modul matematika kelas xii transformasi

7/21/2019 Modul Matematika Kelas Xii Transformasi

http://slidepdf.com/reader/full/modul-matematika-kelas-xii-transformasi 1/22

MODUL TRANSFORMASI

KELAS XII. IPASEMESTER I

Felix Saputra GSMAN 1 Pekanaru

Riau



BABI.PENDAHULUAN

A.DeskripsiDala! !"#ul ini$ an#a akan !e!pela%ari

t ran& '" r!a&i (an) te r# i r i a ta& re* ek& i $ t ran& la& i$r"ta& i $ #an #i lata & i (an) #i i#ent i+ ka& i er#a&arkan,iri-,irin(a. Re*ek&i !erupakan pen,er!inan. Dala! )e"!etrii#an) pen,er!inan ter#iri #ari pen,er!inan tera#ap &u!ux$ &u!u ($ ( / x$ ( / -x$ x / !$ ( / n$ tea#ap titik pu&at O.

Tran&la&i !erupakan perpin#aan. R"ta&i !erupakanperputaran. R"ta&i #itentukan "le pu&at #an e&ar &u#ut. Titikpu&at #i O0$2 #an #i P0a$2$ &e#an)kan untuk e&ar &u#ut

p"&iti' erla3anan ara #en)an ara %aru! %a! #an &ealikn(ae&ar &u#ut ne)ati' &eara #en)an ara %aru! %a!. Dilata&i!erupakan tran&'"r!a&i (an) !erua ukuran tetapi ti#ak!erua entuk an)un. Dilata&i #itentukan "le pu&at #an'akt"r &kala.

B.Prasyarat

A)ar #apat !e!pela%ari !"#ul ini$ an#a aru& !e!pela%ari"pera&i ilan)an real #an #a&ar-#a&ar tri)"n"!etri.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

1. Peratikan lan)ka-lan)ka #ala! &etiap ,"nt" &ein))a!e!per!u#a #ala! !e!aa!i k"n&ep tran&'"r!a&i)e"!etri.

4. Apaila a#a &"al latian$ ker%akanla &"al-&"al ter&eut&ea)ai latian untuk per&iapan e5alua&i.

6. 7a3ala te& '"r!ati' #en)an %ela& &e&uai #en)anke!a!puan An#a. 7ika An#a !a&i ra)u-ra)u #en)an

%a3aan (an) An#a per"le$ An#a i&a !eliat kun,i %a3aan '"r!ati' (an) &e&uai.

8. Ker%akan &"al-&"al (an) a#a pa#a e5alua&i.

D.Tujuan akir

1. Men%ela&kan arti )e"!etri #ari &uatu tran&'"r!a&i i#an)4. Melakukan "pera&i era)ai %eni& tran&'"r!a&i9 tran&la&i

re*ek&i$ #ilata&i$ #an r"ta&i.6. Menentukan per&a!aan !atrik& #ari tran&'"r!a&i pa#ai#an).

8. Menentukan aturan tran&'"r!a&i #ari k"!p"&i&i eerapatran&'"r!a&i



:. Menentukan per&a!aan !atrik& #ari k"!p"&i&i tran&'"r!a&ipa#a i#an).

BAB II.PEMBELA!A"AN

K"!peten&i 9 Men))unakan tran&'"r!a&i )e"!etri (an)#apat #in(atakan #en)an !atrik& #ala!pe!e,aan !a&ala.

Su K"!peten&i 9 1. Men#e+ni&ikan arti )e"!etri #ari &uatutran&'"r!a&i #i i#an) !elalui pen)a!atan#an ka%ian pu&taka

2. Menentukan a&il tran&'"r!a&i )e"!etri #ari&eua titik #an an)un

3. Menentukan "pera&i al%aar #ari tran&'"r!a&i

)e"!etri #an !en)uan(a ke #ala! entukper&a!aan !atrik&.



B.#E$IATAN BELA!A"

%. #egiatan Belajar %

De&nisi

Tran&'"r!a&i !erupakan pr"&e& perpin#aan &uatu titik atau)ari& atau i#an) !en%a#i a(an)an titik atau )ari& ataui#an) ter&eut.

7eni&-%eni& tran&'"r!a&i 9

%. "e'eksi (pen)er*inan+

,. Tran&la&i 0Perpin#aan2-. R"ta&i 0perputaran2

. Dilata&i 0pere&aran2

%."E/LE#0I

Re*ek&i a#ala pen,er!inan.

