INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Ganesha No. 10 Bandung, 40132 Telp. (022) 2500834, 2534127, Fax. (022) 2506452

Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : fisika@fi.itb.ac.id

Pekerjaan Rumah-1 Getaran, Besaran Gelombang dan Gelombang di Perbatasan

FI- 3101 Gelombang

1. Sepasang pendulum identik tergantung oleh tali sepanjang L = 0,5m, dan kedua pendulum terhubung oleh pegas ideal dengan konstanta k= 10 N/m. Massa pendulum masing-masing m=0,2 kg. Percepatan gravitasi g=10 m/s2. Dengan mempergunakan nilai-nilai numerik parameter tsb jawablah pertanyaan berikut: (poin : 20) a. Jika simpangan masing-masing pendulum dari keadaan setimbang adalah 𝑥1 dan 𝑥2, tuliskanlah persamaan differensial tergandeng bagi 𝑥1 dan 𝑥2 tsb. b. Persamaan tsb akan diselesaikan dengan asumsi bahwa solusinya

bisa dituliskan sebagai 𝑥1 = 𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 dan 𝑥2 = 𝐵𝑒𝑖𝜔𝑡, sehingga sistem pers. differensial (a) dapat dinyatakan sebagai persamaan eigen 𝑂𝒙 = 𝜆𝒙, dimana O adalah matrix

2x2 dan 𝒙 = (𝐴𝐵

) serta 𝜆 adalah nilai eigennya. Carilah isi matrix O tsb.

c. Selesaikan pers. eigen (b) tsb untuk mendapatkan dua frekuensi eigen 𝜔 dan vektor eigen terkait (x). Kemudian jelaskan arti fisis mode getaran yang direpresentasikan oleh masing-masing frekuensi eigen tsb. d. Misalkan dua frekuensi eigen dan vektor eigen di (c) adalah 𝜔𝑎, 𝒙𝑎 dan 𝜔𝑏, 𝒙𝑏, maka kombinasi linear vektor eigen tsb bisa mejadi basis bagi solusi umum kasus ini yaitu :

𝒚(𝑡) = 𝑎 𝒙𝑎𝑒𝑖𝜔𝑎𝑡 + 𝑏 𝒙𝑏𝑒𝑖𝜔𝑏𝑡

𝒚(𝑡) = (𝑦1(𝑡)𝑦2(𝑡)

) adalah simpangan bagi masing-masing massa. Misal saat t=0s, masing-masing

pendulum berada di 𝑦1 = 0.1 𝑚 dan 𝑦2 = −0.2 𝑚 dilepaskan dari keadaan diam. Carilah nilai 𝑎 dan 𝑏 untuk selanjutnya pergunakanlah untuk mendapatkan solusi 𝑦1(𝑡) dan 𝑦2(𝑡). e. Akhirnya dapatkan solusi simpangan masing-masing pendulum tsb, yaitu 𝑥1(𝑡) dan 𝑥2(𝑡).

2. Sebuah gelombang y(x,t)=f(x+vt) menjalar ke kiri di tali dengan cepat

rambat v. Misal rapat massa tali 𝜌 dan tegangan T0 , dengan memperhatikan dengan cermat hubungan antara sudut 𝜃 dan turunan y(x,t) buktikan bahwa arus energi dalam kasus ini dapat dituliskan sbg:

𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝑇0 (𝜕𝑦

𝜕𝑥) (

𝜕𝑦

𝜕𝑡) =

𝑇0

𝑣(

𝜕𝑦

𝜕𝑡)

2

(poin : 5)

x

y

T

y v

y≡𝜓(𝑥, 𝑡)

𝜃

X1

m m

X1

k

L L

3. Sebuah gelombang di tali diberikan oleh: 𝜓(𝑥, 𝑡) = 1(𝑐𝑚) cos( 𝜋[100𝑡 + 𝑥])

dengan x dalam meter dan t dalam detik. Hitunglah (poin : 10)

a. panjang gelombang, frekuensi sudut dan laju propagasi. b. besar kecepatan getaran maximum dan besar percepatan getaran maximum. c. Jika rapat massa tali 10 gr /m berapakah tegangan tali? d. rata-rata arus energinya?

