modul matematika

7/16/2019 Modul Matematika

http://slidepdf.com/reader/full/modul-matematika-5634f6cc0a3d7 1/53

smart learning center

HIMPUNAN

1. PengertianHimpunan adalah kumpulan dari objek

atau unsur tetentu yang keanggotaannya diterangkan dengan jelas. Objek atau unsur yang temasukdalam himpunan disebut anggota atau elemenhimpunan tersebut.Contoh :- Himpunan Mahasiswa UI yang namanya diawali

huruf A.- Himpunan bilangan nyata diantara 2 dan 10.

2. Cara menyatakan Himpunan

2.1 Cara tabulasi (pendaftaran) yaitu denganmenuliskan ssemua elemen yang termasuk

dalam himpunan.Contoh :Bila A adalah himpunan semua bilangan

prima yang lebih kecil dari 0, maka dapatdituliskan dengan cara tabulasi :A : {2,3,5,7,11,13}

2.2 Cara Deskripsi (perincian)Yaitu dengan menuliskan sifat dankeanggotaan himpunan tersebut.Contoh :Dengan cara deskripsi, himpunan A padacontoh 2.1 dituliskan :

A = {x/x < 17, x bilangan Prima}.3. Skema Himpunan Bilangan

HIMPUNAN

BILANGAN KOMPLEKS

a. Bilangan Riel : bilangan yang dibentuk oleh bilangan Rasional dan irrasional. Atau bilanganriel adalah bilangan yang dapat dinyatakandalam desimal.Contoh : 0,2, -4, 3/7, 0, 132, dsb

b. Bilangan Imajiner : bilangan yang apabiladikalikan dengan bilangan itu sendirimenghasilkan bilangan negatif.

Contoh : 1 = 1− , 5− c. Bilangan rasional : bilangan yang dapat

dinyatakan sebagai hasil bagi dua buah bilangan bulat, dimana penyebutnya = 0

d. Bilangan Irrasional : tidak dapat dinyatakansebagai hasil bagi dua bilangan bulat, sehinggamerupakan bilangan desimal yang tidak berulang.

Contoh : 2 , 5 , 10 e. Bilangan Bulat : terdiri dari bilangan bulat

positif, nol dan bilangan bulat negatif.B = {....., -2,-1, 0, 1, 2...}

f. Bilangan Cacah : nol + bilangan asliC = {0, 1, 2, 3 }

g. Bilangan asli : bilangan bulat Positif A = { 1, 2, 3, 4, ...}

h. Bilangan Prima: bilangan asli kecuali yang tidakmempunyai faktor selain 1 dan bilangan itusendiri.P = { 2, 3, 5, 7, 11}

4. Himpunan Menurut banyak anggotaa. Anggota (elemen) sebuah hoimpunan :

Jika H = { a, e, l, o, u}Maka : a adalah anggota h dinotasikan :a є H demikian juga pєH nєH (n bukan anggotaH).

b. Bilangan Kardinal : yaitu banyaknya dari suatuhimpunan.Pada himpunan H diatas banyakanggota bilangan kardianalnya adalah 5.Dinotasikan : N(H,= 5)

4.1 Himpunan berhingga yaitu: Himpunan yang

banyak anggotanya dapat dihitung (berhingga).Contoh :M = {2, 4,6,8,} ....n (M) = 4

4.2 Himpunan tak berhingga : yaitu banyakanggotanya tidak dapat dihitung.Contoh: N= { 1,3,5,7}

4.3 Himpunan kosong yaitu himpunan yanganggotanya tidak ada (tidak mempunyaianggota).

- P = { x 12x + 6 = 4, x = bil. Asli }- Himppunan sarjana indonesia yang berumur

11 tahun.

Bil.Imajiner Bil. Riel

Bil. IrrasionalBil. Rasional

Bil. Bulat Bil. Pecahan

Bil. Cacah Bil. Bulat Negatif

Bil. Asli Bil. Nol (0)





- 2 -

4.4 Himpunan Semesta : yaitu himpunan semuaelemen yang terjadi pokok pembicaraan.Umumnya dinotasikan dengan S.

5. Hubungan antara himpunan.Melibatkan dua buah himpunan atau lebih

5.1 Himpunan bagianHimpunan A disebut himpunan bagian darihimpunan B. Jika setiap anggota dari Aadalah juga merupakan anggota dari B.Contoh : jika A { 1, 3, 6, 9}B = {6, 3, 1}Maka : B himpunan bagian dari A,dinotasikan B ⊂ ABanyaknya himpunan bagian yang mungkindari suatu himpunan dengan banyaknyaanggotanya = n adalah :2 n ( dua pangkat n)

5.2 Himpunan KomplemenJika A suatu himpunan dan S himpunanSemesta A ⊂ S : maka himpunan komplemenA adalah himpunan semua unsur S yang bukan merupakan anggota A.Dinotasikan : A', Ac, atau A.Contoh : lihat contoh 5.1Jika A himpunan Semesta maka B' = (9)

5.3 Himpunan EkivalenDua himpunan A dan B dikatakan Ekivalen jika kedua himpunan mempunyai banyakanggota sama. Dinotasikan A˜ BContoh : A = {p, g, r, s,}

B = {1 ,2, 5, n}A˜ B

5.4 Himpunan yang samaDua himpunan A dan B dikatakan sama, jikasemua elemen A adalah juga elemen B, dansebaliknya dinotasikan A = BContoh : A = {a, b, c}

B = {b ,c, a}A = B

5.5 Himpunan Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan lepas/saling asing, jika kedua himpunan tidakmempunyai anggota persekutuan, atau tidakada satupun anggota yang sama, dinotasikan:A/ /BContoh : A = {x I x bilangan genap}

B = {y I y bilangan ganjil }Maka A/ /BCatatan :- Himpunan kosong, θ atau { } adalah

merupakan himpunan bagian dari setiaphimpunan

- Setiap himpunan adalah merupakan himpu-

nan bagian dari dirina sendiri.- Jika A ⊂ B dan juga B ⊂ A , maka A = A- Bedakan antara ∈ dengan ⊂ .

6. Diagram Venn

Digunakan untuk menjelaskan tentang himpunan,yang digambarkan berupa kurva tertutup.Contoh ;Jika himpunan-himpunan berikut digambarkandalam diagram Venn.S = {a, e, l, o, 1, 2, 3}A = {o, a, l, u}B = {a, u, 3}C = {1, 3}Maka akan diperoleh diagramnya :

7. Operasi Himpunan

1. Irisan (intersection) :

Irisan dari dua himpunan A dan B adalahhimpunan yang anggota himpunan A dan BDefinisi :A ∩ B = {x I x ∈A & x ∈B}

2. Gabungan (union) :

Gabungan dari dua himpunan A dan B adalahhimpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B.Definisi :A ∪ B = {x I x ∈A V x ∈B}

3. Pengurangan Himpunan :

Pengurangan (selisih) himpunan A dan B (him punan A kurang himpunan B) adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A ta pi tidak meupakan anggota B.A - B = {x I x ∈A & x ∈B}B - A = {x I x ∉A & x ∈B}

4. Penjumlahan Himpunan :Penjumlahan Himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota Adan B, tetapi bukan anggota keduanya sekaligus.Definisi :A + B = {x I x ∈AV x ∈B, x∉(A∈B)}

A

2e B C

o ai u 3 1

S





- 3 -

5. Perkalian Himpunan- (Produk Cartesius Himpunan)

Perkalian dua himpunan A dan B adalahhimpunan yang anggotana merupakan pasangan berurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B.Definisi :A x B = {(a,b) \ a ∈A b∈B) }Bila operasi-operasi diatas dinyatakan dengan diagram venn, didapat sbb:

B. Sifat-sifat Himpunan

1. Sifat Komutatif

A ∩ B = B ∩ AA ∪ B = B ∪ A

A + B = B + AA - C # B - AA x B # B x A

2. Sifat Asosiatif

A ∩ (B ∩ C) = B ∩ AA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∪ C

3. Sifat Distributif

A ∩ (B ∪ C) = (B ∩ A) ∪ (A ∩ C)

A ∩ (B ∩ C) = (A ∪ B)

(A ∪ C)3. Hukum De Morgan

(A ∩ B)' = A' ∪ B'(A ∪ B)' = A' ∩ B'

9. Rumus-rumus Himpunan

n(A) artinya: bilangan kardinal himp.A maka:1. # n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

# n (A ∪ B) + n(A ∪ B)' = n(S)2. n (A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)-

n (A ∩ B)- n(A ∩ C)- n(B ∩ C ) +

n (A ∩ B ∩ C)

Contoh Soal :01. Hasil penelitian yang dilakukan terhadap 250

orang penduduk suatu desa, menyatakn bahwaada 60 orang pemilik sawah dan 110 orang penggarap sawah. Disampinng itu ada pula 100orang yang bukan pemilik maupun penggarapsawah, maka banyak orang yang pemilik dansekaligus penggarap sawah adalah :(A) 170 (D) 20 (B) 90 (E) 10 (C) 70

SKALU 1979

Penyelesaian :

M = himpunan pemilik sawah, n(M) = 60G = himpunan penggarap sawah, n(G) = 110

n (M ∩ G) = xn(M ∪ G)' = 100

n(S) = 100 + (60-x) + x + (110-x)250 = 270 – xx = 20 (jawab D)

02. Jika himpunan P dan himpunan Q terpotong

sedangkan PC dan QC berturut-turut adalah

komplemen dari P dan Q, maka (P ∩ Q) (P ∩

Qc ) = ..............

(A) PC (D) P(B) QC (E) PC QC

(C) QPenyelesaian :

P ∩ Q = diarsir datar P ∩ QC = diarsir tegak(P ∩ Q) ∪ (P ∩ Qc ) = P

(jawab D)

PP-I 1980

60-x x 110-xS

M G

60-x x 110-x





- 4 -

LOGIKA MATEMATIKA

Pada umumnya logika matematika hanyamembicarakan pernyataan (kalimat deklaratif,

yaitu kalimat yang mengandung arti dan dapatditentukan nilai kebenaran (nilai logikanya). Nilailogika (nilai kebenaran) ada dua, yaitu :- Benar = B- Salah = S

1. Kalimat

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum di-tentukan nilai kebenaran atau salahnya.Sedangkan kalimat tertutup (proposisi/pernyataan)adalah merupakan kalimat yang dapatditentukan nilai benar atau salah.Contoh :

Untuk x elemen bilangan asli,X lebih besar dari 0

2. Disjungsi dan Konjungsi

- Penggabungan dua statement denganmenggunakan operasi union ("ATAU" ='V') disebut disjungsi.

- Penggabungan dua dua statement denganmenggunakan operasi penghubungan("DAN = 'V' = "&") disebut konjungsi.

Perhatian :Tabel kebenaran disjungsi dan konjungsi (dimanaP dan Q adalah dua pernyatan deklaratif)

P Q PVQ P Λ QBBSS

BSBS

BBBS

BSSS

Dari tabel disimpulkan

Kesimpulan 1

Suatu disjungsi bernilai "salah" hanya apabila

kedua statement bernilai salah. Selainnyadisjungsi bernilai benar.

Kesimpulan 2

Suatu konjungsi bernilai "benar" hana apabilakedua statement bernilai benar. Selainnya kon-

jungsi bernilai salah,

3. Implikasi (kondisional)Adalah penggabungan dua buah statementdengan menggunakan perangkai "jika .....,maka....., dan disimbolkan dengan :

"P = = > Q"

Dibaca : "jika P, maka Q"Statement P disebut antesedentStatement Q disebut konsequent.

4. Blimplikasi (bikondisional)

= implikasi dua arah= gabungan konjungsi dari dua buah implikasi.disimbolkan dengan "P <···> Q" atau "Q<···> P". berarti :"(P <···> Q) Λ (Q<···> P) "dibaca :"P bilaman dan hana bilamana Q"Tabel kebenaran implikasi & biimplikasi :

P Q P = >Q Q = > P P < = >QBB

SS

BS

BS

BS

BB

BB

SB

BS

SBKesimpulan 3 :

Suatu implikasi bernilai "salah" hana apabila antesedennya benar dan konsequennya salah. Selainnya implikasi benar.

Kesimpulan 4 :Suatu biimplikasi bernilai "benar" apabila keduakomponennya (maksudnya P dan Q) bernilaisama.dan salah bila kedua komponennya bernilai berlawanan.

5. Beberapa Sifat Operas Logika1. Operasi disjungsi dan konjungsi adalah kom

utatif.P V Q = Q V PP Λ Q = A Λ P

2. Operasi disjungsi dan konjungsi adalah assosiatif.(P V Q) V R = P V (Q V R)(P Λ Q) Λ R = P Λ (Q Λ R)

3. Operasi disjungsi dan konjungsi adalah distri butif.P V (Q R ) = (P V Q) ( (P V R)P Λ (Q R ) = (P Λ Q) ( (P Λ R)

Kalimat Ingkar = Non + negatif Jika suatu statement disimbolkan dengan P,maka kalimat ingkarnya disimbolkan dengan"˜P". Dibaca bukan P = tidak p = non PTabel kebenaran negasi :

P __

P = ˜ P

BS

SB





- 5 -

6. Hubungan Disjungsi, Konjungsi, Implikasidengan ingkaran (Negasi)dengan tabel kebenaran dapat dibuktikan kesamaan-kesamaan logika. (coba sendiri)

Kesimpulan 5 :P ···> Q = P V Q(nilai logikannya sama)

Kesimpulan 6 :Disebut juga Dalil De MorganP V Q + P Λ AP Λ Q + P V Q"Ingkaran (negasi) dari suatu disjungsi, samadengan konjungsi, sama dengan konjungsidari masing-masing ingkaran". Demikian juga sebaliknya.Jadi berarti, ˜ (˜P) = P

7. Konversi, invers, &KontraposisiDari implikasi P = = = > Q, dapat diturutkanTiga buah implikasi, aitu :I. Q = = = > P disebut konversi dari

P = = = > QII. P = = = > Q disebut inversi dariP = = = > QIII. Q = = = > P disebut kontraposisi dari

P = = => QLatihan : Coba buat tabel nilai kebenaran dari

ketiga implikasi di atas

Kesimpulan 7 :(P = = => Q) = (Q = = = > P)"Suatu implikasi mempunyai logika yangsama dengan kontraposisinya".