Dala! )e"!etri i#an)$ &ea)ai ,er!in #i)unakan



a. Su!u x. Su!u (,. x / !#. ( / ne. ( / x

'. ( / -x). Titik pu&at O0$2

a. Re*ek&i tera#ap &u!u x

;er#a&arkan )a!ar ter&eut$ %ika a(an)an titik P0x$(2a#ala P<0x<$(<2 !aka P<0x<$ (<2 / P<0x$ -(2 &ein))a #ala!entuk !atrik& #apat #ituli& &ea)ai erikut 9x< / x(< / -(

x

y

P(x,y)

P’(x,-y)



−= y

x

y

x

1001

''

7a#i

−10

01

a#ala !atrik& pen,er!inan tera#ap &u!u x.

="nt" 91. Diketaui &e)iti)a A;= #en)an k""r#inat titik A(,12+1 B(2134+ #an C(3-1%+. Tentukan k""r#inat a(an)an &e)iti)a ABC

ter&eut ila #i,er!inkan tera#ap &u!u x %a3a 9

Pen,er!inan tera#ap &u!u x P0x$(2 P<0x$ -(2 A04$2 A<04$2 ;0$-:2 ;< 0$:2 =0-6$12 =< 0-6$-12

4. ;a(an)an )ari& -5 6 ,y 7 4 8 2 "le re*ek&i tera#ap&u!u x a#ala

7a3a 9"le pen,er!inan tera#ap &u!u 9

!aka9 5: 8 5 5 8 5: y: 8 3y y 8 3y:

5 8 5: dan y 8 3y: #i&u&titu&i ke kur5a -5 6 ,y 7 4 8 2#iper"le9 -5: 6 ,(3y:+ 7 4 8 2 -5: 7 ,y: 7 4 8 2

7a#i a(an)ann(aa#ala -5 7 ,y 7 4 8 2

. Re*ek&i tera#ap &u!u (

y



;er#a&arkan )a!ar ter&eut$ %ika a(an)an titik P0x$(2a#ala P<0x<$(<2 !aka P<0x<$(<2 / P<0-x$(2$ &ein))a #ala!entuk !atrik& #apat #ituli& &ea)ai erikut 9x< / -x(< / (

−

=

y

x

y

x

10

01

'

'

%a#i

−10

01 a#ala !atrik& pen,er!inan tera#ap &u!u (.

="nt" 9

1. Tentukan a(an)an kur5a y 8 5,

6 5 "le pen,er!inantera#ap &u!u ; . 7a3a9"le pen,er!inan tera#ap &u!u ; !aka9 5: 8 35 → 5 8 35:

y: 8 y → y 8 y: 5 8 35: #an y 8 y: #i&u&titu&i ke y 8 5, 6 5#iper"le9 y: 8 (35:+, 6 (35:+ y: 8 (5:+, 7 5:

7a#i a(an)ann(aa#ala y 8 5, 7 5

P’(x,y)P(-x,y)

x



,. Re*ek&i tera#ap )ari& x / !

;er#a&arkan )a!ar ter&eut$ %ika a(an)an titik P0x$(2a#ala P<0x<$(<2 !aka P<0x<$(<2 / P<04!-x$(2.="nt" 91. Tentukan a(an)an kur5a y, 8 5 6 4 "le pen,er!inantera#ap

)ari& 5 8 -. 7a3a9"le pen,er!inan tera#ap )ari& 5 8 -!aka9 5: 8 ,* 3 5 → 5 8 ,.- 3 5: 8 < 65:

y: 8 y → y 8 y:

5 8 < 6 5: #an y 8 y: #i&u&titu&i ke y, 8 5 3 4 #iper"le9 (y:+, 8 (< 6 5:+ 6 4 (y:+, 8 % 6 5:

7a#i a(an)ann(a a#ala y, 8 % 6 5

#. Re*ek&i tera#ap )ari& ( / n

;er#a&arkan )a!ar #iata&$ %ika a(an)an titik P0x$(2 a#alaP<0x<$(<2 !aka P<0x<$(<2 / P<0x$4n-(2.

