0

Vo

2 0

0 2


KULIAH 3 Deret Fourier Bentuk Eksponensial Kompleks

A. Pendahuluan

Saudara akan mempelajari deret Fourier bentuk eksponensial kompleks dari fungsi periodeik dengan periode 2l dengan l adalah bilangan real, pada perkuliahan ketiga ini. Saudara juga akan mempelajari bagaimana menentukan koefisien nc dan menemukan deret Fourier bentuk ekpsonensial kompleks dari suatu fungsi periodik setelah mensubstitusikan nilai koefisien Fourier nc ke dalam bentuk umum deret Fourier bentuk ekpsonensial kompleks. Oleh karena itu, di akhir perkuliahan ketiga ini, diharapkan Saudara mampu menentukan deret Fourier bentuk ekpsonensial kompleks dari fungsi periodik dengan periode sembarang/bebas.

Agar mampu mengikuti perkuliahan ini dengan baik, sebaiknya Saudara menyiapkan diri dengan penguasaan integral eksponensial atau integral eksponensial kali dengan fungsi x. Saudara diharapkan membaca kembali keterampilan persyaratan ini dari buku-buku teks kalkulus. B. Deret Fourier Bentuk Eksponensial Kompleks Formula Euler menyatakan bahwa fungsi sin dan cos dapat dituliskan sebagai fungsi eksponensial kompleks sebagai berikut

ieex

lnsin

xl

nixl

ni

2

dan 2

xl

nixl

nieex

lncos

Dengan demikian deret Fourier bentuk sin – cos (persamaan (2.1) pada KULIAH 2) dapat dituliskan sebagai deret Fourier bentuk eksponensial kompleks sebagai berikut

102

1

nnn x

lnsinbx

lncosaaxf

...eabeeaebeaebea...axfx

lix

li

i

xl

ixl

i

i

xl

ixl

i

i

xl

i

2

221

121

121

121

121

2

221

2

221

021

...ei

baei

baei

baei

baaxfx

lix

lix

lix

li

222

2221111

021

22222222

...ececececcxfx

lix

lix

lix

li

2

2

2

2110

...ececcecec...xfx

lix

lix

lix

li

2

2101

2

2

n

xl

ni

necxf (3.1)

nc is Fourier coefficient Menentukan 0c Rerata setiap suku pada kedua sisi persamaa (3.1) pada satu periode l,l adalah

...dxecl

dxecl

dxecl

dxecl

dxcl

dxxfl

l

l

xl

ixl

il

l

l

l

xl

il

l

xl

il

l

l

l

2

2

2

2110 21

21

21

21

21

21 (3.2)


Karena 0

ikikl

l

xl

kiee

ikldxe maka seiap suku pada sisi kanan persamaan (3.2)

berharga nol kecuali suku pertama, sehingga dapat diperoleh

l

l

dxxfl

c21

0 (3.3)

Menentukan nc

Rerata setiap fungsi pada kedua sisi persamaan (3.1) setelah dikalikan dengan x

lni

e

pada satu

periode l,l adalah

m

l

l

xl

n-ixl

mi

m

l

l

xl

n-idxeec

l dx exf

l 21

21

Karena 0

ikikl

l

xl

kiee

ikldxe kecuali k = 0 (hal ini terjadi pada saat m = n) maka

dapat diperoleh

l

l

xl

n-i

n dx exfl

c21 (3.4)

Dengan demikian dapat dirangkum bahwa

Contoh 3.1. Tentukan deret Fourier bentuk eksonensial kompleks dari

πx,

xπ,xf

0100

(contoh pada KULIAH 2). Menentukan 0c Fungsi tersebut memiliki periode 2 , sehingga l

ππ

π

dxπ

dxxfπ

c0

0 21

21

21

Menentukan nc

π

inx

π

π

π

inxn dxedx

πdx exf

πc

0

0

021

21

0genap0ganjil1

121

21

0 n,n,ine

πinine

πc iππ

πinx

n

Substitusikan koefisien ini ke dalam persamaan (3.1) untuk menemukan deret Fourier bentuk eksponensial kompleks sebagai berikut

ganjil

121

,n

inxein

xf (3.5)

