matematika - transformasi geometri

KONTEN

Definisi Transformasi

Translasi

Refleksi

Dilatasi

Latihan Soal

Jakarta, Juni 2015

Transformasi merupakan suatu

pemetaan titik pada suatu

bidang ke himpunan titik yang

sama.

1.

Translasi adalah

transformasi

isometri yang

memindahkan semua

titik pada bangun

yang ditransformasi

sejauh jarak yang

sama dan arah yang

sama.

2.

Objek dipindahkan

ke lokasi baru

tanpa mengubah

bentuk, ukuran

atau

orientasinya.

Translasi Titik

Titik A (x1, y1) ditranslasi

oleh ( ) Hasilnya atau petanya

adalah :

A’ (x1 + a, y1 + b), dan hal

ini dapat ditulis dengan:

A(x1, y1) ( )→ A’ (x1 + a, y1 + b)

TRANSLASI

TRANSLASI

1. Jika setiap titik y = x2 ditranslasikan menurut vector (2,1) maka parabola yang

dihasilkan adalah… a. y = x2+2x+1 b. y = x2-2x+1 c. y = x2-2x+3 d. y = x2-4x+5 e. y = x2-2x-3 y=x2 digeser ke kanan sejauh 2 dan ke atas sejauh 1 diperoleh y = (x-2)2+1

y = x2-4x+5

2. Lingkaran dengan persamaan x2+y2-4x-6=0 ditranslasi oleh (

). Petanya

merupakan lingkaran yang berpusat di… a. (6,3) b. (-4,3) c. (4,-3) d. (-2,0) e. (3,4)

3. Dengan translasi ( ), peta dari titik (2a+b, b-a) adalah (4,1). Dengan demikian nilai

(2a+3b) adalah… a. 4 b. 8 c. 6 d. 2 e. 5

4. C1 adalah grafik dari y =3 . C2 adalah grafik translasi C1. Persamaan fungsi dari

C2 adalah… a. y =23 b. y = 3 c. y =2+3 d. y =23 e. y = 3

Tentukan peta titik A (4, 5) yang ditranslasi oleh:

a. ( ) b. (

)

A (4, 5) ( )→ A’ (4+2, 5+3) = A’(6, 8)

B. A (4, 5) (

)→ A’ (4-2, 5+3) = A’ (2, 8)

CONTOH & LATIHAN

TITIK & KURVA

Terhadap x

x

y

terhadap sumbu

(x1, y1) (x1, -y1)

y = f(x) y= -f(x)

Titik

Kurva

Terhadap y

(x1, y1) (-x1, y1)

y = f(x) y= f(-x)

Titik

Kurva

Refleksi titik dan kurva terhadap

sumbu x

___________________________________

1. Tentukanlah peta titik berikut jika

direfleksikan terhadap sumbu x.

a. A(2,3)

(x1, y1) → (x1, -y1)

A(2,3) → A’(2, -3)

2. Tentukanlah peta kurva berikut jika


a. y= x2 + 2x + 1

y = f(x) → y = -f(x)

y= x2 + 2x + 1

→ y= -( x2 + 2x +

1)

petanya adalah: y= -x2 - 2x - 1

CONTOH


sumbu y

____________________________________



a. A(2,3)

(x1, y1) → (-x1, y1)

A(2,3) → A’(-2, 3)



y= x2 + 2x + 1

y = f(x) → y = f(-x)

y= x2 + 2x + 1

→

y= (-x)2 + 2(-x) + 1

petanya adalah: y= x2 - 2x + 1

TERHADAP H

Pencerminan terhadap garis x = h atau y = h

(x1, y1) (2h-x1, y1)

(x1, y1) (x1, 2h-y1)

Jarak

sama

Jarak sama

Refleksi titik & kurva terhadap garis y=h

_________________________________________


direfleksikan terhadap garis y =3.

a. A(2,1)

(x1, y1) → (x1, 2h - y1)

A(2,3) → A’(2, 2.3 – 1) = A’(2, 5)



a. y= x2 + 2x + 1

y = f(x) → y = 2h - f(x)

y= x2 + 2x + 1

→ y= 2.3 – (x2 + 2x + 1)

petanya adalah: y= -x2 - 2x + 5

CONTOH

Refleksi titik & kurva terhadap garis x=h

_______________________________________________

1. Tentukanlah peta titik berikut jika direfleksikan

terhadap garis x =3.

