5. Deret Kompleks

5. DERET KOMPLEKS

Seperti halnya dalam bilangan riil, dalam bilangan kompleks juga

dikenal istilah barisan dan deret kompleks serta sifat-sifat

kekonvergenannya. Hal penting dalam bab ini yaitu setiap fungsi analitik

dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret MacLaurin atau

deret Laurent). Sebelumnya, perlu pengertian barisan dan deret bilangan

kompleks, deret pangkat, dan jari-jari kekonvergenanan. Setelah membaca

Bab 5, mahasiswa diharapkan dapat :

mengerti definisi barisan dan deret pangkat beserta sifat

kekonvergenannya.

Menyajikan fungsi analitik dalam deret Taylor, deret

MacLaurin atau deret Laurent.

49

5. Deret Kompleks

5.1 Barisan dan Deret Bilangan Kompleks

5.1.1 Barisan Bilangan Kompleks

Definisi Barisan Bilangan Kompleks

Barisan bilangan kompleks :

merupakan fungsi yang memetakan setiap

bilangan bulat positif n dengan suatu bilangan

kompleks.

Notasi barisan bilangan kompleks :

atau , .

Kekonvergenan Barisan

Barisan konvergen jika ada sehingga

.

Jika sehingga untuk .

Contoh 1Tunjukkan barisan konvergen ke -2.

Penyelesaian :

Jadi .

Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlaku beberapa

teorema berikut.

Teorema 5.1

Jika dengan dan , maka

konvergen ke jika dan hanya jika konvergen ke

dan konvergen ke . □

Teorema 5.2

Jika dan berturut-turut konvergen ke dan , dan konstanta kompleks, maka

1. konvergen ke .

2. konvergen ke .

3. konvergen ke .

4. konvergen ke asalkan dan untuk setiap

. □

50

5. Deret Kompleks

5.1.2 Deret Bilangan Kompleks

Diberikan deret bilangan kompleks dengan suku-suku deret yaitu .

Misalkan,merupakan jumlah suku pertama

merupakan jumlah dua suku pertama

merupakan jumlah tiga suku pertama

merupakan jumlah suku pertama

Bilangan menyatakan jumlah deret di atas apabila . Jadi deret

konvergen ke jika dan hanya jika , dan ditulis .

Teorema 5.3

Diberikan deret bilangan kompleks dengan , dan

bilangan riil, maka berlaku sifat-sifat berikut :

1. konvergen dan konvergen.

2. konvergen .

3. konvergen terdapat bilangan riil sehingga

.

4. konvergen konvergen . □

Seperti dalam deret bilangan riil, kekonvergenan deret dapat diuji dengan

beberapa uji kekonvergenan berikut.

1. konvergen .

divergen.

2. konvergen konvergen mutlak.

konvergen dan divergen konvergen bersyarat.

3. konvergen mutlak konvergen.

51

5. Deret Kompleks

4. Uji Banding

dan konvergen konvergen.

dan divergen divergen.

5. Ratio Test

6. Root Test

7. Deret Geometri

Bentuk umum :

Jika maka deret konvergen. Jika maka deret divergen.

8. Deret p

Bentuk umum :

Jika maka deret konvergen. Jika maka deret divergen.

5.2 Deret Pangkat

Bentuk Deret Pangkat

Deret pangkat dalam berbentuk :

denga dengan bilangan kompleks, bilangan kompleks

sebarang yang disebut pusat deret, konstanta kompleks yang disebut koefisien deret.

Apabila diperoleh bentuk khusus dari suatu deret pangkat dalam

yaitu

52

5. Deret Kompleks

Untuk setiap deret pangkat terdapat bilangan tunggal

dengan yang dinamakan jari-jari kekonvergenan deret. Sedangkan

disebut lingkaran kekonvergenan deret.

Teorema 5.4

Misal diberikan deret pangkat . Jika

, dengan maka adalah jari-jari

kekonvergenan. □

Teorema 5.5

Misal diberikan deret pangkat .

