INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Ganesha No. 10 Bandung, 40132 Telp. (022) 2500834, 2534127, Fax. (022) 2506452

Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : fisika@fi.itb.ac.id

Pekerjaan Rumah-1 FI- 3101 Gelombang

6. Sebuah gelombang menjalar di tali ringan (A) : 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0.04 (𝑚) sin[𝜋(5𝑥 − 𝑡)] dengan x dalam meter dan t dalam detik. Rapat massa tali 0,04 kg/m.

a. Hitung cepat rambat dan panjang gelombangnya serta impedansi tali. b. Pakailah impedansi untuk menghitung rapat arus energi rata-ratanya. c. Tali disambungkan ke tali lain (B) dengan rapat massa 0,01 kg/m. Hitunglah koefisien refleksi

dan transmisi di perbatasan kedua tali. d. Hitunglah cepat rambat dan bilangan gelombang di tali B. e. Tuliskanlah ungkapan bagi gelombang yang diteruskan, bilamana sambungan kedua tali

terjadi di x=0m. Jawab:

Diketahui : A = 0,04 m, 𝑘 =5𝜋

𝑚 𝜔 = 𝜋

𝑟𝑎𝑑

𝑠 𝜌 = 0,04

𝑘𝑔

𝑚

a. cepat rambat 𝑣 =𝜔

𝑘=

𝜋

5𝜋= 0,2

𝑚

𝑠 panjang gelombang 𝜆 =

2𝜋

𝑘=

2𝜋

5𝜋= 0,4 𝑚

impedansi 𝑍 =𝑇0

𝑣= 𝜌𝑣 = 0,04 ∗ 0,2 = 0,008

𝑘𝑔

𝑠

b. Rapat arus energi rata-rata :

𝑃 = 𝑍 (𝜕𝜓

𝜕𝑡)

2

= 𝑍𝐴2𝜔2 sin[𝜋(5𝑥 − 𝑡)]

< 𝑃 > = 𝑍𝐴2𝜔2

2= 0,008

(0,04)2𝜋2

2= 6,4𝑥10−6𝜋2 𝑤𝑎𝑡𝑡

c. Jadi rapat massa tali 1: 𝜌1 = 0,04 𝑘𝑔/𝑚 dan tali 2 : 𝜌2 = 0,01 𝑘𝑔/𝑚. Ingat bahwa walaupun tali beda (rapat massanya) tetapi ditali manapun juga tegangan tali T sama, demikian juga frekuensi.

𝑍 =𝑇

𝑣 →

𝑍1

𝑍2=

𝑣2

𝑣1

tetapi:

𝑣 = √𝑇

𝜌 →

𝑣2

𝑣1= √

𝜌1

𝜌2 →

𝑍1

𝑍2= √

𝜌1

𝜌2

𝑍1 = 0,008 → 𝑍2 = 𝑍1√𝜌2

𝜌1= 0,008 √

0,01

0,04= 0,004

𝑘𝑔

𝑠

SOLUSI Part -2

X

(1) (1) A1

B1

A3

X=d X=0

A2

B2

Koefisien refleksi dari tali 1 ke 2 : 𝑟12 =𝑍1−𝑍2

𝑍1+𝑍2=

0,008−0,004

0,008+0,004=

0,004

0,012=

1

3

Koefisien transmisi dari tali 1 ke 2: 𝑡12 =2𝑍1

𝑍1+𝑍2=

2(0,008)

0,008+0,004=

0,016

0,012=

4

3 (bisa juga 1 + 𝑟12 = 𝑡12)

d. Cepat rambat dan bilangan gelombang di tali 2.

𝑣2

𝑣1= √

𝜌1

𝜌2 → 𝑣2 = 𝑣1√

𝜌1

𝜌2= 0,2 √

0,04

0,01= 0,4

𝑚

𝑠

bilangan gelombang di tali 2:

𝑘2 =𝜔

𝑣2=

𝜋

0,4= 2,5𝜋 /𝑚

e. Gelombang diteruskan :

𝐴𝑡 = 𝑡12𝐴1 =4

3𝐴1

𝑦𝑡(𝑥, 𝑡) =4

30,04 (𝑚) sin[𝜋(2,5𝑥 − 𝑡)] = 5,3x10−2 (𝑚) sin[𝜋(2,5𝑥 − 𝑡)]

7. Gelombang bidang (plane wave) menjalar sepanjang sumbu X, dari medium 1 ke medium 2 lalu

diteruskan ke medium 3 yang sama dengan medium 1 lagi.