Deret Fourier bentuk eksponensial kompleks dari fungsi dengan periode 2l dalam interval (–l, l) adalah

n

xl

nπi

necxf dengan

l

l

xl

n-i

n dx exfl

c21


Dapat dibuktikan bahwa deret Fourier bentuk ekpsonensial kompleks ini sama dengan deret Fourier bentuk sin – cos sebagaimana pada contoh pada KULIAH 2. Dengan menggunakan formula Euler, persamaan (3.5) dapat diuraikan dan dikumpulkan sebagai berikut

n

ixixixinx

n ...eeeiπ

ecxf531

121 53

531

1 53 ixixix eeeiπ

...i.ee

i.ee

iee

πxf

ixixixixixix

523222

21 5533

...xsinxsinxsin

πxf

55

33

12

21 sebagaimana pada contoh pada KULIAH 2.

Contoh 3.2, menentukan deret Fourier bentuk ekpsonensial kompleks dari Find the complex

lxllx

xf2,1

0,0)( .

Grafik fungsi ini ditunjukkan oleh Gambar 3.1 di bawah ini. Menentukan 0c

21

210

21

21 2

0

2

00

l

l

ll

dxl

dxl

dxxfl

c

Menentukan nc

l

l

xl

nπill xl

nπi

n dx el

dxl

dxexfl

c2

0

2

0 210

21

21

)(21

/21 2

2/

nin

l

llxin

n eeinlin

el

c

odd10even0

121

n,in

n,)e(

inc n

n

n

inxnecxf )(

...eeeei

xfl/xil/xil/xil/xi

33111

21 33

...πx/lsinπx/lsin

πxf

33

12

21

Soal-soal 3. Soal-soal no 1 – 94 adalah soal-soal no 1 – 94 dari Soal-soal 2. Untuk setiap soal, tentukan deret Fourier bentuk eksponensial kompleks. Buktikan dengan menggunakan formula Euler bahwa jawaban setiap soal sama dengan jawaban yang ditemukan pada KULIAH 2.

1

l –l 0 2l 3l –2l –3l Gambar 3.1


95. Simbol x berarti bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x (contoh, [3] = 3, [2.1] = 2, [–4.5] = –5). Tentukan deret Fourier bentuk eksponensial kompleks dari

fungsi 21

xx dengan periode 1.

96. Tentukan deret Fourier bentuk eksponensial kompleks dari tietf )( dengan periode 2 pada interval ,


KULIAH 4 Deret Sin dan Deret Cos

A. Introduction

Sebelum membahas deret Fourier sin yang sering disebut sebagai deret sin atau deret cos, definisi fungsi genap dan ganjil serta akibatnya pada nilai koefisien Fourier diberikan sebagai konsep dasar. Saudara akan menemukan bahwa koefisien Fourier 0nb untuk fungsi genap, sehingga mendapatkan deret cos atau sebalikanya bahwa keofisien Fourier 0na untuk fungsi ganjil sehingga mendapatkan deret sin. Dengan demikian, di akhir perkuliahan keempat ini diharapkan Saudara mampu menentukan deret Fourier bentuk sin (deret sin) dari suatu fungsi periodik deret Fourier bentuk cos (deret cos) dari suatu fungsi periodik

Agar Saudara tidak mengalami kesulitan mengikuti perkuliahan keempat ini, sebaikanya Saudara menguasai karakteristik fungsi genap dan ganjil, integral fungsi sin atau cos dan integral sin atau cos dikalikan dengan fungsi x. Saudara diharapkan membaca kembali keterampilan persyaratan ini dari buku-buku teks kalkulus. B. Fungsi Genap dan Ganjil 1. Even Functions. xf merupakan fungsi genap jika xfxf or grafik xf untuk –x adalah cermin dari grafik untuk x terhadap sumbu y

Contoh: 2xxf , karena xfxxxf 22 (lihat Gambar 4.1) xcosxf , karena xfxcosxcosxf (lihat Gambar 4.1)

2. Fungsi Ganjil. xf merupakan fungsi ganjil jika xfxf

Contoh: xxf , karena xfxxf xsinxf karena xfxsinxsinxf

Beberapa fungsi adalah fungsi genap, beberapa fungsi lain adalah fungsi ganjil dan beberapa fungsi lain bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil (contoh, xexf ). Akan tetapi setiap fungsi dapat dituliskan sebagai jumlah fungsi genap dan fungsi ganjil, yakni

)()(21)()(

21)( xfxfxfxfxf dengan bagian pertama fungsi genap dan bagian

kedua adalah fungsi ganjil.

