Kegiatan Belajar 1

21

Kegiatan Belajar 1

A.Pokok Bahasan:Himpunan

B. Sub Pokok Bahasan:Pengertian Himpunan

Penulisan Himpunan

Hubungan Diantara Himpunan-himpunan

Operasi Himpunan

Hukum-hukum Operasi Himpunan

C.Tujuan Instruksional Khusus:Mahasiswa akan dapat menjelaskan, menyimpulkan dan menunjukkan cara-cara penyajian- himpunan

1

HIMPUNAN

Disadari atau tidak, dalam kehidupan sehari-hari, sesungguhnya kita telah banyak menerapkan konsep himpunan. Di masyarakat kita, para dokter menghimpun dirinya dalam wadah yang dinamakan IDI, para sarjana ekonomi menghimpun dirinya dalam wadah yang dinamakan ISEI, para mahasiswa dengan wadah Himajen, bahkan anak-anak kecilpun sering melakukan kegiatan pengelompokkan mainan-mainan yang sejenis.

Konsep himpunan merupakan konsep yang paling mendasar bagi ilmu matematika modern pada umumnya dan dibidang ilmu ekonomi dan bisnis khususnya. Karena dalam bidang ekonomi dan bisnis terutama dalam hal pembentukan model kita harus menggunakan sekelompok data observasi dari lapangan, atau himpunan penyelesaian dari nilai-nilai variabel dalam suatu model, dan lain sebaginya. Jadi sangatlah penting bagi kita untuk mempelajari mengenai konsep, definisi dan penerapan-penerapan dari teori himpunan.

1.1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah suatu kumpulan obyek, yang diberi batasan serta dirumuskan secara tegas dan dapat dibedakan satu dengan yang lain. Sebagai contoh semua jurusan yang ada di Fakultas Ekonomi. Tiap objek, benda atau simbol yang secara kolektif membentuk suatu himpunan disebut elemen/unsur atau anggota dari himpunan tersebut.

1.2. Penulisan Himpunan

Penulisan himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital sedangkan elemen-elemen himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, dipisahkan dengan tanda koma dan didaftarkan dalam tanda kurung kurawal { }. Ada dua cara untuk menulis suatu himpunan, yaitu:

1. Cara tabulasi (roster method)

Cara tabulasi adalah suatu cara dengan mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota suatu himpunan.

Contoh:

1. A adalah himpunan warna lampu lalu lintas, maka himpunan tersebut dapat dinyatakan:

A = { Merah, Kuning, Hijau }

2. B adalah himpunan dari 5 bilangan bulat positif dari 1 sampai 5, maka himpunan tersebut dapat dinyatakan:

B = {1,2,3,4,5}

2. Cara pencirian (rule method)

Cara pencirian adalah suatu cara dengan menyebutkan karateristik tertentu dari obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut.

Contoh:

C adalah himpunan dari semua bilangan bulat positif, maka himpunan tersebut dapat dinyatakan:

C = {x| x bilangan bulat positif}

Pernyataan diatas dibaca C adalah himpunan seluruh bilangan x, sedemikian rupa sehingga x adalah bilangan bulat positif. Tanda | ini disisipkan untuk memisahkan antara simbol elemen dengan simbol uraian atau deskriptif dari elemen, sedangkan huruf x disini menyatakan sembarang elemen dari himpunan.

Anggota dalam suatu himpunan dinyatakan dengan notasi (epsilon) dan dibaca suatu elemen dari atau anggota dari, dan yang bukan anggota suatu himpunan dinyatakan dengan notasi .

Contoh:

A = {1,2,3} maka,

1 A

2 A

3 A

4. 4 .A

1.3. Hubungan Diantara Himpunan-himpunan1. Himpunan berhingga dan tak berhingga

Himpunan berhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung sedangkan himpunan tak berhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya tidak dapat dihitung.

Contoh himpunan berhingga:

A = {IESP, Manajemen, Akuntansi}

Contoh himpunan tak berhingga:

B = { x| x bilangan asli}

B = {1,2,3,4,}

2. Himpunan kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, Notasinya atau { }.

Contoh:

A = { x| x manusia berkepala tiga}

3. Himpunan semesta atau universal

Himpunan semesta atau universal adalah himpunan yang memuat semua obyek atau elemen yang ada. Notasinya S atau U.

Contoh:

S = { x| x mahasiswa Untan}

4. Himpunan bagian

Himpunan A merupakan bagian dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B.

Contoh:

S = { x| x mahasiswa Untan}

A = { y| y mahasiswa FE Untan}

B = { z| z mahasiswa jurusan Manajemen FE Untan }

Himpunan S merupakan himpunan semesta, sedangklan himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari himpunan S. Demikian juga A meraupakan himpunan semesta bagi himpunan B. Hubungan ketiga himpunan tersebut dinyatakan sebagai berikut:

A S B A B S B A S

5.. Komplemen suatu himpuna

Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan yang beranggotakan

elemen-elemen yang tidak dimilki oleh A. Notasinya .

