MATEMATIKA EKONOMIPertemuan 4Fungsi Non-LinearUT Korea Fall 2013I Komang Adi Aswantara

Grafik Kurva Non-Linear• Polinom (suku banyak) dalam x dan y dilambangkan dengan f(x), adalah ungkapan yang mengandung suku-suku kxrys, dimana k adalah konstan, r dan s adalah bilangan bulat.

• Nilai tertinggi (r + s) pada suku f(x,y) dinamakan pangkat polinom

• Jika polinom f(x,y) berpangkat n dan disamakan dengan nol, maka diperoleh persamaan pangkat n dalam x dan y yaitu f(x,y) = 0 persamaan aljabar.

Grafik Kurva Non-Linear• Persamaan dalam x dan y yang bukan persamaan aljabar

disebut persamaan transcendental.• Contoh: fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dan fungsi

berpangkat.• Acara menggambar grafik fungsi non-linear, dilakukan

dengan menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang cukup banyak.

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearA. Titik Penggal

adalah titik perpotongan antara kurva dan garis sumbu. Titik penggal sumbu x diperoleh dengan memasukkan y = 0 kemudian mencari persamaan x nya. Titik penggal y diperoleh dengan memasukkan x = 0 kemudian mencari persamaan y nya.

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearB. Simetris

Dua titik dikatakan simetris terhadap suatu garis bila garis tersebut terletak di antara dua titik dan jarak masing-masing titik ke garis tersebut sama.

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearContoh:

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearDari contoh-contoh tersebut dapat dilihat bahwa

grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap:

a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0

b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0

c. Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0

• Fungsi yang simetris terhadap sumbu x dan/atau sumbu y pasti simetris terhadap titik origin, namun fungsi yang simetris terhadap titik origin, belum tentu simetris terhadap sumbu x dan y.

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearC. Batas Nilai

Pada sistem sumbu koordinat, titik (x,y) mempunyai koordinat bilangan riil.

Contoh:Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2 + y2 = 25 mempunyai

batas?x2 = 25 – y2

x = ± √(25 – y2)Nilai (25 – y2) akan bernilai negatif apabila (25 – y2) < 0 sehingga25 – y2 < 0-y2 < -25y2 > 25 y > ± 5 batas untuk nilai y adalah -5 < y < 5

y = ± √(25 – x2)Nilai (25 – x2) akan bernilai negatif apabila (25 – x2) < 0 sehingga25 – x2 < 0-x2 < -25x2 > 25 x > ± 5 batas untuk nilai x adalah -5 < x < 5

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearD. Asimtotis

Asimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva dengan jarak yang semakin dekat dengan nol bila kurva tersebut semakin jauh dari origin.

Garis y = mx + b merupakan asimtot kurva y = f(x), jika f(x) semakin dekat mx + b maka x dan y nilainya bertambah tanpa batas. Jadi, f(x) – mx + b jika x dan y - ∞.

Garis y = k adalah asimtot kurva y = f(x) bila y k untuk x ∞Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva y = f(x) bila xh untuk y ∞

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearE. Faktorisasi

Persamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat terjadi sebagai hasil perkalian antara dua faktor atau lebih, seperti f(x,y) = g(x,y).h(x,y) = 0. Dengan demikian maka f(x,y) = 0 terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) dan h(x,y).

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-LinearContoh:Buatlah grafik persamaan 2x2 + 3xy – 2y2 = 0.Faktorisasi:2x2 + 3xy – 2y2 = 02x2 - xy + 4xy – 2y2 = 0.x(2x – y) + 2y(2x – y) = 0(x + 2y) (2x – y) = 0Jadi, grafik persamaan 2x2 + 3xy – 2y2 = 0 terdiri dari grafik dua garis lurus yaitu x + 2y dan 2x – y.