a. A(2,2)

(x1, y1) → (2h - x1, y1)

A(2,3) → A’(2.3 – 2, 2) = A’(4, 2)

2. Tentukanlah peta kurva berikut jika direfleksikan

terhadap sumbu x.

a. y= x2 + 2x + 1

y = f(x) → y = f(2h – x)

y= x2 + 2x + 1

→ y= (2.3 – x)2 + 2(2.3 – x) + 1

petanya adalah: y= x2 - 14x + 49

TERHADAP Y=X ATAU Y=-X

Segitiga PQR di

P(6,4) P(6,1) P(10,1)

Untuk y=-x, posisi kordinat

dan tanda

plus/minus x dan y

ditukar saja.

Menjadi:

P(-4,-6)

P(-1,-6)

P(-1,-10)

Untuk y=x, posisi kordinat x

dan y ditukar

saja.

Menjadi:

P(4,6)

P(1,6)

P(1,10)


garis y=x

_______________________________


direfleksikan terhadap garis y =x.

a. A(2,3)

(x1, y1) → (y1, x1)

A(2,3) → A’(3, 2)



a. y= x2 + 2x + 1

y = f(x) → x = f(y)

y= x2 + 2x + 1

→ x= y2 + 2y + 1

petanya adalah: y= y2 + 2y + 1

CONTOH


garis y= -x

____________________________________


direfleksikan terhadap garis y = -x.

a. A(2,3)

(x1, y1) → (-y1, -x1)

A(2,3) → A’(-3, -2)



a. y= x2 + 2x + 1

y = f(x) → x = -((-y)2 + 2(-y) +

1)

y= x2 + 2x + 1

→ x= -y2 + 2y + 1

petanya adalah: y= y2 + 2y - 1

TERHADAP O(0,0) DAN Y=MX

y=mx

m = tan

(x1, y1) (-x1, -y1)

y = f(x) y = -f(-x)


titik O(0,0)

____________________________________


direfleksikan terhadap garis y = -x.

a. A(2,3)

(x1, y1) → (-x1, -y1)

A(2,3) → A’(-2, -3)



a. y= x2 + 2x + 1

y = f(x) → y = -f(-x)

y= x2 + 2x + 1

→ y= -((-x)2 + 2(-

x) + 1)

petanya adalah: y=-x2 + 2x - 1

(

)

(

)

Refleksi titik dan kurva terhadap garis y = mx

_______________________________________________

1. Tentukanlah peta titik berikut jika direfleksikan

terhadap garis y = 2x.

a. A(2,3)

Matriks transformasi garis y = mx

Matriks transformasi dari refleksi terhadap garis

y = 2x, adalah:

( ) =

(

) ( ) =

(

) = (

)

ARAH

- +

ROTASI

Rotasi titik dan

kurva pada titik

O(0,0)

________________

Tentukan peta dari titik (4,3) jika

dirotasi pada titik O(0,0) sejauh

270o

( ) = (

) (

)

= (

) (

) = (

)

→ (4,-3) → (-3,-4)

Rotasi titik dan

kurva pada titik

P(a,b)

_____________________

Tentukan peta dari titik (5,-6) jika

dirotasi pada titik A(1,2) sejauh -60o

(

) =

(

) (

)

(

) = (

√

√

) (

) + ( ) =

( √

√ )

→ (5,-6) → ( √ √ )

(

)

R U M U S

DILATASI

k negatif =

arah bayangan

berlawanan dengan

arah aslinya.

