Matematika EkonomiPertemuan 4 Fungsi Non-Linear Non Linear

Grafik Kurva Non-Linear Non Linear Polinom (suku banyak) dalam x dan y ( y ) dilambangkan dengan f(x), adalah ungkapan yang mengandung suku-suku kxrys, dimana k adalah konstan r dan s adalah bilangan bulat konstan, bulat. Nilai tertinggi (r + s) pada suku f(x,y) dinamakan pangkat polinom Jika polinom f(x,y) berpangkat n dan disamakan dengan nol, maka diperoleh persamaan pangkat n dalam x dan y yaitu f(x,y) = 0 persamaan aljabar.

f(x,y) f(x y) = 1 f(x,y) f( ) = 0 Asumsi: Lantai 1 adalah z=0

f(x,y) 0

Grafik Kurva Non-Linear Non Linear Persamaan dalam x dan y yang bukan persamaan aljabar disebut persamaan transcendental. Contoh: fungsi trigonometri, fungsi g g p g logaritma, dan fungsi berpangkat. Acara menggambar grafik fungsi nong linear, dilakukan dengan menentukan titiktitik yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang cukup banyak.

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear F i N LiA. A Titik Penggaladalah titik perpotongan antara kurva dan garis sumbu Titik penggal sumbu x sumbu. diperoleh dengan memasukkan y = 0 kemudian mencari persamaan x nya. Titik y penggal y diperoleh dengan memasukkan x = 0 kemudian mencari persamaan y nya.

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear F i N LiB. B Simetris Dua titik dikatakan simetris terhadap suatu garis bila garis tersebut terletak di antara dua titik dan jarak masing-masing titik ke garis tersebut sama. sama

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear F i N LiContoh:

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear F i N LiDari contoh contoh tersebut dapat dilihat bahwa contoh-contoh grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap: a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0 j ( ,y) ( , y) b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0 c. c Titik origin jika f(x y) = f(-x -y) = 0 f(x,y) f( x, y) Fungsi y g simetris terhadap sumbu x dan/atau sumbu y g yang p pasti simetris terhadap titik origin, namun fungsi yang simetris terhadap titik origin, belum tentu simetris terhadap sumbu x dan y.

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear F i N LiC. Batas Nilai Pada sistim sumbu koordinat titik (x y) mempunyai koordinat bilangan riil koordinat, (x,y) riil. Contoh: Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2 + y2 = 25 mempunyai batas? x2 = 25 y2 x = (25 y2) Nilai (25 y2) akan bernilai negatif apabila (25 y2) < 0 sehingga 25 y2 < 0 -y2 < -25 y2 > 25 y>5 batas untuk nilai y adalah -5 < y < 5 y = (25 x2) Nilai (25 x2) akan bernilai negatif apabila (25 x2) < 0 sehingga 25 x2 < 0 -x2 < -25 x2 > 25 x>5 batas untuk nilai x adalah -5 < x < 5 5

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear F i N LiD. Asimtotis Asimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva dengan jarak yang semakin dekat dengan nol bila kurva tersebut semakin jauh dari origin. Garis y = mx + b merupakan asimtot kurva y = f(x), jika f(x) semakin dekat mx + b maka x dan y nilainya bertambah tanpa batas Jadi f(x) mx + b jika x dan y batas. Jadi, . Garis y = k adalah asimtot kurva y = f(x) bila y k untuk x Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva y = f(x) bila x h untuk y

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear F i N LiE. E Faktorisasi Persamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat terhadi sebagai hasil perkalian antara dua faktor atau lebih, seperti f(x,y) = g(x,y).h(x,y) 0. g(x y) h(x y) = 0 Dengan demikian maka f(x,y) = 0 terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) dan h(x y) h(x,y).

Kaidah-Kadiah Pembuatan Grafik Fungsi Non-Linear F i N LiContoh: Buatlah grafik persamaan 2x2 + 3xy 2y2 = 0. Faktorisasi: 2x2 + 3xy 2y2 = 0 2x2 - xy + 4xy 2y2 = 0. x(2x y) + 2y(2x y) = 0 (x + 2y) (2x y) = 0 Jadi, grafik persamaan 2x2 + 3xy 2y2 = 0 terdiri dari grafik dua garis lurus yaitu x + 2y dan 2x y.

Latihan1. 1 Tunjukkan titik penggal dari persamaan (x 5)(x + 3)2. 2. 2 x2 + x2y y + 5 = 0 simetris terhadap y terhadap 3. Gambarkan grafik dari 12x2 5xy 2y2 = 0. 4. Titik penggal dari grafik persamaan y = x2 x 12 adalah?

