INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Ganesha No. 10 Bandung, 40132 Telp. (022) 2500834, 2534127, Fax. (022) 2506452

Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : fisika@fi.itb.ac.id

Pekerjaan Rumah-1 FI- 3101 Gelombang

1. Sepasang pendulum identik tergantung oleh tali sepanjang L = 0,5m,

dan kedua pendulum terhubung oleh pegas ideal dengan konstanta k= 10 N/m. Massa pendulum masing-masing m=0,2 kg. Percepatan gravitasi g=10 m/s2. Dengan mempergunakan nilai-nilai parameter tsb jawablah pertanyaan berikut: a. Jika simpangan masing-masing pendulum dari keadaan setimbang adalah 𝑥1 dan 𝑥2, tuliskanlah persamaan differensial tergandeng bagi 𝑥1 dan 𝑥2 tsb. Jawab: a. persamaan geraknya :

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 − 𝑥2) − 𝑇0 sin 𝜃

dengan 𝑇0: tegangan tali pendulum. Tapi kesetimbangan vertikal meminta 𝑇0 cos 𝜃 = 𝑚𝑔, sehingga:

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 − 𝑥2) − 𝑚𝑔 tan 𝜃

untuk sudut kecil sin 𝜃 ≈ tan 𝜃 =𝑥1

𝐿 sehingga :

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 − 𝑥2) −

𝑚𝑔

𝐿𝑥1

dengan cara analog:

𝑚𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥2 − 𝑥1) −

𝑚𝑔

𝐿𝑥2

atau dalam kasus ini dapat dituliskan sebagai berikut :

𝜔𝑝2 =

𝑘

𝑚=

10

0,2= 50 𝜔0

2 =𝑔

𝐿=

10

0,5= 20

𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −50(𝑥1 − 𝑥2) − 20𝑥1 = −70 𝑥1 + 50𝑥2 (1)

𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −50(𝑥2 − 𝑥1) − 20𝑥2 = −70 𝑥2 + 50 𝑥1 (2)

Alternative

definisikan 𝜔02 =

𝑔

𝐿 dan 𝜔𝑝

2 =𝑘

𝑚 sehingga:

X1

m m

X1

k

L L

SOLUSI part-1

𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝜔𝑝

2(𝑥1 − 𝑥2) − 𝜔02𝑥1

dan: 𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −𝜔𝑝

2 (𝑥2 − 𝑥1) − 𝜔02𝑥2

JIKA TIDAK memasukkan nilai k/m dan 𝜔0 maka nilainya 90% dari skor maximum. b. Persamaan tsb akan diselesaikan dengan asumsi bahwa solusinya bisa dituliskan sebagai 𝑥1 =

𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 dan 𝑥2 = 𝐵𝑒𝑖𝜔𝑡, sehingga sistem pers. differensial (a) dapat dinyatakan sebagai persamaan

eigen 𝑂𝒙 = 𝜆𝒙, dimana O adalah matrix 2x2 dan 𝒙 = (𝐴𝐵

) serta 𝜆 adalah nilai eigennya. Carilah isi

matrix O tsb. Jawab: 𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −50(𝑥1 − 𝑥2) − 20𝑥1 = −70 𝑥1 + 50𝑥2 (1)

𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −50(𝑥2 − 𝑥1) − 20𝑥2 = −70 𝑥2 + 50 𝑥1 (2)

−𝜔2 𝐴 = −70 𝐴 + 50 𝐵 −𝜔2 𝐵 = −70 𝐵 + 50 𝐴

(−70 5050 −70

) (𝐴𝐵

) = −𝜔2 (𝐴𝐵

) → 𝑂𝒙 = 𝜆𝒙

Jadi 𝑂 = (−70 5050 −70

) 𝑑𝑎𝑛 𝜆 = −𝜔2 atau 𝑂 = (70 −50

−50 70) 𝑑𝑎𝑛 𝜆 = 𝜔2

c. Selesaikan pers. eigen (b) tsb untuk mendapatkan dua frekuensi eigen 𝜔 dan vektor eigen terkait (x). Kemudian jelaskan arti fisis mode getaran yang direpresentasikan oleh masing-masing frekuensi eigen tsb. Jawab: Persamaan karakteristik diberikan oleh :

det(𝑂 − 𝜆𝐼) = 0 dengan I: matrix identitas.

