matematika ekonomi
DESCRIPTION
MATEMATIKA EKONOMI. [email protected]. FUNGSI. JENIS-JENIS FUNGSI. FUNGSI. FUNGSI NON ALJABAR ATAU TRANSSEDEN. FUNGSI ALJABAR. FUNGSI IRRASIONAL. FUNGSI RASIONAL. FUNGSI EKSPONEN FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI FUNGSI HIPERBOL. FUNGSI POLINOM FUNGSI LINIER - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
MATEMATIKA EKONOMI
FUNGSI
FUNGSI
FUNGSI ALJABAR FUNGSI NON ALJABARATAU TRANSSEDEN
FUNGSI RASIONALFUNGSI IRRASIONAL
FUNGSI PANGKATFUNGSI POLINOMFUNGSI LINIERFUNGSI KUADRATFUNGSI KUBIKFUNGSI BIKUADRAT
FUNGSI EKSPONENFUNGSI LOGARITMAFUNGSI TRIGONOMETRIFUNGSI HIPERBOL
FUNGSI IRRASIONAL : Y = ( 1 + 2X – 3X2 + 4X3 + … + 12X11) 1/11
FUNGSI POLINOM : Y = 1 + 2X – 3X2 + 4X3 + …+ 12X11
FUNGSI LINIER : Y = 1 + 2X
FUNGSI KUADRAT : Y = 1 + 2X – 3X2
FUNGSI KUBIK : Y = 1 + 2X – 3X2 + 4X3
FUNGSI PANGKAT : Y = X n , n = bulat positif
FUNGSI EKSPONEN : Y = 2 X
FUNGSI LOGARITMA : Y = n Log X
FUNGSI HIPERBOLA : Y = X n , n = riil negatif
PENERAPAN FUNGSI LINIER
Fungsi linier merupakan suatu fungsi yang sangat sering digunakan oleh para ahli ekonomi dan bisnis dalam menganalisa dan memecahkan masalah-masalah ekonomi. Hal ini dikarenakan bahwa kebanyakan masalah ekonomi dan bisnis dapat disederhanakan atau diterjemahkan ke dalam model yang berbentuk linier.
Beberapa penerapan fungsi linier dalam bidang ekonomi dan
bisnis antara lain :
a. Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar
b. Keseimbangan Pasar dua Macam Produk
c. Pengaruh Pajak dan Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar.
d. Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan Analisis Pulang Pokok (BEP=Break Even Point)
e. Fungsi Konsumsi dan Tabungan
f. Model Penentuan Pendapatan Nasional
KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBUKemiringan (slope) dari fungsi linier dengan satu variabel bebas X adalah sama dengan perubahan dalam variabel terikat (dependent) dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas (independent). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m. Jadi,
ΔY Y2 – Y1
Kemiringan = m = atau ΔX X2 – X1
YY
YY
XX
X X
0 0
0 0
(a) Kemiringan positif (b) Kemiringan negatif
(c) Kemiringan nol (d) Kemiringan tak tentu
BENTUK UMUM FUNGSI LINIER
Y=a0 + a1X
di mana a1 ≠ nol.
Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringan-titik potong (slope-intercept). Bentuk seperti ini bila dilihat dari letak kedua variabel X dab Y, dapat disebut sebagai eksplisit, dimana variabel bebas X dan variabel terikat Y saling terpisah oleh tanda sama dengan (=)
MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS
Metode Dua Titik Y – Y1 Y2 – Y1
=
X – X1 X2 – X1
Y
0X
A (X2, Y2)
A (X1, Y1)
A (X, Y)
Menentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan (4,6)Penyelesaian : X1 = 3, X2 = 4, Y1 = 2, dan Y2 =
6
Y – Y1 Y2 – Y1
X – X1 X2 – X1
Y – 2 6 – 2 X – 3 4 – 3
Y – 2 = (X – 3)
Y – 2 = 4 (X – 3) Y = 4 X – 12 Y = 4 X - 10
=
=
6 – 2
4 – 3
Y
X
Y = 4X - 10
Persamaan garis Y = 4x - 10 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.3.
0
5
1 2 3
(0,-10)
METODE SATU TITIK DAN KEMIRINGAN
Y – Y1 = m (X – X1)Contoh Carilah persamaan garis yang melalui titik (6, 4) dan kemiringannya -2/3
Penyelesaian :
Diketahui (X1, Y1) = (6, 4) dan m = - 2/3
Y – Y1 = m (X – X1)Y – 4 = -2/3 (X – 6)Y = -2/3X + 4 + 4Y = -2/3X + 8
Persamaan garis Y = -2/3X + 8 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.4.