Figure 4.1


Contoh:

xxxxx eeeee 21

21

Integral fungsi genap pada interval simetrik, seperti (–, ) atau (–l, l), dapat disederhanakan,

seperti

ll

l

dxxdxx0

22 2 . Integral fungsi ganjil pada interval simetrik akan bernilai nol, seperti

l

l

dxx 0sin . Jadi dapat dirangkum bahwa

C. Deret Fourier Cos dan Deret Fourier Sin 1. Deret Fourier Cos

Jika xf merupakan fungsi genap, maka lxnxf cos)( merupakan fungsi genap sehingga:

0

2makagenapJika

0

n

l

n

b

dxlxncosxf

laxf

2. Deret Fourier sin

Jika xf merupakan fungsi ganjil, maka lxnxf sin)( merupakan fungsi ganjil sehingga:

l

n

n

xdxsinxfl

b

,axf

0

20

makaganjilJika

genapxfjikadxxf

ganjilxfjikadxxf l

l

l)(,)(2

)(,0)(

0

Deret Fourier cos dari fungsi genap adalah

1

021

nn x

lnπ cosaaxf

dengan l

dx)x(fl

a0

02 dan

l

n dxlxnxf

la

0

cos)(2

Deret Fourier sin dari fungsi ganjil adalah

1n

n xl

nπ sinbxf

dengan

l

n dxlxnsin)x(f

lb

0

2


Dengan demikian jika suatu fungsi xf didefinisikan pada (0, l) maka ia dapat : dideretkan sebagai deret Fourier sin – cos atau ekponensial dengan periode l, yakni

1

021

nnn x

lnπ sinbx

lnπ cosaaf(x) ;

l

ln x dx

lnπ cosf(x)

la 1 ;

l

ln ll

b dx xnf(x)sin 1

atau

n

ncf(x) lxni

e

;

l

l

lxn-i

n f(x) el

c dx21

dideretkan sebagai deret Fourier cos dengan menjadikan xf fungsi genap dengan

periode 2l yakni

1

021

nn x

lnπ cosaaxf dengan

l

dx)x(fl

a0

02 dan

l

n dxlxnxf

la

0

cos)(2

dideretkan sebagai deret Fourier sin dengan menjadikan xf fungsi ganjil dengan

periode 2l; yakni

1n

n xl

nπ sinbxf dengan

l

n dxlxnsin)x(f

lb

0

2

Contoh: Tentukan

1,0

0,1)(

21

21

xx

xf dalam (a) deret Fourier bentuk sin; (b) deret Fourier

bentuk cos; dan (c) deret Fourier bentuk sin – cos Jawab: (a) xf dijadikan fungsi ganjil; periode = 2

Untuk fungsi ganjil,

1n

n xl

nπ sinbxf dengan

l

n dxlxnsin)x(f

lb

0

2

)12

(cos20

cos2 2/1

n

nxn

nbn

2

1 b ; 24

2 b ; 32

3 b ; 04 b , …

Jadi diperoleh

...xsinxsinxsinnsinxf

55

33

222

(b) xf dijadikan fungsi genap; periode = 2

1

1 -1 -1/2 1/2

1

1 -1 -1/2 1/2


Untuk fungsi genap

1

021

nn x

lnπ cosaaxf dengan

l

n dxlxnxf

la

0

cos)(2

2/1

0

1

00 12)(

12 dxdxxfa

2sin2

sin2cos)(12

0

2/11

0

nn

a

xnn

xdxnxfa

n

n

Jadi diperoleh

...

55cos

33cos

1cos2

21f(x) xxx

(c) xf sebagaimana adanya; periode = 1

Deret Fourier bentuk eksponensial

n

ncf(x) lxni

e

dengan

l

l

lxn-i

n f(x) el

c dx21

21dxdx

11 2/1

0

1

00 f(x) c ;

2/1

0

21

0

2 dxdx11 xin-xin-

n ef(x) ec

0,0,

2)1(1

21 1

genapnganjiln

ininec in

nin

n

Jadi diperoleh

...