|70 − 𝜔2 −50−50 70 − 𝜔2

| = 0 atau (70 − 𝜔2)2 = 502

Sehingga solusinya : 70 − 𝜔2 = 50 𝑑𝑎𝑛 70 − 𝜔2 = −50

masing-masing memberikan nilai eigen sbb:

𝜔𝑎 = √20 𝑟𝑎𝑑

𝑠 𝑑𝑎𝑛 𝜔𝑏 = √120 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Vektor eigen terkait masing-masing frekuensi eigen tsb:

𝜔𝑎 = √20

(70 − 𝜔𝑎

2 −50

−50 70 − 𝜔𝑎2

) (𝐴𝐵

) = (00

) → (50 −50

−50 50 ) (

𝐴𝐵

) = (00

)

solusinya A=B, sehingga vektor eigen terkait adalah

𝒙𝒂 = 𝐴 (11

) 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒍𝒆𝒏𝒈𝒌𝒂𝒑𝒏𝒚𝒂 𝒙𝒂 = 𝐴 𝑒𝑖𝜔𝑎𝑡 (11

) = 𝐴 𝑒𝑖√20𝑡 (11

)

Ini berarti kedua pendulum bergerak searah serempak dengan frekuensi √20 rad/s

𝜔𝑎 = √120

(70 − 𝜔𝑏

2 −50

−50 70 − 𝜔𝑏2

) (𝐴𝐵

) = (00

) → (−50 −50−50 −50

) (𝐴𝐵

) = (00

)

solusinya A=-B, sehingga vektor eigen terkait adalah

𝒙𝒃 = 𝐵 (−11

) 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒍𝒆𝒏𝒈𝒌𝒂𝒑𝒏𝒚𝒂 𝒙𝒃 = 𝐵 𝑒𝑖𝜔𝑏𝑡 (−11

) = 𝐵 𝑒𝑖√120𝑡 (−11

)

Ini berarti kedua pendulum bergerak berlawanan arah dengan frekuensi √120 rad/s Jadi ada dua mode dasar (eigen) getaran : kedua pendulum searah dan kedua pendulum berlawanan arah. d. Misalkan dua frekuensi eigen dan vektor eigen di (c) adalah 𝜔𝑎, 𝒙𝑎 dan 𝜔𝑏, 𝒙𝑏, maka kombinasi linear vektor eigen tsb bisa mejadi basis bagi solusi umum kasus ini yaitu :

𝒚(𝑡) = 𝑎 𝒙𝑎𝑒𝑖𝜔𝑎𝑡 + 𝑏 𝒙𝑏𝑒𝑖𝜔𝑏𝑡

𝒚(𝑡) = (𝑦1(𝑡)𝑦2(𝑡)

) adalah simpangan bagi masing-masing massa. Misal saat t=0s, masing-masing

pendulum berada di 𝑦1 = 0.1 𝑚 dan 𝑦2 = −0.2 𝑚 dilepaskan dari keadaan diam. Carilah nilai 𝑎 dan 𝑏 untuk selanjutnya pergunakanlah untuk mendapatkan solusi 𝑦1(𝑡) dan 𝑦2(𝑡). Jawab:

t=0 maka : 𝒚 = (0.1

−0.2) = 𝑎 (

11

) 𝑒𝑖0 + 𝑏 (−11

) 𝑒𝑖0 → (1 −11 1

) (𝑎𝑏

) = (0.1

−0.2)

solusi persamaan ini:

𝑎 = −0.05 𝑏 = −0.15

(𝑦1

𝑦2) = −0.05 (

11

) 𝑒𝑖√20𝑡 − 0.15 (−11

) 𝑒𝑖√(120)𝑡

Cek apakah saat t=0, diam:

(𝑑𝑦1/𝑑𝑡𝑑𝑦2/𝑑𝑡

) = −𝑖0.05√20 (11

) 𝑒𝑖√20𝑡 − 𝑖0.15√120 (−11

) 𝑒𝑖√(120)𝑡

saat t=0, dy/dt=0 kalau yg menjadi solusi fisisnya adalah bagian Real dari ekspresi kompleks tsb! Jadi