Jika , dengan maka adalah jari-

jari kekonvergenan. □

Sifat jari-jari kekonvergenan deret pangkat.

1. Jika maka deret konvergen hanya di (pusat deret).

2. Jika maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap

dengan dan deret divergen untuk setiap dengan .

3. Jika maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap

dengan .

Contoh 2Tentukan pusat dan jari-jari kekonvergenan deret .

Penyelesaian :

Misal , pusat deret yaitu .

Oleh karena itu : deret konvergen pada deret divergen pada

Apabila , maka

53

5. Deret Kompleks

(merupakan deret p dengan ), dan

konvergen . Sehingga konvergen pada .

Jadi, konvergen pada dan divergen pada .

5.3 Deret Taylor dan MacLaurin

Suatu fungsi tidak dapat direpresentasikan dalam dua deret

pangkat dengan pusat deret yang sama. Apabila dapat dinyatakan

dalam deret pangkat dengan pusat , maka deret tersebut tunggal. Setiap

fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat. Apabila analitik di dalam

lingkaran maka dapat disajikan dalam deret Taylor atau deret

MacLaurin bergantung pada pusat deretnya.

analitik di dalam

•

Gambar 5.1 Lingkaran dengan pusat deret

Deret Taylor

Jika analitik di dalam lingkaran yang berpusat di

dan berjari-jari ( lihat Gambar 5.1 ), maka untuk setiap titik di dalam berlaku

. (5.1)

Persamaaan (5.1) disebut deret Taylor dari di sekitar titik .

Deret MacLaurin

Jika pada persamaan (5.1), maka untuk setiap titik di dalam berlaku

. (5.2)

Persamaan (5.2) disebut deret MacLaurin dari .

Beberapa contoh deret MacLaurin.

54

5. Deret Kompleks

1. ,

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

Contoh 3 Tentukan deret Taylor untuk di sekitar .

Penyelesaian :Titik singular yaitu . Dibuat lingkaran dengan pusat

dan jari-jari 1 ( ), sehingga analitik di dalam .

Menggunakan persamaan (5.1) diperoleh deret Taylor : Cara lain : ( menggunakan deret MacLaurin )

5.4 Deret Laurent

Apabila tidak analitik di , tetapi analitik untuk setiap di dalam

annulus , maka dapat diekspansi dalam deret Laurent.

55

5. Deret Kompleks

Deret Laurent

Jika analitik di dalam annulus ,

dan sebarang lintasan tertutup sederhana di

dalam annulus yang mengelilingi ,

maka untuk setiap di dalam ,

dapat dinyatakan sebagai

(5.2)

dengan

Persamaan (5.2) sering ditulis dengan

(5.3)

dengan

Ruas kanan persamaan (5.2) dan (5.3) disebut

deret Laurent dalam annulus .

□

Apabila analitik untuk , maka

dan , sehingga persamaan (5.2) menjadi

deret Taylor . Jadi deret Taylor merupakan

kejadian khusus dari deret Laurent.

Contoh 4

Tentukan deret MacLaurin dan deret Laurent dari

56

5. Deret Kompleks

Penyelesaian :

Titik singular yaitu dan . Dibuat annulus , sehingga dapat diperoleh deret MacLaurin untuk dan deret Laurent untuk dan .

a. Deret MacLaurin untuk . analitik untuk , sehingga

b. Deret Laurent untuk . analitik untuk .

.

Jadi,

c. Deret Laurent untuk . analitik untuk .

.

57

5. Deret Kompleks

Jadi,

Ringkasan

Setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent) bergantung pada pusat deretnya.

Soal-soal

1. Tentukan jari-jari kekonvergenan deret

a. b.

2. Tentukan deret Taylor dari fungsi berikut dengan pusat deret .

a. ,

b. ,

c.

3. Ekspansikan fungsi berikut dalam deret Laurent dengan pusat deret .

58

5. Deret Kompleks

a. ,

b. ,

c.

4. Tentukan deret MacLaurin dan deret Laurent dari

a.

b.

c.

59