0
2
4
6
8
Y
X
(0,8)
(12,0)
Y = - 2/3 X + 8
HUBUNGAN DUA GARIS LURUS
Y Y
YY
XX
X X
0 0
0 0
(a) Berpotongan (b) Sejajar
(c) Berimpit (d) Tegak Lurus
a1 ≠ b1
ao ≠ b0
a1 = b1
ao ≠ b0
a1 = b1
ao = b0
a1 .b1 = -1
ao ≠ b0
SISTEM PERSAMAAN LINIER
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL
1. METODE ELIMINASIContoh 5.1.Carilah nilai-nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut ini :
3X – 2Y = 7
2X – 4Y = 10
Penyelesaian :1. Variabel yang akan dieliminasikan adalah variabel Y.2. Karena variabel Y yang dipilih, maka Persamaan (5.1) harus dikalikan dengan konstanta 2, dan
Persamaan (5.2) dikalikan dengan konstanta 1, sehingga kedua persamaan menjadi, 3X – 2Y = 7 (kalikan dengan 2), maka 6X – 4Y = 14 2X + 4Y = 10 (kalikan dengan 1), maka 2X + 4Y = 10
3. Karena kedua koefisien dari variabel Y tandanya berbeda, maka harus dijumlahkan, dan menjadi,
6X – 4Y = 14 2X + 4Y = 10 + 8X + 0 = 24 X = 3
4. Subtitusikan nilai X = 3 kedalam salah satu persamaan semula agar diperoleh nilai Y. Bila disubtitusikan pada Persamaan (5.1), maka akan menghasilkan,3 (3) -2Y = 7 - 2Y = 7 – 9 Y = 1
(5.1)
(5.2)
2. METODE SUBSTITUSI
Contoh 5.2.3X – 2Y = 7(5.1)2X + 4Y = 10(5.2)
Misalkan variabel X yang dipilih pada persamaan (5.2), maka akan menjadi,2X = 10 – 4YX = 5 – 2Y (koefisien variabel X=1)
Karena Persamaan (5.2)’ yang dipilih, maka subtitusikan kedalam persamaan pertama, sehingga menjadi,
3 (5 – 2Y) – 2Y = 7 15 – 6Y – 2Y = 7
15 – 8Y = 7 -8Y = 7 – 15
Y = 1
Substitusikan nilai Y = 1 ini kedalam salah satu persamaan mula-mula, misalkan Persamaan (5.1)’, sehingga memperoleh hasil,
3X – 2 (1) = 7 3X = 7 + 2
X = 3
Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan urut (3.1).
Fungsi KuadratBentuk umum dari fungsi kuadrat adalah
y = a x2 + bx + c Maka,
a
D
a
bxay
42
2
D = b2 – 4ac
Bentuk grafik dari fungsi kuadrat adalah PARABOLA
x
a + a -
x1 x2
x1 x2
a
D
a
b
4,
2
Titik Maksimum dan titik Minimum Fungsi Maksimum dan minimum fungsi sangat ditentukan oleh nilai dari a
y = a x2 + bx + c
Titik Maksimum didapat jika a , dan titik maksimumnya
Titik Miminum didapat jika a , dan titik minimumnya
Titik Ekstrem Parabola
a
D
a
b
4,
2
x
a +a -
x1 x2
x1 x2
Titik x1,2 dapat dicari dengan:a
Db
2
x
a + a -
x1 x2
x1 x2
x
a + a -
-b/2a
x
a + a -
-b/2a
x
x
Definit Positif Definit Negatif
Jika D , maka parabola memotong sb x pada titik (x1,0) dan (x2,0)
Jika D = 0 , maka parabola menyinggung sb x pada titik
0,
2a
b
Jika D , maka parabola TIDAK memotong sb x
Posisi Parabola
FUNGSI PERMINTAAN
Qdx,t = ƒ (Px,t, Py,t, Yt, PeX,t+1,St)
Dimana Qdx,t = Jumlah produk X yang dibeli/diminta oleh konsumsi dalam periode t.
Px,t = Harga produk X dalam periode t.
Py,tt = Harga produk yang saling berhubungan dalam periode t.
Yt = Pendapatan konsumen dalam periode t.
Pex,t+1 = Harga produk X yang diharapkan dalam periode
mendatang t + 1.St = Selera dari konsumen pada periode t.
Qdx = ƒ(Px)
Bila fungsi permintaan ini ditranformasikan kedalam bentuk persamaan linier, maka bentuk umumnya adalah,
Qx = a – bPx
DimanaQx = Jumlah produk X yang diminta
Px = Harga produk Xa dan b = Parameter
X
(0,P)
(Q,0)
Qd = a - bp
P
0
Hukum Permintaan
Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang diminta turun, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang diminta naik, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope negatif (miring ke kiri)
Qd
P
0
Qd = a - bP
b
a/b
Notasi fungsi permintaan akan barang x adalah:
Qx = f (Px)Qx = a – b Px
dimana:Qx = Jumlah produk x yang dimintaPx = Harga produk xa dan b = parameter
Penyelesaian :
Diketahui: P1 = 100; P2 = 75; Q1 = 10; Q2 = 20Q – Q1 Q2 – Q1
P – P1 P2 – P1
Q – 10 20 – 10P – 100 75 – 100
(Q – 10) = 10/-25 (P-100)
(Q – 10) = 40 – 2/5 P
Q = 50 – 2/5 P atau Q + 2/5P – 50 = 0
Kurva permintaan ini ditunjukkanoleh Gambar disamping.0
25
50
75
100
P
Q
(0,125)
(50,0)
Q = 50 – 2/5 P
Contoh
Suatu produk jika harganya Rp. 100 akan terjual 10 unit, dan bila harganya turun menjadi Rp. 75 akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dan gambarkanlah grafiknya?
10 20 30 40 50
=
=
FUNGSI PERMINTAAN KHUSUS
Q
p
0
D
Q
p D
0
FUNGSI PENAWARAN
Qsx,t = ƒ(Px,t , Tt , PF,t , PR,t , Pex,t+1)
Dimana Qsx,t = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t.
