himpunan, bilangan, dan induksi matematika (baru).ppt (3238kb)
TRANSCRIPT
MATEMATIKA DASAR I
Dosen : Asri Nur Chiquita
Himpunan bilangan dan skemanya
Skema Himpunan Bilangan
• Himpunan bilangan asliadalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
Ex: N = {1,2,3,4,5,6,......}
• Himpunan bilangan primaadalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
Ex: P = {2,3,5,7,11,13,....}
• Himpunan bilangan cacahadalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
Ex: C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
• Himpunan bilangan bulatadalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
Ex: B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
• Himpunan bilangan rasionaladalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:p/q dimana p,q bulat dan q 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.Contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
• Himpunan bilangan irasionaladalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: log 2, e, 7
• Himpunan bilangan riiladalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
• Himpunan bilangan imajineradalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru.
contoh: i, 4i, 5i
• Himpunan bilangan kompleksadalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b R, i² = -1,
dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.contoh: 2-3i, 8+2
Bilangan bulat
• Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :
Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …) Nol : 0 Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1) Himpunan Bilangan bulat A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Garis bilangan bulat
0-1-2-3 1 2 3 4-4
bilangan bulat positif
bilangan bulat Negatif
Bilangan nol
Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil : Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … } Bilangan yang habis dibagi dengan 2 Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … } Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1
Operasi Hitung Bilangan Bulat
• Penjumlahan Sifat Asosiatif ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Sifat Komutatif a + b = b + a Unsur Identitas terhadap penjumlahan a + 0 = 0 + a Unsur invers terhadap penjumlahan a + (-a) = (-a) + a Bersifat tertutup a dan b ∈ bilangan bulat
maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat
• Pengurangan Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : a – b = a + (-b) a – (-b) = a + b Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku a – b ≠ b - a (a – b ) – c ≠ a – ( b – c ) Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat : a – 0 = a dan 0 – a = -a Bersifat tertutup a dan b ∈ bilangan bulat
maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat
• Perkaliana x b = ab , a x –b = -ab , -a x -b = abSifat Asosiatif (a x b) x c = a x (b x c)Sifat komutatif a x b = b x aSifat distributif a x (b+c) = (a x b ) + (a
x c)Unsur identitas untuk perkalian a x 0 = 0
atau a x 1 = 1 x a = a Bersifat tertutup a x b = c a, b, c ∈ bilangan bulat
• Pembagian Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah
bilangan positif (+) : (+) = (+) Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah
bilangan positif (-) : (-) = (+) Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda
adalah bilangan negatif (+) : (-) = (-) atau (-) : (+) = (-)
Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi a : 0 (~) atau 0 : a 0 (nol)
Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif a : b ≠ b : a atau (a:b):c ≠ a : (b:c) Bersifat tidak tertutup
Pemangkatan bilangan bulat
Contoh : 34 = 4 x 4 x 4 = 64 53 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
Akar pangkat dua• Akar kuadrat (akar pangkat dua)
Akar kubik (akar pangkat tiga)
Bilangan Riil
• Notasi dari himpunan bilangan riil adalah • dinyatakan sebagai garis lurus x є
dibaca x (sembarang bilangan) anggota dari Jika x є dinyatakan sebagai suatu titik di garis
x
Bilangan x terletak antara -a dan a dengan titik pusatnya 0
0-a a
xx
Urutan Pada Garis Bilangan Riil
Misalkan: x < y dibaca x berada di sebelah kiri y
atau x lebih kecil dari y x > y dibaca x berada di sebelah
kanan y atau y lebih kecil dari x
• dibaca “ jika dan hanya jika”• x < y y-x positif
Sifat–sifat bilangan real • Sifat-sifat urutan :
Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti
berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < zPerkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz <
yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
Penambahan x<y x+z <y+z Relasi urutan dibaca “kurang dari atau
sama dengan” dibaca “lebih dari atau
sama dengan” x y y - x positif atau nol
Untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku sifat urutan berikut:
• a < b a + c < b + c• a < b a - c < b – c• a < b, c > 0 ac < bc• a < b, c < 0 ac > bc• a > 0
• Jika a dan b bertanda sama maka
1 0a1 1
a b b a
Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2 bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.
Interval bilangan real
Untuk setiap x, a, b, c R,
1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup
atau terbuka3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka
atau tertutup4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka
Selang (interval)Penulisan Penulisan himpunan Grafik(a,b) {x є | a < x < b}
[a,b] {x є | a ≤ x ≤ b}
[a,b) {x є | a ≤ x < b}
(a,b] {x є | a < x ∞ b}
(a,∞) {x є | x > a}
[a, ∞) {x є | x ≥ a}
(-∞,b) {x є | x < b}
(-∞,b] {x є | x ≤ b}
(-∞, ∞)
a
ba
b
a b
a b
a
a
b
b
himpunan bilangan real tertentu yang didefinisikan dan dilambangkan sebagai berikut:
Ketidaksamaan• Menyelesaikan ketidaksamaan dalam x berarti mencari
interval atau interval-interval dari bilangan yang memenuhi ketidaksamaan tersebut.
• Cara menyelesaikan ketidaksamaan :1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi tanda ketidaksaman berubah
Contoh:Selesaikan ketidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya pada garis bilangan real!a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x
b. c. (x – 1)2 ≤ 4x
x
24
2
Nilai Mutlak• Definisi nilai mutlak :
• Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.