Contoh:

S = {1,2,3,4,5,6,7}

A = {1,2,3}

Maka, = { 4,5,6,7}

6. Himpunan yang sama

Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika setiap anggota A adalah juga anggota B dan sebaliknya setiap anggota B juga merupakan anggota dari A. Notasinya A = B.

Contoh:

Jika A = {1,2,3,4} dan B = {4,3,2,1}

maka, A = B

7. Himpunan ekuivalen (setara)

Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B, jika jumlah anggota himpunan A sama dengan jumlah anggota himpunan B. Notasinya A ~ B, jika n(A) = n(B).

Contoh:

Jika A = {1,2,3,4} dan B = {a,b,c,d}

maka, A ~ B

8. Banyaknya himpunan bagian suatu himpunan

Jika banyaknya himpunan A adalah n atau n(A) = n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2n.

Contoh:

A = {1,2,3} dengan n = 3

maka himpunan bagian sebanyak 23 = 8, yaitu

A {1} A {2} A {3} A

{1,2} A {1,3} A {2,3} A {1,2,3} A

1.4. Operasi HimpunanOperasi himpunan meliputi:

1. Gabungan (union)

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota A atau B. Notasinya A B = { x| x A atau x B}

Contoh:

Jika A = {1,2,3,4,5} dan B = {4,5,6,7,8}

Maka, A B = {1,2,3,4,5,6,7,8}

2. Irisan (intersection)

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota A sekaligus juga anggota B. Notasinya A B = { x| x A dan x B}.

Contoh:

Jika A = {1,2,3,4,5} dan B = {4,5,6,7,8}

maka, A B = {4,5}

3. Selisih

Selisih antara himpunan A dan himpunan B adalah suatu himpunan yang anggotanya semua anggota A tetapi bukan anggota B. Notasinya A B = { x| x A tetapi x B}.

Contoh:

A = {1,2,3,4,5} dan B = {4,5,6,7,8}

maka, A B = {1,2,3}

4.. Komplemen suatu himpuna

Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan yang beranggotakan

elemen-elemen yang tidak dimilki oleh A. Notasinya .

Contoh:

S = {1,2,3,4,5,6,7}

A = {1,2,3}

Maka, = { 4,5,6,7}

Diagram venn untuk masing-masing operasi himpunan sebagai berikut:

(i) Gabungan (ii) Irisan

(iii) Selisih

Latihan:

Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan semesta S dan himpunan-himpunan bagian A, B dan C untuk:

S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}

A = {1,2,3,4,5,6}

B = {3,5,7,9,11}

C = {1,2,3,6,8,10}

Kemudian selesaikan operasi himpunan berikut:

A B C

A B CA (B C)(A B) (A C)A (B C)(A C) (A B)(A B) C(A B) C(A B)( A B)

B

B1.5. Hukum-hukum Operasi Himpunan1. Hukum komutatif

A B = B A

A B = B A

2. Hukum asosiatif

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

3. Hukum distributif

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

Hukum identitas

A = AA = A S = S

A S = A5. Hukum kelengkapan

= S

S = = AA = SA = 6. Hukum De Morgan

(A B) = B

(A B) = B

1.6. Penggunaan Himpunan1. Dua himpunan

n (A B) = n (S) n(A B)

n (A B) = n(A) + n(B) n(A B)

Contoh:

Berdasarkan sensus terhadap 200 KK suatu daerah, menyatakan bahwa 105 KK sebagai karyawan suatu perusahaan dan 65 KK sebagai wiraswasta. Disamping itu terdapat 80 KK yang bukan sebagai karyawan maupun wiraswata. Tentukan banyaknya KK sebagai karyawan dan wiraswasta.

Penyelesaian

Diketahui:

n(S) = 200, n(K) = 105, n(W) = 65, n(K W) = 80

Ditanya:

n(K W) = ?

n(K W) = n(S) n(K W)

= 200 80 = 120

n(K W) = n(K) + n(W) n(K W)

120 = 105 + 65 - n(K W)

120 = 170 - n(K W)

n(K W) = 50

Jadi banyaknya KK sebagai karyawan sekaligus wiraswasta sebanyak 50 KK 2. Tiga himpunan

n(A B C) = n(S) n(A B C)

n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) n(A B) n(A C) n(B C) + n(A B C)

Contoh:

Berdasarkan hasil wawancara dengan 150 ibu-ibu rumah tangga pengguna sabun mandi merek A, B, dan C, diperoleh keterangan sebagai berikut:

Pengguna sabun mandi merek A sebanyak 55 orang.