𝑦1 (𝑡) = −0.05 cos(√20 𝑡) + 0.15 cos (√120𝑡)

𝑦2 (𝑡) = −0.05 cos(√20 𝑡) − 0.15 cos (√120𝑡)

2. Sebuah gelombang y(x,t)=f(x+vt) menjalar ke kiri di tali dengan cepat

rambat v. Misal rapat massa tali 𝜌 dan tegangan T0 , dengan memperhatikan dengan cermat hubungan antara sudut 𝜃 dan turunan y(x,t) buktikan bahwa arus energi dalam kasus ini dapat dituliskan sbg:

𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝑇0 (𝜕𝑦

𝜕𝑥) (

𝜕𝑦

𝜕𝑡) =

𝑇0

𝑣(

𝜕𝑦

𝜕𝑡)

2

Jawab: Komponen Gaya penggerak vertikal diberikan oleh

𝐹𝑦 = −𝑇0 sin 𝜃 = 𝑇0 sin(2𝜋 − 𝜃) ≈ 𝑇0 tan(2𝜋 − 𝜃) = 𝑇0

𝜕𝑦

𝜕𝑥

Sehingga daya = arus energi

𝑃 = 𝐹𝑦 𝑢𝑦 = 𝑇0

𝜕𝑦

𝜕𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑡

Kalau gelombang menjalar ke kiri : dengan 𝛼 = 𝑥 + 𝑣𝑡

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 + 𝑣𝑡) → 𝜕𝑦

𝜕𝑥= 𝑓′(𝛼) 𝑑𝑎𝑛

𝜕𝑦

𝜕𝑡= 𝑣𝑓′(𝛼) →

𝜕𝑦

𝜕𝑥=

1

𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑡

Berarti :

𝑃 = 𝑇0

𝜕𝑦

𝜕𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑡=

𝑇0

𝑣 (

𝜕𝑦

𝜕𝑡)

2

x

y

T

y v

y≡𝜓(𝑥, 𝑡)

𝜃

2𝜋 − 𝜃

3. Sebuah gelombang di tali diberikan oleh:

𝜓(𝑥, 𝑡) = 1(𝑐𝑚) cos( 𝜋[100𝑡 + 𝑥])

dengan x dalam meter dan t dalam detik. Hitunglah

a. panjang gelombang, frekuensi sudut dan laju propagasi. b. besar kecepatan getaran maximum dan besar percepatan getaran maximum. c. Jika rapat massa tali 10 gr /m berapakah tegangan tali? d. rata-rata arus energinya?

Jawab:

a. Jadi 𝑘 = 𝜋1

𝑚 𝜔 = 100𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠, maka 𝜆 =

2𝜋

𝑘= 2 𝑚 𝑠𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑣 =

𝜔

𝑘= 100 𝑚/𝑠

b. Kecepatan getar maksimum adalah amplitudo dari 𝜕𝜓

𝜕𝑡= −0,01 (100𝜋) sin(𝜋(100𝑡 + 𝑥))

yaitu = 𝜋 𝑚/𝑠

Percepatan getar maksimum adalah amplitudo dari 𝜕2𝜓

𝜕𝑡2 = −(100𝜋2) cos(𝜋(100𝑡 + 𝑥))

yaitu 100𝜋 𝑚/𝑠2 c. Tegangan tali 𝑇 = 𝜌𝑣2 = 0,01 ∗ 1002 = 100 𝑁 d. Rata-rata arus energinya

< 𝑃 >=𝑇0

𝑣(

𝜕𝜓

𝜕𝑡)

2

=𝑇0

𝑣 𝐴2 𝜔2 < sin2(𝜋(100𝑡 + 𝑥)) > =

𝑇0

2𝑣 𝐴2 𝜔2 = 100 ∗

(0,012)(100𝜋)2

2 (100)=

1

2𝜋2 𝑤𝑎𝑡𝑡

4. Untuk gelombang longitudinal di udara ada tiga persamaan penting yang saling terkait:

𝐾 = 𝜌0 (𝑑𝑝

𝑑𝜌)

