matematika ekonomi€¦ · ppt file · web view · 2016-08-22macam-macam fungsi dalam ekonomi dan...

MACAM-MACAM FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS

Bagian 3Pertemuan 4, 5 dan 6

MATEMATIKA BISNISTonaas Marentek, M.Si

1. FUNGSI2. FUNGSI LINIER3. SISTEM PERSAMAAN LINIER4. PENERAPAN FUNGSI LINIER 5. FUNGSI NON LINIER6. PENERAPAN FUNGSI NONLINIER7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA8. PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN


TARGET :Mahasiswa/i mampu menjelaskan secara tepat dan dapat mengerjakan persoalan matematika fungsi dan dapat menghubungkan dan menerapkannya dalam ekonomi dan bisnis


SILABUS MATERIFUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS

1. FUNGSI fungsi dan relasi/hubungan variabel bebas dan terikat sistem koordinat cartesius fungsi dengan 1 variabel bebas fungsi dengan 2 atau lebih variabel bebas

2. FUNGSI LINIER kemiringan dan titik potong sumbu Bentuk umum fungsi linear menentukan persamaan garis hubungan dua garis lurus

3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR penyelesaian SPL : 2 persamaan dgn 2 variabel persamaan ketergantungan linear dan

ketidakkonsistenan 4. PENERAPAN FUNGSI LINIER

fungsi permintaan fungsi penawaran keseimbangan pasar 1 dan 2 macam produk pengaruh pajak terhadap keseimbangan pasar pengaruh pajak terhadap kesejahteraan pengaruh subsidi terhadap kesejahteraan pengaruh batas maksimum terhadap kesejahteraan


PENERAPAN FUNGSI LINIER (sambungan) pengaruh batas minimum terhadap kesejahteraan pengaruh kuota produksi terhadap kesejahteraan pengaruh tarif dan kuota impor terhadap

kesejahteraan analisis pulang pokok fungsi belanja komsumsi dan tabungan fungsi belanja investasi fungsi belanja pemerintah fungsi belanja ekspor impor fungsi belanja keseluruhan (aggregate) keseimbangan pasar produk


5. FUNGSI NON LINIER fungsi kuadrat fungsi pangkat tiga fungsi rasional lingkaran elips


6. PENERAPAN FUNGSI NONLINIER fungsi permintaan fungsi penawaran keseimbangan pasar pasar fungsi permintaan total fungsi produksi Kurva transformasi produksi kurva indiverens


7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA fungsi eksponen fungsi logaritma


8. PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN bunga majemuk fungsi pertumbuhan

Penerapan Fungsi dalam bidang ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang sangat penting untuk dipelajari, karena:

Persoalan ekonomi dan bisnis yang dinyatakan dalam model matematika biasanya

dinyatakan dengan fungsi

1. FUNGSIPENDAHULUAN

1. FUNGSI

FUNGSI DAN HUBUNGAN/RELASIFungsi adalah suatu hubungan antara dua buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua buah variabel atau lebih tersebut saling pengaruh-mempengaruhi. •Sebuah Variabel adalah suatu jumlah yang mempunyai nilai yang berubah-ubah pada suatu soal. •Variabel yang terdapat dalam suatu fungsi dapat dibedakan atas varibel bebas (independent variabel) dan variabel yang dipengaruhi/tidak bebas (dependent variabel).

1. FUNGSI

1. FUNGSIKoefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi.Konstanta adalah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan (tidak terkait pada suatu variabel tertentu).

y = 5 + 0,8xy : variabel terikatx : variabel bebas0,8 : koefisien variabel x5 : konstanta

Sedangkan notasi sebuah fungsi secara umum adalah: y = f(x)

a) Y = f (X) atau Y = f (X1, X2)X, X1, X2 = variabel bebas (independent variabel)

Y = variabel yang dipengaruhi (dependent Variabel)

b) Y = a + bX a dan b = Konstanta Y = variabel yang dipengaruhi (endogenous variable)

X = variabel bebas (exogenous)

Contoh :

MACAM-MACAM FUNGSI(1). DARI SEGI JUMLAH VARIABEL BEBAS: a. Fungsi Konstan Y = C…….Y = 3.

X

Y

3

Y = 3

0

1. FUNGSI

b. Fungsi Dengan Satu Bariabel Bebas: Y = f(X) Y = aX + b …….Y = 2X + 4 ……....Fungsi Linier. Y = aX2 + bX + c….Y = X2-3X+2….Parabola. Y = aX ……Y = 2X…………………..Fungsi Eksponen.

c. Fungsi Dengan Dua Variabel Bebas Atau Lebih: Y = f(X1, X2): Y = 4X1 + 3X2 + 2 …….……Fungsi Linier; Y = 2.X1

0,6. X20,3…………..…Fungsi Pangkat.

Y = 2X12 + 3X1X2 – 6X2

2 …….Fungsi Kuadrat.

1. FUNGSI

(2). FUNGSI DARI SEGI LETAK VARIABEL a. Fungsi Implisit AX + BY + C = 0…..2X – 2Y + 3 = 0 atau: 2X – 2Y = -3 atau: -2X + 2Y = 3. (X dan Y berada dalam satu ruas)

b. Fungsi Eksplisit Y = aX + b …..Y = 2X + 3. Y: Variabel terikat, dan X: Variabel bebas.

1. FUNGSI

(3). FUNGSI DARI SEGI BENTUK KURVANYA

FUNGSI

FUNGSI ALJABARFUNGSI NON-ALJABAR

1.FUNGSI LINIER2. FUNGSI KUADRAT:a. Parabolab. Lingkaranc. Ellipsd. Hiperbola3. FUNGSI POLINOMIAL4. FUNGSI RASIONAL.

1. FUNGSI EKSPONEN2. FUNGSI LOGARITMA3. FUNGSI TRIGONOMETRI

1. FUNGSI

CONTOH-CONTOH FUNGSI ALJABAR:

(1). Fungsi Linier: Y = aX + b..….(a≠0)……Y= 2X+4.(2). Fungsi Kuadrat Parabola: Y = aX2 + bX + c…..(a≠0)……Y = X2 - 3X + 2.(3). Fungsi Polinomial: Y = aX3 +bX2 +cX + d….(a≠0) Y = X3 + 2X2 + X + 3.(4). Fungsi Rasional : Y = (aX + b) / (cX + d)….(c≠0) Y = (2X+2)/(X+1).

1. FUNGSI

CONTOH-CONTOH FUNGSI NON ALJABAR:

(1). Fungsi Eksponen: Y = a.bX + c....... (a ≠ 0) Y = 2.3X + 3 Y = 3X + 2 Y = 2.3X

Y = 3X.(2). Fungsi Logaritma: Y = aLog X ….. (a ≠ 0) Y = Log X Y = 2 Log X.

1. FUNGSI

Gambarlah grafik fungsi a. Y = 2x + 1

b. Y = X2 - 2x c. Y = X2 - 3X + 2 d. Gambarlah titik- titik ( 0 , 8 ) ;( 2 , 4 ); ( 4, 0) ; dan (6 ,-4 )

. Tunjukkan bahwa titik – titik tersebut terletak pada sebuah garis lurus !

KERJAKAN SOAL DIBAWAH INI !

