matematika xii inteleqti tbilisi 2012 guram gogisvili teimuraz vefxvaze, ia mebonia, lamara...

gamomcemloba inteleqtiTbilisi 2012

guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe

ia mebonia, lamara qurCiSvili

maTematika XII

maswavleblis wigni

(meTodikuri rekomendaciebi, sakontrolo weris

variantebis nimuSebi da miTiTebebi amocanebis amosaxsnelad)

redaqtori Teimuraz vefxvaZe

grifi mieniWa 2012 wels ssip ganaTlebis xarisxis ganviTarebis

erovnuli centris (brZaneba # 375, 18. 05. 2012) mier

ISBN 978-9941-439-13-1

© gamomcemloba `inteleqti~, 2012.

guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,

ia mebonia, lamara qurCiSvili

m a T e m a t i k a

XII klasi

maswavleblis wigni

gamomcemloba inteleqti

Tbilisi 2012

Guram Gogishvili, Teimuraz Vepkhvadze, Ia Mebonia, Lamara Kurchishvili

MaThs X II Teacher's Book

InTeLeKTI PublishersTbilisi 2012

gamomcemloba inteleqtiTbilisi, ilia WavWavaZDis gamz. 5. tel.: 2-25 05 22, 2-91 22 83.www.intelekti.ge [email protected] [email protected]

intelekti Publishers5 ilia Chavchavadze Ave., Tbilisi, Georgia. Tel.: (995 32) 2-25 05 22, 2-91 22 83.

3

s a r G e v i

Sesavali .......................................................................................................................................... 7

XII klasis erovnuli saswavlo gegma .................................................................................. 10

Sinaarsisa da miznebis ruka .................................................................................................. 14

saswavlo masalis wardgenis fazebi da gakveTilis

dagegmvis zogadi principebi .................................................................................... 17

sa ni mu So gak ve Ti le bi ............................................................................................................... 25

I Tavi gameoreba. zogierTi saxis gantolebisa da

utolobis amoxsna. simravlis asaxva ............................................. 39

§1.1. utolobis amoxsna intervalTa meTodiT ............................................................. 39

§1.2. utolobaTa sistema ...................................................................................................... 46

sakontrolo wera .......................................................................................................... 57

$1.3. iracionaluri gantolebis amoxsna ......................................................................... 58

$1.4. simravle. moqmedebebi simravleebze ...................................................................... 63

$1.5. ori simravlis dekartuli namravli ...................................................................... 76

$1.6. asaxva. Seqceuli asaxva ............................................................................................... 80

$1.7. grafTa Teoriis elementebi ..................................................................................... 84

$1.8. debulebaTa dasabuTebis xerxebi ............................................................................ 91

sakontrolo wera .......................................................................................................... 95

§ 1.9. kombinatorika ................................................................................................................. 97

proeqti ....................................................................................................................................... 103

II Tavi albaToba ......................................................................................................... 104

$2.1. xdomilobaTa sivrce. xdomilobis albaToba .................................................... 104

$2.2. operaciebi xdomilobebze ........................................................................................ 111

$2.3. damoukidebeli xdomilobebi .................................................................................. 116

$2.4. pirobiTi albaToba. xdomilobaTa namravlis albaToba ............................... 121

proeqti .......................................................................................................................... 126

$2.5. did ricxvTa kanonis Sesaxeb .................................................................................. 127

sakontrolo wera ........................................................................................................ 135

III Tavi algoriTmi. evklides algoriTmi ....................................................137

§ 3.1. algoriTmi ..................................................................................................................... 138

§ 3.2. evklides algoriTmi .................................................................................................. 143

amocanebi jgufuri muSaobisTvis ..........................................................................147

4

§3.3. evklides algoriTmis gamoyeneba .......................................................................... 149

proeqti .......................................................................................................................... 156

$3.4. ricxvTa Teoriis gamoyenebis Sesaxeb ...................................................................157

sakontrolo wera ........................................................................................................ 165

IV Tavi funqcia .............................................................................................................167

§ 4.1. ricxviTi funqcia. ricxviTi funqciis mocemis xerxebi ................................167

§ 4.2. operaciebi funqciebze. funqciaTa kompozicia. .............................................177

§ 4.3. wrfivi funqcia. funqciis cvlilebis siCqare ................................................. 186

§ 4.4. polinomuri funqcia ................................................................................................. 192

§ 4.5. zogierTi racionaluri da iracionaluri funqcia ....................................... 198

§ 4.6. maCvenebliani da logariTmuli funqciebis gamoyenebis magaliTebi ....... 209

sakontrolo wera ........................................................................................................ 221

V Tavi geometriuli figurebi .......................................................................... 223

§5.1 veqtorebi sivrceSi .................................................................................................... 223

proeqti .......................................................................................................................... 228

§5.2. koordinatebi sivrceSi ............................................................................................. 229

§5.3. veqtorebis da koordinatebis gamoyeneba .......................................................... 236

§5.4. vagrZelebT veqtorebisa da koordinatebis gamoyenebis

magaliTebis ganxilvas. geometriuli gardaqmnebis gamosaxva

dekartul koordinatebSi. ....................................................................................... 244

§5.5. moculoba ....................................................................................................................... 249

proeqti .......................................................................................................................... 261

§5.6. zedapiris farTobi .................................................................................................... 274

sakontrolo wera ........................................................................................................ 275

VI Tavi monacemTa analizi da statistika ................................................. 278

§6.1. populacia da SerCeva ................................................................................................ 278

§6.2. SerCevis ricxviTi maxasiaTeblebi

(mediana, saSualo, saSualo kvadratuli gadaxra) .......................................... 282

§6.3. dawyvilebuli monacemebi. korelacia. ganbnevis diagrama ........................... 290

sakontrolo wera ........................................................................................................ 299

VII Tavi vemzadebiT gamocdebisTvis ............................................................... 301

§7.1. samkuTxedis kuTxeebis jami.

monakveTis SuamarTobisa da kuTxis biseqtrisis Tvisebebi ........................ 301

§7.2. racionaluri ricxvebi. ricxvis xarisxi ............................................................ 302

§7.3. proporcia. proporciis ucnobi wevris povna.

ricxvis dayofa mocemuli SefardebiT.

proporciuli da ukuproporciuli sidideebi. procenti............................ 303

5

§7.4. cvladiani gamosaxuleba. cvladiani gamosaxulebis

mniSvnelobis povna. igivurad toli gamosaxulebebi.

gamosaxulebaTa gardaqmnis magaliTebi .............................................................. 304

§7.5. Semoklebuli gamravlebis formulebi. mamravlebad

daSla Semoklebuli gamravlebis formulebis gamoyenebiT ........................ 305

§7.6. racionaluri gamosaxulebis gardaqmnis magaliTebi ..................................... 306

sakontrolo wera ........................................................................................................ 307

§7.7. oTxkuTxedebi ............................................................................................................... 308

§7.8. msgavsi samkuTxedebi ................................................................................................. 310

§7.9. kvadratuli fesvi. iracionaluri ricxvi. namdvili ricxvi. namdvili

ricxvis gamosaxva ricxviT wreze. namdvili ricxvis moduli. ................... 311

§7.10. kvadratuli fesvis Semcveli gamosaxulebis gardaqmna ............................... 312

§7.11. n-uri xarisxis fesvi. ariTmetikuli fesvi ....................................................... 314

§7.12. piTagoras Teorema ..................................................................................................... 315

sakontrolo wera ........................................................................................................ 316

§7.13. racionalurmaCvenebliani xarisxi.

algebruli gamosaxulebis gardaqmnis magaliTebi ..........................................317

§7.14. marTkuTxa koordinatTa sistema sibrtyeze.

or wertils Soris manZilis gamosaTvleli formula .................................. 318

§7.15. wrewiri. wre .................................................................................................................. 320

§7.16. kvadratuli gantoleba. vietis Teorema.

vietis Teoremis Sebrunebuli Teorema. ............................................................. 322

§7.17. kvadratuli funqcia. kvadratuli samwevri

kvadratuli samwevris daSla mamravlebad ........................................................ 324

§7.18. kvadratuli utoloba ............................................................................................... 324

sakontrolo wera ........................................................................................................ 329

gameoreba ....................................................................................................................... 331

literatura .................................................................................................................. 351

7

Sesavali

wigni Seicavs meTodikur rekomendaciebs axali erovnuli saswavlo gegmis

mixedviT Sedgenili XII klasis saxelmZRvanelosTvis (guram gogiSvili, Teimuraz

vefxvaZe, ia mebonia, lamara qurCiSvili, maTematika XII).sarekomendacio wignis daniSnulebaa daexmaros maswavlebels saswavlo procesis

dagegmvasa da warmarTvaSi. yovel Temas Tan axlavs misi mecnieruli da meTodolo-

giuri safuZvlebi, miTiTebuli iqneba literatura da misamarTebi internetSi, sa-

dac maswavlebeli moiZiebs damatebiT masalas warmodgenili sakiTxebis Sesaxeb.

mowodebulia sakontrolo weris sarekomendacio nimuSebi da maTi Sefasebis kri-

teriumebi. gTavazobT Sefasebis zogad principebsac.

mocemuli iqneba Sesabamisi axsna-ganmartebebi masalis wardgenis fazebis Ses-

axeb _ motivacia, sakiTxis dasma, amocanis gansazRvra, problemaTa gadaWris gzebi,

Semowmebis formebi. amasTanave, gakveTilis dagegmvis sqemebsa da ramdenime sani-

muSo gakveTilis scenarsac warmogidgenT.

sarekomendacio wignSi Tavebisa da paragrafebis numeracia, maTi dasaxeleba mo-

swavlis saxelmZRvaneloSi SemoRebul numeracias emTxveva.

am wignis agebis principebi igivea, rac XI klasis sarekomendacio wignis Sedgeni-

sas _ saswavlo gegma, Sinaarsisa da miznebis ruka, Sefasebis ZiriTadi mdgenelebi

da Sefasebis kriteriumebis ganmsazRvreli rekomendaciebi _ isini maswavleblis

wignis aucilebeli Semadgeneli nawilebia da mTeli saswavlo wlis ganmavlobaSi

gamoiyeneba; maswavlebels aZlevs masalis gadacemis orientirebsa da Sefasebis

formebs.

wigni dagexmarebaT saswavlo procesis warmarTvis meTodikuri xerxebis Se-

muSavebis sakiTxSi _ kvlevis procesi SeiZleba individualuri iyos, SeiZleba jgu-

furi muSaobiT ganxorcieldes. upiratesobas, cxadia, Temis erTobliv ganxilvas

vaniWebT. saWiroebis SemTxvevaSi wina masalis erToblivi gaxsenebisa da amocanis

dasmis Semdeg, romelic am masalis logikuri gagrZeleba SeiZleba iyos, mimdi-

nareobs amoxsnis Ziebis procesi. xSirad amocana praqtikuli Sinaarsis sakiTxis

ganxilvas mosdevs. es procesi moswavleTa motivaciisa da swavlaSi CarTvis kargi

saSualebaa.

cxadia, swavlebis procesis warmarTveli maswavlebelia, saswavlo gegmiT dasaxu-

li amocanebis Sesrulebisas man SeiZleba sxvadasxva saSualeba gamoiyenos, sxvadasx-

va masala moiSvelios. moswavlis saxelmZRvanelos gamoyenebis sakiTxSic viziarebT

saswavlo programaSi gamoTqmul Tvalsazriss: saxelmZRvaneloebis sargeblobisas

maswavlebels unda axsovdes, rom saxelmZRvanelo aris erT-erTi saSualeba da ara

erTaderTi, romelic emsaxureba erovnuli saswavlo gegmis saswavlo programebSi

mocemuli Sedegebis miRwevas. aseve unda gvaxsovdes, rom saxelmZRvanelo ar aris

TavisTavad programa _ Sesabamisad, maswavlebeli ar unda iyos saxelmZRvaneloSi

mocemuli `masalis gavlaze~ orientirebuli, aramed aq mocemuli masalis gamoy-

8

enebaze sagnobrivi standartebis Sedegebis misaRwevad. maswavlebels SeuZlia ar

gamoiyenos romelime teqsti an aqtivoba, Secvalos drois xangrZlivoba, romelic

romelime konkretul Temas eTmoba. daamatos aqtivobebi da sxva.

`swavleba xelovnebaa ... swavleba maswavleblis individualur Tvisebebzea

damokidebuli da swavlebis kargi meTodi imdenia, ramdeni kargi maswavlebelic

arsebobs~ [31]. Tumca, vcdilobT savarjiSoebis krebulebisa da sxva damatebiTi

masalis gamoyenebis saWiroeba ar warmoiSvas _ saxelmZRvaneloSi mravladaa sx-

vadasxva sirTulis amocanebi da amocanebi, romlebic moswavleTa sxvadasxva pro-

fesiul momavalsac iTvaliswinebs _ maTTvis, vinc umaRlesi skolis sxvadasxva

profilis (humanitarul, sabunebismetyvelo, teqnikur, maTematikur) fakultete-

bze apirebs Cabarebas, wignis bolos specialuri rubrikiT ramdenime testia (sx-

vadasxva sirTulis) warmodgenili, isini saSualebas miscems moswavleebs gaimeoron

Seswavlili sakiTxebi. sarekomendacio wignSi gTavazobT miTiTebebs am amocanebis

amosaxsnelad.

sagnobrivi programis mixedviT me-12 klasSi wina wlebSi Seswavlili masalis

gaRrmaveba, gafarToeba da axali Temebis damatebaa gaTvaliswinebuli. gameorebis

procesi, cxadia, yoveli axali Temis gadmocemas axlavs Tan _ axali codna wina

codnaze dayrdnobiT Sendeba. Tumca, es procesi metwilad saswavlo wlis dasawy-

isSi gvaqvs koncentrirebuli _ moswavle nel-nela `Sedis formaSi~. simravleTa

Teoriis elementebi, kombinatorika, grafebi I TavSia mocemuli. Tumca, grafTa

Teoriis sakiTxebs, sagnobrivi programis Sesabamisad, ufro dawvrilebiT gad-

movcemT; igive SeiZleba iTqvas asaxvis cnebasa da simravleTa klasifikaciazec.

wignSi Tavebi, ZiriTadad, Temebis mixedviT _ saswavlo gegmis mimarTulebebis

mixedviTaa warmodgenili, Tumca, amave saswavlo gegmisa da integrirebuli sas-

wavlo kursis moTxovnebis Sesabamisad, yoveli Temis gadmocemisas masalas xSirad

sxva Temebsac vukavSirebT _ magaliTad, V TavSi geometriuli masalis gadmocemi-

sas vixsenebT geometriul albaTobas da vxsniT axal amocanebs.

kvlav vimeorebT da calke paragrafad gvaqvs gamoyofili dasabuTebis xerxebi.

mas amjerad Sevsebuli formiT warmovadgenT _ vimeorebT maTematikuri induq-

ciis meTods, veqtoruli aRricxvis sakiTxebs maT praqtikul gamoyenebebTan vaka-

vSirebT.

vcdilobT calkeuli fragmentebi logikuri TanamimdevrobiT, deduqciuri

msjelobebis gamoyenebiT, analizisa da sinTezis, ganzogadoebisa da specializa-

ciis, abstraqciisa da konkretizaciis meTodebiT gadmovceT. maswavleblis wigni

dagexmarebaT miTiTebuli literaturis gamoyenebiT gaimeoroT da gaiRrmavoT

Tqveni codna am mimarTulebiT.

saxelmZRvaneloSi masalis gadmocemis meTodika wina wlebis saxelmZRvaneloe-

bis analogiuria: yoveli paragrafis bolos Semajamebeli daskvnebia, sxvadasxva

mimarTuleba erTmaneTTan mWidro kavSirSia gadmocemuli; logikurad dasrulebu-

li raime Temis Tanamimdevrulad gadmocemisas sailustracio magaliTebi maTemati-

kis sxva nawilebidan aris SerCeuli. geometriuli masalis gadmocemisas gamoiyeneba

koordinatTa meTodi, veqtoruli analizi; funqciuri damokidebulebebis aRweri-

sas sakmao adgili aqvs daTmobili geometriul warmodgenebs.

SenarCunebulia paragrafebis nawilebad dayofis sistemac; zogjer bolo

nawili, romelic specialuri niSnakiT _ `s~ (sxvadasxva) aris gamoyofili, isto-

9

riuli faqtebis, terminebis warmoSobis istoriebsa da saintereso maTematikuri

faqtebis gadmocemas eTmoba. zogjer es nawili maTematikis gaRrmavebul swavlebas

emsaxureba; savarjiSoebis sistemac isea mofiqrebuli, rom isini Teoriuli masalis

Seswavlis stimulicaa. amocanebis nawili paragrafis ZiriTad Sinaarss pasuxobs,

nawili _ adre naswavlis gameorebisa da ganmtkicebisTvisaa gankuTvnili. maswav-

leblis sarekomendacio wignSi miiRebT saWiro rekomendaciebs am mimarTulebiTac.

did yuradRebas vuTmobT masalis Semzadebis, Sefasebisa da ganmtkicebis

sakiTxebs. es keTdeba yoveli Tavis, yoveli paragrafis doneze. amave moTxovnebs

uyenebs saxelmZRvanelos sagnobriv programebSi miTiTebuli swavlebis Sedegebisa

da indikatorebis sistema. am process, Cven mier mowodebuli rekomendaciebis gaT-

valiwinebiT, maswavlebeli SemoqmedebiTad unda miudges.

dasasruls, kidev erTxel aRvniSnavT, rom Cveni yoveli rCeva mxolod sareko-

mendacio xasiaTisaa da ar niSnavs mis ucilobel Sesrulebas. mivesalmebiT peda-

gogTa yovel saqmian gamoxmaurebas, SemoqmedebiT midgomas swavlebis sakiTxebi-

sadmi da maT yuradRebiT gavecnobiT.

10

სტანდარტი

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები მიმართულებების მიხედვით:

რიცხვები და მოქმედებები

კანონზომიერებები და ალგებრა

გეომეტრია და სივრცის აღქმა

მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

მათ. XII.1. მოსწავლეს შეუძლია პრაქტიკული საქმიანობიდან მომდინარე პრობლემების გადაწყვეტა.მათ. XII.2.მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დამტკიცების პროცესისა და მისი შედეგის ანალიზი.

მათ. XII.3. მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციის ან ფუნქციათა ოჯახის თვისებების კვლევა და დადგენა და ამ თვისებების ინტერპრეტირება კონტექსტთან მიმართებაში.მათ. XII.4. მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის მეთოდების გამოყენება მოდელირებისას და პრობლემების გადაჭრისას.

მათ.XII.5. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურების ან მათი ელემენტების ზომების პოვნა/შეფასება და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას.მათ. XII.6. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნების დახასიათება და მათი გამოყენება გეომეტრიული პრობლემების გადაჭრისას.

მათ. XII.7. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით და მათი ინტერპრეტაცია.მათ.XII.8. მოსწავლე აღწერს შემთხვევითობას ალბათური მოდელების საშუალებით.მათ. XII.9. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება.

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და მათი ინდიკატორები

მიმართულება: რიცხვები და მოქმედებები

მათ.XII.1. მოსწავლეს შეუძლია პრაქტიკული საქმიანობიდან მომდინარე პრობლემების გადაწყვეტა.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• მსჯელობს რიცხვებთან დაკავშირებული ალგორითმების მნიშვნელობაზე პრაქტიკული საქმიანობიდან და მეცნიერების სხვადასხვა დარგებიდან მომდინარე სხვადასხვა პრობლემების გადაჭრისას;

• იყენებს მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული ფუნქციების თვისებებს პრაქტიკული საქმიანობიდან ან მეცნიერების სხვადასხვა დარგებიდან მომდინარე გამოთვლებთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას (მაგალითად უწყვეტად დარიცხული საპროცენტო განაკვეთი, ენტროპია ბიოლოგიასა და ფიზიკაში, ინფორმაციის მოცულობა, რადიოაქტიული დაშლა და დათარიღების მეთოდები);

• სიდიდის ცვლილების გრაფიკული გამოსახვისას ირჩევს და იყენებს შესაფერის სკალას (მაგალითად, ლოგარითმულ სკალას).

11

მათ.XII.2. მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დამტკიცების პროცესისა და მისი შედეგის ანალიზი.


• ახდენს რიცხვების შესახებ დებულების ან რაოდენობრივი მსჯელობის ნიმუშის და მისი შედეგის ანალიზს ერთი ან რამდენიმე პირობის, შეზღუდვის ან დაშვების შესუსტება-მოხსნით;

• ასაბუთებს რიცხვების თვისებების ან რიცხვით კანონზომიერებების შესახებ განზოგადებით, ანალოგიით მიღებულ დასკვნებს ან დებულებებს (მათ შორის მათემატიკური ინდუქციის გამოყენებით);

• რაოდენობებთან და სიდიდეებთან დაკავშირებული მსჯელობის ნიმუშზე ახდენს მსჯელობის ხაზის და დასკვნითი ნაწილის კრიტიკულ ანალიზს.

მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრა

მათ.XII.3. მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციის ან ფუნქციათა ოჯახის თვისებების კვლევა და დადგენა და ამ თვისებების ინტერპრეტირება კონტექსტთან მიმართებაში.


