perbandingan penaksir metode kaplan-meier dan …/per... · metode modifikasi kaplan-meier pada...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

PERBANDINGAN PENAKSIR METODE KAPLAN-MEIER DAN

METODE MODIFIKASI KAPLAN-MEIER PADA ANALISIS TAHAN

HIDUP PENDERITA LEUKEMIA DI RSUD Dr. MOEWARDI SURAKARTA

oleh

AHMAD ISNAINI HASAN

NIM. M0106024

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2011


commit to user

ii


commit to user

iii

ABSTRAK

Ahmad Isnaini Hasan, 2011. PERBANDINGAN PENAKSIR METODE

KAPLAN-MEIER DAN METODE MODIFIKASI KAPLAN-MEIER PADA

ANALISIS TAHAN HIDUP PENDERITA LEUKEMIA DI RSUD Dr.

MOEWARDI SURAKARTA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Sebelas Maret.

Leukemia merupakan penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan

sel darah putih yang sangat cepat dan tidak terkendali. Probabilitas tahan hidup

penderita leukemia dapat dicari dengan penaksir metode Kaplan-Meier dan

metode modifikasi Kaplan-Meier. Penelitian ini membandingkan estimasi fungsi

tahan hidup pada penderita leukemia menggunakan penaksir metode Kaplan-

Meier dan dengan metode modifikasi Kaplan-Meier. Penaksir Kaplan-Meier

dimodifikasi dengan menggunakan pendekatan dari fungsi tahan hidup distribusi

Weibull.

Berdasarkan hasil penelitian diketahui bahwa nilai estimasi dengan

penaksir modifikasi Kaplan-Meier terlihat lebih baik dan lebih masuk akal

dibanding penaksir Kaplan-Meier. Selain itu dari studi simulasi diketahui bahwa

nilai mean square error (MSE) dari penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier

lebih kecil daripada metode Kaplan-Meier. Hal ini menunjukkan bahwa penaksir

modifikasi Kaplan-Meier lebih baik dibanding penaksir Kaplan-Meier biasa.

Kata kunci : leukemia, probabilitas tahan hidup, penaksir Kaplan-Meier, MSE.


commit to user

iv

ABSTRACT

Ahmad Isnaini Hasan, 2011. COMPARISON OF ESTIMATOR WITH

KAPLAN–MEIER METHOD AND MODIFICATION OF KAPLAN–MEIER

METHOD ON SURVIVAL ANALYSIS FROM LEUKEMIA PATIENTS IN Dr.

MOEWARDI PUBLIC HOSPITAL, SURAKARTA. Faculty of Mathematics and

Natural Sciences, Sebelas Maret University.

Leukemia is a disease signed of very fast and uncontrolled leukocytes

addition. Survival probability of leukemia patients can be found by Kaplan –

Meier method and modification of Kaplan – Meier method. This research

compare survival functions estimation on the leukemia patients using Kaplan-

Meier method and modification of Kaplan-Meier method. Kaplan-Meier estimator

will be modified using approximation of survival function by Weibull

distribution.

Based on this research results, it is known that the estimation value using

modification of Kaplan-Meier estimator is better and more reasonable than

Kaplan-Meier estimator. Therefore, from simulation study it is known that the

MSE of estimator with modification of Kaplan-Meier method is smaller than

Kaplan-Meier method. It shows that modification of Kaplan-Meier estimator is

better than the original Kaplan-Meier estimator.

Keywords : leukemia, survival probability, Kaplan-Meier method, MSE.


commit to user

v

MOTO

Sesungguhnya Allah tidak akan mengubah keadaan sesuatu kaum sebelum

mereka mengubah keadaan yang ada pada diri mereka sendiri

(Q.S. Ar Ra’d : 11)


commit to user

vi

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

Ayah ibuku tercinta yang telah membimbingku dari kecil hingga saat ini

Kakak dan adikku tersayang yang telah memberi semangat dan doa


commit to user

vii

KATA PENGANTAR

Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

memberikan banyak kenikmatan kepada penulis sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan

beberapa pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada

1. Drs. Sugiyanto, M.Si. sebagai dosen Pembimbing I dan Drs. Muslich,

M.Si. sebagai dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan

dan arahan kepada penulis selama menyelesaikan skripsi ini,

2. Pihak RSUD Dr. Moewardi Surakarta,

3. Nurul ‘Azizah Rahmawati yang selalu memberi motivasi saat penulis

kehilangan semangat,

4. Drajat, Markus, Ahmad, Anam, Wawan Yudha, Anis serta semua teman-

teman angkatan 2006 atas kerjasama dan bantuan yang diberikan saat

penulis menghadapi kendala dalam penyusunan skripsi ini,

5. Semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak

dapat penulis sebut satu per satu.

Semoga Allah SWT membalas semua kebaikan yang telah mereka berikan

selama ini dan semoga skripsi ini dapat memberi manfaat.

Surakarta, Desember 2011

Penulis


commit to user

viii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

PENGESAHAN .................................................................................................. ii

ABSTRAK .......................................................................................................... iii

ABSTRACT .......................................................................................................... iv

MOTO ................................................................................................................. v

PERSEMBAHAN ............................................................................................... vi

KATA PENGANTAR ........................................................................................ vii

DAFTAR ISI ....................................................................................................... viii

DAFTAR TABEL ............................................................................................... x

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xi

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1

1.1 Latar Belakang ........................................................................................ 1

1.2 Perumusan Masalah ................................................................................ 2

1.3 Batasan Masalah...................................................................................... 2

1.4 Tujuan Penelitian .................................................................................... 3

1.5 Manfaat Penelitian .................................................................................. 3

BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................... 4

2.1 Tinjauan Pustaka ..................................................................................... 4

2.2 Teori-Teori Penunjang ............................................................................ 5

2.2.1 Leukemia ....................................................................................... 6

2.2.2 Konsep Dasar Statistika ................................................................ 7

2.2.3 Konsep Dasar Analisis Tahan Hidup ............................................ 8

2.2.3.1 Model Kontinu .................................................................. 8

2.2.3.2 Model Diskrit .................................................................... 9

2.2.3.3 Jenis-Jenis Sensor ............................................................. 10

2.2.3.4 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Weibull ........................... 11

2.2.3.5 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Eksponensial ................... 12

2.2.4 Metode Maksimum Likelihood ..................................................... 12


commit to user

ix

2.2.5 Penaksir Kaplan-Meier .................................................................. 13

2.2.6 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier ............................................... 13

2.2.6.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 2 .......... 14

2.2.6.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 > 2 .......... 15

2.3 Kerangka Pemikiran ................................................................................ 16

BAB III METODE PENELITIAN ............................................................ 18

BAB IV PEMBAHASAN .................................................................................. 19

4.1 Deskripsi Data ......................................................................................... 19

4.2 Penaksir Kaplan-Meier ........................................................................... 19

4.3 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier ......................................................... 21

4.3.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 2 ........................ 22

4.3.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 3 ........................ 24

4.4 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia ....................... 26

4.4.1 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan

Penaksir Kaplan-Meier ................................................................. 26


Penaksir Modifikasi Kaplan-Meier .............................................. 28

4.5 Studi Simulasi ......................................................................................... 29

BAB V PENUTUP ............................................................................................. 32

5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 32

5.2 Saran ........................................................................................................ 32

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 33

DAFTAR LAMPIRAN ..................................................................................... 35


commit to user

x

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Ringkasan data penderita Leukemia Limfositik Akut ........................ 19


commit to user

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan 𝐾𝑀 ....................... 27

Gambar 4.2 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan Modifikasi Penaksir

Kaplan-Meier untuk 𝑀 = 2 dan 𝑀 = 3 ....................................... 28

Gambar 4.3 Perbandingan Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan KM,

𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 ............................................................................. 29

Gambar 4.4 Perbandingan Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup Data Simulasi

dengan 𝑆 𝑡 , 𝐾𝑀(𝑡) , 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 ...................................... 30

Gambar 4.5 Grafik Perbandingan Nilai MSE 𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 .......... 31


commit to user

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Analisis statistik yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup

dinamakan analisis tahan hidup. Waktu hidup didefinisikan sebagai variabel

random nonnegatif sehingga analisis tahan hidup adalah suatu analisis statistik

pada variabel random nonnegatif yang berfungsi untuk mengetahui ketahanan

hidup suatu obyek yang diteliti. Salah satu metode analisis tahan hidup adalah

estimasi fungsi tahan hidup. Fungsi tahan hidup didefinisikan sebagai probabilitas

tahan hidup sampai waktu tertentu (Lawless, 1982).

Data tidak tersensor yang disebut data lengkap lebih baik digunakan dalam

analisis tahan hidup karena dapat memberikan informasi terhadap ketahanan

hidup semua unit dalam sampel. Akan tetapi, dalam melakukan suatu penelitian

yang berhubungan dengan waktu hidup, sering dijumpai kendala-kendala antara

lain keterbatasan dana, waktu, dan tenaga sehingga sulit mendapatkan data

lengkap. Oleh karena itu, data waktu hidup biasanya merupakan data tak lengkap

atau data tersensor (Nelson, 1982).