2. Fungsi Linier

2. Fungsi Linier

Fungsi linier adalah fungsi yang paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel bebas tersebut, sehingga sering disebut sebagai fungsi berderajad satu. Bentuk umum persamaan linier adalah: y = a + bx; dimana a adalah konstanta dan b adalah koefisien (b≠0). Atau sering dinyatakan dalam bentuk implisit berikut: Ax + By + C = 0

2. Fungsi LinierSesuai dengan namanya fungsi linier jika digambarkan pada koordinat cartesius akan berbentuk garis lurus (linier). Kemiringan pada setiap titik yang terletak pada garis lurus tersebut adalah sama. Hal ini ditunjukkan oleh koefisien b pada persamaan y = a + bx. Koefisien ini untuk mengukur perubahan nilai variabel terikat y sebagai akibat dari perubahan variabel bebas x sebesar satu unit. Sedangkan a adalah penggal garis pada sumbu vertikal (sumbu y). Penggal a mencerminkan nilai y pada kedudukan x = 0. Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah sama dengan perubahan variabel terikat x dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas y. Kemiringan juga disebut gradien yang dilambangkan dengan huruf m. Jadi:

Kemiringan = m =

2. Fungsi LinierSebagai contoh, y = 15 – 2x, kemiringannya adalah –2. Ini berarti bahwa untuk setiap kenaikkan satu unit variabel x akan menurunkan 2 unit variabel y.

Bentuk umum (bentuk kemiringan titik potong)/ eksplisit :

Y = a+bX a dan b = konstanta, b

Y = variabel tidak bebas X = variabel bebas

2. Fungsi Linier

Bentuk umum implisit : AX + BY+C = 0 nilai kemiringannya : - (A/B) dan titik potong dengan sumbu Y : (0, -C/B)

2. Fungsi Linier

2. Fungsi Linier Menentukan Pers.Garis

Sebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, antara lain: (1) metode dua titik dan (2) metode satu titik dan satu kemiringan.Metode Dua TitikApabila diketahui dua titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan liniernya adalah:


Contoh :misal diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5), maka persamaan liniernya adalah:

4y – 12 = 2x – 44y = 2x + 8Y = 0,5x + 2


Metode Satu Titik dan Satu KemiringanDari sebuah titik A (x1, y1) dan suatu kemiringan (m)dapat dibentuk sebuah persamaan linier dengan rumus sebagai berikut;

y – y1 = m (x – x1)Misal diketahui titik A (2,3) dan kemiringan m=0,5 maka persamaan liniernya adalah:

y – y1 = m (x – x1)y – 3 = 0,5(x – 2)Y – 3 = 0,5x – 1

Y = 0,5x + 2

• Persamaan sebuah garis yang menelusuri/melewati satu buah titik (X1,Y1) yaitu :

11

11

1

1

bXYbXYXXbYYXXYYbtg


Dua garis linier dapat berimpit, sejajar, tegak lurus dan berpotongan.

Dengan persamaan garis linier :g1 : Y = bX + ag2 : Y’= b’X + c maka, Dua garis (g1 dan g2) akan sejajar bila tg α kedua garis tersebut

sama atau b = b’ Dua garis akan tegak lurus bila tg α kedua garis pertama

dikalikan tg β garis kedua sama dengan minus 1 atau b.b’ = -1 Dua garis akan berimpit bila kedua persamaan garis tersebut

identik Dua garis akan berpotongan bila b ≠ b’


1. Gambarkan grafik fungsi: Y = 3X + 22. Sebuah garis melewati titik A(2,1) dan

B(3,4). Ditanyakan persamaan garisnya!3. Hitung titik potong P dari dua persamaan

garis:Y = 4X + 2 dan Y = X - 4

LATIHAN

TUGAS RUMAH1. Carilah kemiringan dan titik potong sumbu y pada persamaan garis berikut ini:

a. 3x – 2y + 12 = 0b. 2x – 5y – 10 = 0c. 4x – 6y = 10

2. Untuk setiap pasangan titik-titik koordinat berikut carilah persamaan garis lurusnya:a. (3,5) dan (10,2)b. (-6,-4) dan (10,8)

3. Untuk setiap pasangan titik koordinat dan kemiringan (m) berikut ini tentukan persamaan garis lurusnya:a. (2,6), m = 0,4b. (5,8), m = -1,6

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode eliminasi:a. 2x – 3y = 5 dan 3x – 2y = -4b. 4x + 3y = 16 dan x – 2y = 4

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode substitusi:a. x – y = 2 dan 2x + 3y = 9b. x – y = -1 dan 3x + 2y = 12

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode determinan:a. x + y = 5 dan 2x + 3y = 12b. 2x – 3y = 13 dan 4x + y = 15

3. Sistem Persamaan Linier

3. Sistem Persamaan Linier

Penyelesaian suatu sistem persamaan linier adalah suatu himpunan nilai yang memenuhi secara serentak (simultan) semua persamaan-persamaan dari sistem tersebut. Atau secara sederhana penyelesaian sistem persamaan linier adalah menentukan titik potong dari dua persamaan linier. Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk penyelesaian suatu sistem persamaan linier, yaitu: (1). Metode Substitusi, (2). Metode Eliminasi, dan (3). Metode Determinan.

3. Sistem Persamaan Linier Metode Subtitusi

Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x+3y=21 dan x+4y=23 ?Jawab:Salah satu persamaan dirubah dahulu menjadi y = ... atau x = .... Misal persamaan x+4y=23 dirubah menjadi x=23-4y. Kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang satu.

x = 23-4y Þ 2x + 3y = 212(23-4y) + 3y = 2146 – 8y + 3y = 21

46 – 5y = 2125 = 5y

y = 5Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan y = 5 ke dalam salah satu persamaan.

y = 5 Þ 2x + 3y = 212x + 3(5) = 212x + 15 = 212x = 21 – 15

x = 6/2x = 3

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,5)

3. Sistem Persamaan Linier Metode Eliminasi

Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 3x-2y=7 dan 2x+4y=10 ?Jawab:Misal variabel yang hendak dieliminasi adalah y

3x - 2y = 7 |x 2| 6x – 4y = 142x + 4y = 10 |x 1| 2x + 4y = 10 + 8x + 0 = 24 x = 3

Untuk mendapatkan nilai y, substitusikan x = 3 ke dalam salah satu persamaan.

x = 3 Þ 3(3) - 2y = 7-2y = 7 – 9 2y = 2 y = 1


3. Sistem Persamaan Linier Metode determinan

ax + by = cdx + ey = fNilai x adalah: x =

Nilai y adalah; y =

Misal persamaan pada soal sebelumnya yaitu 3x-2y=7 dan 2x+4y=10 akan diselesaikan dengan cara determinan:

3. Sistem Persamaan Linier Metode determinan

Nilai x adalah: x =

Nilai y adalah; y =


4. Penerapan Fungsi Linier

4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR

Fungsi linier adalah suatu fungsi yang sangat sering digunakan oleh para ahli ekonomi dan bisnis dalam menganalisa dan memecahkan masalah-masalah ekonomi.Hal ini dikarenakan bahwa kebanyakan masalah ekonomi dan bisnis dapat disederhanakan atau diterjemahkan ke dalam model yang berbentuk linier.

4. PENERAPAN FUNGSI LINEARBeberapa penerapan fungsi linier dalam bidang ekonomi dan bisnis adalah: Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan

keseimbangan pasar 1 dan 2 macam produk Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap

Keseimbangan Pasar. Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap

Kesejahteraan Pengaruh batas minimum dan maksimum

terhadap kesejahteraan Pengaruh kuota produksi terhadap

kesejahteraan

4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR(sambungan) : Pengaruh tarif dan kuota impor terhadap

kesejahteraan Analisis p Fungsi belanja komsumsi dan tabungan Fungsi belanja investasi Fungsi belanja pemerintah Fungsi belanja ekspor impor Fungsi belanja keseluruhan Keseimbangan pasar produk

4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR FS PERMINTAANFungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang diminta turun, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang diminta naik.Sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope negatif (miring ke kiri)Notasi fungsi permintaan akan barang x adalah:

Qx = f (Px)Qx = a – b Px

AtauPx =a/b – 1/b Qx

dimana: Qx = Jumlah produk x yang diminta Px = Harga produk x a dan b = parameter

Bentuk umum fungsi permintaan

Qbb

aPatau

bPaQ

1

Kurva Permintaan

ba

P

Q0 a

4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR FS PERMINTAAN

0 2 4 6 8 10 12 14 160

2

4

6

8

10

12

Qd = a - bPx

Q

P4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR FS PERMINTAAN

4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR FS PENAWARAN

Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan turun, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope positif (miring ke kanan)Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah:

Qx = f (Px)Qx = -a + b Px

AtauPx = a/b + 1/b Qx

dimana: Qx = Jumlah produk x yang ditawarkan Px = Harga produk x a dan b = parameter

Contoh: Fungsi pernawaran P = 3 + 0,5Q

Qbb

aPatau

bPaQ

1

Fungsi Penawaran

Kurva Penawaran

ba

P

Q0a

4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR FS PENAWARAN

0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

12

P

P

4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR KESEIMBANGAN PASAR

Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara matematik dan grafik ditunjukan oleh kesamaan:

Qd = Qsatau Pd = Psyaitu perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran.


