KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan

petunjuk, bimbingan dan kekuatan lahir batin sehingga makalah ini dapat kami selesaikan.

Shalawat dan salam senantiasa dihanturkan pada junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW

dan keluarganya.

Makalah ini dibuat sebagai salah satu tugas matakuliah analisis kompleks, makalah ini

memuat materi tentang Deret bilangan kompleks yang diambil dari beberapa sumber.

Kami telah berusaha semaksimal mungkin untuk membuat makalah ini dengan

sebaik-baiknya. Namun ibarat pepatah “tak ada gading yang tak retak”. Kami menyadari

masih banyak kekurangan. Untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran demi

peningkatkan dan penyempurnakan makalh ini.

Akhirnya semoga makalah ini dapat member manfaat bagi para mahasiswa khususnya

yang mengikuti mata kuliah Analisis Kompleks. Amin .

Jakarta,

Penyusun

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar belakang

Analisis komples adalah salah satu mata kuliah di program studi

pendidikan matematika. Dalam mata kuliah ini dipelajari segala sesuatu yang

berhubungan dengan bilangan kompleks baik itu operasi-operasi yang berlaku,

fungsi bilangan kompleks, dan lain-lain. Diantaranya juga dipelajari tentang

deret bilangan kompleks. Untuk lebih memahami deret bilangan kompleks

beserta teorema dan aturan yang berlaku dalam deret bilangan kompleks itu

sendiri maka dosen member tugas pembuatan makalah mengenai deret

bilangan kompleks. Oleh sebab itu penulis membuat makalah ini untuk lebih

memahami mengenai deret bilangan kompleks sekaligus menyelesaikan tugas

dari dosen.

B. Rumusan masalah

Berdasarkan latar belakang maka dibuat rumusan masalah sebagai berikut :

- Apa itu Deret bilangan kompleks ?

- Apa saja teorema dan aturan yang berlaku dalam Deret bilangan

kompleks ?

C. Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah tujuan dari pembuatan makalah ini

adalah untuk mengetahui apa itu Deret bilangan kompleks beserta teorema dan

aturan yang berlaku dalam Deret bilangan kompleks.

BAB II

DERET BILANGAN KOMPLEKS

Deret bilangan kompleks merupakan penjumlahan suku-suku pada barisan

bilangan kompleks.

Deret bilangan kompleks dinotasikan

dengan suku-suku deret yaitu .

Misalkan,

merupakan jumlah suku pertama

merupakan jumlah dua suku pertama

merupakan jumlah tiga suku pertama

merupakan jumlah suku pertama

Jika barisn mempunyai limit diperoleh jumlah tak berhingga

Jadi dalam symbol dituliskan

=

1. Deret konvergen

Kekonvergenan suatu deret ditentukan oleh ada atau tidak adanya limit

barisan jumlah bagiannya. Kekonvergenan deret tersebut disajikan pada definisi

berikut ini :

Definisi 1 :

- Deret konvergen ke jika dan hanya jika

- Deret divergen ke jika dan hanya jika tidak ada.

Contoh :

Dari barisan = dibentuk deret . Tentukanlah

apakah deret tersebut konvergen atau divergen!

Penyelesaian :

= =

Bagian ruas kanan yang didalam kurung merupakan deret geometri

dengan suku pertama dan dan jumlah tak hingganya adalah

=1.

Maka diperoleh limit = . Jadi deret konvergen ke .

2. Uji konvergensi pada deret bilangan kompleks

a. Teorema konvergensi

TEOREMA 6.2.2

Diberikan deret bilangan kompleks dengan ;

(a) konvergen jika dan hanya jika dan konvergen.

(b) konvergen, maka .

(c) konvergen mutlak, maka konvergen, artinya jika

maka konvergen.

Teorema di atas hanya akan dibuktikan bagian (a) dan (b),

sedangkan bagian (c) diberikan kepada para pembaca sebagai latihan.