Salah satu permasalahan yang menyangkut tahan hidup dijumpai dalam

bidang kesehatan, sebagai contoh penyakit leukemia (kanker darah). Leukemia

merupakan suatu penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan sel darah

putih (leukosit) pada penderita. Pertambahan ini sangat cepat dan tidak terkendali

serta bentuk sel-sel darah putihnya tidak normal. Penyakit leukemia memberi

andil sebesar empat persen dari seluruh penyakit kanker penyebab kematian pada

manusia (Yatim, 2003). Agar angka tersebut tidak terus bertambah maka

ketepatan dalam pemberian obat atau perawatan terhadap pasien menjadi sangat

penting dan tidak lepas dari pengamatan tentang waktu hidup pasien

Fungsi tahan hidup penderita leukemia dapat diestimasi dengan

menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier. Kelebihan dari penaksir Kaplan-

Meier adalah dapat digunakan untuk data yang tersensor (Lawless, 1982). Data

yang tersensor dapat diartikan sebagai data yang hilang dalam penelitian,


commit to user

2

misalnya seorang pasien yang telah dikenai perlakuan dan sedang dalam masa

penelitian menghilang, mungkin karena pindah rumah sakit atau alasan lain.

Menurut Rossa dan Zielinski (2002), penaksir Kaplan-Meier juga mempunyai

kelemahan, yaitu pada sampel yang kecil dan menengah dimana jarak antara dua

waktu yang berurutan, misalnya 𝑡1 dan 𝑡2 (dengan 𝑡1 < 𝑡2) dan selang waktu 𝑡1

dan 𝑡2 cukup besar maka nilai penaksir Kaplan-Meier 𝐾𝑀(𝑡1) dan 𝐾𝑀(𝑡2) akan

mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama 𝐾𝑀 𝑡1 = 𝐾𝑀(𝑡2). Untuk

mengatasi masalah ini Rossa dan Zielinski (2002) melakukan modifikasi terhadap

penaksir Kaplan-Meier dengan menggunakan pendekatan dari distribusi Weibull.

Modifikasi penaksir Kaplan-Meier dinotasikan dengan 𝑆 𝑀(𝑡). Nilai 𝑆 𝑀(𝑡)

merupakan penaksir untuk nilai 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡) yang berbasis pada M persekitaran pada

𝑡, nilai M dapat dipilih dengan syarat 𝑀 = 2, 3, …. Rossa dan Zielinski (2002)

menggunakan metode modifikasi Kaplan-Meier untuk mengestimasi fungsi tahan

hidup pada data leukemia hasil penelitian Freireich (1963).

Oleh karena itu penulis tertarik untuk mengaplikasikan penelitian Rossa

dan Zielinski (2002) dengan membandingkan metode Kaplan-Meier dan metode

modifikasi Kaplan-Meier pada analisis tahan hidup penderitan leukemia di RSUD

Dr. Moewardi Surakarta. Selain menggunakan data penderita leukemia, pada

penelitian ini juga menggunakan data dari simulasi agar perbedaan hasil estimasi

antara kedua penaksir tersebut semakin terlihat jelas.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, maka perumusan masalahnya adalah

bagaimana menentukan estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode

Kaplan-Meier dan dengan metode modifikasi Kaplan-Meier baik pada penderita

leukemia maupun pada data simulasi serta bagaimana perbandingan kedua

penaksir tersebut.

1.3 Batasan Masalah

Agar tidak memperluas pembahasan, maka penelitian ini dibatasi pada hal

berikut :


commit to user

3

1. Data yang digunakan adalah data penderita Leukemia Limfositik Akut

(LLA) yang diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta dan data simulasi

berdistribusi eksponensial yang dibangkitkan secara random dengan

software R.

2. Estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode modifikasi Kaplan-

Meier hanya untuk 𝑀 = 2 dan 3.

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah

menentukan estimasi fungsi tahan hidup pada data penderita leukemia dan data

simulasi dengan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi Kaplan-

Meier serta membandingkan hasil estimasi dari kedua penaksir tersebut.

1.5 Manfaat Penelitian

Penelitian diharapkan dapat menambah wawasan dalam bidang statistika

dan kesehatan. Dalam bidang statistika, dapat menerapkan atau mengaplikasikan

penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi Kaplan-Meier pada suatu

penyakit. Dalam bidang kesehatan, setelah diketahui probabilitas tahan hidup

penderita leukemia diharapkan pihak rumah sakit dapat lebih waspada dan

meningkatkan pelayanan medis terhadap penderita leukemia.


commit to user

4

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bagian pertama dari bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi

hasil-hasil penelitian sebelumnya yang menjadi dasar penelitian ini. Pada bagian

kedua dari bab ini diberikan teori-teori penunjang yang berisi definisi dan teori

yang mendukung dalam mencapai tujuan penulisan. Pada bagian ketiga dari bab

ini disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran dalam penulisan

skripsi ini.

2.1 Tinjauan Pustaka

dfd Menurut Belson (2007) berdasarkan karakteristik sosiodemografi

(variabel orang), leukemia pada umumnya terjadi pada usia dibawah 15 tahun dan

puncaknya terjadi pada umur 2-5 tahun, kasus lebih banyak terjadi pada laki-laki

daripada perempuan. Dari penelitian yang dilakukan di Amerika ditemukan

bahwa leukemia lebih banyak terjadi pada anak dengan ras kaukasoit (kulit putih)

dibandingkan dengan ras lain.

Mahoney (1955) menyebutkan bahwa tingkat resiko leukemia pada orang

yang tinggal 1.000 m dari daerah ledakan bom atom Hiroshima dan Nagasaki 20

kali lipat lebih tinggi dibandingkan populasi umum (di luar daerah tersebut).

Kejadian lain adalah bencana radioaktif Chernobyl yang menyebabkan tanah, air

dan tanaman terkontaminasi bahan radioaktif pada sebagian besar wilayah Eropa

Timur. Negara Belarusia, Rusia dan Ukraina adalah negara yang paling banyak

terkontaminasi. Negara-negara ini menjadi tempat dimana banyak ditemukan

kasus leukemia.

Kent et al. (2009) menyebutkan bahwa di California, leukemia

merepresentasikan masing-masing sebesar 35%, 5% dan 2% pada seluruh

penyakit kanker pada usia 0-14 tahun, 15-29 tahun dan 30-39 tahun. Kent et al.

(2009) melakukan penelitian pada 7.688 kasus leukemia yang terjadi pada

penderita berusia 0-39 tahun. Penelitian dilakukan menggunakan metode Kaplan-

Meier dan regresi Cox proporsional hazard untuk mengestimasi Hazard ratio.


commit to user

5

Bhatia et al. (2002) melakukan penelitian tentang perbedaan antara ras dan

etnik dalam ketahanan hidup pada anak penderita Leukemia Limfobastik Akut

dengan menggunakan metode Kaplan-Meier. Sebanyak 8762 anak dari berbagai

ras meliputi 6703 ras kulit putih, 1071 Hispanic, 506 kulit hitam, 167 Asia dan

315 dari campuran berbagai ras. Salah satu hasil dari penelitian tersebut adalah

terdapat perbedaan daya tahan hidup dari penderita Leukemia antara masing-

masing ras dan etnik.

Penelitian ini akan mengembangkan penelitian yang sudah dilakukan oleh

Kent et al. (2009) dan Bhatia et al. (2002). Dua penelitian tersebut masih

menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier untuk mengestimasi fungsi tahan

hidup. Penelitian ini akan membandingkan penaksir metode Kaplan-Meier dan

metode modifikasi penaksir Kaplan-Meier untuk mengestimasi fungsi tahan hidup

pada penderita leukemia. Data pasien penderita leukemia diambil dari RSUD

Dr.Moewardi. Selain itu dalam penelitian ini juga akan dilakukan simulasi agar

perbedaan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi penaksir

Kaplan-Meier semakin terlihat jelas.

2.2 Teori-Teori Penunjang

Teori-teori yang relevan dengan pembahasan diperlukan untuk mencapai

tujuan penelitian. Teori-teori tersebut meliputi penyakit leukemia, konsep dasar

statistika, konsep dasar analisis tahan hidup, jenis-jenis sensor, metode maksimum

Likelihood, Estimasi Kaplan-Meier dan modifikasi dari Estimasi Kaplan-Meier.

2.2.1 Leukemia

Leukemia merupakan suatu penyakit yang ditandai dengan adanya

pertambahan sel darah putih (leukosit) pada penderita. Pertambahan ini sangat

cepat dan tidak terkendali serta bentuk sel-sel darah putihnya tidak normal.

Penyebab leukemia belum diketahui secara pasti tetapi diperkirakan bukan berasal

dari penyebab tunggal melainkan gabungan dari beberapa faktor antara lain

karena terinveksi virus, faktor keturunan ataupun karena zat kimia tertentu.

(Yatim, 2003)


commit to user

6

Leukemia dapat diklasifikasikan atas dasar perjalanan alamiah penyakit

yaitu leukemia akut dan kronis. Leukemia akut ditandai dengan suatu perjalanan

penyakit yang sangat cepat, mematikan, dan memburuk. Apabila tidak segera

diobati, maka penderita dapat meninggal dalam hitungan minggu hingga hari.