8. Pernyatan kalimat berkuantor yaitu yang me-ngambil (suatu ukuran) yang berkuantitas.I. Kuantor Universal = A atau VII. Kuantor Eksitensial = E atau menyatakan berapa, sekurang-kurangnnya satu.Ingkaran kalimat berkuantor :Semua ingkarannya : berapa atau tidak semuaBeberapa ingkarannya : tidak ada

Tidak ada negasinya : berapaContoh Soal: 01. Jika P = saya hadir

Q = anda pergiMaka pernyataan yang setara dengan :~ (P ^ Q) adalah :(A) Saya tidak hadir dan anda tidak pergi(B) Saya tidak hadir atau anda pergi(C) Saya tidak hadir atau saya pergi(D) Anda tidak pergi jika saya tidak pergi(E) Saya tidak hadiratau anda tidak pergi

SIPENMARU IPS `87KUNCI E

02. Apabila ˜ adalah lambang dari ingkaran suatu propisisi, maka : ˜ (P V q) =(A) ˜ P Λ ˜ q(B) ˜ p V q(C) q V ˜ p(D) p = = > q(E) q = = > p

SIPENMARU IPS `86KUNCI (A) periksa sendiri

PERSAMAAN KUADRAT

1. Pengertian dan bentuk umumPersamaan kuadrat ialah persamaan dalam xyang berderajat dua. x disebut perubahan(variabel).- Bentuk umum persamaan kuadrat :

ax-2 + bx + c = 0dimana a,b,c adalah konstanta dan a ≠ 0

2. Penyelesaian persamaan kuadrat :

- Penyelesaiaan persamaan kuadrat berartimencari akar-akar persamaan kuadrat(menetukan harga-harga x yang memenuhi persamaan).

- akar-akar persamaan kuadrat biasanya dinyatakan dengan x1 dan x2

- Besaran D = b2 – 4ac disebut dengan istilahdiskriminan(D).

- Cara-cara menyelesaikan persamaan kuadrat,antara lain:

1. Cara memfaktorkanCara ini biasa dilakukan jika diskriminan Dmerupakan kuadrat bilangan rasionalCaranya :

x-2 + bx + c = 0a(x1 - x) (x – x2) = 0x- x1 = 0 ···> x = x1

ataux – x2 = 0 ···> x = x2

2. Dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Yaitu dengan mengubah persamaan kuadratmenjadi bentuk :(x - p) 2 = qx – p = ± qx12 = p ± q

2 Dengan rumus abc

Yaitu jika persamaan kuadrat dengan bentuk

ax-2 + bx + c = 0





- 6 -

maka akar-akar ialah :

x1, 2 =a

acbb

242 −±−

4. Dengan grafikYaitu dengan cara menggambarkan grafik :f : x ···> ax-2 + bx + c,Yang merupakan parabola, absis titik potong parabola dengan sumbu x adalah akar-akar persamaan kuadratax-2 + bx + c = 0

3. Jenis-jenis persamaan kuadrat dan diskriminan.Jenis-jenis persamaan kuadrat ditentukan olehdiskriminan.1. Jika D> 0, maka persamaan kuadrat mem-

punyai akar-akar nyata (riel) dan berlainan(x1 ≠ x2)

2. Jika D = 0, maka akar-akarnya sama besar /kembar (x1 = x2)

3. Jika D < 0, maka akar-akarnya tidak nyata4. Jika D merupakan kuadrat bilangan

rasional, maka akar-akarnya rasionalContoh :Tentukan harga m agar persamaan 2x2 - mx + 2= 0, mempunyai akar-akar kembar Penyelesaian :Syarat akar kembar : D = 0Maka :(-m)2 – 4(2)(2) = 0m2 – 16 = 0(m - 4)(m + 4) = 0

m = 4 atau m = -4

5. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaankuadrat. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar per-samaan kuadrat ax-2 + bx + c = 0, maka :1. Jumlah akar-akarnya :

x1 + x2 = -b/a

2. Hasil kali akar-akarnya :

x1 . x2 = c/a

3. Selisih akar-akarnya :

x1 . x2 = 1/a D

5. Bentuk SimetrisBeberapa bentuk simetris yang menggunakanJumlah dan hasil kali akar-akar :

1. x12 + x2

2 = (x1 + x2 )2 . 2 x1 . x2

2. x13 + x2 3 = (x1 + x2 )3 . 3 x1 . x2

3.1

1 x

+

2

1 x

=21

21

. x x

x x +

Contoh :Dari persamaan x2 + 2x -2 = 0Tentukanlah :

. 1. x12 + x2

2

2. ( x1 - x2 ) 2

Penyelesaian :

x2 + 2x -2 = 0

x1 + x2 = -2 dan x1 . x2 = -21. x1

2 + x2

2 = ( x1 + x2 )2 - 2 x1 . x2

= 4 + 4= 8

2. (x1 - x2 )2 = ( x1 + x2)

2 - 4 x1 . x2

= 4 + 8= 12

6. Keadaan khususKeadaan khusus akar-akar x1 dan x2 dari persam

aan kuadrat ax-2 + bx + c = 0, dengan sifat, sya-rat , perlu dinyatakan.Tabel berikut :

Keadaankedua akar Sifat Syarat

1. berlawanan - x1 = x2 b = 02. berlebihan x1 = 1/x2 c = a

3. positif x1 < 0

x2 < 0

b/a > 0D > 0c/a >0

4. negatif x1 < 0

x2 < 0 b/a > 0D > 0c/a >0

5. satu (+)satu (-)

x1 + x2 -ataux1

- , x2+

c/a < 0D > 0

Contoh :Tentukan nilai k agar akar-akar persamaan x2 + kx+ 1 = 0, keduanya selalu negatipPenyelesaian :x2 + kx + 1 = 0





- 7 -

kedua akar negatif, maka :: b/a > 0 = = > k > 0 (1): c/a > 0 = = > 1 > 0 jelas (2): k2 – 4 > 0 = = > k < -2k >2 (3)Dari 1), 2), 3) diperoleh bahwa agar kedua akar selalu negatif, maka harus nilai k >2.7. Membentuk persamaan kuadrat.

1. Bila diketahui akar-akar x1 dan x2 maka per samaan kuadratnya adalah :(x – x1) (x – x2) = 0

2. Bila diketahui jumlah dan hasil kali akar – akar, maka persamaan kuadratnya adalah :x2- (x1 + x2) x +x1.x2 = 0

Contoh Soal :

01. Bila jumlah kuadrat akar-akar persamaan : x2-(2m + 4)x + 8m = 0, sama dengan 52, makasalah satu nilai m = ……(A) 2 (D) 6(B) 3 (E) 7(C) 4

UMPTN '89

Penyelesaian :

x2 - (2m + 4) x + 8m = 0x1 + x2 = 2m + 4x1 . x2 = 8m

x12 + x2

2 = (x1 + x2)2 - 2x1. x2

52 = (2m + 4)2

- 2 (8m)52 = 4m2 + 16m + 16 - 16m36 = 4m2

m = + 3 (jawab B)

02. Bila x1 dan x2 akar-akar persamaan x2 - 5x +9 = 0, maka persamaan kuadrat baru yangakar-akarnya ( x1

2 + x22 ) dan

(21

1 x

+22

1 x

) adalah :

(A) 81x2 + 7x+ 49 = 0(B) 81x2 - 7x+ 49 = 0(C) 81x2 - 574x+ 49 = 0(D) x2 - 7x+ 7 = 0(E) x2 +574x+ 49 = 0

SIPENMARU '86Penyelesaian :x2 - 5x+ 9 = 0x1 + x2 = 5x1 . x2 = 9x1

2 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1. x2

= 25 - 18 = 7 = a

21

1

x

+22

1

x

=2

21

22

21

).(

)(

x x

x x +=

81

7= p β

a + β = 7 + 7/81 =81

7567 +

=81

574

a + β = 7 (7/18) =8149

Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya a dan β adalah :

x2 -81

574x +

8149

= 0 atau

81x2 -574x + 49 = 0 ( jawab C)

FUNGSI KUADRAT

1. Bentuk Umum

Y = ax-2 + bx + catauf(x) = ax-2 + bx + cdimana a, b,c, konstanta dan a ≠ 0

2.Sketsa grafik fungsi kuadrat pada fungsif(x) = ax-2 + bx + c (a ≠ 0), berlaku1. Grafik dari kuadrat adalah parabola2. Koordinat dari titik puncak parabola

P (

a

b

2

−,

a

D

4−

)

3. Persamaan sumbu simetrisnya adalah :

x =a

b

2−

4. Jika a >0, maka parabola terbuka ke atas, danmempunyai harga minimum

5. Jika a<0, maka parabola terbuka ke bawah,dan mempunyai hargamaksimum

6. Sketsa grafik ditinjau dari harga a dan diskriminan D :

a

D a >0 a<0

D>0x

x

D=0

x

D<0

x





- 8 -

- Defenit positif maksudnya apabila grafik parabola terletak di atas sumbu-x.ini dipenuhi bila :

a >0, D<0

- Defenit negative, maksudnya apabila grafik parabola terletak di bawah sumbu-x.ini dipenuhi bila :

a <0, D>0 Contoh :1. Gambarkan grafik dari :

y = 2x2 - 5x – 3langkah-langkah :- Grafik memotong sb-x, jika y = 0

2x2 - 5x – 3 = 0(2x + 1) (x – 3) = 0x1 = -1/2 ...................(-1/2,0)

x2 = 3 ……………(3,0)- Grafik memotong sb-y, jika x = 0,

= 0- 0- 3 = -3 .............(0,-3)- Koordinat titik puncak :

(a

b

2−

,a

D

4−) = (

45

,82425

−

+)

= ( 441

, 6−81

)

- Sumbu simetris :

x =a

b

2− = 11/4

- Maka grafik dimaksud :

y

-1 0 1 2 3x

-3

-4(1 1/4, -61/6)

3.Garis singgung pada kurva jika diketahui suatufungsi/kurva y = f(x) maka persamaan garissinggung pada kurva tersebut di titik(a,b)ialah :y – b = m (x - a) atauy = m(x-a) + bdimana :m = gradien garis singgungm = f'(x) pada x = a

Contoh :Tentukan persamaan garis singgung kurva :y = x2 - x di titik (2,2)y' = 2x -1 = = => a = y'(2) = 3y - 2 = 3(x - 2)3x - y - 4 = 0

4. Garis dan Parabola(fungsi linier dari fungsi kuadrat)Bila diketahui :Garis g : y = mx + nParabola : y = ax-2 + bx + cMaka antara parabola dan grafik terdapathubungan :ax-2 + bx + c = mx + natau :ax-2 + (b - )x + c – n = 0danD = (b - m)2 – 4ac(c - n)Kemungkinan-kemungkinan :D>0 : garis g memotong parabola di dua titikD=0 : garis g menyinggung parabolaD<0 : garis g memotong dan tidak me

nyinggung parabola

Contoh :Grafik garis y = mx + 8 memotong kurvay = 1/2x2 – 4x + 12 selain di titik puncaknya juga di titik A. Koordinat titik A itu adalah :(A) (6,2) (D) (2,6)(B) (-6,14) (E) (4,4)(C) (-2,10)

SIPENMARU '87

Pembahasan :Puncak Parabola :

= (a

b

2−

,a

D

4−)

= (14

,22416

−

−) = (4,4)

y = mx + 8 melalui titik (4,4) maka :4 = 4m + 8 ···> a = -1Jadi :y = -x + 8, disubtitusi ................

1/2x2 – 4x + 12 = -x + 81/2x2 – 3x + 4 = 0

x2 – 6x + 8 = 0(x - 4) (x - 2) = 0···> x = 4 (sudah)

x = 2 (ya)x = 2 ···> y = -2 +8 = 6

···> A = (2,6)

( Jawab D)





- 9 -

5. Membentuk fungsi kuadratAda tiga cara, yaitu

1. Bila diketahui titik puncak P(x,y) dan parabola melalui (x p,y p), maka tuliskan :

y = a(x - x p)2

+ yp2. Bila diketahui titik potong kurva dengansumbu-x, yaitu (x1, 0) da (x2, 0) sertamelalui satu titik (x0, y0), maka dituliskan :y = a(x - x1) (x - x2)

3. Bila diketahui bahwa parabola melaui tigatitik sembarang, maka substitusi langsung pada bentuk umumnya, sehingga didapat 3 persamaan dengan 3 perubah.Contoh :1. Tentukan parabola yang melaui titik -

titik (-2,0), (3,0) dan (1,-6)

2. Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (2,2) serta melalui -(1,4)

Penyelesaian :

1. Gunakan rumus (2) dan(3)y = a(x + 2) (x - 3)(1,-6) ···> -6 = a(3)(-2)

= -6aa = 1

y = (x + 2) (x - 3)y = x2 - 8x + 10

2. Gunakan rumus (1)y = a(x-2)2 + 2(1,4) ···> 4 = a(-1)2 + 2

= a + 2 ···> a = 2y = 2(x-2)2 + 2y = 2x2 – Bx + 10

6. Pergeseran kurvaFungsi kuadrat dengan bentuk umum :y = ax2 + bx + cJika diadakan pergeseran, akan terbentuk

fungsi kuadrat baru :1. Jika dieser kekiri/kanan sejajar sumbu-xsejauh p satua, maka fungsi kuadrat yang baru adalah :y = a(x + p)2 + b(x + p) + c

2. Jikadigeser ke bawah/ke atas sumbu-ysejauh p satuan, maka fungsi kuadrat yang baru adalah :y + p = ax2 + bx + c

Contoh :Tentukan fungsi kuadrat yang baru, jika fungsi :digeser ke kanan sejajar sumbu- x sejauh 2

satuan

Penyelesaian :Digeser// sumbu-x ke kanan(kearah yang positif)maka harga x dikurangiy = (x - 2)2 + 2(x - 2) +1y = x2 - 4x + 2x – 4 + 1y = x2 - 2x + 1