• აღწერს და ადარებს შესწავლილ ფუნქციათა ოჯახებს ისეთი თვისებების მიხედვით, როგორიცაა: განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე, ფესვებისა და ექსტრემუმის წერტილთა შესაძლო რაოდენობა, ნიშანმუდმივობისა და ზრდადობა/კლებადობის შუალედები, პერიოდულობა, ასიმპტოტური ქცევა, გრაფიკის გეომეტრიული თვისებები; ახდენს ამ თვისებების ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში;

• იყენებს შესაფერის გრაფიკულ, ალგებრულ მეთოდებს და ტექნოლოგიებს ფუნქციის თვისებების (განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე, ფესვები და ექსტრემუმის წერტილები, ნიშანმუდმივობისა და ზრდადობა/კლებადობის შუალედები, ლუწობა/კენტობა, პერიოდულობა, ასიმპტოტური ქცევა, გრაფიკის გეომეტრიული თვისებები) დასადგენად. ახდენს ამ თვისებების ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში;

• აღწერს თუ რა გავლენას ახდენს ფუნქციის პარამეტრების ცვლილება ფუნქციის თვისებებზე; ახდენს ამ გავლენის ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში.

• იყენებს შესწავლილ ფუნქციებს და მათ თვისებებს მოდელირებისას და პრობლემის გადაჭრისას.

მათ.XII.4. მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის მეთოდების გამოყენება მოდელირებისას და პრობლემების გადაჭრისას.


• იყენებს იტერაციას, რეკურსიას და მათემატიკურ ინდუქციას მოდელირებისას, დებულებების დასაბუთებისას, ფორმულების გამოყვანისას, კომბინატორული ამოცანების ამოხსნისას;

• იყენებს გრაფებს, ხისებრ დიაგრამებს და მათ თვისებებს მოდელირებისას და ამოცანების ამოხსნისას.

12

მიმართულება: გეომეტრია და სივრცის აღქმა

მათ.XII.5. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურების ან მათი ელემენტების ზომების პოვნა/შეფასება და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას.


• პოულობს სივრცული ფიგურის მოცულობას;

• იყენებს სივრცული ფიგურის ზომებს შორის ფუნქციურ დამოკიდებულებას ოპტიმიზაციის ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად (მათ შორის რეალური ვითარების შესაბამის ამოცანებში; მაგალითად ცილინდრული ფორმის ღია კონსერვის ყუთის დამზადებაზე იხარჯება S სმ2 მასალა. როგორი უნდა იყოს ყუთის წრფივი ზომები, რომ მისი მოცულობა უდიდესი იყოს?);

• იყენებს ვექტორებს გეომეტრიული დებულებების დასამტკიცებლად და ზომების დასადგენად;

• იყენებს ფიგურის ზომებს და მათ შორის კავშირებს გეომეტრიული ალბათობის დასადგენად.

მათ.XII.6. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნების დახასიათება და მათი გამოყენება გეომეტრიული პრობლემების გადაჭრისას.


• ფიგურის გეომეტრიულ გარდაქმნას სიბრტყეზე გამოსახავს დეკარტეს კოორდინატების საშუალებით;

• ასახელებს კოორდინატებში მოცემული გეომეტრიული გარდაქმნის შესაძლო ტიპს (პარალელური გადატანა, სათავის მიმართ ცენტრული სიმეტრია, საკოორდინატო ღერძების მიმართ ღერძული სიმეტრია).

მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

მათ.XII.7. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით და მათი ინტერპრეტაცია.


• არჩევს მონაცემთა წარმოდგენის შესაფერის გრაფიკულ ფორმებს, ასაბუთებს თავის არჩევანს, აგებს და განმარტავს ცხრილებს/დიაგრამებს;

• დაწყვილებული მონაცემებისთვის ქმნის გაფანტულობის დიაგრამას, თვისობრივად აღწერს მის ფორმას (რომელიმე წირის მაგალითად წრფის, პარაბოლის, მიდამოში კონცენტრაცია), აგებს საუკეთესო მისადაგების წრფეს;

• ადგენს სიხშირეთა განაწილებას, წარმოადგენს მას გრაფიკულად და აღწერს მის ფორმას (მაგალითად, სიმეტრიულობა/ასიმეტრიულობა, მაქსიმუმის/მინიმუმის წერტილები).

მათ.XII.8. მოსწავლე აღწერს შემთხვევითობას ალბათური მოდელების საშუალებით.


• განასხვავებს დამოუკიდებელ და დამოკიდებულ ხდომილობებს, ასახელებს მათ მაგალითებს და ითვლის ხდომილობათა პირობით ალბათობებს;

• ითვლის რთულ ხდომილობის ალბათობას ჯამისა და ნამრავლის ფორმულების გამოყენებით;

13

• ატარებს ექსპერიმენტს მრავალჯერადი დაბრუნებით და ამ ექსპერიმენტის საშუალებით ადგენს ურნის შედგენილობას _ აფასებს განსხვავებული ფერის ბურთულების რაოდენობათა შეფარდებას;

• იყენებს სიმულაციებს შერჩევის სტატისტიკების (მედიანა, საშუალო მნიშვნელობა, საშუალო კვადრატული გადახრა) ვარიაბელურობის გამოსაკვლევად და შერჩევის განაწილებათა ასაგებად.

მათ.XII.9. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება.


• ირჩევს მოცემული შერჩევისთვის ისეთ რიცხვით მახასიათებლებს, რომლებიც ხელსაყრელია ამოცანის ამოსახსნელად და ასაბუთებს თავის არჩევანს, ითვლის და ითვალისწინებს არჩეულ მახასიათებლებს გადაწყვეტილების მიღებისას;

• ახდენს მონაცემთა ინტერპოლაციას/ექსტრაპოლაციას საუკეთესო მისადაგების წრფის საშუალებით;

• ამოიცნობს ჩანაცვლებას შერჩევისა და გამოკითხვის ნიმუშში, მსჯელობს თუ როგორ ზეგავლენას ახდენს შერჩევითი მეთოდი და შერჩევის მოცულობა დასკვნათა სანდოობაზე;

• ითვლის კორელაციის კოეფიციენტს და მსჯელობს დაწყვილებულ მონაცემებს შორის წრფივი კავშირის შესახებ.

პროგრამის შინაარსი

1. რიცხვებთან დაკავშირებული რომელიმე ალგორითმი (მაგალითად, ევკლიდეს ალგორითმი).2. კავშირი ინფორმაციულ/საკომუნიკაციო ტექნოლოგიებსა და რიცხვთა თეორიებს შორის. 3. ლოგარითმული სკალა.4. პოლინომიალური, წილად-წრფივი, კვადრატული/კუბური ფესვის შემცველი ფუნქციები.5. კვადრატული ფესვის შემცველი ერთუცნობიანი განტოლებები.6. ვარიანტების დათვლის ხერხები და ფორმულები, კომბინატორული ფორმულები.7. ორი სიმრავლის დეკარტული ნამრავლი; ორ სიმრავლეს შორის ასახვა, შებრუნებული ასახვა,

სიმრავლის წინასახე.8. გრაფები და ხისებრი დიაგრამები: გრაფის განსაზღვრებa, გრაფის გამოსახვის ალგებრული

და გეომეტრიული ხერხები.9. ფუნქციური დამოკიდებულება ფიგურის ზომებს შორის.10. ვექტორები სივრცეში, ვექტორული ნამრავლი.11. გეომეტრიული გარდაქმნის გამოსახვა დეკარტულ კოორდინატებში სიბრტყეზე.12. კუბის, მართკუთხა პარალელეპიპედის, მართი პრიზმის, პირამიდის, ცილინდრისა და

კონუსის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი და მოცულობა.13. მონაცემთა შეგროვების საშუალებანი: შერჩევითი მეთოდი, შერჩევა და ვარიაციული

მწკრივი; შერჩევის რიცხვითი მახასიათებლები (მედიანა, საშუალო მნიშვნელობა, საშუალო კვადრატული გადახრა).

14. მონაცემთა მოწესრიგებული ერთობლიობების რაოდენობრივი და თვისობრივი ნიშნები: დაწყვილებული მონაცემები, კორელაცია.

15. მონაცემთა წარმოდგენის საშუალებანი თვისობრივი და რაოდენობრივი მონაცემებისთვის. გაფანტულობის დიაგრამა, მისადაგების წირი.

16. ალბათობა: პირობითი ალბათობა, ხდომილობათა დამოუკიდებლობა.; ალბათობათა ჯამისა და ნამრავლის ფორმულები; დიდ რიცხვთა კანონი (გაცნობის წესით).

14

Sinaarsisa da miznebis ruka

Temebis CamonaTvali Temebis kavSiri miznebTan, ra

punqtebs faravs Tema

savaraudo

saswavlo

dro

utolobis amoxsnis magaliTe-

bi

jgufuri muSaoba: utolobis

amoxsna sxvadasxva xerxiT.

utolobaTa sistema.

jgufuri muSaoba: amocanebis

amoxsna kvadratuli utolo-

bis gamoyenebiT;

iracionaluri gantolebis

amoxsna

utolobebis da utolobaTa

sistemis sxvadasxva (maT Soris

geometriuli) xerxiT amoxsnaSi

gawafva. praqtikuli saxis amo-

canebis amoxsna utolobebis da

utolobaTa sistemebis gamoy-

enebiT.

iracionaluri gantolebebis

amoxsnis magaliTebis ganxilva.

XII.1, XII.2

16 sT

simravle. moqmedebebi simrav-

leebze;

Sesabamisoba or simravles

Soris da misi gamosaxvis xe-

rxebi;

ori simravlis dekartuli

namravli;

asaxva. Seqceuli asaxva;

grafTa Teoriis elementebi;

debulebaTa dasabuTebis xe-

rxebi;

kombinatorikis formulebi.

simravluri enis gamoyeneba fun-

qciaTa ojaxebis Sesaswavlad.

iqmneba safuZveli debulebaTa

dasabuTebisas, formulebis gamo-

yvanisas iteraciis, rekursiis,

maTematikuri induqciis, xisebri

diagramis, grafebis gamoyenebis

Cvevebis dauflebisTvis.

ricxvebis Tvisebebis, an ricx-

viTi kanonzomierebebis Sesaxeb

debulebebis sxvadasxva xerxiT

dasabuTebis Cvevebis daufleba.

XII.2, XII.4

22 sT

xdomilobaTa sivrce. xdomi-

lobis albaToba;

jgufuri muSaoba.

operaciebi xdomilobebze;

damoukidebeli xdomilobebi;

pirobiTi albaToba. xdomilo-

baTa namravlis albaToba;

proeqti

did ricxvTa kanonis Sesaxeb.

Ganasxvavebs damoukidebel da

damokidebul xdomilobebs;

xdomilobaTa jamisa da namravlis

albaTobis gamosaTvleli for-

mulebis gaazreba, maTi gamoy-

eneba; pirobiTi albaTobis gamoT-

vla. SeuZlia mravaljeradi dab-

runebiT eqsperimentebis dageg-

mva, ganxorcieleba da Sedegebis

gaanalizeba.

XII.8

17 sT

15

algoriTmi;

evklides algoriTmi;

evklides algoriTmis gamoy-

eneba;

ricxvTa Teoriis gamoyenebis

Sesaxeb.

ricxvebTan dakavSirebuli al-

goriTmebis gamoyeneba praqti-

kuli saqmianobidan gamomdinare

da sxva mecnierebebTan dakavSire-

buli problemebis gadaWrisas.

ganzogadebiT, analogiiT ricx-

vebis Tvisebebis Sesaxeb miRebuli

daskvnebis dasabuTeba sxvadasxva

xerxiT;

mocemuli algoriTmiT mona-

cemTa daSifrva-wakiTxvis demon-

strireba.

ricxvTa Teoriis aqtualuroba

da gamoyenebebi. XII.1, XII.2

13 sT

funqcia. ricxviTi funqcia.

ricxviTi funqciis mocemis

xerxebi;

operaciebi funqciebze. funq-

ciaTa kompozicia;

wrfivi funqcia. wrfivi funq-

ciis cvlilebis siCqare;

polinomuri funqcia;

zogierTi racionaluri da

iracionaluri funqcia;

maCvenebliani da logariT-

muli funqciis gamoyenebis

magaliTebi.

funqciaTa ojaxebis Sedareba

Semdegi Tvisebebis mixedviT:

gansazRvris are, mniSvnelobaTa

simravle, eqstremumis wertilebi,

nulebi, niSanmudmivoba, monot-

onuroba, perioduloba;

grafikuli, algebruli meTo-

debis, teqnologiebis gamoyeneba

funqciaTa Tvisebebis interpre-

taciisa da modelirebisas.

sididis cvlilebis grafikuli

gamosaxvisas iyenebs Sesaferis

skalas (magaliTad, logariT-

muls).

funqciaTa Tvisebebis gamoyeneba,

kerZod, logariTmuli da maCvene-

bliani funqciebis Tvisebebis

gamoyeneba praqtikuli saqmiano-

bidan gamomdinare problemebis

gadasawyvetad. XII.1. XII.3

21 sT

16

geometriuli figurebi.

veqtorebi sivrceSi;

veqtorTa wrfivi kombinacia;

koordinatebi sivrceSi;

veqtoruli namravli;

veqtorebis da koordinatebis

gamoyenebis magaliTebis ganx-

ilva; geometriuli gardaqm-

nebis gamosaxva dekartul

koordinatebSi;

moculoba

geometriuli debulebebis

dasamtkiceblad da figuris

zomebis dasadgenad veqtorebis

gamoyenebis unaris ganviTareba;

optimizaciis zogierTi prob-

lemis gadaWrisas geometriuli

figurebis (maT Soris sivr-

culi) zomebs Soris funqciuri

damokidebulebis gamoyenebis un-

ari.

poulobs zogierTi sivrculi

figuris moculobas.

sibrtyeze geometriuli gardaqm-

nebis gamosaxva dekartul koor-

dinatebSi; mocemuli gardaqmnis

tipis dadgena.

XII.5, XII.6

28 sT

monacemTa analizi da statis-

tika:

populacia da SerCeva

SerCevis ricxviTi maxasiaTe-

blebi (mediana, saSualo, sa-

Sualo kvadratuli gadaxra)

dawyvilebuli monacemebi. ko-

relacia. gabnevis diagrama

monacemTa warmodgenis formebis

SerCevis unari; SeuZlia cxrilebis

Sedgena da diagramebis ageba; Seu-

Zlia SerCevis ricxviTi maxasi-

aTeblebis gamoTvla da Sedegebis

gaanalizeba.

dawyvilebuli monacemebisTvis qm-

nis gafantulobis diagramas, rom-

lis mixedviT agebs misadagebis

wirs.

iTvlis korelaciis koeficients

da agebs misadagebis wrfes.

XII.7, XII.9

18 sT

saskolo kursis masalis

mokle gameoreba. es saaTebi

abiturientTa momzadebasac

SeiZleba daeTmos.

40 sT

17

saswavlo masalis wardgenis fazebi da gakveTilis

dagegmvis zogadi principebi

saswavlo procesis organizaciis ZiriTadi forma gakve Ti lia; saganmanaTleblo,

aRmzrdelobiTi da praqtikuli miz ne bis ganxorcieleba gakveTilze xdeba. amitom

maTematikis swav lebis ZiriTadi sakiTxi gakveTilis kargi momzadeba da Cata rebaa.

meTodikur literaturaSi didaqtikuri cneba _ `gakve Ti li~ ZiriTadad ase

aRiwereba: gakveTili logikurad das ru lebuli, mTliani saswavlo-aRmzrdelo-

biTi procesis gar kve uli SemosazRvruli monakveTia. masSi rTul urTierT da mo-

kidebulebaSia procesis yvela ZiriTadi elementi: Sinaarsi, mizani, saSualebebi,

meTodebi, organizacia; yovel gakveTilze gansazRvruli saganmanaTleblo da

aRmzrdelobiTi amocanebi wydeba; am amocanebis gadawyveta konkretuli saswavlo

ma sa lis ganxilvis procesSi mimdinareobs.

maTematikis gakveTilisadmi wayenebuli mTavari moTxov ni le baa ZiriTadi di-

daqtikuri amocanis arseboba _ im Temis Ses wav lis miznis arseboba, romlis

gadawyvetis procesi mo ce mul gakveTilze mimdinareobs. yoveli gakveTilis win

kargad unda gaiazroT misi Sinaarsi da mizani, amaSi Cven mier mo wo debuli ruka

dagexmarebaT. miznis Sesabamisi unda iyos kar gad gaazrebuli da dagegmili sas-

wavlo masalis wardgenis fazebi:

motivacia; ar aris sakmarisi, rom maswavlebels gaaz re buli hqondes mizani;

saWiroa, rom igi moswavleebisTvisac gax des ZiriTadi mizani. moswavleebTan sau-

bari unda daviwyoT ara imiT, Tu ras vaswavliT, aramed mniSvnelovania Tavidanve

interesis aRZvra da iseTi situaciis Seqmna, roca moswavle motivirebulia da pou-

lobs pasuxebs kiTxvaze _ `risTvisaa saWiro~. motivacia SesaZlebelia praqtikuli

amocanis dayenebiTa da misi amoxsnis xerxebis ZiebiT daviwyoT, an maTematikis Siga

kanonzomierebis gaazrebiT, problemuri situaciis Seqmnis xelSewyobiT; mxolod

amis Semdeg xdeba Sesabamisi amocanis dasma da misi amoxsnis Zieba.

amocanis gansazRvris Semdeg mimdinareobs misi amoxsnis gzis Ziebis procesi.

amoxsnis Ziebis procesis warmarTvis sxvadasxva meTodikuri saSualeba arsebobs.

yovel amocanas, rogorc wesi, amoxsnis Ziebis garkveuli forma miesadageba. es

formebia _ muSaoba jgufebad (SesaZlebelia or-oradac), mTeli klasis erToblivi

monawileobiT, individualuri muSaoba da a. S. im SemTxvevaSic ki, roca amocanis

amoxsnis ZiebaSi mTeli klasi erTdrouladaa Cabmuli, maswavlebelma swavleba ise

unda warmarTos (moxerxubuli kiTxvis dasmis saSualebiT), rom Temis Seswavlis

procesis ZiriTadi Semoqmedebi Tavad moswavleebi aRmoCndnen; maswavlebeli am

SemTxvevaSi warmarTvelis, `diriJoris~ funqcias unda asru lebdes.

18

moswavlis saxelmZRvanelos teqsti mogcemT aseTi gakve Ti lebis Catarebis sa-

Sualebas. igi ZiriTadi saswavlo saSua le baa da amitom gakveTilisTvis mzadebis

procesSi teqs tebis, ilustraciebis, savarjiSoebis gacnobas, daxarisxebas didi

dro unda dauTmoT. Tumca, maswavleblis wignic dagex ma rebaT TiToeul etapze

(sawyisi, damagvirgvinebeli) Sesas rulebeli savarjiSoebis SerCevis sakiTxSi.

Sinarsisa da miznebis rukaSi ver mivuTiTeT Temis Seswav lis yvela mizani,

romelic saganmanaTleblo da aRmzrde lo biTi amocanebis gadawyvetis komponen-

tebisgan Sedgeba. ar unda gavaigivoT mizani SinaarsTan. magaliTad, samkuTxedis

kuTxeebis jamis formulis gamoyvana saxelmZRvaneloSi isea warmodgenili, rom

igi am Temis Sinaarsis miznad gardaqmnis process kargad warmogvidgens; dasmuli

amocanis amoxsna kritikuli azrovnebis, msjelobisa da dasabuTebis unaris gamo-

muSavebaa, geometriul figuraTa gamosaxvis da am figu raTa Tvisebebis SeswavlaSi

eqsperimentis gamoyenebis unaris gamomuSavebaa. am miznebis gansaxorcieleblad qa-

Raldisgan gamoWril samkuTxedze (modelze) Catarebuli eqsperimentis (gamoiyeneba

ramdenime RerZuli simetria) an dasabuTebis xer xia mowodebuli. meore maTgani

dasmul kiTxvebze pasuxis SerCevis, msjelobisa da dasabuTebebis fonze mimdin-

areobs. aq maswavlebelma SeiZleba sxva eqsperimentic daamatos (tran s portiris

gamoyenebiT). ufro dawvrilebiT am gakveTilis Sesaxeb qvemoT mogaxsenebT.

am konkretuli magaliTidan Cans, rom aqtivobis mizani saganmanaTleblo da

aRmzrdelobiTi miznebis erTobliobaa.

gakveTilze Seswavlili faqtebi TavisTavad aris mniSv ne lovani; Tumca, kidev

ufro mniSvnelovania is, rom maTi Ses wav lis dros ganxorcielebuli procesi Ta-

vis kvals tovebs kritikuli azrovnebis ganviTarebaze, msjeloba _ dasabuTebis

unaris gamomuSavebaze. amasTanave, moswavleTa gonebaSi gaiazreba mniSvnelovani

sakiTxebi: adamianis mier faqtebis aRmoCena, aRmocenebuli amocanebis amoxsna da

Sedegebis dafiqsireba azrovnebaSi. konkretuli deduqciuri msjeloba, dasabuTeba

im SemTxvevaSi atarebs aRmzrdelobiT funqcias, roca mos wav les gavagebinebT misi

Catarebis mniSvnelobas.

axla davasaxelebT ramodenime sasargeblo zogad reko men dacias, romelic

meTodikis sakiTxebs ganekuTvneba:

• maswavlebeli cdilobs, rom yoveli axali SemecnebiTi amo cana TviT moswav-

lem Camoayalibos;

• maswavleblis xelmZRvanelobiT da moswavleTa Za lis xme viT _ dakvirvebis,

cdis, konkretuli SemTxvevebis ana li zis Sedegad _ iqmneba warmodgena, hipoTeza

arsebul kanon zomierebaze.

