MATEMATIKA EKONOMIPertemuan 6

Limit, Kontinuitas, Turunan Fungsi dan Penggunaan Turunan dalam Ekonomi

Wahyono

UT Korea Spring 2014

Konsep Limit• Fungsi f(x) akan mempunyai limit A untuk x mendekati a

tanpa x = a, jika untuk bilangan positif kecil e masih terdapat bilangan lain d yang lebih kecil, sehingga bila:0 < |x – a| < d, maka |f(x) – A| < e

• Contoh:Seandainya f(x) = 4x + 3 dan x 0, maka limit dari f(x)?

Nilai-nilai yang mendekati nol adalah 0.1, 0.001, 0.001, dan seterusnya, sehingga:f(1/10) = 3,4 f(1/100) = 3,04 f(1/1000) = 3,004dan seterusnya, atau dalam nilai negatif:f(-1/10) = 2,6 f(-1/100) = 2,96 f(-1/1000) = 2,996sehingga, dapat terlihat bahwa semakin x mendekati 0, maka f(x) semakin dekat dengan 3. Jadi limit dari f(x) = 4x + 3 adalah 3.

Kaidah-Kaidah Limit1. lim k = k

xa

2. lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) = A + Bxa xa xa

3. lim (f(x).g(x)) = [lim f(x)].[lim g(x)] = A . Bxa xa xa

4. lim [f(x)/g(x)] = [lim f(x)] / [lim g(x)] = A / Bxa xa xa

5. lim [f(x)]n = [lim f(x)]n = An

xa xa

6. lim [n√f(x)] = n√lim f(x) = A1/n

xa xa

Kaidah-Kaidah LimitUntuk limit x∞, maka:• Lim 1 = 0

x∞ x

Untuk fungsi pecahan f(x) / g(x), dengan anxn dan pmxm masing-masing adalah suku dalam pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan pangkat x tertinggi berlaku:

• lim f(x) = lim anxn = Lx∞

g(x) x∞

pmxm

Dimana L = 0 apabila n < mL = ∞ apabila n > mL = a/p apabila n = m

Contoh Soal

Kaidah-Kaidah Limit

Untuk limit berbentuk 0/0, dapat diselesaikan dengan pemfaktoran yang pada umumnya berbentuk seperti:

Kontinuitas• Suatu fungsi dikatakan kontinu apabila grafiknya berupa kurva yang tidak patah

• Suatu fungsi f(x) adalah kontinu untuk x = a, jika:• f(a) tertentu• lim f(x) ada dan terhingga

xa

• lim f(x) = f(a)xa

• Apabila salah satu syarat di atas tidak dipenuhi, maka fungsinya tidak kontinu atau disebut juga diskontinu.

Diskontinuitas• Suatu fungsi yang kurvanya patah atau terputus-putus

pada interval tersebut merupakan fungsi yang diskontinu.• Tiga jenis diskontinu:

• Diskontinuitas titik lowong• Diskontinuitas tak terhingga• Diskontinuitas terhingga

Diskontinuitas Titik Lowong• Suatu fungsi f(x) disebut diskontinuitas titiik lowong pada

x = a jika limit f(x) ada tetapi f(a) tidak ada / tidak terdefinisikan.

Contoh:Fungsi f(x) = (2x + 1)(x – 3) / (x – 3) merupakan fungsi

diskontinuitas pada titik x = 3 karena pada titik tersebut f(3) tidak ada / tak terdefinisikan. Untuk titik x yang lain, yaitu selain x = 3, fungsi x kontinu.

Diskontinuitas Tak Terhingga

• Suatu fungsi f(x) adalah diskontinuitas tak terhingga pada x = a jika f(x) menjadi tak terhingga (positif atau negatif) untuk xa.

Contoh:

Fungsi f(x) = 1 / (x – 3)2 diskontinuitas tak terhingga pada x = 3 karena untuk x3 berakibat f(x) ∞ dan f(3) tidak dapat ditentukan. Meskipun demikian untuk semua nilai x selain x = 3, fungsi f(x) kontinu.

Diskontinuitas Terhingga• Suatu fungsi adalah diskontinuitas terhingga pada x = a jika f(x) nilainya mendadak berubah pada saat xa. Di sini f(x) tidak mempunyai limit untuk xa.

Contoh:Fungsi f(x) = 2 / (1 + 21/x) adalah diskontinuitas pada x = 0 karena f(x) tidak dapat ditentukan limitnya dan pada saat x0, nilainya mendadak berubah. Akan tetapi untuk nilai-nilai selain x = 0 fungsi tersebut kontinu.