0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

Y-Values

Y-Values

sd QQ P

eP

Q0 eQdQ

sQ

E


Contoh Kasus 1 :Diketahui : Fungsi Permintaan ; Q = 15 – P

Fungsi Penawaran ; Q = - 6 + 2P Ditanyakan : Pe dan Qe ?...

Jawab : keseimbangan pasar; Qd = Qs

15 – P = - 6 + 2P 21 = 3P, P = 7Q = 15 – P = 15 – 7 = 8

Jadi, Pe = 7

Qe = 8

P

7

Q0 8

dQ

sQ

E

15

15

3

4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR KESEIMBANGAN PASAR 2 PRODUK

Di pasar terkadang permintaan suatu barang dipengaruhi oleh permintaan barang. Ini bisa terjadi pada dua macam produk atau lebih yang berhubungan secara substitusi (produk pengganti) atau secara komplementer (produk pelengkap).Produk substitusi misalnya: beras dengan gandum, minyak tanah dengan gas elpiji, dan lain-lain. Sedangkan produk komplementer misalnya: teh dengan gula, semen dengan pasir, dan lain sebagainya.


Dalam pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk saja. Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi penawaran produk yang berinteraksi mempunyai dua variabel bebas.Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan adalah :(1) harga produk itu sendiri, dan (2) harga produk lain yang saling berhubungan.


Notasi fungsi permintaan menjadi:Qdx = ao – a1Px + a2PyQdy = bo + b1Px - b2Py

Sedangkan fungsi penawarannya:Qsx = -mo + m1Px + m2PyQsy = -no + n1Px + n2Py


Dimana:

Qdx = Jumlah yang diminta dari produk XQdy = Jumlah yang diminta dari produk YQsx = Jumlah yang ditawarkan dari produk XQsy = Jumlah yang ditawarkan dari produk Y Px = Harga produk X

Py = Harga produk Ya0, b0, m0, dan n0 adalah konstanta.

Syarat keseimbangan pasar dicapai jika:Qsx = Qdx dan Qsy = Qdy


Contoh : Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut:

Qdx = 5- 2Px + Py

Qdy = 6 + Px - Py

Dan Qsx = -5 + 4Px - Py

Qsy = -4 - Px + 3Py

Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar !

PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASARAdanya pajak yang dikenakan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menaikkan harga jual barang tersebut sebesar tarif pajak per unit (t), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula. Fungsi penawaran setelah pajak menjadi:

Ps = f(Q) + t atauQs = f(P - t)

SUBSIDIAdanya subsidi yang diberikan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menurunkan harga jual barang tersebut sebesar subsidi per unit (s), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula.Fungsi penawaran setelah subsidi menjadi:

Ps = f(Q) - s atauQs = f(P + s)

Pengaruh Pajak. Pajak yang dikenakan atas penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut naik. Sebab setelah dikenakan pajak, produsen akan berusaha mengalihkan (sebagian) beban pajak tersebut kepada konsumen.

Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas, dengan penggal yang lebih tinggi pada sumbu harga. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ + t = (a + t) + bQ.

PENGARUH PAJAK-SPESIFIK TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR

4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR

Contoh Kasus 2 :Diketahui : permintaan; P = 15 – Q

penawaran; P = 3 + 0,5 Q pajak; t = 3 per unit.

Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak ?...Penyelesaian :Dimisalkan sebelum pajak, Pe = 7 dan Qe = 8 . Sesudah pajak, harga jual yang ditawarkan oleh produsen menjadi lebih tinggi, persamaan penawarannya berubah dan kurvanya bergeser keatas.

Penawaran sebelum pajak : P = 3 + 0,5 QPenawaran sesudah pajak : P = 3 + 0,5 Q + 3 = 6 + 0,5 QSedangkan permintaan tetap : P = 15 – Q Keseimbangan Pasar : 15 – Q = 6 +0,5Q - 1,5Q = - 9

Q = 6 P = 15 – Q = 15 – 6 = 9Jadi, sesudah pajak ; P’e = 9 dan Q’e = 6

Jadi, Kurvanya adalah sebagai berikut :

P

7

Q0 8

dQ

sQ

E

15

15

63

9

6

sQ'(sebelum pajak)

(sesudah pajak)

'E

Beban pajak yang ditanggung konsumen (tk)Rumus : tk = P’e – P Dalam contoh kasus diatas, tk = 9 – 7 = 2

Beban pajak yang ditanggung produsen (tp)Besarnya bagian dari beban pajak yang ditanggung oleh produsen (tp) adalah selisih antara besarnya pajak per unit barang (t) dan bagian pajak yang menjadi tanggungan konsumen (tk).Rumus : tp = t – tk Dalam contoh kasus 2, tp = 3 – 2 = 1

Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah (T)Rumus : T = Q’e X tDalam contoh kasus 2, T = 6 X 3 = 18

Beban Pajak

PENGARUH PAJAK-PROPORSIONAL TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR Pajak Proporsional ialah pajak yang besarnya diterapkan

berdasarkan persentase tertentu dari harga jual; bukan diterapkan secara spesifik (misalnya 3 rupiah) per unit barang. Meskipun pengaruhnya serupa dengan pengaruh pajak spesifik, menaikan harga keseimbangan dan mengurangi jumlah keseimbangan, namun analisisnya sedikit berbeda.

Jika persamaan penawaran semula P = a + bQ (atau Q = -a/b + 1/b P) maka, dengan dikenakannya pajak proporsional sebesar t% dari harga jual, persamaan penawaran yang baru akan menjadi :

P = a + bQ + tP t : pajak proporsional dalam % P – tP = a + bQ (l – t)P = a + bQ

Pbtl

baQatauQ

tlb

tlaP


penawaran; P = 3 + 0,5 Q t = 25% Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak ?...Penyelesaian :Sebelum pajak, Pe = 7 dan Qe = 8 , sesudah pajak, persamaan penawarannya akan berubah, sementara permintaannya tetap P = 15 – Q atau Q = 15 – P .Penawaran sesudah pajak, dengan t = 25% = 0,25 :

P = 3 + 0,5 Q + 0,25 P = 3 + 0,75 Q

Keseimbangan Pasar : Pd = Ps

15 - Q = 3 +0,75Q -1,75Q = -12

Q = 6,6Jadi, sesudah pajak : P’e = 8,4 dan Q’e = 6,6 Pajak yang diterima oleh pemerintah dari setiap unit barang adalah :t x P’e = 0,25 x 8,4 = 2,1

Kurvanya adalah :

Besarnya pajak yang ditanggung oleh konsumen untuk setiap barang yang dibeli adalah tk = P’e – Pe = 8,4 – 7 = 1,4

Sedangkan yang ditanggung produsen adalah : tp = t – tk = 2,1 – 1,4 = 0,7 Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah :

T = Q’e x t = 6,6 x 2,1 = 13,86.