• maswavleblis xelmZRvanelobiT mimdinareobs dasa bu Te biT gzis Zieba, amo-

canis amoxsnis gegmis Sedgena; rasac xSi rad mosdevs TviT moswavleebis mier am

gegmis realizacia.

axla SevexoT saswavlo procesisTvis mzadebis zogad sqemas:

• maswavleblis muSaoba saswavlo wlis win;

• gakveTilTa sistemis gaazreba saswavlo wlis win;

• konkretuli gakveTilisTvis momzadeba.

momzadebisas maswavlebelma unda gamoiyenos moswavlis wigni, maswavlebelis

sarekomendacio wigni da, saWiroebis SemTxvevaSi, iq miTiTebuli literatura.

sarekomendacio wig n Si, sasurvelia, maswavlebeli Tavdapirvelad sas wav lo gegmas,

19

Sefasebis sistemas da gakveTilebis Semo Ta va zebul nimuSebs gaecnos. sareko-

mendacio wignis Sesavali mas gaacnobs saxelmZRvanelos agebisas avtorTa mier

gamoyenebul ZiriTad prin cipebs.

maswavlebeli SemoqmedebiTad unda miudges Cven reko men da ciebs; igi

safuZvlad iRebs Cven mier SemoTavazebul gegmas da azustebs mas sakuTari

gamocdilebiTa da klasis Tavise bu rebebis gaTvaliswinebiT. es dazustebebi

gansakuTrebiT mniSv nelovania sawyis da damamTavrebel etapebze Se sasru lebeli

savarjiSoebisa da sakontrolo weris variantebis SerCevisas.

gakveTilis dagegmva iTvaliswinebs Casatarebeli procesis tips:

• axali masalis gacnoba

• masalis ganmtkiceba

• codnis Semowmeba

• sxva tipis gakveTilebi (gakveTili bunebaSi, gakveTili-proeqti, ...)Tumca, zogierTi tipis procesi (axali masalis gacnoba, gan mtkiceba, Semow-

meba), rogorc wesi, yovel gakveTilze mim di nareobs, SesaZlebelia _ sxvadasxva

moculobiT.

moswavleTa codnis Semowmeba, moswavleTa muSaobaze dak vir veba yovel gakveTil-

ze mimdinareobs. gakveTilze mTavaria vaswavloT da aRvzardoT. swavleba ar

niSnavs mxolod codnis gadacemas _ swavleba codnis SemoqmedebiTad dauf lebas

unda niSnavdes, misi gamoyenebis unaris ganviTarebaze unda iyos morgebuli. mo-

swavleTa Sefaseba swavlis procesze maswavleblis dakvirvebebiT, moswavleTa mier

sakontrolo da damoukidebeli samuSaoebis Sesrulebis xarisxiT gani saz Rv reba.

yoveli gakveTilis Semdeg sakuTar wignakSi Cai niS neT moswavleebze dakvirvebebis

Sedegebi, gaiTvaliswineT mos wavleTa SemoqmedebiTi aqtiuroba (masalis aTvisebis

done kargad Cans savarjiSoebis amoxsnis drosac _ ganmtkicebis pro cesSi).saswavlo masalis dasabuTebuli SerCeva iTvaliswinebs Sem deg moTxovnebs:

• saswavlo masalis Sesabamisoba Temis mizanTan

• gakveTilze Sesasrulebeli samuSaos moculobis swori gansazRvra

• optimaluri Tanafardoba konkretulsa da zogads Soris

• Teoriasa da praqtikas Soris aucilebeli urTierT kav Siris ganxorcieleba.

maswavlebelma, rogorc wesi, Tavidan bolomde deta lu rad unda gaiazros

gakveTili, winaswar, drois mixedviT unda iyos ganawilebuli mTeli samuSao.

magaliTad, Tu gakveTilze axal Temaze gadasvlac aris gaT valiswinebuli,

maSin SeiZleba im sakiTxebis Sesaxeb msje loba, romelTa bunebriv da kanonzomier

gagrZelebis axali sa kiTxebi Seicavs, SeiZleba gakveTili pirdapir im praqtikuli

amocanis ganxilviT daviwyoT, romlis maTematikuri modelis Seswavla axali maTema-

tikuri faqtebis aRmoCenas, hipoTezis Camoyalibebasa da dasabuTebebs moiTxovs.

am procesis buneb rivi gagrZeleba Sesabamis savarjiSoTa sistemis ganxilvaa.

kiTxvebze pasuxebis gacemis sistema ar unda iyos erT fe rovani _ mxolod

warmatebul moswavleebTan mimarTebiT ar unda SemoifargloT; moswavlis raime

mosazrebas myisve nu upasuxebT. swor pasuxsac ki, maSinve nu daeTanxmebiT xol me

_ gaakeTeT pauza, iqneb garkveuli eWvic ki gamoTqvaT misi mosazrebis sisworis

mimarT. amiT miaRwevT imas, rom bavSvebi daubrundebian dasmuli kiTxvis analizs

da male WeSmariti daskvna _ swori pasuxi _ klasis dominantur mosazrebad

gadaiq ceva. klasi, erToblivi ZalisxmeviT, `gaiZulebT~ daeTanxmoT mis pozicias.

20

es axarebs, amxnevebs da aerTianebs axal gazr debs. es maTi erToblivi azris gamar-

jvebaa. Tqvens mizansac xom es warmoadgens _ moswavle CamoayaliboT Semoqmed,

codniT aRWurvil, iniciativian, xalisian axalgazrdad. maTematika mZlavri emo-

ciuri muxtis matarebelia da misi amoqmedeba Tqveni ZalisxmeviT miiRweva.

yuradRebiT unda movisminoT yvela pasuxi, uxeSi Sec do mis SemTxvevaSic ki

dauSvebelia mkacri uaryofiTi Sefa se bebis gamoTqma.

yuradReba miaqcieT, rom terminebi, cnebebi da movlenebi sworad iyos ganmarte-

buli.

gakveTilebis dagegmvasa da warmarTvaSi xels SegiwyobT sanimuSo gakveTilebis

scenarebi.

axali masalis ganmtkicebis procesi SeiZleba e. w. `tes turi~ amocanebis `amox-

sniT~ daviwyoT, maTi Sesruleba swori pasuxis SerCeviT unda Semoifarglos _

zogjer SeiZleba komentarebis gakeTebac gaxdes saWiro. yovel paragrafSi mo ce-

muli masala, rogorc wesi, 2 gakveTilzea gaTvalis wi ne buli; meore gakveTilze

codnis ganmtkicebaze zrunviT Semo vifarglebiT.

swavlebis erT-erTi saintereso da mniSvnelovani forma jgu furi muSaobaa.

es muSaoba SeiZleba gakveTilis procesis erT-erTi Semadgeneli nawili iyos _

daukavSirdes axali ma salis gaazrebas, praqtikuli saqmianobis (eqsperimentis) an

Semajamebeli daskvnebis gamotanas, an, SesaZlebelia, mas mTe li gakveTilic da-

vuTmoT. mis warmarTvaSi moswavlis sa xel mZRvaneloSi warmodgenili amocanebis

sistema dagex ma rebaT (magaliTad, amocanebi jgufuri muSaobisTvis). am Sem TxvevaSi

jgufur muSaobas SeiZleba Sejibris saxec ki miv ceT.

organizaciulad jgufuri muSaobis es varianti _ paeq ro ba _ jgufuri muSaoba

SeiZleba ase movawyoT:

winaswar vacxadebT Catarebis dRes; moswavleebs vavalebT samuSao rveulis

ormagi furceli iqonion. paeqroba mos wav leTagan kapitnebisa da maTi TanaSemweebis

dasaxelebiT iwyeba. optimaluria 4-5 moswavlisgan Semdgari jgufebi _ gundebi.

gun debis dakompleqteba SeiZleba kapitnebsac miandoT. mTa varia, `arCevnebma~ didi

dro ar wagarTvaT.

mas Semdeg, rac gundebi dakompleqtdeba, winaswar gamrav le buli amocanebi

daurigeT gundebs (an dafaze amowereT pirobebi). am SemTxvevaSi yvela gunds

erTnairi davaleba miecema.

gakveTilis dasrulebamde 10-12 wuTiT adre kapitnebs eva lebaT warmoadginon

maTi gundebis Sedegebi _ maTi amocanebis amoxsnebi. CaibareT es amoxsnebi winas-

wari komentarebis gareSe da saukeTeso amoxsnebis avtorebi rigrigobiT miipatiJeT

dafasTan naSromTa mokle prezentaciisTvis. cxadia, kritika da polemika, Tu amis

safuZveli arsebobs, unda iyos uSeRa vaTo, magram koreqtuli. am bWobaSi Tqvenc

mogiwevT xandaxan Cabma; zogjer mediatoris rolis Sesrulebac. es procedura

aRniSnul droze mets ar moiTxovs, radgan amocanebi yvelas kar gad aqvs gaazre-

buli da mxolod sakvanZo punqtebia xaz gasasmeli.

am gansjis dasrulebisTanave unda aRdges merxebis Tavda pirveli ganlageba,

Semdeg acxadebT gundebis mier mopovebul qulebs (TiToeuli amocana SeiZleba

2-quliani skaliT Sefasdes) da dakavebul adgilebs am paeqrobaSi. SeiZleba daawe-

soT damatebiTi qulebi prezentaciis Sesafaseblad.

21

jgufuri muSaobisTvis amocanebi SeiZleba SeirCes saxel mZRva neloSi Sesabamisi

niSnakiT gamoyofili adgilidan. Tumca, winaswar yvela amocana rom ar iyos `gaSi-

fruli~, iqneb maTi pirobebi odnav SecvaloT, an zogierTi amocana pa rag rafis

damatebiTi savarjiSoebis krebulidan airCioT.

moswavlis saxelmZRvaneloSi SemoTavazebuli jgufuri mu Saobis zogierTi

proeqti raime erTi axali Temis Sesabamisi struq turirebuli kiTxvebisgan Sedge-

nili amocanaa _ yoveli kiTxva winas ukavSirdeba _ kiTxvebze pasuxebis sistema

raime erTi axali Temis Sesabamisi problemis dasmas da amoxsnas gulisxmobs. am

SemTxvevaSi pasuxebis sistema, romelic mos wav leTa jgufis erToblivi Zalisxmevis

Sedegia, maTi ko leq tiuri SemoqmedebiTi naSromia da misi Sefaseba prezen ta ciisas

ganxorcieldeba.

zogjer jgufebs sxvadasxva saxis davalebebi SeiZleba mivceT _ sxvadasxva

eqsperimentis Catareba (magaliTad, geometriuli obieqtis Tvisebebis dasadgenad) an sxvadasxva geometriuli faqtis ganxilva-dasabuTeba, Sedegis war modgena. am

SemTxvevaSi moswavleebi msjeloben warmodgenili varaudebis koreqtulobaze da

adareben maT. aseTi tipis jgufuri muSaobebi, rogorc zemoT aRvniSneT, gakveTi-

lis fragmenti SeiZleba iyos da xSirad unda gamoviyenoT.

Teoriuli masalis gadmocemis Cveneuli meTodika saSua lebas gaZlevT airCioT

yvelaze ufro mosaxerxebeli forma Sinaarsisa da miznebis rukaSi miTiTebuli

moTxovnebis Sesas ruleblad.

Sefasebis zogadi principebi

saskolo Sefasebis axali sistema, romelic erovnuli saswavlo gegmiT aris

gansazRvruli, iTvaliswinebs Semdeg aucilebel midgomebs: akademiuri moswrebis

Sefaseba unda iyos xSiri da mravalmxrivi. unda Sefasdes ara marto informaciis

floba, aramed SeZenili unar-Cvevebi. ar aris sakmarisi moswavle mxolod sakon-

trolo werebis safuZvelze Sefasdes. maswavlebeli unda afasebdes prezentaciebis,

mos wav lisave TviTSefasebis, jgufuri muSaobis, Tu sxva tipis aqti vobebis mixed-

viT. maswavlebelma Sefasebisas unda gaiT valiswinos saganmanaTleblo procesSi

moswavlis CarTulobis xarisxi (saxlSi micemuli davalebis Sesrulebis xarisxi,

gak ve Tilze aqtiuroba, SemoqmedebiToba da sxva), amasTanave, mi zan Sewonilia mo-

swavlesac gavacnoT winaswar Sefasebis kri te riumebi. am kriteriumebis SedgenaSi

SeiZleba moswavleTa Car Tvac.

sakontrolo werebis Sefasebis sqemebs am wignSi gaec no biT. dauSvebelia mo-

swavleTa qcevis gaTvaliswineba akade miuri moswrebis Sefasebisas _ gakveTilze

arasaTanadod moqceva, rogorc wesi, aisaxeba akademiur moswrebaze.

moswavlis niSani unda gamomdinareobdes mis mier sagnis Seswavlis sxvadasxva

komponentisgan _ sakontrolo weris Sesruleba, gakveTilze msjeloba, jgufuri

muSaoba, prezen tacia da sxva.

22

შეფასება მათემატიკაში

შეფასების კომპონენტები მათემატიკაში1) საშინაო და საკლასო დავალებათა კომპონენტები

შეიძლება შეფასდეს შემდეგი ცოდნა და უნარ-ჩვევები1. მათემატიკური ცნებებისა და დებულებების გამოყენება;2. კავშირებისა და მიმართებების დადგენა;3. მათემატიკური ობიექტების წარმოდგენა და მათემატიკური ენის ფლობა;4. მსჯელობა - დასაბუთება;5. ამოცანის ჩამოყალიბება;6. მოდელირება;7. ამოცანის ამოხსნის გზა და მისი რეალიზება;8. გამოთვლები;9. დამხმარე ტექნიკური საშუალებებისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების გამოყენება.

სასიცოცხლო უნარ-ჩვევები

1. შემოქმედებითობა;2. თანამშრომლობა (მეწყვილესთან, ჯგუფის წევრებთან);3. სტრატეგიების გააზრებულად გამოყენება სასწავლო საქმიანობის ხელშეწყობის მიზნით;4. სასწავლო აქტივობებში მონაწილეობის ხარისხი.

უნარ-ჩვევები ფასდება შემდეგი კრიტერიუმებით:

1. მოსწავლე აღიქვამს ამოცანის შინაარსს, გაიაზრებს და გამიჯნავს ამოცანის მონაცემებსა და საძიებელ სიდიდეებს. ახდენს მონაცემების (მათ შორის პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო მონაცემების) ორგანიზებას და მათ წარმოდგენას;

2. გადმოცემისას სწორად და ეფექტიანად იყენებს მათემატიკურ ტერმინებსა და აღნიშვნებს. ადეკვატურად ირჩევს სიმკაცრის დონეს და როდესაც საჭიროა, დასაბუთებისას იყენებს მკაცრ მათემატიკურ მსჯელობას (მათ შორის ინდუქციურ და დედუქციურ მსჯელობას);

3. პოულობს, არჩევს და იყენებს გზებსა და მეთოდებს (მათ შორის ტექნოლოგიებს) ფიგურების და ობიექტების ზომების, აგრეთვე მათ შორის მანძილების, მასის, ტემპერატურის და დროის გასაზომად. არჩევს და მოიპოვებს პროცესის ან რეალური ვითარების მოდელირებისათვის საჭირო მონაცემებს;

4. ახდენს მოცემული მოდელის ელემენტების ინტერპრეტირებას იმ რეალობის კონტექსტში, რომელსაც მოდელი აღწერს და პირიქით – რეალური ვითარების დაკვირვების შედეგად მიღებული მონაცემების ინტერპრეტირებას შესაბამისი მოდელის ენაზე. განსაზღვრავს მოდელის ვარგისიანობას და აფასებს მისი გამოყენების საზღვრებს;

5. კომპლექსურ (რთულ) პრობლემას ყოფს საფეხურებად, მარტივ ამოცანებად და ჭრის ეტაპობრივად (ამოხსნა), მათ შორის სტანდარტული მიდგომებისა და პროცედურების გამოყენებით;

6. ამოცანების ამოხსნისას, იყენებს მათემატიკურ ობიექტებს, პროცესებს და მათ თვისებებს;7. ირჩევს ეფექტიან სტრატეგიას და მოკლედ აღწერს პრობლემის გადაჭრის საფეხურებს. მიჰყვება

არჩეულ სტრატეგიას. აანალიზებს არჩეულ სტრატეგიას და ასაბუთებს არჩეული სტრატეგიის ეფექტიანობას, მიმოიხილავს შესაძლო ალტერნატიულ სტრატეგიებს და მსჯელობს მათ უპირატესობებსა და ნაკლზე;

8. ირჩევს გამოთვლების ადეკვატურ / ოპტიმალურ ხერხს და ახდენს მის რეალიზებას;9. ამყარებს კავშირებს (მაგალითად, სხვა მათემატიკურ სტრუქტურებთან, ობიექტებთან ან სხვა

დისციპლინებთან) და იყენებს ამ კავშირებს როგორც პრობლემის გადაჭრისას, ასევე მიღებული შედეგების გაანალიზებისას;

23

10. ახდენს მიღებული შედეგების განზოგადებას, ამყარებს კავშირებს (მაგალითად სხვა მათემატიკურ სტრუქტურებთან, ობიექტებთან ან სხვა დისციპლინებთან) და იყენებს ამ კავშირებს როგორც პრობლემის გადაჭრისას, ასევე მიღებული შედეგების გაანალიზებისას;

11. ირჩევს დასაბუთების ხერხს (მაგალითად: საწინააღმდეგოს დაშვების გამოყენება დამტკიცებისას, ევრისტული მეთოდის გამოყენება დასაბუთებისას);

12. ინფორმაციის გადაცემისას წარმოაჩენს საკითხის არსს (მაგალითად, მათემატიკური ობიექტის არსებით თვისებებს);

13. კორექტულია მასწავლებელთან და მეგობრებთან მიმართებაში. იგებს და აანალიზებს სხვის ნააზრევს;

14. თანამშრომლობს თანაკლასელებთან ჯგუფური სამუშაოების შესრულებისას;15. აუდიტორიისა და საპრეზენტაციო მასალის მიხედვით ირჩევს პრეზენტაციის ფორმას და

დამხმარე საშუალებებს (მათ შორის საინფორმაციო ტექნოლოგიებს). ეფექტიანად იყენებს პრეზენტაციისათვის განკუთვნილ დროს;

16. ახდენს პრობლემის ფორმულირებას აუდიტორიისათვის გასაგები ფორმით. ასაბუთებს პრობლემის აქტუალურობას და მნიშვნელობას (იგულისხმება პრობლემის პრაქტიკული ან/და წმინდა მეცნიერული აქტუალურობა);

17. სადემონსტრაციოდ იყენებს მაგალითებს, როგორც რეალური ვითარებიდან ასევე მათემატიკიდან;18. კეთილსინდისიერად ასრულებს დავალებებს (ვადებისა და რაოდენობის თვალსაზრისით).

2) შემაჯამებელი დავალებების კომპონენტი

შემაჯამებელი დავალების კომპონენტი უკავშირდება სწავლა-სწავლების შედეგს. ამ კომპონენტში უნდა შეფასდეს ერთი სასწავლო მონაკვეთის (თემა, თავი, პარაგრაფი, საკითხი) შესწავლა-დამუშავების შედეგად მიღწეული შედეგები. კონკრეტული სასწავლო ერთეულის დასრულებისას მოსწავლემ უნდა შეძლოს მათემატიკის საგნობრივი პროგრამით განსაზღვრული ცოდნისა და უნარების წარმოჩენა. შესაბამისად, შემაჯამებელი დავალებები უნდა აფასებდეს მათემატიკის საგნობრივი პროგრამით განსაზღვრულ შედეგებს.შემაჯამებელ დავალებათა ტიპები:

სტანდარტის მოთხოვნათა დასაფარად, რეკომენდებულია შემაჯამებელ დავალებათა მრავალფეროვანი ფორმების გამოყენება. მათემატიკის შემაჯამებელ დავალებათა ტიპები შეიძლება იყოს:1. ტექსტურ ამოცანასთან დაკავშირებული ღია ან დახურული (რამდენიმე შესაძლო პასუხს შორის

სწორი პასუხის შერჩევა, შესაბამისობის დამყარება, სწორი თანმიმდევრობით დალაგება) ტიპის დავალება;

2. ტექსტის წაკითხვა და მონაცემთა ანალიზით (გამოთვლების ან ლოგიკური მსჯელობის საფუძველზე) მიღებული დასკვნის გადმოცემა და დასაბუთება (მათ შორის ისეთი ტექსტის, რომელიც შეიცავს დიაგრამებს და ცხრილებს);

3. განტოლების ამოხსნა, ასოითი გამოსახულების გამარტივება, რიცხვითი გამოსახულების მნიშვნელობის გამოთვლა;

4. გეომეტრიული ამოცანა, რომელშიც მოსწავლეს მოეთხოვება ფიგურის თვისებების დადგენა, ზომების განსაზღვრა, ფიგურის აგება;

5. ამოცანა, რომელშიც წინასწარ განსაზღვრული მონაცემების საფუძველზე მოსწავლეს მოეთხოვება მოცემული ფაქტის დასაბუთება ან უარყოფა (მაგალითად, თეორემის დამტკიცება).

მოთხოვნები, რომლებსაც უნდა აკმაყოფილებდეს შემაჯამებელი დავალებები:

• დავალების თითოეულ ტიპს უნდა ახლდეს თავისი შეფასების ზოგადი რუბრიკა;• ზოგადი რუბრიკა უნდა დაზუსტდეს კონკრეტული დავალების პირობისა და განვლილი

მასალის გათვალისწინებით;

24

• 10 ქულა უნდა გადანაწილდეს რუბრიკაში შემავალ კრიტერიუმებზე;• მითითებული უნდა იყოს სტანდარტის ის შედეგები, რომელთა შეფასებასაც ემსახურება

შემაჯამებელი დავალება.