Dilatasi titik dan kurva dari titik O (0, 0)

____________________________________________

1. Tentukan peta dari:

a. A(1,3) didilatasi oleh (O, 2)

A(1, 3) → A’(2.1, 2.3) = A’(2, 6)

2. Tentukan peta dari kurva y = x2 + 2

a. (O, 2)

y = x2 + 2

→ y = 2 ((1/2x)2 + 2) = ½ x2 + 4

CONTOH

Dilatasi titik dan kurva dari titik P(a, b)

_________________________________________________

3. Tentukan peta dari titik A (5, 6) jika didilatasi oleh:

a. (B(2, 3), 4)

A(5, 6) → A’(2 + 4(5-2), 3 + 4(6-3)) = A’(14, 15)

1. Jika titik (3,4) dirotasikan berlawanan arah jarum jam sejauh 45o dengan pusat titik

asal kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis y = x, maka koordinat bayangannya adalah…

a. ( √

√

)

b. ( √

√

)

c. ( √

√

)

d. ( √

√

)

2. Titik (2,8) direfleksi terhadap garis y = 6 kemudian refleksikan terhadap y = -x.

Hasilnya adalah…

3. Parabola y = x2-2 direfleksikan ke garis y = -2x, petanya adalah…

4. Vektor ⃗ = (0,2) dirotasi berlawanan jarum jam sejauh Θ, mengasilkan ⃗ dengan Θ

adalah pelurus dari sudut yang terbentuk antara vector ⃗ dengan proyeksi dari

vector ⃗ terhadap vector ⃗⃗ = (1, √ ). Tentukan ⃗ !

a. (

√ )

b. (

√ )

c. (

√ )

d. (√

)

5. Sebuah titik dengan koordinat (1,5) dirotasikan 90º berlawanan arah jarum jam.

Maka titik koordinat yang baru adalah ... a. (5,-1) b. (-1,5) c. (1,-5) d. (-5,1)

6. Sebuah persegi ABCD setelah dirotasi 180º memiliki koordinat A(1,1) B(3,1) C(3,2).

Koordinat D sebelum dirotasi adalah ... a. (1,2) b. (-1,-2) c. (-1,2) d. (1,-2) e. (-2,-1)

LATIHAN SOAL

7. Vektor ⃗ diputar terhadap titik asal O sebesar Θ < 0 searah jarum jam. Kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis , menghasilkan vector ⃗. Jika ⃗ , maka matriks = …

a. (

) (

)

b. (

) (

)

c. (

) (

)

d. (

) (

)

8. Vektor ⃗ diputar terhadap titik asal O sebesar Θ < 0 searah jarum jam. Kemudian

hasilnya dicerminkan terhadap garis , menghasilkan vector ⃗. Jika ⃗ , maka matriks = …

a. (

) (

)

b. (

) (

)

c. (

) (

)

d. (

) (

)

9. Jika setiap titik pada grafik y = sin x, 0≤x≤2π didilatasikan (dibesarkan) dengan

pusat O (0,0) factor perbesaran -2, maka grafik yang dihasilkan adalah…

a. y=2sin

x, 0≤x≤4π

b. y=-2sinx, 0≤x≤4π c. y=-2sinx, -4π ≤x≤40

d. y=2sin

x, -4π≤x≤0

10. Bayangan kurva y = x2-3 jika dicerminkan oleh sumbu y dan dilanjutkan dengan

dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah…

11. Lingkaran dengan jari-jari 6, pusat P (4,1) diputar dengan R [O(0,0), 90o], kemudian dicerminkan terhadap sumbu –y. Persamaan bayangannya adalah… a. X2+y2-8x+2y-19 = 0 b. X2+y2-2x-8y-19 = 0 c. X2+y2+8x-2y-19 = 0 d. X2+y2+2x-8y-19 = 0 e. X2+y2+2x+8y-19 = 0

12. Garis x+2y-3 = 0 direfleksikan terhadap sumbu y dilanjutkan dengan rotasi pusat O

bersudut

. Persamaan peta garis itu adalah…

a. X-2y-3 = 0 b. –x+2y-3 = 0 c. X+2y+3 = 0 d. 2x+y+3 = 0 e. 2x+y-3 = 0

13. Persegi panjang PQRS dengan titik P(1,0), Q(-1,0), R(-1,1), dan S(1,1). Karena

dilatasi [O,3] dilanjutkan rotasi pusat O(0,0) bersudut

, luas bayangan bangun

tersebut adalah… a. 2 satuan luas b. 6 satuan luas c. 9 satuan luas d. 18 satuan luas e. 20 satuan luas