P

7

Q0 8

dQ

sQE

4,8

6,6

sQ'

'E

Subsidi merupakan kebalikan atau lawan dari pajak, oleh karena itu ia sering juga disebut pajak negatif. Seiring dengan itu, pengaruhnya terhadap keseimbangan pasar berbalikan dengan pengaruh pajak, sehingga kita dapat menganalisisnya seperti ketika menganalisis pengaruh pajak. Subsidi dapat bersifat spesifik dan dapat juga bersifat proporsional.

Pengaruh Subsidi. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan sesuatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah. Dengan adanya subsidi, produsen merasa ongkos produksinya menjadi lebih kecil sehingga ia bersedia menjual lebih murah.

Dengan subsidi sebesar s, kurva penawaran bergeser sejajar kebawah, dengan penggal yang lebih kecil (lebih rendah) pada sumbu harga.Jika sebelum subsidi persamaan penawarannya P = a + bQ, maka

sesudah subsidi akan menjadi P’ = a + bQ – s = (a – s) + bQ.

PENGARUH SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR


penawaran; P = 3 + 0,5 Q subsidi; s = 1,5 per unit. Ditanyakan : berapa P dan Q

keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi ?... Penyelesaian :Tanpa subsid, Pe = 7 dan Qe = 8 . Dengan subsidi, harga jual yang ditawarkan oleh produsen menjadi lebih rendah, persamaan penawaran berubah dan kurvanya bergeser turun.Penawaran tanpa subsidi : P = 3 + 0,5 QPenawaran dengan subsidi : P = 3 + 0,5 Q – 1,5

P = 1,5 + 0,5 Q Q = -3 + 2PPermintaan tetap : P = 15 – Q Q = 15 – P

Maka, keseimbangan pasar : Qd = Qs

15 – P = -3 + 2P 18 = 3P, P = 6 Q = 15 – P 15 - 6 = 9

Jadi dengan adanya subsidi : P’e = 6 dan Q’e = 9

Jadi kurvanya sebagai berikut :

P

6

Q0 9

dQ

sQE

15

15

35,1

7

sQ' (dengan subsidi)

(tanpa subsidi)

'E

8

Bagian subsidi yang dinikmati konsumen. Besarnya bagian dari subsidi yang diterima, secara tidak langsung, oleh konsumen (sk) adalah selisih antara harga keseimbangan tanpa subsidi (Pe ) dan harga keseimbangan dengan subsidi (P’e )

Dalam contoh kasus diatas, sk = 7 – 6 = 1. Bagian subsidi yang dinikmati produsen. Dalam contoh kasus diatas, sp = 1,5 – 1 = 0,5. Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah. Besarnya

jumlah subsidi yang diberikan oleh pemerintah (S) dapat dihitung dengan mengalikan jumlah barang yang terjual sesudah subsidi (Q’e) dengan besarnya subsidi per unit barang (s).

Dalam contoh kasus diatas, S = 9 x 1,5 = 13,5.

Bagian Subsidi yang Dinikmati

KESEIMBANGAN PASAR KASUS DUA MACAM BARANG

Bentuk Umum :Qdx : jumlah permintaan akan XQdy : jumlah permintaan akan YPx : harga X per unitPy : harga Y per unit

Contoh Kasus 5 :Diketahui : permintaan akan X; Qdx = 10 – 4Px + 2Py

penawarannya; Qsx = -6 + 6Px

permintaan akan Y; Qdy = 9 – 3 Py + 4 Px

penawarannya; Qsx = -3 + 7 Py

Ditanyakan : Pe dan Qe untuk masing-masing barang tersebut ?...

xydy

yxdx

PPgQPPfQ

,,

Penyelesaian :

1)Keseimbangan pasar barang X Qdx = Qsx

10 – 4Px + 2Py = -6 + 6Px

10Px – 2Py = 16

2)Keseimbangan pasar barang YQdy = Qsy

9 – 3Py + 4Px = -3 + 7 Py

4Px – 10 Py = - 12

3. Dari 1 ) dan 2 )

Py = 2 , masukkan ke 1) atau 2), diperoleh Px = 2Masukkan kedalam persamaan semula, sehingga didapat nilai Qxe = 6, dan nilai Qye = 11.:

30251016210

5,21

1210416210

yx

yx

yx

yx

PPPP

PPPP

24623

y

y

PP

ANALISIS PULANG POKOK4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR

Pulang Pokok (Break Even); Apabila penerimaan total dari hasil penjualan produk sama dengan biaya total yang dikeluarkan perusahaan.

TR = TCTR = P.Q danTC = FC + VQ

Dimana;

FUNGSI BELANJA KOMSUMSI DAN TABUNGAN4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR

Fungsi Konsumsi;C = a + bYd

Dimana; C = KonsumsiYd = Pendapatan Yg dapat dibelanjakan a = Konsumsi dasar tertentu yg tidak tergantung pada pendapatanb = Kecenderungan konsumsi marginal (MPC)

Fungsi Tabungan;S = -a + (1-b)Yd

Dimana; S = Tabungana = Pendapatan Yg dapat dibelanjakan Yd = Pendapatan Yg dapat dibelanjakan (1-b) = Kecenderungan konsumsi marginal (MPC)

FUNGSI BELANJA INVESTASI4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR

Fungsi belanja investasi menunjukan hubungan antara :

jumlah belanja investasi oleh investor dan beberapa variabel ekonomi dalam perekonomian yang mempengaruhinya pada suatu periode waktu tertentu.Variabel-variabel :1. Tingkat bunga2. Pendapatan riil 3. Pajak bisnis/perusahaan4. Laba yang diharapkan dan keyakinan bisnis5. Pemanfaatan kapasitas (capacity utilization)


Model matematika Fungsi belanja investasi :I=f(Y, r, Tb, PR, CU)

Dimana :I = jumlah belanja investasiY= pendapatan riil (variabel paling utama mempengaruhi variabel belanja)r = tingkat bunga pasarTb= pajak bisnisPR= profil yang diharapkan dan keyakinan bisnisCU= pemanfaatan kapasitas


• Fungsi investasi dengan 1 var bebas pendapatan : sebagai Variabel penentu utama I=f(Y)

• bentuk persamaan liniaer :I = I0 + I1y (persamaan belanja investasi)

I= belanja investasi oleh investorY= pendapatan riilI0 = belanja investasi autonomosI1 = kecenderungan berinvestasi marginal ( c1+i1 <0 )

• Fungsi investasi dengan 1 var bebas tingkat bunga :

I=f(r)• bentuk persamaan liniaer :

I = I0 + I1r (persamaan belanja investasi)I= belanja investasi oleh investorr= tingkat bunga pasarI0 = faktor-faktor lain yang mempengaruhi belanja investasiI1 = koofisien yang sesuai dengan tingkat bunga


Latihan 1 : Misalkan telah diketahui fungsi belanja investasi dari suatu perekonomian

I = 30 + 0,2Ya. Berapa besar belanja investasi autonomousb. Berapa nilai investasi total apabila tingkat pendapat 50c. Gambar kan fungsi belanja investasi dalam satu diagram !

Latihan 2 :Fungsi belanja investasi dari suatu perekonomian adalah I = 3000 – 100r, dimana I adalah nilai belanja investasi dalam miliar rupiah dan r adalah tingkat bunga pasar dalam presentased. Berapa besar belanja investasi jika tingkat bunga (r) yang berlaku di

pasar 15% ?e. Berapa besar belanja investasi, jika bunga (r) yang berlaku di pasar

10%?f. Gambarkan fungsi belanja investasi dalam satu diagram!