Latihan

1. Tunjukkan titik penggal dari persamaan (x – 5)(x + 3)2.

2. x2 + x2y –y + 5 = 0 simetris terhadap…

3. Gambarkan grafik dari 12x2 – 5xy – 2y2 = 0.

4. Titik penggal dari grafik persamaan y = x2 – x – 12 adalah?

Jawaban Latihan

Nomor 1

Mencari titing penggal nilai fungsi sama dengan nol

(X-5)(X+3)2 =0

Sehingga

X= 5 dan X=-3 (titik penggal sumbu X)

Titik penggal sumbu Y maka X=0

Y=(x-5)(X2+6X+9)

Y= (X3 +X2-21X-45)

Y=-45

Jawaban LatihanNomor 2

x2 + x2y –y + 5 = 0 simetri terhadap?

grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap:

a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0

b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0

c. Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0

Maka, kita masukan ke syarat ketiga point tersebut:

Periksa, apakah simetri terhadap sumbu x?

f(x,-y)=x2 -x2y+y+5 ≠ 0 karena f(x,y) = 0 = x3 + x2y –y + 5 . Maka bukan simetri terhadap sumbu x

Periksa, apakah simetri terhadap sumbu y?

f(-x,y)= x2 +x2y-y+5 = 0 karena f(x,y) = 0 = x2 + x2y –y + 5. Maka simetri terhadap sumbu y

Periksa, apakah simetri terhadap titik origin?

f(-x,-y)=x2 -x2y+y+5 ≠ 0 karena f(x,y) = 0 = x3 + x2y –y + 5 . Maka bukan simetri terhadap titik origin

Jawaban LatihanNomor 3

Gambarkan grafik dari 12x2 – 5xy – 2y2 = 0.

Hal pertama dilakukan, faktorisasi persamaan di atas.

Trik faktorisasi untuk persamaan:

ax2+bxy+cy2=0 ubah jadi x2+bxy+acy2=0

Selanjutnya cari nilai konstanta faktornya:

Bentuk faktor persamaan di atas : (ax+jy)(ax+ky)=0

Cari j dan k dengan cara memenuhi ketentuan berikut:

j.k=ac dan j+k=b

Kembali ke soal

12x2 – 5xy – 2y2 = 0 ubah x2 – 5xy – 24y2 = 0

ac= -24 dan b= -5 maka akan diperoleh j= -8 dan k=3

Maka bentuk faktor persamaannya (12x-8y)(12x+3y)=0

Atau (3x-2y)(4x+y)=0 . Grafik pada slide selanjutnya

Jawaban LatihanY

X

3x-2y=0

4x+y=0

Jawaban LatihanNomor 4

y = x2 – x – 12, cari titik penggalnya.

Titik penggal terhadap sumbu y berarti masukan x=0, sehingga dari persamaan di atas diperoleh y= -12. Titik penggal pertama (0,-12)

Titik penggal terhadap sumbu x berarti masukan y=0 sehingga diperoleh persamaan 0 = x2 – x – 12

difaktorkan menjadi:

(x-4)(x+3)=0, sehingga x=4 dan x=-3. Titik penggal kedua dan ketiga adalah (4,0) dan (-3,0)

Fungsi Kuadratik

Suatu persamaan kuadrat mungkin dapat berbentuk suatu lingkaran elips, parabola, hiperbola, atau bentuk yang lain.

Bentuk umum persamaan kuadratik:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Dimana A, B, C, D, E, dan F adalah konstan dan paling tidak salah satu dari A, B, dan C tidak bernilai sama dengan 0.

Fungsi KuadratikKaidah umum:• Jika B = 0 dan A = C lingkaran• Jika B2 – 4AC < 0 elips• Jika B2 – 4AC = 0 parabola• Jika B2 – 4AC > 0 hiperbolaKaidah khusus:Jika B = 0, dan paling tidak salah satu dari A dan C tidak bernilai nol,

maka:• Jika A = C lingkaran• Jika A ≠ C tetapi bertanda sama elips• Jika A = 0 atau C = 0 tetapi tidak sama dengan 0 bersama-sama

parabola• Jika A dan C tandanya tidak sama hiperbola

Lingkaran

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0

Persamaan tersebut dapat dibawa ke bentuk:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Dimana (h,k) merupakan pusat lingkaran dan r adalah jari-jari.

LingkaranContoh: Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran persamaan x2 + y2 – 6x – 8y +16 = 0Bentuk umum: (x – h)2 + (y – k)2 = r2

x2 + y2 – 6x – 8y + 16 = 0x2 – 6x + y2 – 8y + 16 = 0y2 – 8y + 16 = (y – 4)2 k = 4x2 - 6x + h2 = (x – h)2

x2 – 6x + h2 = x2 -2xh + h2

-6x = -2xhh = 3

Sehingga titik pusat adalah (h,k) (3,4)Jika dimasukkan lagi dalam persamaan:x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 9(x – 3)2 + (y – 4)2 = 9r2 = 9r = 3Sehingga jari-jari = 3.

