INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Ganesha No. 10 Bandung, 40132 Telp. (022) 2500834, 2534127, Fax. (022) 2506452

Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : fisika@fi.itb.ac.id

Quiz 1 FI- 3101 Gelombang Waktu : 10.00-11.00 (60 menit)

Petunjuk: 1. Quiz ini tutup buku. Boleh memakai calculator. 2. Tuliskan jawaban Anda di lembar jawab yang disediakan. Hati-hati dengan satuan.

1. Manakah yang merupakan fungsi gelombang berjalan? Jika ya, tentukan besar cepat rambat dan arah

rambatnya. Variabel x dalam meter dan t dalam detik. (bobot: 24)

a. A sin (x2-2xt+t2) b. A *(x-t) c. A *(x-2t)2 d. A exp (-(x-2t)2) e. A sin (x2-4t) f. A sin2(x-2t) g. A sin 2x cos 3t h. A exp i(2x+3t)

Jawab: a. 𝐴 sin(𝑥2 − 2𝑥𝑡 + 𝑡2) = 𝐴 sin(𝑥 − 𝑡)2, gelombang berjalan ke kanan (X+) dengan cepat rambat v=1m/s b. gelombang berjalan ke kanan (X+) dengan cepat rambat v=1m/s c. gelombang berjalan ke kanan (X+) dengan cepat rambat v=2m/s d. gelombang berjalan ke kanan (X+) dengan cepat rambat v=2m/s e. bukan. f. gelombang berjalan ke kanan (X+) dengan cepat rambat v=2m/s g. bukan. h. gelombang berjalan ke kiri (X-) dengan cepat rambat v=3/2m/s

2. Sebuah gelombang di tali diberikan oleh:

𝜓(𝑥, 𝑡) = 1(𝑐𝑚) cos( 𝜋[100𝑡 + 𝑥]) dengan x dalam meter dan t dalam detik.

Hitunglah a. panjang gelombang, frekuensi sudut dan laju propagasi. (bobot: 6) b. besar kecepatan getaran maximum dan besar percepatan getaran maximum. (bobot: 6) c. Jika rapat massa tali 10 gr /m berapakah tegangan tali? (bobot: 7) d. rata-rata arus energinya? (bobot: 7)

Jawab:

a. 𝜔 = 100𝜋𝑟𝑎𝑑

𝑠 𝑘 = 𝜋

𝑟𝑎𝑑

𝑚→ 𝜆 =

2𝜋

𝑘= 2 𝑚, 𝑣 =

𝜔

𝑘= 100 𝑚/𝑠

b. kecepatan getar

𝑢 =𝜕𝜓(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡= −0,01 (100)𝜋 sin( 𝜋[100𝑡 + 𝑥]) = −𝜋 sin( 𝜋[100𝑡 + 𝑥])

maka besar kecepatan getar maksimum = 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 𝜋 𝑚/𝑠 percepatan getar :

𝑎 =𝜕2𝜓(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2= −𝜋2 (100) cos ( 𝜋[100𝑡 + 𝑥])

SOLUSI

sehingga besar percepatan maksimumnya 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 100𝜋2 𝑚/𝑠2

c. rapat massa 𝜌 = 10𝑔𝑟

𝑚= 0.01 𝑘𝑔/𝑚 maka tegangannya 𝑇 = 𝜌𝑣2 = 0,01 ∗ 1002 = 100 𝑁

d. Rata-rata arus energinya

< 𝑃 > = < 𝜖 > 𝑣 dengan < 𝜖 > rapat energi persatuan panjang,

< 𝜖 > = (1

2𝜌 𝑢𝑚𝑎𝑥

2 ) = (1

2∗ 0,01 ∗ 𝜋2) = 0.005𝜋2𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒/𝑚

dan < 𝑃 > = 0.005𝜋2 ∗ 100 = 0,5𝜋2watt

3. Sepasang pendulum identik tergantung oleh tali sepanjang L = 0,5m, dan kedua pendulum terhubung oleh pegas ideal dengan konstanta k= 10 N/m. Massa pendulum masing-masing m=0,2 kg. Percepatan gravitasi g=10 m/s2. Dengan mempergunakan nilai-nilai parameter tsb jawablah pertanyaan berikut: a. Jika simpangan masing-masing pendulum dari keadaan setimbang adalah 𝑥1 dan 𝑥2, tuliskanlah persamaan differensial tergandeng bagi 𝑥1 dan 𝑥2 tsb. (bobot: 10) Jawab: a. persamaan geraknya :

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 − 𝑥2) − 𝑇0 sin 𝜃

dengan 𝑇0: tegangan tali pendulum. Tapi kesetimbangan vertikal meminta 𝑇0 cos 𝜃 = 𝑚𝑔, sehingga:

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 − 𝑥2) − 𝑚𝑔 tan 𝜃

untuk sudut kecil sin 𝜃 ≈ tan 𝜃 =𝑥1

𝐿 sehingga :

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 − 𝑥2) −

𝑚𝑔

𝐿𝑥1

dengan cara analog:

𝑚𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥2 − 𝑥1) −

𝑚𝑔

𝐿𝑥2

atau dalam kasus ini dapat dituliskan sebagai: 𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2 = −50(𝑥1 − 𝑥2) − 20𝑥1 = −70 𝑥1 + 50𝑥2 (1)

𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2 = −50(𝑥2 − 𝑥1) − 20𝑥2 = −70 𝑥2 + 50𝑥1 (2)

Alternative

definisikan 𝜔02 =

𝑔

𝐿 sehingga:

𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚(𝑥1 − 𝑥2) − 𝜔0

2𝑥1

dan: 𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚(𝑥2 − 𝑥1) − 𝜔0

2𝑥2

JIKA TIDAK memasukkan nilai k/m dan 𝜔0 maka nilainya 90% dari skor maximum. b. Persamaan tsb akan diselesaikan dengan mendefinisikan variabel baru : 𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥2 dan 𝑦2 = 𝑥1 − 𝑥2. Pakailah variabel baru ini tunjukkan dalam variabel baru, persamaan differensial saling bebas (de-coupled). (bobot: 10) Jawab: Dari hasil (a), lakukan penjumlahan (1)+(2)

𝑑2

𝑑𝑡2 (𝑥1 + 𝑥2) = −20 (𝑥1 + 𝑥2)

Dengan substitusi: 𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥2 maka menjadi : 𝑑2

𝑑𝑡2 𝑦1 = −20 𝑦1 (3)

Dari hasil (a), lakukan pengurangan (1)-(2)

𝑑2

𝑑𝑡2(𝑥1 − 𝑥2) = −120 (𝑥1 − 𝑥2)

Dengan substitusi: 𝑦2 = 𝑥1 − 𝑥2 maka menjadi : 𝑑2

𝑑𝑡2 𝑦2 = −120 𝑦2 (4)

Di pers (3) dan (4) antara variabel 𝑦1𝑑𝑎𝑛 𝑦2terpisah (de coupled). Alternative: 𝑑2

𝑑𝑡2 𝑦1 = −2𝜔02 𝑦1 (3)

𝑑2

𝑑𝑡2 𝑦1 = − (2𝑘

𝑚+ 𝜔0

2) 𝑦1 (4)

JIKA TIDAK memasukkan nilai k/m dan 𝜔0 maka nilainya 90% dari skor maximum. c. Pakailah fungsi 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 untuk menyatakan solusi umum bagi persamaan tsb (b), yaitu 𝑦1(𝑡) dan 𝑦2(𝑡). (bobot: 10) Jawab: Solusi dari pers (3) dan (4) berbentuk 𝑦 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜃0).

Untuk (3) 𝜔12 = 20 → 𝜔1 = √20 rad/s sehingga :

𝑦1(𝑡) = 𝐴1 cos(√20𝑡 + 𝜃01)

dan untuk (4) 𝜔2 = √120 rad/s. Sehingga:

𝑦2(𝑡) = 𝐴2 cos(√120𝑡 + 𝜃02)

d. Saat t=0s, masing-masing pendulum berada di 𝑥1 = 0.1 𝑚 dan 𝑥2 = −0.2 𝑚 dilepaskan dari keadaan diam. Nyatakanlah syarat awal ini dalam variabel 𝑦1 dan 𝑦2, selanjutnya pergunakanlah untuk mendapatkan solusi 𝑦1(𝑡) dan 𝑦2(𝑡). (bobot: 10) Jawab: Penerapan syarat awal t=0s: (i) 𝑥1 = 0.1 m dan 𝑥2 = −0.2 dalam variabel y : 𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥2 = −0.1 dan 𝑦2 = 𝑥1 − 𝑥2 = 0.3 −0.1 = 𝐴1 cos(𝜃01) (5a) dan 0.3 = 𝐴2 cos(𝜃02) (5b)

kecepatan awal v=0 (diam), 𝑑𝑥1(0)

𝑑𝑡= 0 𝑑𝑎𝑛

𝑑𝑥2(0)

𝑑𝑡= 0

atau berarti 𝑑𝑦1(0)

𝑑𝑡= 0 𝑑𝑎𝑛

𝑑𝑦2(0)

𝑑𝑡= 0 juga.

𝑑𝑦1(0)

𝑑𝑡= −2𝐴1 sin(𝜃01) = 0 , berarti 𝜃01 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋, tetapi krn 𝐴1 > 0, maka menurut (5a) yang dipakai

adalah 𝜃01 = 𝜋 agar 𝐴1 > 0. Dengan cara analog: 𝑑𝑦2(0)

𝑑𝑡= −√120𝐴2 sin(𝜃02) = 0 , berarti 𝜃02 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋, tetapi krn 𝐴2 > 0, maka menurut (5b) yang

dipakai adalah 𝜃02 = 0 agar 𝐴2 > 0. Sehingga solusi khusus dengan syarat awal ini adalah:

𝑦1(𝑡) = 𝐴1 cos(√20𝑡 + 𝜋) dan 𝑦2(𝑡) = 𝐴2 cos(√120𝑡), amplitudo didapatkan dengan menerapkan syarat

simpangan saat t=0s: −0.1 = 𝐴1 cos 𝜋 → 𝐴1 = 0.1 dan 0.3 = 𝐴2 cos 0 → 𝐴2 = 0.3 Jadi

𝑦1(𝑡) = 0.1 cos(√20𝑡 + 𝜋) dan 𝑦2(𝑡) = 0.3 cos(√120𝑡)

e. Akhirnya dapatkan solusi simpangan masing-masing pendulum tsb, yaitu 𝑥1(𝑡) dan 𝑥2(𝑡). (bobot: 10)

Jawab:

Dalam variabel aslinya

𝑥1 =1

2(𝑦1 + 𝑦2) 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 =

1

2(𝑦1 − 𝑦2)

Berarti

𝑥1(𝑡) =1

2(0.1 cos(√20𝑡 + 𝜋 ) + 0.3 cos(√120𝑡) )

𝑥2(𝑡) =1

2(0.1 cos(√20𝑡 + 𝜋 ) − 0.3 cos(√120𝑡) )

&&&&&&&OKT2018&&&&&&&&&