331

21)(

6622

xixixixi eeee

ixf

...xsinxsinxf

3622

21

Soal-soal 4 Tulislah masing-masing fungsi berikut sebagai jumlah fungsi genap dan ganjil 1a. inxe b. xxe 2a. x1ln b. xcosxsinx 1

3a. 1345 xxx b. xe1 Fungsi-fungsi berikut diberikan pada satu periode. Sket untuk beberapa periode, tentukan sebagai fungsi genap atau ganjil dan tentukan deret Fourier yang sesuai.

4.

x

xxf

0,10,1

)( 5.

lx

xlxf

0,10,1

)(

6.

21dan120

111xx,

x,)x(f 7. 2/2/,)( xxxf

8. 2/12/1,)( 2 xxxf 9. 2/2/,)( xxxf

10. xxxf ,cosh)( 11.

10,101,1

)(xxxx

xf

1

1 -1 -1/2 1/2


12.

428

208x,

x,xf 13.

4004

x,xx,x

xf

14.

030

302x,

x,xxf 15. x,xcosxf 0

16. 10010 x,xxxf 17.

2

0x,xx,xcos

xf

Fungsi berikut diberikan pada interval 0 < x < b. Sket beberapa periode dari fungsi genap dengan periode 2b, fungsi ganjil dengan periode 2b dan fungsi dengan periode b. Tentukan deret Fourier dari ketiga jenis fungsi tersebut.

18.

12/1,1

2/10,1)(

xx

xf 19. xxxf 0,cos)(

20.

21,2

10,)(

xxxx

xf 21.

31,010,1

)(xx

xf

22. 10,)( 2 xxxf 23.

2010,20

100,10)(

xx

xf

24. 20 x,xxf

25. It’s given a function of

21,210,

)(xxx

xf

a. Sketch at least three periods of the graph of the function represented by the sine series for xf . Without finding any series, answer the following questions.

b. To what value does the sine series in (a) converge at x = 1; x = 0; x = – 1; x = 2? c. If the given function is continued with period 2 and then is represented by a complex

exponential series

n

xinnec , what is the value of

nnc 2

26. Given

21,210,

)(xxx

xf

a. Sketch at least three periods of the graph of the function represented by the cosine series for xf .

b. Sketch at least three periods of the graph of the function represented by the exponential Fourier series of period 2 for xf .

c. To what value does the cosine series in (a) converge at x = 0; x = 1; x = 2; x = – 2? d. To what value does the exponential series in (b) converge at x = 0; x = 1; x = 3/2;

x = – 2? 27. Find an appropriate Fourier for xtf )( with period of 2 on the interval , .

28. Find the three Fourier series of

21,210,

)(xxx

xf .

29. Find the three Fourier series of

21,210,

)(xxx

xf


KULIAH 5 Teorema Dirichlet dan Parseval

A. Introduction

Pada perkuliahan kelima ini, Saudara akan mempelajari dua teorema penting yang sangat berguna pada fisika statistik yakni teorema Dirichlet dan Parseval. Teorema Dirichlet merupakan pernyataan tentang kekonvergenan fungsi xf pada titik diskontinyitas atau titik lompat sedangkan teorema Parseval mengajarkan tentang bagaimana menentukan jumlah deret takhingga. Oleh karena itu, di akhir perkuliahan kelima ini, Saudara diharapkan mampu menerapkan persyaratan Dirichlet untuk menentukan kekonvergenan fungsi periodik teorema Parseval untuk menentukan jumlah suatu deret

Agar Saudara mengikuti perkuliahan ini dengan mudah sebaiknya Saudara menguasai sket grafik fungsi, integral fungsi sin atau cos atau eksponensial dan integral sin atau cos atau eksponensial dikalikan dengan fungsi xf . Saudara disarankan untuk membaca kembali persyaratan ini pada buku-buku teks kalkulus. B. Dirichlet theorem Jika )(xf merupakan fungsi periodik; bernilai tunggal dan kontinyu; memiliki jumlah nilai maksimum dan minimum terbatas dalam satu periode; memiliki jumlah diskontunitas yang terbatas dan dxxf )( bernilai terbatas (konvergen) maka deret Fourier dari fungsi tersebut konvergen pada )(xf pada seluruh titik di mana