Sedangkan leukemia kronis memiliki perjalanan penyakit yang tidak begitu cepat

sehingga memiliki harapan hidup yang lebih lama, hingga lebih dari 1 tahun

bahkan ada yang mencapai 5 tahun. Ketika leukemia mempengaruhi limfosit atau

sel limfoid, maka disebut leukemia limfositik dan ketika leukemia mempengaruhi

sel mieloid seperti neutrofil, basofil, dan eosinofil, maka disebut leukemia

meilositik (Berita Kesehatan). Berdasarkan dua klasifikasi tersebut maka

leukemia dapat dibagi menjadi empat yaitu :

1. Leukemia Limfositik Akut (LLA)

Leukemia Limfositik Akut (LLA) adalah suatu penyakit yang berakibat

fatal, dimana sel-sel yang dalam keadaan normal berkembang menjadi

limfosit berubah menjadi ganas dan dengan segera akan menggantikan sel-

sel normal di dalam sumsum tulang. Penyakit LLA merupakan leukemia

yang paling sering terjadi pada anak-anak, leukemia jenis ini merupakan

25% dari semua jenis kanker yang mengenai anak-anak dibawah umur 15

tahun. LLA paling sering terjadi pada anak usia antara 3-5 tahun, tetapi

kadang terjadi pada usia remaja dan dewasa.

2. Leukemia Meilositik Akut (LMA)

Leukemia Meilositik Akut (LMA) lebih sering terjadi pada orang dewasa

dari pada anak-anak, kejadian leukemia jenis LMA biasanya tidak lebih

dari 5%.

3. Leukemia Limfositik Kronis (LLK)

Pada Leukemia Limfositik Kronis (LLK) lebih dari 3 4 penderita berumur

lebih dari 60 tahun dan 2-3 kali lebih sering menyerang pria.

4. Leukemia Meilositik Kronis (LMK)

Penyakit ini dapat mengenai semua kelompok umur, baik pria maupun

wanita, tetapi jarang ditemukan pada anak-anak berumur kurang dari 10

tahun. LMK banyak ditemukan pada kelompok usia 55 tahun keatas.


commit to user

7

Dalam penelitian ini menggunakan data leukemia jenis Leukemia

Limfositik Akut (LLA). Data penderita leukemia diambil dari RSUD Dr.

Moewardi Surakarta.

2.2.2 Konsep Dasar Statistika

Definisi-definisi yang berhubungan dengan konsep dasar statistika berikut

ini dirujuk dari Bain dan Engelhardt (1992).

Definisi 2.1.1. Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan

disebut ruang sampel dan dinotasikan dengan S.

Definisi 2.1.2. Variabel random T adalah fungsi yang memetakan setiap hasil

yang mungkin e pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real t, sedemikian

sehingga

𝑇 𝑒 = 𝑡 , 𝑒 ∈ 𝑆.

Definisi 2.1.3. Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari variabel random

T, merupakan himpunan terhitung, t1, t2, ...., tn atau t1, t2, .... maka T disebut

variabel random diskrit. Fungsi

𝑓 𝑡 = 𝑃 𝑇 = 𝑡 , 𝑡 = 𝑡1, 𝑡2, ….

menyatakan probabilitas untuk tiap-tiap nilai t yang mungkin, selanjutnya disebut

fungsi densitas probabilitas diskrit.

Definisi 2.1.4. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random diskrit T

didefinisikan untuk sebarang bilangan real t dengan

𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑇 ≤ 𝑡 .

Definisi 2.1.5. Fungsi 𝑓 𝑡 disebut fungsi densitas probabilitas dari variabel

random kontinu T jika dan hanya jika memenuhi sifat

1. 𝑓(𝑡) ≥ 0, untuk semua t dan

2. 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1∞

−∞.

Definisi 2.1.6. Variabel random T disebut variabel random kontinu jika terdapat

fungsi f(t) yang merupakan fungsi densitas dari T, sehingga fungsi distribusi

kumulatif dinyatakan


commit to user

8

𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑡

−∞

.

Definisi 2.1.7. Probabilitas bersyarat dari kejadian A diberikan kejadian B

didefinisikan sebagai

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵), 𝑃(𝐵) ≠ 0.

Definisi 2.1.8. Statistik 𝑈 = 𝑙(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) yang digunakan untuk mengestimasi

nilai 𝜏(𝜃) disebut penaksir dari 𝜏(𝜃) dan nilai statistik 𝑢 = 𝑙(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

disebut estimasi dari 𝜏(𝜃).

Definisi 2.1.9. Jika T adalah penaksir dari 𝜏(𝜃), maka bias adalah 𝑏 𝑇 =

𝐸 𝑇 − 𝜏(𝜃) dan rata-rata kesalahan standar atau mean square error (MSE)

dari T didefinisikan sebagai 𝑀𝑆𝐸 𝑇 = 𝐸 𝑇 − 𝜏(𝜃) 2.

2.2.3 Konsep Dasar Analisis Tahan Hidup

2.2.3.1 Model Kontinu

Menurut Lawless (1982), variabel random kontinu nonnegatif T

menunjukkan waktu hidup dari suatu individu sehingga semua fungsi yang

berkaitan dengan T didefinisikan dalam interval [0, ∞). Secara matematika fungsi

densitas probabilitas menurut Cox dan Oakes (1984) adalah

𝑓 𝑡 = lim∆𝑡→0

𝑃[𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡]

∆𝑡 .

Menurut Lawless (1982), fungsi distribusi kumulatif ditulis

𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑇 < 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑡

0

.

Fungsi tahan hidup didefinisikan sebagai probabilitas bertahan hidup

sampai waktu t, sebagai berikut

𝑆 𝑡 = 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 = 1 − 𝑃 𝑇 < 𝑡 = 1 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑡

0

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

𝑡

.

Fungsi tahan hidup merupakan fungsi monoton turun dengan sifat

1. S(0) = 1,

2. S(t) = 0, untuk t → .


commit to user

9

Hubungan fungsi densitas probabilitas 𝑓(𝑡) dan fungsi tahan hidup 𝑆(𝑡)

(Elandt dan Johnson, 1980), dapat ditunjukkan dengan

−𝑆′ 𝑡 = −𝑑𝑆(𝑡)

𝑑𝑡

= −𝑑 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

∞

𝑡

𝑑𝑡

= − 𝑓 𝑥 |𝑡∞

= − 0 − 𝑓 𝑡

−𝑆′ 𝑡 = 𝑓 𝑡 . (2.1)

Fungsi hazard adalah laju kematian / peluang individu mati pada saat t

dengan syarat individu tersebut mampu bertahan hidup sampai waktu t dan


ℎ 𝑡 = lim∆𝑡→0

𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 𝑇 ≥ 𝑡]

∆𝑡

= lim∆𝑡→0

𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ∩ 𝑇 ≥ 𝑡

𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 ∆𝑡

= lim∆𝑡→0

𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡

𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 ∆𝑡

= lim∆𝑡→0

𝑃[𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ]

∆𝑡.

1

𝑃[𝑇 ≥ 𝑡]

ℎ 𝑡 =𝑓 𝑡

𝑆 𝑡 . (2.2)

Berdasarkan persamaan (2.1) dan (2.2) hubungan antara fungsi hazard

ℎ 𝑡 dan fungsi tahan hidup 𝑆 𝑡 adalah

ℎ 𝑡 = −𝑆′(𝑡)

𝑆(𝑡)= −

𝑑 ln 𝑆(𝑡)

𝑑𝑡.

2.2.3.2 Model Diskrit

Misal T adalah variabel random diskrit, dengan T mempunyai nilai

𝑡1, 𝑡2, … dengan 0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯. Menurut Lawless (1982), secara matematika

fungsi peluangnya dapat ditulis 𝑓 𝑡𝑗 = P(𝑇 = 𝑡𝑗 ) dan fungsi tahan hidupnya

menjadi


commit to user

10

𝑆 𝑡 = P 𝑇 ≥ 𝑡 = 𝑓(𝑡𝑗 )

𝑗 :𝑡𝑗≥𝑡

.

Seperti pada penjelasan model kontinu, 𝑆 𝑡 adalah fungsi monoton turun

dengan sifat

1. S(0) = 1,

2. S(t) = 0, untuk t → .

Fungsi hazard diskrit didefinisikan sebagai

ℎ 𝑡𝑗 = P 𝑇 = 𝑡𝑗 𝑇 ≥ 𝑡𝑗

=𝑓(𝑡𝑗 )

𝑆(𝑡𝑗 ) .

Fungsi probabilitas, fungsi tahan hidup dan fungsi hazard memberikan

spesifikasi yang sama terhadap T. Jika diketahui 𝑓 𝑡𝑗 = 𝑆 𝑡𝑗 − 𝑆(𝑡𝑗 +1) maka

ℎ 𝑡𝑗 = 1 −𝑆(𝑡𝑗+1)

𝑆(𝑡𝑗 ) .

Menurut Lawless (1982) fungsi tahan hidup yang berhubungan dengan

fungsi hazard dapat dinyatakan sebagai

𝑆 𝑡 = [1 − ℎ(

𝑗 :𝑡𝑗≤𝑡

𝑡𝑗 )].

2.2.3.3 Jenis-Jenis Sensor

Data waktu hidup dikatakan tersensor jika terdapat individu yang

mempunyai nilai batas atas atau batas bawah pada waktu hidupnya (Lawless,

1982). Menurut Kleln dan Moeschberger (1997) dan Lawless (1982), tiga jenis

sensor yang dapat digunakan dalam penelitian tahan hidup yaitu sensor kanan,

sensor kiri, dan sensor umum.

1. Sensor kanan

Diasumsikan terdapat waktu hidup T dan ditentukan waktu sensor di Cr,

waktu hidup T dari suatu individu diketahui jika dan hanya jika T ≤ Cr. Jika

T >Cr maka individu dikatakan bertahan hidup dengan waktu tersensor di Cr.