Px,t = harga produk X dalam periode tTt = Teknologi yang tersedia dalam periode tPF,t = harga faktor-faktor produksi dalam periode tPR,t = harga produk lain yang berhubungan dalam
periode tPe
x,t+1 = harapan produsen terhadap harga produk dalam perideo t + 1
Qsx = g (Px)
Dimana Qsx = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen
Px = Harga produk X
Qsx = a + bP
P
Q0
Qs = a + bP
- a/b
S
Hukum Penawaran
Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian juga sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan turun, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope positif (miring ke kanan)
Qd
P
Qs = -a + bP
-a
dimana: Qx = Jumlah produk x yang ditawarkanPx = Harga produk xa dan b = parameter
0
Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah:Qx = f (Px)Qx = -a + b Px
a/b
Contoh
Jika harga suatu produk adalah Rp. 500, maka jumlah yang akan terjual sebanyak 60 unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp. 700, maka jumlah produk yang terjual sebanyak 100 unit. Tunjukkanlah fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalam satu diagramPenyelesaian :
Diketahui: P1 = 500; P2 = 700; Q1 = 60; Q2 = 100Q – Q1 Q2 – Q1
P – P1 P2 – P1
Q – 60 100 – 60P – 500 700 – 500
(Q – 60) = 40/200 (P-500)
(Q – 60) = -100 +1/5 P
Q = -40 + 1/5 P atau Q + 1/5P + 40 = 0
Kurva permintaan ini ditunjukkan oleh Gambar
0
100
P
Q
(0,125)
(50,0)
(60, 500)
100
200
300
400
500
600
700
80604020
=
=
Q = -40 + 0,2P
FUNGSI PENAWARAN KHUSUS
Q
p
0
S
Q
p
0
S
KESEIMBANGAN PASAR SATU MACAM PRODUK
Q
p
0
Pe E (Qe, Pe)
Qd
Qe
Qs
Contoh Jika fungsi permintaan dan penawaran
dari suatu barang ditunjukkan oleh :
Qd = 6 – 0,75 PQs = -5 + 2P
a)Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar?
b)Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!
Penyelesaian:a) Syarat keseimbangan Qd = Qs
Bila Qd = Qs, maka 6 – 0,75P = -5 + 2P -2,75P = -11 P = 4 Untuk memperoleh nilai Q substitusikan nilai P = 4 kedalam
salah satu persamaan permintaan atau penawaran sehingga,
Q = 6 – 0,75 (4)Q = 6 – 3Q = 3Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3,4).
b)Menggambarkan keseimbangan pasar :Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75 P Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6,0)
Jika Q = 0, maka P = 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,8)
Untuk fungsi permintaan Q = -5 + 2P Jika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5,0) Jika Q = 0, maka P = 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,5/2)
Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh Gambar
Q
p
0
2,5
E (3, 4)
(6, 0)
1
Qs = -5 + 2P
2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
7
8(0, 8)
Qd = 6 – 0,75P
Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran
Variabel p selalu positif atau 0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak)
Untuk setiap p ada satu nilai Q. Grafik fungsi turun.
Variabel p selalu positif atau 0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak)
Untuk setiap p ada satu nilai Q. Grafik fungsi naik.
Fungsi Kuadrat pada Fungsi Permintaan dan Penawaran
P P
Tentukan titik keseimbangan pasar dan gambarkan grafiknya dari fungsi-fungsi permintaan dan penawaran berikut:
Latihan
1.Pd = -Q2 + Q + 2 dan Ps = Q2 + Q - 2
Jawab:
Q
P
2,2
2
2
Pd
Ps 2
-2
-2 1-1 20
KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK
Di pasar terkadang permintaan suatu barang dipengaruhi oleh permintaan barang lain. Ini bisa terjadi pada dua macam produk atau lebih yang berhubungan secara substitusi (produk pengganti) atau secara komplementer (produk pelengkap). Produk substitusi misalnya: beras dengan gandum, minyak tanah dengan gas elpiji, dan lain- lain. Sedangkan produk komplementer misalnya: teh dengan gula, semen dengan pasir, dan lain sebagainya. Dalam pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk saja. Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi penawaran produk yang beinteraksi mempunyai dua variabel bebas.Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2) hargaproduk lain yang saling berhubungan.
Notasi fungsi permintaan menjadi: Qdx = a0 - a1Px + a2Py
Qdy = b0+ b1Px - b2Py
Sedangkan fungsi penawarannya:Qsx = -m0 + m1Px + m2Py
Qsy = -n0 + n1Px + n2Py
Dimana:Qdx= Jumlah yang diminta dari produk XQdy= Jumlah yang diminta dari produk YQsx= Jumlah yang ditawarkan dari produk XQsy= Jumlah yang ditawarkan dari produk YPx= Harga produk X Py = Harga produk Ya0,b0,m0,n0 = konstanta
SYARAT KESEIMBANGAN PASAR DICAPAI JIKA:
Qsx = Qdx dan Qsy = Qdy
Contoh :
Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut:
Qdx = 5 -2Px + PyQdy = 6 + Px – Py
Qsx = -5 + 4Px - PyQsy = -4 - Px + 3Py
dan
Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar
Penyelesaian:Syarat keseimbangan
pasar :Qsx = Qdx
-5 + 4Px – Py = 5 - 2Px + Py 4Px + 2Px – Py – Py = 5 + 56Px – 2Py = 10 …(1) Qsy = Qdy-4 – Px + 3Py = 6 + Px – Py-Px – Px + 3Py + Py = 6 +
4-2Px + 4Py = 10- Px + 2Py = 5 …(2)
(1)Dan (2) 6Px – 2Py = 10- Px + 2Py = 5
5Px = 15
Px = 3 Py = 4 Qsx = 3 Qsy = 5
MEx = ( 3, 3 )
MEy = ( 5, 4 )
KESEIMBANGAN PASAR (FUNGSI KUADRAT)
Contoh :
Carilah secara aljabar dan geometri harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi permintaan dan penawaran berikut ini :
Pd = 24 – 3Q2
Ps = Q2 + 2Q + 4
Penyelesaian :
Syarat keseimbangan pasar adalah Pd = Ps
24 – 3Q2 = Q2 + 2Q + 44Q2 + 2Q - 20 = 0
Substitusikan nilai Q yang memenuhi ke dalam salah satu persamaan permintaan penawaran, sehingga diperoleh nilai P, yaitu
P = 24 – 3(2)P = 24 – 12 = 12
83242
,Q8
)}20)(4)(4{(42 Q
2,12,1
28
182Q
1
memenuhitidak5,28
182Q
1
Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar adalah E (2,12).Selanjutnya, berdasarkan fungsi permintaan Pd = 24 – 3 Q2 dan fungsi penawaran Ps = Q
2 + 2Q + 4, maka gambar dari keseimbangan pasar dapat digambarkan seperti dibawah. s
Q2
(3,19)
P =24 – 3Q
2,83
0
4
1
8
16
24
P
20
12 E (2,12)
P =q2 + 2Q + 4
PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDIPADA KESEIMBANGAN PASAR
Adanya pajak yang dikenakan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menaikkan harga jual barang tersebut sebesar tarif pajak per unit (t), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula.