14. Suatu lingkaran ditunjukkan seperti gambar ini:

Jika lingkaran yang berpusat di (3,4) dan menyinggung sumbu x dicerminkan pada y = -x, maka persamaan lingkaran yang terjadi…

a. X2+y2+8x+6y+9 = 0 b. X2+y2-9x+6y+9 = 0 c. X2+y2+8x-6y+9 = 0 d. X2+y2+2x+6y-9 = 0 e. X2-y2+2x+6y+9 = 0

15. Suatu pencerminan ditunjukkan seperti gambar di bawah ini:

Titik S(a,b) dicerminkan terhadap sumbu x dan bayangannya dicerminkan pula terhadap sumbu y. Bayangan terakhir titik S merupakan…

a. {jarum jam b. Perputaran titik S pusat titik O (0,0)

sebesar p radian berlawanan perputaran jarum jam

c. Pencerminan titik S terhadap garis y = -x d. Pencerminan titik S terhadap garis y = x e. Pencerminan titik S terhadap sumbu y

16. Jika ad tidak sama dengan bc dan dari sistem persamaan {

} dihitung

menjadi {

} maka nilai [

] [

] [

] = …

a. [

]

b. [

]

c. [

]

d. [ ]

e. [

]

17. Segitiga ABC dengan koordinat A(-3,2), B(3,-2), dan C(1,4) dicerminkan terhadap

garis y = 1 kemudian dilanjutkan terhadap garis y = 6. Koordinat bayangannya adalah… a. A’(-3,12), B’(3,12), C’(1,14) b. A’(-3,12), B’(3,8), C’(1,10) c. A’(3,7), B’(3,3), C’(1,9) d. A’(-3,8), B’(3,-12), C’(1,-6) e. A’(-3,12), B’(3,8), C’(1,14)

18. Matrik yang menyatakan pencerminan titil-titik pada bidang –xy terhadap sumbu –x

adalah…

a. [

]

b. [

]

c. [

]

d. [

]

e. [

]

19. Jika titik P(2,-3) dicerminkan terhadap garis lurus m menghasilkan bayangan

P’(4,5), maka persamaan garis lurus m adalah… a. X+y-7 = 0 b. X+2y-7 = 0 c. X+3y+7 = 0 d. X+4y-7 = 0 e. X+5y-7 = 0

20. Bayangan titik P oleh refleksi terhadap garis y = -x dilanjutkan dilatasi [O,2] adalah (6,-10). Koordinat titik P adalah… a. (-5,3) b. (5,-3) c. (-3,-5) d. (-3,5) e. (3,4)

21. Diketahui translasi T1 = ( ) dan T2 = (

). Titik bayangan A’ dan B’ berturut-turut

adalah bayangan titik-titik A dan B oleh komposisi transformasi T1 o T2. Jika A(-1,2) A’(1,11) dan B’(12,13), maka koordinat titik B adalah… a. (9,4) b. (10,4) c. (14,4) d. (10,-4) e. (14,-4)

22. Parabola y = x2-6x+8 digeser ke kanan sejauh 2 satuan searah dengan sumbu x dan

digeser ke bawah sejauh 3 satuan. Jika parabola hasil pergeseran ini memotong sumbu X di x1 dan x2 maka x1+x2=… a. 8 b. 8 c. 10 d. 11 e. 12

23. Persamaan dari lingkaran x2+y2+4x-6y-3=0 oleh matriks yang berkaitan dengan

matriks (

). Persamaan bayangan garis itu adalah…

a. 3x+2y-3=0 b. 3x-2y-3=0 c. 3x+2y+3=0 d. -x+y-3=0 e. X-y-3=0

24. Diketahui lingkaran L berpusat dititik (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L

diputar 90o terhadap titik o(0,0) searah jarum jam, kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan, maka persamaan lingkaran L yang dihasilkan adalah… a. X2+y2-6x+6y+5=0 b. X2+y2-6x+6y-5=0 c. X2+y2+6x-6y+5=0 d. X2+y2+6x-6y-5=0 e. X2+y2-6x+5=0

