4 matematika 3 transformasi linier_3

Matematika Lanjut 1

Vektor

Matriks dan Determinan

Matriks Invers

Sistem Persamaan Linier

1

Sistem Persamaan Linier

Transformasi Linier

Bidang Datar dan Garis Lurus

Dr. D. L. Crispina Pardede, Dra., DEA.

ReferensiReferensi

[1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S.,

Matematika untuk Perguruan Tinggi, Ghalia-

Indonesia, Jakarta, 1995.

[2]. Suryadi H.S., Pengantar Aljabar Linier dan [2]. Suryadi H.S., Pengantar Aljabar Linier dan

Geometri Analitik, Penerbit Gunadarma,

Jakarta, 1991.

[3]. Seymour Lipschutz, Theory and problems of

Linear Algebra, McGraw-Hill, 1968.

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)2

TRANSFORMASI LINIERTRANSFORMASI LINIER

1. Pengertian Transformasi

2. Transformasi Vektor Linier

3. Matriks dan Transformasi 3. Matriks dan Transformasi

Vektor Linier

4. Produk Transformasi


TRANSFORMASITRANSFORMASI

Misalkan A, B masing-masing ruang vektor atas field.

A B

X1

X2

Y1

f

Fungsi f merupakan transformasi

(pemetaan/mapping) dari A (Rn) ke B (Rn).

A disebut Domain dan B disebut Codomain

D. L. Crispina Pardede (Juni 2012)

X2

X3Y2

4

TransformasiTransformasi … … ContohContoh

1. Diketahui transformasi T : R3 � R3 dengan rumus transformasi

T[x1, x2, x3] = [ 2x1 - x2, x2 + x3, x32 ]

untuk setiap [x , x , x ] ∈ R3.untuk setiap [x1, x2, x3] ∈ R3.

Vektor u = [2, 1, -1] akan ditransformasikan

oleh T .



T[x1, x2, x3] = [ 2x1 - x2, x2 + x3, x32 ]

T[2, 1, -1] = …?

x1 = 2 , x2 = 1 , x3 = -1

T[2, 1, -1] = [ 2.2 – 1 , 1+(-1) , (-1)2 ]

= [ 3 , 0 , 1 ]

Vektor [3, 0, 1] disebut peta dari vektor [2, 1, -1] .

Vektor [2, 1, -1] disebut prapeta dari vektor [3, 0, 1]

.



2. Diketahui transformasi T : R2 � R1 dengan rumus transformasi T[x1, x2] = [ x1 + x2 ]

untuk setiap [x1, x2] ∈ R2.Tentukan hasil transformasi dari vektor [1, 2] dan

[3, -1].



3. Diketahui transformasi T : R2 � R3 dengan rumus transformasi T[x1, x2] = [ x1, x1 + x2 , x2]

untuk setiap [x1, x2] ∈ R2. Tentukan hasil transformasi dari vektor [1, 2] dan [3, -1].


TRANSFORMASI LINIERTRANSFORMASI LINIER

Transformasi dari ruang vektor V ke ruang vektor W,

T: V �W disebut Transformasi Linier bila dipenuhi:

i). ∀ v1, v2 ∈ V berlaku T(v1 + v2) = T(v1)+ T(v2)i). ∀ v1, v2 ∈ V berlaku T(v1 + v2) = T(v1)+ T(v2)

ii). ∀ v ∈ V dan k skalar berlaku T(k(v)) = k T(v).


1. Misalkan T[x1, x2] = [x1 + x2 , x1]

Misalkan pula v1 = [a, b] ; v2= [c, d]

v1 + v2 = [ a+c , b+d ]

� T(v1 + v2) = T [ a+c , b+d ]

= [a+c+b+d, a+c]

Transformasi LinierTransformasi Linier …… ContohContoh


= [a+c+b+d, a+c]

= [a+b+c+d, a+c]

T(v1 + v2) = [a+b+c+d, a+c]

10

Misalkan T[x1, x2] = [x1 + x2 , x1]


T(v1) = T[a, b] = [a+b, a]

T(v2) = T[c, d] = [c+d, c]

T(v )+ T(v ) = [a+b, a] + [c+d, c]



T(v1)+ T(v2) = [a+b, a] + [c+d, c]

= [a+b+c+d, a+c]

T(v1)+ T(v2) = [a+b+c+d, a+c]

T(v1 + v2) = [a+b+c+d, a+c]

∴∴∴∴ T(v1 + v2) = T(v1)+ T(v2).11

2. Misalkan T[x1, x2] = [x12 , x2]

Misalkan pula

v1 = [a, b] ; v2= [c, d]