ზოგადი რუბრიკის ნიმუში:

შეფასების ზოგადი რუბრიკა ტექსტური ამოცანისათვის (წერითი დავალება)• ამოცანის მონაცემების ორგანიზება;• ადეკვატური აღნიშვნების შემოტანა;• ამოხსნის გზის მოძებნა;• ამოხსნის გზის რეალიზება და პასუხის მიღება.

კონკრეტული რუბრიკის ნიმუში

ტექსტური ამოცანა, რომლის ამოხსნა მოითხოვს განტოლების შედგენას და ამოხსნასსაფეხურები ქულაამოცანის მონაცემების ორგანიზებაამოხსნისათვის საჭირო მონაცემების ამოკრეფა ამოცანის ტექსტიდან 0 - 1მონაცემების ორგანიზება და ისეთი ხერხით ჩაწერა, რომელიც აადვილებს ამოხსნის გზის მოძებნას

0 - 1

ადეკვატური აღნიშვნების შემოტანასაძიებელი სიდიდეების გამოყოფა 0 - 1საძიებელი სიდიდეებისათვის ასოითი აღნიშვნების შემოღება 0 - 1მათემატიკური ობიექტებისა და პროცედურებისათვის სწორი აღნიშვნების გამოყენება (მაგალითად: ფუნქციის, ალგებრული მოქმედების)

0 - 1

ამოხსნის გზის მოძებნაგანტოლების შედგენის წინმსწრები მსჯელობა 0 - 1განტოლების შედგენა 0 – 1ამოხსნის გზის რეალიზება და პასუხის მიღებაგანტოლების ამოხსნის ხერხის მოძებნა 0 - 1განტოლების ამოხსნა და პასუხის მიღება 0 – 1 - 2

25

sanimuSo gakveTilebi

sanimuSo gakveTili #1

aqtivoba: simravleebze moqmedebebis gameoreba, codnis gaRrmaveba (damou-

kidebeli muSaobis fragmentiT) ($ 1.4).

reziume: moswavleebi ixseneben simravleebTan dakaSirebul ZiriTadi cnebebis

Sinaarss, simravleebze moqmedebebs da iRrmaveben saTanado codnas.

specialurad SerCeuli magaliTebis analiziT, amocanebis amoxsniT iviTareben

am sakiTxTa kvlevis unarebs.

aqtivobis mizani:

• simravleTa Teoriis ZiriTadi cnebebisa da simravleebze moqmedebaTa gaxsene-

ba da maTi praqtikul amocanebSi gamoyenebis Cvevebis gamomuSaveba;

• dasmuli amocanis amoxsnis alternatiuli meTodebis moZieba da maTi gamoy-

eneba. kerZod, logikuri amocanebis amoxsnisas venis diagramebis gamoyenebis unar-

Cvevebis gamomuSaveba da gaRrmaveba.

• arsebuli an Tavad moswavlis mier gamoTqmuli hipoTezis kritikuli analizis

unaris ganviTareba. msjelobis unaris daxvewa.

• damoukidebeli muSaobis unaris ganviTareba.

aucilebeli wina codna:

• yvela saWiro cnebasa da debulebas, rasac viyenebT Teoriul nawilSi, moswav-

leebi maswavlebelTan erTad gzadagza erToblivad ixseneben.

• amocanebis amosaxsnelad aucilebelia adre Seswavlili iseTi mniSvnelovani

faqtebis codna, rogoricaa, magaliTad, paralelogramobis niSnebi, samkuTxedze

Semoxazuli da Caxazuli wrewirebis arseboba, ricxviTi sistemebis urTierT-

mimarTebebi da sxva.

gakveTilis dasawyisSi, sasurvelia, klasma gaixsenos simravlis mocemis xerxebi

_ es magaliTebis ganxilviT xorcieldeba. moswavleTa yuradRebas mivapyrobT sim-

ravlis maxasiaTebel Tvisebebze _ Tvisebebze, romelic aqvs am simravlis yovel

elements da ara aqvs yovel im obieqts, romelic am simravles ar ekuTvnis. nimuSad

viyenebT paragrafis Teoriuli nawilis pirvel punqtSi moyvanil magaliTs:

A={x|(x+1)(x–12)=0, x∈R},

B={x|(x+1)(x–12)=0, x∈Z}.

26

SevTavazoT moswavleebs A da B simravleebis warmodgena elementebis CamoTv-

liT:

A={–1; 12}, B={–1}.

• aqvs Tu ara, A da B simravleebs saerTo elementi?

• aqvs Tu ara, A simravles raime elementi, romelic ar ekuTvnis B-s?

• ram ganapiroba A da B simravleebis sxvadasxvaoba?

• Seadaron A da B simravleebi kidev or simravles: C={x|(x+1)(x–12)=0, x∈Q},

D={x|(x+1)(x–12)=0, x∈R, x<0}.

SeTavazeT moswavleebs elementebis CamoTvliT warmoadginon maxasiaTebeli

TvisebiT mocemuli simravleebi:

M={x|x∈Z, –2≤x≤3}, K={x|x∈n, –2≤x≤3}.

• ramdeni elementia M simravleSi?

• ramdeni elementia K simravleSi?

• ramdeni elementia {x|x∈n, –2≤x<0} simravleSi? ras vuwodebT aseT simravles?

mivmarTavT moswavleebs carieli simravlis sxva magaliTebic daasaxelon.

• SeiZleba Tu ara, nebismieri simravlis warmodgena elementebis CamoTvliT?

ganixileT {x|x∈R, –1≤x≤1} magaliTi. ras vuwodebT xolme ricxvTa aseT simravles?

mniSvnelovania moswavleTa mier universaluri simravlisa da simravlis dam-

atebis cnebis safuZvliani aTviseba. saWiroebis SemTxvevaSi paragrafSi mocemuli

nimuSebi SeavseT sxva magaliTebiTac. ajobebs, Tu Tavad moswavleebi moiZieben

aseT nimuSebs. simravleebze moqmedebebi _ gaerTianeba, TanakveTa, sxvaoba _ para-

grafSi dawvrilebiTaa aRwerili da ilustrirebuli venis diagramebis gamoyenebiT.

moswavleebi damoukideblad, Tqveni Carevis gareSec, ramodenime wuTSi gaecnobian

wignSi warmodgenil saTanado masalas.

Tqven ki, sakontrolo kiTxvebiT, romlebic mTeli klasisadmi iqneba mimarTu-

li, SeamowmebT am damoukidebeli samuSaos Sedegebs.

mniSvnelovania simravleTa gamoyeneba sxvadasxva tipis winadadebebis TvalsaC-

inod warmodgenisas _ am gamoyenebaTa ramdenime nimuSi cxrilis saxiTac Camovaya-

libeT.

aqtivobis gafarToeba-gaRrmaveba

aqtivobis gafarToeba-gaRrmavebis mizniT SeiZleba ganixiloT paragrafSi war-

modgenili sakontrolo kiTxvebi da amocanebi.

moswavleTa pasuxebis siswore TviT moswavleebma Seafason _ es mniSvnelovania

maTi codnis daxvewisa da ganmtkicebisTvis.

amocanebis umravlesoba e. w. `testuri~ tipisaa _ moswavles vTavazobT ramden-

ime savaraudo pasuxs, romelTagan unda SeirCes swori. sasurvelia, rom moswavlem

pasuxis gacemisas daasabuTos xolme arCevanis marTebuloba.

aqtivobis ganxilva-Sefaseba

naTelia, rom mocemuli aqtivoba amzadebs safuZvels saswavlo programiT gaT-

valiswinebuli mravali sxva sakiTxis Sesaswavlad, magaliTad, simravleTa klasifi-

kacia, Sesabamisoba da sxv. amgvarad, simravleTa Teoriis elementebis safuZvliani

aTviseba momavali Teoriuli da gamoyenebiTi amocanebis warmatebuli ganxilvis

safuZvels qmnis.

27


aqtivoba: simravleTa dekartuli namravli ($ 1.5).

reziume: moswavleebi ecnobian axal cnebebs _ dalagebuli simravle (kerZod,

dalagebuli wyvili, sameuli), ori an meti simravlis dekartuli namravli; am

cnebaTa gamoyenebiT moswavleebi warmoadgenen axal maTematikur obieqtebs, realur

samyaroSi SesaZlo mimarTebebs.

aqtivobis mizani:

• axali cnebebis aTviseba, mocemuli simravleebis dekartuli namravlis

Sedgenisa da, piriqiT, mocemuli namravlis mixedviT Tanamamravli simravleebis

aRdgenis unar-Cvevebis gamomuSaveba;

• ricxviTi simravleebis dekartuli namravlebisa da sakoordinato sibrtyeze

maT gamosaxulebebs Soris urTierTcalsaxa Sesabamisobis dadgenis gamocdilebis

SeZena.

• miRebuli codnis praqtikul amocanebSi gamoyenebis SesaZleblobaTa aRmoCenisa

da maTi realizebis unaris ganviTareba.

aucilebeli wina codna

• simravleTa Teoriis elementebis codna § 1.4-Si mocemuli moculobiT;

• sakoordinato sibrtyis wertilebsa da koordinatTa Sesabamis wyvilebs Soris

Sesabamisobis dadgenis unari _ es sakiTxi gakveTilebze reguluralud ganixileba,

amitom sagangebo, xangrZlivi dro am gaxsenebis ar dasWirdeba.

gakveTils viwyebT simravlis dalagebulobis cnebis Sinaarsis aRweriT; kerZod,

ganvixilavT sakoordinato sibrtyis (a; b) da (b; a) tipis wertilebs da vrwmundebiT,

rom, Tu a≠b, maSin (a; b) da (b; a) sxvadasxva wertilebs gansazRvravs.

gavixsenebT, rom amave wesiT Sedgenili {a; b} da {b; a} simravleebi tolia.

simravlis dalagebuloba gulisxmobs ara marto simravlis elementebis CamonaTvals,

aramed, simravlis elementebis gansazRvrul Tanamimdevrobasac.

sazogadod, dalagebuli wyvilebisTvis (a; b)=(c; d) niSnavs, a=c da b=d. piriqiTac,

Tu a=c da b=d, maSin (a; b)=(c; d).sailustraciod ganvixilavT raime or sasrul simravles. magaliTad, A={O; ∆},

B={1; 2; 3}. SevTavazoT moswavleebs warmoadginon elementebis CamoTvliT dalagebul

wyvilTa ori simravle:

M={(m; n) | m∈A, n∈B}, N={(p; t) | p∈B, t∈A}.• ramden elements Seicavs M simravle; N simravle?

• tolia Tu ara, M da N simravleebi?

ganvsazRvroT ori simravlis dekartuli namravlis cneba _ A×B={(a; b) | a∈A, b∈B}.

• sworia Tu ara, rom A×B=M; B×A=N?

moviSvelioT paragrafis Teoriul nawilSi mocemuli sxva magaliTebic.

gansakuTrebuli yuradRebiT ganvixiloT A×A SemTxveva _ moswavles raime A

simravlis dekartuli kvadrati ar unda SeeSalos A-s orelementian qvesimravleTa

simravleSi.

28

yuradRebiT gavarCioT me-4 magaliTi _ ori sasruli simravlis dekartuli

namravlis cxrilis saxiT warmodgena. es xels Seuwyobs ricxviTi simravleebis

dekartuli namravlis sakoordinato sibrtyeze warmodgenis procesis ukeT gagebas.

ori simravlis analogiurad ganisazRvreba sami an meti simravlis dekartuli

namravlic. SeTavazeT moswavleebs SearCion raime sami sasruli simravle da

warmoadginon am simravleTa dekartuli namravli.

• vTqvaT, A={s; r}, B={k}, C={a; o}. warmoadgineT B×C da A×B×C simravleebi

cxrilis saxiT.

• vTqvaT, M={1; 2; 3}, N=(5; 6}. warmoadgineT M×N namravli elementebis

CamoTvliT da TiToeul elements SeusabameT sakoordinato sibrtyis raime wertili.

ra wesi SearCieT am SesabamisobisTvis? aRwereT wertilTa ganlageba sibrtyeze da

saTanado wertilTa simravleebi.


aqtivobis gafarToeba-gaRrmavebis mizniT gTavazobT paragrafSi warmodgenili

sakontrolo kiTxvebisa da amocanebis gamoyenebas.

sasurvelia, sakontrolo kiTxvebze pasuxebis SerCevisas moswavle axdendes

sakuTari varaudis ilustrirebas raime konkretuli magaliTiT da SeeZlos Tavisi

mosazrebebis dacva pedagogisa da TanaklaselTa winaSe. gansakuTrebiT sainteresoa

im kiTxvebze gamoxmaureba, romlebsac moswavleebi Tavad usvamen erTmaneTs.


dekartuli namravlis cneba maTematikis erT-erTi fuZemdebluri cnebaa _

mis safuZvelze xdeba simravleTa Soris Sesabamisobis, mimarTebis, asaxvis da sxva

mravali mniSvnelovani cnebis gansazRvra. amrigad, aRwerili aqtivobiT miRebuli

codna da Cvevebi SemdgomSi mravalgzis iqneba gamoyenebuli.

vfiqrobT, rom es aqtivoba saazrovno unarebis ganmaviTarebelicaa.


aqtivoba: asaxva. Seqceuli asaxva ($ 1.6).

reziume: or simravles Soris Sesabamisobis cnebis arsSi garkvevasTan erTad

moswavleebi ecnobian Sesabamisobebis kerZo saxeebs _ asaxvas, `ze~-asaxvas, Seqcev-

ad asaxvas.

aqtivobis mizani:

• axali cnebis _ simravleTa Soris Sesabamisobis _ arsSi garkveva.

• sxvadasxva magaliTis garCevis safuZvelze, Sesabamisobis SesaZlo TvisebaTa

gamokveTa-daxarisxeba.

• SesabamisobaTa kerZo saxeebad klasificirebis unar-Cvevebis gamomuSaveba.

29

• urTierTcalsaxa Sesabamisobis, Seqceuli asaxvis agebis gamocdilebis SeZena.

• miRebuli codnis aqtualurobis gaazreba _ gamoyenebiTi aspeqtebis warmo-

Cena.


• simravleTa Teoriis ZiriTadi cnebebisa da simravleebze moqmedebebis Tvise-

bebis floba;

• simravleTa dekartuli namravlis Sedgenis unari.

gakveTils viwyebT ori raime ricxviTi simravlis ganxilviT. magaliTad, A={5; 10; 14} da B={2; 5; 7}. mivmarTavT klass Seadginon yvela SesaZlo (a; b) dalage-

buli wyvilebis simravle (a∈A, b∈B), romelic ganisazRvreba TvisebiT: à aris b-s

jeradi~. moswavleebi, cxadia, erToblivi ZalisxmeviT, iolad amoxsnian amocanas _ C={(5; 5); (10; 2); (10; 5); (14; 2); (14; 7)}.

axla amave simravleebisTvis aseTi Tviseba davasaxeloT: à≤b~. miviRebT orele-

mentian simravles:

D={(5; 5); (5; 7)}.moswavleebTan erTad vmsjelobT, Tu ra damokidebulebaa Cven mier Sedgenil C

da D simravleebsa da A×B dekartul namravls Soris. vRebulobT _ C da D qvesim-

ravleebia A×B simravlis _ C da D Sesabamisobebia A da B-s Soris.

vamaxvilebT moswavleTa yuradRebas ramdenime Tvisebaze,

romelic Sesabamisobas SeiZleba (aucilebeli ar aris) hqondes:

X-is yovel elements Seesabameba raime elementi Y-idan; X-is

raime elements Seesabameba Y-is erTze meti elementi; X-is

yovel elements Seesabameba Y-is erTaderTi elementi; X-is gan-

sxvavebul elementebs Y-is gansxvavebuli elementebi Seesabam-

eba; Y-is yoveli elementi aris X-is raime elementis Sesabamisi

da sxva. am Tvisebebis (an maTi nawilis) mqone Sesabamisobebis

mixedviT, maTi SedarebiT, sxvadasxva magaliTebis ganxilviT,

moswavleebs vacnobT cnebebs _ àsaxva~, `ze-asaxva~, ùrTierTcalsaxa Sesabamiso-

ba~, `Seqcevadi asaxva~, àsaxvis Seqceuli asaxva~. es cnebebi ilustrirebuli unda

iyos magaliTebiT _ gamoiyeneT paragrafSi warmodgenili sqemebi; magaliTad, su-

raTze warmodgenil SemTxvevaSi, yovel x-s (X-idan) Seesabameba garkveuli (erTad-

erTi) elementi Y-dan _ gvaqvs asaxva; amasTanave, yovel y-s (Y-idan) aqvs wina saxe

(erTi mainc) X-Si _ gvaqvs `ze~-asaxva; X-is or elements erTi da igive saxe aqvs

_ asaxva Seqcevadi ar aris. Y warmoadgens X simravlis saxes f asaxvisas _ f(X)=Y.

asaxvis kerZo saxeebidan gansakuTrebul mniSvnelobas vaniWebT Seqcevad asaxvas

da, Sesabamisad, Seqceul asaxvas. Tu f:X → Y Seqcevadia, maSin f-is Seqceul asaxvas

vuwodebT f(X) simravleze gansazRvrul iseT f–1 asaxvas, romelic yovel f(x) ele-

ments f(X)-dan `daabrunebs~ x-Si. amrigad, X-is yoveli x elementisTvis f–1(f(x))=x. Tu

asaxva urTierTcalsaxaa, maSin cxadia Y-is yoveli y elementisTvis f(f–1(y))=x, y=f(x).pedagogebma unda gaiTvaliswinon, rom terminebs àsaxva~ da `funqcia~, ZiriTa-

dad, gamoviyenebT xolme, rogorc sinonimebs, Tumca ricxviTi simravlis asaxvisas,

an `cvladebis~ terminebis gamoyenebisas upiratesobas `funqcias~ mivaniWebT. mag-

aliTad, `y cvladi x cvladis funqciaa~.

30

sasurvelia moswavleebs SeaxsenoT formuliT mocemuli zogierTi funqciis Se-

qceulis moZebnis etapebi. magaliTad, mocemulia f : X → Y, f (x)= 3x+27 . gamovsaxoT x

misi y saxis saSualebiT:

y= 3x+27 ⇒ x= 7y–2

3

Seqceul funqcias aqvs saxe: f –1:Y → X, f –1(y)= 7y–23 .

Tumca, Tu davubrundebiT tradiciul aRniSvnebs, CavwerT: f –1(x)= 7x–23 .


mizans sakontrolo kiTxvebisa da amocanebis gamoyenebiTac SeiZleba miaRwioT.

ecadeT moswavleebma kiTxvebze pasuxis gacemis dros moiyvanon Sesabamisi mag-

aliTebi, warmoadginon Sesabamisobebi sqemis saxiT.

amocanebis amoxsnisas, sasurvelia, moswavlem moaxdinos sakuTari arCevanis ar-

gumentireba Sesabamisi cnebis, Tvisebisa Tu magaliTis warmodgeniT.


simravleTa Soris Sesabamisobis, asaxvis cnebebi maTematikis umniSvnelovane-

si cnebebia; am cnebebis SinaarsSi safuZvliani garkveva da Sesabamisi gamoyenebis

unarebis ganviTareba zogadad maTematikis warmatebuli Seswavlis mniSvnelovani

nawilia.

migvaCnia, rom am aqtivobas saazrovno unarebis ganmaviTarebeli funqciac akis-

ria.


aqtivoba: debulebaTa dasabuTebis xerxebi ($ 1.8).

reziume: debulebaTa dasabuTebis adre naswavl xerxebs magaliTebis garCevis

saSualebiT vixsenebT da am xerxebis gamoyenebis axlebur nimuSebsac vixilavT.

aqtivobis mizani:

• davxvewoT moswavleTa logikuri msjelobis unari;

• gavamdidroT maTi codna damtkicebis axali xerxebiT;

• gavacnoT moswavleebs araerTi saintereso faqti maTematikis sxvadasxva naw-

ilidan _ am faqtebis damtkiceba msjelobis nimuSad mogvyavs.

aucilebeli wina codna

• moswavleebs unda hqondeT warmodgena pirobiTi winadadebis, induqciis, sawi-

naaRmdegos daSvebis meTodis Sesaxeb _ marTalia, paragrafis Teoriul nawilSi

am cnebebisa da faqtebis Sexsenebas garkveuli dro davuTmeT, magram axla ufro

safuZvlianad ganvixilavT sakiTxebs.