Pengguna sabun mandi merek B sebanyak 45 orang.

Pengguna sabun mandi merek C sebanyak 38 orang.

Sedangkan yang pernah menggunakan sabun mandi merek A dan B sebanyak 20 orang, yang pernah menggunakan sabun mandi merek A dan C sebanyak 12 orang, yang pernah menggunakan sabun mandi merek B dan C sebanyak 15 orang dan yang tidak pernah sama sekali menggunakan ketiga merek tersebut sebanyak 50 orang.

Berapa jumlah ibu-ibu rumah tangga yang pernah menggunakan ketiga merek sabun tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui:

n(S) = 150 n(A B) = 20

n(A) = 55 n(A C) = 12

n(B) = 45 n(B C) = 15

n(C) = 38 n(A B C) = 50

n(S) - n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) n(A B) n(A C)

n(B C) + n(A B C)

150 50 = 55 + 45 + 38 20 12 15 + n(A B C)

100 = 91 + n(A B C)

n(A B C) = 9

Jadi ibu-ibu rumah tangga yang pernah menggunakan ketiga merek sabun tersebut sebanyak 9 orang.

Latihan:

Dari suatu kelompok belajar, terdapat 8 mahasiswa mengambil mata kuliah matematika, 5 mahasiswa mengambil mata kuliah bisnis dan 3 mahasiswa mengambil mata kuliah matematika dan bisnis. Berapa jumlah mahasiswa dalam kelompok belajar tersebut?

Kegiatan Belajar 2

A.Pokok Bahasan:Deret

B. Sub Pokok Bahasan:Deret Hitung

Deret Ukur

Penerapan Ekonomi

C.Tujuan Instruksional Khusus:Mahasiswa akan dapat menghitung, membedakan dan menerapkan deret hitung dan deret ukur dalam ekonomi

2

DERET

Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada pola perubahan bilangan-bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya.

Deret dibedakan menjadi dua berdasarkan pola perubahan bilangan pada suku-sukunya:

Deret hitung

Deret ukur

2.1. Deret Hitung

Deret hitung ialah deret yang memiliki pola perubahan penambahan atau pengurangan yang sama. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung disebut pembeda.

Contoh:

1. 4, 9, 14, 19, 24 (pembeda = 5)

2. 100, 98, 96, 94 (pembeda = -2)

2.1.1. Suku ke-n Dari Deret Hitung

Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus. Suku pertama sebuah deret dilambangkan dengan a dan pembeda suatu deret dilambangkan dengan b.

Contoh:

4, 9, 14, 19 24

S1 S1 S1 S1 S1

S1 = 4 = a

S2 = 9 = a + b = a = (2 1)b

S3 = 14 = a + 2b = a + (3 1)b

S4 = 19 = a + 3b = a + (4 1)b

S5 = 24 = a + 4b = a + (5 1)b

Sn = a + (n 1)b

Berdasarkan perhitungan di atas, kita dapat menentukan nilai-nilai suku tertentu. Misalkan suku ke-10 dari deret hitung ini adalah:

S10 = a + (n 1)b = 4 + (10 1)5 = 4 + 45 = 49

Jadi rumus untuk menghitung nilai suku ke-n adalah:

Sn = a + (n 1)b, dimanaa = suku pertama atau S1b = pembeda

n = suku ke-n

2.1.2 Jumlah n Suku

Jumlah suku sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya.

Jn = Sn = S1 + S2 + S3 + S4 + SnJ5 = S5 = S1 + S2 + S3 + S4 + S5Berdasarkan rumus Sn = a + (n 1)b, maka masing-masing S dapat diuraikan sebagai berikut:J5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b)

J5 = 5a + 10b

J5 = 5a + (5 1) b

Maka rumus jumlah n suku dapat ditulis sebagai berikut:

Jn = na + (n 1)b, atauJn = na + (n 1)b

Jn = + (n 1)b

Jn = + +

Jn = {a + a + (n 1)b}

Jn = {2a + (n 1)b}

Jn = (a + Sn)

Contoh:

1. Hitunglah jumlah sepuluh suku pertama dari deret hitung berikut ini:

4, 9, 14, 19, 24,

Penyelesaian:

Diketahui:

a = 4, b = 5, n = 10, maka

J10 = + {2.4 + (10 1)5}

Jn = 5 (8 + 45) = 265

2. Sebuah deret hitung memiliki suku pertama 480, banyaknya suku 15. Apabila nilai suku ke-15 adalah 270. Hitunglah berapa nilai suku ke-13 dan berapa jumlah deret tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui:

a = 480, S15 = 270, maka

S15 = a + (n 1)b

270 = 480 + 14b

14b = -210

b = -15

S13 = a + (n 1)b J15 = (a + Sn)

S13 = 480 + (13 1)(-15) J15 = (480 + 270)

S13 = 300 J15 = 5.625

Latihan:

Suatu deret hitung terdiri dari 8 suku, nilai suku ke-6 adalah 26. Beda antara suku ke-3 dan ke-8 adalah 20. Tentukan nilai suku pertama dan berapa jumlah suku dari deret tersebut?