Selidiki apakah T(v1 + v2) = T(v1) +T(v2)



Selidiki apakah T(v1 + v2) = T(v1) +T(v2)

12

2. Misalkan T[x1, x2] = [x12 , x2]


v1 + v2 = [ a+c , b+d ]

� T(v1 + v2) = [(a+c)2 , b+d] = [ a2 +2ac+c2 , b+d ]

T(v1 + v2) = [a2 +2ac+c2 , b+d ]



T(v1 + v2) = [a +2ac+c , b+d ]

� T(v1) = [a2, b] T(v2) = [c

2, d]

T(v1)+ T(v2) = [a2, b] + [c2, d] = [a2 + c2 , b+d ]

T(v1)+ T(v2) = [ a2 + c2 , b+d ]

∴ T(v1 + v2) ≠≠≠≠ T(v1)+ T(v2).

13

3. Misalkan T[x1, x2] = [x12 , x2]

Misalkan pula

v = [a, b] , k : sebuah skalar.

Akan diperiksa apakah



T(k(v)) = k T(v).

14

Misalkan T[x1, x2] = [x12 , x2]

v = [a, b] , k : sebuah skalar.

k(v) = [ ka, kb ]

T(k(v)) = [ (ka)2, kb ] = [ k2 a2, kb ]

T(k(v)) = [ k2 a2, kb ]



T(k(v)) = [ k2 a2, kb ]

T(v) = [ a2 , b ]

k T(v) = k [ a2 , b ] = [ ka2 , kb ]

k T(v) = [ ka2 , kb ]

∴∴∴∴ T(k(v)) ≠≠≠≠ k T(v).

15

4. Buktikan bahwa transformasi T adalah

transformasi linier.

T[x1, x2] = [x2, x1].

Bukti:

Untuk sembarang u , v akan ditunjukkan



Untuk sembarang u , v akan ditunjukkan

bahwa

i). T(u + v) = T(u) + T(v)

ii). T(ku) = k T(u)

16

Bukti:

Misalkan u = [a, b] dan v = [c, d] � (u + v) = [a+c, b+d]

� T[a+c, b+d] = [b+d, a+c]

= [b, a]+[d, c]

= T[a, b] + T[c, d]

� T(u + v) = T(u) + T(v)



� T(k [a, b]) = T[ka, kb] = [kb, ka]

= k [b, a]

= k T[a, b]

� T(ku) = k T(u)

∴ Terbukti bahwa T[x1, x2] = [x2, x1] transformasi linier.

17

Transformasi LinierTransformasi Linier … … ContohContoh

Misalkan dan .

Peta dari x1 adalah .

linier. nsformasiadalah tra x 43

21y siTransforma

=

=

2

3x1

−=

1

2x2

=

=

17

7

2

3

43

21y1

5.


Peta dari x2 adalah

Peta dari (x1 + x2) adalah

Peta dari adalah

17243

=

−

=

2

0

1

2

43

21y2

21 y y19

7

1

5

43

21y +=

=

=

=

=

6

9

2

33x 3 1 13 y 3

51

21

6

9

43

21y =

=

=

18

TransformasiTransformasi … … LatihanLatihan

Selidiki apakah transformasi berikut merupakan

transformasi linier:

1. T: R3 � R3 , T[x, y, z] = [x, y, 0]

2. T: R2 � R2 , T[x, y] = [x+1, y+2]

3. T: R2 � R , T[x, y] = xy3. T: R � R , T[x, y] = xy

4. T: R2 � R2 , T[x, y] = [x, y+1]

5. T: R3 � R2 , T[x, y, z] = [x+1, y+z]

6. T: R � R2 , T(x) = [2x, 3x].


TRANSFORMASI & MATRIKSTRANSFORMASI & MATRIKS

Pandang T: Rn � Rm suatu transformasi linier. {ei}, i = 1, 2, …, n, basis natural dari Rn.

{εi}, i = 1, 2, …, m, basis natural dari Rm.T(e1), T(e2), …, T(en) adalah vektor-vektor di R

m yang merupakan

kombinasi linier dari {εi} .

Misalkan: T(e1) = a11 ε1 + a21 ε2 + … + am1 εm.

T(e2) = a12 ε1 + a22 ε2 + … + am2 εm.T(e2) = a12 ε1 + a22 ε2 + … + am2 εm.:

T(en) = a1n ε1 + a2n ε2 + … + amn εm.