31

gakveTils pirobiTi winadadebis gaxsenebiT viwyebT _ swored am saxiTaa

umetes SemTxvevaSi Camoyalibebuli dasamtkicebeli debuleba. pirobiT winadade-

baSi gamovyoT piroba da daskvna _ moviSvelioT Sesaferisi magaliTebi; mniS-

vnelovania moswavleebi gavavarjiSoT sxva saxiT mocemuli debulebis pirobiTi wi-

nadadebis formiT CamoyalibebaSi; magaliTad, debuleba `martivi ricxvis kvadrats

sami gamyofi aqvs~ asec Camoyalibdeba _ `Tu ricxvi martivia, maSin mis kvadrats

sami gamyofi aqvs~.

debulebis pirobiTi winadadebis formiT Camoyalibeba sawinaaRmdegos daSvebis

meTodis gamoyenebis pirveli etapia: vTqvaT, vamtkicebT debulebas `Tu p, maSin q~;

vuSvebT sawinaaRmdegos _ `Tu p, maSin q~ da, Tu am daSvebis safuZvelze Catare-

buli msjelobiT (pirobiTi winadadebebis `jaWviT~) mivalT pirobis, an raime WeSma-

riti faqtis uaryofamde, davaskvniT _ Tavdapirveli debuleba WeSmaritia. meTo-

dis ilustrirebisas gamoiyeneT paragrafis pirvel nawilSi moyvanili magaliTebi.

am gakveTilze maTematikuri induqciis meTodis mxolod zogadi sqemis Camoya-

libebiTa da oriode magaliTis garCeviT SemovifargleT.

induqciis (sruli induqciis) meTodis gamoyenebis erT-erTi gadamwyveti momen-

tia gansaxilvel obieqtTa simravlis sasruli odenobis klasebad dayofa ise, rom

TiToeuli klasis obieqtebisTvis debulebis damtkiceba erTi sqemiT mimdinareob-

des. es gansakuTrebiT mniSvnelovania, roca debuleba gamoTqmulia usasrulo

simravlis obieqtTa mimarT. magaliTad, `nebismier n naturaluri ricxvisTvis n5–n

iyofa 5-ze~. debulebis WeSmaritoba dasamtkicebelia yoveli naturaluri n ricx-

visTvis. Tumca, xerxdeba n-is dayofa 5 klasad _ {5k | k∈n}, {5k–1 | k∈n}, {5k–2 | k∈n}, {5k–3 | k∈n}, {5k–4 | k∈n} _ da TiToeuli klasisTvis debulebis damtkiceba

gamartivebis teqnikaze daiyvaneba.


aqtivobis gafarToeba-gaRrmaveba sakontrolo kiTxvebiTa da amocanebiTac mi-

iRweva.

SevniSnoT, rom am paragrafis amocanebi Seexeba maTematikis sxvadasxva nawils

_ aq mniSvneloba eniWeba dasabuTebis xerxebis gamoyenebas da ara TviT debulebis

Tematikas.


maTematikis, rogorc deduqciuri mecnierebis ganviTareba, debulebebis damt-

kicebis (dasabuTebis) gziT xdeba. amasTanave, rac ufro mravalferovania sakvlevi

obieqtebi miT ufro mravalferovani da mZlavri unda iyos maTi kvlevis aparati,

maTematikuri debulebebis WeSmaritobis dadgenis xerxebi.

maTi floba da mocemuli amocanisTvis xelsayreli meTodis SerCeva saTanado

unarebis ganviTarebiT miiRweva.

naTelia, rom mocemuli aqtivoba saSualebas iZleva msjeloba-dasabuTebis

ramdenime xerxis ganxilvasTan erTad, Tvali gadavavloT nacnob faqtebsac da aR-

movaCinoT axali kanonzomierebebi maTematikis sxvadasxva nawilidan.

32


aqtivoba: xdomilobebze operaciebis gaxseneba da am operaciebis Tvisebebis

Seswavla ($ 2.2).

reziume: moswavleebi ixseneben operaciebs xdomilobebze _ jams, namravls;

saTanadod SerCeuli magaliTebis ganxilvis gziT ecnobian aRniSnuli operaciebis

Tvisebebs; iZenen am operaciaTa gamoyenebis Cvevebs.

aqtivobis mizani:

• xdomilobebze operaciebis _ jamisa da namravlis gaxseneba;

• aRniSnuli operaciebis Tvisebebis Seswavla magaliTebis garCevisa da Sede-

gebis ganzogadebis gziT;

• eqsperimentTan dakavSirebuli xdomilobis elementaruli xdomilobebiT

gamosaxvisas operaciebis gamoyenebis unar-Cvevebis ganviTareba.


• moswavle unda flobdes simravleTa Teoriis elementebs im moculobiT, rac

warmodgenilia §1.4-Si;

• unda hqondes xdomilobis cnebis Sinaarsze mkafio warmodgena.

• unda icnobdes eqsperimentis xdomilobaTa sivrcis agebis magaliTebs da Ta-

vadac gaaCndes saTanado unar-Cvevebi.

• xdomilobaTa albaTobis cnebis codna da albaTobis gamoTvlaze umartivesi

amocanebis amoxsnis unari.

I etapi: gavixsenebT raime eqsperimentis Sesabamis xdomilobebsa da maTze mo-

qmedebebis (operaciebis) Catarebis wesebs, rasac davakavSirebT am eqsperimentis

xdomilobaTa sivrcis qvesimravleebze moqmedebebs.

gaxsenebis process kiTxva-pasuxis saSualebiT warvmarTavT (isargebleT sax-

elmZRvaneloSi SemoTavazebuli SekiTxvebiT da SeavseT isini Tqveni survilisame-

br). pasuxebis komentari da analizi Tavad moswavleebis erToblivi gansjiT xdeba.

magaliTi 1-is ganxilvis saSualebiT SesaZlebelia Teoriuli codnis ilustrireba-

demonstracia.

gansakuTrebuli yuradRebiT movekidoT xdomilobaTa araTavsebadobis sakiTxs

_ mniSvnelovania moswavleebma xdomilobaTa araTavsebadoba daakavSiron am xdomi-

lobaTa Sesabamis xelSemwyobi elementaruli xdomilobebis simravleTa Tanaukve-

TobasTan (araTanamkveTobasTan). araTavsebadi xdomilobebis mniSvnelovani magali-

Tia xdomiloba da misi uaryofa _ A da A. amasTanave, es magaliTi imiTac aris

sayuradRebo, rom A + A aris aucilebeli xdomiloba (P(A + A)=1).

araTavsebadi xdomilobebisTvis samarTliania formula

P(A+B)=P(A)+P(B).sasurvelia am formulis WeSmaritobis demonstrireba magaliTebis saSualebiT.

II etapi. vixilavT Tavsebadi xdomilobebis SemTxvevas, anu xdomilobebs,

romelTa namravlis albaToba nuli ar aris. simravleTa TeoriaSi miRebuli gvqon-

da formula

n(A∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B),romelic asec Caiwereba:

n(A+B)=n(A)+n(B)–n(A.B).

33

Tu am tolobis yvela wevrs gavyofT xdomilobaTa sivrceSi elementebis ode-

nobaze, miviRebT

P(A+B)=P(A)+P(B)–P(A.B).sasurvelia ganamtkicoT am formulis codna paragrafis Teoriul nawilSi

moyvanili magaliTebis ganxilvis saSualebiT.

aqtivobis gafarToeba-gaRrmaveba:

aqtivobis gafarToeba-gaRrmavebis mizniT ganixileT sakontrolo kiTxvebi da

SemoTavazebuli amocanebi.

moswavleTa pasuxebis siswore TviT moswavleebma Seafason _ aseTi diskusiebi

mniSvnelovnad xvewen da ganamtkiceben moswavleTa codnas.

`testuri~ amocanebis amoxsnisas sasurvelia moswavleebs mosTxovoT xolme

arCevanis marTebulobis dasabuTeba, zogjer SeiZleba komentarebiTac dakmayo-

fildeT.

aqtivobis ganxilva-Sefaseba:

mocemuli aqtivoba mniSvnelovani nabijia Teoriuli codnis aTvisebasa da

gaRrmavebaSi, miTiTebuli sakiTxebis gamoyenebiTi aspeqtebis warmoCenasa da maTi

gadaWris gzebis ZiebaSi; es aqtivoba amzadebs safuZvels saswavlo programiT gaT-

valiswinebuli mravali sxva sakiTxis Sesaswavlad.


aqtivoba: operaciebi funqciebze. funqciaTa kompozicia ($ 4.2).

reziume: moswavleebi ecnobian funqciebze gansazRvrul operaciebs _ Sekre-

bas, gamoklebas, gamravlebas, gayofas. ixilaven formulebiT mocemuli funqciebis

jams, sxvaobas, namravlsa da ganayofs; ganixilaven funqciebis kompoziciasa da mis

kerZo SemTxvevas _ iteracias. iyeneben miRebul codnas praqtikuli amocanebis

gadawyvetisas.

aqtivobis mizani:

• funqciebze operaciebis Sesrulebis aTviseba;

• funqciebis kompoziciis agebis Cvevebis gamomuSaveba;

• funqciis Seqcevadobis dadgenisa da Seqceuli funqciis agebis unar-Cvevebis

SeZena;

• praqtikuli saqmianobidan an mecnierebis sxvadasxva dargebidan momdinare amo-

canebis gadawyveta – modelirebisas funqciis Tvisebebis gamoyenebis unar-Cvevebis

SeZena-ganviTareba;

• funqciisa da funqciaTa ojaxis Tvisebebis gamokvlevisa da am Tvisebebis gam-

oyenebiTi aspeqtebis kvleva, saTanado gamocdilebis SeZena.


• moswavle unda flobdes Sesabamisobebisa da maTi kerZo SemTxvevis _ asax-

vebis, Seqcevadi asaxvebis cnebebTan dakavSirebul codnas im moculobiT, rac war-

34

modgenilia § 1.6-Si. aucilebel cnebebsa da faqtebs moswavleebi erToblivad gaix-

seneben, urTierTdaxmarebiTa da pedagogis xelSewyobiT.

aqtivobis mimdinareoba:

gakveTils viwyebT funqciaTa Sekrebis gansazRvrebiT:

D(f+g)=D(f)∩D(g), (f+g)(x)=f(x)+g(x).cnebis aTvisebas ganvamtkicebT magaliTis garCeviT (magaliTi 1).Semdgom ganvsazRvravT funqciebis gamoklebas, namravlsa da gayofas; aqac

viSveliebT magaliTebs (magaliTebi 2, 3, 4).gansakuTrebuli yuradRebiT Semogvaqvs funqciaTa kompoziciis cneba _

(f °g)(x)=f(g(x)) xazgasmiT SevniSnoT, rom g funqciis mniSvnelobaTa simravle unda

iyos f funqciis gansazRvris aris qvesimravle.

f °g funqciis gansazRvris ares warmoadgens D(g).me-5 da me-6 magaliTebi saSualebas gvaZlevs formuliT mocemuli f da g fun-

qciebis kompozicia da Sesabamisi gansazRvris are avagoT.

calke gamovyofT SemTxvevas, roca f funqciis kompozicia imave f funqciasTan

xdeba _ aseT kompoziciasa da mis Sedegs ((f °f)-s) iteracias vuwodebT. SevniSnoT,

rom f funqciis iteracia maSin aris SesaZlebeli, roca arsebobs erTi mainc ar-

gumenti x∈D(f), rom f(x)∈D(f). iteraciasTan dakavSirebiT vixilavT wertilis iter-

aciul wertilebs _ x1-s ewodeba x0-is pirveli iteraciuli wertili, Tu f(x0)=x1;

x2 wertili x0-is meore iteraciuli wertilia, Tu x0=f(f(x0)) da a. S. iteraciuli

wertilebis povnis nimuSs me-7 magaliTSi warmovadgenT.

sasurvelia merve magaliTis garCevamde maswavlebelma klass ramdenime SekiTxva

dausvas:

• Tu arsebobs f °g funqcia, aucileblad arsebobs, Tu ara g °f funqcia?

(SeTavazeT moswavleebs Tavad moifiqron orive SemTxvevis magaliTi _ roca

g °f ganisazRvreba da roca g °f ar arsebobs. SesaZlebelia a) f(x)=x2, g(x)= √x , x>0 da

b) f(x)=–x2, g(x)= √x SemTxvevebis ganxilva).

• vTqvaT, gansazRvrulia f °g da g °f funqciebi. aucilebelia, Tu ara, rom nebis-

mieri x∈D(f °g)∩D(g °f) wertilisTvis Sesruldes toloba (f °g)(x)=(g °f)(x)?moswavleebi gamoTqvamen varauds, SesaZloa zogierTma maTganma Sesabamisi mag-

aliTebis warmodgenac SeZlos _ es magaliTebi aucileblad unda gaarCioT. Tu

maswavlebelma saWirod cno, SesaZlebelia me-8 da me-9 magaliTebis dawvrilebiT

garCeva.

me-9 magaliTiT igivuri funqciac warmovadgineT da urTierTSeqceuli fun-

qciebic ganvsazRvreT _ f-is da g-s urTierTSeqceuli funqciebi ewodeba, Tu f °g=I,

35

sadac I igivuri funqciaa. misi ganazRvris area g funqciis gansazRvris are. f-is

Seqceul funqcias ase aRvniSnavT: f–1.

• yvela funqcias aqvs Seqceuli? _ ara;

• aqvs Tu ara Seqceuli f(x)=x2, x∈(–∞; +∞) funqcias? _ ara, radgan nebismieri x∈(–∞; +∞) ricxvisTvis gvaqvs f(x)=f(–x).

• aqvs Tu ara Seqceuli f(x)=x2, x∈[0; +∞) funqcias? _ aqvs, f–1(x)= √x .

yuradRebiT gaarCieT me-10 da me-11 magaliTebi _ es xels Seuwyobs Seqcevado-

bisa da Seqceulis cnebebis aTvisebas.

Semdeg etapze vixilavT Seqceuli funqciis grafikis agebis sakiTxs. sasurvelia

moswavleebma Tavad aRmoaCinon Sesabamisi kanonzomiereba _ maswavlebeli sworad

dasmuli SekiTxvebiT exmareba maT:

• vTqvaT, x0∈D(f) da y0=f(x0). ekuTvnis Tu ara (x0; y0)) wertili f funqciis grafiks?

• Tu f(x0)=y0, maSin sworia Tu ara, rom f–1(y0)=x0?• ekuTvnis Tu ara (y0; x0) wertili f–1 funqciis grafiks?

• aris Tu ara (x0; y0) da (y0; x0) wertilebi y=x wrfis mimarT simetriulebi?

me-12 da me-13 magaliTebi masalis erTgvar SejamebaSi gvexmareba.


aqtivobis gafarToeba-gaRrmavebis mizniT ganixileT paragrafis meore nawilSi

SemoTavazebuli mravalricxovani amocanebi.

#30-#34 amocanebi iteraciis kargi magaliTebia; isini SeiZleba gamoviyenoT

maTematikis wrezec da gakveTilzec.


am Temis ganxilvis Sedegad moswavle iZens mniSvnelovan unar-Cvevebs, romelic

gamoadgeba rogorc wminda Teoriul-maTematikuri, ise praqtikuli saqmianobidan

an mecnierebis sxva dargebidan momdinare amocanebis gadawyveta-modelirebisas.


aqtivoba: sivrceSi dekartis koordinatebis ganxilva; sivrceSi veqtorisa da

veqtorebze moqmedebebis koodinatebiT warmodgena ($ 5.2, punqti 1).

reziume: moswavleebi ixseneben sivrceSi dekartis koordinatebis gansazRvras,

koordinatTa sistemis orientacias, koordinatTa RerZebis mgezav ortebs _ i -s,

j -sa da k-s; ecnobian i -s, j -sa da k-s wrfivi kombinaciiT nebismieri a=(x; y; z) veq-

toris warmodgenas:

a=x i +y j +zkda am warmodgenis gamoyenebiT amtkiceben ramdenime mniSvnelovan debulebas.

aqtivobis mizani:

• veqtoris sigrZisa da mimarTulebis, veqtorebze operaciebisa da maTi Tvise-

bebis geometriuli interpretirebis Cvevebis gamomuSaveba;

36

• koordinatebis gamoyenebis codnis SeZena, magaliTad, veqtorebisa da veq-

torebze operaciebis, sivrcis wertilebs Soris manZilis, wrfeebs Soris kuTxis

koordinatebiT gamosaxvisas;

• geometriuli debulebebis dasamtkiceblad da figuraTa zomebis dasadgenad

veqtorebis gamoyenebis unar-Cvevebis gamomuSaveba-ganmtkiceba;

• figuraTa geometriul Tvisebebsa da Sesabamis algebrul gamosaxulebebs So-

ris logikuri kavSirebis damyarebisa da am kavSirebis gamoyenebis gamocdilebis

miReba;

• sivrcis aRqmis gaRrmaveba;

• damoukideblad muSaobis unaris ganviTareba.

• sivrcis ganzomilebaze pirveli warmodgenebis gamomuSaveba.


• yvela saWiro cnebasa da debulebas, rasac viyenebT Teoriul nawilSi, moswav-

leebi maswavlebelTan erTad gzadagza erToblivad ixseneben.

aqtivobis mimdinareoba:

gakveTilis dasawyisSi vixsenebT sivrcul koordinatTa sistemas da mis or Ses-

aZlo orientacias _ marcxenasa da marjvenas:

marcxena sistema marjvena sistema

sasurvelia moswavleebs avuxsnaT am terminebis warmomavloba _ adamianis

marcxena da marjvena mtevnebze ceri, saCvenebeli da Sua TiTebis ganlagebasa da

Sesabamisi sistemebis RerZebis ganlagebas Soris msgavseba (gamoyeneT s rubrikiT

mocemuli masala):

Semdgom marjvena sameulebs ganvixilavT _ es SeTanxmebis Sedegia.

aRwerili wesiT SerCeuli koordinatTa sistemis mgezavi ortebia, Sesabamisad, i , j , k. amrigad, am veqtorebis koordinatebia

i =(1; 0; 0), j =(0; 1; 0), k=(0; 0; 1).

Tu M wertilis koordinatebi sivrceSi aris (x; y; z), maSin OM =(x; y; z) da

OM = x i +y j +zk (*)

x

y

37

mniSvnelovania kavSiri veqtorebze moqmedebebsa da veqtoris koordinatebs So-

ris:

Tu p=(x1; y1; z1), q=(x2; y2; z2), maSin

p+q=(x1+x2; y1+y2; z1+z2);p – q=(x1-x2; y1-y2; z1-z2).Tu p=(x; y; z), α∈R,maSin αp=(αx; αy; αz).

es faqtebi paragrafis Teoriul nawilSi debulebebis saxiTaa warmodgenili da

maTi damtkicebisTvis gamoiyeneT veqtoris (*) warmodgena. SesaZlebelia damtkice-

ba dafaze CavataroT da amisTvis romelime moswavle gamoviZaxoT, romelsac dae-

valeba klasSi mimdinare ganxilvis oponireba da dafaze asaxva.

paragrafis meore nawilSi vixsenebT veqtorebis skalarul namravls:

a ⋅ b =|a|⋅| b|⋅cosϕ, sadac ϕ aris kuTxe a-sa da b-s Soris.

skalaruli namravlis Tvisebebia:

1) a ⋅ b = b ⋅ a 2) (αa)⋅ b)=α(a⋅b), α∈R

3) (a+b)⋅c=a ⋅ c+b ⋅ c4) (αa +bb)⋅ (gc +δd) =αga⋅c + αδa⋅d + bgb⋅c + bδb⋅d, α, b, g, δ∈R.

mniSvnelovani Sedegia:

Tu a=(x1; y1; z1), b=(x2; y2; z2), maSin a⋅b=x1x2+y1y2+z1z2.am faqtis damtkicebisas gamoviyenoT veqtoris (*) warmodgena da skalaruli nam-

ravlis Tvisebebi:

a =x1 i +y1 j +z1k, b =x2 i +y2 j +z2k

a ⋅ b =x1x2 i ⋅ i +x1y2 i ⋅ j +x1z2 i ⋅k+y1x2 j ⋅ i +y1y2 j ⋅ j +y1z2 j ⋅k+z1x2k⋅ i +z1y2k⋅ j +z1z2k⋅k.

Tu gaviTvaliswinebT, rom i , j , k wyvil-wyvilad marTobuli ortebia

i ⋅ j = i ⋅k=...=k⋅ j =0:

amasTanave, i ⋅ i = j ⋅ j =k⋅k=1, maSin miviRebT;

a ⋅ b =x1x2+y1y2+z1z2.

am formulis gamoyenebiT miiReba or veqtors Soris kuTxis kosinusis gamosax-

uleba veqtorebis koordinatebis saSualebiT:

cosϕ= √x1

2+y12+z1

2 √x22+y2

2+z22

x1x2+y1y2+z1z2 .

SevniSnoT, rom a da b aranulovani veqtorebi TanamimarTulia mxolod maSin,

roca cosϕ=1; sawinaaRmdegodaa mimarTuli _ roca cosϕ=–1 da marTobulia, roca

cosϕ=0, anu x1x2+y1y2+z1z2=0.

38


aqtivobis gafarToeba-gaRrmavebis mizniT SeiZleba ganixiloT s rubrikiT Semo-

Tavazebuli masala, sakontrolo kiTxvebi da amocanebi.

moswavleTa pasuxebis siswore TviT moswavleebma Seafason _ es mniSvnelovania

maTi codnis daxvewa-ganmtkicebisTvis, agreTve oponirebis unaris gamomuSavebisT-

vis.

amocanebis didi nawili, rogorc yovelTvis, e. w. `testuri~ tipisaa _ moswavles

vTavazobT ramdenime savaraudo pasuxs, romelTagan unda SeirCes swori. Tumca,

sasurvelia, rom moswavlem pasuxis gacemisas, rogorc wesi, daasabuTos arCevanis

marTebuloba.


mocemuli aqtivoba aris sivrceSi veqtorebis gamoyenebis sawyisi etapi, Taname-

drove maTematikis erT-erTi mZlavri meTodis _ koordinatTa meTodis Seswavlis

pirveli seriozuli mcdeloba. sasurvelia moswavlem am gakveTilidan safuZvliani

codna da saTanado unarebis SeZena SeZlos, radgan aRniSnuli meTodebis floba

momavalSi Teoriuli da praqtikuli amocanebis gadaWris saSualebas miscems.

39

I Tavi

gameoreba. zogierTi saxis gantolebisa da utolobis amoxsna.simravlis asaxva

am TavSi ZiriTadad, adre naswavli sakiTxebis gameorebaa; ganvixilavT kvadratul

utolobas, utolobaTa sistemebs, kombinatorul analizs. 2011-2016 wlebis saswav-

lo gegmis moTxovnebis gaTvaliswinebiT ganxilulia iracionaluri gantolebebi da

grafTa Teoriis elementebi. mniSvnelovan yuradRebas vuTmobT sakiTxebis urT-

ierTkavSirebsa da gamoyenebebs. gameorebasTan erTad vzrunavT moswavleTa codnis

gaRrmavebasa da saTanado unarebis ganviTarebaze _ es gansakuTrebiT aqtualuria

damamTavrebel XII klasSi.

