BAB 3

PENGENALAN GEOMETRI TERURUT

Labachevsky lahir di Nizhny Novgorad, Rusia. Orangtuanya bernama

Ivan Maksimovich Lobachevsky dan Praskovia Alexan dravina Labachevsky.

Pada tahun 1800 ayahnya menunggal dan ibunya pindah ke Kazan. Di Kazan,

Nikola Ivanovich Labachevsky mengikuti Kazan Gymnasium pada tahun

1802.Manfaat teori yang ditemukan Labachevsky adalah perkembangan geometri

non-euclide yang tidak berbeda dari Janos Bulyai.Kelima postulat itu adalah

postulat kesejajaran euclide biasanya diganti dengan postulat Jhon Playfair yang

mengatakan bahwa “diberikan sebuah garis dan sebuah titik diluar garis, hanya

ada satu garis yang sejajar dengan garis tersebut yang melalui sebuah titik diluar

garis tersebut”. Geometri Labachevsky menerima semua postulat geometri euclide

dengan membuang postulat kesejajarannya. Labachovsky menganti postulat

kesejajaran euclide dengan satu postulat bahwa ada lebih dari satu garis yang

sejajar dengan satu garis tertentu yang melalui satu garis tertentu yang melalui

satu titik diluar garis tersebut. Geometri Labachevsky memandang bahwa setiap

segitiga jumlah besar sudutnya kurang dari 180 derajat. Perkembangan geometri

non-euclide Labachovsky disebut geometri hiperbolik.

Pada Geometri Tertentu ditentukan titik-titik A, B, C….. sebagai unsur

yang tidak didefinisikan dan relasi keantaraan sebagai relasi yang tidak

didefinisikan. Relasi ini dinyatakan dengan [A B C], yang berarti B terletak

diantara A dan C, maka dikatakan “tidak [ABC]”.

Aksioma-aksioma pada Geometri Terurut:

Aksioma 3.1.

Ada paling sedikit dua titik

Aksioma 3.2.

Jika A dan B dua titik berlainan, maka ada satu titik C yang memenuhi [A

B C].

Aksioma 3.3.

1

Jika [ABC], maka A dan C berlainan A ≠ C

Aksioma 3.4.

Jika [A B C], maka [C B A] tetapi tidak [B C A]

Dari aksioma-aksioma di atas diturunkan teorema-teorema seperti berikut.

Teorema 3.1

Jika [A B C], maka tidak [C A B]

Bukti: menurut Aksioma 3.4

Jika [C A B], maka tidak {A B C]

Ini ekuivalen dengan jika [A B C], maka tidak [C A B]

Teorema 3.2

Jika [A B C], maka A, B dan C berlainan atau A≠ B ≠ C

Bukti:

Andaikan B = C, maka [A B B]

Jika [A B B] maka [B B A] (Aksioma 3.4)

Kontradiksi

Jadi B ≠ C

Andaikan A = B, maka [A A C]

Jika [A A C], maka [C C A] (menurut Aksioma 3.4)

Jika [A A C], maka tidak [C A A] (menurut Aksioma 3.1) terdapat

kontradiksi, jadi A ≠ B.

Aksioma 3.3 didapat A ≠ C

Terbukti, bahwa A ≠ B ≠ C

Definisi 3.1

Jika A dan B dua titik berlainan, maka segmen AB atau ruas garis AB

ialah himpunan titik P yang memenuhi [A P B]. dikatakan titik P terletak pada

segmen AB.

2

Teorema 3.3

Titik A maupun titik B tidak terletak pada segmen AB

Bukti:

Andaikan A dan B terletak pada segmen AB maka terdapat [AAB] atau [A

B B]. ini bertentangan dengan teorema 3.2. jadi A maupun B tidak terletak pada

segmen AB.

Teorema 3.4

Segmen AB = segmen BA

Bukti:

Segmen AB = himpunan titik P sedemikian hingga [APB](definisi)

= himpunan titik P sedemikian hingga [BPA](aksioma 3.4)

= segmen BA (definisi)

Definisi 3.2

Interval AB ialah segmen AB ditambah ujung-ujungnya yaitu A

dan B.

Jadi AB = A + AB + B

Sinar A/B (dari A menjauhi B) ialah himpunan titik-titik P yang

memenuhi [P A B].

Garis AB ialah interval AB ditambah sinar-sinar garis A/B dan

B/A. jadi garis AB = A/B + AB B/A

Akibat :

Interval AB = interval BA

Garis AB = garis BA,

Bukti

Interval AB = segmen AB ditambah A dan B

= segmen AB ditambah B dan A

= segmen BA ditambah B dan A

= interval BA

3

Aksioma :

Jika C dan D titik-titik berlainan pada garis AB, maka A pada Garis CD.

Teorema 3.5

Jika C dan D titik-titik pada garis AB, maka garis AB = garis CD.