="nt" 9

P(x,y)P’(2m-x,y)

x = m

x

y

P(x,y)

P’(x,2n-y)

y = n

x

y

x = m



1. Tentukan a(an)an kur5a 5, 7 y, 8 "le pen,er!inantera#ap

)ari& y 8 3-. 7a3a9"le pen,er!inan tera#ap )ari& y 8 3 - !aka9

5: 8 5y: 8 ,n 3 y pen,er!inan tera#ap )ari& y 8 3 -

!aka9 5: 8 5 5 8 5: y: 8 ,n 6 y

y: 8 ,(3-+ 6 y

y: 8 3 < 6 y y 8 3y: 6 <

#i&u&titu&i ke 5, 7 y, 8 (5:+, 7 (3y: 6 <+, 8 (5:+, 7((3y:+, 7 %,y: 7 -<+ 6 8 2

7a#i a(an)ann(a99, 7 y, 7 %,y 7 -, 8 2

e. Re*ek&i tera#ap )ari& ( / x

;er#a&arkan )a!ar #iata&$ %ika a(an)an P0x$(2 a#alaP<0x<$(<2 !aka P<0x<$(<2 / P<0($x2$ &ein))a #ala! entuk!atrik& #apat #ituli& &ea)ai erikut 9x< / ((< / x

P(x,y)

P’(y,x)y = x

x

y



=

y

x

y

x

0110

''

%a#i

01

10

a#ala !atrik& pen,er!inan tera#ap )ari& ( / x.

="nt" 91. ;a(an)an )ari& ,5 6 y 7 4 8 2 (an) #i,er!inkan tea#ap)ari&

y 8 5 a#ala>.Pe!aa&an9

Matrik& tran&'"r!a&i re*ek&i tera#ap y 8 5 a#ala

01

10

Sein))a 5: 8 y #an y: 8 5

#i&u&titu&i ke ,5 6 y 7 4 8 2#iper"le9 ,y: 6 5 : 7 4 8 2 35: 7 ,y: 7 4 8 2 35: 7 ,y: 7 4 8 2 #ikali (3%+ → 5: 6 ,y: 6 4 8 2

7a#i a(an)ann(a a#ala5 6 ,y 7 4 8 2

'. Re*ek&i tera#ap )ari& ( / -x

x

y

P(x,y)

P(-y,-x)

y = -x



;er#a&arkan )a!ar #iata&$ %ika a(an)an P0x$(2 a#alaP<0x<$(<2 !aka P<0x<$(<2 / P<0-($-x2$ &ein))a #ala! entuk!atrik& #apat #ituli& &ea)ai erikut 9x< / -(

(< / -x

−

−

=

y

x

y

x

01

10

'

'

7a#i

−

−01

10 a#ala !atrik& pen,er!inan tera#ap )ari& ( /

-x.="nt" 9

1. ;a(an)an per&a!aan lin)karan x4 ? (4 - @( ? / (an)#i,er!inkan tera#ap )ari& ( / -x a#ala>.

7a3a 95: 8 3y #an y: 8 35 atau y 8 35: #an 5 8 3y: Ke!u#ian #i&u&titu&ikan ke5, 7 y, 6 =y 7 > 8 2(3y:+, 7 (35+, 6 =(35+ 7 > 8 2 (y:+, 7 (5:+, 7 =5 7 > 8 2 (5:+, 7 (y:+, 7 =5 7 > 8 2

7a#i a(an)ann(a a#ala

9,

7 y,

7 =5 7 > 8 2

Tugas %1. Diketaui titik A04$ -12$ ;0:$ 62$ #an =0-4$ 82. Tentukan

a(an)an titik A$ ;$ #an =$ %ika #i,er!inkan tera#ap9a. &u!u x. &u!u (

,. )ari& x / 4#. )ari& ( / -6



e. )ari& ( / x'. )ari& ( / -x

4. Diketaui per&a!aan )ari& 4x ? 6( / B. Tentukan a(an)an)ari& ter&eut %ika #i,er!inkan tera#ap &u!u (

6. Diketaui per&a!aan lin)karan x4 ? (4 C 4x ? 8( / 1B.

Tentukan a(an)an lin)karan %ika #i,er!inkan tera#ap)ari& ( / x.

,. T"AN0LA0Ia#ala per)e&eran.

