INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Ganesha No. 10 Bandung, 40132 Telp. (022) 2500834, 2534127, Fax. (022) 2506452
Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : [email protected]
Quiz 2 FI- 3101 Gelombang Hari/Tgl: Jumat, 19 Oktober 2018 Waktu : 10.00-11.00 (60 menit)
Petunjuk: 1. Quiz ini tutup buku. Boleh memakai calculator. 2. Tuliskan jawaban Anda di lembar jawab yang disediakan. Hati-hati dengan satuan.
1. Sebuah gelombang di tali diberikan oleh:
𝜓(𝑥, 𝑡) = 1(𝑐𝑚) cos( 𝜋[1000𝑡 + 𝑥]) dengan x dalam meter dan t dalam detik.
Hitunglah a. panjang gelombang, frekuensi sudut dan laju propagasi. (bobot: 9) b. besar kecepatan getaran maximum dan besar percepatan getaran maximum. (bobot: 6) c. Jika rapat massa tali 0,1 gr /m berapakah tegangan tali? (bobot: 5) d. Berapa impedansinya? (bobot: 10) e. rata-rata arus energinya? (bobot: 10)
JAWAB:
a. 𝜆 =2𝜋
𝑘=
2𝜋
𝜋= 2 𝑚 𝜔 = 1000𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠 𝑣 =
𝜔
𝑘=
1000𝜋
𝜋= 1000 𝑚/𝑠
b. kecepatan getar
𝑢 =𝜕𝜓
𝜕𝑡= −𝐴𝜔 sin(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)
A: amplitudo, maka besar kecepatan getar |𝑢max | = 𝐴𝜔 = 0,01 ∗ 1000𝜋 = 10𝜋 𝑚/𝑠 Percepatan getar
𝑎 =𝜕𝑢
𝜕𝑡= −𝐴𝜔2 cos(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)
Besar percepatan max |𝑎𝑚𝑎𝑥| = (0,01)10002𝜋2 = 104𝜋2 𝑚/𝑠2
c. Tegangan tali
rapat massa linear tali 𝜇 = 0,1𝑔𝑟
𝑚= 10−4𝑘𝑔/𝑚
𝑇 = 𝑣2𝜇 = 10002 ∗ 10−4 = 100𝑁 d. Impedansi
𝑍 = 𝑇
𝜕𝜓𝜕𝑥𝜕𝜓𝜕𝑡
=𝑇𝑘
𝜔=𝑇
𝑣=
𝑇
√𝑇𝜇
= √𝑇𝜇 = √100 ∗ 10−4 = 0,1𝑘𝑔
𝑠
e. Rata-rata arus energinya
Arus energi 𝑃 = 𝑍 (𝜕𝜓
𝜕𝑡)2= 𝑍𝜔2𝐴2 sin2(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)
Nilai rata-ratanya : < 𝑃 > = 𝑍𝜔2𝐴2 < sin2(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥) > =1
2𝑍𝜔2𝐴2 =
1
2(0,1)(1000𝜋)2(10−2)2 = 5𝜋2watt
SOLUSI
Atau:
< 𝑃 > =1
2𝑍 𝜔2𝐴2 =
1
2√𝑇𝜇𝜔2𝐴2 =
1
2𝜇𝜔2𝐴2𝑣 =
1
2(10−4)(1000𝜋)2(10−2)21000 = 5𝜋2 𝑤𝑎𝑡𝑡
2. Tali di soal 1, disambung ke tali kedua, dengan rapat massa 0,2 gr/m.
a. Buktikan dalam kasus dua tali disambung bahwa bahwa bilangan gelombang di tali k akan memenuhi :
𝑘1
𝑘2= √𝜇1
√𝜇2
dengan 𝜇: rapat massa linear. (bobot: 10) b. Pakailah hasil (a) tsb untuk menghitung koefisien refleksi dan transmisi dari tali soal no 1 ke
tali kedua ini? (bobot: 10) c. Berapakah reflektansi dan transmitansinya? (bobot: 10)
JAWAB:
a. 𝜔 = 𝑘𝑣 → 𝑘 =𝜔
𝑣 sedangkan cepat rambat 𝑣 = √
𝑇
𝜇 sehingga 𝑘 = 𝜔√
𝜇
𝑇 untuk tali yang disambung, maka
dimanapun juga tegangannya akan sama demikian juga frekuensinya, sehingga untuk dua tali yang disambung
𝑘1𝑘2=√𝜇1
√𝜇2
b. Koefisien refleksi diberikan oleh:
𝑟12 =𝑘1 − 𝑘2𝑘1 + 𝑘2
=√𝜇1 − √𝜇2
√𝜇1 + √𝜇2
Dengan 𝜇1 = 0,1 𝑔𝑟/𝑚 dan 𝜇2 = 0,2 𝑔𝑟/𝑚, maka:
𝑟12=√0,1 − √0,2
√0,1 + √0,2=1 − √2
1 + √2= −0,1715
Koefisien transmisi dapat dihitung dari
𝑡12 =2𝑘1
𝑘1 + 𝑘2
Atau 1 + 𝑟12 = 𝑡12 → 1 − 0,1715 = 𝑡12 → 𝑡12 = 0,8285
c. Reflektansi dan transmitansi
𝑅 = 𝑟122 = 0,17152 = 0,0294
Sedangkan 𝑅 + 𝑇 = 1 sehingga 𝑇 = 1 − 0,0294 = 0,9706
3. Rangkaian unit pulsa dengan tinggi =1, dan lebar 2𝑎 serta perioda antar pulsa 𝑇 dinyatakan oleh fungsi periodik berikut ini:
𝑓(𝑡) =
{
0, −
𝑇
2≤ 𝑡 ≤ −𝑎
1, −𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎
0, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤𝑇
2
Sifat periodiknya 𝑓(𝑡 + 𝑇) = 𝑓(𝑡). Turunkanlah deret Fourier sinus-cosinus untuk fungsi periodik ini.
a. Gambarkan sketsa f(t) tsb untuk beberapa pulsa (bobot: 5) b. Turunkan koefisien deret Fouriernya (bobot: 20) c. Tuliskan 3 suku tak nol yang pertama dari deret tsb. (bobot: 5)
JAWAB: a. Sketsa f(t)
b. Deret Fourier sinus cosinus untuk periode T diberikan oleh:
𝑓(𝑡) =1
2𝑎0 +∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1
cos(𝑛𝜔𝑡) +∑𝑏𝑛
∞
𝑛=1
sin(𝑛𝜔𝑡)
dengan : 𝜔 =2𝜋
𝑇, dan koefisien
𝑎𝑛 =2
𝑇∫ 𝑓(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
𝑏𝑛 =2
𝐿∫ 𝑓(𝑥) sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
Dari ungkapan f(t) soal tampak bahwa f(t) adalah fungsi genap sebab f(-t)=f(t), maka deret Fourier yang akan muncul adalah deret cosinus sebab cosinus adalah fungsi genap. Jadi
𝑏𝑛 = 0 Sedangkan
𝑎𝑛 =2
𝑇∫ 𝑓(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
𝑎𝑛 =2
𝑇[ ∫ cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡
𝑎/2
−𝑎/2
] =2
𝑛𝑇𝜔{sin (
𝑛𝜔𝑎
2) − sin (−
𝑛𝜔𝑎
2)} =
4
𝑛𝑇𝜔{sin (
𝑛𝜔𝑎
2)}
𝑎𝑛 =2
𝑛𝜋{sin (
𝑛𝜋𝑎
𝑇)}
Khusus 𝑎0
𝑎0 =2
𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
=2
𝑇∫ 𝑑𝑡
𝑎/2
−𝑎/2
=2𝑎
𝑇
Beberapa keofisien suku awal:
1
2𝑎0 =
𝑎
𝑇
𝑎1 =2
𝜋sin (
𝜋𝑎
𝑇)
𝑎2 =2
2𝜋sin (
2𝜋𝑎
𝑇)
Sehingga deretnya menjadi:
𝑓(𝑡) =𝑎
𝑇+2
𝜋(sin (
𝜋𝑎
𝑇) cos (
2𝜋𝑡
𝑇) +
1
2sin (2
𝜋𝑎
𝑇) cos (
4𝜋𝑡
𝑇) +⋯)
&&&&&&&OCT2018&&&&&&&&&