Chap 7Model-Gas Real dan

Ekspansi Virial

1. Ekspansi Virial

2. Gugus Mayer

Fungsi Partisi Kanonik Untuk Gas Dengan Interaksi Lemah

• Misalkan terdapat interaksi (potensial) antar 2 partikel : 𝑢𝑖𝑗,

sehingga Hamiltonian system N partikel diberikan oleh:

𝐻 𝒑, 𝒓 =1

2𝑚

𝑗=1

𝑁

𝑝2 +

𝑖<𝑗

𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑢𝑖𝑗

Dengan 𝑢𝑖𝑗 = 𝑢 𝒓𝒊, 𝒓𝒋 dan 𝑝𝑗2 = 𝑝𝑗𝑥

2 + 𝑝𝑗𝑦2 + 𝑝𝑗𝑧

2

• Fungsi partisi kanonik klasik akan diberikan oleh:

𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 =1

ℎ3𝑁𝑁!න 𝑑𝒑𝑑𝒓 𝑒−𝛽𝐻(𝒑,𝒓)

Dengan 𝑑𝒑 ≡ 𝑑3𝑁𝒑𝑑3𝑁𝒓

Integral Konfigurasi

Integral di ruang momentum segera bisa dilakukan (lihat gas ideal tanpa interaksi):

1

ℎ3𝑁න0

∞

𝑑𝑁𝑝 exp −𝛽

2𝑚

𝑗=1

𝑁

𝑝𝑗2 =

1

𝜆3𝑁

Dengan : 𝜆 = ℎ/ 2𝜋𝑚 𝑘𝑇. Jadi fungsi partisi kanoniknya menjadi:

𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 =𝑍𝑁

𝑁! 𝜆3𝑁Dengan ZN adalah integral konfigurasi sbb:

𝑍𝑁 = න𝑑𝑁𝑟 exp −𝛽

2𝑚

𝑗<𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑁

𝑢𝑖𝑗

Integral Konfigurasi

Integral konfigurasi akan dihitung secara perturbative dengan ekspansi parameter kecil . Definisikan fij :

𝑓𝑖𝑗 = 𝑒−𝛽𝑢𝑖𝑗 − 1

Maka ZN dapat dituliskan sbg:

𝑍𝑁 = න𝑑𝑁𝑟ෑ

𝑖<𝑗

𝑁

ෑ

𝑗=1

𝑁

exp −𝛽𝑢𝑖𝑗 = න𝑑𝑁𝑟ෑ

𝑖<𝑗

𝑁

ෑ

𝑗=1

𝑁

1 + 𝑓𝑖𝑗

Perhatikan bahwa:

ෑ

𝑖<𝑗

𝑁

ෑ

𝑗=1

𝑁

1 + 𝑓𝑖𝑗 = 1 + 𝑓12 1 + 𝑓13 1 + 𝑓23 … . .

Integral Konfigurasi

ෑ

𝑖<𝑗

𝑁

ෑ

𝑗=1

𝑁

1 + 𝑓𝑖𝑗 = 1 +

𝑖<𝑗

𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑓𝑖𝑗 +

𝑖<𝑗

𝑁

𝑗=1

𝑁

𝑘<𝑙

𝑁

𝑙=1

𝑁

𝑓𝑖𝑗 𝑓𝑘𝑙 +⋯

Conoth untuk 3 partikel:

ෑ

𝑖<𝑗

3

ෑ

𝑗=1

3

1 + 𝑓𝑖𝑗 = 1 + 𝑓12 1 + 𝑓13 1 + 𝑓23

ෑ

𝑖<𝑗

3

ෑ

𝑗=1

3

1 + 𝑓𝑖𝑗 = 1 + 𝑓12 + 𝑓13 + 𝑓23 +

𝑓12𝑓13 + 𝑓12𝑓23 + 𝑓13𝑓23 + 𝑓12𝑓13 𝑓23

Integral Konfigurasi

Suku pertama : gas ideal – tak ada interaksi:

𝐼1 = 𝑉 𝑑𝑁𝑟 1 𝑉= 𝑑3𝒓1 𝑉 𝑑3𝒓2…𝑉 𝑑3𝒓𝑁 = 𝑉𝑁

Suku kedua :

𝐼2 =

𝑖<𝑗

𝑁

𝑗=1

𝑁

න𝑉

𝑑3𝑟1…𝑑3𝑟𝑁𝑓𝑖𝑗

Salah satu sukunya misalnya:

න𝑉

𝑑3𝑟1𝑑3𝑟2𝑓12න

𝑉

𝑑3𝑟3…𝑑3𝑟𝑁 = 𝑉𝑁−2න𝑉

𝑑3𝑟1𝑑3𝑟2𝑓12

Suku semacam ini untuk semua pasangan (I,j) berbeda ada sebanyak 𝑁(𝑁 − 1)/2, sehingga:

Integral Konfigurasi

𝐼2 =𝑁 𝑁 − 1

2𝑉𝑁−2 න

𝑉

𝑑3𝑟1𝑑3𝑟2𝑓12

Akan tetapi potensial 𝑢𝑖𝑗 biasanya hanya bergantung jarak

relative 𝑟𝑖 , 𝑟𝑗 sehingga :

න𝑉

𝑑3𝑟1𝑑3𝑟2𝑓12 = 𝑉න

𝑉

𝑑3𝑟 𝑓(𝑟)

Dan

𝐼2 =𝑁 𝑁 − 1

2𝑉𝑁−1 න

𝑉

𝑑3𝑟 𝑓(𝑟)

Fungsi Partisi Kanonik

Pada umumnya potensial interaksi hanya bergantung jarak ri

dan rj bukan pada posisi absolutnya, sehingga:

𝑍𝑁 = 𝑉𝑁 +𝑁 𝑁 − 1

2𝑉𝑁−1 න

0

∞

4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟 + ⋯ .

Dan fungsi partisi kanoniknya dapat dinyatakan sbg:

𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 =𝑍𝑁

𝜆3𝑁𝑁!=

𝑉𝑁

𝜆3𝑁𝑁!(1 + 𝛼 𝑇 + …)

Dengan

𝛼 =𝑁 𝑁 − 1

2𝑉න

0

∞

4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟

Fungsi Energi Bebas Helmhotz

Seperti biasa berbagai hubungan thermodinamika bisa didapatkan melalui ungkapan energy bebas Helmhotz:

𝐴 = −𝑘𝑇 ln𝑄𝑁 = −𝑘𝑇 ln𝑉𝑁

𝜆3𝑁𝑁!1 + 𝛼 𝑇 +⋯ .

𝐴 = −𝑘𝑇 ln𝑉𝑁

𝜆3𝑁𝑁!− 𝑘𝑇 ln 1 + 𝛼 𝑇 +⋯ .

Untuk 𝛼 kecil maka ln 1 + 𝛼 ≈ 𝛼 sehingga :

𝐴 ≈ −𝑘𝑇 ln𝑉𝑁

𝜆3𝑁𝑁!+ 𝛼(𝑇)

Persamaan Keadaan Gas Real

Persamaan keadaan dapat diperoleh melalui hubungan:

𝑃 = −𝜕𝐴

𝜕𝑉𝑁,𝑇

=𝑁𝑘𝑇

𝑉− 𝑘𝑇

𝜕𝛼

𝜕V+ . .

𝜕

𝜕𝑉

𝑁 𝑁 − 1

2𝑉න

0

∞

4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟 = −𝑁 𝑁 − 1

2𝑉2න

0

∞

4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟

Dengan aprosimasi 𝑁 𝑁 − 1 ≈ 𝑁2 dan definisi 𝑛 =𝑁

𝑉, maka

𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 1 +1

2𝑛 න

0

∞

4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟 +⋯

Persamaan Keadaan Gas Real- Ekspansi Virial

𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 1 + 𝑛𝐴2 𝑇 + 𝑛2𝐴3 𝑇 +⋯

Dimana 𝐴2(𝑇) dikenal sebagai koefisien virial kedua :

𝐴2 𝑇 = 2𝜋න

0

∞

𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟

• Secara teknis, persoalan menjadi, bagaimana cara mencari koefisien-koefisien virial untuk mendapatkan hasil yg lebih teliti, bilamana model potensial interaksi antar partikel diketahui : u(r)

Potensial Bola Keras (Hard Sphere)

Model potensial Hard-Sphere dg jari-jari a:Sehingga:

Jadi koefisien virial kedua:

𝐴2 𝑇 = −2𝜋න

0

𝑎

𝑟2𝑑𝑟 = −2

3𝜋𝑎3

𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 1 −2

3𝑛𝜋𝑎3 +⋯ → 𝑃𝑉 = 𝑁𝑘𝑇{1 −

2𝑁

3𝑉𝜋𝑎3 +⋯ . }

=

ar

arru

0)(

U(r)

r

−=−= −

ar

arerf ru

0

11)( )(

Bagaimana merumuskan dan mencari koefisien virial orde-ordeberikutnya??

