Telaah Matematika SMPSistem Persamaan Linear Dua VariabelDisusun oleh :Diana Novita Intan Permatasari (1401060052)Arum Setya Utami (1401060061)

Persamaan Linear Dua Variabel

Ingat !

Persamaan garis lurus pada bidang Cartesius

ax + by = c Dengan a,b,c konstanta real

dengan a,b 0, dan x, y adalah variabel

Perhatikan persamaan-persamaan berikut :1. x+ 5 = y2. 2a – b = 13. 3p +9q = 4Dari persamaan tersebut, sebutkan variabel dari masing-masing persamaan :4. x+ 5 = y variabelnya x dan y5. 2a – b = 1 variabelnya a dan b6. 3p + 9q = 4 variabelnya p dan qketiga persamaan tersebut memiliki 2 variabel. Persamaan diatas tersebut merupakan contoh bentuk persamaan linier dua variabel

Jadi persamaan linier dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan

a, b, c R; a, b 0; dan x, y suatu variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Apabila terdapat dua persamaan linier dua variabel yang berbentuk ax+ by = cdx+ ey = f dengan a, b, d, e 0 dan c, f adalah bilangan realMaka dikatakan dua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linier dua variabel. Penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel tersebut adalah pasangan bilangan (x,y) yang memenuhi persamaan tersebut.

Keterangan: x dan y = variabel (nilai penyelesaian dari sistem linier dua variabel) a dan d = koefisien dari x

  b dan e = koefisien dari y c dan f  = konstanta

1.Metode Substitusi2.Metode Eliminasi3.Metode Gabungan

(Subtitusi dan Eliminasi)4.Metode Grafik

Metode yang digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel :

1. METODE SUBSTITUSI

Konsep dasar dari metode substitusi adalah mengganti sebuah variabel dengan menggunakan persamaan yang lain.

Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2p + 3q = 6

p – q =3p- q = 3 diubah menjadi p = 3 + qKemudian subtitusikan p = 3 + q ke dalam persamaan 2p + 3q = 6p= 3 + q 2p + 3q = 6

2(3 + q) + 3q = 6

2x3 2xq 6 + 2q + 3q = 6 6 + (2+3)q = 6 6 + 5q = 6 6 – 6 + 5q = 6 – 6

5q = 0 q = 0

Kita dapatkan bahwa nilai q = 0, kemudian kita cari nilai p. Untuk mencari nilai p, kita subtitusikan q = 0 ke salah satu persamaan,

persamaan p – q = 3, maka

q= 0 p – q = 3

p- 0 = 3

p = 3

Atau persamaan 2p + 3q = 6, maka

q= 0 2p + 3q = 6

2p + 3x0 = 6

2p + 0 = 6

2p = 6

=

p = 3

Kita dapatkan bahwa nilai p = 3

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan Adalah { (3,0) }.

Dari uraiaan diatas dapat disimpulkan bahwa untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan metode subtitusi, terlebih dahulu kita nyatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lain.

2. METODE ELIMINASI

Pada metode eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel, caranya adalah dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya.

Jika koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan variabel yang lain.

contoh :

Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3

Click icon to add pictureClick icon to add picture

Click icon to add picture

Penyelesaian2x + 3y = 6 dan x – y = 3

Langkah I ( eliminasi variabel y )Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus disamakan, sehingga persamaan 2x – 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 3.

2x + 3y = 6 x1 2x + 3y = 6 x - y = 3 x3 3x - 3y = 9

+ 2x + 3x = 6 + 9 5x = 15

x = 3

(-)3y - (-3y) = 3y + 3y = 6y (+)3y + (-3y) = 3y – 3y = 0kita ingin menghilangkan y maka kita gunakan operasi

penjumlahan (+)

Langkah II ( eliminasi variabel x )

Seperti pada langkah pertama untuk mengeliminasi variabel x, koefisisen x harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 2.

2x + 3y = 6 x1 2x + 3y = 6

x – y = 3 x2 2x – 2y = 6 -

3y – (-2y) = 6 - 6

3y + 2y = 0

(3+2)y = 0

5y = 0

Y = 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { (3,0) }.

(-) – 2x = 0(+)2x + 2x = 4x

kita ingin menghilangkan x maka kita gunakan operasi

pengurangan (-)

3. Metode Gabungan

Metode gabungan adalah cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan menggabungkan antara metode eliminasi dan substitusi.

Contoh :

Dengan menggunakan metode gabungan, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x - 5y = 2 dan x + 5y = 6, jika x, y R.