Misalkan amplitudo gelombang yang mengarah ke kanan masing-masing A1, A2 dan A3 serta yang mengarah ke kiri B1 dan B2. Bentuk gelombangnya di masing-masing medium adalah sbb:

𝜓1𝑖 = 𝐴1 𝑒𝑖(𝑘1𝑥−𝜔𝑡) 𝜓1𝑟 = 𝐵1 𝑒𝑖(−𝑘1𝑥−𝜔𝑡) 𝜓2𝑖 = 𝐴2 𝑒𝑖(𝑘2𝑥−𝜔𝑡) 𝜓2𝑟 = 𝐵2 𝑒𝑖(−𝑘2𝑥−𝜔𝑡)

𝜓3 = 𝐴3 𝑒𝑖(𝑘1(𝑥−𝑑)−𝜔𝑡)

a. Dengan memakai syarat batas kontinuitas diperbatasan medium, buktikanlah bahwa :

𝐴3

𝐴1=

𝑡12𝑡21𝑒𝑖 𝑘2𝑑

1 − 𝑒𝑖2𝑘2𝑑𝑟212

dengan 𝑟21 yaitu koefisien refleksi dari medium 2 ke 1. dan 𝑡21 yaitu koefisien refleksi dari medium 2 ke 1.

Jawab: Di perbatasan x=0 dan x=d mesti berlaku kontinutas gelombang dan turunannya. Resultan gelombang di masing-masing medium :

(2)

𝜓1 = 𝜓1𝑖 + 𝜓1𝑟 𝜓2 = 𝜓2𝑖 + 𝜓2𝑟 (1) 𝜓1(0) = 𝜓2(0) 𝜓2(0) = 𝜓3(0) (2) 𝜕𝜓1(0)

𝜕𝑥=

𝜕𝜓2(0)

𝜕𝑥

𝜕𝜓2(0)

𝜕𝑥=

𝜕𝜓3(0)

𝜕𝑥 (3)

Penerapan syarat batas (2) dan (3) memberikan:

𝐴1 + 𝐵1 = 𝐴2 + 𝐵2 (𝑎) 𝐴2𝑒𝑖𝑘2𝑑 + 𝐵2𝑒−𝑖𝑘2𝑑 = 𝐴3 (𝑏) (4) 𝑘1𝐴1 − 𝑘1𝐵1 = 𝑘2𝐴2 − 𝑘2𝐵2 (𝑎) 𝑘2 𝐴2𝑒𝑖𝑘2𝑑 − 𝑘2𝐵2𝑒−𝑖𝑘2𝑑 = 𝑘1𝐴3 (𝑏) (5)

Persamaan 4a dan 4b kita selesaikan untuk mendapatkan ungkapan 𝐴1 dalam 𝐴2 𝑑𝑎𝑛 𝐵2 dengan eliminasi 𝐵1, kalikan k1 ke (4a) lalu jumlahkan dengan (5a):

𝑘1𝐴1 + 𝑘1𝐵1 = 𝑘1𝐴2 + 𝑘1𝐵2 𝑘1𝐴1 − 𝑘1𝐵1 = 𝑘2𝐴2 − 𝑘2𝐵2

Hasilnya:

𝐴1 =𝑘1 + 𝑘2

2𝑘1𝐴2 +

𝑘1 − 𝑘2

2𝑘1𝐵2 (6)

Lakukan hal serupa untuk (4b) dan (5b) guna mendapatkan 𝐴2 𝑑𝑎𝑛 𝐵2 dinyatakan dalam 𝐴3 dengan eliminasi, kalikan k2 ke (4b) lalu jumlahkan (5b):

𝑘2𝐴2𝑒𝑖𝑘2𝑑 + 𝑘2𝐵2𝑒−𝑖𝑘2𝑑 = 𝑘2𝐴3 𝑘2 𝐴2𝑒𝑖𝑘2𝑑 − 𝑘2𝐵2𝑒−𝑖𝑘2𝑑 = 𝑘1𝐴3

Hasilnya

𝐴2 =𝑘2 + 𝑘1

2𝑘2𝑒𝑖𝑘2𝑑𝐴3 (7𝑎)

dan :

𝐵2 =𝑘2 − 𝑘1

2𝑘2𝑒−𝑖𝑘2𝑑𝐴3 (7𝑏)

Substitusi A2 dan A3 dari pers (7) ke (6):

𝐴1 =𝑘1 + 𝑘2

2𝑘1

𝑘2 + 𝑘1

2𝑘2𝑒𝑖𝑘2𝑑𝐴3 +

𝑘1 − 𝑘2

2𝑘1

𝑘2 − 𝑘1

2𝑘2𝑒−𝑖𝑘2𝑑𝐴3

atau 𝐴1

𝐴3=

(𝑘1 + 𝑘2)2

4𝑘1𝑘2𝑒𝑖𝑘2𝑑−

(𝑘1 − 𝑘2)2

4𝑘1𝑘2𝑒−𝑖𝑘2𝑑 (8)