=

m

2

1

mnn2n1

2m2212

1m2111

m

2

1

a...aa

a...aa

a...aa

)T(e

)T(e

)T(e

ε

ε

ε

MMMMM

20

Transformasi & MatriksTransformasi & Matriks

Transpose dari matriks koefisien di atas disebut matriks

=

m

2

1

mn2m1m

2m2212

1m2111

m

2

1

a...aa

a...aa

a...aa

)T(e

)T(e

)T(e

ε

ε

ε

MMMMM

Matriks Koefisien

Transpose dari matriks koefisien di atas disebut matriks

representasi dari transformasi linier T, atau disebut juga

matriks transformasi dari T, relatif terhadap basis natural

{ei} dan {εi}.

�Matriks Transformasi


a...aa

a...aa

a...aa

mn2m1m

n22221

n11211

MMM

21

Transformasi & MatriksTransformasi & Matriks … … ContohContoh

1. Diketahui transformasi T: R3 � R3, dimana

T[x1, x2, x3] = [ x1 , 2x2 , x1 + x3 ].

Tentukan matriks transformasi T dan peta

dari [2, 6, 3].dari [2, 6, 3].



1. Jawab: T[x1, x2, x3] = [ x1 , 2x2 , x1 + x3 ].

T(e1) = T[1, 0, 0] = [1, 0, 1] = 1 e1 + 0 e2 + 1 e3.

T(e2) = T[0, 1, 0] = [0, 2, 0] = 0 e1 + 2 e2 + 0 e3.

T(e3) = T[0, 0, 1] = [0, 0, 1] = 0 e1 + 0 e2 + 1 e3.

101

T[2, 6, 3] = ……


100

020

101

koefisien Matriks

=

101

020

001

siTransforma Matriks

=∴

23


T[2, 6, 3] = ……

∴ T[2, 6, 3] = [2, 12, 5]

=

=

5

12

2

3

6

2

101

020

001

3] 6, [2,T

2. Diketahui T: R2 � R2 dimana T[2, 1] = [5, -2]

T[-1, 1] = [-1, 1]

Tentukan rumus transformasinya.



2. Jawab:

T[2, 1] = 2 T[1, 0] + 1 T[0, 1]

T[-1, 1] = -1 T[1, 0] + 1 T[0, 1]

2 T[1, 0] + 1 T[0, 1] = [5, -2] …(1)

-1 T[1, 0] + 1 T[0, 1] = [-1, 1] …(2)

Dari (1) & (2) diperoleh Dari (1) & (2) diperoleh

3 T[1, 0] = [6, -3]

T[1, 0] = [2, -1]

T[0, 1] = [1, 0]

Matriks transformasi :


− 01

12

25


2. Matriks transformasi :

Mencari rumus transformasi:

− 01

12

−

+=

−=

2111 xx2x

12x

T

∴ T[x1, x2] = [ 2x1 + x2 , -x1 ]


−

=

−

=

122 xx

01x

T

26


3. Carilah matriks transformasi linier T di R2, dimana

T[x1, x2] = [ 2x2 , 3x1 – x2 ].

relatif terhadap basis natural {e1 , e2}.

Jawab: Langkah pertama adalah transformasikan

vektor-vektor basis natural tersebut.

T(e1) = T[1, 0] =

T(e2) = T[0, 1] =

Bentuk matriks transformasinya:



4. Carilah matriks transformasi linier T di R2,

dimana

T[x1, x2] = [ 3x1 - 4x2 , x1 + 5x2 ].

relatif terhadap basis natural {e1 , e2}.

Jawab: …….Jawab: …….

………

……………



5. Cari vektor x yang dipetakan pada vektor

y = [5, 3] oleh transformasi

Misalkan x = [a, b].

x 43

21y

=

=

a

215

Misalkan x = [a, b].

Selesaikan sebagai SPL.


=

b

a

43

21

3

5

29

TransformasiTransformasi … … LatihanLatihan

Berikan matriks dari transformasi

berikut:

1. T: R3 � R3 , T[x, y, z] = [x, y, 0]

2. T: R2 � R2 , T[x, y] = [x+1, y+2]

3. T: R2 � R , T[x, y] = xy

4. T: R2 � R2 , T[x, y] = [x, y+1]

5. T: R3 � R2 , T[x, y, z] = [x+1, y+z]

6. T: R � R2 , T(x) = [2x, 3x].


PRODUK TRANSFORMASIPRODUK TRANSFORMASI

Pandang 2 buah transformasi S dan T dimana

S: Vn �Wr dan T: Wr � Um , dengan A matriks transformasi S dan

B matriks transformasi T .

