Efek de Haas-Van Alphen

• Diagmagnetisasi Landau pada suhu rendah menimbulkan efekosilasi dari susceptibilitas magnetik ketika medan magnet luarditurunkan, efek ini disebut efek de Haas-Van Alphen.

• Secara prinsip penyebabnya adalah karena Level Landau yg di bawah sudah penuh sehingga elektron harus melompatmengisi level Landau yang berikutnya.

• Telah diturunkan definisi 𝑔 =𝑒𝐻

ℎ𝑐𝐿2 dan 𝜔0 =

𝑒𝐻

𝑚𝑐.

• Untuk level Landau-j energi (mengabaikan gerak arah Z):

• 𝜖𝑗 = ℏ𝜔0 𝑗 +1

2=

ℏ𝑒𝐻

𝑚𝑐𝑗 +

1

2

Efek de Haas-Van Alphen

• Dengan definisi Bohr magneton, 𝜇0 =eℏ

2𝑚𝑐maka ungkapan

energi dapat dituliskan:

• 𝜖𝑗 = 2𝜇0𝐻(𝑗 +1

2), sedangkan degenerasi dari level Landau

tsb :

• 𝑔 =𝑒𝐻

ℎ𝑐𝐿2 =

𝐻𝐿2

ℎ𝑐

𝑒

=𝐻𝐿2

ℎ𝑐

𝑒

• Definisikan n=N/L2 jumlah elektron persatuan luas (dibidangXY), maka :

• 𝑔 =𝐻𝑁

𝑛ℎ𝑐/𝑒= 𝑁

𝐻

𝐻0dengan 𝐻0 = 𝑛ℎ𝑐/𝑒.

Efek de Haas-Val Alphen

• H0 : besar medan magnet H batas, jikalau H>H0 maka seluruhN partikel dapat ditampung dalam 1 level Landau.

• Jika H>H0 maka seluruh partikel (N) dapat ditampung padalevel Landau terendah (ground state), sebab g>N.

• Energi ground state per partikel adalah:

•𝐸0

𝑁= 𝜇0𝐻 (kasus j=0, dengan kondisi H>H0).

• Jika H<H0 maka sebagian partikel terpaksa menempati tingkatlebih tinggi.

Efek de Haas-Val Alphen

• Misal H sedemikian sehingga sebanyak j level Landau terendah terisi penuh, lalu level (j+1) terisi sebagian dan level lebih tinggi kosong. Maka syarat bagi H semacam ini adalah:

• 𝑗 + 1 𝑔 < 𝑁 < 𝑗 + 2 𝑔 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑗 + 1 <𝑁

𝑔< 𝑗 + 2

atau

•1

𝑗+2<

𝐻

𝐻0<

1

𝑗+1

• Untuk H dalam interval yg disebutkan, maka energi per partikel:

• E0 = {energi level-0 ds level-j}+{energi sisa partikel yg menempati level-(j+1)}

Energi Per Partikel

• 𝐸0 = 𝑔 𝑖=0𝑗

𝜖𝑖 + 𝑁 − 𝑗 + 1 𝑔 𝜖𝑗+1

• Dengan 𝜖𝑖 = 2𝜇0𝐻(𝑖 +1

2) dan 𝑔 = 𝑁𝐻/𝐻0 dapat

ditunjukkan:

• 𝐸0 = 𝜇0𝑁𝐻 2𝑗 + 3 − 𝑗 + 1 𝑗 + 2𝐻

𝐻0

• Ini untuk1

𝑗+2<

𝐻

𝐻0<

1

𝑗+1𝑎𝑡𝑎𝑢

1

𝑗+2< 𝑥 <

1

𝑗+1dengan

x=H/H0, sehingga untuk kondisi ini (x<1):

• 𝐸0/𝑁 = 𝜇0𝐻0𝑥 2𝑗 + 3 − 𝑗 + 1 𝑗 + 2 𝑥

• Sedangkan untuk H>H0 atau x>1, maka seluruh partikel di ground state:

• 𝐸0 = 𝑁𝜇0𝐻 𝑎𝑡𝑎𝑢𝐸0

𝑁= 𝜇0𝐻0𝑥

Energi, Magnetisasi danSusceptibilitas

𝐸0𝑁=

𝜇0𝐻0𝑥 𝑥 > 1

𝜇0𝐻0𝑥 2𝑗 + 3 − 𝑗 + 1 𝑗 + 2 𝑥 𝑥 < 1 &1

𝑗 + 2< 𝑥 <

1

𝑗 + 1

Sedangkan magnetisasi per volum :𝑀

𝑉= −

𝜕𝐸0𝑁

𝜕𝐻= −

1

𝐻0

𝜕𝐸0/𝑁

𝜕𝑥,

𝑀 =

−𝜇0 𝑥 > 1

−𝜇0 2𝑗 + 3 − 2 𝑗 + 1 𝑗 + 2 𝑥 𝑥 < 1 &1

𝑗 + 2< 𝑥 <

1

𝑗 + 1

Susceptibilitas per volum :𝜒 = −𝜕𝑀

𝜕𝐻= −

1

𝐻0

𝜕𝑀

𝜕𝑥,

𝜒 =

0 𝑥 > 12𝜇0H0

𝑗 + 1 𝑗 + 2 𝑥 < 1 &1

𝑗 + 2< 𝑥 <

1

𝑗 + 1

Efek De Haas – Van Alphen

x

x

Paramagnetism Pauli

• Gejala paramagnetism ygbersumber pada induksi elektronbebas oleh medan magnet luar. Bandingkan dengan paramagnetismCurier (pierre!) yg terkait denganelektron yg terlokalisir.

• Mekanisme mikro yg menyebabkan timbulnya paramagnetism Pauli ini adalah karena pada elektron bebas, ketika dipengaruhi oleh medan magnet luar maka density of states dari elektron yg parallel dan anti parallel mengalami shifting (lihat gbr)

Paramagnetism Pauli

• . Sedangkan tingkat Fermi (top level) tetap, maka sebagian darielektron yg parallel yg energinya> energi Fermi akan mengalamiflipping sehingga menjadi anti paralel. Sebagai akibatnya terjadiperbedaan DOS dari paralelstates dan anti paralel state, ygmenyebabkan nett magnetisasi.

Paramagnetism Pauli

• Hamiltonian dari elektron bebas di bawah pengaruh medan

magnet H, diberikan oleh: =1

2𝑚𝒑 +

𝑒

𝑐𝑨

𝟐− 𝜇0𝝈.𝑯

• Dengan 𝜇𝑜 = 𝑒ℏ/2𝑚𝑐 dan matrix spin Pauli. Suku pertamaterkait dengan diamagnetism, sedangkan yg kedua denganparamagnetism.

• Energi satu elektron bebas terkait dengan spin Pauli adalah:

• 𝜖𝒑,𝑠 =𝑝2

2𝑚− 𝑠𝜇0𝐻 dengan s=1

• Energi total sistem N elektron bebas diberikan oleh:

𝐸 𝑛𝒑,𝑠 =

𝒑,𝑠

𝜖𝒑,𝑠𝑛𝒑,𝑠

Paramagnetism Pauli

Sebagai Fermion maka elektron dengan spin ½ tunduk padapersamaan:

𝑃

𝑘𝑇=

2

𝜆3𝑓5/2 (𝑧) dan

1

𝑣=

2

𝜆3𝑓3/2 (𝑧)

• Dengan definisi:

𝑓3/2 𝑧𝑚 =4

𝜋 0

∞

𝑑𝑥𝑥2

𝑧𝑚−1𝑒𝑥2 + 1

Dimana 𝑧𝑚 = 𝑧𝑒±𝛽𝜇0𝐻 dan 𝑧 = 𝑒𝛽𝜇.

Rapat Spin Up/Down

Karena energi perspin s diberikan oleh Es = s0H, maka

magnetisasi per spin adalah m =𝜕𝐸

𝜕𝐻= 𝑠𝜇0. Dan magnetisasi

total menjadi:𝑀 = 𝜇0 𝑁+ − 𝑁−

Dengan N+/- adalah jumlah spin up/down, untuk masing-masingspin diberikan oleh :

1

𝑣+=𝑁+𝑉

=1

𝜆3𝑓3/2 ( 𝑧𝑒

𝛽𝜇0𝐻)

1

𝑣−=𝑁−𝑉

=1

𝜆3𝑓3/2 ( 𝑧𝑒

−𝛽𝜇0𝐻)

Magnetisasi Suhu Tinggi

• Kasus T>> (suhu tinggi) H<< medan lemah.