Jawaban LatihanNomor 1 Mencari titing penggal nilai fungsi sama dengan nol (X-5)(X+3)2 =0 Sehingga X= 5 dan X=-3 (titik penggal sumbu X) Titik penggal sumbu Y maka X=0 Y=(x-5)(X2+6X-9) Y= (X3 +X2-21X+45) 21X+45) Y=45

Jawaban LatihanNomor 2 x2 + x2y y + 5 = 0 simetri terhadap? grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap: a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0 b. b Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0 f(x y) f( x y) c. Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0 Maka, kita masukan ke syarat ketiga point tersebut: Periksa, apakah simetri terhadap sumbu x? , p p f(x,-y)=x2 -x2y+y+5 0 karena f(x,y) = 0 = x3 + x2y y + 5 . Maka bukan simetri terhadap sumbu x Periksa, apakah simetri terhadap sumbu y? f(-x,y)= x2 + 2y-y+5 = 0 k f( ) +x +5 karena f( ) = 0 = x2 + x2y y + 5. Maka simetri terhadap sumbu f(x,y) 5 M k i tit h d b y Periksa, apakah simetri terhadap titik origin? f(-x,-y)=x2 -x2y+y+5 0 karena f(x,y) = 0 = x3 + x2y y + 5 . Maka bukan simetri terhadap ( y) y y ( y) y p titik origin

Jawaban LatihanNomor 3 Gambarkan grafik dari 12x2 5xy 2y2 = 0. Hal pertama dilakukan, faktorisasi persamaan di atas. Trik faktorisasi untuk persamaan: ax2+bxy+cy2=0 ubah jadi x2+bxy+acy2=0 Selanjutnya cari nilai konstanta faktornya: Bentuk faktor persamaan di atas : (ax+jy)(ax+ky)=0 Cari j dan k dengan cara memenuhi ketentuan berikut: j.k=ac dan j+k=b Kembali ke soal 12x2 5xy 2y2 = 0 ubah x2 5xy 24y2 = 0 ac= -24 dan b= -5 maka akan diperoleh j= -8 dan k=3 Maka bentuk faktor persamaannya (12x-8y)(12x+3y)=0 Atau (3x-2y)(4x+y)=0 . Grafik pada slide selanjutnya

Jawaban Latihan4x+y=0 Y 3x-2y=0

X

Jawaban LatihanNomor 4 y = x2 x 12, cari titik penggalnya. Titik penggal terhadap sumbu y berarti masukan x=0, sehingga dari p persamaan di atas diperoleh y -12. Titik penggal p p y= p gg pertama ( , ) (0,-12) Titik penggal terhadap sumbu x berarti masukan y=0 sehingga diperoleh persamaan 0 = x2 x 12 difaktorkan menjadi: (x-4)(x+3)=0, sehingga x=4 dan x=-3. Titik penggal kedua dan ketiga adalah (4,0) dan (-3,0)

Fungsi KuadratikSuatu persamaan kuadrat mungkin dapat berbentuk suatu lingkaran elips, parabola, hiperbola, hiperbola atau bentuk yang lain lain. Bentuk umum persamaan kuadratik: Ax A 2+B +C 2+D +E +F=0 Bxy Cy Dx Ey Dimana A, B, C, D, E, dan F adalah konstan dan paling tidak salah satu dari A, B, dan C tidak bernilai sama dengan 0.

Fungsi KuadratikKaidah umum: Jik B = 0 d A = C Jika dan lingkaran li k Jika B2 4AC < 0 elips Jika B2 4AC = 0 parabola Jika B2 4AC > 0 hiperbola Kaidah khusus: Jika B = 0, dan paling tidak salah satu dari A dan C tidak bernilai nol, maka: Jika A = C lingkaran Jika A C tetapi bertanda sama elips Jika A = 0 atau C = 0 tetapi tidak sama dengan 0 bersama-sama parabola b l Jika A dan C tandanya tidak sama hiperbola

LingkaranAx2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 Persamaan t P tersebut dapat dibawa k b td t dib ke bentuk: (x h)2 + (y k)2 = r2 Dimana (h,k) merupakan p ( , ) p pusat lingkaran g dan r adalah jari-jari.

LingkaranContoh: Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran persamaan x2 + y2 6x 8y +16 = 0 Bentuk umum: (x h)2 + (y k)2 = r2 x2 + y2 6x 8y + 16 = 0 x2 6x + y2 8y + 16 = 0 y2 8y + 16 = (y 4)2 k=4 2 - 6x + h2 = (x h)2 x x2 6x + h2 = x2 -2xh + h2 -6x = -2xh h=3 Sehingga titik pusat adalah (h,k) (3,4) Jika dimasukkan lagi dalam persamaan: x2 6x + 9 + y2 8y + 16 = 9 (x 3)2 + (y 4)2 = 9 r2 = 9 r=3 Sehingga jari-jari = 3.