ElipsAx2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Persamaan elips dapat ditulis sebagai:(x – h)2 + (y – k)2 = 1 a2 b2

Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu x, akan tetapi bila a < b, maka sumbu panjang akan sejajar dengan sumbu y.

Sumbu panjang = 2a dan sumbu pendek = 2b.Sumbu panjang = jari-jari panjangSumbu pendek = jari-jari pendek

ElipsContoh: Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan 4x2 + 9y2 + 16x – 18y – 11

= 04x2 + 9y2 + 16x – 18y – 11 = 0

(x – h)2 + (y – k)2 = 1 a2 b2

b2(x – h)2 + a2(y – k)2 = 1 a2b2

b2(x – h)2 + a2(y – k)2 = a2b2

4x2 + 9y2 + 16x – 18y – 11 = 04x2 + 16x + 9y2 – 18y = 114(x2 + 4x) + 9(y2 – 2y) = 11b2 = 4 dan a2 = 9 (x2 + 4x + h2) = x2 – 2xh + h2

4x = -2xhh = -2

(y2 – 2y + k2 )= y2 – 2yk + k2

-2y = -2ykk = 1

Jika dimasukkan ke dalam persamaan:4(x2 + 4x + 4) + 9(y2 – 2y + 1) = 114x2 + 16x + 16 + 9y2 – 18y + 9 = 11 + 16 + 94x2 + 16x + 16 + 9y2 – 18y + 9 = 364(x + 2)2 + 9(y – 1)2 = 36

36 36(x + 2)2 + (y – 1)2 = 1 9 4

Parabola• Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada

suatu bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokus, dan garisnya disebut directrix. Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan vertex.

ParabolaJika sumbunya sejajar dengan sumbu y:

Ax2 + Dx + Ey + F = 0Jika sumbunya sejajar dengan sumbu x:

Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Bentuk persamaan standar dari parabola:(x – h)2 = 4p (y – k)Dimana (h,k) adalah vertex dan sumbunya sejajar dengan sumbu y.

(y – k) 2 = 4p (x – h)Apabila sumbunya sejajar dengan sumbu x.

P adalah parameter yang tanda serta besarnya menentukan keadaan bentuk parabola.

ParabolaUntuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu y:

• Jika p < 0, maka parabola terbuka ke bawah• Jika p > 0, maka parabola terbuka ke atas

Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu x:

• Jika p < 0, maka parabola terbuka ke sebelah kiri• Jika p > 0, maka parabola terbuka ke sebelah kanan

Parabola

Contoh: Jadikan bentuk standar persamaan parabola: x2 – 4x + 4y + 16 = 0, dan tentukan vertexnya.

(x – h)2 = 4p (y – k)x2 – 4x + 4y + 16 = 0

x2 – 4x + 4 = -4y – 16 + 4(x – 2)2 = -4(y + 3)

Vertex = (2,-3) dan p = -1.Sumbu sejajar dengan sumbu y dan parabola terbuka ke bawah.

HiperbolaHiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik

pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu besarnya tetap.

Hiperbola mempunyai dua sumbu yang membagi dua hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu transverse

HiperbolaAx2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Persamaan ini dapat dijadikan bentuk standar hiperbola yaitu:

(x – h)2 − (y – k)2 = 1 a2 b2

atau(y – k)2 − (x – h)2 = 1 b2 a2

Dimana (h,k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan sumbu x.

Asimtot ditunjukkan oleh persamaan:x – h = ± y – k a b

Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus. Maka persamaan hiperbola bisa menjadi:

(X−h)(Y−k)=c

ParabolaContoh: Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui persamaan

hiperbola adalah 9x2 – 4y2 – 18x – 16y – 43 = 09x2 – 4y2 – 18x – 16y – 43 = 09(x2 – 2x + 1) – 4(y2 + 4y + 4) = 43 + 9 -169(x – 1)2 – 4(y + 2)2 = 36(x – 1)2 – (y + 2)2 = 1 4 9Jadi, titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3.

Persamaan asimtot:x – h = ± y – k a bx – 1 = ± y + 2 2 33x – 3 = ± (2y + 4)Asimtot 1: 3x – 3 = 2y + 4 3x – 2y – 7 = 0Asimtot 2: 3x – 3 = -2y – 4 3x + 2y + 1 = 0