Linked-Cluster Expansions – Gugus Mayer

Telah didemonstrasikan kebutuhan untuk secara sistematismendapatkan suku-suku koreksi pada fungsi partisi ataupersamaan keadaan. Sepasang suami istri Mayer menemukancara mengasosiasikan suku-suku koreksi dengan sekumpulangrafik yg khas .Kita mulai dari integral konfigurasi:

+++=

i ij

kl

k kl

ij

i ij

ijN fffdrZ 1

Linked-Cluster Expansions – Gugus Mayer

Gambar disamping mengilustrasikanberbagai suku-suku:Biru : suku-suku fij merah fijfkl kuningfijfklfmn , misal

Misal suku f8b fab f9a dan f23 f47 f56

Jadi tiap garis menghubungkan 2 vertex melambangkan fij

2

3 4 5

8 9

b a

7 6

Linked-Cluster Expansions – Gugus Mayer

Jadi ekspansi berbagai suku terasosiasi dengan berbagai grafikconnected maupun disconnected. Tetapi semua grafikdisconnected bisa dinyatakan dengan grafik connected.

Berikut contoh beberapa gambar-gambar grafik yg terkait dengan suku-suku tertentu: (contoh-contoh)fij

fijfkl

fijfklfmn

Semua bisa dinyatakansebagai jumlah

connected-graph (gugus) saja

Linked-Cluster Expansions – Gugus Mayer

Dapat dibuktikan bahwa fungsi partisi grand kanonik dapatdituliskan sbg:

ln 𝜁 =𝑉

𝜆3

𝑘

∞

𝑧𝑘𝑏𝑘

Dengann z : fugacity, dan bk dihitung berdasarkan linked-cluster (gugus) sbb:

𝑏𝑘 𝑉, 𝑇 =1

𝑘! 𝜆3(𝑘−1)𝑉𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑔𝑢𝑔𝑢𝑠 − 𝑘 𝑦𝑔 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑎𝑡

Gugus –k adalah connected-graph dengan k-titik atau vertex.Contoh:

111

!1

11

3

0)11(31 ==== −V

Vrd

VVb

Vb

)12(32!2

1−

=

= 122

3

1

3

32

1frdrd

V1 2

l=

•l=3

•k=1

•k=2

Linked-Cluster Expansions – Gugus Mayer

Vb

)13(33!3

1−

=

1323123

3

2

3

1

3

23123

3

2

3

1

3

63 36

1fffrdrdrdffrdrdrd

Vb +=

+ ++

1 3

2 2

31

2

1 3 1 3

2

Vb

)14(34!4

1−

=

+

+=

341323124

3

3

3

2

3

1

3

34124

3

3

3

2

3

1

3

34124

3

3

3

2

3

1

3

94

63

24

1

ffffrdrdrdrd

ffrdrdrdrdffrdrdrdrd

Vb

•k=4

•k=3

+ 6 +

1 3

2 2

31

2

1 3

44 4

3

Fungsi Partisi Grand Kanonik

• Fungsi partisi grand kanonik:

𝑃𝑉

𝑘𝑇= ln 𝜁 =

𝑉

𝜆3

𝑘

∞

𝑧𝑘𝑏𝑘

• Jumlah partikel rata-rata:

𝑁 =< 𝑁 >= 𝑧𝜕

𝜕𝑧ln 𝜁 =

𝑉

𝜆3

𝑘

∞

𝑘𝑧𝑘𝑏𝑘

Atau :

𝑁

𝑉= 𝑛 =

1

𝜆3

𝑘

∞

𝑘𝑧𝑘𝑏𝑘

Perhatikan nilai bk dihitung dari integral terhadap graph yg terkait.