2.2. Deret Ukur

Deret ukur adalah suatu deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap suatu bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret dinamakan pengganda.

Contoh:

4, 8, 16, 32, 64, 128 (pengganda = 2)

2.2.1. Suku ke-n dari Deret Ukur

Untuk dapat membentuk rumus perhitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur dapat dilakukan sebagai berikut,

Contoh:

4, 8, 16, 32, 64, 128

S1 = 4 = a

S2 = 8 = ap

S3 = 16 = app = ap2 =ap3-1S4 = 32 = appp = ap3 =ap4-1S5 = 16 = apppp = ap4 =ap5-1Sn = apn-1

Berdasarkan perhitungan di atas, kita dapat menentukan nilai-nilai suku tertentu. Misalkan suku ke-10 dari deret ukur ini adalah:

S10 = (4)(2)10-1 =(4)(2)9 = (4)(512) =2.048

Jadi rumus untuk menghitung nilai suku ke-n adalah:

Sn = apn-1, dimanaa = suku pertama atau S1p = pengganda

n = suku ke-n

2.2.

Jumlah suku sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya dari suku pertama sampai dengan suku ke-n.

Jumlah suku sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya.

Jn = Sn = S1 + S2 + S3 + S4 + SnBerdasarkan Sn = apn-1, maka masing-masing S dapat dijabarkan sebagai berikut: Jn = a + ap + ap2 + ap3 + + apn-2 + apn-1 (1)Jika persamaan (1) dikalikan dengan bilangan pengganda p, maka:

pJn = ap + ap2 + ap3 + ap4 + + apn-1 + apn (2)Dengan menguirangkan persamaan (2) dari persamaan (1), selisihnya adalah:

Jn - p Jn = a - apnJn (1 p) = a(1- pn)

Jn = jika | p | < 1 atau Jn = jika | p | > 1

Contoh:

Hitunglah jumlah sepuluh suku pertama dari deret ukur berikut ini:

4, 8, 16, 32, 64, 128,

Penyelesaian:

Diketahui:

a = 4, p = 2, n = 10, maka

J10 = = = = 4.092

Latihan:

Deret ukur A mempunyai nilai a = 512 dan p = 0,5. Deret ukur B mempunyai nilai a = 16 dan p = 4. Masing-masing pada suku ke berapa nilai suku-suku dari kedua deret ini sama?

Deret ukur A mempunyai nilai a = 512 dan p = 0,5.Deret ukur B mempunyai nilai a = 1 dan p = 4. Pada suku ke berapa kedua deret tersebut mempunyai nilai yang sama.

2.3. Penerapan Ekonomi

Penerapan deret dalam bidang bisnis dan ekonomi sering ditemukan pada kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan dan pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai

suku sebuah deret, baik deret hitung maupun deret ukur, maka teori deret masih relevan diterapkan untuk menganalisisnya.

2.3.1. Model Perkembangan Usaha

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha,misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel tersebut

Contoh:

Perusahaan komputer menghasilkan 3.000 unit komputer pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 unit setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa unit komputer yang dihasilkan pada bulan kelima? Berapa unit yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui:

a = 3.000; b = 500; n = 5, maka

Sn = 3.000 + (5 1) 500 = 5.000

Jn = (3.000 + 5000) = 20.000

Latihan:

Perusahaan kecap XYZ sudah beroperasi selama 8 bulan sejak bulan Januari 2004. Pada bulan Juni perusahaan mampu menghasilkan 26.000 botol kecap. Beda produksi antara bulan Maret dan Bulan Agustus adalah 20.000 botol. Berapakah jumlah produksi pada bulan Januari dan berapa jumlah produksi selama 8 bulan?

2.3.2. Model Bunga Majemuk

Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam bidang keuangan. Bidang keuangan ini meliputi prosedyr untuk mengkombinasikan antara tingkat bunga dan pertimbangan waktu pembayaran pinjaman, nilai dari berbagai aset-aset keuangan, dan strategi investasi.