25. Persamaan peta garis y = -3x+3 oleh refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan refleksi terhadap garis y=x adalah… a. Y=3x+3 b. Y=3x+1

c. Y=

x+3

d. Y=

x+1

e. Y=

x+1

26. Bayangan garis 3x-y+2=0 jika diputar sejauh

dengan pusat O adalah…

a. 2x+y-√ =0

b. 2x-y+√ =0

c. X-y-√ =0

d. x+y+√ =0

e. 2x+y+√ =0

27. Jika matriks (

) mentransformasikan titik (5,1) ke titik (7,12) dan inversnya

mentransformasikan titik P ke titik (1,0), maka koordinat titik P adalah… a. (2,-4) b. (2,4) c. (-2,4) d. (-2,-4) e. (1,3)

28. Bayangan titik P (-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan factor skala

adalah…

a. (3,

)

b. (-3,

)

c. (

,

)

d. (

,

)

e. (

, 3)

29. Jika diketahui suatu transformasi T dinyatakan oleh matriks [

], maka

transformasi T adalah…

a. Perputaran

b. Pencerminan terhadap sumbu x c. Pencerminan terhadap sumbu y d. Pencerminan terhadap garis y=x e. Pencerminan terhadap sumbu y=-x

30. ̅ = (

) diputar mengelilingi pusat koordinat sejauh 90o arah berlawanan dengan

perputaran jarum jam dan hasilnya dicerminkan terhadap sumbu x, selanjutnya

menghasilkan ̅ = (

). Jika ̅ = A ̅, maka hasil nilai A = …

a. [

]

b. [

]

c. [

]

d. [

]

e. [

]

31. Diketahui segitiga ABC dengan A(1,0), B(6,0) dan C(6,3). Luas bayangan segitiga

ABC oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (

) adalah…

a. 30 satuan luas b. 45 satuan luas c. 60 satuan luas d. 75 satuan luas e. 105 satuan luas

32. Jika transformasi T1 memetakan (x,y) ke (-y,x) dan transformasi T2 memetakan (x,y)

ke (y,x) dan jika transformasi T merupakan transformasi T1, yang diikuti oleh transformasi T2, maka matriks T adalah…

a. (

)

b. (

)

c. (

)

d. (

)

e. (

)

33. Diketahui bayangan titik P(3,2) oleh suatu transformasi adalah P’(3,7) dan bayangan titk Q(1,1) adalah Q’(1,4). Matriks yang bersesuaian dengan transformasi tersebut adalah…

a. (

)

b. (

)

c. (

)

d. (

)

e. (

)

34. Persamaan peta garis x-2y+4=0 yang dirotasikan dengan pusat (0,0) sejauh +90,

dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y=x adalah… a. X+2y+4=0 b. X+2y-4=0 c. 2x+y+4=0 d. 2x-y-4=0 e. 2x+y-4=0

35. Bayangan titik A oleh rotasi R(O,45o) adalah (-√ √ ). Koordinat titk A adalah… a. (0,0) b. (0,2) c. (2,0) d. (-2,0) e. (0,-2)

36. Matriks yang menyatakan perputaran sebesar

terhadap O dalam arah berlawanan

dengan perputaran jarum jam dan dilanjutkan dengan pencerminan garis x+y=0 adalah…

a.

(√

√ )

b.

(√

√ )

c.

(

√

√ )

d.

(

√

√ )

e.

( √

√ )

37. Mx adalah pencerminan terhadap sumbu X dan My=x adalah pencerminan terhadap garis y=x. Matriks transformasi tunggal dari Mx o My=x adalah…

a. (

)

b. (

)

c. (

)

d. (

)

e. (

)

38. Persamaan bayangan kurva y = 2x2-1 jika dicerminkan terhadap garis y = x,

dilanjutkan dengan rotasi pusat (0,0) sejauh 90o berlawanan arah jarum jam adalah… a. Y=2x2-1 b. Y=1-2x2 c. 2y2=x+1 d. 2y2=-x+1

e. Y=∓√

39. Diketahui koordinat titik P adalah (4,-1). Oleh translasi ( ) diperoleh bayangan titik

P, yaitu P’(-2a,-4), Nilai a adalah… a. -3 b. -1 c. 0 d. 2 e. 3

40. Sebuah garis 3x+2y=6 ditranslasikan dengan matriks (

), dilanjutkan dilatasi

dengan pusat O dan factor 2. Hasil transformasinya adalah… a. 3x+2y=14 b. 3x+2y=7 c. 3x+y=14 d. 3x+y=7 e. x+3y=14

matematika - transformasi geometri

Documents