Contoh Soal :

01. Parabola yang melaui titik-titik (1,11),(0,6)dan(-2,2) dan mempunyai sumbu simetrissejajar dengan summbu y mempunyai puncak :(A) (2,-2) (D) (-2,2)(B) (2,2) (E) (-2,4)(C) (-2,1)

SIPENMARU '87Penyelesaian :

FK = y = ax2

+ bx + c(1,11) ···> 11 = a + b + c(-2,2) ···> 2 = 4a – 2b + c(0,6) ···> 6 = CJadi :a + b = 5 | x 4| 4a + 4b = 204a – 2b = -4 | x 1| 4a - 2b = -4

6b = 24 b = 4

a = 5 – b = 1FK ; y= x2 + 4x = 6

P( 2

4−

, 4

)2416( −−

) = P(-2,2)

Jawab : D02. Grafik fungsi = ax –ax2, a < 0

(1) Terbuka ke atas(2) Memotong sumbu- x di titik (a,0)(3) Mempunyai sumbusimetris x = 1/2(4) Melalui titik(-a,a3)

SIPENMARU '84

Penyelesaian :

y = ax –ax2, a < 0- berarti koefesien x2 > 0···> terbuka ke atas- memotong sumbu-x ···> = 0 ax(1- x)- sumbu simetris :

x =a

a

2−

−= 1/2 x = 0

atau x = 1 (0,0)(1,0)

-x = -a ···> y = -a2 – a3

(Jawab B)





- 10 -

PERTIDAKSAMAAN

1. Pengertian: Pertidaksamaan adalah kalimat terbukadimana ruas kiri dan kanan dihubungkanoleh salah satu tanda dari ; ≠, <, >,< ,dan >

: Suatu bilangan a disebut lebih besar dari b, bila a – b >0 dan a < b, bila a – b < 0

2. Sifat-sifat pertidaksamaan: Jika a > b, maka a + b > b + c: jika a > b, maka a – b > b – c: Jika a + b > c, maka a > c – b: Jika a > b dan p > 0

Maka ap >bp

: jika a > b dan p < 0Maka a/p < b/p: Jika a > b dan p < 0

Maka ap < bp: a > b dan p < 0

Maka a/p < b/p: jika a > b ; a, b < 0Maka a2 < b2

3. Macam-macam pertidaksamaa1. Pertidaksamaan linier dalam variabel x

adalah pertidaksamaan yang salah satu ataukedua ruasnya mengandunnng bentuk linier

dalam x1. Himpunan penyelesaian dari pertidak-samaan : 2x < 8; -x < 4 dan 0< x < 6Penyelesaian :I. 2x < 8 x < 4II. –x < 4 x < -4III. 0 < x < 6

Gambarkan ketiga pertidaksamaan dalamsatu garis bilangan :

-4 2 0 2 4 6 8

Maka himpunan peyelesaian adalahirisan (i), (ii), (iii).0 < x < 4

2. 6 – 2x < x + 3-3x < -3

x > 13. Himpunan penyelesaian dari pertidak-

samaan 3x + 4 < x + 12 < 2x + 10adalah :

Penyelesaian :i. 3x + 4 < x + 12

2x < 8x < 4ii. x + 12 < 2x + 10iii. -x < -2

x > 2gambarkan garis bilangan, maka diperoleh :

0 2 4 6

Himpunan penyelesaian adalah irisan i dan ii :2 < x < 4

2. Pertidaksamaan kuadratSuatu pertidaksaman dimana varibelnya berbentuk kuadratContoh :

1. x2 – x- 6 > 0(x + 2) ( x – 3) > 0x1 = -2 dan x2 = 3

Gambarkan pada garis bilangan, makadiperoleh :

+ + + + - - - - - - - - + + + +

-4 -2 0 2 3 4

x < -2 atau x > 3

2. 4 – x2 > 0x2 – 4 < 0( x + 2) ( x – 2) < 0

+ + + + - - - - - - - - + + + +

-4 -2 0 2 4

-2 < x < 2

3. Pertidaksamaan dibawah akar

x adalah bilangan rielJika x > 0





- 11 -

Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksama-an

32 − x < x – 3

Penyelesaian :I. 2x – 3 > 02x > 3

x > 1 1/2II. ( 32 − x )2 < (x – 3)2

2x – 3 < x2 – 6x - + 9-x2 + 8x – 12 < 0X2 – 8 + 12 > 0( x – 6 ) ( x – 21) > 0

HP adalah irisan I dan II

11 1/2 2 3 4 5 6 7 8

1 1/2 < x < 2 atau x > 6

4. Pertidaksamaan harga mutlak|x| < a ···> -a < x < a|x| > a ···> x < -a atau x > a

Contoh :

|x – 2| > 3 ···> (x -2) > 3···> x > 5···> ( x -2) < -3

X < -1HP merupakan irisanya

-1 5x < -1 atau x > 5Cara II(x -2)2 > 32

x2

– 4x + 4 > 9x2 – 4x – 5 > 0(x + 1) ( x + 5) > 5X < -1 atau x > 5

5. pertidaksamaan pecahanDefinisi : suatu pecahan a/b adalah nilainya,

Jika b≠ 0Sifat : a. Jika a/b > 0 maka ab > 0Contoh :Tentukan harga x yang memenuhi sistem per-tidaksamaan :

4

23

+

− x-1 < 0

Penyelesaian :

423

+

− x-1 < 0

4

23

+

− x

- 4

4

+

+ x

< 0

462

+

−

x

x< 0

+ + + + + - - - - - - - - + + + + + +

-4 3

(2x – 6) (x + 4) < 0, asal x ≠ -4HP : ( -4 < x < 3)

6. Pertidakamaan Pangkat TinggiSifat :

a. Untuk n bilangan ganjil, maka (-1)n = -1 b. Untuk n bilangan genap, maka (1)n = 1

dan 1n = 1akibat :a. Pertidaksamaan :

Pn > 0 ···> P > 0,asal n ganjilPn < 0 ···> P < 0asal n ganjil

b. Pertidaksamaan :Pn > 0 ···> P ≠ 0asal n genap

Pn < 0 tidak ada harga p yang memenuhi, asaln genapContoh :1. (3 - 2)6 (x + 2)5 ( 2x – 5)3 (5x2 – 3x + 1)3 = 0

karena 5x2 – 3x + 1 adalah definitif positif,maka dengan mengingat sifat diatas soal terse-

but akivalen dengan x + 2 > 0 asalkan x ≠ 11/2dan x ≠ 2,5 maka penyelesaian pertidaksamaan :x > -2, x ≠11/2, x ≠2,5

2. (x – 3)(x2- 8x + 12) < 0(x – 3) (x -2) (x – 6) < 0

HP : (x < 2) atau 3 < x< 6)Contoh Soal01. Agar pecahan :

2103

2

2

+−

−+

x

x x

Bernilai positif, maka x anggota himpunan :(A) {x|x < -5, atau x > 2}(B) {x|-5 < x < 2}(C) {x|x > -5}(D) {x|x < 2}(E) {x|-5 < x < 2}





- 12 -

Penyelesaian :

2103

2

2

+−

−+

x

x x

Penyebut : D = 1-8 < 0 tanda hana tergantung pada pembilangJadi :x2 + 3x – 10 > 0(x + 5) (x – 2) > 0

x = 15 x = 2

+ + + + - - - - - - - - + + + +

-5 2HP = { x|x < -5, atau x > 2}

(jawab A)02. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan :

|4 x

+ 6 | > 0,5 adalah :

(A) {x|x < -26}(B) {x|x < -2 2}(C) {x|x > -26}{x|x < -22}(D) {x|x < -26}{x|x > -22}(E) {x|x > -26}

Penyelesaian :

| 4 x + 6 | > 0,5

Artinya : a. x/4 + 6 > 0,5x + 24 > 2

x > -22 b. x/4 + 6 < 0,5

x + 24 < -2x < -26

Jawab : DHP : {x|x < -26 atau x > -22}

GRADIEN DAN PERSAMAAN

GARIS LURUS

Gradien Garis Lurus

Gradien garis lurus adalah merupakankecondongan (koefisien arah) suatu garis dandilambangkan dengan "m". Gradien garis lurusyang melalui titik(x1, y1) dan (x2, y2) adalah :

m = 12

12

x x

y y

−

−

Keadaan garis ditinjau dari gradient :m > 0 garis condong ke kananm < 0 garis condong ke kirim = 0 garis sejajar ke kirim = garis sejajar sumbu-y

Persamaan Garis Lurus

- Persamaan garis lurus melalui titik(a,0) dan (o,b)

y

ba

x+

b

y= 1

a x atau

bx + ay = ab

- Persamaan garis melalui titik(x1, y1) dan (x2, y2)

y

(x2,y2)

(x,y)

x

(x1,y1)

m =1

1

x x

y y

−

−

m = 12

12

x x

y y

−

−

karena m = m, maka

12

1

y y

y y

−

−=

12

1

x x

x x

−

−

- Persamaan garis melalui titik(0,0) dan gradien m :y

y = mx

X

(0,0)





- 13 -

- Persamaan garis melalui titik (0,c) dan gradienm

yy = mx + c

c

x

- Persamaan garis melalui titik (x1,y1) dan gradienm

y – y1 = m(x – x1)

Titik potong dua garis lurus dapat dicari melaluicara :- metode grafik- metode subtitusi- metode eliminasiSudut yang dibentuk antara dua grafik

g1 : y = m1x + c1 g1 : y = m2 + c2

y g1

r g2

x

sudut yang dibentuk oleh gradien g1 dan g2 adalah γ , maka :

ty γ =21

21

.1 mm

mm

+

−

Dimana terdapat hubungan g1// g2 bilam1 = m2 dan g1 ⊥ g2 bila m1. m2 = -1

Gradien garis singgung kurva di titik (x1,y2)Bila y = f(x) maka gradien garis singgung kurvadari titik(x1,y2) adalah :m = dy/dx = f'(x) ........ (x1,y2)

m = f'(x1)

Contoh soal :01. Dari segitiga ABC diketahui bahwa titik A ialah

Perpotongan garis :2x + y - 4 = 0 dengan garisAC : x + 2y – 2 = 0, sedangkan koordinat B danC berturut-turut ialah (0,1) dan (1,3). Persamaangaris tinggi dari titik sudut A adalah :(A) x – y - 2 = 0(B) 2x – y +2 = 0

(C) x – 2y +1 = 0(D) 2x + y +1 = 0(E) x + 2y - 1 = 0

SIPENMARU '84Penyelesaian :Titik potong garis 2x + y = 4danx + 2y = 2 adalah 4x + 2y = 8

x + 2y = 23x = 6

x = 2y = 0

(2,0)Persamaan garis tinggi dari titik sudut A adalahgaris melalui A dan tegak lurus BC

mbc0113

−

−= 2 ma = -1/2

y - 0 = -1/2 (x - 2)y = -1/2x + 2/2 atau x + 2y – 2 = 0Jawab A

02. Persamaan garis singgung kurva yang = 2/x2 di titik yang mempunyai absis 1 adalah :(A) y = -6x

(B) y = 6x - 4(C) 6x + y - 8 = 0(D) 2x – 3y + 4 = 0(E) 2x + 3y – 8 =0

SIPENMARU '87Penyelesaian :y = f(x) = 2/x3 = 2x-3

···>f'(x) = -6x-4 pada absis 1···> a = f'(1) = -6x = ···> y = 2/13 = 2

(1,2)

PGL dengan m = -6 lewat (1,2) adalah :

y – 2 = -6(x - 1)





- 14 -

y = -6x + 6 + 26x + y – 8 = 0

Jawab (C)

PROGRAM LINIER

1. PengertianProgram linier adalah suatu metode untukmemecahkan masalah yang dapat dilukiskandengan model matematika.

Beberapa istilah matematika yang sering di jumpai pada masalah program linier,adalah :- model matematika- konstrain ( syarat, pembatas)- daerah jawab (daerah penyelesaian)- fungsi tujuan ( fungsi/ sasaran )- jawab optimal

2. Model MatematikaModel matematiak ialah suatu hasil penter Jemahan bentuk sehari-hari ke dalam bentukmatematika, yang biasanya terdiri dari pertidaksamaan-pertidaksamaan linier.Contoh : perhatikan latihan soal no. 3 pada akhir babini. Model matematikanya adalah sbb : mis , banyak kain A yang di beli = xm banyak kainB yang dibeli = ym laba maksimum = kmaka :

x + y < 301000x + 2000y < 40.000x > 0y > 0300x + 200y = k maks

Dengan model ini x, yang, dan k dapat ditentukan.

