Sawitri Agustrianti

XII IPA 1

MATEMATIKA

Bab : Transformasi

Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan

trasformasi dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : Menentukan komposisi dari beberapa

transformasi geometri beserta matriks

transformasinya.

Indikator :

Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua

sumbu yang saling tegak lurus.

Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua

sumbu yang saling berpotongan.

Indikator 5-6-3 :

Komposisi Dua Refleksi Berurutan Terhadap Dua

Sumbu yang Saling Tegak Lurus

Bangun geometri berbentuk huruf P

pada gambar 5-37a direfleksikan

terhadap garis KL sehingga diperoleh

bangun geometri bayangan P1

sebagaimana diperlihatkan pada gambar

5-37b.

Kemudian P1 direfleksikan

terhadap garis MN sehingga diperoleh

bayangan akhir P2, sebagaimana

diperlihatkan pada gambar 5-37c.

Perhatikan bahwa sumbu refleksi KL dan

sumbu refleksi MN saling tegak lurus

dan berpotongan dititik O.

Gambar 5-37

Dengan mengacu pada Gambar 5-37, tampak

bahwa transformasi yang memetakan bangun geometri P

ke bangun geometri P2 adalah rotasi setengah putaran

yang berpusat di O (titik O adalah titik potong antara

sumbu KL dengan sumbu KN. Fakta ini mengarah pada ke

simpulan berikut :

Pengerjaan dua refleksi terhadap dua

sumbu yang saling tegak lurus ekuivalen dengan

rotasi setengah putaran yang berpusat di titik

potong antara kedua sumbu refleksi.

Sekarang pandang gambar 5-38.

bangun geometri berbentuk huruf P

direfleksikan terhadap garis MN

terlebih dahulu, kemudian direfleksikan

terhadap garis KL.

Perhatikan bahwa bayangan

akhir yang di hasilkan sama apabila

bangun geometri P direfleksikan

terhadap garis KL kemudian

direfleksikan terhadap garis MN. Fakta

ini mengarah pada kesimpulan

sebagai berikut :

Gambar 5-38

Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak

lurus bersifat komutatif.

Refleksi Terhadap Sumbu-Sumbu Koordinat Secara Berurutan

Misalkan : X menyatakan refleksi pada

sumbu X, dan

Y menyatakan refleksi terhadap

sumbu Y.

Pada gambar 5-39(A), titik P(a,b)

direfleksikan terhadap sumbu X

diperoleh titik bayangan P’ (a, -b).

Kemudian titik P’ (a, -b) direfleksikan

terhadap sumbu Y diperoleh titik

bayangan P” (-a, -b). Komposisi dua

refleksi ini dapat ditulis dalam bentuk :

Pada gambar 5-39(B), titik P(a, b) direfleksikan terhadap sumbu Y

diperoleh titik bayangan P’ (-a, b). Kemudian titik P’(-a,b)

direfleksikan terhadap sumbu X diperoleh titik bayangan P”(-a, -b).

Komposisi dua refleksi ini dapat ditulis dalam bentuk :

Berdasarkan hasil-hasil perhitungan tersebut, dapat disimpulkan

bahwa :

1. Pengerjaan dua refleksi secara berurutan terhadap

sumbu X dan sumbu Y ekuivalen dengan rotasi

setengah putaran yang berpusat di O(0,0).

2. Pengerjaan dua refleksi secara berurut terhadap

sumbu X dan sumbu Y bersifat Komutatif.

ditulis :

Tentukan koordinat bayangan titk P(4, 2) oleh transformasi – transformasi

berikut ini

a. Refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu Y

b. Refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu X.

Jawab :

a. Titik P(4, 2) direfleksikan terhadap sumbu X:

Titik P’(4, -2) direfleksikan terhadap sumbu Y:

Jadi, koordinat bayangan P(4, 2) oleh refleksi terhadap sumbu X

dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu Y adalah P’’(-4, -2).

Ditulis :

b. Titik P(4,2) direfleksikan terhadap sumbu Y :

Titik P’(-4, 2) direfleksikan terhadap sumbu X :

Jadi, koordinat bayangan titik P(4, 2) oleh refleksi terhadap sumbu Y

dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu X adalah P’’(-4, -2).

Ditulis :

Indikator 5-6-4 :

Komposisi Dua Refleksi Berurutan Terhadap Dua

Sumbu yang Saling Berpotongan

Pada gambar dibawah ini, titik A direfleksikan terhadap garis OP

sehingga diperoleh bayangan A’. Kemudian titik A’ direfleksikan terhadap garis

OQ sehingga diperoleh bayangan A’’. Perhatikan bahwa titik A direfleksikan

terhadap dua sumbu (OP & OQ), dan kedua sumbu ini berpotongan dititik O.

Transformasi ini dinamakan komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua

sumbu yang saling berpotongan.

Misalkan titik K adalah titik potong antara AA’ dengan OP dan titik L adalah

titik potong antara A’A’’ dengan OQ.

Dengan mengacu pada gambar di atas dengan menggunakan sifat refleksi,

jelas bahwa :

OA = OA’

OA’ = OA’’

OA = OA’ = OA’’

Oleh karena OA = OA’’ dan sudut AOA’’ = 2 x sudut POQ, maka dapat

disimpulkan bahwa refleksi berurutan terhadap OP dan OQ ekuivalen dengan

sebuah rotasi tunggal, dimana :

Titik O bertindak sebagai titik pusat rotasi,

Besar sudut rotasi AOA’’ = 2 x sudut POQ, dan

Arah rotasi dari sumbu OP ke sumbu OQ.

Selanjutnya, hasil tersebut dapat diungkapkan secara

umum sebagai berikut :

Refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling berpotongan

ekuivalen dengan sebuah rotasi tunggal, di mana :

Titik potong kedua sumbu refleksi bertindak sebagai titik

pusat rotasi,

Besar sudut rotasi sama dengan dua kali besar sudut antara

kedua sumbu refleksi, dan

Arah rotasi dari sumbu refleksi pertama ke sumbu refleksi

kedua.

a. Gambarlah bayangan titik A(3,2) oleh refleksi berikut ini

Refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis

y = x

b. Dengan menggunakan aturan transformasi yang sesuai, tentukan

koordinat bayangan titik A(3,2) oleh refleksi pada soal a.

Jawab :

a. Hasil gambar

b. Untuk menentukan koordinat bayangan dari titik A(3,2) digunakan aturan

refleksi.

A(3,2) direfleksikan terhadap sumbu X, diperoleh :

A’(3, -2) direfleksikan terhadap garis y = x, diperoleh :

Jadi, koordinat bayangan titik A(3, 2) oleh refleksi terhadap sumbu x

dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x adalah titik A’’(-2, 3).

Secara Umum :

Berbeda dengan pengerjaan dua refleksi secara

berurut terhadap sumbu X dan Y yang bersifat

KOMUTATIF

Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua

sumbu yang saling berpotongan, pada umumnya

TIDAK KOMUTATIF

Bye…bye…