Data tersensor kanan dapat dinyatakan dalam pasangan variabel random (X, δ)

dengan X sama dengan T untuk waktu hidup yang diobservasi dan δ


commit to user

11

menyatakan apakah waktu hidup T tak tersensor (δ = 1) atau tersensor (δ = 0)

sehingga diperoleh X = min(T, Cr ).

2. Sensor kiri

Misalkan terdapat waktu hidup T dan ditentukan waktu sensor di Cl, waktu

hidup T dari suatu individu diketahui jika dan hanya jika T ≥ Cl. Jika T <Cl

maka individu dikatakan bertahan hidup dengan waktu tersensor di Cl. Data

tersensor kiri dapat dinyatakan dalam pasangan variabel random (X, ε) dengan

X sama dengan T untuk waktu hidup yang diobservasi dan ε menyatakan

apakah waktu hidup T tak tersensor (ε = 1) atau tersensor (ε = 0) sehingga

diperoleh X = maks(T, Cl ).

3. Sensor umum

Suatu sampel dikatakan tersensor secara umum jika terdapat data sejumlah

n objek yang diamati pada waktu 0 dan masing-masing objek diamati sampai

gagal (mati) atau tidak. Jika objek tersebut tidak gagal (tidak mati), maka data

tersebut merupakan data tersensor.

2.2.3.4 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Weibull

Distribusi Weibull merupakan distribusi yang paling luas penggunaannya

dalam model tahan hidup. Model fungsi tahan hidup distribusi Weibull banyak

diaplikasikan dalam bidang biomedis, contohnya dalam penelitian Whittemore

dan Altschuler tahun 1976 tentang waktu kejadian tumor dalam populasi manusia

(Lawless, 1982). Kelebihan dari fungsi tahan hidup distribusi Weibull adalah

distribusi ini mampu mendekati fungsi tahan hidup dari distribusi yang lain.

Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Weibull didefinisikan sebagai

𝑓 𝑡 = 𝛼𝜆 𝜆𝑡 𝛼−1 exp(− 𝜆𝑡 𝛼) ; 𝛼 > 0 ; 𝜆 > 0 ; 𝑡 > 0. (2.3)

Berdasarkan persamaan (2.3) dapat dicari fungsi tahan hidup distribusi

Weibull sebagai berikut

𝑆 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

∞

𝑡


commit to user

12

= 𝛼𝜆 𝜆𝑥 𝛼−1 exp(− 𝜆𝑥 𝛼) 𝑑𝑥

∞

𝑡

= − exp − 𝜆𝑥 𝛼 |𝑡∞

𝑆 𝑡 = exp − 𝜆𝑡 𝛼 . (2.4)

2.2.3.5 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial merupakan kasus khusus dari distribusi Weibull,

yaitu jika distribusi Weibull memiliki nilai 𝛼 = 1, maka akan menjadi distribusi

eksponensial. Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Eksponensial


𝑓 𝑡 = 𝜆 exp −𝜆𝑡 ; 𝑡 ≥ 0 ; 𝜆 > 0. (2.5)

Kemudian fungsi tahan hidup distribusi eksponensial dapat dituliskan

sebagai berikut

𝑆 𝑡 = exp −𝜆𝑡 (2.6)

2.2.4 Metode Maksimum Likelihood

Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan fungsi likelihood dan

estimasi maksimum likelihood menurut Bain dan Engelhardt (1992)

Definisi 2.1.10. Jika fungsi densitas probabilitas bersama dari n-variabel random

𝑇1, 𝑇2, … , 𝑇𝑛 yang diobservasi di 𝑡1, 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 dinotasikan dengan 𝑓 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ,

maka fungsi likelihood dari himpunan pengamatan 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 dinyatakan

sebagai

𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ; 𝜃

dengan 𝜃 adalah parameter yang belum diketahui.

Definisi 2.1.11. Jika 𝐿(𝜃) adalah fungsi likelihood suatu himpunan pengamatan

𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 dengan 𝜃 parameter yang tidak diketahui, maka suatu harga 𝜃 dalam

ruang parameter Ω yang memaksimumkan 𝐿(𝜃) disebut sebagai estimasi

maksimum likelihood dari 𝜃, dapat ditulis

𝑓 𝑡1, 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 ; 𝜃 = max𝜃𝜖Ω

𝑓 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ; 𝜃 .


commit to user

13

Setiap 𝜃 yang memaksimumkan 𝐿(𝜃) akan memaksimumkan log-likelihood

ln 𝐿(𝜃) juga, sehingga alternatif bentuk persamaan likelihood maksimum yaitu

𝑑

𝑑𝜃ln 𝐿 𝜃 = 0.

2.2.5 Penaksir Kaplan-Meier

Estimasi fungsi tahan hidup dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier

disebut juga estimasi product limit. Kaplan dan Meier (1958) adalah orang

pertama yang membahas estimasi fungsi ini. Misal T variabel random kontinu

nonnegatif. Semua fungsi yang berkaitan dengan T didefinisikan dalam interval

[𝑡𝑗 , 𝑡𝑗 +1). Penaksir Kaplan-Meier merupakan modifikasi dari fungsi tahan hidup

empiris. Fungsi tahan hidup empiris didefinisikan sebagai

𝑆 𝑡 =𝐽

𝑛 , 𝑡 ≥ 0 (2.7)

dengan 𝐽 merupakan jumlah pengamatan yang lebih besar atau sama dengan 𝑡.

Jika terdapat data yang tersensor (tak lengkap), maka persamaan tersebut

diubah menjadi penaksir Kaplan-Meier. Misalkan terdapat n individu dengan

𝑘(𝑘 ≤ 𝑛) waktu terjadinya kematian yang berbeda 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑘 dan 𝑑𝑗

adalah jumlah kematian pada saat 𝑡𝑗 (𝑗 = 1,2, … , 𝑘), 𝑚𝑗 adalah jumlah tersensor

dalam interval [𝑡𝑗 , 𝑡𝑗 +1) pada waktu 𝑡𝑗1 , 𝑡𝑗2 , … , 𝑡𝑗𝑚 𝑗 untuk 𝑗 = 0, 1, … , 𝑘 dimana

𝑡0 = 0 dan 𝑡𝑘+1 = ∞, 𝑛𝑗 = 𝑚𝑗 + 𝑑𝑗 + ⋯ + 𝑚𝑘 + 𝑑𝑘 adalah jumlah individu

beresiko pada saat 𝑡𝑗 , penaksir Kaplan-Meier didefinisikan sebagai

𝑆 𝐾𝑀 𝑡 = 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗

𝑛𝑗 .


(2.8)

2.2.6 Modifikasi Penaksir Kaplan Meier

Menurut Rossa dan Zielinski (2002) penaksir Kaplan-Meier mempunyai

kelemahan yaitu, pada sampel yang kecil dan menengah nilai penaksir Kaplan-

Meier untuk dua waktu yang berurutan akan mempunyai kemungkinan untuk

bernilai sama. Kelemahan pada penaksir Kaplan-Meier diatasi dengan


commit to user

14

memodifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan menggunakan pendekatan fungsi

tahan hidup dari distribusi Weibull seperti pada persamaan (2.4).

Modifikasi dari penaksir Kaplan-Meier dinotasikan dengan 𝑆 𝑀 𝑡 , dimana

M dapat dipilih dengan syarat 𝑀 = 2, 3 … . Nilai 𝑆 𝑀(𝑡) merupakan penaksir

untuk nilai 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡) yang berbasis pada M persekitaran pada 𝑡. Nilai M dapat

dipilih dengan syarat 𝑀 = 2, 3, … Semakin besar nilai M maka akan

menghasilkan estimasi yang lebih baik akan tetapi perhitungannya akan lebih

rumit (Rossa dan Zielinski, 2002). Oleh karena itu dalam penelitian ini hanya

akan dibahas penaksir 𝑆 𝑀 𝑡 dengan 𝑀 = 2 dan 3.

Misalkan terdapat n sampel dan akan dicari penaksir fungsi tahan hidup

dari sampel terurut yang tidak lengkap dari 𝑇1, 𝛿1 , 𝑇2, 𝛿2 , … , 𝑇𝑛 , 𝛿𝑛 dengan

𝛿 = 1 untuk data yang tidak tersensor dan 𝛿 = 0 untuk data yang tersensor.

Kemudian dimisalkan 𝑁 − 1 adalah jumlah elemen yang berbeda pada sampel

yang tidak tersensor. Nilai 𝐾𝑀 𝑡 dengan 0 < 𝑡 < 𝑇𝑛 , memiliki titik-titik

loncatan (jump point) di 𝑇𝑓′ untuk 𝑓 = 1,2, … , 𝑁 − 1. Jika 𝛿𝑛 = 1, maka nilai

𝐾𝑀 𝑡 dengan 𝑡 = 𝑇𝑛 juga merupakan titik loncatan dari 𝐾𝑀. Kemudian

penaksir Kaplan-Meier dituliskan dalam bentuk pasangan baris (𝑇𝑓′ , 𝐾𝑀𝑓

′ ) dengan

𝑓 = 1,2, … , 𝑁, dimana

𝐾𝑀𝑓′ =

𝐾𝑀(𝑇𝑓−1′ ) + 𝐾𝑀(𝑇𝑓

′)

2 , untuk 𝑓 = 1,2, … , 𝑁 − 1

𝐾𝑀 𝑇𝑛

2, untuk 𝑓 = 𝑁 dan jika 𝛿𝑛 = 1

𝐾𝑀 𝑇𝑛 , untuk 𝑓 = 𝑁 dan jika 𝛿𝑛 = 0

dengan

𝑇0′ = 0 ; 𝑇𝑁

′ = 𝑇𝑛 ; 𝐾𝑀(𝑇0′) = 1.