1. Konstrain (pembatas, syarat)Yaitu berupa pertidaksamaan-pertidaksamaan linier, seperti ke lima pertidaksamaan diatas

2. Dan daerah yang dipenuhhi semua pertidaksamaan Konstrain ini,dimana daerah jawab(daerah feasible ,daerah penyelesaian)

3. Fungsi tujuan (fungsi sasaran, fungsi objektif ) , yaitu sebuah fungsi linier dengan 2variabel x dan y yang merupakan tujuandari masalah program linier tersebut.Bentuk umum fungsi tujuan adalah :z = ax + by

dimana x > 0 dan yang > 0 ,serta a, b, konstantaFungsi tujuan z = ax + by umumnya adalahmenentukan nilai optimal

4. Pasangan (x,y) pada daerah jaawab yangmenjadikan fungsi sasaran menjadioptimal disebut titik optimal

5. Sedangkan nilai dari z = ax + by dimana(x,y) adalah titik optimal, disebut jawaboptimal ( jawab maksimum atau jawabminimum)

Contoh :Menetukan daerah jawab & konstrain/modelmatematika :1. Tentukan daerah yang memenuhi system

pertidaksamaan berikut :2x + 5y < 10, 6x + y < 12x > 0 dan y > 0

Penyelesaian :

Terlebih dahulu digambarkan garis dengan per -samaan 2x + 5y = 10, 6x + y < 12, c > 0 dan y > 0Lalu ditentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan dengan cara mencobakan satu titiksembarang di luar garis. Maka

02. Perhatikan grafik sebelah, dan tentukan system pertidaksamaan yang dipenuhi daerah diarsir.

Penyelesaian :Pertama dicari dahulu persamaan konstrain( garis pembatas), yaitu :- Garis yang melalui titik (2,0) & (0,4) ialah :

12

1

y y

y y

−

−=

12

1

x x

x x

−

−= = >

4 y

=22

−

− x

= = = > 4x + 2y = 8Daerah yang diarsir adalah yang memenuhi pertidaksamaan 4x + 2y > 8





- 15 -

- Garis yang melalui titik (4,0) & (0,3) ialah:

030

−

− y=

404

−

− x= = > 3x + 4y = 12

Daerah yang diarsir adalah memenuhi per-tidaksamaan3x + 4y < 12

- Maka sistem pertidaksamaan yang meme-nuhi daerah yang diarsir adalah :2x + y > 4, 3x + 4y < 12

x > 0, y > 0

3. Penggunaan Model Matematika

Kegunaan dari model matematika ini adalahuntuk menyelesaikan persoalan program linier langkah-langkah :

- Terjemahkan persoalan ke dalam metodematematika.- Gambarkan grafik dari model matematika- Tentukan daerah penyelesaian (daerah

jawab)- Tentukan titik vertex (titik optimal)- Biasanya jawab optimal ( jawab

maksimum atau minimum) terdapat padatitik vertex.

Contoh :Suatu pesawat udara mempunyai kapasitas tidaklebih dari 43 penumpang. Untuk kelas utama,

setiap penumpang boleh membawa bagasi 60 kg,sedangkan untuk tiap penumpang kelas ekonomi bagasi dibatasi sampai 20 kg, (penumpang hanyaterbagi atas 2 kelas). Pesawat tersebut hanyadapat membawa bagasi sampai 1440 kg.a. Tuliskan empat pertidaksamaan yang

dipenuhi persoalan tersebut b. Gambarkan pada diagram koordinat

penyelesaiannyac. Bila harga tiket untuk setiap penumpang

kelas utama Rp. 100.000,00 dan kelasekonomi Rp. 50.000,00. Tentukanlah

banyaknnya penumpang pada masing-masingkelas agar diperoleh hasil penjualan tiketmaksimum

d. Dan berapakah hasil penjualan tiket yangmaksimum

Penyelesaian :Misal :Banyak penumpang kelas utama = xBanyak penumpang kelas ekonomi = yMaka :a. Pertidaksamaan (model matematikanya)

ialah: x > 0

y > 0

x + y < 4860x + 20 < 1440

b. Daerah yang memenuhi keempat pertidaksamaan(himpunan penyelesaiannya) adalah daerah yangdiarsir berikut :

c. Fungsi objektifnya :z = 100.000x + 50. 000y

Titik ekstrinz = 100.000x +

50. 000y

(0,0)(24,0)(0,48)(12,36)

02.400.0002.400.0003.000.000

Maka hasil penjualan maksimum dari tiketdidapat bila banyaknya penumpang kelas utama= 12 orang dan kelas ekonomi = 36 orang

d. Banyaknya hasil penjualan maksimum =

Rp. 3.000.000,004. Pengunaan garis selidik pada program linier.Garis selidik bentuk umumnya :

ax + by = kDgunakan untuk menentukan nilai optimal(nilai maksimum atau nilai minimum) darifungsi sasaran z = ax + byCara menggunakan garis selidik ax + by = k- Gambarkanlah grafik ax + by = 0, yaitu garis

lurus yang melalui titik pusat 0 (0,0)- Tarik garis sejajar dengan ax + by = 0 hingga

garis tersebut melalui hanya satu titik padadaerah jawab (feasible) yang tentunya jadititik optimal

- Maka nilai dari ax + by pada titik optimaltersebutlahyang menjadi jawab optimal

Contoh :Andaikan model matematika dari suatu persoalan program linier adalah sbb :

2x + y < 800x + y < 500x > 0y > 0x, y∈C (cacah)

Tentukan nilai maksimum dari 40x + 30y yangmemenuhi pertidaksamaan diatas.





- 16 -

Penyelesaian :Derah yang memenuhi keempat pertidaksamaanadalah daerah yang diarsir berikut :

Titik P ialah perpotongan antara kedua garis :2x + y = 800

x + y = 500x = 300 300 + y = 500

y = 200= = = > P (300,200)

Untuk mencari nilai maksimum dari 40x + 30y =0. kita gambarkan suatu gaaris 40x + 30y = 0 .Kemudian tarik garis sejajar sedemikian sehinggamelalui satu titik pada daerah jawab, dalam halitu yaitu titik P( 300, 200). Garis pada titiktersebut mempunyai persamaan :40x + 30y = 18.000Jadi nilai maksimum dari 40x +30y adalah18.000Contoh Soal :Seorang pedagang buah-bbuahan denngan

menggunakan gerobak, menjual apel dan pisnag.Harga pembelian apel Rp.1000/kg dan pisangRp.400/kg. Modal yang tersedia Rp.250.000.Sedangkan muatan gerobak maksimum 400kg.Jika keuntungan tiap kg apel Rp. 200,- dan tiapkg pisang Rp.100,- maka banyaknya apel dan pisang yang dibeli agar pedagang mendapatkeuntungan yang sebesar-besarnya adalah :

Penyelesaian :Saya andaikan :Banyak apel yang dibeli = x kg dan banyaknya

pisang yang dibeli = y kg. Maka modelmatematika dari persoalan diatas ialah :

x + y < 4001000 x + 400y < 250.000

x > 0y > 0

Ditanya :x = ?y = ?Agar z = 200x + 100y maksimumDaerah penyelesaian dari pertidaksamaan ialah(daerah yang diarsir, sbb :

Titik potong A :10x + 4y = 2500│x 1│ 10 + 4y = 2500

x + y = 400 │x 4│4x + 4y = 16006x = 900

x = 150x = 150 = = > 150 + y= 400y = 250···> A ( 150, 250)

Nilai z = 200x + 100y paling benar terdapat padatitik A. Ini berarti, agar keuntungan yang diperolehmaksimum, maka pedagang harus membeli :

Apel = 150 kgPisang = 250 kg

PERSAMAAN LINGKARAN

Persamaan lingkaran Pusat (0,0) jari-jari R

P{x,y)|x2 + y2 = r 2} adalah HP titik dalam lingkaranP{x,y)|x2 + y2 < r 2} adalah HP titik dalam lingkaranP{x,y)|x2 + y2 > r 2} adalah HP titik diluar lingkaran

Persamaan lingkaran Pusat (a,b) jari-jari

Contoh :Tentukan persamaan lingkaran pusat (3,4) dan me-lalui titik (-3,12)





- 17 -

=

Jawab :

P (3,4) a = 3, b = 4(x-3)2 + (y-4)2 = r 2 Melalui titik (-3,12)

(-3-3)2

+ (12-4)2

= r 2

r 2 = 100r = 100Persamaan Umum lingkaranx2 + y2 + Ax + By + c = 0titik pusat (-1/2 A, -1/2B)2 -cContoh :Tentukan pusat dan jari-jari persamaan lingkaran:3x2 + 3y2 -12x + 18y -36 = 0

Jawab :Persamaan lingkaran menjadi :x2 + y2 - 4x + 6y -12 = 0P(-1/2A, 1/2B) ...... P(2,-3)r 2 = 22 + (-3)2 - (-12) = 25r = 5

Perpotongan Garis Dengan Lingkaran

y = mx + c,x2 + y2 + Ax + By + c = 0D > 0, garis memotong lingkaran pada dua titikD = 0, garis menyinggung lingkaranD < 0, garis di luar lingkaran

Contoh :

Supaya garis y = x + p memotong lingkaran x2

+y2 = 25 pada dua titik, tertentu harga P :Penyelesaian :x2 + y2 = 25

y = x + px2 + (x + p)2 = 25x2 + x2 + 2px + p2 = 252x2 + 2px + p2 - 25 = 0Syarat : D > 04p2 – 4(2) (p2 - 25) > 04p2 -8p2 + 200 >0

-4p2 + 200 > 0

P2

– 50 < 0( p - 5 2 ) (p + 5 2 ) < 0

-5 2 < p < 5 2 Persamaan Garis singgungPusat (0,0) garis singgung dengan gradien m

y = mx + r 12 +m pusat (a,b) garis singgung dengan gradien m

y- b = m(x – a) + r 12 +m Pusat (0,0) melalui titik (x1,y1)x1x + y1y = r Pusat (-1/2A,-1/2B) melalui titik (x1,y1)

x1x + y1y + -1/2A ( x + x1) + 1/2B ( y + y1) + C = 0 persamaan garis singgung pada lingkaran(x – a)2 + (y – b ) 2 = r 2 titik (x1,y1)(x1 – a)(x – c) + (y1 – b ) (y – b) = r 2

Tali Busur Lingkaran

Jika dua lingkaran saling berpotongan maka garismenhubungkan kedua titik lingkran dimanakah tali busur lingkaran

Syarat mencari tali

Busur : dimana L1 = L2 Contoh :1. Tentukan persamaan tali busur lingkaran

x2 = (y – 2)2 = 25 dengan lingkaran( x – 2)2 + y2 = 25

Jawab :L1 = x2 + y2 - 4y + 4 – 25 = 0L2 = x2 + y2 - 4x + 4 – 25 = 0L1 = L2 …………….. y = x

Contoh Soal :

01. Jika lingkaran yang berpusat di (-4,3) danmenyinggung sumbu x dicerminkan pada y = x,maka persamaan lingkaran yang terjadi adalah :(A) x2 + y2 + 6x - 8y + 16 = 0(B) x2 + y2 - 8x - 6y + 16 = 0(C) x2 + y2 - 6x + 8y + 16 = 0(D) x2 + y2 + 8x – 6x + 16 = 0(E) x2 + y2 + 6x + 8y + 16 = 0

SIPENMARU '84

Penyelesaian :Lingkaran pusat (-4,3) menyinggung sumbu-x

berarti jari-jari = 3, dicerminkan pada y = xmenjadi : P (3,-4) r = tetap = 3Persamaan :(x – 3) + (y + 4)2 = 32x2 + y2 - 6x + 8y + 16 = 0

(Jawab C)

02. Empat lingkaran berjari-jari satu satuan saling bersinggungan di sumbu koordinat (lihatgambar). Dilukis lingkaran Mdan menyinggungkeempat lingkaran tadi.Persamaan lingkaran Mialah :





- 18 -

(A) x2 + y2 = 4 (B) x2 + y2 = 8 (C) x2 + y2 = 3 + 2 2 (D) x2 + y2 = 6 + 42 (E) x2 + y2 = 9 + 4 2

SIPENMARU '87

Penyelesaian lingkaran : Pusat 0 (0,0) jari-jari :

r = 1 + 1/2 44 +

= 1 + 2 Maka :x2 + y2 = r 2

x2 + y2 = ( 1 + 2 )2 x2 + y2 + 3 + 2 2

TRIGONOMETRI

1. Fungsi Sinus, Cosinus dan TangensA. Fungsi sinus : y = sin x

B. Fungsi cosinus : y = cos x

C. Fungsi tangens : y = tg x

Dari grafik fungsi diatas dapat dituliskan :* y = sin xPeriode : 2π (360°)Positif pada kuadrat I & II Negatif pada kuadrat III & IV

*y = cos x periode : 2π(360°)

Positif pada kuadrat I & IV Negatif pada kuadrat II & III

*y = tg xPeriode : πPositif pada kuadrat I & III Negatif pada kuadrat II & IVTambahan :Sec x = 1/cos xCossec x = 1/sin xCotg x = 1/tg x2. Nilai Fungsi Sinus, Cosinus & tg untuk sudut-

sudut istimewa dalam hal ini kkita ambil darikuadrat pertama saja :

x Sin x Cos x tg x0º

30º40º60º90º

01/2

1/2 2

1/2 3 1

1

1/2 2

1/2 2 1/20

0

1/3 3 1

31

3. Sinus, Cosinus & tangens untuk sudut- sudut(-aº) ; (90-a º) dan (180-a)º :* Sin (-aº) = -sin aº

Cos (-aº) = cos aºTg (-aº) = -tg aº

* Sin (90-a)º = cos aºCos(90-a)º = sin aºTg (90-a)º = cotg aº

* Sin (180-a)º = sin aºCos (180-a)º = -cos aºTg (180-a)º = -tg aº

4. Rumus- rumus yang berlakuCos (A + B) = cosA. cosB - sinA .sinB





- 19 -

Cos (A - B) = cosA. cosB + sinA .sinBSin (A + B) = sin A. cosB + cosA .sinBSin (A - B) = sin A. cosB - cosA .sinB

Tg (A + B) =

tgA.tgB1

tgBtgA

−

+

Tg (A + B) =tgA.tgB1

tgB-tgA

+

Contoh :a. Jika sin A = 3/5 (sudut lancip), tentukanlah

cosA dan tg A b. Carilah cos 15º, sin75º, tg 105º dengan

menggunakan rumusPenyelesaian :a. Gunakan dalil Phytagoras

PO = 925 − = 4Cos A = 4/5: tgA = 3/4

b. Cos 15 º = cos (45-30)º

= cos 45º cos 30º + sin 45º sin30º= 1/4 ( 6 + 2 )Tg 105º = tg(60 +45)º

=60tg1

60tg

−

°-

°

°

45tg

45tg

=31

13

−

+

= -2 (1 = 3 )

5. Rumus-rumus Sudut Rangkap

Sin 2A = 2 sin A . cos ACos 2A = cos2A – sin2A

= 2cos2A -1= 1- 2 sin2A

Tg 2A =Atg-1

Atg22

6. Rumus-rumus Perkalian2sinA.cosB = sin(A + B) + sin(A - B)2cosA.sinB = sin(A + B) - sin(A - B)2cosA.cosB = cos(A + B) + cos(A - B)-2sinA.sinB = cos(A + B) - cos(A - B)