FUNGSI BELANJA PEMERINTAH :4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR

FUNGSI BELANJA PEMERINTAH : hubungan jumlah belanja pemerintah dengan kebijakan yang diputuskan oleh pemerintahVARIABEL BELANJA PEMERINTAH : VARIABEL EKSOGEN

G = f(Y, Kebijakan) (mat : fungsi konstanta)G : jumlah belanja pemerintahY : pendapatan riil dalam perekonomianKebijakan : keputusan yang dibuat oleh pemerintah dan disetujui oleh Legistatif

G = G0 (mat : persamaan linear)G : belanja pemerintahG0 : belanja pemerintah otonom

FUNGSI BELANJA PEMERINTAH :4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR

FUNGSI BELANJA EKSPOR DAN IMPOR4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR

FUNGSI BELANJA EKSPOR : hubungan jumlah belanja ekspor (oleh eksportir) dengan tingkat pendatan riil atau PDB luar negeri (GDP or real time) dan tingkat pertukaran mata uang (currency exchange rate) dalam perekonomian pada suatu periode waktu tertentu.

Bentuk Fungsional : X = f(Y*, R)X : jumlah belanja eksporY* : tingkat pendapatan riil luar negeriR : tingkat pertukaran mata uang


(Fungsi belanja ekspor terhadap tingkat pertukaran mata uang)Bentuk Persamaan Linier : X = X0 – x1RX : jumlah belanja eksporY* : tingkat pendapatan riil luar negeriR : tingkat pertukaran mata uangX0 : faktor yang mempengaruhi belanja eksporX1 : koofisien yang sesuai dengan tingkat pertukaran mata uang


(Fungsi belanja ekspor terhadap tingkat pendapatan riil domestik PDB)Bentuk Fungsi Konstanta : X = X0

X : jumlah belanja eksporX0: belanja ekspor otonomTingkat belanja ekspor : Variabel Eksogen sehingga tidak ada hub. Dengan tingkat pendapatan riil.


FUNGSI BELANJA IMPOR : hubungan jumlah belanja impor (oleh eksportir) dengan tingkat pendatan riil domestik dan tingkat pertukaran mata uang (currency exchange rate) dalam perekonomian pada suatu periode waktu tertentu.

Bentuk Fungsional : M = f(Y, R)M : jumlah belanja imporY* : tingkat pendapatan riil domestikR : tingkat pertukaran mata uang

M berbanding lurus dengan Y dan juga R


(Fungsi belanja impor terhadap pendapatan)Bentuk Persamaan Linier : M = M0 – m1YM : belanja imporY : tingkat pendapatan riil domestikR : tingkat pertukaran mata uangM0 : faktor yang mempengaruhi belanja imporm1 : kecenderungan marginal untuk mengimpor

Fungsi belanja impor terhadap tingkat pertukaran mata uang dianggap konstan

FUNGSI BELANJA KESELURUHAN (AGGREGATE)4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR

Fungsi belanja keseluruhan adalah fungsi yang menunjukan antara nilai belanja keseluruhan (aggregate expenditure) dan nilai dari semua komponen belanja yang dilakukan oleh para pelaku ekonomi dalam perekonomian.1. Belanja komsumsi2. Belanja investasi3. Belanja pemerintah4. Belanja ekspor impor

AE = C + I + G + (X-M)Sehingga :

AE = f(Y, Tp,r,W,D,CR,CC,TB,PR,CU,G,Y*,R)AE= Belanja keseluruhan CR=kredit konsumenY=Tingkat pendapatan (variabel yang plg berpengaruh)CC=keyakinan konsumenTp=pajak perseorangan TB=pajak bisnis/perusahaanr=tingkat bunga pasar PR=profit yang diharapkan investorW=kekayaan konsumen CU=pemanfaatan kapasitasD=Hutang konsumen G=belanja pemerintahY*=pendapatan riil atau PDB luar negeri R=tingkat pertukaran mata uang

FUNGSI BELANJA KESELURUHAN (AGGREGATE)4. PENERAPAN FUNGSI LINEAR

fungsi belanja keseluruhan dengan 1 var bebas AE=f(Y)Persamaan linier : AE=AE0+(c1+i1-m1)YAE0 =jumlah dari semua komponen belanja otonomC1=kecenderungan marginal untuk komsumsiI1= kecenderungan marginal untuk investasim1=kecendurungan marginal untuk impor 0<(c1+i1-m1)<1

5. Fungsi NonLinier

5. FUNGSI NONLINEARBERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (PECAHAN)BERUPA GARIS LENGKUNG / BUKAN GARIS LURUS (LINIER :GARIS LURUS)

Fungsi Kuadrat (pers. Parabola vertikal)Y = f(X) = aX2 + bX + c

Dimana; Y = Variabel TerikatX = Variabel Bebasa, b, dan c = konstanta, dan a ≠ 0Koordinat titik puncak dapat diperoleh dengan

rumus;

5. FUNGSI NONLINEAR

BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (PECAHAN)BERUPA GARIS LENGKUNG (LINIER :GARIS LURUS)

FUNGSI KUADRAT


Dimana; Y = Variabel TerikatX = Variabel Bebasa, b, dan c = konstanta, dan a ≠ 0Koordinat titik puncak dapat diperoleh dengan

rumus;

5. FUNGSI NONLINEARFUNGSI KUADRAT


Akar kuadrat :

Fungsi Kuadrat (pers. Parabola Horisontal)????????????????????


Jika a > 0 dan D > 0, maka parabola akan terbuka keatas dan memotong sumbu X di dua titik yg berlainan.

Jika a > 0 dan D = 0, maka parabola akan terbuka keatas dan menyinggung sumbu X di dua titik yg berimpit.

Jika a > 0 dan D < 0, maka parabola akan terbuka keatas dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu X.

Jika a < 0 dan D > 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan memotong sumbu X di dua titik yg berlainan.

Jika a < 0 dan D = 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan menyinggung sumbu X di dua titik yg berimpit.

Jika a < 0 dan D < 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu X.

Nilai a : menentukan parabola terbuka ke atas atau ke bawahDiskriminan D menyatakan apakah parabola memotong, menyinggung atau tidak memotong menyinggung sumbu X.

5. FUNGSI NONLINEARFUNGSI PANGKAT TIGA

5. FUNGSI NONLINEARFUNGSI RASIONAL

BENTUK UMUM :


Dalam bidang Cartesius, kurvanya akan berbentuk hiperbola dan mempunyai sepasang sumbu hiperbola dan mempunyai sepasang sumbu Asimtot.


Fungsi Rasional istimewa yang diterapkan dalam Ekonomi dan Bisnis (sumbu asimtot berimpit dengan sb X dan Y) :

Y = a/X atau XY=a dimana a>0(sumbu asimtot tidak berimpit dengan sb X dan Y) :

(X-h)(Y-k)=Ch = sumbu asimtot tegakK = sumbu asimtot datar(h,k) = titik pusatC = Konstanta positif

6. Penerapan Fungsi NonLinier

6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEARPENDAHULUAN

Hub Fungsional antara variabel ekonomi dan bisnis tidak selalu berbentuk linier tapi juga nonlinier.Artinya : Perubahan suatu Variabel dependent/terikat diakibatkan oleh perubahan Variabel independent/bebas adalah tidak tetap.a. Fungsi permintaanb. Fungsi penawaranc. Keseimbangan pasard. Fungsi penerimaan totale. Fungsi produksif. Kurva transformasi produksig. Kurva indiverens

6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEARFUNGSI PERMINTAAN

Fungsi permintaan nonlinier : Fs Kuadrat dan Fs rasionalFs. Kuadrat :

1. P = f(Q); P = c+bQ-aP = Harga produkQ = Jumlah produk yang dimintaa, b dan c adalah konstanta (a<0)a<0 persamaan parabola terbuka ke bawah.

2. Q=f(P); Q = c+bP-a(akan berbentuk parabola terbuka ke bawah)

Grafik fungsi permintaan kuadrat hanya diambil dari sebagian parabola yang terletak di kuadran I. (+,+)

6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEARFUNGSI PERMINTAAN

Fungsi permintaan nonlinier : Fs Kuadrat dan Fs rasionalFs. Rasional :

1. P = atau P.Q = cP = Harga produkQ = Jumlah produk yang dimintac = konstanta positif (c>0)Berbentuk hiperbola sama sisi

2. (Q-h)(P-k)=ch = sumbu asimtot tegakk = sumbu asimtot datar

6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEARFUNGSI PENAWARAN

Bentuk Umum :dengan :P = Harga produkQ = Jumlah produk yang ditawarkana, b dan c adalah konstanta, a>0.