2.2.6.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 = 𝟐

Untuk 𝑀 = 2 penaksir modifikasi Kaplan-Meier didefinisikan sebagai

𝑆 2 𝑡 = exp{−exp(𝑌)} (2.9)

dengan


commit to user

15

𝑌 =

𝑌1 +

𝑌2 − 𝑌1

𝑋2 − 𝑋1

𝑋 − 𝑋1 , untuk 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1

′

𝑌𝑓−1 +𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1

𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋 − 𝑋𝑓−1 , untuk 𝑇𝑓−1

′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓′ ≤ 𝑇𝑁

′ dengan 𝑓 ≥ 2

𝑌𝑁−1 +𝑌𝑁 − 𝑌𝑁−1

𝑋𝑁 − 𝑋𝑁−1

𝑋 − 𝑋𝑁−1 , untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1

tidak terdefinisi, untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 0

dengan

𝑋𝑓 = ln(𝑇𝑓′) ; 𝑌𝑓 = ln[− ln 𝐾𝑀𝑓

′ ] ; 𝑋 = ln 𝑡.

2.2.6.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 > 2

Untuk menentukan penaksir 𝑆 𝑀 𝑡 dengan 𝑀 > 2 terlebih dahulu

didefinisikan pembobot 𝑤(𝑡) sebagai berikut (Rossa dan Zielinski, 2002) :

i. Jika M bernilai ganjil atau 𝑀 = 2𝐾 + 1 (dimana 𝐾 merupakan bilangan

bulat postif yang lebih besar atau sama dengan 1), maka ditentukan f

sedemikian sehingga 𝑇𝑓′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓+1

′ (jika 𝑡 > 𝑇𝑁′ ambil nilai 𝑓 = 𝑁).

Kemudian,

jika 𝑓 ≤ 𝐾 maka 𝑤1 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑀 𝑡 = 1,

jika 𝑓 ≥ 𝑁 − 𝐾 maka 𝑤𝑁−𝑀+1 = ⋯ = 𝑤𝑁 𝑡 = 1,

untuk nilai-nilai f` yang lain didefinisikan

𝑤𝑓−𝐾+1 𝑡 = 𝑤𝑓−𝐾+2 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑓+𝐾 𝑡 = 1

𝑤𝑓−𝐾 𝑡 =𝑇𝑓+1

′ − 𝑡

𝑇𝑓+1′ − 𝑇𝑓

′

𝑤𝑓+𝐾+1 𝑡 =𝑡 − 𝑇𝑓

′


′

ii. Jika M bernilai genap atau 𝑀 = 2𝐾, (dimana 𝐾 merupakan bilangan bulat

postif yang lebih besar atau sama dengan 2) maka ditentukan f sedemikian

sehingga (𝑇𝑓−1

′ +𝑇𝑓′ )

2< 𝑡 ≤

(𝑇𝑓′ +𝑇𝑓+1

′ )

2 (jika 𝑡 ≤ 𝑇1

′/2 ambil nilai 𝑓 = 0 atau

jika 𝑡 > (𝑇𝑁−1′ + 𝑇𝑁

′ )/2 ambil 𝑓 = 𝑁). Kemudian,

jika 𝑓 ≤ 𝐾 maka 𝑤1 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑀 𝑡 = 1


commit to user

16

jika 𝑓 ≥ 𝑁 − 𝐾 + 1 maka didefinisikan 𝑤𝑁−𝑀+1 = ⋯ = 𝑤𝑁 𝑡 = 1

dan untuk nilai f yang lain didefinisikan

𝑤𝑓−𝐾+1 𝑡 = 𝑤𝑓−𝐾+2 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑓+𝐾−1 𝑡 = 1,

𝑤𝑓−𝐾 𝑡 =

12 (𝑇𝑓

′ + 𝑇𝑓+1′ ) − 𝑡

12 (𝑇𝑓+1

′ − 𝑇𝑓−1′ )

𝑤𝑓+𝐾 𝑡 =𝑡 −

12 (𝑇𝑓

′ + 𝑇𝑓−1′ )

12 (𝑇𝑓+1

′ − 𝑇𝑓−1′ )

.

Kemudian, ditentukan semua pembobot yang lain sama dengan nol.

Setelah semua pembobot ditentukan, dicari nilai Λ dan 𝛼 dengan meminimumkan

𝑤𝑓 𝑡 (𝑌𝑓 − Λ − 𝛼𝑋𝑓)2 (2.10)

𝑓

jika nilai Λ dan 𝛼 adalah solusi dari (2.10), maka modifikasi penaksir Kaplan-

Meier dengan 𝑀 > 2 dapat dituliskan sebagai

𝑆 𝑀 𝑡 = exp −𝜆 𝑡𝛼 (2.11)

dengan λ = exp Λ .

2.3 Kerangka Pemikiran

Leukemia adalah jenis penyakit kanker yang menyerang sel-sel darah

putih yang diproduksi oleh sumsum tulang. Leukemia umumnya muncul pada diri

seseorang sejak dimasa kecilnya. Sumsum tulang tanpa diketahui dengan jelas

penyebabnya telah memproduksi sel darah putih yang berkembang tidak normal.

Dalam keadaan normal, sel darah putih mereproduksi ulang bila tubuh

memerlukannya. Sel darah putih berfungsi sebagai pertahanan tubuh, akan terus

membelah dalam suatu kontrol yang teratur. Tubuh manusia akan memberikan

tanda/signal secara teratur kapankah sel darah diharapkan bereproduksi kembali.

Pada penderita leukemia, sumsum tulang memproduksi sel darah putih yang tidak

normal yang disebut sel leukemia. Tidak seperti sel darah normal, sel-sel

leukemia tidak mati ketika mereka seharusnya mati. Sel leukemia yang terdapat

dalam sumsum tulang akan terus membelah dan semakin mendesak sel normal,


commit to user

17

sehingga produksi sel darah normal akan mengalami penurunan, sel darah putih

tidak merespon kepada tanda/signal yang diberikan. Akhirnya produksi yang

berlebihan / tidak terkontrol akan keluar dari sumsum tulang dan dapat ditemukan

di dalam darah perifer atau darah tepi. Jumlah sel darah putih yang abnormal ini

bila berlebihan dapat mengganggu fungsi normal sel darah lainnya dan pada

akhirnya dapat menyebabkan kematian (Cancerhelps).

Waktu tahan hidup pasien leukemia dapat diukur mulai dari seseorang

didiagnosa terkena leukemia / masuk rumah sakit sampai meninggal. Pertama

yang dilakukan adalah mengumpulkan data pasien penderita leukemia dari RSUD

Dr. Moewardi Surakarta. Data yang diambil adalah data pasien penderita

leukemia jenis Leukemia Limfositik Akut (LLA). Selain menggunakan data yang

diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta, dalam penelitian ini juga

menggunakan data simulasi yang dibangkitkan secara random. Kemudian data

dianalisis dengan mengestimasi fungsi tahan hidup pasien dengan penaksir

Kaplan-Meier. Kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier yaitu, pada sampel yang

kecil dan menengah nilai penaksir Kaplan-Meier untuk dua waktu yang berurutan

akan mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama. Oleh karena itu fungsi tahan

hidup juga akan diestimasi dengan penaksir Kaplan-Meier yang telah dimodifikasi

untuk 𝑀 = 2 dan 3 yang akan memberikan nilai estimasi yang lebih baik. Dengan

diperolehnya estimasi fungsi tahan hidup, maka dapat diketahui probabilitas

seorang pasien dapat bertahan hidup baik dengan penaksir metode Kaplan-Meier

biasa maupun metode modifikasi Kaplan-Meier. Berdasarkan hasil estimasi yang

diperoleh, akan dilakukan perbandingan antara hasil estimasi dengan

menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier biasa dan metode modifikasi

Kaplan-Meier.


commit to user

18

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi kasus dengan

menggunakan data sekunder. Selain itu penulis juga menggunakan metode studi

literatur yang mengacu pada buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan

analisis tahan hidup. Secara garis besar penelitian ini terbagi dalam dua tahap

1. Tahap pengumpulan data.

Dalam tahap ini penulis mengumpulkan data penderita leukemia jenis

Leukemia Limfositik Akut (LLA). Data yang digunakan adalah data

sekunder yang diambil dari dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta. Waktu

tahan hidup penderita leukemia dapat diukur mulai dari seseorang

didiagnosa terkena leukemia atau masuk rumah sakit sampai meninggal

dalam satuan bulan. Pasien yang meninggal dianggap sebagai data yang

tidak tersensor, sedangkan pasien yang sembuh atau masih dalam

perawatan dianggap sebagai data tersensor. Selain menggunakan data yang

diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta, dalam penelitian ini juga

menggunakan data simulasi yang dibangkitkan secara random.

2. Tahap analisis data.

Setelah data diperoleh, data diurutkan dari kecil ke besar baik untuk data

yang tidak tersensor maupun yang tersensor. Kemudian langkah

selanjutnya adalah mengestimasi fungsi tahan hidup data penderita

leukemia dan data simulasi menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier

dan metode modifikasi Kaplan-Meier sehingga diperoleh nilai probabilitas

tahan hidup. Setelah diperoleh nilai probabilitas tahan hidup langkah

selanjutnya adalah membuat grafik estimasi fungsi tahan hidup kemudian

membandingkan hasil estimasi dan grafik fungsi tahan hidup dari kedua

penaksir tersebut.


commit to user

19

BAB IV

PEMBAHASAN

4.1 Deskripsi Data

Data penderita Leukemia diambil dari RSUD Dr.Moewardi Surakarta.

