solusi pd dengan deret ( fisika matematika ii )

8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )

1/20

SOLUSI PD DENGAN DERET


2/20

Yang sudah kita pelajari :metode pemecahan PD linear

orde dua ( homogen dantakhomogen) dengankoefisien tetap.

PD linea orde dua homogen dengankoefisien taktetap (Metode Frobenius,Pers.Legendre,Bessel dan Hermite)


3/20

METODE FROBENIUS

0)()(2

2

yxQdx

dyxP

dx

yd

))((!

1)(0

)(

0

xxxfn

xfn

n

PD Linear Orde dua homogen dengan koefisien taktetap

P(x) dan Q(x) : fungsi analitik dalan suatu selang

f(x) dikatakan analitik di suatu titik x0, jika memiliki uraian deret Taylor :

. . . . . . . . . . .(*)


4/20

P(x) dan Q(x) : dapat diuraikan atas deret Taylor, kecuali pada titik-titiktertentu, seperti x = a, yang di dekatnya berperilaku sebagai

'2)(

1

)'(1

ax

atau

ax

a disebut titik kutub orde pertama

a disebut titik kutub orde dua

Jika P(x) dan Q(x) analitik di sekitar x0, maka x0 disebut titik ordiner PD (*)

Jika P(x) dan atau Q(x) memiliki titik kutub di x0, tetapi

(x x0)P(x) dan (x x0)2

Q(x)analitik di sekitar x0, maka x0disebut titik singular reguler(titik ordiner)PD(*)


5/20

Kalikan (*) dengan (x x0)2 maka (*) teralihkan :

0)()()()( 02

22

0 yxq

dx

dyxpxx

dx

ydxx

p(x) = (x x0)P(x) dan q(x) = (xx0)Q(x) : analitik di sekitar x0

Pers.(**) dikatakan berada dalam bentuk Fuchs

...............(**)

Metode Frobenius

(mencoba mendapatkan pemecahan dalam

bentuk deret pangkat di sekitar x = x0)

ns

n

n xxa

)( 00

y(x,s) = (x x0)s ( a0 + a1(x x0) + a2(x x0)

2 + . . .


6/20

03)1(2

22

xydx

dyx

dx

ydx

0)1()1(

3

2

2

2

2

2

2

2

yx

x

dx

dy

x

xx

dx

ydx

ns

n

nxay

0

1

0

)(

nsn

nxnsa

dx

dy

2

02

2

)1)((

ns

nn

xnsnsadx

yd

Contoh.

(1)

Solusi

Untuk melihat selang konvergensi solusi deret pangkatnya, kalikan (1)

dengan x2/(x2-1) :

p(x) = 3x2/(1-x2), q(x)=x2/(1-x2) dapat diuraikan atas deret pangkatdi sekitar x = 0, dengan selang konvergensix


7/20

0)(3)1)(()1(0

1

0

2

0

2

nsn

n

ns

n

n

ns

n

nxaxxnsaxxnsnsax

0)1)(()2)((0

21

n

ns

n

ns

n

ns

n xnsnsaxnsnsaxa

0

0

m

m

mxb

0)1)(())(2( 2

02

2

3

3

ns

nn

n

n

n xnsnsnsnsaa

0)1)(())(2( 23

23

ns

n

nnn xnsnsansnsaa

(2)

Pers.(2) adalah suatu identitas. Sebarang nilai x berlaku, jikamemenuhi identitas :

Maka bm=0 , untuk setiap m

Suku pertama dan kedua (2) dinamakan ulang menjadi suku terendah xs+n-2

Suku -1 : namakan ulang nn-3; n=0 n = 3

Suku -2 : namakan ulang nn-2; n=0 n = 2

Dengan memisahkan suku n = 0,1, dan 2, diperoleh :

-a0s(s-1)xs-2 a1(s+1)sxs-1 +[-a2(s+2)(s+1) + a0s(s+2)]xs +


8/20

-a0s(s-1)xs-2 a1(s+1)sxs-1 +[-a2(s+2)(s+1) + a0s(s+2)]xs +

0)1)(())(2( 23

23

ns

n

nnnxnsnsansnsaa (3)