Misalkan suatu investasi dari P rupiah pada tingkat bunga i per tahun, maka pendapatan bunga pada tahun pertama adalah Pi, selanjutnya nilai investasi pada masa yang akan datang setelah n tahun (Fn) dapat dihitung sebagai beriakut:

Setelah 1 tahun : F1 = P + Pi = P (1 + i)

Setelah 2 tahun : F2 = P (1 + i) + P (1 + i)I = P (1 + i)2Setelah 3 tahun : F3 = P (1 + i)2 + P (1 + i)2 i = P (1 + 1)3Dengan demikian rumus umumnya adalah:

Fn= P (1 + i)n dimana,

Fn= nilai masa dating\

\

P = nilai sekarang

i = tingkat bunga per tahun

n = jumlah tahun

Contoh:

Seorang mahasiswa menyimpan uangnya dibank sebesar Rp 5.000.000 dengan tingkat bunga yang berlaku 12 persen per tahun. Berapa jumlah uang mahasiswa tersebut pada tahun ketiga?

Penyelesaian:

Diketahui:

P = Rp 5.000.000; i = 12% per tahun; n = 3

maka

Fn = P (1 + i)n

F3 = Rp 5.000.000 (1 + 0,12)3

= Rp 5.000.000 (1,12)3 = Rp 7.024.640

Rumus di atas

hanya berlaku pada pembayaran bunga untuk setiap tahun saja. Tetapi, dalam praktik bisnis misal pada bank-bank komersial pembayaran bunga tidak hanya satu kali dalam setahun, melainkan dalam setahun frekuensi atau banyaknya pembayaran bunga kepada nasabahnya lebih dari satu kali. Misalnya pembayaran bunga majemeuk secara kuartal, bulanan bahkan harian. Jika frekuensi pembayaran bunga ini dimisalkan m kali dalam setahun, maka nilai masa datangnya adalah:

dimana,

Fn= nilai masa datang tahun ke-n

P = nilai sekarang

i = tingkat bunga per tahun

m = frekuensi pembayaran bunga dalama setahun

n = jumlah tahun

Contoh:

Seorang anak ingin menabung uangnya Rp 1.500.000 di bank dengan tingkat bunga yang berlaku 15 persen per tahun. Berapakah nilai uangnya dimasa datang setelah 10 tahun kemudian.

jika pembayaran bunga dilakukan setiap bulan?

Jika bunga diperhitungkan satu tahun sekali ?

Penyelesaian:

Diketahui:

P = Rp 1.500.000; i = 15% per tahun; n = 10

F10 = Rp 1.500.000

= Rp 1.500.000 (1 + 0,0125)120 =Rp 1.500.000 (4,440213)

=Rp 6.660.319,85

Latihan:

1. Investasi seorang pengusaha pada sebuah bank menjadi Rp 12.597.120 pada tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga yang berlaku adalah 8 persen per tahun, berapakah jumlah uang pengusaha pada saat sekarang?

2. Carilah jumlah uang yang harus diinvestasikan supaya mencapai Rp 2.000.000 pada akhir tahun ke-3, dengan tingkat bunga 18% secara kuartal?

2.3.3. Model Pertumbuhan Penduduk

Penerapan deret ukur yang paling konvensional dibidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola Deret ukur. Secara matematik, dirumuskan sebagai beriakut:

dimana,

R = 1 + r

P1 = jumlah penduduk pada tahun pertama (basis)

Pt = jumlah penduduk pada tahun ke-t

r = persentase pertumbuhan penduduk

t = indeks waktu (tahun)

Contoh:

Jika jumlah npenduduk suatu kota berjumlah 1.000.000 jiwa pada tahun 2001, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah pendudk tersebut pada tahun 2016?

Penyelesaian:

Diketahui:

P1 = 1.000.000; r = 0,04; R = 1,04

maka

Ptahun 2016 = P16 = 1.000.000 (1,04)15 = 1.000.000 (1,800943)

= 1.800.943 jiwa

Latihan:

Berdasarkan contoh di atas, jika mulai tahun 2016 pertumbuhannya menurun 2,5 persen, berapakah jumlahnya 11 tahun kemudian?

Kegiatan Belajar 3

A.Pokok Bahasan:Relasi dan Fungsi

B. Sub Pokok Bahasan:Relasi

Fungsi

Fungsi Umum dan Khusus

Macam-macam Fungsi

C.Tujuan Instruksional Khusus:Mahasiswa akan dapat memahami dan memformulasikan kejaidan-kejadian ekonomi dalam bentuk relasi dan fungsi.

3

RELASI DAN FUNGSI

Kejadian di dunia ini umumnya tidak berdiri sendiri melainkan berhubungan satu sama lainnya atau ada kaitan antara satu kejadian dengan kejadian lainnya. Demikian juga dalam dunia ekonomi dan bisnis, variabel ekonomi yang satu berhubungan dengan variabel ekonomi lainnya atau dipengaruhi oleh variabel ekonomi lainnya. Hubungan antara variabel ekonomi ini dapat dinyatakan atau diformulasikan dalam model matematika yang disebut relasi atau fungsi.