Fungsi penawaran setelah pajak menjadi:Ps = f ( Q ) + t Qs = f ( P ) – t
Keseimbangan Sebelum Pajak (tax)
Pd = Ps
Keseimbangan Setelah Pajak (tax)
Pd = Ps + tax
0
(Q,P)
(Qt,Pt) S
St
Qd,Qs
P Demand
Pt
Qt
P
Q
Contoh:Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan
oleh P=15 - Q dan fungsi penawaran P= 0,5Q + 3. Terhadap produk ini pemerintah mengenakan
pajak sebesar Rp 3 per unit.a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan
pasar sebelum dan sesudah kena pajak ?b. Berapa besar pajak per unit yang
ditanggung oleh konsumen ?c. Berapa besar pajak per unit yang
ditanggung oleh produsen ?d. Berapa besar penerimaan pajak total oleh
pemerintah ?
Penyelesaian
a. Keseimbangan pasar sebelum kena pajak:
Pd = Ps 15 – Q = 0,5Q + 3
15 – 3 = 0,5Q + QQ = 8P = 7
ME = ( 8, 7 )
Keseimbangan pasar setelah pajak :Fungsi penawaran setelah pajak: P = 0,5Q + 3 + 3
P = 0,5Q + 6
sehingga keseimbangan pasar setelah pajak:
Pd = Pst
Keseimbangan pasar setelah pajak :
15 – Q = 0,5Q + 6
15 – 6 = 0,5Q + Q
Q = 6
P = 9
ME t = ( 6, 9 )
b. Besar pajak per unit yang ditanggung konsumen, sebesar selisih harga keseimbangan setelah pajak dengan harga keseimbangan sebelum pajak yaitu: 9 - 7 = 2 per unit.
ME t = ( 6, 9 )
ME = ( 8, 7)
c. Besar pajak per unit yang ditanggung produsen, sebesar selisih tarif pajak per unit yang dikenakan dengan besar pajak per unit yang ditanggung konsumen, yaitu: 3 - 2 = 1 per unit.
d. Besar penerimaan pajak total oleh pemerintah, adalah perkalian tarif pajak per unit dengan jumlah keseimbangan setelah pajak, yaitu: 3 x 6 = 18.
ME t = ( 6, 9 )
Grafik keseimbangan pasar setelah kena pajak ini ditunjukkan oleh Gambar :
Q
P
0
6E (8, 7)
8
St
SEt (6, 9)
3
12
15
9
62 4 10 12 14
P = 0,5 Q + 6
P = 0,5 Q + 3
P = 15 - Q
15
PENGARUH PAJAK-PROPORSIONAL TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR
Pajak Proporsional ialah pajak yang besarnya diterapkan berdasarkan persentase tertentu dari harga jual; tidak seperti pajak spesifik.
Jika persamaan penawaran semula P = a + bQ (atau Q = -a/b + 1/b P); Dikenakan pajak proporsional sebesar t% dari harga jual; Persamaan penawaran yang baru akan menjadi :
P = a + bQ + tP t : pajak proporsional dalam %
P – tP = a + bQ
(l – t)P = a + bQ
Pb
tl
b
aQQ
tl
b
tl
aP
atau
Contoh
Diketahui : permintaan; P = 12 – Q
penawaran; P = 2 + 0,25 Q t = 20%
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak…?
Penyelesaian :
Sebelum pajak, Pe = 4 dan Qe = 8 ,
Sesudah pajak, fungsi permintaan tetap P = 15 – Q atau Q = 15 – P .