Diketahui:Sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6

Ditanyakan : himpuan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.Penyelesaian :

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh:

2x – 5y = 2 x1 2x – 5y = 2

x + 5y = 6 x2 2x +10y = 12 –

- 15y = - 10

y = =

Selanjutnya, substitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6, sehingga diperoleh:

x + 5y = 6

x + 5(

x + = 6

x = 6 -

x = 2

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2Dan x + 5y = 2 adalah

4. Metode Grafik

Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jika garis – garisnya tidak berpotongan di satu titik tertentu maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.

Contoh :

Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel x + y = 5 dan x – y = 1, jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Diketahui :sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1Ditanyakan : dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.

Penyelesaian :

Untuk memudahkan menggambar grafik dari x + y = 5 dan x – y = 1, buatlah tabel nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

x + y = 5 x – y = 1

x 0 5Y 5 0

(x,y) (0,5) (5,0)

x 0 1Y -1 0

(x,y) (0,-1) (1,0)

Gambar grafik di samping adalah grafik sistem persamaan dari x + y = 5 dan x – y = 1.

Dari gambar grafik tersebut tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah ( 3, 2 ).

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

x + y = 5 dan x – y = 1 adalah

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7

-1

x + y

= 5

x – y = 1

Membuat Model Matematika dan Menyelesaikan Masalah Sehari-hari yang Melibatkan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan perhitungan yang melibatkan sistem persamaan linear dua variabel. Permasalahan sehari – hari tersebut biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita.

Langkah – langkah menyelesaikan soal cerita, sebagai berikut :

1. Mengubah kalimat – kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat matematika ( model matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linear dua variabel.

2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.

3. Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita.

Contoh :Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp.15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp.18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?

Diketahui :Asep 2 kg mangga dan 1 kg apel membayar Rp.15.000,00Intan 1 kg mangga dan 2 kg apel membayar Rp.18.000,00

Ditanya : berapa harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?

Jawab:Jika di misalkan harga 1 kg mangga = x

harga 1 kg apel = yKalimat matematika dari soal tersebut adalah

Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian, misalnya dengan metode gabungan.

Langkah I: Metode eliminasi

2x + y = 15.000 x1 2x + y = 15.000x + 2y = 18.000 x2 2x + 4y = 36.000

–y – 4y = 15.000 – 36.000 - 3y = - 21.000 y = = 7.000

Langkah II: Metode SubstitusiSubstitusi nilai y ke persamaan 2x + y = 15.000

2x + y = 15.000 2x +7.000 = 1.5000

2x = 15.000 – 7.000 2x = 8.000 x = = 4.000

Dengan demikian, harga 1 kg mangga adalah Rp.4.000,00 dan harga 1 kg apel adalah Rp.7.000,00.

Jadi, harga 5 kg mangga dan 3 kg apel adalah

5x + 3y = (5 x Rp.4.000,00) + (3 x Rp.7.000,00)

= Rp.20.000,00 + Rp.21.000,00

= Rp.41.000,00

Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel Dengan Mengubah Ke Bentuk Sistem Persamaan Linear Dua VariabelPerhatikan beberapa sistem persamaan berikut.

1. 3.

2. 4.

Di antara sistem persamaan di atas , dapatkah kalian menemukan perbedaannya?

Perhatikan bahwa sistem persamaan nomor 1 dan 3 merupakan sistem persamaan linear dua variabel, karena mempunyai dua variabel berpangkat satu.

Adapun nomor 2 dan 4 merupakan sistem persamaan nonlinear dua variabel, karena mempunyai dua variabel yang berpangkat dua atau tidak linear.

Sistem persamaan nonlinear dua variabel dapat diselesaikan dengan cara mengubahnya terlebih dahulu ke bentuk linear.

Caranya :

1. Dengan memisalkan variabel nonlinear pada sistem persamaan nonlinear dua variabel menjadi variabel linear.

2. Dengan permisalan tersebut, ubahlah sistem persamaan nonlinear dua variabel tersebut ke dalam sistem persamaan linear dua variabel, lalu selesaikanlah .

3. Kembalikan solusi penyelesaian persamaan linear dua variabel tersebut ke pemisalan semula untuk memperoleh penyelesaian.

Contoh :

Selesaikan sistem persamaan nonlinear dua variabel berikut.

dan

Penyelesaian :

dan

Misalkan dan sehingga bentuk sistem persamaan linear dua variabelnya adalah

Kemudian, selesaikanlah persamaan – persamaan tersebut dengan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut:

Selanjutnya substitusikan nilai ke persamaan

Sehingga diperoleh:

Setelah diperoleh nilai , kembalikan nilai ke pemisalan semula.

jadi, penyelesaian persamaan

dan adalah dan

TERIMAKASIH ...