Waktu tahan hidup pasien diukur mulai dari seseorang didiagnosa terkena kanker

dan masuk rumah sakit sampai meninggal (dalam satuan bulan). Pasien yang

meninggal dianggap sebagai data yang tidak tersensor (𝛿 = 1), sedangkan pasien

yang sembuh atau masih dalam perawatan dianggap sebagai data tersensor

(𝛿 = 0). Ringkasan data dapat dilihat pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Ringkasan data penderita Leukemia Limfositik Akut

Banyak Pasien Jumlah

Tidak Tersensor Tersensor

13 23 36

4.2 Penaksir Kaplan-Meier

Penaksir Kaplan-Meier dari 𝑆(𝑡) didefinisikan seperti pada persamaan

(2.8). Dari persamaan (2.8) diasumsikan terdapat k waktu hidup yang berbeda

𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑘 dengan 𝑑𝑗 adalah jumlah kematian pada waktu 𝑡𝑗 . Fungsi tahan

hidup dapat dinyatakan dengan

𝑆 𝑡 = 1 − ℎ 𝑡𝑗 .


4.1

Penaksir dari fungsi tahan hidup pada persamaan (4.1) adalah

𝑆 𝑡 = 1 − ℎ 𝑡𝑗

𝑗 :𝑡𝑗 ≤𝑡

(4.2)

dengan ℎ (𝑡𝑗 ) adalah penaksir maksimum likelihood dari ℎ(𝑡𝑗 ). Langkah untuk

menentukan penaksir maksimum likelihood dari ℎ(𝑡𝑗 ) yaitu :

1. menentukan fungsi likelihood

𝐿 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑗 : ℎ 𝑡𝑗 = 𝑓 𝑡1, ℎ 𝑡1 , 𝑓 𝑡2, ℎ 𝑡2 …𝑓 𝑡𝑗 , ℎ 𝑡𝑗 ,


commit to user

20

2. membentuk logaritma natural likelihood

𝐾 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑗 : ℎ 𝑡𝑗 = ln 𝐿 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑗 : ℎ 𝑡𝑗 ,

3. membentuk persamaan log likelihood dengan menyelesaikan

𝜕𝐾 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑗 : ℎ 𝑡𝑗

𝜕ℎ 𝑡𝑗 = 0, 𝑗 = 1,2, …𝑘,

4. didapatkan estimator maksimum likelihood.

Misal pada k percobaan binomial yang independen terjadi 𝑛𝑗 kejadian dan

𝑑𝑗 jumlah kematian serta peluang/laju kematian ℎ(𝑡𝑗 ), maka fungsi likelihoodnya

sebagai berikut

𝐿 𝑡𝑗 , ℎ 𝑡𝑗 = ℎ 𝑡𝑗 𝑑𝑗

1 − ℎ 𝑡𝑗 𝑛𝑗 −𝑑𝑗

𝑗

(4.3)

persamaan (4.3) dibentuk logaritma natural likelihood menjadi

ln 𝐿 𝑡𝑗 , ℎ 𝑡𝑗 = ln ℎ 𝑡𝑗 𝑑𝑗

1 − ℎ 𝑡𝑗 𝑛𝑗 −𝑑𝑗

𝑗

= 𝑑𝑗 ln ℎ 𝑡𝑗 + 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 ln 1 − ℎ 𝑡𝑗 .

𝑗

(4.4)

Persamaan (4.4) dibentuk persamaan log likelihood untuk mendapatkan penaksir

maksimum likelihood dari ℎ 𝑡𝑗

𝜕 ln 𝐿 𝑡𝑗 , ℎ 𝑡𝑗

𝜕ℎ 𝑡𝑗 = 0

𝜕

𝜕ℎ 𝑡𝑗 𝑑𝑗 ln ℎ 𝑡𝑗 + 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 ln 1 − ℎ 𝑡𝑗

𝑗

= 0

𝑑𝑗

1

ℎ 𝑡𝑗 + 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗

1

1 − ℎ 𝑡𝑗 (−1)

𝑗

= 0

𝑑𝑗

ℎ 𝑡𝑗 −

𝑛𝑗 − 𝑑𝑗

1 − ℎ 𝑡𝑗

𝑗

= 0

𝑑𝑗 − 𝑛𝑗ℎ 𝑡𝑗

ℎ 𝑡𝑗 . 1 − ℎ 𝑡𝑗

𝑗

= 0.


commit to user

21

Agar 𝑑𝑗 −𝑛𝑗ℎ 𝑡𝑗

ℎ 𝑡𝑗 . 1−ℎ 𝑡𝑗 𝑗 = 0, maka untuk setiap 𝑗, 𝑑𝑗 − 𝑛𝑗ℎ 𝑡𝑗 = 0. Jadi

penaksir maksimum likelihood dari ℎ 𝑡𝑗 = ℎ 𝑡𝑗 =𝑑𝑗

𝑛𝑗 . Dengan demikian

persamaan (4.2) menjadi

𝐾𝑀 = 𝑆 𝐾𝑀 𝑡 = 1 −𝑑𝑗

𝑛𝑗

𝑗 :𝑡𝑗 ≤𝑡

𝐾𝑀 = 𝑆 𝐾𝑀 𝑡 = 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗

𝑛𝑗


(4.5)

dengan 𝑛𝑗 = 𝑚𝑗 + 𝑑𝑗 + ⋯ + 𝑚𝑘 + 𝑑𝑘 , 𝑛𝑗 adalah jumlah individu yang

beresiko pada waktu 𝑡𝑗 , 𝑑𝑗 adalah jumlah kematian pada waktu 𝑡𝑗 , 𝑚𝑗 adalah

jumlah individu yang tersensor pada waktu 𝑡𝑗 .

4.3 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier

Kelemahan pada estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode

Kaplan-Meier dapat diatasi dengan menggunakan metode modifikasi Kaplan-

Meier. Rossa dan Zielinski (2002) melakukan modifikasi pada penaksir Kaplan-

Meier dengan menggunakan pendekatan dari fungsi tahan hidup distribusi

Weibull seperti pada persamaan (2.4). Pemilihan distribusi Weibull dikarenakan

distribusi tersebut dapat memberikan algoritma perhitungan yang lebih sederhana

untuk melakukan transformasi logaritma, serta mengaplikasikan prosedur estimasi

standar untuk a dan b pada model regresi linier sederhana 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥.

Adapun transformasi logaritma yang dimaksud adalah sebagai berikut :

𝑊 = exp −𝜆𝑡𝛼

ln 𝑊 = ln exp −𝜆𝑡𝛼

ln 𝑊 = −𝜆𝑡𝛼 ln 𝑒

− ln 𝑊 = 𝜆𝑡𝛼

ln(− ln 𝑊) = ln 𝜆𝑡𝛼

ln(− ln 𝑊) = ln 𝜆 + 𝛼 ln 𝑡 (4.6)

jika dimisalkan

𝑦 = ln(− ln 𝑊) ; Λ = ln 𝜆 ; 𝑥 = ln 𝑡


commit to user

22

maka persamaan (4.6) menjadi

𝑦 = Λ + 𝑎𝑥. (4.7)

4.3.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 = 𝟐

Modifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 2 dinotasikan dengan

𝑆 2(𝑡). Akan diestimasi fungsi tahan hidup di t dimana 𝑇𝑓−1′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓

′ , kemudian

dibentuk pasangan baris (𝑇𝑓−1′ , 𝐾𝑀𝑓−1

′ ) dan (𝑇𝑓′ , 𝐾𝑀𝑓

′ ) sehingga diperoleh dua

persamaan

𝑊 𝑇𝑓−1′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀𝑓−1

′ dan 𝑊 𝑇𝑓′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀𝑓

′ . (4.8)

Kemudian akan diestimasi nilai probabilitas tahan hidup di t dengan nilai

𝑊(𝑡; 𝜆; 𝛼), dimana 𝜆 dan 𝛼 dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan (4.8)

dengan terlebih dahulu diubah ke bentuk logaritma seperti pada persamaan (4.7),

sehingga diperoleh

𝑌𝑓−1 = Λ + 𝛼𝑋𝑓−1 dan 𝑌𝑓 = Λ + 𝛼𝑋𝑓 (4.9)

dengan menyelesaikan persamaan (4.9) maka diperoleh

𝛼 =𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1

𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 (4.10)

Λ = 𝑌𝑓−1 − 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1

𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓−1

karena Λ = ln 𝜆 sehingga diperoleh

𝜆 = exp Λ

= exp 𝑌𝑓−1 − 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1

𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓−1 . (4.11)

Estimasi fungsi tahan hidup dapat dicari dengan menggunakan pendekatan

fungsi tahan hidup distribusi Weibull dengan nilai 𝛼 dan 𝜆 pada persamaan (4.10)

dan (4.11). Sehingga untuk 𝑇𝑓−1′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓

′ diperoleh penaksir 𝑆 2 𝑡 sebagai

berikut

𝑆 2 𝑡 = exp −𝜆 𝑡𝛼

= exp − exp 𝑌𝑓−1 − 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1

𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓−1 𝑡

𝑌𝑓−𝑌𝑓−1

𝑋𝑓−𝑋𝑓−1


commit to user

23


𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓−1 exp 𝑋

𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1

𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1


𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓−1 +

𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1

𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋

= exp − exp 𝑌𝑓−1 + 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1

𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋−𝑋𝑓−1 . (4.12)

Jika 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1

′ maka dibentuk pasangan baris (𝑇1′ , 𝐾𝑀1

′ ) dan (𝑇2′ , 𝐾𝑀2

′ ),

kemudian diperoleh dua persamaan 𝑊 𝑇1′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀1

′ dan 𝑊 𝑇2′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀2

′ .