Fungsi penawaran sesudah pajak (t = 20% ):
P = 2 + 0,25 Q + 0,20 P
0,8P = 2 + 0,25 Q
Keseimbangan Pasar : Pd = Ps
Keseimbangan sesudah pajak: Q’e = 7,24 dan P’e = 127,24 = 4,76
Pajak diterima pemerintah dari setiap unit barang :
T=t x P’e = 0,20 7,24 = 1,45
QP8,0
25,0
8,0
2
QQ8,0
25,0
8,0
212
Kurvanya:
Pajak ditanggung konsumen: tk = P’e – Pe = 4,76 – 4 = 0,76 / barang
Total pajak t= 20%(P’e) =0,2*4,76 = 0,95 /unit barang Pajak ditanggung produsen : tp = t – tk = 0,95 – 0,76 =0,19 Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah :
T=t P’e = 0,20 4,76 7,24 = 6,89
12
12
P
4
Q0 8
dQ
sQE76,4
24,7
sQ'
'E
Adanya subsidi yang diberikan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menurunkan harga jual barang tersebut sebesar subsidi per unit (s), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula. Fungsi penawaran setelah subsidi menjadi:
Ps = f(Q) – s
Qs = f( P + s )
Keseimbangan Sebelum Subsidi (tr) Pd = Ps
Keseimbangan Setelah Subsidi (tr) Pd = Ps - tr
Qd,Qs
P
ME
Me t
r
Q Qtr
P
Ptr
Demand
Diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran :
Qd = 11 – P dan Qs = - 4 + 2P
Kepada produsen , pemerintah memberikan subsidi (transfer) sebesar tr = Rp1/unit barang
a. Carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sebelum dan sesudah ada subsidi
b. Gambarkan perubahan akibat subsidi tersebut
c. Berapa tarif subsidi yang dinikmati konsumen
d. Berapa tarif subsidi yang dinikmati produsen
e. Berapa total subsidi yang ditanggung pemerintah
f. Berapa total subsidi yang dinikmati konsumen
g. Berapa total subsidi yang dinikmati produsen
solusia. Market equilibrium
sebelum subsidi
11 – P = -4 + 2P
P = 5, Q = 6
b. Market equilibrium setelah subsidi
11 - Qd = 2 + 1/2Qs - 1
Qtr = 6,67, Ptr = 4,33
Qd,Qs
P
5
6 6,67
4,33
2
11
ME
MEtr
b.
1
0
c. Tarif subsidi yang dinikmati konsumen :
trk = ∆P = (5– 4,33) = Rp0,67
d. Tarif subsidi yang dinikmati produsen
trp = Tr - trk = Rp1-Rp0,67=Rp0,33
e. Total subsidi yang ditanggung pemerintah:
Tpe = Tr x Qtr = 1x6,67 = 6,67 f. Total subsidi yang dinikmati konsumen
Trk = ∆P x Qtr
= Rp0,67 x 6,67 = Rp4,47
g. Total subsidi yang dinikmati produsen Trp= Rp0,33 x 6,67 = Rp2,20
Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan. Dilambangkan dengan R (revenue) atau TR (total revenue).
Rumus :R = PxQKeterangan :P = harga jual perunitQ = jumlah produk yg
dijual
R
Q
R = f(Q)
0
Contoh
Misalkan suatu produk dijual dengan harga Rp 5.000 perunit barang. Bagaimanakah fungsi penerimaannya ? Gambarkan fungsi penerimaan tersebut pada grafik
JAWAB :R = PxQ R = 5000Q
R = 5000Q
R
Q
FUNGSI BIAYAFungsi biaya diberi lambang C (cost) atau TC (total cost)Rumus :TC = FC + VCTC = FC + P.QKeterangan :FC = fix cost = biaya tetapVC = variabel cost = biaya yg berubah
0 Q
FC , VC, TC TC
VC
FC
Contoh
Sebuah perusahaan mengeluarkan biaya tetap sebesar Rp 100.000.000 dan biaya variabelnya Rp.3.000 per unit barang
Tentukan fungsi biayanya ? Gambarkan grafik fungsinya ?
Jawab :TC = 100.000.000 + 3000Q
TC
Q
TC
100.000.000
0
FUNGSI PENERIMAAN TOTAL (Bentuk Kuadrat) Penerimaan total dari suatu perusahaan (produsen) adalah hasil kali antara per unit produk dengan jumlah produk yang dijual, atau rumusnya adalah,
TR = P . Qdimana : TR = Penerimaan Total
Q = Jumlah produk yang dijualP = Harga produk per unit
Jika fungsi permintaan linier dan menurun dari kiri atas ke kanan bahwa berarti harga P tidak tetap, maka penerimaan total (TR) akan berbentuk fungsi kuadrat. Jadi, bila fungsi permintaan dinyatakan oleh P = b – aQ, maka akan diperoleh persamaan penerimaan total,
TR = P . Q
TR = ( b – aQ) Q
TR = bQ – aQ2
Fungsi penerimaan total bila digambarkan dalam bidang koordinat akan berbentuk kurva parabola yang terbuka ke bawah dan memotong sumbu Q di dua titik, yaitu : Q = 0 dan xxx. Karena puncak yang maksimum, yaitu :
Titik Puncak
Contoh
Diketahui fungsi permintaan P = 20 – 2Q, carilah penerimaan total maksimum dan gambarkanlah kurva dan penerimaan total dalam satu diagram!
Penyelesaian :
TR = PQ
TR = (20 – 2Q)Q
TR = 20Q – 2Q2
TR = Maksimum
Jika TR = 0, maka 20Q – 2Q2 = 0
2Q (10–Q) = 0
Q1 = 0
Q2 = 10
Kurva penerimaan total ini ditunjukkan oleh Gambar di bawah.
)50,5(8
)400(,
4
20
)2(4
)20(,
)2(2
20 2
Q2
P =20 – 2Q
0
10
1
(0,20) 20
50
P, TR
40
308,30
TR = 20Q – 2Q2
3 4 5 6 7 8 9 10
(10,0)(0,0)
2,30
(5, 50)
ANALISA BREAK-EVEN
Break-even adalah suatu kondisi dimana perusahaan tidak untung maupun tidak rugiBreak-even: TR = TCUntung : TR > TCRugi : TR < TC
BEP
TR, TC
Rp
Qe 0
RUGI
LABA
Q
TR
TC
Contoh
Suatu perusahaan menghasilkan produknya dengan biaya variabel perunit Rp4.000 dan harga jualnya perunit Rp12.000. Manajemen menetapkan bahwa biaya tetap dari operasinya Rp2.000.000. Tentukan jumlah unit produk yg harus perusahaan jual agar mencapai pulang pokok
Jawab :TR = TC12000Q = 2.000.000 + 4000Q 8000Q = 2.000.000Q = 250 TR = 12.000 Q = 12.000 (250) = 3.000.000
Grafik
VC = 4000Q
3
250 0
2 FC = 2jt
TC = 2jt + 4000Q
TR= 12000Q
BEP
TR, TC (dlm juta)
Q
KONSUMSI DANTABUNGAN
1. KONSUMSI Dilihat dari sisi penawaran dalam
perekonomian tertutup pendapatan yang diperoleh masyarakat (Y) hanya digunakan untuk tujuan komsumsi (C) dan Saving (S), atau :
Y = C + SBesarnya konsumsi ditentukan oleh pendapatan (Y).