ElipsAx2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Persamaan elips dapat ditulis sebagai: (x h)2 + (y k)2 = 1 a2 b2 Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu x akan tetapi bila a < b x, b, maka sumbu panjang akan sejajar dengan sumbu y. Sumbu panjang = 2a dan sumbu pendek = 2b 2b. Sumbu panjang = jari-jari panjang Sumbu pendek = jari-jari pendek

ElipsContoh: Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan 4x2 + 9y2 + 16x 18y 11 =0 4x2 + 9y2 + 16x 18y 11 = 0 (x h)2 + (y k)2 = 1 b2 a2 b2(x h)2 + a2(y k)2 = 1 a 2b 2 b2(x h)2 + a2(y k)2 = a2b2 4x2 + 9y2 + 16x 18y 11 = 0 4x2 + 16x + 9y2 18y = 11 4(x2 + 4x) + 9(y2 2y) = 11 b2 = 4 dan a2 = 9 (x2 + 4x + h2) = x2 2xh + h2 4x = -2xh h = -2 (y2 2y + k2 )= y2 2yk + k2 -2y = -2yk k=1 Jika dimasukkan ke dalam persamaan: 4(x2 + 4x + 4) + 9(y2 2y + 1) = 11 4x2 + 16x + 16 + 9y2 18y + 9 = 11 + 16 + 9 4x2 + 16x + 16 + 9y2 18y + 9 = 36 4(x + 2)2 + 9(y 1)2 = 36 36 36 (x + 2)2 + (y 1)2 = 1 9 4

Parabola Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokus, dan garisnya disebut directrix. Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan vertex. d t

ParabolaJika sumbunya sejajar dengan sumbu y: Ax A 2 + D + Ey + F = 0 Dx E Jika sumbunya sejajar dengan sumbu x: Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Bentuk persamaan standar dari parabola: (x h)2 = 4p (y k) Dimana (h,k) adalah vertex dan sumbunya sejajar dengan sumbu y (h k) y. (y k) 2 = 4p (x h) Apabila sumbunya sejajar dengan sumbu x. p y j j g P adalah parameter yang tanda serta besarnya menentukan keadaan bentuk parabola.

ParabolaUntuk parabola y g sumbunya sejajar dengan p yang y j j g sumbu y: Jika p < 0, maka parabola terbuka ke bawah Jika p > 0 maka parabola terbuka ke atas 0, Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu x: Jika p < 0, maka parabola terbuka ke sebelah kiri Jika p > 0, maka parabola terbuka ke sebelah kanan

ParabolaContoh: Jadikan bentuk standar persamaan p parabola: x2 4x + 4y + 16 = 0, dan tentukan vertexnya. (x ( h)2 = 4 ( k) 4p (y x2 4x + 4y + 16 = 0 x2 4 + 4 = -4y 16 + 4 4x 4 (x 2)2 = -4(y + 3) Vertex = (2,-3) dan p = -1. (2 3) 1 Sumbu sejajar dengan sumbu y dan parabola terbuka ke bawah bawah.

HiperbolaHiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar y g yang selisih j jaraknya terhadap dua titik y p tertentu besarnya tetap. Hiperbola mempunyai dua sumbu yang g p membagi dua hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu transverse

HiperbolaAx2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Persamaan ini dapat dijadikan bentuk standar hiperbola yaitu: (x h)2 (y k)2 = 1 a2 b2 atau (y k)2 (x h)2 = 1 b2 a2 Dimana (h k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan sumbu (h,k) x. Asimtot ditunjukkan oleh persamaan: xh = yk a b Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus. Maka persamaan hiperbola bisa menjadi: (Xh)(Yk)=c

ParabolaContoh: Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui persamaan hiperbola adalah 9x2 4y2 18x 16y 43 = 0 9x2 4y2 18x 16y 43 = 0 9(x2 2x + 1) 4(y2 + 4y + 4) = 43 + 9 -16 9(x 1)2 4(y + 2)2 = 36 (x 1)2 (y + 2)2 = 1 4 9 Jadi, titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3. Persamaan asimtot:

xh = yk a b x1=y+2 2 3 3x 3 = (2y + 4) Asimtot 1: 3x 3 = 2y + 4 Asimtot 2 3 A i t t 2: 3x 3 = -2y 4 2

3x 2y 7 = 0 3x 2y 3 +2 +1=0