7. Rumus Penjumlahan dan Selisih

Cos A + cos B = 2cos2

B)(A +. Cos

2

B)(A −

Cos A – cos B = -2sin 2

B)(A +

. sin 2

B)(A −

Sin A + sin B = 2sin2

B)(A +.Cos

2

B)(A −

Sin A – sin B = 2cos2

B)(A +. sin

2

B)(A −

contoh :

a. Jika sin A = 4/5, carilah sin 2A, cos 2A dan tg2A

b. Tentukanlah :sin 75º cos 15º = ......

cos 165º - cos 75º =....... penyelesaian :

a. SinA = 4/5, dengan menggunakan segitiga phytagoras, maka didapat :cos A = 3/5 dan tg A = 4/3sin 2A = 2sin A. Cos A

= 2 (4/5)(3/5)= 24/25

Cos 2A= 2cos2 A – 1= 2(3/5)2 = -7/25

= Atg1

tgA22−

= 2)3/4(1

)23/4(2

−

= -24/4 b. sin 75º cos 15º =

=2

)1575sin()1575sin( °−°+°+°

= 1/2 (sin 90°+ sin 60º)

= 1/2 (1 + 12 3 )

cos 165º - cos 75º =

= 2sin2

)75165( °+°. sin

2

)75(165 °−°

= -2sin 120º.sin 45º= -2 ( 2/3 ) ( 2/2 ) = -1/2 6

8. Menyatakan a cos x + b sin x sebagai k cos (x-p)x positif dan 0° < x < 360a cosx + b sin x = k cos (x-p)= k cos x. Cos p + k sin x . sin p> k cos p = a : k sin p = b





- 20 -

>kcospksinp

= tg p = b/a

k = 22 ba +

9. Persamaan Trigonometria cos x + b sin x = c(a, b dan c adalah konstanta)Karena nilai maksimum fungsi cosinus=1Dan nilai minimum = -1 maka –k < c< kContoh :Carilah harga x yang memenuhi persamaan :a. cos x + sin x = 0

b. 3 cos x + sin x = 1Penyelesaian :a. cos x + sin x = 0

a = 1 b = 1tg p b/a = 1 > p = 45º

> 2 cos (x- 45°) = 0Cos (x- 45°) = 0

x- 45° = 90°x = 270°

> x1 = 90º + 45° = 135°x2 = 270° + 45º = 315º

b. 3 cos x + sin x = 1

k = 3 + 1 = 4 = 2tg p = 1 3 > p = 30º

> 2 cos(x -30) = 1cos(x - 30º) = 1/2

x - 30º = 60°=300°

> x1 = 60° + 300° = 90°x2 = 300° + 30º = 330°

10. Maksimum dan minimum fungsi trigonometriFungsi trigonometri dituliskan :

y = a cos x + b sin xatau

y = p)cos(x ba 22 −+

nilai maksimum = 22 ba +

nilai minimum = - 22 ba + contoh :tentukan niali maksimum dan minimum dari :y = 4 cos x – 3 sin x = ........... jawab :

nilai maksimum = 22 )3(1 −+

= 25 = 5

Nilai minimum = -511. Sketsa Grafik

Contoh :Gambarkan kurva dari :y = cos x + sin xPenyelesaian :Untuk mempermudah menggambarkannya, ma-ka terlebih dahulu dirobah menjadi :

y = 2 cos (x-45º)sehingga diperoleh

12. Koordinat kartesies dan koordinat kutub :

Menurut pengertian sin dan cos, maka :1. sin a° = y/r > y = r sin a°2. cos a° = x/r > x = r cos a°3. x2 + y2 = r 2 jadi :koordinat kartesins P(x,y) dapat jugadinyatakan dengan koordinat kutub(polar) yaitu: P(r,a)sehingga :

P(x,y) = P (r cos a°, r sin a°)= P (r,a°)Contoh :

1. Koordinat kutub titikP (6,30°) tentukan koor-dinat kutub (polar) yaitu:Penyelesaian :P ( 6,30°) > r = 6, a°= 30° x = r cos a° = 6 cos 30°

= 6. 1/2 3 = 3 3 y = r sin a° = 6 sin 30°

= 6. 1/2 = 3





- 21 -

Contoh Soal :1. Jadi 0 < x < π dan x memenuhi persamaan

tg2x- tgx -6 = 0, maka himpunan nilai sin xadalah:

(A) ( 10103 , 552 )

(B) (10

103, -

552

)

(C) (-10

103,

552

)

(D) (1010

,5

52)

(E) (

10

10,

5

52)

SIPENMARU ‘88

Penyelesaian :tg2x- tgx -6 = 0misalkan tg2x = aa2 - a - 6 = 0(a + 2) ( a - 3) = 0

a = -2a = 0

dari tg x = -2

sin x = 2/ 5 = (2/ 5 ) ( 5 / 5 )

=5

52

dari tg x = 3

sin x = 3 10/ = (3 10 ) ( 10 / 10 )

= 10103

02. Dua orang mulai berjalan dari titik A dan pada saat yang sama. Supaya keduanyasampai di C pada saat yang sama makakecepatan berjalan orang yang dari titik aharus :

(A) 1/2 2 kali kecepatan orang yang dariB(B) 2 kali kecepatan orang yang dari B

(C) 2 2 kali kecepatan orang yang dari B

(D) 1/3 3 kali kecepatan orang yang dari B

(E) 3 kali kecepatan orang yang dari BPenyelesaian :Dalil sinus :

o45sin BC

=o30sin

AC

AC =o

o

45sin30sin BC

=22/1

2/1 BC

AC = 1/2 BC 2

tA = A

AC =

A

BC

22

tB =VB

BC

Agar tA = tB

B

BC

A

BC =

22

VA = B BC

B BC

22/12

2

=

⋅

Kecepatan A harus 1/2 2 kali kecepetan B(jawab A)

FUNGSI KOMPOSISI

& FUNGSI INVERS

Pengertian Relasi dan Fungsi

Relasi dari himpuna A ke himpunan B adalah pemasangan anggota A ke anggota himpunan B.Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalahsuatu relasi khusus (relasi fungsional) dimana setiapanggota A dipasangkan tepat satu kali pada anggotahimpunan B.Misalnya : A = (a,b,c) B = (p,q,r)a a. A B b. A B





- 22 -

c. A B d. A B

e. e. A B e. A B

dari hubungan di atas yang merupakan fungsi adalah : b, c, d, f. Sedangkan a dan e merupakan relasi.jika f memetakan suatu elemen xε A ke suatuelemen yε B dikatakan bahwa "y adalah elemendari x oleh f" atau dapat juga dinyatakan : f(x)atau f : x > f(x) = y, himpunan A daerah kawan(kodomain), sedangkan peta di B dimanakandaerah hasil fungsi (renge).

Contoh :Tentukan renge dari f(x) = x2 untuk

-2 < x <2Penyelesaian :Grafik f(x) = x2

Daerah hasil (renge) adalah 0 < x < 4Komposisi FungsiFungsi f : A > B dan g : B > C makafungsi h : A> C hal ini dapat ditentukan olehrumus : h (x) = (g o f) = g (f(x))

Contoh ;

Fungsi f : R > R dan g : R > R Dimana :F(x) = x2 - 3x dan g (x) = x – 1

Tentukan (gof) (x) dan (fog) (x)Penyelesaian :

g(f(x) = g(x2 - 3x)(gof) (x) = g(x2 - 3x)

= x2 - 3x-1(fog) (x) = f (g(x))

= f (x-1)= (x-1)2 - 3 (x-1)= x2 – 5x + 4

(gof) (2) = g (-2) = -2 -1= -3

(fog) (2) = f(1) = -2Dapat disimpulkan :(gof) (x) ≠ (fog) (x)Tidak berlaku hukum komutatif Berlaku hukum assosiatif {go(foh)}(x) = {9gof) oh} (x)Fungsi inversPerhatikan gambar di bawah ini :

f : A> B, tanda panah dari diagram diatas diubaharahnya berlawanan dan disebut relasi dari B ke A.

Misalnya : g :B> A mka dikatakan merupakanfungsi invers dari f, dapat dituliskan f -1 (dibaca f invers), hal iini dapat berlaku jika setiap anggota Bialah peta tepat satu anggota dari A atau A dabn B

berkorespondensi satu-satu.Contoh :

1. f(x) = 2x tentukan f -1(x)y = 2x ..........x = 1/2yf -1 (x) = 1/2x

2. Tentukan fungsi invers dari :

F(x) =32

+

− xdan g(x) = x – 2





- 23 -

Penyelesaian :

f(x) =32

+

− x.. . y(x + 3) = x – 2

yx – x = -2 – 3y

x(y -1) = -3y -2maka :

x =1

23−

−−

x

x

f - -1(x) =1

23−

−−

x

x

y = x -2 .......... x = y + 2g -1(x) = x + 2

3. Dari soal no. 2 tentukan :(gof)-1 (x) dan (f -1 o g -1) (x)

g (f(x)) = g(3

2

+

− x) =

3

2

+

−

x

x-2

=3

622+

−−−

x

x x

=38

+

−−

x

x

y =38

+

−−

x

x

xy + 3y = -x-8x(y +1) = -3y -8

x = 183 +

−−

y

y

maka (gof)-1 (x) =1

83+

−− x

(f -1 o g -1) (x) = f -1 (x + 2)

=1)2(

2)2(3−+

−+−

x

x

=1

83+

−− x

Sifat-sifat fungsi invers :1. (fof -1)(x) = (f -1of) (x)2. (gof)-1 (x) = (f -1 o g -1) (x)

Contoh :

01. Jika f(x) = 1+ x dan g(x) = x +1Maka g [f(x)] adalah :

(A) 2+ x

(B) 11++ x

(C) 1+ x

(D) 11 ++ x

(E) 114

++ x

Penyelesaian :

g [f(x)] = 1+ x + 1

= 114 ++ x

02. Jika f(x) = 3x dan g(x) = 3x, maka3log [gof(x)] = ………..(A) f(x) (D) 3f(x)(B) g(x) (E) 3log x(C) x

UMPTN ‘90Penyelesaian :(gof) = [(gof(x)] = 33x3log [gof(x)] = 3log 33x 3x = f(x)

(Jawab A)

BARISAN DAN DERETDefinisi Barisan :Barisan bilangan : susunan berurut bilangan-bilan-gan yang mempunyai pola dan aturan tertentu.Tiap-tiap bilangan ini disebut dengan suku-suku barisan.A. Barisan Aritmatika

Bentuk Umuma, a + b, a + 2b, a +3b

Dari bentuk umum ini, kita definisikan barisan arit-

matika sbb :* Barisan aritmatika ialah barisan yang mempunyai beda tetap antara setiap suku yang berurutan .

* Bila diambil tiga suku berurutan, maka suku yangditengah sama dengan jumlah suku pertama danketiga dibagi dua.Rumus :

Un = a + (n – 1) b

Dimana : U = suku ke-nan = suku pertama b = beda Un – Un -1

B. Deret AritmatikaYaitu jumlah dari suku-suku barisan aritmatikaBentuk Umum :a + (a + b) + ( a + 2b) + ………Rumus :

Sn = 1/2 n (a + Un)= 1/2 n {2a + (n -1) b}

Dimana Sn = jumlah n suku pertaman = banyaknya suku





- 24 -

Bagi deret aritmatika yang banyak sukunya ganjil,misalny = 2n + 1, maka suku tengah :

Ut = Un + 1= a + nb= 1/2 (a + U2n +1)

danS2n +1 = (2n + 1 ) Ut

C. Barisan GeometriAdalah suatu barisan yang apabila diambil tiga

suku yang berurutan, maka kuadrat suku yangditengah sama dengan hasil kali suku yang pertama dan ketiga.Bentuk Umum :a, ar, ar 2, ar 2

rumus :

Un = a r n - 1

Dimana : Un = suku ke- na = suku awalr = ratio (perbandingan)

D. Deret Geometriadalah jumlah suku-suku dari barisan geometri bentuk umum :

a + ar + ar 2 + …. + ar n – 1 Rumus :

Sn =r 1

)r a(2n

−− =

1r )r a(

1n

−

−

Dimana :Sn = jumlah n suku pertaman = banyaknya sukuuntuk deret geometri dengan banyak suku

ganjil, misalnya = 2n + 1maka :suku tengah = Ut = Un + 1 = ar n dan Ut = U1 . U2n + 1 + U2. U2n

= U3. U2n – 1

E. DeretGeometri tak terhinggaAdalah deret geometri yang mempunyai suku-suku yang terhingga banyaknya. Jika suatugeometri tak terhingga mempunyai perbandingandalam batas-batas.-1 < r < 1 atau | r | < 1, makaLim Sn n > -ada nilainya, dan deret dikatakan konvergen.Deret geometri dengan | r |>1, dikatakan divergen.Untuk deret geometri yang konvergen jumlahseluruh suku-sukunya ialah :

Sn =r 1

a−

( | r | < 1)

Contoh Soal :01. Jumlah n bilangan positif genap yang pertama

adalah 306. Dari bilangan-bilangan genaptersebut, jumlah 5 bilangan terakhir adalah :(A) 180 (D) 150(B) 170 (E) 140(C) 160

UMPTN ‘90

Penyelesaian :Deret : 2 + 4 + 6 +

Sn = 2n

[ 2a + (n – 1) b]

306 =2n

[ 4 + (n – 1) 2]

306 =2n

[ 2 + 2n) = n + n2

n2 + n – 306 = 0( n + 18(n – 17 ) = 0n = -18n = 17Jadi n = 17Jumlah 5 bilangan terakhir,S17 – S12 = 306 – 12/2 [4 + (12- 1 ) 2]

= 306 – 156 = 150Jawab : D

02. Lingkaran L1 yang berjari R adalah lingkaranluar sangkar B1. Lingkaran L2 menyinggung sisi- sisi B1. dan merupakan lingkaran luar bujur sangkar B2. Demikian seterusnya dioperoleh barisan tak terhingga bbujur sangkar- bujur sangkar B1,B2………Jumlah luas semua bujur sangkar tersebutadalah :(A) 2R 2 (D) 5R 2 (B) 3R 2 (E) 6R 2 (C) 4R 2

SIPENMARU ‘86

Penyelesaian :Lihat gambar





- 25 -

Sisi B1 : B12 = R 2 = R 2 – 2RR cos 90°

= 2R 2

R 1 = R2

Luas = 2)2( R = 2R 2 Sisi B2 :

B2 = (1/2 R2 )2 + (1/2 R2 )2 – 0B2 = R Luas = R 2

Deret : 2R 2 + R 2 + ………….