Fungsi KonsumsiHubungan antara konsumsi (C) dan pendapatan (Y) disebut fungsi konsumsi.Secara matematis hubungan tsb ditulis sbb:
C = a + bY
Dimana : C = konsumsia = parameter, yang menunjukkan
konsumsi jika Y = 0b = parameter, yang menunjukkan tambahan konsumsi (ΔC) akibat adanya tambahan pendapatan (ΔY)Y = pendapatan Nasional
Hasrat Mengkonsumsi Marjinal dan Rata-rata
Hasrat mengkonsumsi / MPC (marginal propensity to consume) didefinisikan sbg perbandingan antara pertambahan konsumsi (ΔC) yang dilakukan dengan pertambahan pendapatan disposible (ΔY)
Nilai MPC dapat dihitung dengan formula :
(ΔC)
MPC =
(ΔY)
Hasrat mengkonsumsi rata-rata / APC (average propensity to consume), didefini-sikan, sbb:Perbandingan antara tingkat pengeluaran konsumsi (C) dengan tingkat pendapatan disposibel pada tingkat konsumsi tsb dilakukan (Y).
Nilai APC dapat dihitung dg formula C
APC = Y
TABUNGAN
Tidak semua pendapatan yang diperoleh langsung dikonsumsi pada periode yang sama. Sebagian diantaranya ada yang ditabung. Besarnya jumlah tabungan juga tergantung pada pendapatan. Makin tinggi jumlah pendapatan makin tinggi pula jumlah tabungan.
Fungsi Tabungan
Fungsi tabungan adalah suatu persamaan yang menggambarkan sifat hubungan diantara tingkat tabungan rumah tangga dalam perekonomian dengan pendapatan nasional perekonomian tersebut. Dari persamaan Y = C + S, dapat ditulis kembali menjadi :
S = Y – CJuga dari persamaan sebelumnya kita tahu
C = a + bY
Dengan mensubstitusikan persamaan tersebut, maka hubungan antara tabungan dan pendapatan dapat dicari
S = Y – C = Y – a – bY = -a + (Y-bY) = -a + (1-b) Y
Hasrat menabung Marginal dan Rata-rata
Hasrat menabung / MPS (marginal propensity to Save). Dapat didefinisikan sebagai perbandingan di antara pertambahan tabungan (ΔS) dengan per-tambahan pendapatan disposibel (ΔY). Nilai MPS dapat dihitung dg rumus :
(ΔS)
MPS =
(ΔY)
Hasrat Menabung Rata-rataHasrat menabung rata-rata / APS (average propensity to save), menunjukkan perbandingan antara tabungan (S) dengan pendapatan disposibel (Y). Nilai APS dapat dihitung dg formula :
SAPS =
Y
Penentu-penentu Konsumsi dan TabunganBeberapa faktor yang menentukan atau yang mempengaruhi tingkat konsumsi dan tabungan adalah :1. Kekayaan yang telah terkumpul2. Tingkat bunga3. Keadaan perekonomian4. Distribusi pendapatan5. Tersedia tidaknya dana pensiun yang
mencukupi
KURVA FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGANC = a + bYd
Y = (a + bYd) + s
S = Y – (a + bYd) atau
S = -a + (a - b) Yd
MPS + MPC = 1
Dissaving
Saving
C.SC = Y
C = a + bY
a
0 YeY
E
- a
S = -a + (1 – b) Y
450
Contoh Jika fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaanC = 15 + 0,75Yd, pendapatan disposibel Rp. 30 miliar
(a) Berapa Konsumsi agregate, bila pendapatan disposibel Rp 30 miliar?
(b) Berapa besar keseimbangan pendapatan nasional?(c) Gambarkanlah fungsi konsumsi dan tabungan
secara bersama-sama!