Bukti:

Jika A, B, C dan D tidak semuanya berlainan, maka dapat disimpulkan B =

D dan akan dibuktikan, bahwa garis AB = garis BC.

Untuk membuktikan, bahwa garis AB = garis BC, kita tunjukan setiap titik

pada garis garis BC adalah juga titik pada garis AB dan sebaliknya.

i) C pada garis AB (premis)

Misalkan X pada garis AB. Maka menurut aksioma 3.4, B pada

garis CX

B pada garis CX C pada garis CX (C ujung CX)

Maka menurut aksioma 3.5, X pada garis BC.

Jadi, jika X pada garis AB, maka X pada garis BC.

Kesimpulan garis AB himpunan bagian dari garis BC.

ii) Misalkan Y pada garis BC,

C pada AB (premis)

B pada AB (B ujung AB)

Maka menurut Aksioma 3.5, A pada garis BC.

Y pada garis BC

A pada garis BC

Menurut aksioma 3.5, maka B pada garis AY

B pada garis AY

A pada garis AY (A ujung AY)

Jadi menurut Aksioma 3.5, Y pada garis AB.

Jika Y pada garis BC, maka Y pada garis AB.

Kesimpulan garis BC himpunan bagian dari garis AB

Dari i) dan ii) terbukti bahwa garis AB = garis BC.

4

Jika D ≠ B, maka dengan jalan yang sama dapat dibuktikan, bahwa garis BC sama

dengan garis CD, sehingga garis AB = garis BC = garis CD. Jadi jika A, B, C dan

D semua berlainan garis AB = garis CD.

Akibat 1: dua titik berlainan terletak pada satu garis. Dua garis berlainan (jika

ada) mempunyai paling banyak 1 titik persekutuan. Titik persekutun ini disebut

titik potong kedua garis itu.

Akibat 2: tiga titik berlainan A, B, dan C pada suatu garis mempunyai tepat hanya

salah satu dari relasi-relasi [A B C], [B C A], atau [C A B].

Aksioma 3.6

Jika AB suatu garis, ada suatu titik C pada garis ini.

Teorema 3.6

Jika C tidak pada garis AB, maka A tidak pada BC, juga B tidak pada AC.

Garis-garis BC, CA dan AB berlainan.

Bukti :

Andaikan A pada garis BC

B pada garis BC (B ujung BC)

Jadi C pada garis AB, kontradiksi dengan C tidak pada garis AB.

Kesimpulan A tidak pada garis BC

Dengan cara yang sama untuk yang lain.

Definisi 3.3

1. Titik-titik yang terletak pada garis yang sama disebut “collinear”

(koliner atau segaris).

2. Tiga titik noncollinear A, B, C menentukan suatu segitiga ABC yang

memuat tiga titik ini, yang disebut titik-titik sudut, dan tiga segmen

AB, BC, CA yang disebut sisi-sisi.

5

Aksioma 3.7

Jika A B C suatu segitiga, [B C D] dan [C E A], maka pada garis DE, ada

suatu titik F yang memenuhi [A F B].

Teorema 3.7

Antara dua titik berlainan ada suatu titik lain.

Bukti :

Misakan A dan B kedua titik itu seperti pada gambar berikut.

Menurut Aksioma 3.6 ada suatu titik E tidak pada AB.

Menurut Aksioma 3.2 ada suatu titik C memenuhi [A E C].

Mengingat Teorema 3.5 maka garis AC sama denga garis AE, B

tidak terletak pada garis ini, maka ABC suatu segitiga.

Menurut Aksioma 3.2 ada suatu titik D yang mamanuhi [B C D].

Menurut Aksioma 3.7 ada titik F antara A dan B. terbukti.

Teorema 3.8

Jika ABC suatu segitiga dan [B C D] dan [C E A], maka pada garis DE

ada suatu titik F memenuhi [A F B] dan [D E F].

Bukti :

Karena F terletak pada garis DE, maka ada 5 kemungkinan:

a) F = D;

b) F = E;

c) [E F D];

6

d) [F D E]’ ;

e) [D E F]

Kemungkinan:

a) Jika F = D, maka [B C D] dan [A D B], jadi A, B dan C collinear.

Kontradiksi dengan ABC suatu segitiga.

Jadi F ≠ D

b) Jika F = E, maka [C E A] dan [A E B], jadi A, B dan C collinear.

Kontradiksi dengan ABC suatu segitiga.

Jadi F ≠ E

c) Jika [E F D], maka perhatikan gambar berikut.

Dalam segitiga D C E dengan [C E A] dan [E F D]

Menurut Aksioma 3.2 pada A F ada X yang memenuhi [D X C].

Karena AF dan CD tidak mengkin berpotongan lebih dari satu kali,

maka X = B, sehingga terdapat [D B C].

Kontradiksi dengan ketentuan [B C D]. jadi tidak mungkin [E F D]

d) Jika [F D E], maka gambarnya adalah sebagai berikut.