$1.1 utolobis amoxsna intervalTa meTodiT

mizani: funqciis Tvisebebis gamoyenebis unaris ganviTareba; niSanmudmivobis

Sualedebis dadgena da gamoyeneba, kvadratuli funqciis Tvisebebis gameoreba da

gamoyeneba. moswavleebma gaimdidron im praqtikuli amocanebis kvlevis aparati, romelTa maTematikuri modeli utolobebs ukavSirdeba.

winapirobebi. moswavleebma unda icodnen kvadratuli funqciis Tvisebebi; ni-

Sanmudmivobebis Sualedebisa da grafikis cneba; grafikis geometriuli Tvisebebi; funqciis nulebi, funqciis grafikis daxasiaTeba nulebisa da nulebs Soris yo-

faqcevis konteqstSi. kvadratuli samwevris daSla mamravlebad.

gakveTilis ZiriTadi miznis gacnoba.

moswavleebs SevaxsenebT, rom isini ukve icnoben kvadratul funqcias, ganxi-

luli hqondaT is praqtikuli amocanebic, romelTa gadawyvetas mivyavarT kvadrat-

uli funqciis gamokvlevamde _ vipovoT dadebiTobis an uaryofiTobis Sualede-

bi; amovxsnaT kvadratuli utolobebi. isini ukve icnoben kvadratuli funqciis

Tvisebebis gamoyenebiT kvadratuli utolobis amoxsnis xerxebs. Temis ganxilvis

mizania kvadratuli funqciis Tvisebebi davukavSiroT mis nulebs Soris funqciis

`yofaqcevas~ _ nulebs Soris funqcia inarCunebs niSans, amitom sakmarisia mniSvn-

elobis povna yoveli aseTi Sualedis erT romelime wertilSi. analogiuri Tvisebis

SeiZleba iyos sxva funqciebic. Temis Seswavlis mizania gamoviyenoT es meTodi

utolobebis amonaxsnTa simravlis sapovnelad. gavlil masalasTan kavSiris kon-

teqstSi ganvixilavT martiv utolobas, roca ori wrfivi mamravli gvaqvs: (x–1)(x–2)>0klasis winaSe davsvamT problemas: kvadratuli utolobis SemTxvevaSi niSan-

mudmivobis Sualedebis povnis gamoyenebiT utolobis amoxsnis xerxi gamoviyenoT

40

ufro rTuli utolobebis amosaxsnelad. aqve SeiZleba gamosakvlevad SevTavazoT

funqcia _ sami wrfivi mamravlis namravli _ (x–1)(x–2)(x–3) da ganvixiloT, magali-

Tad, utoloba

(x–1)(x–2)(x–3)>0.

moswavleTa aqtivobebi. moswavleebi SeiZleba davyoT jgufebad da SevTavaze-

bT sxvadasxva or-ori wrfivi mamravlis Semcvel utolobaTa ganxilvas, ricxviTi

wrfis intervalebad dayofisa da TiToeul intervalSi wrfivi mamravlebisa da

maTi namravlebis niSnis garkvevis gamoyenebiT.

am dakvirvebebis mixedviT moswavleebi Camoyalibeben wrfivi mamravlebis Sem-

cveli utolobebis amoxsnis algoriTms.

moswavleTa ZiriTadi aqtivobebi ukavSirdeba jgufebSi intervalTa meTodiT

ufro rTuli utolobebis amoxsnis algoriTmis povnas (saxelmZRvanelos magaliTe-

bi _ 1), 2) da 3)codnis gamyarebis mizniT klasSi Sesruldeba 2, 6, 11 da 12 amocanebi. 1, 3, 4, 5,

7-10 amocanebi amosaxsnelad moswavleebs saSinao davalebad miecemaT.

Semdegi gakveTili eTmoba Seswavlilis gameorebas, codnis ganmtkicebas da da-

narCeni amocanebis amoxsnas.

pasuxebi da miTiTebebi:

me-15, me-16, me-17 da me-18 savarjiSoebSi moswavleebi cxrilis daxmarebiT daad-

genen intervalebSi gamosaxulebis niSnebs da gamoiyeneben mas utolobebis amoxsnisas.

magaliTad, SevavsoT #17 amocanis cxrili:

(–∞; 6) 6 (6; +∞)x–6 – 0 +x2+2 + 38 +

(x2+2)(x–6) – 0 +

a) 3(x2+2) (x–6)>0 utolobis amonaxsnTa simravlea (6; +∞), b) –3(x2+2)(x–6)≥0 utoloba tolfasia (x2+2)(x–6)≤0 utolobis, amonaxsnTa simrav-

lea (–∞; 6].

22 a) mocemuli utoloba tolfasia x2-1>0 utolobis, radgan nebismieri x-isTvis

x2+1>0.

pasuxi: (-∞; -1)∪(1; +∞).

b) mocemuli utoloba tolfasia x(x–1)(x+5) ≤0 utolobis, radgan nebismieri x-

sTvis x2+2>0.

pasuxi: x∈(–∞; –5)∪[0; 1).

g) mocemuli utoloba tolfasia x2–4>0 anu (x–2)(x+2)>0 utolobis.

pasuxi: (–∞; –2)∪(2; +∞).

41

d) mocemuli utoloba tolfasia x(x+5)x–5 ≥0

utolobis.

pasuxi: x∈[–5;0]∪(5; +∞).

24 a), b), g) da d) utolobebi amoixsnas klasSi. maTi marcxena nawilebi erTnairia

da es umartivebs moswavles amonaxsnTa simravlisTvis x=5 wertilis mikuTvnebis

sakiTxSi garkvevas. oTxive utolobisTvis SeiZleba erTi RerZi gakeTdes, saTanado

intervalebTan erTad mivuTiToT marcxena mxaris gamosaxulebis niSnebi da amovxsnaT

utolobebi. TiToeul SemTxvevaSi aucileblad Semowmdes yvela sasazRvro wertili:a) (–∞; –3]∪[4; +∞),b) (–∞; –3)∪(4; 5)∪(5; +∞),g) (–3; 4),d) [–3; 4]∪{5}.

e), v), z) da T) utolobebis marcxena mxare gadavweroT (x–3)(x+1)2(x+9) saxiT (3

da –1 aris x2–2x–3 kvadratuli samwevris fesvebi) da amovxsnaT utolobebi a)_d) utolobebis msgavsad.

25 a) x-is nebismieri mniSvnelobisTvis x2+4x+5>0 (x2-is koeficienti dadebiTia, D<0. amave Sedegs mogvcemda samwevris warmodgena aseTi saxiT: (x+2)2+1). amrigad, sawyisi utoloba tolfasia x2+5x+4>0 utolobis. vpoulobT fesvebs: x1=–4, x2=–1

da vRebulobT: (x+1)(x+4)>0, saidanac intervalTa meTodiT davadgenT amonaxsnTa

simravles:(–∞; –4)∪(–1; +∞),

b) amovxsnaT (x–6)(x+6)(x–2)(x+2) <0 utoloba intervalTa meTodiT, miviRebT: (–6; –2)∪(2; 6).

g) martivi gardaqmnebiT vRebulobT mocemulis tolfas utolobas:

–x2–4x(x+1)(x–2) >0,

x(x+4)(x+1)(x–2) <0.

pasuxi: (–4; –1)∪(0; 2).

d) martivi gardaqmnebiT miviRebT mocemulis tolfas utolobas: 4x(2x–1)2(2x+1) ≥0.

intervalTa meTodiT amoxsnisas vRebu-

lobT:

pasuxi: (-∞;-12)∪[0;12)∪(12;+∞).

26 b) x2+x+4 dadebiTia nebismieri x-isTvis (x2-is koeficienti dadebiTia, D<0), amitom gadavdivarT sawyisi utolobidan Semdeg tolfas utolobaze:

(x+32)(x–13)≤0. pasuxi: [-32;13].

g) utoloba gadavweroT ase:

2(x+3)(x–12)

1 +2(x+3)(x–32)

1 >0.

gamartivebiT miviRebT:

(x+3)(x–12)(x–32)

x–1 >0,

+ – + +

42

saidanac intervalTa meTodiT vRebulobT amonaxsnTa simravles:

(-∞;-3)∪(12;1)∪(32;+∞).

d) mocemulis tolfasi utolobaa:

1(x–3)(x–4) -

3(x–3)(x+3) ≤0,

2x–15(x–3)(x–4)(x+3) ≥0.

saidanac, intervalTa meTodiT, vRebulobT amonaxsnaTa simravles:

(–∞; –3)∪(3; 4)∪[152 ;+∞).

27 a) mocemuli utolobis tolfasia

(x–1)2

x ≥0 utoloba.

pasuxi: (0; +∞).

b) mocemulis tolfasi utolobaa

(x–1)2

x >0.

pasuxi: (0; 1)∪(1; +∞).

g) (x–1)2

x <0

pasuxi: (–∞; 0).

d) (x–1)2

x ≤0

pasuxi: (–∞; 0)∪{1}.

28 a) utolobis marcxena mxaris gamartivebiT vRebulobT:

x2(x–2)–4(x–2)x(x–2) ≥0, (x2–4)(x–2)

x(x–2) ≥0.

cxadia, aq x≠2, amitom (x–2)-ze SekveciT mivi-

RebT

(x–2)(x+2)x ≥0, x≠2.

pasuxi: [–2; 0)∪(2; +∞).

b) gamartivebiT miviRebT:

(x2+2)(x+2)x2–4 <0, saidanac, x2+2

x–2 <0, x≠–2.

x2+2>0 nebismieri x-isTvis. miviReT,x–2<0, x≠–2.

pasuxi: (–∞; –2)∪(–2; 2).g) gamartivebiT miviRebT:

3x(x+3)(x–23)(x2+1)(3x–2) ≤0.

x2+1>0 nebismieri x-isTvis, amitom miviRebT:

1x(x+3)≤0, x≠23.

pasuxi: x∈(–3;0).

43

d) mocemulis tolfasi utolobaa:

2x+3x(2x–3)>0. pasuxi: (– 32;0)∪(32;+∞).

29 a) x2

x2+1 ≥0 utoloba sruldeba nebismieri x-sTvis,

b) x2+1x2 ≥0 utoloba sruldeba nebis mi eri x≠0-sTvis,

g) (x–5)(x+5)x(x–3)(x+3)≥0

pasuxi: x∈ [–5; –3)∪(0; 3)∪[5; +∞).

d) x2+25x(x2–9) ≥0 utoloba tolfasia x(x–3)(x+3)>0 utolobis.

pasuxi: (–3;0)∪(3; +∞)

30 a) (x–2)(x+2)x(x–3)2 ≥0

pasuxi: [–2; 0)∪[2; 3)∪(3;+ ∞)

b) (3x–1)2(2x–1)(2x+1)x(x2+4) ≥0 utoloba tolfa-

sia (3x–1)2(2x–1)(2x+1)x ≥0 utolobis, radgan

x2+4>0 utoloba sruldeba nebismieri x-sTvis.

pasuxi: [-12;0)∪{13}∪[12;+∞).

g) x2(1–x)(x+10)>0 utoloba amovxsnaT in-

tervalTa meTodiT:

pasuxi: (–10; 0)∪(0;1).

d) x2(x+3)(x+4)–2,5(x–3)(2x–3)≥0

pasuxi: [–4; –3]∪{0}∪(32;3).

31 a) x(x–√5 )(x+√5 )x(x2+5)

≤0, saidanac (x–√5 )(x+√5 )≤0, x≠0

pasuxi: [–√5 ; 0)∪(0; √5 ].

b) x(x2–3)(x+1)x(x–1) >0,

x(x–√3 )(x+√3 )(x+1)x(x–1)

>0.

pasuxi: (–√3 ;–1)∪(0;1)∪(√3 ; +∞).

g) (x–√10)(x+√10)x–π

≥0

pasuxi: [–√10; π)∪[√10; +∞)

44

d) x(x–√10)(x+√10)(x+4)(x–3)

≥0

pasuxi: (–4; –√10]∪[0;3)∪[√10; +∞).

32 wylis avzis zomebi aRvniSnoT x, x+5 da x+10-iT. misi moculoba meti unda

iyos x + 52 gverdis mqone kubis moculobaze:

x(x+5)(x+10)>( x + 52 )3

,

x(x+10)> x2+10x+258 , 8x2+80x>x2+10x+25, 7x2+70x–25>0, x1≈–10,35, x2≈0,345.

saidanac miaxloebiT

x<–10,35 an x>0,345.

virCevT x-is mniSvnelobebs (x2;+∞) Sualedidan. amrigad, pirobaSi miTiTebuli

saxis avzis fuZis mcire x gverdi SeiZleba iyos nebismier ricxvi (0,345; +∞) Sualedidan (miaxloebiT). fuZis meore gverdi da simaRle Sesabamisad gamoiTvleba.

pasuxi: x, x+5 , x+10, x∈(0,345;+ ∞).

33 Tu konteineris simaRles aRvniSnavT x-iT, maSin misi fuZis gverdebi iqneba

x+2 da x+6. pirobis Tanaxmad, kubis formis konteineris wiboa x da x3<8x(x+2)(x+6).x dadebiTi ricxvia, amitom vRebulobT

x2<8(x2+8x+12), 7x2+64x+96>0, x1≈–7,26, x2≈–1,89.saidanac miaxloebiT

x∈(–∞; –7,2)∪(–1,89; +∞). nebismieri dadebiTi x ricxvi am simravles ekuTvnis.

amrigad, moculoba nebismieri kubis, romelsac pirobaSi aRniSnuli forma aqvs, metia mocemuli paralelepipedis moculobaze 8-jer mainc.

jgufuri muSaoba

Tema: utolobis amoxsna sxvadasxva xerxiT.

jgufebs vurigebT amocanebs d ganvumartavT, rom naSromTa Sefaseba miT maRali

iqneba, rac ufro meti xerxiT amoixsneba amocanebi.

amoxsnis yoveli damatebiTi xerxis warmodgenisTvis jgufi daimsaxurebs dam-

atebiT qulebs. savarjiSoebi SeiZleba SeirCes jgufebis akademiuri donis gaTval-

iswinebiT.

am amocanebze muSaobis procesSi moswavleebi eCvevian: erTsa da imave sakiTxze

sxvadasxva mosazrebis gamoTqmas, sakuTari poziciis dacvas, xolo saTanado kontrma-

galiTebis gacnobisas _ poziciis Secvlas; msjelobis sajaro warmarTvas, jgufur

muSaobas. maT uviTardebaT analizisa da sinTezis unari. es rTuli saazrovno da

ganmaviTarebeli procesia.

a) amovxsnaT |x|>3 utoloba modulis Tvisebebis gamoyenebiT. ganvixiloT ori

SemTxveva:Tu x≥0, maSin x>3;Tu x<0, maSin –x>3, anu x<–3.

miviReT, x>3 an x<–3.

45

pasuxi: (–∞; –3)∪(3;+ ∞). |x| geometriulad gamosaxavs sakoordinato wrfis saTavidan im wertilamde

manZils, romlis koordinatia x. mocemul SemTxvevaSi |x|>3, saTanado wertilebi 3

erTeulze meti manZiliTaa daSorebuli saTavidan, amitom maTi x koordinatebisTvis

vRebulobT: x>3 an x<–3, anu x∈(–∞; –3)∪(3; +∞).

b) |x|<7.

Tu x≥0, maSin x<7;

Tu x<0, maSin –x<7, anu x>–7. SeiZleba

asec CavweroT:Z

[

\

]]

]]

x≥0 Z

[

\

]]

]]

x<0 x<7 an x>–7,saidanac –7<x<7.

pasuxi: (–7; 7).x aris saTavidan 7 erTeulze naklebi manZiliT daSorebuli wertilis koor-

danati, –7<x<7.

g) |x–5|≥10.

amovxsnaT SemTxvevebis ganxilviT:Z

[

\

]]

]]

x–5≥0 Z

[

\

]]

]]

x–5<0 x–5≥10, –(x–5)≥10,

saidanac x≥15 an x≤–5. pasuxi: (–∞; –5]∪[15; +∞)amoxsna SeiZleba a) SemTxvevaSi ganxilul utolobasac davukavSiroT, Tu Semo-

viRebT x–5=y aRniSvnas, miviRebT |y|≥10. saidanac y≥10 an y≤–10 anu x–5≥10, x≥15, an

x–5≤–10, x≤–5.

x aris im wertilis koordinati, romelic

x0=5 wertilidan 10-ze aranaklebi manZiliTaa

daSorebuli.

d) |2x–5|<3.

mocemuli utoloba davukavSiroT b) SemTxvevaSi warmodgenil utolobas. vTqvaT, 2x–5=y, maSin vRebulobT: |y|<3, saidanac miiReba –3<y<3, anu –3<2x–5<3, 2<2x<8, 1<x<4.

pasuxi: (1; 4).axla es utoloba amovxsnaT kvadratul utolobaze miyvaniT. utolobis orive

mxare arauryofiTia, aviyvanoT kvadratSi (gaixseneT: Tu a<b, a≥0, b≥0, maSin a2<b2).4x2–20x+25<9, x2–5x+4<0, (x–4)(x–1)<0,x∈(1;4).axla amoxsnisTvis geometriuli mosazrebebi gamoviyenoT. utoloba gadavweroT

ase:

|x–52|<32, rac niSnavs _ x koordinatis mqo-

ne wertili 52-is Sesabamisi wertilidan 32-ze

naklebi manZiliTaa daSorebuli:suraTidan TvalsaCinoa, rom 1<x<4.

e) |3x–6|>|x| (1)

46

aviyvanoT kvadratSi:

9x2–36x+36>x2, saidanac 2(x–3)(x -32)>0, x∈(-∞;32)∪(3; +∞).

• amovxsnaT igive utoloba SemTxvevebis ganxilviT. ricxviTi wrfe davyoT sam

Sua ledad da TiToeul maTganSi amovxsnaT utoloba.Z

[

\

]]

]]

x<0 Z

[

\

]]

]]

0≤x≤2 Z

[

\

]]

]]

x>2 –(3x–6)>–x –(3x–6)>x 3x–6>x.

miviRebT x<0, 0≤x<32, x>3. pasuxi: (-∞;32)∪(3; +∞).

mocemuli utolobis amonaxsnTa simravles mogvcems namdvil ricxvTa simrav-

lidan |3x–6|≤|x| utolobis amonaxsnebis gamoricxva. ganvixiloT es ukanaskneli

utoloba.

vRebulobT: |x|≥3|x–2|, anu M(x)-dan 0-mde manZili (|x|) metia an tolia M-dan 2-is

Sesabamis wertilamde manZilis gasammagebul sidideze.

suraTze isini daStrixulia.

darCa (-∞;32)∪(3; +∞).

v) |x–3|+|x–5|<3.x-is x=3 wertilze gavlisas x-3 niSans icvlis, x=5 wertilze gavlisas ki x–5

icvlis niSans. es wertilebi RerZs 3 Sualedad yofs. ganvixiloT 3 SemTxveva.Z

[

\

]]

]]

x<3 Z

[

\

]]

]]

3≤x≤5 Z

[

\

]]

]]

x>5 –(x–3)–(x–5)<3; x–3–(x–5)<3; x–3+x–5<3.miviRebT, Sesabamisad,52<x<3, 3≤x≤5, 5<x<11

2 . pasuxi: (52;

112 ).

geometriulad: M(x) RerZis is wertilebia, romelTagan 3-mde da 5-mde manZilebis

jami 3-ze naklebia. viyenebT geometriul warmodganas. miviRebT 3–12<x<5+1

2.

$1.2 utolobaTa sistema

mizani: im amocanebis amoxsnis unaris ganviTareba, romelTa amoxsna utolobaTa

sistemaze daiyvaneba; geometriuli warmodgenebis, simravleTa Teoriis cnebebis

gamoyeneba utolobaTa sistemis amoxsnisas.

winapirobebi: moswavleebma unda icodnen wrfivi da kvadratuli utolobebis

amoxsna, utolobis amonaxsnebis gamosaxva ricxviT wrfeze, simravleTa TanakveTa.

moswavleTa motivaciis mniSvnelobis gaTvaliswinebiT Temis ganxilva iwyeba

amocanis dasmiT; marTkuTxedis formis fotosuraTs, romlis zomebi cnobilia, vawebebT marTkuTxedis formis muyaos furcelze, ise, rom muyaos arSia erTnairi

siganis iyos. veZebT muyaos furclis zomebs (miaxloebiT _ 1 mm-mde sizustiT) im

47

pirobiT, rom arSiis farTobi ar iyos fotosuraTis farTobze naklebi da gaorma-

gebul farTobze meti.

moswavleTa yuradReba gavamaxviloT imaze, rom arSiis farTobs ori pirobis

dakmayofileba moeTxoveba, TiToeuli piroba Sesabamisi algebruli TanafardobiT

aRiwereba.

wina masalasTan kavSiris konteqstSi, vimeorebT kvadratuli funqciis yofaqce-

vas, grafiks da kvadratuli utolobis amoxsnis sqemebs.

moswavleTa ZiriTadi aqtivoba gakveTilze dasmuli amocanis maTematikuri mod-

elis agebas ukavSirdeba _ TiToeuli pirobis Sesabamisad, miiReba ori kvadratuli

utoloba, romelsac arSiis siganis aRmniSvneli, x cvladi unda akmayofilebdes.

maSasadame, veZebT x cvladis yvela im mniSvnelobas, romelic orive utolobas ak-

mayofilebs. saZiebeli simravle miiReba am utolobebis amonaxsnTa simravleebis

TanakveTiT. am daskvnamde misvlis Semdeg, moswavleebi advilad pouloben sistemis

amonaxsns da ayalibeben sistemis amoxsnis wess.

amis Semdeg moswavleebis aqtivobebi dakavSirebulia konkretuli sistemebis

amoxsnebis povnasTan. amisTvis SeiZleba gamoviyenoT saxelmZRvanelos Teoriul

nawilSi warmodgenili magaliTebi.

codnis ganmtkicebis mizniT sasurvelia SevTavazoT sakontrolo kiTxvebi da

ramdenime amocana, romelTa amoxsna did dros ar moiTxovs, magaliTad, 3, 6 da

9-is g.

saSinao davalebad SeiZleba SevTavazoT 1-2, 4-5 7-10 amocanebi.

codnis ganmtkicebisTvis saWiro muSaoba Semdeg gakveTilze grZeldeba. vxsniT

saxelmZRvaneloSi warmodgenil amocanebs.

erTi gakveTili SeiZleba davuTmoT jgufur muSaobas da SevTavazoT moswav-

leebs amocanebi, romlebic kvlevas, problemis gadawyvetisas arastandartul mid-

gomas, matematikuri modelis Seqmnasa da gamoyenebas gulisxmobs (amocanebi 19, 20, 24, 25, 26).

miTiTebebi amocanebis amosaxsnelad

2 sistemis I utoloba asec Caiwereba (2x–1)2≥0. cxadia, misi amonaxsnTa simravlea

(–∞;+∞). amitom sistemis amonaxsnebs warmoadgens II utoloba.