3.1 Relasi

Relasi atau hubungan dua himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Jika R suatu relasi dari himpunan A ke B, maka dengan memakai notasi himpunan, relasi dapat dinyatakan sebagai berikut:

R = [ (x,y) ; x A dan y B]

Relasi atau hubungan dua himpunan A dan B dapat dinyatakan sebagai berikut:

Dengan diagram anak panah

Suatu relasi antara himpunan A dan B adalah pemasangan antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

Dengan pasangan berurutan

Maksudnya anggota pertama dari pasangan berurutan itu berasal dari himpunan A dan anggota keduanya berasal dari himpunan B.

Dengan grafik cartesius

Grafik tersebut merupakan grafik relasi dengan menggunakan koordinat cartesius.

Contoh:

Safa suka makan sate

Prili suka makan baksa

Farhan suka makan sate adan bakso

Mira suka makan soto

Jika Safa, Prili, Farhan dan Miora dihimpun menjadi himpunan A = {Safa, Prili, Farhan, Mira} dan sate, bakso dan soto dihimpun menjadi himpunan B = {sate, bakso, dan soto}. Maka antara himpunan A dan himpunan B terdapat suatu relasi atau hubungan dengan penghubung suka makan. Relasi atau hubungan antara himpunan A dan himpunan B, dapat dinyatakan sebagai berikut:

a. Dengan diagram anak panah

Anak panah menyatakan

relasi suka makanb. Dengan pasangan berurutan

R = (Safa, Sate), (Prili, Bakso), (Farhan, Sate), (Farhan, Bakso), (Mira, Soto)

c. Dengan grafik cartesius

Himpuan B

Soto

Bakso

Sate

SafaFarhan Himpunan A

Prili Mira

3.1.1. Perkalian Himpunan

Jika A dan B adalah dua himpunan maka perkalian A x B adalah himpunan pasangan berurutan yang anggota-anggotanya terdiri dari himpunan A dan himpunan B. Pasangan berurutan dinyatakan dengan (x,y) dengan x A dan y B atau A x B = { (x,y) | x A dan y B}

Contoh:

A = {1, 2, 3}, dan B = {a, b}

maka A x B dan B x A masing-masing ditentukan sebagai beriakut:

A x B = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

B x A = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

A x B # B x A

Latihan:

Bila A = {2, 4, 6, 8} dan B = {1, 2, 4} dan jika x A dan y B, tentukan relasi x dua kali y dengan:

diagram anak panah

pasangan berurutan

3.2. Fungsi

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang memasangkan dengan tepat setiap unsur A ke satu unsur B. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dinayatakan sebagai berikut:

f: A B

Artinya jika x A dan y B dan x dikaitkkan dengan y maka f(x) = y dengan:

A disebut daerah asal (domain)

B disebut daerah kawan (Kodomain)

y disebut bayangan dari x.

Himpunan semua bayangan dari setiap x A disebut daerah hasil atau range.

Contoh:

A = {1, 2, 3} dan B = {2, 3, 4, 5, 6}

Jika x A dan y B, tentukan relasi x setengah kali y dari himpunan A ke himpunan B dengan diagram anak panah?

Dari contoh di atas:

{1, 2, 3} = daerah domain

{2, 3, 4, 5, 6} = daerah kawan (kodomain)

2 B adalah bayangan dari 1 A

4 B adalah bayangan dari 2 A

6 B adalah bayangan dari 3 A

{2, 4, 6} = daerah nilai (range)

3.2.1. Notasi Suatu Fungsi

Fungsi himpunan A ke himpunan B dinyatakan:

f : A B

Apabila fungsi tersebut mengaitkan xA dengan yB maka bditulis:

f(x) = y Atau f:x y

Misalkan fungsi tersebut mengaitkan x dengan ax + b, x A dan (ax + b) = y B, maka ditulis:

f(x) = ax + b atau

f(x) = y = ax + bx dan y disebut perubah atau variabel. Himpunan nilai x tersebut berepran sebagai domain. Nilai perubah y yang merupakan bayangan dari nilai x, berperan sebagai range.

x biasanya disebut variabel bebas (independent variable).

y biasanya disebut variabel terikat (dependent variable).

Ini berarti nilai fungsi [(x,y)] atau y = f(x) ditentukan oleh nilai x.

a adalah parameter yaitu suatu konstanta tertentu yang nilainya belum ditetapkan yang terkait langsung pada suatu variabel dalam sebuah fungsi.

b disebut konstanta, yaitu nilai yang tidak berubah didalam fungsi walaupun terjadi perubahan variabel didalam fungsi.

3.2.2. Nilai Suatu Fungsi

Fungsi yang memiliki dua variabel, bila nilai variabel bebasnya tertentu maka nilai variabel terikatnya tertentu pula.