S =r 1

a−

2/11

2 2

−

R= 4R 2

Jawab : C

EKSPONEN

1. Eksponen Bilangan BulatPengertian :Jika a∈R dan n∈B, maka :an = a . a . a ……….a

Dimana :a = bilangan pokok dari pemangkatana = pangkat ( eksponen)Jika a, n ∈B ( bil. Bulat ) maka berlaku :1. am : an = am + n

2. am : n = n

m

aa = am-n

3. (am)n = amn 4. (ab)n = an bn

5. a-n =2n

1

6. aº = 1: 1 ≠ 0

Contoh :

1. 2-3 = 321

=81

= 0,125

2. 4

3

22

− = 23-(-4)

= 23+4

= 27

= 256

II. Eksponen Bilangan Rational= Pangkat tak sebenarnya= maksudnya bilangan dengan pangkat

RUMUS-RUMUS

Selain rumus 1 -6 di atas, maka berlaku juga :

1.

n m

a = a

m/n

> a

1/2

= a

2. an = b < = = > a = n b

Contoh :1. (a5)-3/2 = . a5 -3/2 = a -15/2

=15/2a1

=15a

1

=aa

17

2. (0,0001)-1 04,0

== (10 -4)-1 2)2,0( = 104. (0,2) = 2000

III. PERSAMAAN EKSPONEN

Adalah suatu persamaan dengan variabelnyamerupakan pangkat dari bilangan pokok dari yangtelah diketahui.Bentuk-bentuk persamaan eksponen1. Bentuk af(x) = ag(X)

Berarti : f(x) = g(x)

2. Bentuk af(x)

= bf(x)

; (a

≠ 0)Berarti : f(x) = 03. Bentuk af(x) = bg(x)

Berarti :f(x) . log a = g(x). log b

4. Bentuk f(x)g(x) = f(x)h(x) Berarti ada tiga kemungkinan(x)g(x) = f(x)h(x)

ada tiga kemungkinan yaitu:a. g(x) = h(x) b. f(x) = 1c. f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x)

keduanya harus genap





- 26 -

5. Persamaan eksponen yang diselesaikan/dikem balikan kepada persamaan kuadrat

IV. FUNGSI EKSPONEN

Bentuk umum :

f : x > ax atauy = f(x) = axdimana : a > 0 dan a = 1

ini berarti bahwa nilai fungsi y = axadalah selalu positifuntuk setiap x yang nyata(riel). Dengan kata lain, grafik fungsi yang = axseluruhnya terletak diatas sb x.

Lihat gambar

Contoh Soal

01.Tentukan harga x yang memenuhi persamaan :

32x+2 + 8.33x -1 = 0

Penyelesain :

3

2x+2

+ 8.3

3x

-1 = 0(3x)2. 32 + 83x -1 = 09(3x)2 + 8(3x2) - 1 = 0Misalnya : .............. p = 3x

9p2 + 8p - 1 = 0(9p- 1) + (p+1) = 0

P1 =91

> 3x =91

, x = -2

P2 = -1 > 3x = -1, tidak ada x yang meme -nuhi.Maka penyelesaian : x = -2

02. himpunan penyelesaian dari persamaan :

(2x-5) 22 −− x x = (x-5) 322 ++− x x (A) (-1,2,2 ½, 3)(B) (-1,2,3)(C) (-1,2, 1/2,3)(D) (2,2 1/3,3)(E) (-1,2,31/2)Penyelesaian :- Kemungkinan (1)

x2 - x - 2 = -x2 + 2x + 32x2 - 3x - 5 = 0x = 2 1/2, atau x = -1

- kemungkinan (2) 2x-5 = 1 > x = 3

- Kemungkinan (3) 2x – 5 = -1 > x = 2

Pemeriksaan :Untuk x = 2 > nilai dari x2 - x - 2 = 0(genap) > nilai dari -x2 + 2x + 3 = 3(ganjil)Karena yang satu genap dan yang atau ganjil, berarti x = 2 tidak memenuhi :HP = {-1,2 1/2,3}Jawaban : C

LOGARITMA

1. Pengertian- Menuliskan bilangan ac = b dapat dengan cara

lain, yaitu :a

log b = c- Syarat : a>0, b>0, a # 1a = bilangann pokok (dasar) logaritma b = bilangan yang diambil logaritmanyac = hasil logaritma

2. Sifat-sifat logaritma1. alog xy = alog x + alog y2. alog x/y = alog x . alog y3. alog xn = n alog x

4. alog b = n

bn

n

loglog

5. 10log b = log b,elog b = 1n be = 2,71828

Sifat Khusus1. alog 1 = 02. alog a = 13. alog an = n4. a alog x = x

Contoh Soal :1. Tentukan a, jika 2log a= 4

2. log3 210

1= .............

Penyelesaian :1.2log a = 4 = = = > a = 24

a = 16

2. log3 210

2= log 3/210

1

= log 10 -2/3

= -2/33. Persamaan Logaritma

Bentuk-bentuknyaa. jika alog f(x) = alog P

b. maka f(x) = P





- 27 -

b. Jika alog f(x) = alog g(x)maka f(x) = g(x) > 0

c. Jikaf(x) log g(X) = f(x)log h(x)maka : 1. g(x) = h(x) . 0

2. f(x) . 03. f(x) ≠ 1

d. Persamaan logaritma yang disesuaikan/ dikembalikan kepada persamaan kuadrat

4. Fungsi LogaritmaBentuk Umum :

f : x > alog xatau

y = f(x) = alog x(a > 0, a ≠ 1, x > 0)

Grafik fungsi y = alog x seluruhnya berada disebelah kanan sumbu x (lihat gambar)

Hubungan fungsi Eksponensial dengan fungsiLogaritma bila :y = ax maka berarti : x = alog y

Dengan kata lain,f(x) = ax dan f(x) = alog x adalah dua fungsi yangsaling invers.Contoh :y = 2x dan y = 2log xDengan grafik berikut :

Contoh Soal :

01. Jika x1 dan x2 memenuhi :2(4log x)2 – 6(4log x/2) + 1 = 0Maka x1 + x2 =............(A) 2 (D) 12(B) 4 (E) 20(C) 8

SIPENMARU ‘87

Penyelesaian :2(4log x)2 – 6(4log x/2) + 1 = 02(4log x)2 – 6(4log – 4log2)) + 1 = 02(4log x)2 – 64log x + 4 = 0Misalnya P = 4log x

2p2 – 6p + 4 = 0 p2 – 3p + 2 = 0(p – 1) (p – 2)= 0

P1 = 1 > 4logx = 1, x1 = 4P2 = 2 > 4log x = 2, x2 = 16Maka :

x1 + x2 = 4 + 16 + 2002. Nilai x yang memenuhi persamaan :

x--1log (x2 + 5) = x-1log (4x + 10)adalah :(1) -5 (3) 2(2) -1 (4) 3

SKALU ‘79Penyelesaian :x--1log (x2 + 5) = x-1log (4x + 10)syarat :1. x2 + 5 = 4x + 10

x2 – 4x – 5 =0 = = > x = -1atau x = 5Himpunan penyelesaian adalah irisan ketigasyarat, yaitu x = 5

M A T R I K S

NOTASI MATRIKS

Matriks adalah susunan bilangan yangdiatur menurut baris dan kolom, dimana susunan bilangan itu berbentuk persegi panjang atau bujur sangkar dan diletakkan pada suatu kurung besar.Suatu matriks dilambangkan dengan huruf besa,misalnya:

A =

−

−

827331541

B =

dc ba

Ordo Matriks-matriks SamaJika suatu amtriks terdiri dari a baris dan n

kolom, maka matriks tersebut dikatakan ber ordom x n

amnamamam

naaaa

aaaa

......3212......2322211......131211





- 28 -

Dimana amn adalah elemen matriks pada baris kem kolom ke n

A =

13

42B =

dc

baC =

−−

−

876

153432

Maka matriks A dan B berordo 3 x 3. Hal inidapat dituliskan dalam bentuk :A2 x2 B2x2 C3x3

Matriks SamaDua buah matriks dikatakan sama, jika ordonyasama dan unsur-unsur yang bersesuaian (seletak) juga sama.

A =

dc ba

B =

hgf e

Bila A = BMaka,a = e b = f c = g dan d = hcontoh :Diketahui :

A =

−

+

y

x

x

423124151

B =

−

+

242314153

z

y

Tentukan x, y, z jika A = BPenyelesaian :

−

−+

y

x

x

423124151

=

−

+

242314153

z

y

Maka:x + 1 - 3 …………… x = 2

2x – x = y + 14 – 1 = y + 1 …………y = 2

y = z – 22 = z – 2 ……… z = 4

Matriks TransposTranspos matriks A dinyatakan dengan A' yaitu baris-baris matriks A menjadi kolom-kolommatriks A menjadi baris. Misalnya :

A =

−

−

976523421

maka A1 =

−

−

−

954722611

z

Jika matriks Anxm maka matriks A transpos: A'nxm

Penjumlahan matriksMatriks-matriks yang dapat dijumlahkan

hanya matriks-matriks yang mempunyai ordo yangsama.Contoh :1. Diketahui

A =

−

5432

C =

−

−

2341

B =

−176254311

Tentukan : A + C, A + BPenyelesaian :

A + C

−

4432

+

−−

−

2331

=

2101

A + B ( tidak dapat dijumlahkan ) sebab ordo A,ordo B, ordo A2x2, ordo B3x3

Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks A dengan B dilakukan denganmenjumlahkan A dengan negatif B.A – B = A + (-B)Contoh :

P =

− 4315

dan Q =

− 2143

Tentukan P – Q dan Q – PPenyelesaian :

P – Q =

− 4315

-

− 2143

=

−

−

6432

Q – P =

− 2143

-

− 4315

=

−

−

6432

Maka : P – Q # Q – P

Perkalian matriks dengan Bilangan Riel

Untuk mengalikan matriks A dengan bilangan rielk, maka setiap elemen matriks A dikali dengan k(kA).

Contoh :Diketahui :

A =

4531

B =

−

−

4582

Tentukan 3A – 2B = …….





- 29 -

Penyelesaian :

3

4531

+ (-2)

−

−

4582

121593

+

−

−

810164

=

−

20577

Perkalian MatriksMatriks A dapat dikalikan dengan matriks

B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks BAmxn dan B pxq maka : Amxn x B pxq =Cmxq dimana n = pContoh :1. A2x3 . B3x3 = C2x3

C4x2 . B2x3 = C4x3

2.

dc ba

yx =

++

dycx byax

3. Diketahui :

A =

142321

B =

441321

Tentukan A x BPenyelesaian :

A x B =

142321

441321

=

++++

++++

444412212221261

=

12181619

Matriks satuan I berordo 2 x 2 adalah :

I =

10

01

Sifat-sifat perkalian matriksAI = AA2 = A . AA3 = A.A .A dstA . B ≠ B . AA . B = C maka D(AB) = D. C

(AB)D= C. DA(B + C) = AB + AC(B + C)A = BA – CA

Determinan Matriks

Hanya matriks bujur sangkar yang mempunyaideterminan.

- Determinan matriks ordo 2x2Determinan dari A ditulis det (A) atau IAI

Jika :

A =

dc

bamaka det (A) atau IA)dalah :

A =

dc ba

= ad – bc

Contoh :

A =

5432

B =

−

−

3275

Maka :

|A|=

5432

= 10 – 12 = -2

|B| =

−

−

3275

= -15 - (-14) = -1

Determinan matriks ordo 3x3

Untuk menghitung determinan matriks 3x3 denganaturan SarrusContoh :

1 2 3 maka untuk mendapatkan IAIA = 4 5 6 dipindahkan kolom pertama

5 7 2 dan kedua ke kanan

1 2 3 1 24 5 6 4 5 = 1. 5.2 + 2. 6.5+5 7 2 5 7 3. 4. 7 – 5. 5. 3 -

7. 6. 1 – 2. 4. 2= 10 + 60 + 84 - 75 - 45 - 16 = 21

Invers MatriksJika A dan B adalah matriks bujur sangkar dimanaA . B = B .A = 1, maka B merupakan invers A dan

A merupakan Invers B. Syarat matriks mempunyai bujur invers :I. matriks bujur sangkar II. Determinan tidak sama dengan nol

A =

dc ba

maka invers matriks A :

A -1 = bcad

1−

−

−

ac bd

atau





- 30 -

A -1 =A1

−

−

ac bd

Jika ad – bc = 0 atau det |A| = 0 maka matriks Atidak mempunyai invers. Dikatakan matrikssingular sedangkan det |A| ≠ 0 dikatakan matriksnon singular.Contoh :

A =

2aa43

maka A -1 =89

1−

−

−

3243

=

−

−

3243

Diketahui :

A =

+

2aa

1aa

matriks A singular Tentukan harga aPenyelesaian :

+

2aa1aa

= 0,

2a2 – a(a + 1) = 02a2 = a2 – a= 0a(a- 1) = 0

maka a = 0 dan a = 1

Sifat-sifat invers matriks

A .A-1 = 1A . B = C > B = A -1 . C

A = C . B -1

Contoh :

1223

B =

4321

A

−1235

=

4321

Tentukan matriks A dan B

Penyelesaian :

B =1

1223 −

47

=

−

−

3221

47

=

21

Ax =

−

−

1235

=

4321

=

4321

1

1235 −

−−

−

=

43 21

−

−

52 31

=

+−−

+−−

2098310341

A =

−

−

2911135

Penggunaan matriks untuk menyelesaikan sisitem

persamaan linear Bentuk matrik diubah ke sistem persamaan linear

1.