0, Δ𝜌 ≈ − 𝜌0

𝜕𝜓

𝜕𝑥 and

𝜕Δ𝑝

𝜕𝑥= −𝜌0

𝜕2𝜓

𝜕𝑡2

dengan K : modulus bulk udara, rapat massa udara, p:tekanan dan 𝜓 perpindahan molekul udara dari posisi setimbangnya (index-0 menyatakan keadaan setimbang.

a. Turunkan persamaan gelombang untuk variasi tekanan dari setimbang Δ𝑝 dan variasi rapat massa dari setimbang Δ𝜌 serta tunjukkan keduanya memiliki cepat rambat sama v.

b. Jika dianggap propagasi suara di udara bersifat adiabatik, turunkan ungkapan bagi cepat

rambat v sebagai fungsi tekanan P dan rapat massa . c. Jika tekanan udara 1 atm dan rapat massa udara 1,3 kg/m3 serta udara dianggap gas ideal,

hitunglah cepat rambat tsb. Jawab: a. Kita mulai dari set pers berikut:

𝐾 = 𝜌0 (𝑑𝑝

𝑑𝜌)

0 (1) , Δ𝜌 ≈ − 𝜌0

𝜕𝜓

𝜕𝑥 (2) and

𝜕Δ𝑝

𝜕𝑥= −𝜌0

𝜕2𝜓

𝜕𝑡2 (3)

Ambil turunan dua kali terhadap time (t) dari pers (2) di atas:

𝜕2Δ𝜌

𝜕𝑡2≈ − 𝜌0

𝜕

𝜕𝑥

𝜕2𝜓

𝜕𝑡2 (4)

dengan bantuan pers (3) maka (4) jadi : 𝜕2Δ𝜌

𝜕𝑡2≈

𝜕2Δ𝑝

𝜕𝑥2 (5)

dari pers (1):

𝐾 = 𝜌0 (𝑑𝑝

𝑑𝜌)

0

≈ 𝜌0

Δ𝑝

Δ𝜌 → Δ𝜌 ≈

𝜌0

𝐾Δ𝑝 (6)

Memakai pers (6) ke (5) akan diperoleh 2 persamaan berikut :

𝜌0

𝐾

𝜕2Δ𝑝

𝜕𝑡2≈

𝜕2Δ𝑝

𝜕𝑥2 →

𝜕2Δ𝑝

𝜕𝑥2−

1

𝐾𝜌0

𝜕2Δ𝑝

𝜕𝑡2= 0 (7𝑎)

dan 𝜕2Δ𝜌

𝜕𝑡2≈

𝐾

𝜌0

𝜕2Δ𝜌

𝜕𝑥2 →

𝜕2Δ𝜌

𝜕𝑥2−

1

𝐾𝜌0

𝜕2Δ𝜌

𝜕𝑡2= 0 (7𝑏)

Pers. (7a) dan (7b) menggambarkan persamaan gelombang bagi variasi tekanan dan rapat massa dengan laju rambat yang sama yaitu 𝑣2 = 𝐾/𝜌0. b. Jika adiabatik maka berlaku pers. bagi gas ideal

𝑃𝑉𝛾 = 𝐶 (1) dengan 𝛾 = 𝑐𝑝/𝑐𝑣 dan C: konstant. Modulus bulk K :

𝐾 = 𝜌0 (𝑑𝑝

𝑑𝜌)

0

(2)

tetapi rapat massa 𝜌 =𝑚

𝑉 dengan m: massa sehingga:

𝐾 = 𝜌0 (𝑑𝑝

𝑑𝑉)

0(

𝑑𝑉

𝑑𝜌)

0

(3)

tetapi dari rapat massa 𝜌:

(𝑑𝑉

𝑑𝜌)

0

= −𝑚

𝜌02 = −

𝑉

𝜌0 (4)

Untuk hasil terakhir telah dipakai 𝑚 = 𝜌𝑉. Substitusi (4) ke (3):

𝐾 = 𝜌0 (𝑑𝑝

𝑑𝑉)

0(−

𝑉

𝜌0) = −𝑉 (

𝑑𝑝

𝑑𝑉)

0 (5)