3 sistemis I utolobas amonaxsni ara aqvs, sistemasac ara aqvs amonaxsni.

4 sistemis I utolobas akmayofilebs x-is nebismieri mniSivneloba, amitom

sistemis amonaxsnTa simravle emTxveva II utolobis amonaxsnTa simravles.

5 (2x–1)2≤0 utolobas akmayofilebs erTaderTi mniSvneloba _ x=12. is II utolo-

basac akmayofilebs. e. i. sistemis amonaxsnia mxolod x=12.

6 mocemuli sistemis tolfasi sistemaaZ

[

\

]]

]]

(x–2)(x–6)≥0 (x–2)(x–6) (x–3)(x+1) ≤0

pasuxi: x∈[–1; 2]. (x–3)(x+1)

48

7 Z

[

\

]]

]]

(x–4)(x+3) ≤0 (x–4)(x+3) (x–4)(x+4)≥0

(x–4)(x+4)

utolobebis amonaxsnTa simravleebis TanakveTa erTelementiani simravlea _ {4}.

11 x2+1>0 da x2+x+1>0 utolobebs akmayofilebs x-is nebismieri mniSvneloba, amitom

e) sistema tolfasia v) tolfasiaZ

[

\

]]

]]

x–1≤0 Z

[

\

]]

]]

x–2>0 x(x–10)>0 sistemis, x(x+1,2)≥0 sistemis.

13 b) mocemulis tolfasi utolobaaZ

[

\

]]

]]

5(x–1,2)(x+5)≥0 (x+4)(x–1)<0gamovsaxoT maTi amonaxsnebi geometriulad

axla cxadia, rom am sistemas amonaxsni ara aqvs (sistema araTavsebadia).d) sistemis I utolobas ara aqvs amonaxsni, amitom sistemas ara aqvs amonaxsni.

e) sistemis I utolobas akmayofilebs x-is nebismieri mniSvneloba. amitom siste-

mis amonaxsni emTxveva II utolobis amonaxsns.

14 a) orive utolobas akmayofilebs x-is nebismieri mniSvneloba (pirvelis

D<0, meoris D=0).pasuxi: (–∞; +∞).

b) I utolobas akmayofilebs x-is nemismieri mniSvneloba (D<0), amitom sistemis

amonaxsni emTxveva II utolobis amonaxsns: (3x+1)2>0 utolobas akmayofilebs x-is

nebismieri mniSvneloba, garda x=– 13-isa.

pasuxi: (-∞;– 13)∪(–13;+∞).g) I utolobas _ (2x+1)2≤0 akmayofilebs x-is erTaderTi mniSvneloba x= – 12, ro-

melic II utolobasac akmayofilebs. pasuxi: {– 12}.

d) II utolobas _ (x–2)2≤0 akmayofilebs x-is erTaderTi mniSvneloba x=2, romelic

I utolobas ar akmayofilebs, amitom sistemas ara aqvs amonaxsni.

e) (x–1)2≤0 utolobis amonaxsnia x=1, romelic II utolobasac akmayofilebs.

pasuxi: {1}.

v) mocemulis tolfasi sistemaa:Z

[

\

]]

]]

(2x–3)2>0

5(x–1)(x–45)≥0

gamovsaxoT TiToeuli utolobis amonaxsnTa

simravle ricxviT RerZze da vipovoT maTi

TanakveTa:

pasuxi: (-∞;45)∪[1; 32)∪(3

2;+∞).

4

49

15 a) mocemulis tolfasi sistemaa

Z

[

\

]]

]]

(x–100)(x+3)>0 x(x–140)≤0, saidanac x∈(100; 140].

b) Z

[

\

]]

]]

(x–2,4)(x+1,5)≥0 (x–3)(x+2)<0, saidanac x∈ (–2; –1,5]∪[(2,4; 3).

g) Z

[

\

]]

]]

8(x–12)(x+54)<0

x(x–2)>0, x∈(– 54;0).d) Z[

\

]]

]]

2(x+12)(x+2)>0

(x+3)2≥0.II utolobas akmayofilebs x-is nebismieri mniSvneloba. sistemis amonaxsni emTx-

veva I utolobis amonaxsns: (–∞; –2)∪(– 12;+∞).

16 a) Z[

\

]]

]]

2x+3≥0 x2–4≥0, x∈[2; +∞).

b) Z[

\

]]

]]

3x2–10x+3>0 4x–x2≥0,

saidanac Z[

\

]]

]]

3(x–3)(x–13)>0

x(x–4)≤0, x∈[0; 13)∪(3; 4].

g) Z[

\

]]

]]

x–4≥0 Z

[

\

]]

]]

x≥4 9–(x–3)2>0 x(x–6)<0, x∈[4; 6).

d) aRsaniSnavia, rom Tu 2x2+x–15≥0, maSin mniSvneli nulis toli ar xdeba. metic, is ar aris 1-ze naklebi. amitom gansazRvris aris dasadgenad sakmarisia amovxsnaT

utolobaTa sistema:Z

[

\

]]

]]

(x+1)2–x≥0

2x2+x–15≥0. pasuxi: (–∞; –3]∪[152 ;+∞).

e) Z

[

\

]]

]]

11x–9–2x2≥0 2(x–92)(x–1)≤0

x2–6x+9>0 (x–3)2>0.II utolobas akmayofilebs nebismieri x, garda x=3, miviReT,x∈[1;3)∪(3;4,5].v) Z

[

\

]]

]]

9–4x2≥0 x≥0, saidanac x∈[0; 1,5].

z) Z

[

\

]]

]]

x≥0 Z

[

\

]]

]]

x≥0 √x ≠3 x≠9.pasuxi: [0;9)∪(9;+∞).

T) Z

[

\

]]

]]

x+3≥0 Z

[

\

]]

]]

x≥–3 √x+3≠5 x+3≠25.pasuxi: [–3; 22)∪(22; +∞).aRsaniSnavia, rom am savarjiSoebis amoxsnis gzebi arastandartulia da moiTxovs

moswavlisgan naswavli masalis kombinirebulad gamoyenebis unars.

50

17 ormagi utoloba tolfasia sistemis:a) Z

[

\

]]

]]

x2–9x≤0 b) Z

[

\

]]

]]

x2–9<0 g) Z

[

\

]]

]]

x2–3x–4<0 d) Z

[

\

]]

]]

x2+2x–3<0 x2–4>0 x2–1≥0 x2–3x+2≥0 x2+2x+1>0.

18 TiToeul SemTxvevaSi CavweroT mocemulis tolfasi ormagi utoloba da

Semdeg utolobaTa sistema:a) –3<x2–2x<3,

Z

[

\

]]

]]

x2–2x–3<0 x2–2x+3>0.II utolobas akmayofilebs x-is nebismieri mniSvneloba, I-is amonaxsnTa simravlea

(–1;3).b) –6<x2–10<6,

Z

[

\

]]

]]

x2–16<0 x2–4>0, saidanac vRebulobT: x∈(–4; –2)∪ (2;4).

g) –2<x2–x–4<2, Z

[

\

]]

]]

x2–x–6<0 x2–x–2>0, saidanac x∈(–2;–1)∪(2;3).

d) –3<x2–3x–1<3, Z

[

\

]]

]]

x2–3x–4<0 x2–3x+2>0, saidanac x∈(–1; 1)∪(2;4).

19, 20 savarjiSoebiT moswavles unviTardeba iseTi donis saazrovno unar–Cvevebi, rogoricaa analizi, sinTezi. mas mouwevs parametrebis yvela mniSvnelobis ganxilva, maTgan iseTis SerCeva, romelic amocanis pirobas akmayofilebs, parametris SerCeuli

mniSvnelobisTvis amocanis amonaxsnis povna.

` 19 utolobaTa sistema ase gadavweroT:

Z

[

\

]]

]]

(x–6)(x–3)≤0

x≥3a2

I utolobis amonaxsnTa simravlea [3;6]. Tu 3a2

>6, anu a>4, maSin utolobas amonaxsni ara aqvs.

es SemTxveva suraTze ase gamoisaxeba

Tu 3a2 =6, anu a=4, sistemas aqvs erTaderTi

amonaxsni: x=6.

Tu a<4, sistemas aqvs uamravi amonaxsni, amas-

Tanave

Tu 3<3a2 <6, maSin amonaxsnTa simravlea [3a

2 ;6],

Tu 3a2 ≤3, maSin amonaxsnTa simravlea [3;6].

20 Z

[

\

]]

]]

x(x–4)≥0 x(x+a)≤0.sistemis I utolobis amonaxsnia (–∞; 0]∪[4; +∞).cxadia, am sistemas x=0 akmayofilebs a-s nebismieri mniSvnelobisTvis, e. i. siste-

mas yovelTvis aqvs erTi mainc amonaxsni.

51

Tu 0≤–a<4, anu –4<a≤0, maSin utolobaTa sistemas

aqvs erTi amonaxsni: x=0.

Tu a=–4, sistemas mxolod ori amonaxsni aqvs, x=0 da x=4.

Tu –a>4 an –a<0, sistemas uamravi amonaxsni aqvs.

kerZod, –a>4 SemTxvevaSi x∈[4; –a]∪{0} (ixileT su-

raTi). –a<0 SemTxvevaSi x∈[–a; 0].

pasuxi: a) aseTi a ar arsebobs, b) Tu –4<a≤0, maSin aqvs mxolod erTi amonaxsni

x=0, g) aqvs uamravi amonaxsni, Tu a<–4 (maSin x∈[4; –a]∪{0}) an a>0 (maSin x∈[–a; 0]).

21 milis ganivi kveTis radiusia (santimetrebSi) d – 0,42 . pirobiT,

5000≤π(d – 0,42 )2

≤10000 (yvela monacemi sm-ebSia).

saidanac, Tu SemovitanT d – 0,42 =t aRniSvnas, miviRebT

Z

[

\

]]

]]

t2≤3184,71 t2≥1592,36 (miaxloebiT).t>0 pirobis gaTvaliswinebiT, 39,9<t<56,4, 80,2<d<113,2.

22 ferdi aRvniSnoT 2x-iT, maSin pirobiT,

10≤ 5 + 2x2 ⋅x√3≤15, 2x2⋅√3 +5x√3 –30≤0

20≤5x√3+2x2⋅√3≤30, 2x2⋅√3 +5x√3 –20≥0. gamovsaxoT am utolobebis amonaxsnebis simravleebi RerZze (miaxloebiT)

x>0 pirobis gaTvaliswinebiT miviRebT:x∈(1,23; 1,95),h=x√3 ,h∈(2,13; 3,29). aq SeiZleba `uxeSi~ miaxloebac. magaliTad, h∈(2,2; 3,2).

23 Tu navis sakuTar siCqares aRvniSnavT x-iT, dinebis mimarTulebiT siCqare

iqneba x+1, sawinaaRmdegod x–1. pirobiT, 3≤ 10x+1+ 6

x–1 ≤4.

gaviTvaliswinoT, rom x+1 da x–1 dadebiTi sidideebia da gavamartivoT utoloba: 3x2–3≤16x–4≤4x2–4.

–a

–a

52

es ormagi utoloba tolfasia

Z

[

\

]]

]]

4x2–16x≥0 3x2–16x+1≤0 sistemis, saidanac miaxloebiT x∈[4; 5,25].

21-23, 25, 26 amocanebSi damrgvalebis wesebis garda viTvaliswinebT _ amocanis

pirobebSi metobiTaa damrgvaleba gamarTlebuli, Tu naklebobiT.

24 a) gavixsenoT: Tu √a2 =a, maSin a≥0. mocemul gantolebas akmayofilebs x-is

nebismieri mniSvneloba, romlisTvisac x2–9≥0, x∈(–∞; –3]∪[3; +∞).b) –x2+7x–6≥0, x2–7x+6≤0, saidanac x∈[1;6].

25 a) vTqvaT, turistebi dRiurad xkm-is gavlas apirebdnen. amocanis maTemati-

kuri modeli aseTia

Z

[

\

]]

]]

6(x+5)>90 8(x–5)<90, saidanac 10<x<16,25.

pasuxi: turistebi apirebdnen dReSi 10 km-ze metis da 16,25 km-ze naklebis gavlas.

26 moednis sigrZe da sigane aRvniSnoT 5x da 3x-iT. pirobiT, 375≤15x2≤500,Z

[

\

]]

]]

x2≤3313

x2≥25, saidanac x>0 pirobis gaTvaliswinebiT miviRebT 5≤x≤5,7 (miaxloebiT). pasuxi: moednis zomebia (3x) da (5x), sadac x∈[5; 5,7].

jgufuri muSaoba

Tema: amocanebis amoxsna sinjvis xerxiT da kvadratuli utolobis SedgeniT.

jgufebs daurigebT dasaxelebul amocanebs da SesTavazebT amoxsnis xerxebs.

amoxsnis yoveli xerxis demonstraciisTvis jgufis wevrebi SeafaseT saTanado

qulebiT. amocanebis amoxsnis prezentaciisa da ganxilvis Semdeg saWiroa Catardes

msjeloba ama Tu im xerxis upiratesobaze mocemul konkretul SemTxvevaSi.

jgufuri muSaobis warmatebiT warmarTvisTvis moswavles unda SeeZlos: ricxvis

Cawera Tanrigis mixedviT (xy=10x+y), asoiTi gamosaxulebis gamartiveba, piTagoras

Teoremis gamoyeneba, marTkuTxedis farTobis gamoTvla, kvadratuli utolobis da

utolobaTa sistemis amoxsna.

a) vTqvaT, saZiebeli orniSna ricxvia xy=10x+y. pirobiTZ

[

\

]]

]]

(10x+y)(10y+x)<1620 10x+y+10y+x>80,

sadac y=x+4. miviRebT: Z

[

\

]]

]]

(11x+4)(11x+40)<1620 22x>36,

saidanac miaxloebiT x∈(1,6; 2,8). x cifria, amitom x=2, y=6.

pasuxi: 26.

53

pasuxi: 26.

pirobas akmayofilebs 52, 63 da 74.

sinjvis xerxi. cxrilSi CavweroT yvela SesaZlo ricxvi da SevarCioT is, ro-

melic amocanis pirobas akmayofilebs

xy yx namravli jami

15 51 765 6626 62 1612 8837 73 2701 11048 84 4032 13259 95 5605 154

b) vTqvaT, saZiebeli orniSna ricxvia xy=10x+y, sadac y=x–3, anu xy=11x–3. misi

momdevno ricxvia 11x–2. pirobiT,

Z

[

\

]]

]]

(11x–3)(11x–2)>2750 11x–3+11x–2<150,

saidanac miaxloebiT x∈(4,99;7,05).x da y cifrebia. amitom, x=5, 6 an 7.

pasuxi: 52, 63 an 74.

sinjvis xerxi. cxrilSi CavweroT yvela SesaZlo ricxvi da maTgan SevarCioT

misaRebi.

xy momdevno namravli jami

30 31 930 6141 42 1722 8352 53 2756 10563 64 4032 12774 75 5550 14985 86 7310 17196 97 9312 193

g) marTkuTxedis sigrZisa da siganisTvis SemoviRoT aRniSvnebi x+2 da x. pirobiT,

Z

[

\

]]

]]

x(x+2)<224 x2+(x+2)2>361,

saidanac miaxloebiT x∈(12,4; 14). pirobiT x naturaluria, e. i. x=13.

pasuxi: 13 da 15.

sinjvis xerxi.

marTkuTxedis gverdebi farTobi diagonali

3 1 3 √104 2 8 √205 3 15 √346 4 24 √527 5 35 √748 6 48 109 7 63 √130

10 8 80 √164

54

11 9 99 √20212 10 120 √24413 11 143 √29014 12 168 √34015 13 195 √39416 14 224

sinjva SevwyviteT, rogorc ki farTobi gaxda 224sm2. SeiZleba sinjva

naxtomebiTac ganvaxorcieloT. amocanis pirobebs akmayofilebs erTi SemTxveva, roca gverdebia 15 sm da 13sm.

vip

3 mricxveli unda iyos sruli kvadrati: (2x+3)2 an (2x–3)2, e. i. a=12, an a=–12.

4 diskriminanti D=a2+4>0. amrigad, a-s nebismieri mniSvnelobisTvis samwevrs

aqvs ori nuli.

5 cxadia, y = x2– 4x–2 funqciis gansazRvris ares x=2 wertili ar ekuTvnis.

SevkvecoT (x–2)-ze, miviRebT: y=x+2, x≠2. es aris wrfe, romlidanac `amogdebulia~

(2; 4) wertili.

6 x2+x+10>0 nebismieri x-isTvis, amitom nebismieri x amonaxsns warmoadgens.

7 magaliTad, a) (x+3)(x–5)>0, b) x(x–6)≤0,

g) x– 6x ≤0, d) x

x– 6 ≤0, e) 1x(x– 6)<0.

9 (–1;0) aris parabolis wvero, ordinatTa RerZs kveTs (0;–2) wertilSi. amitom

Stoebi qveviTaa mimarTuli _ a<0; c=–2.

10 y=(x+2)2 parabolis wveroa (–2; 0), manZili saTavemde 2 erTeulia.

11 saaTebis isari 9 saaTis niSnulidan gadax rilia 3 danayofiT

(yovel 12 wuTSi is gadaad gildeba 1 danayofiT) ∠AOB-s 12

danayofi Seesabameba, TiToeul danayofs _ 60-iani centruli

kuTxe. amrigad, ∠AOB=720.

gameoreba

1 Semcirebuli marTkuTxedis gverdebi iqneba 20–2x da 15–2x, farTobi _

(20–2x)(15–2x). x-is dasaSvebi mniSvnelobebia 0≤x<7,5.

2 I momatebis Semdeg fasi gaxda 1200⋅100+x100 lari, II momatebis Semdeg _

1200(100+x)100 ⋅100+x

100 lari, anu 1200⋅(100+x100 )2

=0,12x2+24x+1200.

55

3 pirobiT, parabolis Stoebi qveviT yofila mimarTuli _ a<0. maSin a–1<0, amitom |a–1|=1–a. maSin |a–1|=3 gantolebis tolfasia 1–a=3, a=–2.

4 wrfiv gantolebas uamravi fesvi aqvs, Tu a2–4=0 da a2+2a=0. orive

gantolebas akmayofilebs a=–2. x2+2x+1 kvadratuli samwevris diskriminati 0-ia, mas erTi nuli aqvs: x=–1.

5 wrfiv gantolebas ara aqvs fesvi, Tu 9a2–4=0 da 3a2–2a≠0, saidanac a=–23.

y=–23x2+2x funqciis nulebia x=0 da x=3.

6 parabolis wveroebia (2; –1) da (7; –10). maT Soris manZilia

√(7–2)2+(–10+1)2=√106 .

7 mniSvneli dadebiTia nebismieri x-isTvis. utolobas ar eqneba amonaxsni, Tu

nebismieri x-sTvis 3x2+2ax+(a+6)>0, anu D=a2–3(a+6)<0, saidanac a∈(–3; 6).

8 a) 5x2+14x–3≥0, saidanac x∈(–∞;–3]∪[15;+∞),

b) –3x2–2x+5≥0, saidanac x∈[–53;1],

g) –x2+3x–4≥0, utolobas amonaxsni ara aqvs,d) x2–4≥0, x∈(–∞;–2]∪[2;+∞).

9 a) |x+5|>0 nebismieri x≠–5-isTvis. amrigad, es mniSvneloba unda gamovricxoT

x–3>0 utolobis amonaxsnTa simravlidan. vRebulobT x>3, x∈(3;+∞).b) |x–3|>0 nebismieri x≠3-isTvis. amrigad, x+5>0 utolobis amonaxsnebidan unda

gamovricxoT x=3. miviRebT simravles (–5; 3)∪(3; +∞).g) radgan |x2+2x–3|≥0 nebismieri x-sTvis, amitom, mocemuli utolobis amonax-

snebs miviRebT x2+2x–3 samwevris nulebisa da x+4≤0 utolobis amonaxsnTa simravlis

gaerTianebiT. samwevris nulebia –3 da 1, x+4≤0 utolobis amoxsniT vRebulobT: x∈(–∞; –4]. amrigad, x∈(–∞;–4]∪{–3; 1}.

d) |x2–9|>0 nebismieri x≠3 da x≠–3-isTvis. amrigad, vxsniT utolobas x–10<0 da

vRebulobT pasuxs: x∈(–∞;–3)∪(–3;3)∪(3;10).