7ika tran&la&i T /

b

a !e!etakan titik P0x$(2 ke P0x<$(<2

!aka x< / x ? a #an (< / ( ? #ituli& #ala! entuk !atrik9

+=b

a

y

x

y

x'

'

="nt" 91. Diketaui &e)iti)a OA; #en)an k""r#inat titik O0$2$ A06$2#an ;06$:2. Tentukan k""r#inat a(an)an &e)iti)a OA; ter&eut

ila



#itran&la&i "le T /

3

1

%a3a 9

titik O 0$2

→

3

1T

O<0?1$ ?62 / O<01$62

titik A 06$2

→

3

1T

A<06?1$ ?62 / A<08$62

titik ; 06$:2

→

3

1T

;< 06?1$ :?62 / ;<08$@2

4. ;a(an)an per&a!aan lin)karan x4 ? (4 / 4: "le tran&la&i

T/

−

3

1



a#ala>.

7a3a 9 Karena tran&la&i T /

−3

1

!aka

5: 8 5 6 % → 5 8 5: 7 %.?.(%+y: 8 y 7 - → y 8 y: 6 -?..(,+012 #an 042 #i &u&titu&i ke 5, 7 y, 8 ,4 #iper"le (5: 7 %+, 7 (y: 6 -+, 8 ,4@

7a#i a(an)ann(a a#ala9(5 7 %+, 7 (y 6 -+, 8 ,4 Tugas ,1. Diketaui titik A0-6$42$ ;04$-:2$ #an =0:$82. Tentukan

a(an)an titik A$ ;$ = %ika #itran&la&i "le T /

−4

2

4. Diketaui per&a!aan )ari& x C 4( ? 8 / . Tentukan

a(an)an )ari& ter&eut %ika #itran&la&i "le T /

3

2.

-. "TA0I

a#ala perputaran. R"ta&i #itentukan "le pu&at r"ta&i #ane&ar &u#ut r"ta&i.Rotasi Pusat O(0,0)

Titik P(51y+ #ir"ta&i &ee&ar erla3anan ara %aru! %a!#en)an pu&at (212+ #an #iper"le a(an)an P:(5:1y:+

!aka9 5: 8 5)os

3 ysin

y: 8 5sin

7 y)os

Jika sudut putar = ½π 0r"ta&in(a #ila!an)kan #en)an"2

!aka 5: 8 3 y #an y: 8 5#ala! entuk !atrik&9



−= y

x

y

x

0110

''

7a#i " /

−

01

10

="nt" 91. Per&a!aan a(an)an )ari& 5 7 y 8 < &etela #ir"ta&ikan

pa#a pan)kal k""r#inat #en)an &u#ut putaran 722$a#ala>.

7a3a 9"722 erarti9 5: 8 3y → y 8 35:

y: 8 5 → 5 8 y:#i&u&titu&i ke9 5 7 y 8 < y: 7 (35:+ 8 <y: 6 5: 8 < → 5: 6 y: 8 3<

7a#i a(an)ann(a9 5 6 y 8 3<

4. Per&a!aan a(an)an )ari& ,5 3 y 7 < 8 2 &etela#ir"ta&ikan

pa#a pan)kal k""r#inat #en)an &u#ut putaran 322 $a#ala ..

7a3a 9"322 erarti9 5: 8 5)os(32+ 6 ysin(32+ y: 8 5sin(32+ 7 y)os(32+ 5: 8 2 6 y(3%+ 8 y

y: 8 5(3%+ 7 2 8 35: atau #en)an !atrik&9 −

= y

x

y

x

01

10

'

'



"322 erarti9 5: 8 y → y 8 5: y: 8 35 → 5 8 3y:#i&u&titu&i ke9 ,5 3 y 7 < 8 2 ,(3y:+ 3 5: 7 < 8 2 3,y: 6 5: 7 < 8 2

5: 7 ,y: 6 < 8 2 7a#i a(an)ann(a9 5 7 ,y 6 < 8 2

Jika sudut putar α = π 0r"ta&in(a #ila!an)kan #en)an 2!aka 5: 8 3 5 #an y: 8 3y#ala! entuk !atrik&9

7a#i /

="nt" 91. Per&a!aan a(an)an para"la y 8 -5, 6 <5 7 % &etela

#ir"ta&ikan pa#a pan)kal k""r#inat #en)an &u#ut putaran7%=2o$ a#ala ..............