• |x| dapat juga didefinisikan sebagai:
• Secara Geometri: |x| menyatakan jarak dari x ke titik asal. |x – y| = jarak diantara x dan y
0,
0,xxxx
x
2x x
Sifat nilai mutlak• |-a| = |a|• |ab| = |a||b|
• |a + b| ≤ |a| + |b|• |x|2 = x2
• |x| < a jika dan hanya jika - a < x < a • |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a• |x| < |y| jika dan hanya jika x2 < y2
aa
b b
Contoh :
• Selesaikan persamaan berikut: |2x – 5|=9• Tentukan solusi dari ketaksamaan berikut:
x 5 9
5 12 x
SOAL
1. 5 2 6x x
2. 2 11 1x x
3. Berapakah nilai a dan t yang memenuhi persamaan
?t a a t
INDUKSI MATEMATIKA
• Induksi matematika adalah : Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat.
• Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.
1. Proposisi Perihal Bilangan Bulat.
• Pernyataan perihal bilangan bulat mengkaitkan suatu masalah yang dihubungkan dengan bilangan bulat.
• Untuk memberikan ilustrasi mengenai pernyataan yang dimaksud, diperlihatkan dengan memberikan contoh berikut :
Contoh 1 :
Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan : ”Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n (n+1) / 2.”
Buktikan bahwa p(n) benar!
Jika dicoba dengan beberapa nilai n, memang timbul dugaan bahwa p(n) benar, misalnya untuk n = 5,
p(5) adalah : “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai 5 adalah 5 (5+1)/2.
Terlihat bahwa :1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = 5 (6) / 2
Contoh 2 :
Jika ingin menemukan rumus jumlah dari n buah bilangan ganjil positif yang pertama. Misalnya untuk n = 1, 2, 3, 4, 5, perhatikan jumlah n bilangan ganjil positif pertama ,
n = 1 1 = 1n = 2 1 + 3 = 4n = 3 1 + 3 + 5 = 9n = 4 1 + 3 + 5 + 7 = 16n = 5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Dari nilai-nilai penjumlahan, bahwa jumlah n buah bilangan ganjil yang pertama adalah n2
Contoh-contoh proposisi perihal bilangan bulat yang lainnya :
1. Setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.
2. Untuk semua n ≥ 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3.
3. Untk membayar biaya pos sebesar n sen dolar (n ≥ 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan 5 sen dolar.
4. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya sekali. Jika ada n orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n – 1)/2.
5. Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari sebuah himpunan yang beranggotakan n elemen adalah 2.
2. Prinsip Induksi Sederhana
• Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukan bahwa :
1. p(1) benar, dan2. jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat positif n 1.
Basis Induksi dan Langkah Induksi
• Langkah 1 dinamakan Basis Induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan Langkah Induksi.
• Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar.
• Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi.• Bila kedua langkah tsb benar, maka sudah
dibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
• Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut benar bila n diganti dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil.
• Langkah induksi harus memperlihatkan bahwa p(n) p(n+1) benar untuk semua bilangan bulat positif.
Contoh 4.1 :Tunjukkan bahwa untuk n 1, 1+2+3+…+n = n(n+1)/2
melalui induksi matematika
(i) Basis induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1 kita peroleh1 = 1(1+1)/2 = 1(2)/21 = 1
(ii) Langkah induksi :kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar,
1+2+3+…+n+(n+1) = (n+1) [(n+1) +1] /2
1+2+3+…+n+(n+1) = (n+1) [(n+1) +1] /2
1+2+3+…+n+(n+1) = (1+2+3+…+n) + (n+1) = [n(n+1)/2n(n+1)/2] + (n+1)
= [(n(n2 2 +n)/2+n)/2] + (n+1)= [(n(n22 +n)/2 +n)/2] + [(2n+2)/2]
= (n2 + 3n + 2)/2 = (n+1)(n+2)/2
= (n+1) [(n+1)+1] /2
Karena langkah (i) dan (ii) telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n, terbukti bahwa untuk semua n 1, 1, 1+2+3+…+n = n(n+1)/2
sama
Contoh 4.3 :Tunjukkan bahwa untuk n 1, bahwa n3 + 2n adalah kelipatan 3
melalui induksi matematika
(i) Basis induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1,13 + 2(1) = 3 adalah kelipatan 3
(ii) Langkah induksi :kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar,
(n+1)3 + 2(n+1) adalah kelipatan 3
Hal ini dapat kita tunjukkan sbb:
(n+1)3 + 2(n+1) = (n3 + 3n2 + 3n + 1) + (2n + 2) = (n3 + 2n) + (3n2 + 3n + 3) = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1)
kelipatan kelipatan 33
1
111
11
11
111
23
641010 55
34
(x+y)0 = 1(x+y)1 = x + y(x+y)2 = x2 + 2xy + y2
(x+y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x+y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
(x+y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5x y4 + y5
segitiga Pascal
3. Prinsip Induksi yang Dirampatkan.
• Jika ingin membuktikan bahwa pernyataan p(n) benar untuk semua bilangan bulat n0 , prinsip induksi sederhana dapat dirampatkan untuk menunjukkannya, dengan cara sebagai berikut : 1. p (n0) benar, dan2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat n n0
Contoh 4.5 :Untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan induksi matematika bahwa 20+21+22+…+2n = 2n+1-1
Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, 20+21+22+…+2n = 2n+1-1
(i) Basis induksi : p(0) benar, karena untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh :
20 = 1 = 20+1 – 1= 21 – 1=2 – 1= 1
(ii) Langkah induksi : misalkan p(n) benar, yaitu proposisi
122222 1210 nn
Diasumsikan benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu
1222222 111210 nnn
Hal ini kita tunjukkan sbb :
12
12
122
122
212
2222222222
11
2
1
11
11
12101210
n
n
n
nn
nn
nnnn
sama