4. Untuk gelombang longitudinal di udara ada tiga persamaan penting yang saling terkait:

𝐾 = 𝜌0 (𝑑𝑝

𝑑𝜌)

0, Δ𝜌 ≈ − 𝜌0

𝜕𝜓

𝜕𝑥 and

𝜕Δ𝑝

𝜕𝑥= −𝜌0

𝜕2𝜓

𝜕𝑡2

dengan K : modulus bulk udara, rapat massa udara, p:tekanan dan 𝜓 perpindahan molekul udara dari posisi setimbangnya (index-0 menyatakan keadaan setimbang. (poin : 15)

a. Turunkan persamaan gelombang untuk variasi tekanan dari setimbang Δ𝑝 dan variasi rapat massa dari setimbang Δ𝜌 serta tunjukkan keduanya memiliki cepat rambat sama v.

b. Jika dianggap propagasi suara di udara bersifat adiabatik, turunkan ungkapan bagi cepat

rambat v sebagai fungsi tekanan P dan rapat massa . c. Jika tekanan udara 1 atm dan rapat massa udara 1,3 kg/m3 serta udara dianggap gas ideal,

hitunglah cepat rambat tsb.

5. Misalkan fungsi gelombang suara untuk simpangan molekul udara dinyatakan oleh 𝜓(𝑥, 𝑡) =𝐴 cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡). Diketahui frekuensi suara 1000 hz dan cepat rambat bunyi 340 m/s. (poin : 10) a. Turunkanlah ungkapan bagi fungsi gelombang variasi tekanan Δ𝑝 yang terkait, berapakah amplitudonya? b. Suara terlemah yang masih bisa didengar telinga manusia memiliki amplitudo variasi tekanan 20 mikropascal. Berapakah amplitudo simpangan molekul yang terkait hal ini? Bandingkan dengan diameter atom Hidrogen! Bandingkan juga dengan panjang gelombang suara ini!

6. Sebuah gelombang menjalar di tali ringan (A) : 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0.04 (𝑚) sin[𝜋(5𝑥 − 𝑡)] dengan x dalam meter dan t dalam detik. Rapat massa tali 0,04 kg/m. (poin : 20)

a. Hitung cepat rambat dan panjang gelombangnya serta impedansi tali. b. Pakailah impedansi untuk menghitung rapat arus energi rata-ratanya. c. Tali disambungkan ke tali lain (B) dengan rapat massa 0,01 kg/m. Hitunglah koefisien refleksi

dan transmisi di perbatasan kedua tali. d. Hitunglah cepat rambat dan bilangan gelombang di tali B. e. Tuliskanlah ungkapan bagi gelombang yang diteruskan, bilamana sambungan kedua tali

terjadi di x=0m.

7. Gelombang bidang (plane wave) menjalar sepanjang sumbu X, dari medium 1 ke medium 2 lalu diteruskan ke medium 3 yang sama dengan medium 1 lagi. (poin : 20)

X

(1) (1) A1

B1

A3

X=d X=0

A2

B2

X

(1) (1)

A1 A1t12

𝐴1𝑡12𝑡21𝑒𝑖𝑘2𝑑

(2)

Q

P

x=0 d

Misalkan amplitudo gelombang yang mengarah ke kanan masing-masing A1, A2 dan A3 serta yang mengarah ke kiri B1 dan B2. Bentuk gelombangnya di masing-masing medium adalah sbb:

𝜓1𝑖 = 𝐴1 𝑒𝑖(𝑘1𝑥−𝜔𝑡) 𝜓1𝑟 = 𝐵1 𝑒𝑖(−𝑘1𝑥−𝜔𝑡) 𝜓2𝑖 = 𝐴2 𝑒𝑖(𝑘2𝑥−𝜔𝑡) 𝜓2𝑟 = 𝐵2 𝑒𝑖(−𝑘2𝑥−𝜔𝑡)

𝜓3 = 𝐴3 𝑒𝑖(𝑘1(𝑥−𝑑)−𝜔𝑡) (catatan: tahukah Anda mengapa semua bagian 𝜔𝑡 dipilih bertanda sama?)

a. Dengan memakai syarat batas kontinuitas diperbatasan medium, buktikanlah bahwa :

𝐴3

𝐴1=

𝑡12𝑡21𝑒𝑖 𝑘2𝑑

1 − 𝑒𝑖2𝑘2𝑑𝑟212

dengan 𝑟21 yaitu koefisien refleksi dari medium 2 ke 1. dan 𝑡21 yaitu koefisien refleksi dari medium 2 ke 1.

b. Turunkanlah hasil (a) tersebut dengan memakai model multiple refleksi seperti di bawah ini. Anggap sudut datang nyaris normal (𝑜°).

(i) Jika amplitudo gelombang datang di kiri di x=0 adalah A1 tunjukkan bahwa amplitudo gelombang

yang diteruskan di medium (3) di titik Q adalah 𝐴1𝑡12𝑡21𝑟212 𝑒𝑖3𝑘2𝑑.

(ii) gelombang tsb akan mengalami multiple refleksi –transmisi di medium (2), dengan menjumlahkan

semua gelombang yang diteruskan di medium (3) tunjukkan bahwa rasio 𝐴3

𝐴1 yg diperoleh identik

dengan hasil (a).

&&&&&&&&AG92017&&&&&&&&&

(2)