Dari (3) berlakukan identitas :

xs-2 : a0s (s 1) = 0 (4a)

xs-1 : a1 (s +1)s = 0 (4b)

xs : -a2(s+2)(s+1) + a0s(s+2) = 0 (4c)

xs+n-2 : an-3+ an-2(s+n-2)(s+n) an(s+n)(s+n-1) = 0 (4d)

Disyaratkan bahwa a0tidak boleh nol, maka dari (4a) berlaku :s (s-1) = 0 (5)

Disebut persamaan indisial

Akar-akar indisial : s = 0 dan s = 1


9/20

s = 0

(4b) diperoleh a1 taktentu (bebas sebarang )

(4c) diperoleh a2= 0

(4d) diperoleh an-3+ an-2(n-2)(n) an(n)(n -1) =0

atau

)1(

)2(23

nn

annaa nnn

10

32

5

121

4

10

10

3

8

3

8

1

20

15

121

128

2

1

6

1

6

3

aaaa

a

aaaa

aaaa

a

Dari hubungan rekursif ini, dapat diperoleh


10/20

Hingga suku ke x5, solusi dari PD di atas adalah :

...)

8

3

8

1(

12

1)

2

1

6

1(

5

10

4

1

3

1010 xaaxaxaaxaay

...

8

3

12

1

2

1...

8

1

6

11

543

1

53

0 xxxxaxxa

= a0

y1

(x) + a1

y2

(x)

Untuk s = 1, dapat diperlihatkan bahwa pemecahannya merupakankelipatan konstan dari y2(x)


11/20

PERSAMAAN LEGENDRE

PD Legendre adalah,

0)1(2)1(2

22 yll

dx

dyx

dx

ydx

Solusi menggunakan deret :

ns

n

nxay

0

(1)

(2)

Persamaan (1) teralihkan menjadi,

0)1()1)(()1)((0

2

0

sn

n

nns

n

n xllsnsnaxnsnsa (3)

Persamaan (3) adalah suatu identitas yang berlaku untuk

semua x.


12/20

xs-2 (n = 0) ; a0s ( s-1) = 0 (4a)

xs-1 (n = 1) ; a1 (s + 1 )s = 0 (4b)

Xn+s-2 (n > 1) ;)2)(1(

)1()1)((2

snsn

llsnsnaa nn

(4c)

Karena a0 disyaratkan taknol, maka pers (4a) memberikanpersamaan indisial :

s ( s 1 ) = 0 (5)

Akar-akar indisialnya , s = 0 dan s = 1


13/20

(a) Untuk s = 0, pers. Rekursif (4c) menjadi,

)2)(1(

)1)((2

nn

nlnlaann

(6)

Untuk a1 tidak sama dengan nol, diperoleh solusinya,

...

!5

)4)(3)(2)(1(

!3

)2)(1(...

!4

)3)(2)(1(

!2

)1(1

53

1

42

0 xllll

xll

xaxllll

xll

ay

(b) Untuk s = 1, persamaan (4b) memberikan a1=0, dan pers.(4c)teralihkan menjadi,

)3)(2(

)1()2)(1(2

nn

llnnaa nn

Karena a1=0, maka semua koefisien dengan n ganjil adalah nol,

atau :

a1 = a3 = . . . = a2k+1 = . . . = 0 ( k = 0, 1, . . . )

...

!5

)4)(3)(2)(1(

!3

)2)(1( 530 x

llllx

llxay


14/20

PERSAMAAN BESSEL

Persamaan Bessel dalam bentuk standar;

0)(22

2

22 ypx

dx

dyx

dx

ydx

Dengan menerapkan metode Frobenius,

y(x) = sm

m

mxa

0

Persamaan Bessel teralihkan menjadi,

0)()1)((0

22

0

1

0

2

0

2

smm

m

sm

m

m

sm

m

m

sm

m

mxapxaxasmxxasmsmx

(1)

(2)

Namakan ulang indeks m (m-2) pada suku ketiga, diperoleh identitas,

0))()1)((0 2

2

2

m

sm

m

m

sm

m xaxapsmsmsm (3)


15/20

Diperoleh, xs (m=0) : (s(s-1) + s p2) a0 = 0 (4a)

xs+1 ( m=1): ((s + 1)(s) + (1 + s) p2) a1 = 0 (4b)

xs+m (m >1) : ((m + s)( m + s - 1)+( m + s) - p2) am - am-2=0(4c)

Persamaan (4a) memberikan persamaan indisial :

s2

= p2

(5)yang memiliki akar-akar : s = p danp.