Turunan Pertama

• Turunan pertama suatu fungsi di suatu titik merupakan curam fungsi di titik tersebut.

• Curam dari suatu garis lurus (diberi simbol m) adalah tangens dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan garis horisontal.

• Curam suatu garis lurus besarnya konstan dan dapat diartikan bahwa tingkat perubahan y karena perubahan x sepanjang garis mempunyai rasio yang konstan.

Turunan pertama

m = tan α = yb – ya = Δy

xb – xa = Δx

Penurunan fungsilim Δy diberi simbol dy yang dibaca turunanΔx0 Δx dx

f(x) = xn turunannya adalahf’(x) = n.xn-1

Apabila f(x) = a, dimana a adalah nilai konstan maka f’(x) = 0

Contoh:f(x) = x2 + 3x + 2f’(x) = 2x + 3

Kaidah-Kaidah Turunan Pertama• Turunan dari suatu konstan adalah sama dengan nol.

• Jika y = k maka y’ = 0 atau dy/dx = 0

• Jika y = xn maka y’ = nx(n-1)

• Jika y = k.f(x) maka y’ = k.f’(x)• Jika y = f(x) + g(x) maka y’ = f’(x) + g’(x)

Kaidah-Kaidah Turunan• Jika y = U . V dimana U = f(x) dan V = g(x) maka: y’ = U.V’ + U’.V

• Jika y = U / V dimana U = f(x) dan V = g(x) maka: y’ = U’.V – U.V’

V2

• Jika y = Un dimana U = f(x) makay’ = nUn-1 – U’

• Jika y = log U dan U = f(x) makay’ = U’ log e

U

Penggunaan Turunan dalam Ekonomi

• Dalam ilmu ekonomi konsep turunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mendapatkan ongkos marjinal, pendapatan marjinal, elastisitas, hasrat menabung marjinal, hasrat mengkonsumsi marjinal, dll.

Perilaku Konsumen• Kepuasan marjinal adalah tambahan kepuasan yang diperoleh konsumen karena ada tambahan konsumsi satu unit barang.

• Kepuasan markinal adalah turunan pertama dari kepuasan total

MU = dTU dQ

• Jika P menunjukkan harga barang, maka konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila dipenuhi syarat P = MU

Perilaku KonsumenContoh:Berapakah jumlah barang yang akan diminta oleh konsumen apabila

harga barang per unit Rp 20,- dan kepuasan total konsumen ditunjukkan oleh fungsiTU = 120Q – 0.25Q2 – 100

Kepuasan total akan diperoleh konsumen bila syarat P = MUMU = turunan dari TUMU = 120 – 0.5QP = MU20 = 120 – 0.5Q0.5Q = 100Q = 200Jadi konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum jika

ia membeli barang sebanyak 200 unit pada harga Rp 20,-/unit

Perilaku Produsen• Fungsi produksi adalah suatu fungsi atau persamaan yang

menunjukkan hubungan antara tingkat output yang dihasilkan dan penggunaan input-input.

• Tambahan output yang dihasilkan karena ada penambahan pemakaian satu unit input disebut dengan produksi marjinal (MP)

MP = dQ dx

• Produksi rata-rata adalah output rata-rata per unit:AP = Q x

• Untuk menghasilkan keuntungan maksimum:MP = Harga input (Px) Harga output (Pq)

• Tingkat penggunaan input harus pada daerah dimana produksi marjinal menurun atau m = MP’ = negatif

Perilaku ProdusenContoh:Suatu perusahaan memproduksi suatu barang dengan input x. Output yang dihasilkan

pada berbagai tingkat penggunaan ditunjukkan dengan fungsi Q = 75 + 5x2 – 1/3 x3. Jika harga input adalah Rp 2.100,-/unit dan harga output per unit Rp 100, berapa unit yang harus diproduksi oleh perusahaan agar keuntungan yang diperoleh maksimum? Berapakah produksi rata-rata?

1. Syarat keuntungan maks MP = Px / Pq

MP = turunan dari fungsi Q = Q’ = 10x – x210x – x2 = 2100 / 10010x – x2 = 21x2 – 10x + 21 = 0(x – 7)(x – 3) x1 = 7 atau x2 = 3Penggunaan input harus pada daerah dimana produksi marjinal menurun sehingga: m = MP’ = 10 – 2xx1 m = -4 (menurun) x2 m = 4 (menaik)Jadi input yang digunakan adalah 7 unit.

2. Q = 75 + 5x2 – 1/3 x3

x = 7 Q = 205 2/3 = 205 unitQ = 205, x = 7 maka AP = Q/x = 205/7 = 29 2/7 = 29 unit