Matematika EkonomiPertemuan 6 Limit, Kontinuitas, Turunan Fungsi dan Penggunaan Turunan dalam Ekonomi

Konsep Limit Fungsi f(x) akan mempunyai limit A untuk x mendekati a tanpa x = a, jika untuk bil t jik t k bilangan positif kecil e masih itif k il ih terdapat bilangan lain d yang lebih kecil, sehingga bila: 0 < |x a| < d, maka |f(x) A| < e Contoh: Seandainya f(x) = 4x + 3 dan x 0, maka limit dari f(x)? Nilai nilai Nilai-nilai yang mendekati nol adalah 0.1, 0.001, 0.001, dan seterusnya, sehingga: f(1/10) = 3,4 f(1/100) = 3,04 f(1/1000) = 3,004 dan seterusnya, atau dalam nilai negatif: seterusnya f(-1/10) = 2,6 f(-1/100) = 2,96 f(-1/1000) = 2,996 sehingga, dapat terlihat bahwa semakin x mendekati 0, maka f(x) semakin dekat dengan 3 Jadi limit dari f(x) = 3. 4x + 3 adalah 3.

Kaidah Kaidah Kaidah-Kaidah Limit1. lim k = kx a

2. lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) = A + Bx a x a x a x a x a x a

3. lim (f(x).g(x)) = [lim f(x)].[lim g(x)] = A . Bx a x a

4. 4 lim [f(x)/g(x)] = [lim f(x)] / [lim g(x)] = A / Bx a x a

5. lim [f(x)]n = [lim f(x)]n = Anx a

6. lim [nf(x)] = nlim f(x) = A1/nx a x a

Kaidah Kaidah Kaidah-Kaidah LimitUntuk limit x , maka: Lim 1 = 0 x x Untuk fungsi pecahan f( ) / g(x), dengan anxn d pmxm U t kf i h f(x) ( ) d dan masing-masing adalah suku dalam pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan pangkat x tertinggi berlaku: lim f(x) = lim anxn =L x x g(x) pmxm Dimana L = 0 apabila n < m L = apabila n > m L = a/p apabila n = m

Contoh Soal

Kaidah Kaidah Kaidah-Kaidah LimitUntuk limit berbentuk 0/0 dapat 0/0, diselesaikan dengan pemfaktoran yang pada umumnya berbentuk seperti:

Kontinuitas Suatu fungsi dikatakan kontinu apabila g g p grafiknya y berupa kurva yang tidak patah Suatu fungsi f(x) adalah kontinu untuk x = a, jika: f(a) tertentu lim f(x) ada dan terhinggax a

lim f(x) = f(a)x a

Apabila salah satu syarat di atas tidak dipenuhi dipenuhi, maka fungsinya tidak kontinu atau disebut juga diskontinu.

Diskontinuitas Suatu fungsi yang kurvanya patah atau terputus-putus pada interval tersebut merupakan fungsi yang diskontinu diskontinu. Tiga jenis diskontinu: Di k ti it titik l Diskontinuitas lowong Diskontinuitas tak terhingga Di k i i Diskontinuitas terhingga hi

Diskontinuitas Titik Lowong Suatu fungsi f(x) disebut diskontinuitas titiik lowong pada x = a jika limit f(x) ada p ( ) tetapi f(a) tidak ada / tidak terdefinisikan. Contoh: Fungsi f(x) = (2x + 1)(x 3) / (x 3) merupakan fungsi diskontinuitas pada titik p ( ) x = 3 karena pada titik tersebut f(3) tidak ada / tak terdefinisikan. Untuk titik x yang lain, yaitu selain x = 3, fungsi x kontinu.

Diskontinuitas Tak Terhingga Suatu fungsi f(x) adalah diskontinuitas tak terhingga pada x = a jika f(x) menjadi tak terhingga (positif atau negatif) untuk x a. Contoh: g ( ) (x ) Fungsi f(x) = 1 / ( 3)2 diskontinuitas tak terhingga pada x = 3 karena untuk x 3 berakibat f(x) dan f(3) tidak dapat ditentukan. M ki di k Meskipun d iki untuk semua demikian k nilai x selain x = 3, fungsi f(x) kontinu.

Diskontinuitas Terhingga Suatu fungsi adalah diskontinuitas terhingga g gg pada x = a jika f(x) nilainya mendadak berubah pada saat x a. Di sini f(x) tidak mempunyai limit untuk x a a. Contoh: Fungsi f(x) = 2 / (1 + 21/x) adalah diskontinuitas pada x = 0 karena f(x) tidak dapat ditentukan limitnya dan pada saat x 0, nilainya mendadak berubah. Akan tetapi untuk nilai-nilai selain x = 0 fungsi tersebut kontinu.