1. P = c + bQ + aQ2 (parabola terbuka keatas)

2. Q = c + bP + aP2 (parabola terbuka kekanan)

6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEARFUNGSI PENAWARAN

Contoh ;Jika fs penawaran ditunjukan oleh Q=5P2–10PGambarkan fungsi tersebut ?1. Cari koordinat titik potong2. Cari titik puncak parabola tsb

6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEARKESEIMBANGAN PASAR

Jumlah dan Harga Keseimbangan pasar dapat diperoleh :

1. secara geometri dengan menggambarkan kurva permintaan dan penawaran secara bersama-sama dalam satu diagram

2. Secara aljabar menggunakan metode eliminasi atau subtitusi.

Kurva keseimbangan bisa kombinasi antara fungsi linier dan fungsi nonlinier

6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEARKESEIMBANGAN PASAR

Contoh : fungsi permintaan dari suatu produk adalah (Q+4)(P+2)=36 dan fungsi penawarannya P=Q+2

a. Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar secara aljabar

b. Gambarkan keseimbangan pasar tersebut dalam satu diagram!

6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEARFUNGSI PENERIMAAN TOTAL

Penerimaan total dari suatu produsen adalah hasil kali antara harga per unit produk dengan jumlah yang dijual TR=P.Q

Jika fs permintaan dinyatakan dengan P=b-aQ, maka persamaan penerimaan total :

TR=(b-aQ)Q = bQ-a (parabola terbuka kebawah shg akan memtong sb Q di 2 titik Q=0 dan Q=b/a dengan titik puncak yang maksimum)

Titik puncak =

Produksi adalah proses penggabungan atau pengkombinasian faktor produksi (input) yang mengubahnya menjadi barang atau jasa (output).

Hubungan antara jumlah output yang dihasilkan dan kombinasi jumlah input yang digunakan disebut sebagai fungsi produksi atau fungsi produk total.

6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEARFUNGSI PRODUKSI

• Secara umum fungsi produksi dapat ditulis :Q = f(L, K, T, W)dimana : Q = jumlah barang dan jasa (output)L = tenaga kerjaK = modalT = tanahW = wirausaha/skill

• Persamaan di atas menunjukkan fungsi produksi dengan 4 input atau 4 variabel bebas.

Dalam kesempatan ini akan dibahas fungsi produksi dengan satu input variabel, yaitu tenaga kerja.

Q = f(L)dimana :Q = jumlah barang dan jasa (output)

L = tenaga kerjaDari fungsi produksi tersebut dapat diketahui

produk marjinal dari tenaga kerja (marginal product of labor/MPL) dan produk rata-rata dari tenaga kerja (average product of labor).

Produk marjinal dari tenaga kerja adalah tambahan produk total sebagai akibat adanya tambahan satu unit tenaga kerja.

Produk rata-rata dari tenaga kerja adalah produk total dibagi dengan jumlah tenaga kerja yang digunakan

HUBUNGAN TP, AP dan MPHubungan antara TP dengan MPHubungan antara TP dengan APHubungan antara MP dengan AP

Tahapan Dalam Kegiatan Berproduksi

Tahap 1

• Dimulai dari titik 0 sampai dengan AP maksimum AP = MP pada saat AP maksimum

• AP meningkat sampai titik puncak produktivitas per tenaga kerja tinggi TP naik dengan

kecepatan tinggi• Nilai MP positif• Nilai TP masih rendah

Tahap 2

• Dimulai setelah AP maksimum (AP = MP) sampai dengan MP = 0

• AP menurun TP naik dengan kecepatan yang semakin melemah

• Nilai MP positif• Nilai MP = 0 TP maksimum

Tahap 3

• Dimulai setelah MP = 0• AP menurun kecepatan TP semakin berkurang

• Nilai MP negatif Input ditambah justru TP semakin berkurang

Tahap I : menunjukkan tenaga kerja yang masih sedikit, apabila ditambah akan meningkatkan total produksi, produksi rata-rata dan produksi marginal.

Tahap II :Produksi total terus meningkat

sampai produksi maksimum sedang rata-rata produksi

menurun dan produksi marginal menurun sampai titik nol.

Tahap III : Penambahan tenaga kerja

menurunkan total produksi, dan produksi rata-rata, sedangkan

produksi marginal negatif.

Berbagai Bentuk Fungsi Produksi• Fungsi produksi jangka pendek mempunyai

beberapa bentuk, antara lain :- Fungsi kuadrat (quadratic function)- Fungsi pangkat tiga (cubic function)- Fungsi pangkat (power function)

• Dari ketiga bentuk fungsi produksi ini yang paling ideal adalah fungsi pangkat tiga.

• Fungsi ini dimulai dengan hasil marginal yang semakin meningkat (increasing marginal returns) kemudian diikuti hasil marginal yang semakin menurun (decreasing marginal returns).

Bentuk persamaan dai fungsi pangkat tiga :

Q = a + bL + cL2 + dL3

dimana, nilai konstanta a diasumsikan nol, karena sesuai dengan teori ekonomi : jika tidak ada input, maka tidak ada outputnya. gambar idem depan

Bentuk persamaan fungsi kuadrat : Q = a + bL + cL2

Nilai konstanta a diasumsikan nol.Bentuk fungsi produksi ini dimulai dengan hasil marginal yang semakin menurun (decreasing marginal returns) dan tidak mempunyai hasil marginal yang menaik.

Fungsi produksi ini tidak mempunyai tahap 1.

Bentuk fungsi produksi yang ketiga adalah berbentuk fungsi pangkat, yang dirumuskan :

Q = aLb

Bentuk grafiknya tergantung besarnya nilai pangkat b.Jika b > 1 mempunyai hasil marginal yang semakin menaikJika b = 1 hasil marginal konstanJika b < 1 hasil marginal yang semakin berkurang

Untuk b > 1 hanya mempunyai tahap IUntuk b < 1 hanya mempunyai tahap II dan IIIUntuk b = 1 fungsi linear (garis lurus)

Kurva Transformasi Produksi

• Suatu proses produksi dapat menghasilkan dua atau lebih produk yang berbeda, baik dalam jenisnya maupun mutunya.

• Dua atau lebih produk yang berbeda ini dihasilkan dengan menggunakan input yang sama dan teknologi yang sama.

• Jika suatu perusahaan yang menghasilkan dua jenis produk atau lebih dengan menggunakan teknik yang berbeda tidak dapat dianalisis dengan kurva transformasi produksi.

Kurva transformasi produksi dapat didefinisikan sebagai titik-titik kombinasi antara jumlah dua jenis produk yang dapat dihasilkan dengan menggunakan faktor produksi (input) tertentu.

Misalkan jumlah kedua jenis produk itu adalah X dan Y, kurva transformasi produksi menunjukkan hubungan sebagai berikut : jika jumlah jenis produk X ditambah, maka jumlah produk Y akan berkurang atau sebaliknya.

Secara ekonomi kurva transformasi produksi dianggap cekung terhadap titik asal (origin).

Semakin jauh kurva transformasi produksi dari titik asal 0, berarti semakin banyak output yang dihasilkan dan semakin banyak input yang dibutuhkan.

Kurva transformasi produksi dapat berupa sebagian dari kurva parabola, elips, hiperbola atau lingkaran yang terletak di kuadran I.