7a3a 9H erarti9 5: 8 35 → 5 8 35:

y: 8 3y → y 8 3y:

#i&u&titu&i ke9 y 8 -5, 6 <5 7 % 3y:8 -(35:+, 6 <(35:+ 7 %

3y: 8 -(5:+, 7 <5 7 % 0#ikali 3%2 7a#i a(an)ann(a9

y 8 3-5, 6 <5 3 %

Tugas -1. Tentukan a(an)an per&a!aan )ari& 4x ? 6( / B "le

r"ta&i pa#a pu&at O &ee&ar ?

4. Tentukan a(an)an per&a!aan lin)karan 0x-424 ? 0(-624 / 8"le r"ta&i pa#a O &ee&ar ?1@

. DILATA0IA#ala &uatu tran&'"r!a&i (an) !en)ua ukuran0!e!pere&ar atau !e!perke,il2 &uatu an)un tetapiti#ak !en)ua entuk an)unn(a.

Dilatasi Pusat (212+ dan aktor skala k

7ika titik P0x$(2 #i#ilata&i tera#ap pu&at O0$2 #an 'akt"r

&kala k #i#apat a(an)an P<0x<$(<2 !aka x< / k x #an (< / k (#an #ila!an)kan #en)an O$k H.

−

−=

y

x

y

x

10

01

'

'

10

01

−

−



="nt" 9Gari& ,5 6 -y 8 < !e!"t"n) &u!u 9 #i A #an !e!"t"n)&u!u ( #i ;. Karena #ilata&i F13,G1 titik A !en%a#i A< #antitik ; !en%a#i ;<.itun)la lua& &e)iti)a A:B:

7a3a 9)ari& ,5 6 -y 8 < !e!"t"n) &u!u X #i A(-12+ !e!"t"n)&u!u #i B(21,+ karena #ilata&i F13,G !akaA:(k 51k y+→ A:(3<12+ #an

B:(k 51k y+ → B:(213+ Titik A:(3<12+1 B:(213+ #an titik (212+ !e!entuk &e)iti)a&eperti pa#a )a!ar9

Sein))a lua&n(a / J x OA< x O;< / J x B x 8 / 14

Dilatasi Pusat P(a1+ dan aktor skala k

a(an)ann(a a#ala

5: 8 k( 5 6 a+ 7 a dan y: 8 k( y 6 + 7

#ila!an)kan #en)an FP(a1+ 1k G="nt" 9

Titik A(341%-+ #i#ilata&ikan "le FP1⅔G !en)a&ilkan A:. 7ika k""r#inat titik P(%13,+1 !aka k""r#inat titik A: a#ala>. 7a3a 9

F P(a1+1kGA(51y+ A:(5:1y:+

5: 8 k (5 6 a+ 7 a

y: 8 k (y 6 + 7

F P(%13,+13

2 G

A(341%-+ A:(5: y:+

5: 8 ⅔(34 6 %+ 7 % 8 3- y:8 ⅔(%- 6 (3,++ 7 (3,+ 8 =

7a#i k""r#inat titik A<0-6$@2

-6

4

A

B

x

y



Tugas 1. Diketaui titik A04$ 62$ ;0-8$ :2$ #an =0-6$-:2. Tentukan

a(an)an titik A$ ; #an = %ika #i#ilata&i O$ -4H4. Tentukan a(an)an titik A0-6$82 "le #ilata&i #en)an pu&at

04$62 #an 'akat"r &kala -14

,. #egiatan Belajar , #o*posisi Transor*asi ;ila T1 a#ala &uatu tran&'"r!a&i #ari titik A0x$(2 ke titik A<0x<$(<2#ilan%utkan #en)an tran&'"r!a&i T4 a#ala tran&'"r!a&i #ari titikA<0x<$(<2 ke titik A0x$(2 !aka dua transformasi berturut-turut t&#i&eut Komposisi Transformasi #an #ituli& T4 " T1.#o*posisi Transor*asi dengan *atriks