4312

y

x=

63

Tentukan himpunan penyelesaian:- Persamaan matrik di atas dapat ditulis menja

jadi :2x + y = 3 |x 4| > 8x + 4y = 123x + 4y = 7 |x 1) > 3x + 4y = 7

5x = 5x = 1maka :

2x + y = 32(1) + y = 3

y = 1HP = (1,1)

1. Tentukan HP dari :x + y = 5

2x + 3y = 12

=43

1−

−

−3221

47

Dengan mempergunakan matriks :

3211

y

x=

125

y

x=

3211

-1

125





- 31 -

y

x=

−

−

1113

125

y

x

=

23

HP = (3,2)

Pemakaian matriks untuk transpormasi geometriJika P' ( x' y' ) adalah bayangan titik p (x, y)

hasil transpormasi matriks :

dc ba

maka :

y

x

=

dc

ba

y

x

Pencerminan titik terhadap sumbu x bb:

P (x, y) > P' (x' y')

Diperoleh : x' = xy' = -y

ataux' = 1x + 0yy' = 0x + (-1) y

dalam bentuk matriks dapat dibuat sbb:

y'x' =

−1001

y x

1 0 adalah matriks transpormasiMx = 0 -1 pencerminan terhadap sumbu x

Dengan cara yang sama ditentukan matrikstranspormasi lainnya :

Transformasi MatriksIdentitas

Pencerminan terhadap sb y

Pencerminan terhadap garisy = x

Pencerminan terhadap garisy = x

Pencerminan terhadap garisy = -x

Deletasi terhadap titik (o,k)

1001

− 10 01

0110

1110

−

−

0110

k0

0k

Rotasi sebesar 0 terhadap titik 0Perhatikan gambar dibawah ini :

P (x,y) ................... P'(x',y')

y

x=

−

θ θ

θ θ

coscossincos

y

x

R (0,90º) =

−

0110

R (0,180º)=

−

−

1001

R (0,-90º)=

− 0110

> dan seterusnya

TRANSFORMASI INVERSJika suatu transformasi yang matriksnya

a b memetakan titik p ke P' makaM = c d tranformasinya adalah invers

matriks M (m-1)P' (x',y') ......P(x,y)

y

x=

bcad −

1

−

−

ac

bd

y'x'





- 32 -

Transpormasi tempat kedudukanContoh :1. tentukan bayangan garis 2x – 3y + 4 = 0

oleh transpormasi yang berkaitan dengan

matrik :

23 34

penyelesaian : jika titik (a,b) terletak pada garis 2 - 3y + 4 = 0maka 2a -3b + 4 = 0 ambil (a’, b’) bayangan (a,b)

b'a'

=

2334

ba

b

a= 98

1

−

−

−

4332

b'

a'

Maka :a = -2 + 3b’ b = 3a – 4b’

2 (-2a + 3b’) - 3(3a' – 4b') + 4 = 018b' – 13b + 4 =0........ a' = x dan b' = y18y – 13x + 4 = 02. Tentukan peta dari y - 2x + 1 = 0 oleh

transformasi pencerminan terhadap garis y = x penyelesaian :

y - 2x + 1 = 0 , maka y = 2x + 1

y'x'

=

0110

1-2xx

y'x'

=

x1-2x

x' - 2y' -1 dan y' = x eliminasi x dan persamaandiatas maka diperoleh :x' - 2y' +1 = 0, jadi petana adalah :x - 2y +1 = 0

Contoh Soal :

01. Invers matriks

29 37 adalah

(A)

−

12135 (D)

− 73/2231

(B)

−

−

5,325,11

(E)

−− 7934

(C)

−

−

5,223,21

SIPENMARU ’84 Kode 31 No. 14

A =

2437

A -1 =

1214

1

−

−

−

74

32=

−

−

5,32

5,11

Jawab : B02. Peta dari (3,4) oleh transformasi rotasi dengan

pusat (0,0) sebesar -90° adalah :(A) (-3,-3) (D) (4,3)(B) (4,-3) (E) (-3,-4)(C) (-4,-3)

SKALU ’78 No. 4Jawab : C

STATISTIKAPenyajian data dalam bentuk diagram :1. Diagram batang (histogram)2. Diagram garis (poligon)3. AC Diagram lambang (piktogram)4. Diagram lingkaran5. Diagram distribusifrekuensi kumulatif (ogive)

Contoh : Nilai kuiz matematika siswa dalam bulan Januariadalah sebagai berikut :

Minggu I II III IV

Nilai 30 20 15 40

Diagram batang dan garis disajikan sbb:

Diagram Lambang (piktogram)Data penghasilan PT. Takasima sebagai berikut:

Tahun lambang Jumlah198219831984

1985

$ $ $ $ $$ $ $ $$ $ $

$ $ $ $ $ $ $ $

500040003000

8000





- 33 -

Catatan : $ mewakili 1000 Dollar Diagram LingkaranData Penjualan 5 jenis bahan bangunan dalamsatu tahun pada suatu toko sebagai berikut :

JENIS JUMLAH

ABCDE

2520301015

Besar sudut pusat dapat ditentukan sbb :Sudut Pusat A = 25/100 x 360° = 90° Sudut pusat B = 20/100 x 360° = 72° Sudut pusat C = 30/100 x 360° = 108°

Sudut pusat D = 10/100 x 360° = 36° Sudut pusat E = 15/100 x 360° = 54° Diagram Lingkaran sebagai berikut :

UKURAN PEMUSATAN

Untuk data yang sederhana:x1, x2, x3, x4 ..............................xn

maka :rrata-rata hitung (mean) (x) adalah :

x = nn

x1∑ = jumlah data

Modus (Mo) = Data yang paling munculMedian (Me) = Data tengah yang telah diurutkan

menurut ukurannya

Data dari nilai rata-rata hitung yang berlainan

Bentuk data : 1 x , 2 x , 3 x , 4 x ....... n x Maka : Nilai rata-ratanya (mean) :

x =∑

∑i

ii

n

xn

Data yang mempunyai bobot (kredit)

Bentuk umum :x1, x2,x3,x4 .............xn

bobot kredit :k1, k2, k3,k4 .......kn

Maka mean :

x =∑

∑i

ii

k

nk

Jangkauan = data terbesar data terkecil= xn- x1

Contoh :1. Tentukan Me, Mo dan k dari data :

2, 3, 1, 7, 6, 3, 4, 5, 3, 7, 6

Penyelesaian :Urutan data sebagai berikut :1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, ,5, 6,6, 7, 7

Maka : Me =2

43 + = 3,5

Data yang paling tengah adalah 3 dan 4Mo = 3 (yang paling sering muncul)

x =12

776654333211 +++++++++++= 4

2. Nilai semester pelajaran Halimah : Fisika,Matematika, Biologi, Kimia, berturut-turut adalah7, 8, 6, 9. Jika kreditnya berturut-turut : 3, 4, 2, 1maka nilai rata-rata Halimah:

Penyelesaian:X =

∑∑

i

ii

k

xk

=1243

)1.9()2.6()4.8()3.7(

+++

+++

=9

9123221 +++= 7,4

3. Suatu data mempunyai nilairata-rata = 7Ditambahkan dengan nilai data-data 8, nilai rata-ratanya menjadi 7,2 ditambah dengan data : 8,7,

9, 8, 7. Maka nilai rata-rata ................Penyelesaian :

1 x = 7

2 x = 8, n2 = 1

Maka : 7,2 =11n

817.n

+

+

7,2 (n1 + 1)= 7n1 + 80,2n1 = 0,8

n1 = 4

X =

741

)7896978(8.14.7

++

++++++++





- 34 -

X =12

54828 ++= 7,5

KUARTIL

Suatu harga yang membagi data atas 4 bagianyang sama,sehingga terdapat 3 kuartil. Dicaridengan rumus :

01 = data ke4

1)1(n +

02 = data ke4

1)2(n +

03 = data ke4

1)3(n +

Dimana : n = banyak data= ∑ f

Catatan :θ1 = kuartil bawahθ2 = kuartil tengah

= medianθ3 = kuartil atas jangkauan kuartil (RAK) = θ3 –θ1Simpangan kuartil = 1/2(θ3 – θ1)Contoh :Tentukan kuartil, RAK dan simpangan kuartildari data: 1,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7Penyelasaian :

n = 12θ1 = data ke

4

212 +

= data ke 3 1/4(antara data ke 3 dan 4)

θ1 =2

23 +

= 2,5θ2 = terletak pada data ke

2

76 += 6,5

θ2 = 2

43 += 3,5

θ3 = terletak pada daata ke

2

109 += 9,5

θ3 =2

66 += 6

RAK = θ3 - θ1 = 9,5 - 2,5θd = 1/2 RAK = 1/2 .3,5 = 1,75

Pembagian secara langsung

1 1 2 3 3 3 4 5 6 6 7 7θ1 θ2 θ3

Data yang berfrekuensiBentuk data sebagai berikut :

Data : x1 x2 x3 x4

Frek : f 1 f 2 f 3 f n

Maka rata-rata :

x =∑

∑

1f if ix

Contoh :Data nilai dari sekelompok siswa/i adalah sebagai

berikut :

Nilai 4 5 6 7 8 9

Frek : 6 5 20 10 5 4

Dari data diatas tentukan : rata-rata median, modus,kuartil dan simpangan kuartil :

Penyelesaian :

Me = 10452056

)10(7)4(9)5(8)20(6)5(5)6(4

+++++

+++++

= 6,3

Modus yang mempunyai frekuensi terbesar :Mo = 6

Me = Q2 = data ke4

1)2(n +

n = ∑ f = 50Q2 = data ke 25,5Sehingga : Me = Q2 = 6Q1 = data ke 12,73 (data ke 13)Q1 = 6

Q3 data ke 38,25 (dibulatkan 38)Maka: Q3 = 7

Qd =2

67 −= 0,5

Distribusi frekuensiData menttah adalah data yang belum diolah untukitu susunan dari data tesebut dibuat berurut. Bila jumlah data yang akan diolah banyak, maka pengolahan data tersebut didistribusikan kedalam beberapa kelas.Menyusun data berdistribusi frekuensi





- 35 -

Perhatikan nilai dari 80 siswa ini sbb :79 49 38 74 81 98 87 8080 84 90 70 91 93 72 7870 71 92 38 56 81 74 7568 72 85 51 65 93 83 8690 35 83 73 74 43 86 6892 93 76 71 90 72 67 7580 91 61 72 97 91 88 8170 74 99 95 80 59 71 7763 60 83 82 60 67 89 6376 63 66 70 66 88 79 75Dari data diatas, maka :Jangkauan = data terbesar - data terkecil

= 99 – 35= 64

Banyak kelas interval :Biasanya banyak kelas ini diambil 5s/d 15. Caralain dapat digunakan aturan Sturges, yaitu :Banyak kelas = 1 + 3,3 log n

= 1 + 3,3 log 80= 7 (pendekatan)

Panjang kelas interval (p) :

P =kelas banyak

jangkauan

=7

64

= 10 (pendekatan)Ambil ujung bawah interval pertama 31, makadiperoleh tabel sbb :

Nilai Ujian Tabulasi Frek31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091 - 100

23514242012

Contoh :Berat dari sekelompok siswa/i dapat disusun sbb :

Berat (kg) Jumlah

40 – 4445 – 4950 – 5455 – 5960 - 64

41016128

Data diatas terdiri dari 5 interval kelas.Interval kelas I ............ 40 – 44Interval kelas II ............45 – 49

dan dst

Batas bawah kelas I ............. 40Batas atas .............44Batas bawah kelas II ........... 45Batas atas 49

dstKelas sesungguhnya : batas bawah dikurung 0,5 dan batas atas ditambah0,5untuk :Kelas I .............39,5 – 44,5Kelas II ............ 44,5 – 49,5

Dst

Panjang atau lebar Interval kelas :Perbedaan batas atas dengan batas bawahsesungguhnya :Untuk contoh diatas :Panjang kelas (p) adalah :Kelas I .......44,5 – 39, 5 = 5Kelas II .....44,5 – 49,5 = 5

dst jadi P setiap kelas sama yaitu = 5

Titik tengah (x1)Batas bawah ditambah batas atas dibagidua, daaaridata diatas :

Kelas I x1 =

2

4440 −= 42 dst

NILAI RATA-RATA

x =∑

∑

1f i

dif

Dengan menggunakan rata-rata sementara :

x = M +∑

∑

1f

idif

x = M + p∑

∑

1f i

dif

Catatan : M = rata-rata sementaraxi = titik dengan dataf i = jumlah data (n)di = simpangan sementara

di = xi – M

di =

p

id





- 36 -

Maka data diatas dapat disusun kembali menjadi :kelassesungguhnya f i xi di di 39,5 - 44,54 4 42 -10 -244,5 - 49,3 10 47 -5 -149,5 - 54,5 16 52 0 054,5 - 59,5 17 57 5 159,5 - 64,5 8 62 10 2

∑ f i = 50

M =2

54549.5 += 52

Dari data di atas di dapat : ∑ f ixi = 2650 ∑ f i = 50 ∑ f idi = 50 ∑ f iUi = 10

Maka :

x =50

2650= 53

x = 52 +50

5053

atau :

x = 52 + 5 +50

1053

modus :

Mo = Bo + p21

1S S

S

+

Median :

Mo = Bo + p Me

f

F n )( .2/1

Kuartil :

Q1 = Bo + p1

).2/1(

Q f

F n

Dimana :Bo = batas bawah kelas (Mo,Me,θ1)F = Jumlah frekuensi sebelum kelas (Me,θ1)S1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi,

kelas terdekat sebelumnyaS2 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi,

Kelas terdekat sesudahnyaf me = frekuensi kelas medianf Q1 = Frekuensi kelas kuartil p = Panjang interval kelasn = banyak data ∑ f iDari data diatas dapat ditentukan Modus :Kelas Modus = 49,5 - 54,5Maka : Bo = 49,5

S1 = 16-10 = 6S2 = 16-10 = 4

p = 5

Mo = 49,5 + 546

6

+

= 52,5

- MedianKelas median = 49,5- 54,5maka : Bo = 49,5

F = 4 + 10 = 14FMe = 16n = 50 p = 5

Me = 49,5 +16

)14)50(2/1( −= 5

= 52,9375Contoh soal :

01. Tabel di bawah ini adalah tinggi dari 50 orangmuridTinggi (cm) Jumlah murid140 - 148149 - 157158 - 166167 - 175

5201510

Tabel di atas mempunyai modus sama dengan :(A) 155 (D) 153,2(B) 155,25 (E) 156,75(C) 155,50

Bank Soal BimafikaPenyelesaian ;Modus pada kelas interval ke-1Mo = 148,5 + (157,5 - 148)

)1520(15

)520(

−+

−

= 148,5 + 9 .)20(

)15(

= 155,25

02. dalam suatu yang siswanya 80 orang diadakan -

ujian. Dari hasil ujian tersebut diperoleh hasildalam bentuk distribusi frekuensi sbb:

Nilai Frekuensi

31 - 4041 - 5051 - 6061 - 7071 - 8081 - 90

91 - 100

12515252012





- 37 -

Maka dari data di atas, pernnyataaan yang benar dibawah ini adalah :(1) Panjang kelas = 10(2) Nilai rata-rata = 76,625(3) Mmodus =77,17(4) Kuartil bawah = 55,5

Bank Soal Bimafika

Penyelesaian :P = 40,5 - 30,5 = 10(1) Sudah dida[pat(2) Sudah sendiri(3) Berusaha dikit lha dik ….