Jika suhu tinggi dan medan H relatif kecil, maka z kecil sehinggaboleh didekati:

𝑓3/2 𝑧 ≈ 𝑧

Magnetisasi menjadi:

𝑀 =𝜇0𝑉

𝜆3[ 𝑓3

2𝑧𝑒𝛽𝜇0𝐻 − 𝑓3

2(𝑧𝑒−𝛽𝜇0𝐻)]

𝑀 ≈𝜇0𝑉

𝜆3𝑧 𝑒𝛽𝜇0𝐻 − 𝑒−𝛽𝜇0𝐻 =

2𝜇0𝑉

𝜆3𝑧sinh(𝛽𝜇0𝐻)

Parameter z bisa dieliminasi dengan bantuan jumlah total spin =N

Magnetisasi Suhu Tinggi

𝑁 = 𝑁+ +𝑁− ≈2𝑉𝑧

𝜆3cosh(𝛽𝜇0𝐻)

Sehingga diperoleh :𝑀 ≈ 𝜇0N tanh(𝛽𝜇0𝐻)

• Pada suhu tinggi medan H kecil, maka aproksimasitanh 𝑥 ≈ 𝑥 akan menghasilkan :

• 𝑀 ≈ 𝜇02𝑁𝛽𝐻 =

𝜇02𝑁

𝑘𝑇𝐻

Susceptibiltas Suhu Tinggi

• Susceptibilitas magnetiknya menjadi:

• 𝜒 =𝜕𝑀

𝜕𝐻≈

𝜇02𝑁

𝑘𝑇

• Atau susceptibilitas per unit volum:𝜒 ≈𝜇02

𝑘𝑇𝑣

• Dengan v=V/N. Hasil ini sama dengan kalau diturunkan untukkasus klasik dengan spin lokal up/down menggunakandistribusi Boltzmann yang dikenal dengan hukum Curie (Pierre!). Jadi efek kuantum tidak signifikan pada suhu tinggi.

Kasus Ground State

• Kasus Ground State

• Pada suhu rendah sekali (ground state) maka z>>, sehinggaaproksimasi yang dipergunakan adalah:

𝑓3/2 𝑧 =4

3 𝜋[ ln 𝑧

32 +

𝜋2

8ln 𝑧 −

12 +⋯]

Pada suhu rendah sekali, kita ambil suku pertama saja sehingga:

𝑓3/2 𝑧 ≈4

3 𝜋[ ln 𝑧

32

Maka untuk kasus ini:

𝑓32𝑧𝑒±𝛽𝜇0𝐻 ≈

4

3 𝜋ln 𝑧 ± 𝛽𝜇0𝐻

3/2

Kasus Ground State

Seperti pernah diturunkan pada suhu rendah 𝑧 ≈ 𝑒𝛽𝜖𝐹

dengan 𝜖𝐹: energi Fermi. Berarti dalam kasus ini:𝜆3

𝑣≈ 2 ∗

4

3 𝜋𝛽𝜖𝐹

3/2

Magnetisasi menjadi:

𝑀 =𝜇0𝑉

𝜆3[ 𝑓3

2𝑧𝑒𝛽𝜇0𝐻 − 𝑓3

2(𝑧𝑒−𝛽𝜇0𝐻)]

Memakai aproksimasi suhu rendah:

𝑀 ≈𝜇0𝑁

4∗2

3 𝜋

𝛽𝜖𝐹3/2

4

3 𝜋[ 𝛽𝜖𝐹 + 𝛽𝜇0𝐻

3/2 − 𝛽𝜖𝐹 − 𝛽𝜇0𝐻3/2 ]

Magnetisasi & Susceptibilitas Ground State

Jikalau 𝜖𝐹 ≫ 𝛽𝜇0𝐻 maka :

𝑀 ≈𝜇0𝑁

2𝛽3/2𝜖𝐹3/2 𝛽

3/2𝜖𝐹3/2

[ 1 +𝛽𝜇0𝐻

𝜖𝐹

3

2− 1 −

𝛽𝜇0𝐻

𝜖𝐹

3

2]

𝑀 ≈3𝑁𝜇0

2𝐻

2𝜖𝐹≈

3𝑁𝜇02𝐻

2𝜖𝐹

Atau susceptibilitasnya :

𝜒 =𝜕𝑀

𝜕𝐻≈

3𝑁𝜇02

2𝜖𝐹atau susceptibilitas per unit volum

𝜒 ≈3𝜇0

2

2𝜖𝐹𝑣