;ila T1 #in(atakan #en)an !atrik&

d c

ba#an T4 #en)an !atrik&

sr

q p !aka dua transformasi berturut-turut !ula-!ula T1

#ilan%utkan #en)an T4 #ituli& T4 " T1 /

sr

q p

d c

ba

="nt" 9%. Matrik& (an) er&e&uaian #en)an #ilata&i #en)an pu&at 0$2 #an

'akt"r &kala 6 #ilan%utkan #en)an re*ek&i tera#ap )ari& ( / xa#ala>

7a3a 9M1/ Matrik #ilata&i &kala 6 a#ala

30

03

M4 / Matrik re*ek&i tera#ap ( / x a#ala

01

10

Matrik& (an) er&e&uaian #en)an M1 #ilan%utkan M4

#ituli& M4 " M1 /

30

03

01

10

/

03

30

7a#i !atrikn(a a#ala

03

30

,. ;a(an)an &e)iti)a A;=$ #en)an A 04$12$ ; 0B$12$ = 0:$62 karenare*ek&i tera#ap &u!u #ilan%utkan r"ta&i ),( π o a#ala>

7a3a 9Re*ek&i & 9 0x$(2 & 0-x$ (2R"ta&i π 9 0x$(2 π ,o 0-x$-(2

A04$12 & A<0-4$12 π ,o A04$-12

;0B$12 & ;<0-B$12 π ,o ;0B$-12



=0:$62 & =<0-:$62 π ,o =0:$-62

Tugas 41. Tentukan Lua& a(an)an per&e)i pan%an) PRS #en)an P0-1$42$

06$42$ R06$-12$ S0-1$-12 karena #ilata&i O$6H #ilan%utkan r"ta&ipu&at er&u#ut J a#ala>

4. T1 a#ala tran&'"r!a&i (an) er&e&uaian #en)an !atrik

−

−21

11 #an T4 a#ala tran&'"r!a&i (an) er&e&uaian #en)an

!atrik

12

23

;a(an)an titik A0m,n2 "le tran&'"r!a&i T1

#ilan%utkan T4 a#ala A<0-$2. Tentukan nilai m - 2n

BAB III. EALUA0I

1. Tentukan a(an)an )ari& 6x ? 4( C 6 / #itran&la&ikan "le T

/

2

1

4. Tentukan a(an)an lin)karan x4 ? (4 C 8x C B /

#itran&la&ikan "le T4 /

−3

2 #ilan%utkan "le T1 /

−

−

1

1



6. Diketaui titik A01$42$ ;06$82$ #an =0:$B2. Tentukan a(an)an&e)iti)a A;= %ika #i,er!inkan tera#p &u!u (

8. Tentukan a(an)an lin)karan x4 ? (4 -4x ? 8( C 6 / %ika#i,er!inkan tera#ap )ari& ( / x

:. Tentukan a(an)an titik P06$ -82 #ir"ta&i erla3anan

#en)an ara %aru! %a! #en)an pu&at putar O0$2B. Tentukan a(an)an )ari& x C ( ? 6 / %ika #ir"ta&i ?B

#en)an pu&at putar O0$2

. Tentukan a(an)an titik R0-4$82 #i#ilata&ikan "le ]4

1,[O

@. Tentukan a(an)an )ari& 6x C :( ? 1: / (an) #i#ilata&ikan"le O$:H.

. Tentukan per&a!aan a(an)an #ari )ari& 6x C ( ? 4 / "lere*ek&i tra#ap )ari& (/x #ilan%utkan #en)an r"ta&i tera#ap pu&at putar O.

1. Titik P0x$(2 #ire*ek&ikan tera#ap ( / x !en)a&ilkana(an)an titik . Ke!u#ian #iputar #en)an titik pu&at O$&ein))a a(an)an akirn(a a#ala R01$-42. Tentukank""r#inat titik P #an .

BAB I. PENUTUP

Setela !en(ele&aikan !"#ul ini$ an#a erak untuk !en)ikuti te&untuk en)u%i k"!peten&i (an) tela an#a pela%ari. Apaila an#a#in(atakan !e!enui &(arat ketunta&an #ari a&il e5alua&i #ala!

!"#ul ini$ !aka an#a erak untuk !elan%utkan ke t"pik!"#ulerikutn(a.



DA/TA" PU0TA#A

MGMP Mate!atika K"ta Se!aran)$ 4B. Mate*atika 0MAJMA#elas 9II Progra* Il*u Pengetauan Ala*1 Se!aran) 9 PT

Ma&,"! Grap($ Se!aran).



Sart"n" ir"#ikr"!"$ 18. Mate*atika Untuk 0MU #elas -1Progra* IPA1 Catur Kulan ,1 Penerit Erlan))a.

E!i Fari#a $ 41:. Modul Persiapan UN 0MA ,2%4 $ Pr")ra!IPA

modul matematika kelas xii transformasi

Documents