7

Dalam segitiga AFE dengan [A F B], maka menurut Aksioma

3.7 pada garis BD ada suatu titik X sedemikian, sehingga [A X

E].

Karena BD dan AE tidak berpotongan di lebih dari satu titik,

maka X = C, sehingga terdapat [A C E]. ini bertentangan

dengan ketentuan [A E C].

Jadi tidak mungkin [F D E].

Jadi kemungkinan hanya [D E F].

Teorema 3.9

Suatu garis tidak mungkin memotong ketiga sisi suatu segitiga (sisi berupa

segmen).

Teorema 3.10

Jika[A B C] dan [B C D], maka [A B D].

Teorema 3.11

Jika [A B C] dan [A B D] serta C ≠ D, maka :

1) [B C D] atau [B D C], dan

2) [A C D] atau [A D C] lihat gambar a), b)

Teorema 3.12

Jika [A B D] dan [A C D] dan B ≠ C, maka [A B C] atau [A C B] lihat gambar c),

d)

Teorema 3.13

Jika [A B C] dan [A C D], maka [B C D] dan [A B D] lihat gambar e).

a)

b)

8

A DCB

A DCB

A CDB

T2

TnT1 T3

c)

d)

e)

Definisi 3.3

Jika [A B C] dan [A C D], kita tulis [A B C D]

Urutan 4 titik ini mempunyai sifat, jika [A B C D], maka [D C B A]. Urutan titik-

titik ini dapat diperluas sebagai berikut. Seperti telah kita ketahui sebarang titik O

pada segmen AB membagi segmen itu dalam dua segmen, AO dan OB.

Sebarang titik O pada sinar dari A membagi sinar dalam suatu segmne dan suatu

sinar, A O dan O/A.

Sebarang titik pada garis membagi garis dalam dua sinar garis berlawanan,

jika [A O B], maka sinar-sinar itu ialah O/A dan O/B, sinar O/A yang memuat

titik B, kadang-kadang lebih mudah disebut sinar OB.

Untuk n > 1, maka n titik berlainan membagi garisnya dalam 2 sinar dan

n-1 segmen. Titik-titikya dapat T1, T2, ... Tn sedemikian hinggakedua sinar itu T1/ Tn

dan Tn/ T1,

Sedang n-1 segmen itu T1 T2, T2 T3,..., Tn-1 Tn, masing-masing tidak memuat titik itu.

Kita katakan, bahwa titik-titik itu dalam urutan T1 T2... Tn dan ditulis [T1 T2, T2

T3,..., Tn]. Syarat perlu dan cukup untuk ini ialah : [T1 T2 T3], [T2 T3 T4], [T3 T4

T5],..., [Tn-2 Tn-1 Tn].

Marilah kita perhatikan kembali Aksioma 3.8. Perkembengan logika yang

terbaik dari suatu subjek mengunakan himpunan aksioma yang paling sederhana

9

A DCB

A DBC

A DCB

A DO

A O

ABO

atau yang paling lemah. Pasch memberikan yang lebih kuat tentang Aksioma 3.7

Ia menyatakan:

Jika sebuah garis dalam bidang suatu segitiga memotong satu sisi, maka

ia juga akan memotong sisi yang lain (atau melalui suatu titik sudut).

Aksioma 3.7 yang kita pakai yaitu suatu aksioma dari Peano, lebih baik, karena

a. Kata bidag tidak dipakai sama sekali

b. Garis DE memasuki segitiga ABC dengan cara yang khusus, yaitu sebelum

memotong CA Ia berasal dari titik D pada C/B

Aksioma ini cukup kuat dan dari ini dapat diturunkan Teorema 3.14. Jika

Teorema 3.14 ini diambil sebagai aksioma, maka dari ini tidak dapat diturunkan

Aksioma 3.7 sebagai Teorema.

Teorema 3.14

Jika ABC suatu segitiga dan [A F B] dan [B C D] maka pada garis DF, ada suatu titik E

yang memenuhi [C E A].

Definisi 3.4

1. Jika A, B, C tiga titik noncolinier, bidang ABC adalah himpunan semua titik

yang colinier dengan pasangan titik – titik pada satu atau dua sisi dari segitiga

ABC.

2. Suatu segmen, interval, garis atau sinar dikatakan terletak dalam bidang, jika

semua titiknya terletak dalam bidang itu.

Definisi 3.5

Suatu sudut terdiri dari suatu titik O dan dua sinar garis yang noncoliner yang

titik pangkalnya O. Titik O disebut titik sudut dan sinar – sinar itu adalah sisi –

sisi sudut.

Aksioma 3.8 (Dalam ruang dimensi dua)

Semua titik ada dalam satu bidang

10

Aksioma 3.9

Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam dua himpunan

yang tidak kosong, sedemikian hingga tidak ada titik dari masing – masing

himpunan yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya, maka ada satu titik

dari satu himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap

titik himpunan lainnya.

11