Turunan Pertama Turunan pertama suatu fungsi di suatu titik merupakan curam fungsi di titik tersebut. Curam dari suatu garis lurus ( g (diberi simbol m) ) adalah tangens dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan garis horisontal. Curam suatu garis lurus besarnya konstan dan dapat diartikan bahwa tingkat perubahan y karena perubahan x sepanjang garis k b h j i mempunyai rasio yang konstan.

Turunan pertamam = tan = yb ya = y xb xa = x

Penurunan fungsilim y diberi simbol dy yang dibaca turunan y yy g x 0 x dx f(x) f( ) = xn turunannya adalah d l h f(x) = n.xn-1 Apabila f(x) = a, dimana a adalah nilai konstan a maka f(x) = 0 Contoh: C t h f(x) = x2 + 3x + 2 f (x) f(x) = 2x + 3

Kaidah Kaidah Kaidah-Kaidah Turunan Pertama Turunan dari suatu konstan adalah sama dengan nol. Jika y = k maka y = 0 atau dy/dx = 0 y

Jika y = xn maka y = nx(n-1) Jika y = k.f(x) maka y = k.f(x) f( ) f( ) Jika y = f(x) + g(x) maka y = f(x) + g(x)

Kaidah Kaidah Kaidah-Kaidah Turunan Jika y = U . V dimana U = f(x) dan V = g(x) maka: ( ) g( ) y = U.V + U.V Jika y = U / V dimana U = f(x) dan V = g(x) maka: y U V U.V y = U.V U V V2 Jika y = Un dimana U = f(x) maka ( ) y = nUn-1 U Jika y = log U dan U = f(x) maka y = U l e log U

Penggunaan Turunan dalam Ekonomi Ek i Dalam ilmu ekonomi konsep turunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mendapatkan ongkos marjinal marjinal, pendapatan marjinal, elastisitas, hasrat menabung marjinal, hasrat mengkonsumsi marjinal marjinal, dll.

Perilaku Konsumen Kepuasan marjinal adalah tambahan kepuasan p j p yang diperoleh konsumen karena ada tambahan konsumsi satu unit barang. K Kepuasan markinal adalah turunan pertama d i ki l d l h dari kepuasan total MU = dTU dQ Jika P menunjukkan harga barang maka barang, konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila dipenuhi syarat P = MU

Perilaku KonsumenContoh: Berapakah j l h b B k h jumlah barang yang akan di i k diminta oleh k l h konsumen apabila bil harga barang per unit Rp 20,- dan kepuasan total konsumen ditunjukkan oleh fungsi Q Q TU = 120Q 0.25Q2 100 Kepuasan total akan diperoleh konsumen bila syarat P = MU MU = turunan dari TU MU = 120 0.5Q P = MU 20 = 120 0.5Q 0.5Q 0 5Q = 100 Q = 200 Jadi konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum jika ia membeli barang sebanyak 200 unit pada harga Rp 20 -/unit 20, /unit

Perilaku Produsen Fungsi produksi adalah suatu fungsi atau persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat output yang dihasilkan dan penggunaan input-input. Tambahan output yang dihasilkan karena ada penambahan pemakaian satu unit input disebut dengan produksi marjinal (MP) MP = dQ dx Produksi rata-rata adalah output rata-rata per unit: AP = Q x Untuk menghasilkan keuntungan maksimum: MP = Harga input (Px) Harga output (Pq) Tingkat penggunaan input harus pada daerah dimana produksi j g marjinal menurun atau m = MP = negatif

Perilaku ProdusenContoh: Suatu perusahaan memproduksi suatu barang dengan input x. Output yang dihasilkan x pada berbagai tingkat penggunaan ditunjukkan dengan fungsi Q = 75 + 5x2 1/3 x3. Jika harga input adalah Rp 2.100,-/unit dan harga output per unit Rp 100, berapa unit yang harus diproduksi oleh perusahaan agar keuntungan yang diperoleh maksimum? Berapakah produksi rata-rata? 1. Syarat keuntungan maks MP = Px / Pq MP = turunan dari fungsi Q = Q = 10x x2 10x x2 = 2100 / 100 10x 10 x2 = 21 2 x2 10x + 21 = 0 (x 7)(x 3) x1 = 7 atau x2 = 3 Penggunaan input harus pada daerah dimana produksi marjinal menurun sehingga: m = MP = 10 2x MP x1 m = -4 (menurun) x2 m = 4 (menaik) Jadi input yang digunakan adalah 7 unit. Q = 75 + 5x2 1/3 x3 x=7 Q = 205 2/3 = 205 unit Q = 205, x = 7 maka AP = Q/x = 205/7 = 29 2/7 = 29 unit

2.