Contoh:

1. f(x) = 2x + 3

f(0) = 2(0) + 1 = 1

f(3) = 2(3) + 1 = 7

f(0,5) = 2(0,5) + 1 = 2

Penyelesaian:

Pada x = 0 : f(0) = 2(0) + 1 = 1

Pada x = 3 : f(3) = 2(3) + 1 = 7

Pada x = 0,5 : f(0,5) = 2(0,5) + 1 = 2

Diketahui y = 3x2 + 6x + 8

Hitunglah nilai fungsi tersebut pada x = 2 dan pada x = 0

x = 2 : y = 3(2)2 + 6(2) + 8 = 32

x = 0 : y = 3(0)2 + 6(0) + 8 = 8

Jadi nilai fungsi tersebut pada x = 2 adalah 32, pada x = 0 adalah 8.

3.2.3. Grafik Suatu FungsiGrafik suatu fungsi umumnya dapat dibuat melalui dua cara:

Menentukan dan menghubungkan titik-titik yang dilalui kurva.

Menentukan dan menghubungkan titik penting kurva.

Dalam menggambar grafik suatu fungsi umumnya variabel terikat diletakkan pada sumbu vertikal (tegak) dan variabel bebas diletakkan pada sumbu horizontal (datar).

Contoh:

Tentukan grafik f : A B dimana x A dan 3x 2 = y B.

Penyelesaian:

f(x) = 3x 2 atau y = f(x) = 3x 2

Grafik tersebut dapat dibuat dengan dua cara sebagai berikut:

1. Menentukan dan menghubungkan titik-titik yang dilalui kurva.

X-1134dst

f(x)-51710dst

{x, f(x)}(-1, 5)(1, 1)(3, 7)(3, 10)

7 (3,7)

6

5

4

3

2

1 (1,1)

- 1 1 2 3 4 5 6

-2

-3

-4

(-1,-5) -5

2. Menentukan dan menghubungkan titik-titik penting kurva

Titik potong fungsi dengan sumbu tegak / sumbu y, bila x = 0

f(x) = 3x 2

f(x) = 3(0) 2 = -2

Jadi titik potongnya adalah (0, -2)

Titik potong fungsi dengan sumbu datar / sumbu x, bila y = 0

F(x) = 3x 2

0 = 3x - 2

3x = 2

x = 0,7

Jadi titik potongnya adalah (0,7 ; 0)

2

1

(0,7;0)

-1 1 2 3

-2 (0,-2)

Latihan:

Buat grafik dungsi berikut f(x) = 3 + x23.3. Fungsi Umum dan Fungsi Khusus

Fungsi umum adalah suatu fungsi yang hanya dinyatakan dalam variabel bebas dan variabel terikat saja, tanpa menjelaskan bagaimana hubungan atau pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikatnya.

Contoh:

Fungsi konsusmsi (C ) dipengaruhi oleh tingkat pendapatannya (y)

C = f(y)

Persamaan di atas tidak memberikan penjelasan bagaimana pendapatan seseorang mempengaruhi konsumsi dan berapa besar.

Fungsi khusus adalah suatu fungsi yang dapat menjelaskan tentang hubungan atau pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikatnya.

Contoh:

Hubungan ekonomi antara pendapatan seseorang dengan konsumsinya yang dinyatakan sebagai berikut:

C = 200 + 0,3y

Persamaan di atas menunjukkan hubungan atau pengaruh pendapatan (y) terhadap konsusmsinya (C) adalah positif dan besarnya pengaruh ditunjukkan nilai koefisien sebesar 0,3.

Macam-macam Fungsi

Dilihat dari operasinya:

Fungsi aljabar (fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi kubik, fungsi pecah)

Fungsi non aljabar (fungsi logaritma, fungsi eksponen, fungsi trigonometri)

Dilihat dari hubungan antar variabel

a. Fungsi eksplisit, yaitu suatu fungsi yang letak variabel bebas dan variabel terikatnya tidak terdapat dalam satu ruas

Contoh: y = f(x) = ax2 + bx + c

b. Fungsi implisit, yaitu suatu fungsi yang letak variabel bebas dan variabel terikatnya dalam satu ruas.

Contoh: f(x,y) = 0 atau ax2 + by2 + cx + dy + e = 0

Dilihat dari jumlah variabel bebasnya

a. Fungsi univariabel, yaitu suatu fungsi dengan satu variabel bebas

Contoh: y = f(x) = x2 + ax + b

b. Fungsi multivariabel, yaitu suatu fungsi yang memiliki lebih dari satu variabel bebas.