)(xf kontinyu dan deret Fourier konvergen pada titik tengah nilai diskontinyuitasnya pada titik diskontinyu. Contoh, gunakan teorema Dirichlet untuk menentukan nilai kekonvergenan deret Fourier dari

x,x,

)x(f01

00pada x sama dengan 0,

2

, , 2

3 , 2

Fungsi ini memenuhi persyaratan Dirichlet karena merupakan fungsi periodik dengan periode 2 ; memiliki nilai tunggal; memiliki nilai maksimum dan minimum yang terbatas; memiliki jumlah diskontunitas yang terbatas dan

0

dxdxxf

1

– 0 2 3 –2 –3


Oleh karena itu kekonvergenan deret Fourier ditunjukkan oleh tabel di bawah ini. x –2 –3/2 – –/2 0 /2 3/2 2 f(x) 0.5 1 0.5 0 0.5 1 0.5 0 0.5

Pada contoh dalam KULIAH 2 telah diperoleh bahwa deret Fourier bentuk sin dari

x,x,

xf01

00 adalah

odd,n n

nxsinπ

xf1

221

Dengan menggunakan kekonvergenan nilai deret Fourier pada tabel di atas, diperoleh

bahwa 1xf pada 2

x . Jika disubstitusikan 2

x pada deret Fouirer sin di atas maka

dapat diperoleh bahwa

1

1

1212

211

n

n

nπ atau

4121

1

1

n

n

n atau

471

51

311

...

Soal-soal 5.1 I. Untuk setiap fungsi periodik pada Soal – soal 2 nomor 1 – 42, gunakan teorema

Dirichlet untuk menentukan nilai kekonvergenan deret Fourier pada x = 0, 2

, ,

23

, 2

II. Untuk setiap fungsi periodik pada Soal – soal 2 nomor 43 – 84, gunakan teorema Dirichlet untuk menentukan nilai kekonvergenan deret Fourier pada x = l/2; l; 3l/2; 2l.

III. Untuk setiap fungsi periodik pada Soal – soal 2 nomor 90 – 94, gunakan teorema Dirichlet untuk menentukan nilai kekonvergenan deret Fourier pada x = 1/2; 2; 5/2; 3.

95. Diberikan fungsi

21,210,

)(xxx

xf

a. Buat grafik deret cos dari fungsi di atas untuk tiga periode b. Buat grafik deret Fourier kompleks dari fungsi di atas untuk tiga periode c. Berapa nilai konvergensi deret cos pada x = 0; x = 1; x = 2; x = – 2 ? d. Berapa nilai konvergensi deret Fourier bentuk eksponensial pada x = 0; x = 1; x = 3/2;

x = – 2 ? C. Parseval’s Theorem

Teorema Parseval terkait dengan hubungan antara rerata kuadrat )(xf dan koefisien

dalam deret Fourier dengan asumsi bahwa

l

l

dxxf 2 adalah terbatas. Rerata dari masing-

masing kuadrat suku dari deret Fourier dari fungsi periodik dengan periode 2l adalah

2

102

12

xl

nπ sinbxl

nπ cosaaxfn

nn

Rerata 2xf adalah dxxfl

l

l

2)(21 ; Rerata

2

021

a adalah 202

1 a ;


Rerata 2

x

lncosan adalah 2

21

na ; Rerata 2

x

lnsinbn adalah 2

21

nb

Rerata xl

nsinba. n

0212 atau x

lnxcosaa. n02

12 atau xl

msinxl

ncosba. mn2 adalah nol. Oleh

karenanya teorema Parseval dinyatakan oleh persamaan

dxxfl

l

l

2)(21 = 202

1 a +

1

221

nna +

1

221

nnb

Dengan cara yang sama maka dapat diperoleh

dxxfl

l

l

2)(21 =

nnc 2

Contoh, tentukan jumlah ...51

311 22 dengan deret

x

xxf

0,10,1

)( .