Selanjutnya gunakan definisi koefisien refleksi dan transmisi antara 2 medium seperti biasa

𝑟21 =𝑘2 − 𝑘1

𝑘2 + 𝑘1 𝑡21 =

2𝑘2

𝑘2 + 𝑘1

dan juga sebaliknya untuk 𝑟12 dan 𝑡12: 𝐴1

𝐴3=

1

𝑡12𝑡21𝑒𝑖𝑘2𝑑−

(𝑘1 + 𝑘2)2

4𝑘1𝑘2𝑒−𝑖𝑘2𝑑

(𝑘1 − 𝑘2)2

(𝑘1 + 𝑘2)2

𝐴1

𝐴3=

1

𝑡12𝑡21𝑒𝑖𝑘2𝑑−

1

𝑡12𝑡21𝑒−𝑖𝑘2𝑑𝑟21

2

𝐴3

𝐴1=

𝑡12𝑡21

𝑒−𝑖𝑘2𝑑 − 𝑟212 𝑒𝑖𝑘2𝑑

=𝑡12𝑡21𝑒𝑖𝑘2𝑑

1 − 𝑟212 𝑒𝑖2𝑘2𝑑

X

(1) (1)

A1 A1t12

𝐴1𝑡12𝑡21𝑒𝑖𝑘2𝑑

(2)

Q

P

x=0 d

b. Turunkanlah hasil (a) tersebut dengan memakai model multiple refleksi seperti di bawah ini. Anggap sudut datang nyaris normal (𝑜°).

(i) Jika amplitudo gelombang datang di kiri di x=0 adalah A1 tunjukkan bahwa amplitudo gelombang

yang diteruskan di medium (3) di titik Q adalah 𝐴1𝑡12𝑡21𝑟212 𝑒𝑖3𝑘2𝑑.

Jawab:

(i) setiap perjalanan pantulan dari satu sisi ke sisi lain di dalam medium (2) menambahkan fasa 𝑒𝑖𝑘2𝑑.

Dari A1 ke posisi Q terdapat tiga segmen masing-masing d, sehingga penambahan fasa 𝑒𝑖3𝑘2𝑑. Tiap kali pemantulan di dalam medium (2) di perbatasan dengan medium (1) menyebabkan perubahan amplitudo sebesar 𝑟21, dari A1 ke Q ada 2 kali pemantulan di dalam medium (2): 𝑟21

2 . Selanjutnya terjadi 2 kali transmisi : ketika A1 masuk ke medium (2) , jadi kalikan 𝑡12 dan ketika keluar di Q dari (2) ke medium (1): 𝑡21, Sehingga total semua efek menghasilkan di Q :

𝐴1𝑡12𝑡21𝑟122 𝑒𝑖3𝑘2𝑑

(ii) gelombang tsb akan mengalami multiple refleksi –transmisi di medium (2), dengan menjumlahkan

semua gelombang yang diteruskan di medium (3) tunjukkan bahwa rasio 𝐴3

𝐴1 yg diperoleh identik

dengan hasil (a). Jawab:

Dengan cara yang sama, berkas berikutnya yang keluar dari medium (2) ke (3) akan dikalikan dengan faktor karena 2x refleksi di dalam medium (2) dan penambahan fasa karena lintasan 2d, yaitu:

𝑟212 𝑒𝑖2𝑘2𝑑

Sehingga amplitudo total gelombang yang diteruskan di medium (3) adalah jumlahan tak hingga dari semua berkas yang keluar di medium (3) karena multiple refleksi di medium (2) sbb:

𝐴3 = 𝐴1𝑡12𝑡21𝑒𝑖𝑘2𝑑 + 𝐴1𝑡12𝑡21𝑟122 𝑒𝑖3𝑘2𝑑 + 𝐴1𝑡12𝑡21𝑟12

4 𝑒𝑖5𝑘2𝑑 + ⋯. 𝐴3 = 𝐴1𝑡12𝑡21𝑒𝑖𝑘2𝑑(1 + 𝑟12

2 𝑒𝑖2𝑘2𝑑 + 𝑟124 𝑒𝑖4𝑘2𝑑 + ⋯ ).

Tidak lain adalah jumlah tak hingga deret geometri :

𝐴3

𝐴1=

𝑡12𝑡21𝑒𝑖𝑘2𝑑

1 − 𝑟122 𝑒𝑖2𝑘2𝑑

Hasil ini sama persis dengan metoda (a). Jadi dengan menerapkan syarat batas kontinutas di perbatasan seluruh efek akibat multiple refleksi telah diperhitungkan!.

&&&&&&&&AG92017&&&&&&&&&