Ekspansi Virial

Dengan v= V/N persamaan keadaandapat diekspansikan sebagai deretkuasa dari (3 /v):

𝑃𝑣

𝑘𝑇=

𝑘=1

∞

𝑎𝑘𝜆3

𝑣

𝑘−1

=

Koefisien ekspansi ak dihitung dari 2 persamaan sebelumnya melalui nilai bk

(σ𝑘=1∞ 𝑧𝑘𝑏𝑘/σ𝑘=1

∞ 𝑘𝑏𝑘(𝑧𝑘)

𝑃𝑣

𝑘𝑇=

𝑘=1

∞

𝑎𝑘𝜆3

𝑣

𝑘−1

𝑃

𝑘𝑇=

1

𝜆3

𝑘=1

∞

𝑧𝑘𝑏𝑘

1

𝑣=

1

𝜆3

𝑘=1

∞

𝑘𝑧𝑘𝑏𝑘

Ekspansi Virial

𝑘=1

∞

𝑏𝑘𝑧𝑘 =

𝑘=1

∞

𝑘𝑏𝑘𝑧𝑘

𝑛=1

∞

𝑎𝑛𝜆3

𝑣

𝑘−1

=

𝑘=1

∞

𝑏𝑘𝑧𝑘 =

𝑘=1

∞

𝑘𝑏𝑘𝑧𝑘

𝑛=1

∞

𝑎𝑛

𝑚=1

∞

𝑚𝑧𝑚𝑏𝑚

𝑛−1

Berarti:

𝑏1𝑧1 + 𝑏2𝑧

2 + 𝑏3𝑧3 +⋯ . .=

𝑏1𝑧1 + 2𝑏2𝑧

2 + 3𝑏3𝑧3 +⋯ ∗

{𝑎1+𝑎2 𝑏1𝑧1 + 2𝑏2𝑧

2 + 3𝑏3𝑧3 +⋯ +

𝑎3 𝑏1𝑧1 + 2𝑏2𝑧

2 + 3𝑏3𝑧3 +⋯ 2 +⋯}

Ekspansi VirialSamakan koefisien 𝑧𝑘:

𝑧 : 𝑏1 = 𝑏1𝑎1 → 𝑎1 = 1 ingat 𝑏1 = 1𝑧2 : 𝑏2 = 2𝑏2𝑎1 + 𝑎2𝑏1

2 → 𝑏2 = 2𝑏2 + 𝑎2 → 𝑎2 = −𝑏2𝑧3 : 𝑏3 = 3𝑎1𝑏3 + 2𝑎2𝑏1𝑏2 + 2𝑎2𝑏1𝑏2 + 𝑎3𝑏1

3

𝑏3 = 3𝑏3 − 4𝑏22 + 𝑎3 → 𝑎3 = −2𝑏3 + 4𝑏2

2

Dst

Model Hard sphere:

𝑢 𝑟 = ቊ∞ 𝑟 < 𝑎0 𝑟 ≥ 𝑎

→ 𝑓 𝑟 = 𝑒−𝛽𝑢(𝑟) − 1 = ቊ−1 𝑟 < 𝑎0 𝑟 ≥ 𝑎

Ekspansi Virial

𝑢 𝑟 = ቊ∞ 𝑟 < 𝑎0 𝑟 ≥ 𝑎

→ 𝑓 𝑟 = 𝑒−𝛽𝑢(𝑟) − 1 = ቊ−1 𝑟 < 𝑎0 𝑟 ≥ 𝑎

𝑏2 =1

2𝜆3𝑉න𝑑3𝒓𝟏𝑑

3𝒓𝟐 𝑓12 =1

2𝜆3 𝑑3𝒓12𝑓(𝑟12)

𝑏2 =1

2𝜆3න0

∞

4𝜋𝑟2𝑓 𝑟 𝑑𝑟 = −1

2𝜆3න0

𝑎

4𝜋𝑟2𝑑𝑟

𝑏2 = −2𝜋𝑎

3𝜆3

Dengan ini :

𝑎2 = −𝑏2 =2𝜋𝑎

3𝜆3

Pers. Keadaan

Maka:

𝑃𝑣

𝑘𝑇=

𝑘=1

∞

𝑎𝑘𝜆3

𝑣

𝑘−1

= 𝑎1 + 𝑎2𝜆3

𝑣+⋯

𝑃𝑣

𝑘𝑇= 1 +

2𝜋𝑎

3

1

𝑣+⋯

• Dengan 𝑣 =𝑉

𝑁maka hasil ini sama dengan ekspansi virial yang

sebelumnya.

Perumusan Linked Cluster Expansions*)

• Pada bagian ini akan diturunkan cara menghitung integral konfigurasi dengan Linked-Cluster Expansions.