Penyelesaian:a) Jika Yd = Rp. 30 miliar, maka C = 15 + 75 (30)
= 15 + 22,5 = 37,5 miliar
b) Yd = C + S atau S = Y – CS = Yd – (15 + 0,75Yd)S = -15 + 0,25 Yd
Gambar Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
c) Keseimbangan pendapatan terjadi bila S = 0Jadi, 0 = -15 + 0,25 Yd
0,25Yd = 15 15Yd = = (15)(4) = 60 miliar 0,25C = 15 + 0,75 (60)C = 15 + 45 = 60 miliar
C.SY = C
E (60,60)
0 60Y
- 15
S = -15+ 0,25 Yd
C = 15 + 0,75 Yd
15
30
60
MODEL PENENTUAN PENDAPATAN NASIONAL
Y = C + I + G + X – MC = a + BY
Dimana: Y = Pendapatan NasionalC = Konsumsi NasionalI = InvestasiG = Pengeluaran PemerintahX = EksporM = Impor
Y = a + bY + I0 + G0 + X0 – M0 atau (1-b)Y = a + I0 + G0 + X0 – M0
Jadi, nilai pemeceahan keseimbangan pendapatan Nasional adalah : a + I0 + G0 + X0 – M0
Y = (1 – b)
b(a + I0 + G0 + X0 – M0)C = a + bY = a + (1 – b)
= a (1 – b) + b(a + I0 + G0 + X0 – M0) (1 – b)
a + b(a + I0 + G0 + X0 – M0)C = (1 – b)
Contoh 6.10Diketahui model pendapatan Nasional sebagai berikut :Y = C + I + GC = 25 + 0,75YI = I0 = 50G = G0 = 25
(a) Tentukan tingkat keseimbangan pendapatan Nasional!(b) Gambarkanlah grafik fungsi permintaan agregate
Penyelesaian:Keseimbangan pendapatan Nasional jika hanya ada satu sektor, yaitu sektor konsumsi rumah tangga, C, maka nilainya adalah,
S = 0S = -25 + 0,25YO = -25 + 0,25Y0,25Y = 25Y = 100
Jika I = I0 = 50 miliar, makaY = C + IY = 25 + 0,75Y + 50Y - 0,75Y = 750,25Y = 75Y = 300
Jika I = I0 = 50 miliar; dan G = G0 = 25 miliar, makaY = C + I + GY = 25 + 0,75Y + 50 + 25Y = 100 + 0,75YY – 0,75Y = 1000,25Y = 100Y = 400
Jadi, keseimbangan pendapatan Nasional mula-mula hanya sektor konsumsi rumah tangga (C) adalah 100 miliar. Setelah ada pengeluaran investasi (1) 50 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional berubah menjadi 300 miliar. Selanjutnya, jika ditambah lagi pengeluaran pemerintah (G) sebesar 2 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional menjadi 400 miliar. Keseimbangan pendapatan Nasional ini dapat dilihat pada Gambar
Y = CY = C + I + GY = C + I
Y = 25 + 0,75Y
Y
6005004003002001000
400
300
200
100
75
25
E
E1
E11
C, S
Hitung Keuangan
Bunga Tunggal
Bunga Majemuk
Anuitas
1. Bunga Tunggal Bunga adalah Selisih jumlah nominal uang yang
dipinjam dan jumlah yang dikembalikan. Bunga pinjaman merupakan beban ganti rugi bagi
peminjam. Hal ini disebabkan peminjam menggunakan uang pinjaman tersebut untuk usaha.
Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase).
Bunga tunggal adalah besarnya bunga sebagai jasa peminjaman yang dibayarkan tetap untuk setiap periode
Misalkan uang sebesar Rp100.000,00 dibungakan atas dasar bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10%. Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama:
Rp100.000,00 + (10% × Rp100.000,00) = Rp10.000,00 (1 +10%)
Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua:
Rp100.000,00 + (10% × Rp100.000,00) + (10% × Rp100.000,00)
= Rp100.000,00 (1 + 2 × 10%) Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga:
Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00
+ 10% × Rp100.000,00
= Rp100.000, 00 (1 + 3 × 10%) Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-:
Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + ... + 10% × Rp100.000,00
= Rp100.000,00 ( 1+ t × 10%)
Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.
Keterangan : M = modal t = periode waktu dengan
tingkat suku bunga B = bunga Mt = besar modal pada akhir
periode r = tingkat suku bunga
B = M × t × r
M = M (1 + t × r)t
o
o
o
Contoh 1:Koperasi Jatra Lestari memberikan pinjaman kepada anggotanya atas dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Jika seorang anggota meminjam modal sebesar Rp3.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 1 tahun, tentukan
a. besar bunga setiap bulannya;b. besar uang yang harus dikembalikan sesuai
jangka waktu yang ditentukan.Jawab:Besar bunga dihitung setiap bulan.Diketahui r = 2%, M = Rp3.000.000,00, dan t = 12
bulan.a. Besar bunga setiap bulan adalah
B = M × 1 × r = Rp3.000.000,00 × 1 × 2% = Rp60.000,00
o
o
b. Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka 12 bulan adalah
M = M (1 + t × r)M = Rp3.000.000,00(1 + 12 × 2%)
= Rp3.000.000,00(1,24) = Rp3.720.000,00
ot
12
Contoh
2: Cecep meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 30% per tahun. Dalam waktu 60 hari, Cecep sudah harus mengembalikan uang tersebut. Berapa bunga dan jumlah uang yang harus dikembalikannya? (Asumsikan: 1 tahun = 360 hari)
Jawab:
Dari soal di atas diketahui M = Rp2.000.000,00, r = 30% per tahun, dan t = 60 hari =tahun.
a. Bunga B = M × t × r
= Rp2.000.000,00 × × 30%
= Rp100.000,00
o
o
6
1
b. Jumlah uang yang harus dikembalikan Cecep adalah
M = M (1 + t × r) = M + M × t × r = M + B = Rp2.000.000,00 +
Rp100.000,00 = Rp2.100.000,00
t o
o
o
2. Bunga Majemuk Bunga Majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar
jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi.
Bunga semacam ini biasanya disebut bunga yang dapat berbunga.
Adapun perhitungannya dapat kalian pahami
melalui perhitungan deret geometri. Misalkan modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besar modal pada periode ke-t (Mt ) dapat dihitung dengan cara berikut.
o
M = M + M × i = M (1 + i)
M = M (1 + i) = [M (1 + i)] (1 + i) = M (1 + i)
M = M (1 + i) = [M (1 + i) ](1 + i) = M (1 + i)
. . . .
. . . .
. . . .