10 b) 2(x–2)(x–32)

(x–2)|x| ≥0, saidanac x–3

2≥0, x≠2, x≠0.

pasuxi: x∈[32; 2)∪(2;+∞).

e) radgan √5 –3<0, amitom vRebulobT: (x–2,5)(x+2)≥0.

x∈(–∞;–2]∪[2,5;+∞).

v) 0< √175– <1, amitom √175– – 1<0 da vRebulobT: 4x2–1<0. pasuxi: (–12;

12).

11 piroba `3x2–4kx+3>0 da kx2–2kx+3>0 nebismieri x-isTvis~ Sesruldeba, Tu am

samwevrebis diskriminantebi uaryofiTia da k>0: Z

[

\

]]

]]

k>0 4k2–9<0 k2–3k<0, saidanac k∈(0;32).

56

12 pirobiT, Z

[

\

]]

]]

a2+a>0 2a2–7a–4<0, saidanac a∈(0;4).

14 y=kx2–6x+7 funqciis grafiks ara aqvs saerTo wertili abscisaTa RerZTan,

Tu kx2–6x+7 kvadratul samwevrs ara aqvs nuli _ D<0, 9–7k<0, k∈(97;+∞).

16 D4=k2+2k+2 dadebiTia nebismieri k-sTvis. amitom, funqcias aqvs ori nuli

nebismieri k-sTvis.

17 a) marTkuTxedis gverdebia x da 40–x, farTobi S=x(40–x).b) S=–x2+40x=–(x–20)2+400. funqcia udides mniSvnelobas aRwevs, roca x=20. maSin

S=400. Tu gamoviyenebT geometriul mosazrebebs, maSin x-is saZebni mniSvnelobaa

funqciis grafikis _ parabolis wveros abscisa. x=402 =20. am wertilSi S=400.

18 nakveTis gverdebi aRvniSnoT x da (60–x)-iT. pirobiT farTobi udidesia.

S=–x2+60x kvadratuli funqcia udides mniSvnelobas aRwevs, roca x=602 =30. maSin

S=900.

19 marTkuTxedis gverdebi aRvniSnoT x da (a2 – x)-iT. S=–x2+a2 x. me–18 amocanis

msgavsad vRebulobT: funqcia udides mniSvnelobas aRwevs, roca x= – a2⋅(–2)=

a4 , anu

marTkuTxedi kvadratia. am sami amocanis ganxilvis Semdeg kidev erTxel SevajamebT

miRebul Sedegs:

erTi da imave perimetris mqone marTkuTxedebidan udidesi farTobi

kvadrats aqvs.

20 x sT-is Semdeg horizontalur RerZze moZravi sxeuli 0-dan daSorebuli

iqneba (5+40x)km-iT, vertikalur RerZze moZravi sxeuli _ (12–60x)km-iT. piTagoras

Teoremis gamoyenebiT gamovTvaloT maT Soris manZili: √(5+40x)2+(12–60x)2 .vTqvaT, y=(40x+5)2+(12–60x)2, y=5200x2–1040x+169 kvadratuli funqcia umcires mniSvnelobas aRwevs, roca

x= 10402⋅5200= 1

10 (sT). pasuxi: 6 wuTis Semdeg.

22 b) Z

[

\

]]

]]

x≥0 √x –3≠0 2x2–29x+104≥0, saidanac x∈[0;6,5]∪[8;9)∪(9;+∞).

d) Z

[

\

]]

]]

x(x+1)x–2 ≥0

x–4≠0, saidanac x∈[–1;0]∪(2;4)∪(4;+∞).

57

sakontrolo wera

SearCieT swori pasuxi:

1. cnobilia, rom a(x2–4)(x+3)≥0 utolobis amonaxsnTa simravlea

(–∞;–3]∪[–2;2]. maSin

1) a>0 2) a=0 3) a<0 4) a nebismieria.

2. 2x2+5x–3x ≥0 utolobis amonaxsnTa simravlea

1) (–∞; –3]∪(0;0,5] 2) [–3; 0)∪[0,5; +∞)3) (–∞; –3)∪[0;0,5) 4) (–3; 0]∪(0,5; +∞).

3. (x+1)2(x–5)(x–0,5)≤0 utolobis amonaxsnTa simravlea

1) [0,5;5] 2) [–1;0,5]∪{5}

3) (–∞;–1)∪(–1;0,5)∪(5;+∞) 4) [0,5;5]∪{–1}.

4. Z

[

\

]]

]]

4x2–4x+1≥0 x2–4x>0 utolobaTa sistemis amonaxsnTa simravlea

1) [12;+∞) 2) (–∞; 0)∪(4;+ ∞) da x=12

3) (–∞; 0)∪(4; +∞) 4) (0;4).

5. Z

[

\

]]

]]

x2+x≤0 x2–ax≤0 sistemas aqvs erTaderTi amonaxsni

1) Tu a<0 2) mxolod maSin, roca a=03) mxolod maSin, roca a>0 4) Tu a≥0.

6. y=√x2–9 +√4–x2 funqciis gansazRvris area

1) (–3;–2)∪(2;3) 2) ∅3) (–∞;–3)∪(3;+∞) 4) (–2;2).

amoxseniT amocanebi:

7. amoxseniT utoloba: x3x+2 <

–1x–1 .

8. vTqvaT, kvadratis ori mopirdapire gverdidan TiToeulis sigrZe 2 sm-iT

gavzardeT, danarCeni ori gverdidan TiToeulis sigrZe _ 1 sm-iT SevamcireT.

miRebuli marTkuTxedis farTobi mocemuli kvadratis farTobze meti aRmoCnda.

ipoveT kvadratis gverdis SesaZlo umciresi mTeli mniSvneloba.

pasuxebi da miTiTebebi:

1. a<0. 2. x∈[–3; 0)∪[12;+∞). 3. x∈[0,5;5]∪{–1}.

4. I utolobas akmayofilebs nebismieri x, amitom sistemis amonaxsnTa simravle

emTxveva II utolobis amonaxsnTa simravles: (–∞;0)∪(4;+∞)

5. a≥0

6. Z

[

\

]]

]]

x2–9≥0 4–x2≥0 sistemas ara aqvs amonaxsni. pasuxi: ∅.

58

$1.3. iracionaluri gantolebis amoxsna

mizani. problemis gadawyvetisas iracionaluri gantolebis Sedgenisa da amoxs-

nis Cvevebis daufleba; iracionaluri gantolebis amoxsnisas tolfasi gantolebis

miRebis gaazreba, gareSe fesvis aRmoCenis unaris ganviTareba, koordinatTa meTo-

dis gamoyeneba.

winapirobebi. sibrtyeze koordinatebisa da or wertils Soris manZilis cod-

na; samkuTxedis utolobis, wrfis gantolebis, wrfis RerZebTan gadakveTis povnis

codna; gantolebaTa tolfasobis codna.

moswavleTa motivaciis konteqstSi gakveTili amocanis dasmiT iwyeba. am amo-

canis amoxsnas mivyavarT iseTi gantolebis amoxsnis Ziebaze, romelSic x cvladi

kvadratuli fesvis qveSaa.

moswavleTa aqtivobebi dakavSirebulia sxvadasxva tipis iracionaluri gan-

tolebebis amoxsnebTan, zogi gantolebis amoxsnisas warmoiSveba gareSe fesvi, yu-

radRebas vamaxvilebT gareSe fesvis warmoSobis mizezebis axsnaze _ kvadratSi ay-

vanisas SeiZleba ar miviRoT mocemuli gantolebis tolfasi gantoleba. am faqtis

ilustracia SeiZleba martiv magaliTze _ x–2=0, x2=4, am ukanasknels aqvs ori

fesvi _ x=2 da x=–2, maTgan pirveli gantolebis (x=2 gantolebis) fesvi mxolod

x=2-ia. martivi magaliTis ganxilviT, SeiZleba iseTi magaliTis moyvanac, roca gar-

eSe fesvi ar warmoiSveba _ √x = √6 gantoleba misi orive mxaris kvadratSi ayvaniT

miRebuli x=6 gantolebis tolfasia. aqve gavamaxviloT yuradReba imaze, rom kvad-

ratSi ayvanisas miRebuli gantoleba mocemuli gantolebis Sedegia _ mocemuli

7. mocemuli utolobis tolfasi utolobaa:

3x2+2x+2(3x+2)(x–1) <0,

x2+2x+2>0 nebismieri x-isTvis, miviReT

(3x+2)(x–1)<0,

pasuxi: (– 23; 1).8. kvadratis gverdi aRvniSnoT x-iT. markuTxedis gverdebi iqneba x+2 da x–1.

pirobiT, (x+2)(x–1)>x2, saidanac x>2. x-is umciresi mTeli mniSvnelobaa 3.

pasuxi: x=3.

Sefasebis sqema:

testuris tipis amocanebidan (1-6) TiToeulis swori pasuxi Sefasdes 1 quliT.

me-7 da me-8 amocanebidan TiToeulis srulyofili amoxsna Sefasdes 2 quliT, Tumca

SeiZleba am amocanebis nawilobrivi Sefasebac.

Tu magaliTad, me-7 amocanis amoxsnisas moswavlem utolobis orive mxare

gaamravla (3x+2)(x–1)-ze da amiT gadavida kvadratuli utolobis amoxsnaze, maSin Semdgomi swori msjeloba SeiZleba Sefasdes 0,5 quliT. Tu moswavlem

gaerTmniSvnelianebiT miRebuli wiladuri gamosaxulebis mniSvnelis nulebic

SeinarCuna da sxva Secdoma ar mosvlia, SeiZleba SevafasoT 1,5 quliT.

59

gantolebis yvela fesvi miRebulis fesvebia da mocemuli gantolebis fesvebi am

fesvebSi unda veZioT, amitom sakmarisia CavataroT Semowmeba da aRmovaCinoT gar-

eSe fesvebi, Tu isini arsebobs.

miTiTebebi:

2 SeiZleba amovxsnaT gantoleba da Semdeg SevarCioT gareSe fesvi:x=-2 akmayofilebs mocemul gantolebas, _ is fesvia.

x=2 mocemul gantolebas ar akmayofilebs _ is gareSe fesvia.

8 g) orive mxaris kvadratSi ayvaniT miviRebT x2-7x+9=0 kvadratul gantolebas,

romlis fesvebia x1= √137+2 ,x2= √137–

2 . cxadia, √137+2 >3 da amitom mocemuli gantolebis

marjvena mxare uaryofiTia, x1 gareSe fesvia.

pasuxi: √137–2 .

d) kvadratSi ayvanis Semdeg miRebuli kvadratuli gantolebis fesvebia:

x1= 8√9715+ da x2= 8

√9715– . x2<1 da mocemuli gantolebis marjvena mxare uaryofiTia,

x2 gareSe fesvia. pasuxi: 8√9715+

.

9 b) II gantolebis fesvebia 1+√2 da 1–√2 .

I gantoleba tolfasia |x|2–2|x|–1=0 gantolebis, saidanac |x|=1+√2 da x1=1+√2 , x2=–1–√2 . gantolebebi ar aris tolfasi.

g) da d) savarjiSoebi sasurvelia erTad amoixsnas. SesaZloa am savarjiSoebs

moyves msjeloba √f g da √f ⋅√g gamosaxulebebis Sesaxeb. SeiZleba sxva saintereso

magaliTebis moyvana. magaliTad, √(x–5)(x–3) gamosaxulebis gansazRvris area (3; 5), √x–5 ⋅√x–3 gamosaxulebis _ ∅.

10 e) gantoleba ase gadavweroT:x2–3x+4+3 √x2–3x+4 –10=0 da SemoviRoT aRniSvna √x2–3x+4 =y. miviRebT, y2+3y–10=0,

y1=–5, y2=2. maTgan SevarCevT mxolod y2=2. amrigad, √x2–3x+4 =2, saidanac x=0 an x=3.

11 a) y=√x–15-√12–x funqciis gansazRvris are _ mocemul gantolebaSi x cv-

ladis dasaSveb mniSvnelobaTa simravle carieli simravlea:Z

[

\

]]

]]

x–15≥0 Z

[

\

]]

]]

x≥15 12–x≥0 x≤12, ∅.

b) gantolebis marcxena mxare ar aris naklebi 1-ze (ori arauaryofiTi ricxvisa

da 1-is jamia), amitom 0-is toli ar gaxdeba.

g) marcxena mxare ar aris naklebi √3 -ze, marjvena ki 1-ia.

d) dasaSvebi mniSvnelobebisTvis 3–x≥0, x≤3. x-is am mniSvnelobebisTvis marcxena

mxare arauaryofiTia, marjvena mxare uaryofiTia.

60

e) dasaSveb mniSvnelobaTa simravles gansazRvravs sistema:Z

[

\

]]

]]

2x–6≥0 3–x≥0, x=3, romelic gantolebas ar akmayofilebs.

v) dasaSveb mniSvnelobaTa simravlea [4; +∞). x-is am mniSvnelobebisTvis √x ≥2,√x+5 ≥3; marcxena mxare ki naklebia 5-ze.

am savarjiSoebze muSaobisas moswvales uviTardeba kvlevisa da analizis unari, alternatiuli gzebidan racionaluri gzis moZiebis unari. garkveulwilad, am ti-

pis amocanebiT jamdeba mravali sakiTxis codna _ masSi integrirebulia algebris, analizisa da geometriis sakiTxebi.

12 a) mocemuli gantolebis tolfasi gantolebaa: |x+4|=(x–4)(x+4),

saidanacZ

[

\

]]

]]

x+4≥0 an Z

[

\

]]

]]

x+4<0 x+4=(x-4)(x+4) –(x+4)=(x–4)(x+4).

I sistemis amonaxsnebia x=–4 da x=5, II sistemas amonaxsni ara aqvs.

d) da e) gantolebebis kvadratSi ayvaniT miiReba x2-6x+5=0 gantoleba, romlis

fesvebia x=5 da x=1.

d) SemTxvevaSi gareSe fesvia x=1, e) SemTxvevaSi gareSe fesvia x=5.

13 SemoviRoT aRniSvnebi: a) SemTxvevaSi 2x– 1x+2 = y.

b) SemTxvevaSi √2x– 1√x+2

= y. miviRebT y+ 2y =3 gantolebas, saidanac y=2 an y=1.

a) SemTxvevaSi 2x– 1x+2 = 2 an 2x– 1

x+2 = 1, saidanac x1=–4,5, x2=3.

b) SemTxvevaSi √2x– 1√x+2

= 2 an √2x– 1√x+2

= 1, saidanac x1=–4,5, x2=3. x1 gareSe fesvia.

pasuxi: x=3.

16 mizani. koordinatTa meTodis, geometriuli warmodgenebis, algebruli

xerxebis gamoyenebis unaris ganviTareba; iracionaluri gantolebis amoxsnis mag-

aliTiT sxvadasxva maTematikuri meTodis gamoyenebis unaris ganviTareba. jgufebs

gavunawilebT or davalebas: a), g) da b), g). es davalebebi erTgvarad Semajamebeli

xasiaTisaa da erToblivi-jgufuri, intensiuri ganxilvisTvis misadagebuli. xaz-

gasmiT unda ganvumartoT jgufebs, rom maT moeTxovebaT amoxsnis alternatiuli

gzebis demonstrireba. Sefasebac swored am moTxovnebis Sesabamisad moxdeba. Tumca

pedagogma uyuradRebod ar unda datovos moswavleTa yoveli racionaluri nabiji

da asaxos es SefasebebSi. mniSvnelovania miRebuli Sedegebis prezentaciis xarisxis

gaTvaliswinebac, erTmaneTis oponireba da jgufebSi saboloo Sedegis aRqmis done.

a) gadavweroT gantolaba ase: √x2+4 + √(x+5)2+9=5√2 .

am tolobas SeiZleba aseTi geometriuli warmodgena davukavSiroT: sakoordi-

nato sibrtyeze: M(x; 0) wertilidan (abscisaTa RerZis wertilidan) A(0;2) da B(-5;-3) wertilebamde manZilebis jamia 5√2 .

61

MA+MB=5√2 , TviT AB monakveTis sigrZec _ AB=5√2 , amrigad M∈AB.Tu AB wrfis gantolebaa y=kx+b, maSin Z

[

\

]]

]]

2=k⋅0+b –3=–5k+b, saidanac b=2, k=1.

y=x+2 wrfis abscisaTa RerZTan gadakveTis wertilia (–2;0). pasuxi: x=–2.

II xerxi. aviyvanoT mocemuli gantoleba kvadratSi: √x2+10x+34 2=(5√2 –√x2+4)2.

gamartivebis Semdeg gantoleba CavweroT ase: √2(x2 +4) =2–x,misi kvadratSi ayvaniT miviRebT: x=–2.

b) mocemul tolobas SeiZleba aseTi geometriuli warmodgena davukavSiroT:I da III sakoordinato kuTxeebis biseqtrisaze (y=x wrfeze) mdebare M wertilidan

A(1;6) da B(4;2) wertilebamde manZilebis jami 5-ia. vipovoT yvela aseTi wertili.

Tu AB wrfis gantolebaa y=kx+b, maSin Z

[

\

]]

]]

6=k+b

2=4k+b, saidanac k= –

43 , b=22

3 .

radgan AB=5, MA+MB=5, amitom M aris AB da y=x wrfeebis gadakveTis wertili:Z

[

\

]]

]]

y=x,

y= –

43x+22

3 , saidanac x=227 .

II xerxi. mocemuli gantoleba aviyvanoT kvadratSi.

√2x2–14x+37 2=(5–√2x2–12x+20 )2,

5√2x2–12x+20 =x+4,

kvlav kvadratSi ayvaniT miiReba: (7x–22)2=0, x=227 .

x-is es mniSvneloba mocemuli gantolebis fesvia.

g) utoloba ase gadavweroT:

√(x–3)2+1+√(x–2)2+4≤√10 .am utolobas SeiZleba aseTi geometriuli warmodgena davukavSiroT: x RerZze

mdebare M(x;0) wertilidan A(3;1) da B(2;–2) wertilebamde manZilebis jami ar aRemateba

√10 -s. MA+M≤AB, vpoulobT AB monakveTis sigrZes _ AB=√10 . am ori pirobidan

gamomdinareobs: MA+MB≤√10 . maSin M Zevs AB monakveTze _ M aris AB wrfisa da

x RerZis gadakveTis wertili. AB wrfis gantolebaa y=3x-8. es wrfe x RerZs kveTs

wertilSi, romlis koordinatebia:

y=0, x=83.

II xerxi. √(x–2)2+4≤√10 –√(x–3)2+1 , (*)fesvqveSa gamosaxulebebi nebismieri x-isTvis dadebiTia. ganvixilavT x-is im

mniSvnelobebs, romlebisTvisac √10 ≥ √x2–6x+10, anu x2–6x≤0, x∈[0;6]. (*) utolobis kvadratSi ayvaniT miviRebT

x2–4x+8≤10–2√10(x2–6x+10)

√10(x2–6x+10)≤6–x, am utolobis orive mxare arauaryofiTia (gavixsenoT, rom ga-

nixileba x∈[0;6]). kvadratSi ayvaniT miviRebT: (3x-8)2≤0

saidanac x=83. cxadia, 8

3∈[0;6].

pasuxi: 83.

62

17 I xerxi. mocemuli gantoleba ase gadavw-

eroT: √(x–1)2+4+√(x–8)2+25≤7√2 . movZebnoT abscisaTa

RerZze iseTi A(x; 0) wertili, romlidanac B(1; ±2) da C(8; ±5) wertilebamde manZilebis jamia 7√2 . B

da C wertilebis ordinatebis niSani calsaxad araa

gansazRvruli, radgan CvenTvis maTi kvadratebia

cnobili. Tumca, (1; 2) da (1; –2), agreTve (8; 5) da

(8; –5) wertilebi OX RerZis mimarT simetriulia da

amitom am RerZis nebismieri wertilidan erTi da

imave manZilebiTaa daSorebuli.

ganvixiloT B(1; 2) da C(8;–5) SemTxveva; maSin

AB=√(x–1)2+4, AC=√(x–8)2+25, BC=√72+72=7√2 .

pirobiT, AB+AC=BC, rac niSnavs, rom A wertili

BC monakveTs ekuTvnis. vTqvaT, y=kx+b

aris BC wrfis gantoleba.

maSin Z

[

\

]]

]]

2=k+b –5=8k+b, saidanac k=–1, b=3.

BC wrfis gantolebaa y=–x+3.

am wrfis OX RerZTan gadakveTis wertilia (3; 0). maSasadame, x=3.

II xerxi.

√x2–2x+5 +√x2–16x+89 =7√2 .es gantoleba ase gadavweroT: √x2–16x+89 =7√2 –√x2–2x+5 .tolobis orive mxare aviyvanoT kvadratSi.

x2–16x+89=98–14⋅√2 ⋅√x2–2x+5 +x2–2x+5

–14x–14=–14 √2x2–4x+10

x+1=√2x2–4x+10 .Tu x+1³0, maSin

x2+2x+1=2x2–4x+10 x2–6x+9=0 (x–3)2=0 x=3cvladis es mniSvneloba akmayofilebs yvela pirobas.

pasuxi: x=3.

matematika xii inteleqti tbilisi 2012 guram gogisvili teimuraz vefxvaze, ia mebonia, lamara...

Documents