institut teknologi bandung fakultas matematika...
TRANSCRIPT
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Ganesha No. 10 Bandung, 40132 Telp. (022) 2500834, 2534127, Fax. (022) 2506452
Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : [email protected]
Quiz 2 FI- 3101 Gelombang Hari/Tgl: Jumat, 19 Oktober 2018 Waktu : 10.00-11.00 (60 menit)
Petunjuk: 1. Quiz ini tutup buku. Boleh memakai calculator. 2. Tuliskan jawaban Anda di lembar jawab yang disediakan. Hati-hati dengan satuan.
1. Sebuah gelombang di tali diberikan oleh:
𝜓(𝑥, 𝑡) = 1(𝑐𝑚) cos( 𝜋[1000𝑡 + 𝑥]) dengan x dalam meter dan t dalam detik.
Hitunglah a. panjang gelombang, frekuensi sudut dan laju propagasi. (bobot: 9) b. besar kecepatan getaran maximum dan besar percepatan getaran maximum. (bobot: 6) c. Jika rapat massa tali 0,1 gr /m berapakah tegangan tali? (bobot: 5) d. Berapa impedansinya? (bobot: 10) e. rata-rata arus energinya? (bobot: 10)
JAWAB:
a. 𝜆 =2𝜋
𝑘=
2𝜋
𝜋= 2 𝑚 𝜔 = 1000𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠 𝑣 =
𝜔
𝑘=
1000𝜋
𝜋= 1000 𝑚/𝑠
b. kecepatan getar
𝑢 =𝜕𝜓
𝜕𝑡= −𝐴𝜔 sin(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)
A: amplitudo, maka besar kecepatan getar |𝑢max | = 𝐴𝜔 = 0,01 ∗ 1000𝜋 = 10𝜋 𝑚/𝑠 Percepatan getar
𝑎 =𝜕𝑢
𝜕𝑡= −𝐴𝜔2 cos(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)
Besar percepatan max |𝑎𝑚𝑎𝑥| = (0,01)10002𝜋2 = 104𝜋2 𝑚/𝑠2
c. Tegangan tali
rapat massa linear tali 𝜇 = 0,1𝑔𝑟
𝑚= 10−4𝑘𝑔/𝑚
𝑇 = 𝑣2𝜇 = 10002 ∗ 10−4 = 100𝑁 d. Impedansi
𝑍 = 𝑇
𝜕𝜓𝜕𝑥𝜕𝜓𝜕𝑡
=𝑇𝑘
𝜔=𝑇
𝑣=
𝑇
√𝑇𝜇
= √𝑇𝜇 = √100 ∗ 10−4 = 0,1𝑘𝑔
𝑠
e. Rata-rata arus energinya
Arus energi 𝑃 = 𝑍 (𝜕𝜓
𝜕𝑡)2= 𝑍𝜔2𝐴2 sin2(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)
Nilai rata-ratanya : < 𝑃 > = 𝑍𝜔2𝐴2 < sin2(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥) > =1
2𝑍𝜔2𝐴2 =
1
2(0,1)(1000𝜋)2(10−2)2 = 5𝜋2watt
SOLUSI
Atau:
< 𝑃 > =1
2𝑍 𝜔2𝐴2 =
1
2√𝑇𝜇𝜔2𝐴2 =
1
2𝜇𝜔2𝐴2𝑣 =
1
2(10−4)(1000𝜋)2(10−2)21000 = 5𝜋2 𝑤𝑎𝑡𝑡
2. Tali di soal 1, disambung ke tali kedua, dengan rapat massa 0,2 gr/m.
a. Buktikan dalam kasus dua tali disambung bahwa bahwa bilangan gelombang di tali k akan memenuhi :
𝑘1
𝑘2= √𝜇1
√𝜇2
dengan 𝜇: rapat massa linear. (bobot: 10) b. Pakailah hasil (a) tsb untuk menghitung koefisien refleksi dan transmisi dari tali soal no 1 ke
tali kedua ini? (bobot: 10) c. Berapakah reflektansi dan transmitansinya? (bobot: 10)
JAWAB:
a. 𝜔 = 𝑘𝑣 → 𝑘 =𝜔
𝑣 sedangkan cepat rambat 𝑣 = √
𝑇
𝜇 sehingga 𝑘 = 𝜔√
𝜇
𝑇 untuk tali yang disambung, maka
dimanapun juga tegangannya akan sama demikian juga frekuensinya, sehingga untuk dua tali yang disambung
𝑘1𝑘2=√𝜇1
√𝜇2
b. Koefisien refleksi diberikan oleh:
𝑟12 =𝑘1 − 𝑘2𝑘1 + 𝑘2
=√𝜇1 − √𝜇2
√𝜇1 + √𝜇2
Dengan 𝜇1 = 0,1 𝑔𝑟/𝑚 dan 𝜇2 = 0,2 𝑔𝑟/𝑚, maka:
𝑟12=√0,1 − √0,2
√0,1 + √0,2=1 − √2
1 + √2= −0,1715
Koefisien transmisi dapat dihitung dari
𝑡12 =2𝑘1
𝑘1 + 𝑘2
Atau 1 + 𝑟12 = 𝑡12 → 1 − 0,1715 = 𝑡12 → 𝑡12 = 0,8285
c. Reflektansi dan transmitansi
𝑅 = 𝑟122 = 0,17152 = 0,0294
Sedangkan 𝑅 + 𝑇 = 1 sehingga 𝑇 = 1 − 0,0294 = 0,9706
3. Rangkaian unit pulsa dengan tinggi =1, dan lebar 2𝑎 serta perioda antar pulsa 𝑇 dinyatakan oleh fungsi periodik berikut ini:
𝑓(𝑡) =
{
0, −
𝑇
2≤ 𝑡 ≤ −𝑎
1, −𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎
0, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤𝑇
2
Sifat periodiknya 𝑓(𝑡 + 𝑇) = 𝑓(𝑡). Turunkanlah deret Fourier sinus-cosinus untuk fungsi periodik ini.
a. Gambarkan sketsa f(t) tsb untuk beberapa pulsa (bobot: 5) b. Turunkan koefisien deret Fouriernya (bobot: 20) c. Tuliskan 3 suku tak nol yang pertama dari deret tsb. (bobot: 5)
JAWAB: a. Sketsa f(t)
b. Deret Fourier sinus cosinus untuk periode T diberikan oleh:
𝑓(𝑡) =1
2𝑎0 +∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1
cos(𝑛𝜔𝑡) +∑𝑏𝑛
∞
𝑛=1
sin(𝑛𝜔𝑡)
dengan : 𝜔 =2𝜋
𝑇, dan koefisien
𝑎𝑛 =2
𝑇∫ 𝑓(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
𝑏𝑛 =2
𝐿∫ 𝑓(𝑥) sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
Dari ungkapan f(t) soal tampak bahwa f(t) adalah fungsi genap sebab f(-t)=f(t), maka deret Fourier yang akan muncul adalah deret cosinus sebab cosinus adalah fungsi genap. Jadi
𝑏𝑛 = 0 Sedangkan
𝑎𝑛 =2
𝑇∫ 𝑓(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
𝑎𝑛 =2
𝑇[ ∫ cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑎/2
−𝑎/2
] =2
𝑛𝑇𝜔{sin (
𝑛𝜔𝑎
2) − sin (−
𝑛𝜔𝑎
2)} =
4
𝑛𝑇𝜔{sin (
𝑛𝜔𝑎
2)}
𝑎𝑛 =2
𝑛𝜋{sin (
𝑛𝜋𝑎
𝑇)}
Khusus 𝑎0
𝑎0 =2
𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
=2
𝑇∫ 𝑑𝑡
𝑎/2
−𝑎/2
=2𝑎
𝑇
Beberapa keofisien suku awal:
1
2𝑎0 =
𝑎
𝑇
𝑎1 =2
𝜋sin (
𝜋𝑎
𝑇)
𝑎2 =2
2𝜋sin (
2𝜋𝑎
𝑇)
Sehingga deretnya menjadi:
𝑓(𝑡) =𝑎
𝑇+2
𝜋(sin (
𝜋𝑎
𝑇) cos (
2𝜋𝑡
𝑇) +
1
2sin (2
𝜋𝑎
𝑇) cos (
4𝜋𝑡
𝑇) +⋯)
&&&&&&&OCT2018&&&&&&&&&