Sisipkan pers.(5) pada (4b) memberikan persamaan :

(2s + 1)a1 = 0 (6)

Jika s , persamaan ini memberikan a1 = 0. Untuk s ,juga akan diambil

a1 = 0. Dengan pilihan ini, hubungan rekursif (4c) memberikan;

a1 = a3 = . . . = a2n+1 = . . . = 0 ( n = 0 , 1, 2 , . . . ) (7)

G k i di i l (5) k (4 ) d h k


16/20

Gunakan persamaan indisial (5) ke persamaan (4c), menyederhanakanmenjadi,

a2n = ( n = 0, 1, . . . ) (8)

Solusi deret Bessel (1), untuk beberapa suku rendah adalah,Untuk s = p

y = a0 xp (9)

Untuk s = - p

y = a0 x-p (10)

)(4)2(

)1(2

22

)1(2

snn

a

psn

ann

...

)2)(1(2.1.4)1(41

2

42

pp

x

p

x

.. .

)2)(1(2.1.4)1(41

2

42

pp

x

p

x


17/20

PERSAMAAN HERMITE

Bentuk baku PD Hermite adalah ,

(1)

Dengan adalah tetapan sebarang. Dengan menggunakan metodeFrobenius, yaitu mencobakan solusi ,

y = (2)

Diperoleh,

(3)Samakan koefisien xn dengan nol, diperoleh,

xs-2 (k = 0) : s ( s 1 ) a0 = 0 (4a)xs-1 (k = 1) : ( s + 1 ) s a1 = 0 (4b)xk+s-2(k >1) : ak+2 = (4c)

0222

2

ydx

dyx

dx

yd

sk

k

kxa

0

0)2)(2()1)((0

2

k

sk

k

sk

kxaskxasksk

kasksk

sk

)1)(2(

)(2


18/20

Persamaan indisial (4a) memiliki dua akar : s = 0 , dan s = 1.Akar s = 0 dipenuhi pula oleh a1 , sedangkan akar s = 1memberikan a1 = 0. Karena itu, hanyalah akar s = 0 yangmenghasilkan dua solusi bebas linear. Sisipkan s = 0 ke

dalam (4c) memberikan hubungan rekursif :

ak+2 = (5)

Dengan uji nisbah deret, diperoleh akan konvergen untuksemua nilai x.

lim = limk k

Hubungan rekursif (5) menunjukkan bahwa persamaanHermite juga memiliki solusi polinom jika :bulat positip

kakk

k

)2)(1(

)(2

k

k

k

k

xa

xa2

2

0

)2)(1(

)(2 2

x

kk

k


19/20

Latihan soal

1. Selesaikan PD koefisien variabel berikut denganmetode Frobenius :

a. 4xy + y y = 0b. (1x2)y + 2xy + y = 0

c. x2y 3xy + (x3 5) y = 0

2. Perlihatkan bahwa solusi deret pangkat PD berikut:

y 2xy + 2py = 0

dengan p tetap, akan menghasilkan dua polinomial,untuk p suatu bilangan bulat positip.


20/20

PERSOALAN NILAI-EIGEN STURM-LIOUVILLE

Pemecahan deret pers.Legendre, Bessel dan Hermite adalah contoh

pemecahan persoalan nilai-eigen Sturm-Liouville. Ini adalah persoalan

mencari pemecahan PD berbentuk :

yxyxgdx

dyxf

dx

dLy )()()(

dalam selang [a,b] dengan syarat batas :

Ay(a) + By(a) = p (2a)

Cy(b) + Dy(b) =q (2b)

A , B, C, D, p dan q : tetapan

Tetapan (1) disebut : nilai-eigen operator diferensial L

(1)

solusi pd dengan deret ( fisika matematika ii )

Documents