• Kita mulai dengan integral konfigurasi ZN:

𝑍𝑁 𝑉,𝑇 = 𝑑3𝑟1…𝑑3𝑟𝑁ෑ

𝑗<𝑖

𝑁

ෑ

𝑖=1

𝑁

(1 + 𝑓𝑖𝑗)

Arti perkalian tsb, adalah perkalian factor (1 + 𝑓𝑖𝑗) untuk

seluruh kemungkinan pasangan (i,j) (dengan i<j, mengapa?).

Contoh N=3:

ς𝑗<𝑖𝑁 ς𝑖=1

𝑁 (1 + 𝑓𝑖𝑗) = (1 + 𝑓12) (1 + 𝑓13) 1 + 𝑓23 =

= 1 + (𝑓12+𝑓13 + 𝑓23) +𝑓12𝑓13 + 𝑓12𝑓23 + 𝑓13𝑓23 + 𝑓12𝑓13𝑓23

Hubungan ZN dengan Graph

• Sehingga secara umum dapat dituliskan:

𝑍𝑁 𝑉,𝑇 = 𝑑3𝑟1…𝑑3𝑟𝑁{1 +

𝑖<𝑗

𝑁

𝑗

𝑁

𝑓𝑖𝑗 +

𝑘<𝑙

𝑁

𝑙

𝑁

𝑖<𝑗

𝑁

𝑗

𝑁

𝑓𝑘𝑙𝑓𝑖𝑗 +… . }

Setiap suku di integrand tsb dapat divisualisasikan sebagai graph:

1 f12 f12 f34 f12 f13

1 1 21 2

3 4

1

2

3

Apakah Graph?

• Apakah grafik ?

Himpunan titik (vertex) dan garis (bond).

• Grafik bisa berlabel atau tak berlabel

• Grafik bisa connected/linked (terhubung) atau

disconnected (tak terhubung)

1 2

vertex

bond

Grafik Partikel-N

• Grafik partikel-N :– Kumpulan N vertex yang dilabeli 1,2,…N dan mengandung sejumlah

garis penghubung antara vertex yang berbeda

• Jika 𝛼, 𝛽 …𝛾 adalah garis-garis penghubungnya, maka grafik tsb diasosiasikan dengan integral berikut ini:

𝑑3𝑟1…𝑑3𝑟𝑁 𝑓𝛼𝑓𝛽 …𝑓𝛾

• Karena grafik partikel –N berlabel, maka cara pelabelan berbeda menghasilkan grafik yg beda. Contoh:

2

1

3 1

2

3 3

2

1 1

2

3

=

Grafik Partikel-N dan ZN

• Grafik sebagai cara visualisasi berbagai suku integral:

• Maka integral konfigurasi dapat dinyatakan sebagai jumlah total seluruh grafik partikel N:

𝑍 = (𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙 𝑁 𝑦𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎)

Disconnected graph dapat dituliskan sebagai perkalian dari masing-masing connected graph

Grafik Cluster-k dan Integral Cluster-k

• Grafik cluster-k : connected k-vertex graph. Himpunan k vertex yang saling terhubung.

• Definisikan integral cluster-k sebagai :

𝑏𝑘 𝑉, 𝑇 =1

𝑘!𝜆3(𝑘−1)𝑉[jumlah seluruh cluster-k berlabel yg beda]

Grafik Cluster-k

• Contoh beberapa integral konfigurasi bk

• Sebuah Grafik-Partikel N adalah kumpulan (hasil kali) dari cluster-graph dengan jumlah vertex k, yg memenuhi kriteria:

𝑘

𝑘𝑚𝑘 = 𝑁

Cara membuat Grafik Cluster-k

• Tetapi dengan mendefinisikan himpunan tertentu {mk} yg memenuhi kriteria tsb, tidak mendefinisikan secara unik grafik partikel-N. Ada banyak macam cluster-graph yg terkait dengan {mk} yg sama, sebab:

• a. Banyak cara membentuk cluster-k yg berbeda

• b. Banyak cara labeling untuk cluster-k yang sama

• Jadi himpunan {mk} tertentu terkait dengan sekumpulan grafik.

2

1

3 1

2

3

S{mk}

• Jika S{mk} himpunan seluruh grafik yg terkait dengan suatu distribusi {mk} tertentu, maka jumlah terhadap seluruh kemungkinan {mk} yg memenuhi kriteria adalah Z:

𝑍 =

{𝑚𝑘}

𝑆 𝑚𝑘

• Yang memenuhi kriteria σ𝑘 𝑘𝑚𝑘 = 𝑁

• Bagaimana cara mendapatkan S{mk}?