Bukti (a):

misalkan deret konvergen ke , sehingga

. Akan ditunjukan bahwa deret konvergen ke

dan deret konvergen ke . Menurut definisi diperoleh,

Akibatnya diperoleh,

dan

Karena dan berturut-turut merupakan jumlah

bagian dari dan , maka dan

konvergen.

misalkan konvergen ke dan konvergen ke Akan

tunjukan konvergen ke . Karena

, menurut teorema diperoleh Karena

, diperoleh

Jadi terbukti bahwa konvergen.

Bukti (b):

Diberikan bilangan sebarang. Akan dibuktikan

berarti terdapat bilangan asli sehingga jika berlaku

Diketahui konvergen, berarti terdapat bilangan kompleks

sehingga berlaku

Jadi untuk setiap bilangan terdapat bilangan asli sehingga jika

berlaku dan

Menurut ketaksamaan segitiga, diperoleh

Jadi terbukti bahwa

b. Uji Rasio

Teorema 6.2.4 (Uji Ratio):

Diberikan deret dengan suku-suku tak negative dan .

(a) Jika L < 1, maka konvergen

(b) Jika L > 1, maka divergen

(c) Jika L = 1, maka pengujian gagal (deret dapat konvergen atau divergen)

Bukti:

(a) Diberikan bilangan sebarang. Karena untuk setiap n, maka L

> 0.

Diketahui L < 1. Dipilih bilangan real r sehingga L < 2 < 1.

Kemudian diambil

Karena , terdapat bilangan asli sehingga jika berlaku

Diperoleh jika berlaku

atau ………………… (*)

Diambil sehingga dari (*) diperoleh

………………….

…………………… (**)

Deret adalah deret konvergen, karena merupakan deret geometri

dengan ratio r < 1.

Dari (**) dan menggunakan uji banding, diperoleh bahwa deret

konvergen.

Deret berbeda dari deret dalam suku pertama.

Jadi deret konvergen sehingga deret yang diberikan konvergen

mutlak.

(b) Karena , dan L > 1, maka .

Hal ini berarti untuk setiap bilangan terdapat bilangan sehingga

jika

berlaku

.

Perhatikan bahwa jika dan hanya jika

Diambil , sehingga diperoleh

……………………………

Jadi jika , berlaku . Akibatnya .

Karena , diperoleh deret divergen.

(c) Misalkan deret , diperoleh

Deret konvergen untuk p > 1 dan divergen untuk .

Jadi deret dapat konvergen dan dapat juga divergen, sedangkan yang

divergen memenuhi .

Contoh :

Tunjukkan bahwa deret konvergen dengan menggunakan uji ratio.

Penyelesaian:

Misalkan , maka

Diperoleh,

Jadi menurut uji ratio, diperoleh bahwa deret tersebut konvergen mutlak.

c. Uji Akar

Diberikan deret dengan suku-suku tak negative dan

.

Contoh :

Tunjukkan bahwa deret konvergen dengan menggunakan uji

akar .

Penyelesaian :

Berikut akan dipaparkan menggunakan uji akar. Kesimpulan dari uji akar ini sama dengan uji rasio.

=

Perhatikan bentuk di atas, jika maka = 1. Perhatikan juga bentuk .

Jika maka = , sehingga limit diatas memiliki bentuk :

= =

Karena nilai limitnya < 1, maka deret konvergen.

d. Uji Integral

Andaikan adalah deret suku-suku tak negative dan andaikan bahwa fungsi

didapat dari pengganti n pada suku umum deret dengan peubah kontinu x,

maka deret akan konvergen jika hanya jika juga konvergen.

Dari kalkulus :

=

Apa bila limit pada ruas kanan bernilai terhingga, maka integral tak wajar tersebut

konvergen dan memiliki nilai yang sama dengan limit tadi. Jika tidak maka

integral tersebut divergen.