Contoh: z = ax2 + by + c

S

.1 .4

.2

.3

.6

.7

.8

.4

.5

S

.6

.7

.8

.1

.2

.3

.4

.5

S

.6

.7

.8 .8

.1

.2

.3

.4

.5

EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT

Safa

Prili

Farhan

Mira

Sate

Bakso

Soto

1

2

3

2

3

4

5

6

Modul Matematika Ekonomi

_1234567953.unknown

_1234567985.unknown

_1234568017.unknown

_1234568033.unknown

_1234568049.unknown

_1234568057.unknown

_1234568061.unknown

_1234568065.unknown

_1234568067.unknown

_1234568068.unknown

_1234568069.unknown

_1234568066.unknown

_1234568063.unknown

_1234568064.unknown

_1234568062.unknown

_1234568059.unknown

_1234568060.unknown

_1234568058.unknown

_1234568053.unknown

_1234568055.unknown

_1234568056.unknown

_1234568054.unknown

_1234568051.unknown

_1234568052.unknown

_1234568050.unknown

_1234568041.unknown

_1234568045.unknown

_1234568047.unknown

_1234568048.unknown

_1234568046.unknown

_1234568043.unknown

_1234568044.unknown

_1234568042.unknown

_1234568037.unknown

_1234568039.unknown

_1234568040.unknown

_1234568038.unknown

_1234568035.unknown

_1234568036.unknown

_1234568034.unknown

_1234568025.unknown

_1234568029.unknown

_1234568031.unknown

_1234568032.unknown

_1234568030.unknown

_1234568027.unknown

_1234568028.unknown

_1234568026.unknown

_1234568021.unknown

_1234568023.unknown

_1234568024.unknown

_1234568022.unknown

_1234568019.unknown

_1234568020.unknown

_1234568018.unknown

_1234568001.unknown

_1234568009.unknown

_1234568013.unknown

_1234568015.unknown

_1234568016.unknown

_1234568014.unknown

_1234568011.unknown

_1234568012.unknown

_1234568010.unknown

_1234568005.unknown

_1234568007.unknown

_1234568008.unknown

_1234568006.unknown

_1234568003.unknown

_1234568004.unknown

_1234568002.unknown

_1234567993.unknown

_1234567997.unknown

_1234567999.unknown

_1234568000.unknown

_1234567998.unknown

_1234567995.unknown

_1234567996.unknown

_1234567994.unknown

_1234567989.unknown

_1234567991.unknown

_1234567992.unknown

_1234567990.unknown

_1234567987.unknown

_1234567988.unknown

_1234567986.unknown

_1234567969.unknown

_1234567977.unknown

_1234567981.unknown

_1234567983.unknown

_1234567984.unknown

_1234567982.unknown

_1234567979.unknown

_1234567980.unknown

_1234567978.unknown

_1234567973.unknown

_1234567975.unknown

_1234567976.unknown

_1234567974.unknown

_1234567971.unknown

_1234567972.unknown

_1234567970.unknown

_1234567961.unknown

_1234567965.unknown

_1234567967.unknown

_1234567968.unknown

_1234567966.unknown

_1234567963.unknown

_1234567964.unknown

_1234567962.unknown

_1234567957.unknown

_1234567959.unknown

_1234567960.unknown

_1234567958.unknown

_1234567955.unknown

_1234567956.unknown

_1234567954.unknown

_1234567921.unknown

_1234567937.unknown

_1234567945.unknown

_1234567949.unknown

_1234567951.unknown

_1234567952.unknown

_1234567950.unknown

_1234567947.unknown

_1234567948.unknown

_1234567946.unknown

_1234567941.unknown

_1234567943.unknown

_1234567944.unknown

_1234567942.unknown

_1234567939.unknown

_1234567940.unknown

_1234567938.unknown

_1234567929.unknown

_1234567933.unknown

_1234567935.unknown

_1234567936.unknown

_1234567934.unknown

_1234567931.unknown

_1234567932.unknown

_1234567930.unknown

_1234567925.unknown

_1234567927.unknown

_1234567928.unknown

_1234567926.unknown

_1234567923.unknown

_1234567924.unknown

_1234567922.unknown

_1234567905.unknown

_1234567913.unknown

_1234567917.unknown

_1234567919.unknown

_1234567920.unknown

_1234567918.unknown

_1234567915.unknown

_1234567916.unknown

_1234567914.unknown

_1234567909.unknown

_1234567911.unknown

_1234567912.unknown

_1234567910.unknown

_1234567907.unknown

_1234567908.unknown

_1234567906.unknown

_1234567897.unknown

_1234567901.unknown

_1234567903.unknown

_1234567904.unknown

_1234567902.unknown

_1234567899.unknown

_1234567900.unknown

_1234567898.unknown

_1234567893.unknown

_1234567895.unknown

_1234567896.unknown

_1234567894.unknown

_1234567891.unknown

_1234567892.unknown

_1234567890.unknown