1. Buat sebuah grafik partikel-N terkait dengan distribusi jumlah vertex tertentu {mk}.

1-vertex : m1 buah

2-vertex: m2 buah dst

S{mk}

• Masing-masing grafik cluster-k yg terlibat bisa berbeda

• Total vertex =N

• Kemudian tiap vertex bisa diberi label 1,2,…N. Setiap permutasi label ini akan menghasilkan grafik-N yang berbeda.

• Jika seluruh kemungkinan di atas dilakukan maka akan diperoleh S{mk}:

Permutasi dan Labelling

• Arti notasi jumlah P: dijumlahkan terhadap seluruh kemungkinan permutasi label 1,2,…N. Dan jika suku (..+..+..)m dibuka akan menghasilkan banyak grafik, tetapi ketika dijumlahkan thd P, total vertex =N

• Jadi ada mk cluster-k, permutasi diantara mk ini tidaklah menghasilkan grafik baru!

• Di dalam penjumlahan terhadap seluruh cluster-k, permutasi label diantara k vertex tsb tidak akan menghasilkan grafik N-partikel yg baru. Contoh:

Banyak Suku terkait {mk}

• Jadi banyaknya suku terkait dengan suatu distribusi {mk} tertentu di S{mk} adalah:

𝑁!

1! 𝑚1! 2! 𝑚2!… 𝑚1!𝑚2! …

• Dan setiap suku tsb berkontribusi (lihat definisi bk):

1! 𝑉𝑏1𝑚1 2! 𝜆3𝑉𝑏2

𝑚2 3! 𝜆6𝑉𝑏3𝑚3 …

• Menggunakan ini maka S{mk} adalah:

𝑆 𝑚𝑘 = 𝑁! ෑ

𝑘

𝑁𝑉𝜆3𝑘−3𝑏𝑘

𝑚𝑘

𝑚𝑘!= 𝑁! 𝜆3𝑁 ෑ

𝑘

𝑁𝑉𝑏𝑘/𝜆

3 𝑚𝑘

𝑚𝑘!

QN sebagai Integral Cluster-k

• Mengingat fungsi partisi kanonik QN:

𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 =1

𝑁! 𝜆3𝑁𝑍𝑁

Dan definisi ZN dalam S{mk}:

𝑄𝑁(𝑉, 𝑇) =

{𝑚𝑘}

ෑ

𝑘=1

𝑁𝑉𝑏𝑘/𝜆

3 𝑚𝑘

𝑚𝑘!

Dengan kendala σ𝑘 𝑘𝑚𝑘 = 𝑁

• Kendala ini mempersulit penjumlahan tsb. Untuk melonggarkan hal tsb maka digunakan fungsi partisi Grand Kanonik, sehingga setiap mk=0,1,2,…..

𝜁(𝑧, 𝑉, 𝑇) dan Integral Cluster

• Fungsi partisi grand kanonik:

𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 =

𝑁=0

∞

𝑧𝑁𝑄𝑁 𝑉, 𝑇 =

𝑁=0

∞𝑧

𝜆3

𝑁 𝑍𝑁 𝑉, 𝑇

𝑁!

𝜁(𝑧, 𝑉, 𝑇) =

𝑁=0

∞

𝑧𝑁

𝑚𝑘

ෑ

𝑘=1

𝑁𝑉𝑏𝑘/𝜆

3 𝑚𝑘

𝑚𝑘!

• Dengan σ𝑘 𝑘𝑚𝑘 = 𝑁 maka 𝑧𝑁 = 𝑧1𝑚1+2𝑚2+⋯

𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 =

𝑚1=0

∞

𝑚2=0

∞

…𝑉𝑧𝑏1/𝜆

3 𝑚1

𝑚1!

𝑉𝑧2𝑏2/𝜆3 𝑚2

𝑚2!…

𝜁(𝑧, 𝑉, 𝑇) dan Integral Cluster

• Dengan mengingat 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2!+

𝑥3

3!+⋯

𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 =ෑ

𝑘=1

∞

exp𝑉𝑧𝑘𝑏𝑘𝜆3

Atau

ln 𝜁 𝑧, 𝑉, 𝑇 =𝑉

𝜆3

𝑘=1

∞

𝑧𝑘𝑏𝑘