)(xf merupakan fungsi ganjil sehingga

ganjiln,

n

genapn,

nn )(

ndxnxsinnxdxsin)x(fb

4

0

00

11222

Rerata kuadrat f(x) adalah 11)1(21)(

21 0

0

222

dxdxdxxf

Berdasarkan teorema Parseval dxxf

2)(

21 =

ganjilnb 2

21 atau 1 =

ganjil

n24

21 .

Jadi 8

1 2

2

ganjiln n atau ...

51

311 22 =

8

2

Soal-soal 5.2

1. Buktikan bahwa dxxf

2)(

21 =

nnc 2

Gunakan teorema Parseval dan deret Fourier dari fungsi yang diberikan pada interval di sampingnya pada soal-soal nomor 2 – 20 berikut ini.

2. 11,)( xxxf untuk menentukan

n n2

1

3. 21

212 x,xxf untuk menentukan

14

1n n

4. xxxf ,1)( untuk menentukan

12

1n n

5. 2/2/,)( xxxf untuk menentukan

odd,n n14

1

6.

xxx

xf0,sin

0,0)( untuk menentukan jumlah dari ...

351

151

31

222

7.

02

20x,x

x,xxf untuk menentukan

14

1n n


8. x,xxxf 0 untuk menunjukkan bahwa 6

1 2

12

n n


1 2

12

1

n

n

n


1 3

13

1

n

n

n


1 4

14

n n


1 6

16

n n

13. x,xsinxf 0 untuk menunjukkan bahwa 16

875

153

131

1 2

222222

......

14. 112 x,xxf untuk menunjukkan bahwa 12

1 2

12

1

n

n

n


1 2

12

n n


1 4

14

n n


1 3

13

1

n

n

n

18. Gunakan teorema Parseval untuk menunjukkan bahwa

12823

111

91

71

51

31

11 3

333333

...

19. Tunjukkan bahwa 9612

1 4

14

n n dan

960121 6

16

n n

20. Tunjukkan bahwa 16

394543

1432

1321

1 2

222222222

.........

21. (a) Tentukan deret sin dengan periode 2 dari fungsi 2

)( xtf pada ,0 ;

(b) Gunakan hasil (a) untuk menghitung 2

1n

22. (a) Tentukan deret Fourier dengan periode 2 dari fungsi 21)( xtf pada 2,0 ;

(b) gunakan hasil (a) untuk menghitung 4

1n

23. Diberikan fungsi

21,210,

)(xxx

xf

a. Buat grafik deret sin dari fungsi di atas untuk tiga periode b. Berapa nilai konvergensi deret sin pada x = 1; x = 0; x = – 1 ? c. Jika fungsi diberikan di atas kontinyu dengan periode 2 dan dideretkan ke dalam deret

Fourier bentuk kompleks

n

xinnec maka berapa nilai dari

nnc 2 ?


KULIAH 6 Aplikasi Deret Fourier pada Fisika

A. Pendahuluan Pada akhir perkuliahan tentang deret Fourier, Saudara akan mempelajari penerapan atau

aplikasinya pada bidang Fisika. Saudara akan menemukan bahwa deret Fourier merupakan keterampilan matematika yang penting untuk menganalisis permasalahan fisika. Pada perkuliahan keenam ini, kita hanya mendiskusikan aplikasi deret Fourier pada gelombang bunyi dan listrik. Akan tetapi, Saudara dapat mengembangkannya pada aplikasi pada bidang Fisika yang lain. Oleh karena itu di akhir perkuliahan keenam ini, diharapkan Saudara mampu menerapkan deret Fourier untuk menyelesaikan permasalahan fisika yang terkait.

Agar Saudara tidak mengalami kesulitan mengikuti perkuliahan keenam ini, sebaiknya Saudara menguasai materi perkuliahan kedua sampai dengan perkuliahan kelima. Saudara disarankan untuk membaca kembali materi perkuliahan KULIAH 2 sampai dengan KULIAH 5 serta membaca buku teks kalkulus untuk penguasaan ketarampilan matematika yang terkait. B. Aplikasi Deret Fourier pada Fisika

Besaran-besaran fisika seperti gelombang bunyi, radio, cahaya, arus AC, dan lain-lain merupakan contoh aplikasi deret Fourier karena besaran fisika tsb terdiri dari gabungan berbagai frekuensi. Gelombang bunyi akan mengganggu udara ketika gelombang bunyi melaluinya. Gangguan ini diwakili dengan perubahan tekanan udara terhadap waktu. Sebagai contoh, perubahan tekanan ditunjukkan oleh gambar di bawah.