Contoh :Suatu perusahaan menghasilkan dua jenis baja dengan mutu yang berbeda, yaitu X dan Y dengan proses produksi yang sama. Kurva transformasi produksi untuk sejumlah input yang digunakan dinyatakan dengan persamaan X = 20 – 4Y – Y2

a. Berapakah jumlah produk baja X dan Y terbanyak yang dapat dihasilkan ?

b. Berapakah jumlah produk baja X dan Y akan dihasilkan agar supaya X = 4Y ?

c. Gambarkan kurva transformasi tersebut !

Penyelesaian :a. X terbesar apabila Y = 0, sehingga X = 20

Y terbesar apabila X = 0, maka 0 = 20 – 4Y – Y2

atau Y2 + 4Y – 20 = 0Y12 = 2.9 dan -4.9

b. Dengan mensubtitusikan X= 4Y ke dalam X = 20-4Y-Y^2, maka diperoleh:4Y = 20-4Y-Y^2 Y^2 +8Y-20 = 0

(Y+10) (Y-2) = 0 Y1 = -10 (tidak memenuhi)

Y2 = 2 X2 = 4(2) = 8Jadi jumlah yang harus diproduksi adalah X = 8 dan Y = 2

LATIHAN

Dari kurva transformasi produksi berikut tentukan nilai X dan Y maksimum yang dapat dihasilkan:a. X = 36 – 6Y^2

b. Y = 45 – 9X^2

6. PENERAPAN FUNGSI NONLINEARKURVA TRANSFORMASI PRODUKSI

PROSES PRODUKSI > 2 ATAU LEBIH JENIS PRODUK BERBEDA (JENIS MAUPUN MUTU) = MENGGUNAKAN INPUT DAN TEKNOLOGI YANG SAMA

KURVA TRANSFORMASI PRODUKSI : TITIK-TITIK KOMBINASI ANTARA JUMLAH 2 JENIS PRODUK YANG DAPAT DIHASILKAN DENGAN MENGGUNAKAN FAKTOR PRODUKSSI (INPUT TERTENTU)

MIS. JUMLAH KEDUA JENIS PRODUK ITU X DAN Y, JIKA JUMLAH JENIS PRODUK X BERTAMBAH MAKA Y BERKURANG ATAU SEBALIKNYA.

SECARA EKONOMI KURVA TRANSFORMASI PRODUKSI DIANGGAP CEKUNG TERHADAP TITIK ASAL, SEHINGGA SEMAKIN JAUH KURVA TRANSFORMASI PRODUKSI DARI TITIK ASAL O SEKAMIN BANYAK INPUT YANG DIBUTUHKAN.

KURVA DAPAT BERUPA SEBAGIAN DARI KURVA PARABOLA, HIPERBOLA, ELIPS DAN LINGKARAN.

KURVA INDIFERENS

• Setiap orang di dunia ini memerlukan konsumsi barang dan jasa untuk memenuhi kebutuhan sehari-hari agar bisa mempertahankan kelangsungan hidupnya.

• Barang dan jasa yang dikonsumsi oleh setiap konsumen bermacam-macam jenis dan jumlahnya.

• Disamping itu, setiap konsumen yang rasional akan berusaha memaksimumkan kepuasan atas barang dan jasa yang dikonsumsinya.

• Dalam dunia nyata seorang konsumen akan memilih diantara ribuan barang dan jasa yang ada.

• Tetapi, untuk keperluan analisis, maka kita memisalkan hanya ada dua macam barang yang dikonsumsi, yaitu barang X dan Y.

• Kombinasi konsumsi dari dua macam barang atau jasa akan dianalisis menggunakan kurva indeferens.

• Hal ini karena kurva indiferens menunjukkan semua kombinasi dua macam barang yang dapat memberikan tingkat kepuasan atau utilitas yang sama bagi konsumen.

• Disebut indiferens karena pada titik-titik di sepanjang kurva akan memberikan kepuasan yang sama.

• Jadi, kurva indiferens menunjukkan titik-titik kombinasi dari barang X dan Y yang dapat memberikan tingkat kepuasan atau utilitas total yang sama bagi konsumen.

• Kurva indiferens dapat diperoleh dari fungsi utilitas yang berbentuk :U = f (X, Y)di mana, U = Tingkat utilitas atau kepuasan total konsumenX = Jumlah barang X yang dikonsumsiY = Jumlah barang Y yang dikonsumsi

• Bila kurva indiferens ini digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, maka akan tampak seperti pada Gambar 1.

Gambar 1. Kurva Indiferens

• Gambar 1 menunjukkan sumbu horizontal menunjukkan jumlah barang X yang dapat dikonsumsi oleh konsumen dalam waktu tertentu dan sumbu vertikal menunjukkan jumlah barang Y yang dapat dikonsumsi oleh konsumen dalam waktu tertentu.

• Misalkan konsumen memilih kombinasi di titik A, maka jumlah barang X yang dapat dikonsumsi sebanyak X1 dan jumlah barang Y yang dapat dikonsumsi sebanyak Y1.

• Tetapi, jika konsumen memilih kombinasi di titik B, maka jumlah barang X yang dapat dikonsumsi sebanyak X2 dan jumlah barang Y yang dapat dikonsumsi sebanyak Y2.

• Jadi, baik kombinasi di titik A maupun di titik B konsumen mempunyai kepuasan yang sama atau indiferens.

• Kurva indiferens mempunyai kemiringan negatif, karena jika barang X bertambah konsumsinya, maka barang Y akan berkurang konsumsinya oleh konsumen agar tingkat kepuasan konsumen tetap.

• Kurva indiferens cembung terhadap titik asal (0, 0). Ini berarti semakin banyak barang X yang dikonsumsi, maka semakin sedikit jumlah barang Y yang harus konsumen korbankan untuk mendapatkan tambahan konsumsi barang X (ΔX). Hal ini dikenal dengan hukum tingkat substitusi marginal yang menurun.

• Dengan kata lain, semakin langka suatu barang, semakin besar pula nilai substitusinya terhadap suatu barang yang akan digantinya.

Secara matematis kurva indiferens akan mempunyai kemiringan (ΔY/ΔX) yang semakin kecil, bila bergerak pada kurva indiferens semakin kebawah.

Bila parameter U dalam persamaan utilitas diubah-ubah besarnya menjadi U1, U2 dan U3, maka akan diperoleh sehimpunan kurva indiferens yang satu sama lainnya tidak saling memotong. Ini disebut peta indiferens (indifference maps).

Gambar 2. Sekumpulan Kurva Indeferens

• Peta indiferens adalah grafik yang menunjukkan selera konsumen.

• Setiap kurva dalam peta indiferens mencerminkan tingkat kepuasan atau utilitas yang berbeda.

• Misalkan, konsumen memilih di titik C(X2, Y1) akan memberikan kepuasan yang lebih besar dibandingkan di titik A(X1, Y1). Selanjutnya kombinasi di titik D(X3, Y1) akan memberikan kepuasan yang lebih besar daripada di titik C(X2, Y1).

• Perbedaan kepuasan konsumen ini, karena titik A terletak pada kurva indiferens U1, titik C pada kurva indiferens U2 dan titik D pada U3.

• Jadi, kuva indiferens yang terletak semakin jauh dari titik asal menunjukkan tingkat konsumsi barang yang lebih banyak atau tingkat kepuasan total yang besar.

• Kurva indiferens pada peta indiferens tidak saling berpotongan satu sama lain.