M = M (1 + i) = [M (1 + i) ](1 + i) = M (1 + i)
Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1
2
3
1
2
o o o
o
o
o
o
o
2
2 3
t1t
1to
Keterangan : M0= modal
i = dasar bunga majemuk dengan tingkat suku bunga (dalam persen) per periode tertentu
Mt = besar modal pada periode ke-t
tot iMM )1(
Contoh 1:Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga majemuk 3% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp5.000.000,00 dan bank membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun?
Jawab:
Diketahui M = Rp5.000.000,00, i = 3% = 0,03, dan t = 12 bulan.
Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah
M = M (1 + i)
M = Rp5.000.000,00(1 + 0,03)
= Rp5.000.000,00(1,42576)
= Rp7.128.800,00
o
ot
12
t
12
Contoh
2: Ramli meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00. Bank tersebut memberikan bunga atas dasar bunga majemuk 20% per tahun dengan periode pembungaan setiap catur wulan. Jika Ramli meminjam uang dalam jangka waktu 3 tahun, tentukan jumlah uang yang harus dikembalikan pada akhir tahun ke-3.
Jawab:Diketahui M = Rp2.000.000,00 dan i = 20% = 0,2. Pembungaan dilakukan setiap catur wulan (4 bulan). Jadi,
banyak periode pembungaannya dalam setahun ada = 3
kali. Jadi, jika lama peminjaman 3 tahun, banyak periode pembungaannya 3 × 3 = 9 kali. Dengan demikian, jumlahmodal (uang) yang harus dikembalikan Ramli pada akhir tahun ke-3 adalah
o
4
12
M = M (1 + i)
M = Rp2.000.000,00(1 + 0,2) = Rp2.000.000,00(5,159780) = Rp10.319.560,00
ott
9
9
FUNGSI NON LINEAR1. Fungsi Kuadrat Y = f(X) = aX2 + bX + c Y Y
X X
Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:
- b - (b2 – 4ac) Titik puncak = ----- , --------------- 2a 4a
-b ± b2 – 4ac X1.2 = --------------------
2aContoh:Jika fungsi kuadrat Y = X2 – 8X + 12 Carilah koordinat titik puncak dan gambarkan
- b - (b2 – 4ac) Koordinat Titik puncak = ----- , --------------- 2a 4a
Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:
Contoh :
Jika fungsi kuadrat Y = X2 – 8X + 12, carilah koordinat titik puncak dan gambarkanlah parabolanya?
Penyelesaian :
Koordinat titik puncak
Untuk X = 0, maka Y = 12
Titik potong sumbu Y adalah (0,12)
Untuk Y = 0, maka X2 – 8X + 12 = 0
)4,4(
a
acb
a
b
4
4(,
2
2
4
4864(,
2
8
Titik potong sumbu X adalah (2,0) dan (6,0). Berdasarkan nilai-nilai penyelesaian dari titik puncak dan titik potong sumbu X dan Y, maka kurva parabolannya dapat digambarkan seperti 7.3.
Koordinat titik puncak =
Y
x(2,0)
2
(0,12) (8,12)
Y = a0 = a1X + a2X2+a3X3
GGGGGGGGGG
a
acb
a
b
4
4(,
2
2
)1(4
)3)(1(42(,
)1(2
2 2
)4,1(4
16,
2
2
FUNGSI PANGKAT TIGA Polinomial tingkat 3 dengan satu variabel bebas disebut sebagai kubik, dan mempunyai bentuk umum :
Y = a0 + a1 X + a2X2 + a3X3
dimana : a3tidak sama dengan nol. fungsi kubik ini bila digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, kurvanya mempunyai dua lengkung (concave) yaitu : lengkung ke atas dan lengkung ke bawah, seperti tampak pada gambar di samping.
Y = a0 = a1X + a2X2+a3X3
Y
xa0
0
Contoh
Jika fungsi permintaan adalah Q = 64 – 8P – 2P2, gambarkanlah fungsi permintaan tersebut dalam satu diagram!
Penyelesaian :
Jika P = 0, maka Q = 64, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (64,0)
Jika Q = 0, maka 64 - 8P – 2P2 = 0 atau
P = 4P – 32 = 0
(P + 8) (P – 4) = 0
P = -8 (Tidak memenuhi)
P = 4
Jadi, titik potong dengan sumbu P adalah (0,4) dan (0, -8).
Koordinat titik puncak
)72,02(
a
D
a
b
4,
2
8
576,
4
8
Berdasarkan titik-titik potong dengan sumbu Q dan P serta koordinat titik puncat, maka gambar dari fungsi permintaan Q = 64 – 8P – 2P2 dapat digambarkan seperti di bawah.
Y
Q
(2,0)
2
(0,4)
(64,0)
Q =64 – 8P – 2P2
(72,-2)
3
4
1
-1
-2
8 16 24 32 40 48 56 64 72
P
KURVA INDEFERENS
Kurva indiferens menunjukkan titik-titik kombinasi dari barang X dan Y yang dapat memberikan tingkat kepuasan atau utilitas total yang sama bagi konsumen. Kurva indiferens dapat diperoleh dari fungsi utulitas yang berbentuk,
U = f (X, Y)dimana : U = Tingkat utilitas atau kepuasan total konsumen.
X = Jumah barang X yang dikonsumsi
X = Jumah barang Y yang dikonsumsi
Bila kurva indiferens ini digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, maka akan tampak seperti gambar dibawah.
F (X, Y) = U
B (X2, Y2)
A (X1, Y1)
X
Y
X2X10
Y2
Y1
f3 (X, Y) = U3
X
Y
X2X1
0
Y2
Y1
A C D
B
X3
f2 (X, Y) = U2
f1 (X, Y) = U1