Sehingga untuk 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1

′ diperoleh penaksir 𝑆 2 𝑡 sebagai berikut

𝑆 2 𝑡 = exp − exp 𝑌1 +𝑌2 − 𝑌1

𝑋2 − 𝑋1

𝑋 − 𝑋1 . (4.13)

Jika 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1, maka dibentuk pasangan baris (𝑇𝑁−1

′ , 𝐾𝑀𝑁−1′ )

dan (𝑇𝑁′ , 𝐾𝑀𝑁

′ ), kemudian diperoleh dua persamaan 𝑊 𝑇𝑁−1′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀𝑁−1

′ dan

𝑊 𝑇𝑁′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀𝑁

′ . Sehingga untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1 diperoleh penaksir 𝑆 2 𝑡

sebagai berikut

𝑆 2 𝑡 = exp − exp 𝑌𝑁−1 +𝑌𝑁 − 𝑌𝑁−1


𝑋 − 𝑋𝑁−1 . (4.14)

Secara umum persamaan (4.12), (4.13) dan (4.14) dapat ditulis

𝑆 2 𝑡 = exp{−exp(𝑌)} (4.15)

dengan

𝑌 =

𝑌1 +

𝑌2 − 𝑌1

𝑋2 − 𝑋1

𝑋 − 𝑋1 , untuk 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1

′

𝑌𝑓−1 +𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1

𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋 − 𝑋𝑓−1 , untuk 𝑇𝑓−1

′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓′ ≤ 𝑇𝑁

′ dengan 𝑓 ≥ 2

𝑌𝑁−1 +𝑌𝑁 − 𝑌𝑁−1


𝑋 − 𝑋𝑁−1 , untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1

tidak terdefinisi, untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 0

dengan

𝑋𝑓 = ln(𝑇𝑓′)

𝑌𝑓 = ln[− ln 𝐾𝑀𝑓′ ]

𝑋 = ln 𝑡.


commit to user

24

4.3.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 = 𝟑

Modifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 3 dinotasikan dengan

𝑆 3(𝑡). Dengan 𝑀 = 2𝐾 + 1 maka dapat dicari nilai 𝐾 = 1. Untuk menentukan

penaksir 𝑆 3 𝑡 terlebih dahulu didefinisikan pembobot 𝑤(𝑡). Ditentukan f

sedemikian sehingga 𝑇𝑓′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓+1

′ dan

jika 𝑓 ≤ 𝐾 maka definisikan 𝑤1 𝑡 = 𝑤2 𝑡 = 𝑤3 𝑡 = 1;

jika 𝑓 ≥ 𝑁 − 𝐾 maka didefinisikan 𝑤𝑁−2 = 𝑤𝑁−1 = 𝑤𝑁 𝑡 = 1;

untuk nilai-nilai 𝑓 yang lain definisikan 𝑤𝑓 𝑡 = 𝑤𝑓+1 𝑡 = 1 dan

𝑤𝑓−1 𝑡 =𝑇𝑓+1

′ − 𝑡


′

𝑤𝑓+2 𝑡 =𝑡 − 𝑇𝑓

′


′

kemudian ditentukan semua pembobot yang lain sama dengan nol. Setelah semua

pembobot ditentukan, nilai Λ dan 𝛼 dapat dicari dengan meminimumkan

𝑄 Λ, 𝛼 = 𝑤𝑓 𝑡 (𝑌𝑓 − Λ − 𝛼𝑋𝑓)2

𝑓

.

Jika derivatif parsial 𝑄 terhadap Λ dan 𝛼 keduanya sama dengan nol maka

diperoleh Λ dan 𝛼 sedemikian sehingga 𝑄 minimum.

Q = 𝑤𝑓 𝑡 𝑌𝑓 − Λ − 𝛼𝑋𝑓 2

𝑓

= 𝑤𝑓 𝑡 𝑌𝑓2 − Λ𝑌𝑓 − 𝛼𝑋𝑓𝑌𝑓 − Λ𝑌𝑓 + Λ2 + Λ𝛼𝑋𝑓 − 𝛼𝑋𝑓𝑌𝑓 + Λ𝛼𝑋𝑓 + 𝛼2𝑋𝑓

2

𝑓

= 𝑤𝑓 𝑡 𝑌𝑓2 − 2Λ𝑌𝑓 − 2𝛼𝑋𝑓𝑌𝑓 + Λ2 + 2Λ𝛼𝑋𝑓 + 𝛼2𝑋𝑓

2

𝑓

= (𝑌𝑓2𝑤𝑓 𝑡 − 2Λ𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − 2𝛼𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 + Λ2𝑤𝑓 𝑡 + 2Λ𝛼𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 +

𝑓

𝛼2𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡 ).

Untuk menentukan nilai minimum dari 𝑄 Λ, 𝛼 terlebih dahulu dicari derivatif

parsial 𝑄 terhadap Λ dan 𝛼


commit to user

25

𝜕𝑄

𝜕Λ= (−2𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 + 2Λ𝑤𝑓 𝑡 + 2𝛼𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 )

𝑓

= −2 (𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 )

𝑓

dan

𝜕𝑦

𝜕𝑥= −2𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 + 2Λ𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 + 2𝛼𝑋𝑓

2𝑤𝑓 𝑡

𝑓

= −2 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡

𝑓

.

Kemudian derivatif parsial 𝑄 terhadap Λ dan 𝛼 disamadengankan nol sehingga

diperoleh

𝜕𝑦

𝜕𝑥= 0

−2 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ 𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡

𝑓

= 0

𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ 𝑤𝑓 𝑡

𝑓

− 𝛼 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡

𝑓𝑓

= 0

dan

𝜕𝑦

𝜕𝑥= 0

−2 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼 𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡

𝑓

= 0

𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡

𝑓

− 𝛼 𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡

𝑓𝑓

= 0.

Langkah selanjutnya adalah mencari nilai Λ dan 𝛼 dengan menyelesaikan

dua persamaan berikut

Λ 𝑤𝑓 𝑡

𝑓

+ 𝛼 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡

𝑓

= 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡

𝑓

Λ 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡

𝑓

+ 𝛼 𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡

𝑓

= 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 .

𝑓

(4.16)

Solusi dari (4.16) adalah


commit to user

26

Λ =

𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓

𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓

𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓

𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡

𝑓

𝑤𝑓 𝑡 𝑓




𝑓

Λ =



𝑓 − 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡

𝑓 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡

𝑓

𝑤𝑓 𝑡 𝑓



𝑓

2

dan

𝛼 =

𝑤𝑓 𝑡 𝑓




𝑤𝑓 𝑡 𝑓




𝑓

𝛼 =

𝑤𝑓 𝑡 𝑓


− 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓


𝑤𝑓 𝑡 𝑓



𝑓

2 .

Λ , 𝛼 merupakan solusi dari masalah (4.16) dan jika 𝜆 = exp Λ maka

modifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 3 dapat dituliskan sebagai

𝑆 3 𝑡 = exp −𝜆 𝑡𝛼 . (4.17)

4.4 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia


Penaksir Kaplan-Meier

Berdasarkan estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode Kaplan-

Meier pada persamaan (4.5), dihitung nilai estimasinya untuk setiap t pada data

penderita leukemia. Nilai estimasi untuk setiap nilai t dengan penaksir KM


commit to user

27

diberikan dalam Lampiran 1 kemudian diperoleh grafik estimasi fungsi tahan

hidup seperti pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan 𝐾𝑀

Gambar 4.1 menunjukkan nilai-nilai dari penaksir Kaplan-Meier untuk

setiap nilai t, terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup semakin mengecil untuk

waktu yang semakin lama. Ini berarti semakin lama pasien yang dinyatakan

menderita leukemia semakin kecil probabilitas pasien untuk dapat bertahan hidup.

Hal ini dapat disebabkan karena komplikasi yang timbul pada leukemia mulai dari

anemia, pendarahan atau gangguan fungsi organ vital seperti otak, jantung dan

paru. Berdasarkan nilai hasil estimasi fungsi tahan hidup pada Lampiran 1

didapatkan nilai 𝐾𝑀 4 = 𝐾𝑀 9 = 0,70263, hal ini berarti probabilitas

penderita leukemia dapat bertahan hidup sampai 4 bulan dan sampai 9 bulan

adalah sama yaitu 0,70263. Inilah yang menjadi kelemahan dari penaksir Kaplan-

Meier, yaitu pada waktu yang berurutan, dalam hal ini pada 𝑡1 = 4 dan 𝑡2 = 9,

nilai dari 𝐾𝑀 4 dan 𝐾𝑀 9 sama besar. Sulit dijelaskan secara logis mengapa

probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 4 bulan sama

dengan probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 9 bulan.