• Pada Gambar 3 terlihat bahwa :Untuk U1 : 0X1 + 0Y1 = 0X2 + 0Y2, danUntuk U2 : 0X1 + 0Y1 = 0X2 + 0Y3

• Karena kedua persamaan di sisi kiri sama, maka kedua persamaan di sisi kanan harus sama pula, maka diperoleh :0X2 + 0Y2 = 0X2 + 0Y3

• Jika kedua sisi persamaan ini dikurangi 0X2, maka diperoleh: 0Y2 = 0Y3

• Hal ini terbukti tidak benar, sebab 0Y2 menunjukkan bahwa lebih banyak barang yang dikonsumsi oleh konsumen dibandingkan 0Y3. Dengan demikian, konsumen akan memilih 0Y2

Kurva indiferens memiliki 5 sifat, yaitu :1. Kurva indiferens menunjukkan tingkat kepuasan atau

utilitas yang konstan terhadap setiap kombinasi yang terdapat di sepanjang kurva indiferens;

2. Kurva indiferens mempunyai kemiringan negatif;3. Kurva indiferens cembung terhadap titik asal (0, 0);4. Kurva indiferens yang makin jauh dari titik asal,

semakin tinggi tingkat kepuasan atau utilitasnya;5. Kurva indiferens tidak saling memotong satu dengan

lainnya.Kurva-kurva yang memenuhi kelima sifat tersebut untuk

menunjukkan kurva indiferens adalah lingkaran, hiperbola dan parabola.

Kurva Indiferens yang Berbentuk Lingkaran• Lingkaran X2 + Y2 = a2, yang titik pusatnya

dipindahkan ke titik (a, a), sehingga rumusnya menjadi :(X-a)2 + (Y-a)2 = a2, atauX + Y + √2XY = a

• Bila parameter a diubah, maka akan diperoleh sehimpunan kurva lingkaran.

• Tetapi yang dipakai hanyalah busur seperempat lingkaran yang menyinggung sumbu X dan Y di titik (a, 0) dan (0, a).

Kurva Indiferens yang Berbentuk Hiperbola• Hiperbola sama sisi XY = a, yang dapat digeser sejajar

sampai pusatnya berimpit dengan titik (-h, -k) di kuadran ketiga, sehingga persamaannya menjadi :(X + h)(Y + k) = aSumbu asimtot tegak X = -h dan, asimtot datar Y = -kTitik potong sumbu X = (a/k) – hTitik potong sumbu Y = (a/h) – k

• Bila parameter a diubah, maka akan diperoleh sehimpunan kurva hiperbola sama sisi.

• Tetapi yang digunakan hanyalah bagian hiperbola di kuadran 1.

Kurva Indiferens yang Berbentuk Parabola• Parabola Y = X2/a2, yang dipindahkan sejajar sehingga titik

puncaknya berada pada garis Y = -k dengan sumbu X-nya berubah menurut h(a + 1), maka persamaannya menjadi :Y + k = {X - h(a + 1)}2 / a2

√(Y + k) = (X – ha – h) / a ; atau

(X – h) / √(Y + k + h) = a

• Bila parameter a diubah, maka titik puncak parabola bergeser sepanjang garis Y = -k dan membentuk sehimpunan kurva parabolaTitik potong sumbu X = h(a + 1) + a √kTitik potong sumbu Y = h2 {1 + (1/a)}2 – k

ContohJika kurva indiferens dari seorang konsumen

ditunjukkan oleh persamaan X+Y √2XY = a dan seandainya kepuasan dapat diukur, berapakah jumlah barang X sebanyak 3 unit agar tingkat kepuasannya tetap 15 satuan?Diketahui X = 3 dan a = 15

X+Y √2XY = a 3+Y √2(3)Y = 15 X+Y √6Y = 15 √6Y = 12 – Y 6Y = 144-24Y +Y^2 0 = 144-30Y +Y^2 (Y-24) (Y-6) = 0 Y1 = 24 Y2 = 6

Seorang konsumen mengkonsumsi dua macam barang, yaitu X dan Y dengan tingkat keputusan ditunjukkan oleh persamaan XY + Y +6X = a-6. Berapakah jumlah maksimum dari barang X yang dapat dikonsumsikan bila tingkat kepuasannya sebesar 30 satuan?

Diketahui a = 30XY + Y + 6X = a-6

XY + Y + 6X = 30-6 XY + Y + 6X + 6 = 30 Y(X+1) + 6(X+1) = 30 (X+1) (Y+6) = 30 Titik pusat hiperbola (-1,-6) Jumlah maksimum barang X yang dapat dikonsumsi terjadi bila

tidak ada barang Y yang akan dikonsumsi (Y=0) atau X = 30/6 -1 = 4

Contoh

7. Fungsi Eksponen Fungsi Logaritma

7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMAFUNGSI EKSPONEN


Y=f(X)= Y=Var tak bebas, X=var bebas, b=bil nyata positif lebih dari 1FUNGSI EKSPONEN DENGAN BASIS b>1.FUNGSI EKSPONEN DENGAN BASIS 0<b<1.FUNGSI EKSPONEN DENGAN BASIS bilangan irasional e=2,71828… disebut dengan Fungsi Eksponen asli.

7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMAFUNGSI LOGARITMA

LOGARITMA : PANGKAT DARI SUATU BILANGAN POKOK UNTUK MENGHASILKAN SUATU BILANGAN TERTENTU.MIS. 5^2=25. ini berarti bahwa eksponen 2 sebagai logaritma dari 25 dengan bilangan pokok 5.Biasanya ditulis : , sehingga secara umum:

Y adalah logaritma dari X dengan bilangan pokok b, atau X=.Bilangan pokok yang lasim adalah 10 (logaritma biasa dilambangkan dengan log) dan e=2,71828… disebut logaritma asli/logaritma natural dilambangkan dengan

7. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMAFUNGSI LOGARITMA

8. Penerapan Fungsi Eksponen

7. PENERAPAN FUNGSI EKSPONENBUNGA MAJEMUK

Suatu modal awal tertentu P yang dibunga majemukan secara tahunan pada suku bunga I selama n tahun akan mempunyai nilai F pada akhir tahun.

Bila m kali dalam setahun :

Bila secara kontinu

7. PENERAPAN FUNGSI EKSPONENBUNGA MAJEMUK

Contoh : seorang menabung uang di bank sebanyak Rp 1.000 dengan bunga 10% per tahun. Berapa besar nilai uangnya setelah 3 tahun. Apabila :a. Bunga dibayar tahunanb. Bunga dibayar semesteranc. Bunga dimajemukan secara kontinu

7. PENERAPAN FUNGSI EKSPONENFUNGSI PERTUMBUHAN

MIS. Jumlah TK adalah Fs dari jumlah penjualan tahunan suatu perusahaan, penjualan adalah fs dari pengeluaran iklan, jumlah persediaan barang jadi adalah fs dari hari kerja produksi. Dll (macam-macam fungsi pertumbuhan)Sifat : meningkat secara monoton.2 jenis fungsi pertumbuhan :1. Fungsi gompertz. menggambarkan pertumbuhan

penduduk2. Fungsi pengajaran. Menggambarkan pertumbuhan

pendidikan manusianatau sering disebut kurva belajar

7. PENERAPAN FUNGSI EKSPONENKURVA GOMPERTZ

Kurva Gompertz dinyatakan oleh persamaan :

N=jumlah penduduk pada tahun tR=tingkat pertumbuhana=proporsi pertumbuhan awalc=tingkat pertumbuhan dewasat=jumlah tahun

7. PENERAPAN FUNGSI EKSPONENKURVA GOMPERTZ

Contoh: pertumbuhan jumlah tenaga kerja sebuah perusahaan diperkirakan akan mengikuti kurva Gompertz . Carilah jumlah tenaga kerja pada awal tahun, akhir tahun dan setelah tiga tahun

7. PENERAPAN FUNGSI EKSPONENKURVA BELAJAR

BENTUK : Y. dengan c,a dan k adalah positif.Dalam ekonomi dan bisnis dapat digunakan untuk fungsi biaya dan fungsi produksi.Contoh :Suatu barang yang dihasilkan sebanyak Y unit per hari dan selama X hari kerja produksi dinyatakan oleh fungsi

Berapa unit yang dihasilkan per hari setelah 10 hari kerja?

SELAMAT MEMPERSIAPKAN UTS

matematika ekonomi€¦ · ppt file · web view · 2016-08-22macam-macam fungsi dalam ekonomi dan...

Documents