Sekarang pergunakan (1) untuk menghitung: 𝑑𝑝

𝑑𝑉= −𝛾𝐶𝑉−𝛾−1

Sehingga (5) dengan bantuan (1) menjadi :

𝐾 = −𝑉 (𝑑𝑝

𝑑𝑉)

0= 𝛾𝐶𝑉−𝛾 = 𝛾 (𝑃𝑉𝛾)𝑉−𝛾 = 𝛾𝑃

Cepat rambat gelombang longitudinal diberikan oleh:

𝑣 = √𝐾

𝜌0= √𝛾

𝑃

𝜌0

c. Untuk P= 1 atm=105 Pa dan rapat massa udara 𝜌0 =1,3 kg/m3 serta udara dianggap gas

ideal jadi 𝛾 =𝑐𝑝

𝑐𝑣=

5

3 (𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑛𝑔𝑔𝑎𝑝 𝑢𝑑𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑎𝑡𝑜𝑚𝑖𝑘) dan 𝛾 =

𝑐𝑝

𝑐𝑣=

7

5=

1,4 (𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑛𝑔𝑔𝑎𝑝 𝑢𝑑𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑡𝑜𝑚𝑖𝑘)Sehingga cepat rambatnya :

𝑣 = √5

3∗

105

1,3= 358 𝑚/𝑠 atau 𝑣 = √

7

5∗

105

1,3= 328 𝑚/𝑠

(boleh jawab salah satu).

5. Misalkan fungsi gelombang suara untuk simpangan molekul udara dinyatakan oleh 𝜓(𝑥, 𝑡) =𝐴 cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡). Diketahui frekuensi suara 1000 hz dan cepat rambat bunyi 340 m/s. a. Turunkanlah ungkapan bagi fungsi gelombang variasi tekanan Δ𝑝 yang terkait, berapakah amplitudonya? b. Suara terlemah yang masih bisa didengar telinga manusia memiliki amplitudo variasi tekanan 20 mikropascal. Berapakah amplitudo simpangan molekul yang terkait hal ini? Bandingkan dengan diameter atom Hidrogen! Bandingkan juga dengan panjang gelombang suara ini! Jawab: a. Untuk gelombang longitudinal berlaku:

𝐾 = 𝜌0 (𝑑𝑝

𝑑𝜌)

0 (1) , Δ𝜌 ≈ − 𝜌0

𝜕𝜓

𝜕𝑥 (2)

Dari (1):

Δ𝜌 ≈𝜌0

𝐾Δ𝑝 (3)

Substitusi (3) ke (2):

Δ𝑝 = −𝐾𝜕𝜓

𝜕𝑥 (4)

dengan : 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Δ𝑝 = +𝑘𝐴𝐾 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = Δ𝑝𝑚𝑎𝑥 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) dengan amplitudo :

Δ𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝑘𝐴𝐾

b. Diketahui : 𝑓 = 1000 ℎ𝑧 dan 𝑣 = 340 𝑚/𝑠, sehingga: 𝑘 =𝜔

𝑣=

2𝜋𝑓

𝑣=

2𝜋(1000)

340= 18,5/𝑚

Modulus bulk udara K:

𝑣 = √𝐾

𝜌0 → 𝐾 = 𝜌0𝑣2 = 1,3 (3402) = 1,5𝑥106

𝑘𝑔

𝑚. 𝑠

Sehingga jika Δ𝑝𝑚𝑎𝑥 = 20𝑥10−6𝑃𝑎 = 𝑘𝐴𝐾 → 𝐴 =Δ𝑝𝑚𝑎𝑥

𝑘𝐾=

20𝑥10−6

18,5∗1,5𝑥106 ≈ 7,2 𝑥10−13 𝑚

Amplitudo ini sangat kecil!! Diameter atom hidrogen sekitar : 𝑑 = 1 𝑎𝑛𝑔𝑠𝑡𝑜𝑟𝑚 = 1𝑒−10𝑚

Sehingga amplitudo gelombang simpangan ini : 𝐴

𝑑≈ 7,2 𝑥10−3. Jauh lebih kecil dibandingkan ukuran

atom hidrogen!!

BERSAMBUNG ke PART-2