∈ ∈S T


v∈Vn w∈Wr u∈UmS T

TS

TS merupakan produk transformasi.

Matriks transformasi dari TS adalah BA

31

Produk TransformasiProduk Transformasi … … Contoh Contoh

Diketahui:

T: R3 � R3 dimana

T[x, y, z] = [ 2y + z, 3x + y + z, y] dan

S: R3 � R3 dimana S: R � R dimana

S[x, y, z] = [ 2x + y + z, x + z, 2x + y + z]

Tentukan produk transformasi ST, matriks

transformasinya dan peta dari vektor [1, 0, 2].



Jawab:

T: R3 � R3 dimana T[x, y, z] = [ 2y + z, 3x + y + z, y] dan

S: R3 � R3 dimana S[x, y, z] = [ 2x + y + z, x + z, 2x + y + 2z]

Produk transformasi ST :

ST[x, y, z] =

= S(T[x, y, z]) = S(T[x, y, z])

= S([2y + z, 3x + y + z, y])

= [2(2y+z)+(3x+y+z)+(y),(2y + z)+(y) , 2(2y+z)+(3x+y+z)+2(y) ]

= [ 3x + 6y +3z , 3y + z , 3x + 7y + 3z ]

∴ ST = [ 3x + 6y +3z , 3y + z , 3x + 7y + 3z ]



Jawab:



Misalkan A matriks transformasi S dan B dari T.

= 113

120

A

= 101

112

B

Matriks transformasi dari ST adalah matriks BA:


=

010

113A

=

212

101B

=

=

373

130

363

010

113

120

212

101

112

BA

34


Jawab:



Peta dari vektor [1, 0, 2].

913631

Peta dari [1, 0, 2] adalah [9, 2, 9].


=

=

9

2

2

0

373

130

2

0)BA(

35

Produk TransformasiProduk Transformasi … … LatihanLatihan

Diketahui: Transformasi linier

T1[x1, x2, x3] = [ 2x1+3x2+x3, 5x1+x3, x2+x3 ]

dan

T2[x1, x2, x3] = [ x1 , x2+x3 , x1 ]

Tentukan:

1. Matriks transformasi dari T1 dan T22. Produk transformasi T2T1 dan matriksnya.

3. Peta dari vektor [1, 1, 0].

Jelaskan jawaban Anda.


TRANSFORMASI INVERSTRANSFORMASI INVERS

Misalkan T suatu transformasi linier di Rn.

Misalkan pula A adalah matriks transformasi T, dimana

rank(A) = n.

Jika rank(A)= n, maka setiap vektor di Rn menjadi peta dan

setiap dua vektor berbeda memiliki peta yang berbeda.setiap dua vektor berbeda memiliki peta yang berbeda.

Jika x ∈ Rn, maka petanya adalah y = Ax …(1)Pandang transformasi linier U dengan matriks transformasi B

berordo n, sedemikian hingga x = By …(2)


Transformasi InversTransformasi Invers

(2) Untuk x sembarang, x = By

x = BAx � BA = Idimana I adalah matriks transformasi identitas

(1) Untuk y sembarang, y = Ax

y = ABy � AB = Iy = ABy � AB = Idimana I adalah transformasi identitas

A adalah matriks transformasi dari T,

B adalah matriks invers dari A,

B adalah matriks transformasi dari U,

maka U disebut transformasi invers dari transformasi T,

ditulis T-1 = U, dan sebaliknya.


Transformasi InversTransformasi Invers

� Matriks dari invers sebuah transformasi T

diperoleh dengan mencari invers dari matriks

transformasi T tsb.

� Transformasi T di Rn memiliki invers, jika rank � Transformasi T di R memiliki invers, jika rank

matriks transformasinya sama dengan n.


Transformasi InversTransformasi Invers … … LatihanLatihan

1. Diketahui T : R3 � R3, dimanaT[x1, x2, x3] = [ 2x1 , 4x1 – x2 , 2x1 + 3x2 - x3 ]

a. Tunjukkan bahwa transformasi T memiliki invers.

b. Berikan rumus dari transformasi invers tersebut.

(Rumus dari T-1).

2. Vektor y = [2, 0, 1] adalah peta dari vektor x melalui 2. Vektor y = [2, 0, 1] adalah peta dari vektor x melalui

suatu transormasi y = Ax. Tentukan vektor x

tersebut bila diketahui


−=

010

101

101

A

40

4 matematika 3 transformasi linier_3

Documents