Sebagaimana disebutkan di depan bahwa gelombang bunyi terdiri dari banyak frekuensi. Selanjutnya, untuk perubahan tekanan terhadap waktu yang ditunjukkan oleh gambar di atas, berapa frekuensi gelombang bunyi? Frekuensi berapa yang terdengar paling keras? Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini, langkah pertama adalah menderetkan fungsi tekanan terhadap waktu tp ke dalam deret Fourier. tp merupakan fungsi ganjil dengan periode

2621 detik sehingga l = 524

1 . Dengan demikian deret sin dari fungsi tp adalah

11

524sinsin)(n

nn

ltn

n tnbbtp

tdtntpbn 5241

05241

524sin)(2

10481

5241

104810

87 524sin524sin1048 dttndttnbn

nn

nb

nn

n 524coscos

87

5241cos1048 22

n

nb n

n cos871cos

8152

2

1

-1 1048

1

1

-1

5241

2621

87

87

87

p(t)

t (s) 10481

5241


41

8712

1

b ;

415

871

815

22

2

b ;

31

41

871

32

3

b

04 b ; 51

41

5 b ;

315

41

6 b ;

71

41

7 b ; 08 b

44524

33524

2252430

1524

41 t.sint.sint.sintsin)t(p

...t.sint.sint.sin

6652430

55524

44524

Intensitas gelombang bunyi adalah sebanding dengan kuadrat amplitudo dari fungsi tekanan udara terhadap waktu. Dengan demikian perbandingan intensitas untuk setiap frekuensi ditunjukkan pada tabel berikut ini.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 frekuensi 262 524 786 1048 1310 1572 1834 2096 Intensitas

relatif 1 225 1/9 0 1/25 25 1/49 0

Berdasarkan tabel di atas, gelombang bunyi terdiri dari frekuensi 262 Hz, 524 Hz, 786 Hz, 130 Hz dan seterusnya. Frekuensi 524 Hz (harmonik kedua) merupakan frekuensi yang terdengar paling keras karena intensitasnya paling besar Soal-soal 6 Berikut adalah grafik kelebihan tekanan udara akibat gelombang bunyi yang diberikan untuk satu periode. Tentukan frekuensi yang terpenting dan perbandingan intensitasnya. 1. 2

1

-1

6601

3301

2201

p(t)

t (s) 6601

3301

2201

3

1

7861

3931

2621

p(t)

t (s) 2621

- 3

-1


3. Berikut adalah signal listrik (arus listrik atau tegangan listrik) yang periodenya 1/60 detik. Tentukan deret Fourier yang sesuai dan selanjutnya tentukan frekuensi yang terkandung pada setiap signal dan perbandingan intensitasnya. 4. fungsi sin 5. fungsi sin 6. 7. 8. 9. 10. Berapa nilai frekuensi yang paling jelas (kuat) terdengar dari gelombang bunyi yang

diwakili oleh

12 1)3(100

60cos)(n n

tntp ?

100

1201

601

t (s)

100

1201

601

t (s)

100

1201

601

t (s)

100

1201

601

t (s)

100

1201

601

t (s)

- 100

3

2

4401

p(t)

t (s)

–3

–2 4401

2201

220

1

10

1201

601

t (s)

– 10


Daftar Rujukan 1. Mary L. Boas, ‘Mathematical Methods in the Physical Sciences’, 3rd edition, John Wiley

& Son, 2005. 2. K.F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence, ‘Mathematical Methods for Physics and

Engineering’, 3rd edition, Cambridge University Press, 2006. 3. K.T. Tang, ‘Mathematical Methods for Engineers and Scientists 1, 2, 3’, Springer Verlag,

Berlin, 2006. 4. Arfken & Weber, ‘Mathematical Methods for Physicist’, Elsevier Academic Press,

California, USA, 2005

kuliah fisika matematika

Documents