Oleh karena itu akan diestimasi fungsi tahan hidup penderita leukemia dengan

penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier yang akan memberikan nilai

probabilitas tahan hidup yang lebih masuk akal daripada penaksir Kaplan-Meier.


commit to user

28


Penaksir Modifikasi Kaplan-Meier

Penaksir modifikasi Kaplan-Meier didefinisikan seperti pada persamaan

(4.15) dan (4.17). Nilai estimasi fungsi tahan hidup pada penderita leukemia

dengan 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 masing-masing diberikan dalam Lampiran 2 dan

Lampiran 3, kemudian diperoleh grafik estimasi fungsi tahan hidup seperti pada

Gambar 4.2.

Gambar 4.2 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan Modifikasi Penaksir

Kaplan-Meier untuk 𝑀 = 2 dan 𝑀 = 3

.

Berdasarkan Gambar 4.2 terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup

semakin mengecil untuk waktu yang semakin lama. Ini berarti semakin lama

pasien yang dinyatakan menderita leukemia semakin kecil probabilitas pasien

untuk bertahan hidup. Selain itu grafik estimasi fungsi tahan hidup penderita

leukemia dengan metode modifikasi Kaplan-Meier juga tampak lebih halus

dibandingkan dengan metode Kaplan-Meier biasa.

Kemudian untuk melihat perbedaan hasil estimasi fungsi tahan hidup

penderita leukemia dengan ketiga penaksir, grafik fungsi tahan hidup dengan

penaksir metode Kaplan-Meier dibandingkan dengan grafik fungsi tahan hidup

dengan metode modifikasi Kaplan-Meier, seperti tampak pada Gambar 4.3.


commit to user

29

Gambar 4.3 Perbandingan Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan KM,

𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡

Perbedaan estimasi fungsi tahan hidup penderita leukemia dengan penaksir

metode modifikasi Kaplan-Meier dan metode Kaplan-Meier biasa terlihat jelas

pada nilai hasil estimasi dan grafik fungsinya. Berdasarkan Gambar 4.3 terlihat

bahwa kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier dapat diatasi dengan menggunakan

penaksir modifikasi Kaplan-Meier. Terlihat probabilitas pasien penderita

Leukemia dapat bertahan hidup sampai 4 bulan dan sampai 9 bulan dari Lampiran

1 adalah 𝐾𝑀 4 = 𝐾𝑀 9 = 0,70263, sementara itu dari Lampiran 2 diperoleh

nilai probabilitasnya 𝑆 2 4 = 0,7232958 dan 𝑆 2 9 = 0,6666679 dan dari

Lampiran 3 diperoleh nilai probabilitasnya 𝑆 3 4 = 0,7213576 dan 𝑆 3 9 =

0,634625. Dengan menggunakan penaksir 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 tidak terlihat apa yang

menjadi kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier biasa. Selain itu grafik fungsi

tahan hidup dengan penaksir 𝑆 3 𝑡 tampak lebih halus dibandingkan dengan

penaksir 𝑆 2 𝑡 .

4.5 Studi Simulasi

Simulasi dilakukan dengan cara membangkitkan data dari dua buah

distribusi, yaitu F untuk distribusi waktu hidup dan G untuk distribusi waktu

sensor. F dan G masing-masing berasal dari distribusi eksponensial dengan nilai

𝜆 = 0,2 dan 𝜆 = 0,1. Data yang digunakan adalah min(𝐹, 𝐺) dengan

𝛿 = 1, jika 𝐹 ≤ 𝐺

0, jika 𝐹 > 𝐺 ,


commit to user

30

artinya jika 𝐹 ≤ 𝐺 maka 𝛿 = 1 (data tidak tersensor) dan jika 𝐹 > 𝐺 maka 𝛿 = 0

(data tersensor). Pemilihan distribusi eksponensial dalam simulasi ini dikarenakan

distribusi ini merupakan kasus khusus dari distribusi Weibull, yaitu jika distribusi

Weibull memiliki nilai 𝛼 = 1, maka akan menjadi distribusi eksponensial.

Berdasarkan hasil estimasi fungsi tahan hidup pada Lampiran 4 diberikan

grafik estimasi fungsi tahan hidup dan dibandingkan dengan fungsi tahan hidup

distribusi eksponensial 𝑆 𝑡 = exp −𝜆𝑡 dengan 𝜆 = 0,2.

Gambar 4.4 Grafik Perbandingan Estimasi Fungsi Tahan Hidup Data Simulasi

dengan 𝑆 𝑡 ,𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡

Gambar 4.4 menunjukkan baik penaksir 𝑆 2 𝑡 maupun 𝑆 3 𝑡 memberikan

hasil estimasi yang lebih baik daripada penaksir Kaplan-Meier, karena kedua

grafik tersebut cenderung mampu mengikuti grafik fungsi tahan hidup distribusi

eksponensial. Terlihat pula bahwa 𝑆 3 𝑡 memberikan estimasi yang terbaik karena

grafiknya paling mendekati grafik fungsi tahan hidup distribusi eksponensial

daripada kedua penaksir lainnya.

Kemudian simulasi tersebut diulang sebanyak 2000 kali dan dihitung nilai

mean square error (MSE) pada setiap 𝑆(𝑡). Nilai MSE dihitung dengan mencari

kuadrat selisih antara nilai masing-masing penaksir (Kaplan-Meier, 𝑆 2 𝑡 dan

𝑆 3 𝑡 ) dengan nilai 𝑆(𝑡) pada tiap-tiap t untuk setiap perulangan kemudian dicari

rata-ratanya. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑀𝑆𝐸 𝐾𝑀 𝑡 =1

𝑅 𝐾𝑀 𝑡

𝑖− 𝑆 𝑡

2𝑅

𝑖=1

𝑀𝑆𝐸 𝑆 2 𝑡 =1

𝑅 𝑆 2 𝑡 )

𝑖− 𝑆 𝑡

2𝑅

𝑖=1


commit to user

31

𝑀𝑆𝐸 𝑆 3 𝑡 =1

𝑅 𝑆 3 𝑡

𝑖− 𝑆 𝑡

2𝑅

𝑖=1

dimana 𝐾𝑀(𝑡) 𝑖 , 𝑆 2 𝑡 𝑖 dan 𝑆 3 𝑡

𝑖 masing-masing adalah nilai penaksir

𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 pada perulangan ke-i dan R adalah jumlah perulangan.

Berikut adalah grafik perbandingan nilai MSE untuk masing-masing penaksir :

Gambar 4.5 Grafik Perbandingan Nilai MSE 𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡

Gambar 4.5 menunjukkan perbandingan nilai MSE untuk 𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 2 𝑡

dan 𝑆 3 𝑡 . Terlihat garis hitam lebih banyak berada diatas garis berwarna merah,

hal ini menunjukkan bahwa nilai MSE pada estimasi fungsi tahan hidup dengan

menggunakan penaksir Kaplan-Meier lebih besar dari nilai MSE pada estimasi

fungsi tahan hidup dengan menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier. Nilai

MSE antara 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 tidak terlalu berbeda, tetapi MSE 𝑆 3 𝑡 cenderung

lebih kecil daripada nilai MSE 𝑆 2 𝑡 , hal ini terlihat dari garis warna hijau lebih

sering berada dibawah garis warna merah.

Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa

untuk sampel yang kecil atau menengah, estimasi fungsi tahan hidup dengan

menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier lebih baik digunakan daripada

dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Akan tetapi untuk data yang

besar penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier akan memberikan nilai estimasi

yang tidak jauh berbeda dengan metode Kaplan-Meier biasa. Selain itu semakin

besar nilai M yang dipilih akan memberikan nilai estimasi yang lebih baik.


commit to user

32

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berikut kesimpulan yang diperoleh berdasarkan pembahasan yang telah

dilakukan.

1. Estimasi fungsi tahan hidup pada penderita leukemia dengan

menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier tampak lebih masuk akal

dibandingkan dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Apabila

menggunakan penaksir Kaplan-Meier diperoleh probabilitas penderita

leukemia mampu bertahan hidup sampai 4 bulan sama dengan probabilitas

penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 9 bulan, 𝐾𝑀 4 =

𝐾𝑀 9 = 0,70263. Tetapi dengan menggunakan modifikasi penaksir

Kaplan-Meier untuk 𝑀 = 2 diperoleh 𝑆 2 4 = 0,7232958 dan 𝑆 2 9 =

0,6666679 serta untuk 𝑀 = 3 diperoleh 𝑆 3 4 = 0,7213576 dan

𝑆 3 9 = 0,634625.

2. Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan, diketahui bahwa nilai MSE

pada modifikasi penaksir Kaplan-Meier lebih kecil dari pada

menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Hal ini menunjukkan bahwa

modifikasi penaksir Kaplan-Meier lebih baik dibanding menggunakan

penaksir Kaplan-Meier biasa dan semakin besar nilai 𝑀 yang dipilih akan

menghasilkan nilai estimasi yang lebih baik.

5.2 Saran

Pada skripsi ini dibahas mengenai analisis tahan hidup pada penderita

Leukemia, bagi pembaca yang ingin mengembangkannya dapat diaplikasikan

pada penyakit lain atau diaplikasikan pada bidang yang lain seperti bidang

industri. Selain itu dalam menggunakan metode modifikasi penaksir Kaplan-

Meier 𝑆 𝑀 𝑡 dapat dipilih nilai 𝑀 yang lebih besar.

perbandingan penaksir metode kaplan-meier dan …/per... · metode modifikasi kaplan-meier pada...

Documents