Contoh :

Tunjukanlah bahwa deret merupakan deret konvergen dengan melakukan

uji integral.

Penyelesaian :

Coba lakukan pengujian dengan uji rasio, maka akan diperoleh hasil perhitungan

, dengan demikian kita tidak dapat menentukan apakah deret tersebut

konvergen atau divergen dengan uji rasio. Inilah saatnya menggunakan uji

integral. Lihat penjelasan teori diatas mengenai uji integral. Kita ubah notasi n

menjadi peubah kontinu x sehingga diperoleh . Kita lakukan

pengintegralan terhadap fungsi kontinu ini

Integral fungsi ini bersifat konvergen (ada hasilnya) dengan demikian deret

konvergen

e. Uji Deret berganti tanda

Diketahui suatu deret , dengan

Andaikan :

Untuk setiap yang lebih besar dari suatu bilangan bulat tertentu, maka deret yang diketahui tersebut konvergen.

Contoh

Tunjukanlah bahwa deret merupakan deret konvergen dengan

melakukan uji deret berganti tanda.

Penyelesaian :Kita lakukan uji rasio pada deret diatas

Berarti . Karena , maka kita tidak dapat mengetahui apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Dengan demikian kita harus menggunakan uji lain. Kita uji dengan pembanding sekali lagi, syaratnya harus hati-hati dalam memilih deret pembanding.

- Untuk kasus ini kita pilih sebagai deret pembanding.

Namun bagaimana kita menguji deret ini ? coba kita uraikan deret ini

Tempat pada bagian pembilang berubah tanda dari . Dengan demikian uji deret berganti tanda merupakan uji yang paling tepat untuk deret ini. Lihat lagi teorema untuk deret berganti tanda.

Pada deret yang membuat berganti tanda adalah , dengan demikian

pemeriksaan dilakukan terhadap bagian .

Ternyata dan konvergen.

Karena konvergen, sementara , maka deret juga

konvergen.

f. Uji Banding

TEOREMA 6.2.3 (Uji Banding)

Diberikan untuk setiap

(a) Jika konvergen, maka konvergen (mutlak)

(b) Jika divergen, maka divergen.

Bukti:

(a) Diketahui dan konvergen. Akan dibuktikan

konvergen mutlak. Misalkan adalah barisan jumlah bagian untuk deret

dan adalah barisan jumlah bagian untuk deret .

Karena konvergen, berarti terdapat bilangan real M sehingga

. Karena , diperoleh untuk setiap .

Karena barisan sebagai jumlah bagian dari deret , sehingga

berlaku untuk suatu bilangan real Akibatnya

konvergen.

(b) Diketahui dan divergen. Akan dibuktikan

divergen. Andaikan deret konvergen. Karena sehingga

dari (a) diperoleh barisan deret konvergen. Hal ini bertentangan

dengan hipotesis yang diketahui jadi pengandaian di atas salah, haruslah deret

divergen.

Contoh :

Ujilah kekonvergenan deret dengan

menggunakan uji banding.

Penyelesaian:

Diketahui:

Bentuk umum deret di atas adalah ,

Kita buat fungsi pembandingnya yaitu

Sehingga berdasarkan definisi adalah .

Kemudian deret konvergen.

Bukti:

gunakan integral, maka:

(terbukti)

Karena konvergen, maka berdasarkan uji banding diperoleh

bahwa deret juga konvergen

Latihan soal-soal :

1. Tentukanlah apakah deret bilangan kompleks dibawah ini konvergen

atau divergen :

a.

b.

c.

d.

e.

Daftar Pustaka

Ekowati. CK 2010. Bahan Ajar Mandiri Kompleks. Kupang: Universitas Nusa

Cendana.

http//:diktat-anakom.pdf

Gunawan Wibisono dan John D. Paliouras. 1987. Peubah Kompleks Untuk Ilmuan

Dan Insinyur. Penerbit:Erlangga.