Q1 = data ke4

1)1(n += data ke

4

)180(1 +

= data ke 20,25

Berarti pada kelas ke = 4Q1 = 60,5 + 10

15

)125(80.4/1 ++

= 60,5 + 1012

12= 68,5

JAWAB : A

HITUNGAN DIFFERENSIAL

01. Laju perubahan: ide limit

Andaikan suatu fungsi dirumuskan oleh :Y = f(x) , dengan x = variabel bebas danY = variabel tak bebas (lihat gbr diatas)

∆ X = perubahan pada x∆ Y = perubahan pada yang (fungsi)Maka dalam hal ini :

Laju perubahan =∆X

∆y

= x f x x

∆

−∆+ )]()[(

dan :

limit0→L

∆X∆y

= limit x

x f x x f

∆

−∆+ )()(

= disebut turunan pertama dari fungsi y = f(x)* Turunan pertama dari fungsi y = f(x) diberi

simbol dengan :

dx

dy= y = f(x)

dx

df(x)

* Turunan ke- 2 dari fungsi Y = f(x)

xdyd

2

2

= y" =2

2

dxf(x)d

= f"(x)

02. Laju perubahan fungsi f(x) pada x = aturunan f pada x = aYang dimaksud dengan laju perubahan nilaifungsi y =f(x) pada x = a atau turunan f padax = a adalah nilai dari dy/dx untuk x = a

03. Fungsi turunan dari f Fungsi turunan dari f adalah suatu fungsi yang

didapat dari penurunan f. Untuk melakukan penurunan suatu fungsi y = f(x) berlaku rumusrumus berikut sbb :

A. Turunan fungsi Aljabar :i Bila y = C ; ( c = konstanta)

Maka : y = 0ii Bila y = axn, (a.n = konstanta)

Maka : y'anxiii Bila : y = ex (e = bilangan natural >)

Maka : y' = ex iv Bila ; y = ax, ( a = konstanta)

Maka : y' = ax. l nav Bila : y = l nx

Maka : y' = 1/x

B. Turunan fungsi Trigonometri :i Bila y = sin x, Maka

y = cos xii. Bila y = cos x, Maka

y = -sin xiii Bila y = sinn x, Maka

y = n sinn-1 x. Cos xiv Bila y = cosn x, Maka

y = -n. cos n-1x sin x

C. Sifat dan Rumus Khusus( Udan V merupakan fungsi )1 y = U ± V = = = > y' = U' ± V2 y = U . V = = = > y' = U' .V ± U.V'

3 y =VU

= = = > y' =2V

)'U.V.V'(U −

4 y = f(u) ; u = U(x); maka

y' =dxdy

=dudy

dxdu





- 38 -

Contoh Soal :01. Tentukan turunan pertama dari fungsi ;

y = (4x2 – 3x + 2) jawab :Dengan menggunakan rumus (1.2 dan iii 4)mis : U = 4x2 – 3x + 2 > U' = 8x -3y = U3 > dy/du = 3U2

jadi :

dxdy

=dudy

dxdu

y' = 3 (4x2 – 3x + 2)2 (8x – 3)

02. Turunan pertama dari fungsi : f(x) =x3 – cosx, ialah ........

04. Tafsiran Geometris Untuk Turunanandaikan titik (x1,y2) terletak pada grafik

fungsi y = f(x). Garis adalah garis yangmenyinggung grafik fungsi tersebut di titik(x, y) maka persamaan garis 1 adalah :

y – y1 = a(x- x1)Dimana :m = Gradien garis singgung

= f '(x)Contoh Soal :04. Persaman garis singgung kurva :

f = x2 + 4x – 2 di titik (2,10) ialah :Penyelesaian :

Gradien = m = f '(x)= 2x + 4, pada x = 2= 4 + 4= 8

Sehingga :y - 10 = 8(x - 2)y - 10 = 8x - 16

8x- y - 6 = 005. Aplikasi Fungsi Turunan Dalam Fisika

Jika suatu benda bergerak, maka persamaandari lintasannnya adalah merupakan fungsidari waktu.

Atau ; S = f (t)Dimana : S = lintasan, dant = waktu

maka diperoleh rumus :

• kecepatan ;V(t) =dtdS

• percepatan ; a(t) =dtdV

=2

2

dtSd

Contoh :05. Sebuah benda bergerak dengan persamaan

lintasan y = 3 sin 30t. y dalam cm dan t dalamdetk. Maka setelah bergerakselama 2 detik, besarnya kecepatan benda ........(A) 45 cm/det (D) 2 3 cm/det(B) 30 cm/det (E) 3 cm/det(C) 3 2 cm/detPenyelesaian :V (t) = 3.30 . cos 30tV (2) = 3.30 . cos 30(2)

= 45 cm/detJawab : A

06. Fungsi Naik dan Fungsi Turun* y = f(x) dikatakan fungsi naik, jika untuk

setiap f(x1) < f(x2), maka f(x1) < f(x2)

Atau :Jika x1 dan x2 dalam interval, maka :f'(x) > 0

* y = f(x) dikatakan fungsi turun, jika untuksetiap f(x) > f(x2)Atau :Jika x1dan x2 dalam interval, maka :f '(x) < 0

Contoh:06. Tentukan harga x yang memenuhi agar fungsi y

= x3 + 3x2 – 9x + 5 merupakan fungsi turun.

Penyelesaian :y = 3x2 + 6x – 9fungsi turun, jika y < 03 (x2 + 2x -3) > 03(x - 1) (x + 3)< 0Maka :-3 < x < 1

07. Nilai Stasioner :Ialah nilai suatu fungsi pada titik stasioner.Titik stasioner ada 3 yaitu :- titik maksimum- titik minimum- titik belok- Titik maksimum dan titik minimum biasa

disebut ekstrim- Titik maksimum :

Suatu fungsi y = f(x) akan mencapai nilaimaksimum, bila f'(x) = 0 & f'' (x) < 0

- Titik minimumSuatu fungsi y = f(x) akan mencapai nilaiminimum, bila f'(x) = 0 & f'' (x) > 0

- Titik belokSuatu fungsi y = f(x) dikatakan memb f'' (x) =0, dan tanda interval dalam garis bilangan

dikiri kana berlawanan.





- 39 -

Contoh soal :

07. Nilai maksimum dari fungsi :f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 5sama dengan :

(A) -3 (D) 23(B) 1 (E) 32(C) 0

Penyelesaian :Syarat nilai maksimum :f'(x) = Cf''(x) < 0f'(x) = 3x2 + 6x – 9 = 0

x2 + 2x – 3 = 0(x – 3)(x – 1) = 0

f'(x) = 6x + 6x = 1 = = = > f'(1) = 12 > 0 (min)x = -3 = = = > f"(-3) = -12 < 0 (maks)maka nilai maksimum = f(-3)= 9-3)3 + 3(-3(2 – 9(-3) + 5= -27 + 27 + 27 + 5= 32

JAWAB : E

08. Menggambarkan Kurva :

Untuk menggambarkan kurva y = f (x) perha

Tikan langkah-langkah sbb :

1 Tentukan titik potong kurva dengan sb x.(syarat y = 0)

2 Tentukan titik potong kurva dengan sb y.

(syarat x = 0)

3 Tentukan titik-titik stasioner kurva

4 Perhatikan interval naik turun kurva

Contoh :

08. nilai maksimum fungsif (x) = 2log (x + 5) 2log (3 – x)adalah :(A) 4 (D) 15(B) 8 (E) 16(C) 12

UMPTN ’90 Kode 51 No. 80

Penyelesaian :f (x) = 2log (x + 5) 2log (3 – x)

= 2log (x + 5) (3 – x)

=

2

log (15 -2x –x

2

)

Agar f(x) maksimum maka :15 -2x –x2 haus maksimumAnggap :15 -2x –x2 = g(x)g'(x) = -2 – 2x = = > (x = -1)maksimum = 15 – 2(-1) – (-1)2

g(-1) = 16f(x) maksimum = 2log 16

= 4Jawab : A

09. Ordinat salah satu titik pada grafik

J =3

3 x-

2

2 x- x + 1

Mempunyai gradient 1 adalah :(A) 2 2/3 (D) 1 1/6(B) 2 1/3 (E) 5/6

(C) 2 1/6 UMPTN ’89 kode 11 No. 62Penyelesaian :

y = f(x) =3

3 x-

2

2 x- x + 1

f'(x) = x2 - x – 1gradien ; a f'(x) = 1

= x2 - x – 12x2 - x – 2 = 0(x – 2) (x + 1) = 0x = 2 , x = -1

x = 2 > y = 38

- 2 – 2 + 1

=31

x = -1> y =31

+21

+ 1 + 1

= 261

JAWAB : C

HITUNG INTEGRAL

1. Integral Anti Diferensial

Mengintegralkan berarti mencari suatu fungsisemula yang turunannyadiketahui :

Notasi Integral tak tentuJika suatu fungsi F(x) mempunyai turunan pertama f(x), maka :

∫ += CF(x)f(x)dx





- 40 -

f(x) = integralF(x) = fungsi awal atau fungsi primitiveC = konstanta integrasi

2. Sifat Integral :

1 ∫ += Cf(x)f(x)d

2 ∫ ∫= dxf(x).f(x)k. k

3 ∫ ∫ ∫+=+ g(x)dxf(x)dxg(x)}dx[F(x)

3. Rumus-rumus Pokok Integral

1 Cx1n

1dxx 1nn +

+= +

∫

= = = > n ≠ -1

2

∫+= C pxf(x) p

3 ∫ += C1ndx1/x

4 ∫ += Cexdxex

5 ∫ +−= Cxcosdxsin x

6 ∫ += Csin xdxcosx

Contoh :01. Tentukanlah :

dx)x

1

2xx(32

∫ ++ Penyelesaian :

dx)x1

2x(3x 2∫ ++ =

∫∫ ∫ =++ dx1/xdx2xdx3x 2

x3 + x2 + In x + C

02. Tentukanlah persamaan fungsi :

y = f(x) bila f'(x) = 3 – 4x dan f(3) = -3 penyelesaian :

f(x) = ∫∫ −= dx4x)(3dx(x)f '

f(x) = 3x – 2x2 + Cf(3) = 3 . 3 - 2(3)2 + C = = > 6makaf(x) = 3x – 2x2 + 6

4. Beberapa penggunaan Intergral a. Pada Kurva :

Yaitu merupakan kebalikan dari penggu -naan diferensial (lihat tafsiran Geometrisuntuk turunan).Jadi bila gradien suatu kur -va dititik P(x,y) diketahui maka,persamaan

kurva tersebut dapat ditentukan :

Contoh :03. Diketahui gradien garis singgung pada tiap titik

(x,y)sebuah kurva ditentukan oleh : m = 3x (4 -x) dan kurva melalui titik(-1,11) Maka diantaratitik berikut, yang tidak dilalui kurva ialah :(A) (0,4) (D) (5,29)(B) (2,24) (E) (1,9)(C) (-2,36)

Penyelesaian :

m =dydx

= 3x (4 - x) = 12x – 3x2

Diperoleh :Y = f(x) = 6x2 – x3 + C(-1,11) > 6(-1)2 – ( -a)3 + C = 11

6 + 1 + C = 11C = 4

Sehingga :F(x) = 4 + 6x2 – x3 Substitusi tiap titik

KUNCI : B b. Pada Fisika

V (t) =dt

(t)dS= = > S(t)

= ∫ V(t)dt

a (t) =dt

(t)dV= = > V(t)

=

∫a(t)dt

=2

2

dt(t)Sd

= = > S(t)

= ∫∫ .dtdt(t)a

Contoh :04. Bila kecepata dari suatu benda yang bergerak

tiap saat t adalah V(t) = t2 + 2t, tentukanlah bentuk persamaan lintasan benda yang bergerak tersebutPenyelesaian :

S = ∫ dtV = ∫+

2t)dt(t

2

= 1/3t3 + t2 + C, C = 0S(t) = 1/3t3 + t2

Integral Parsiel & Pengintegralan DenganSubstitusia. Integral Parsiel

Bila u dan v dua buah fungsi, maka :

∫ ∫= duv.-v.udvu

Bukti :y = u .v ...... y' = u' . v + v' . u

u .v = y' - u' . vu dv = dy - v du





- 41 -

Maka : ∫ ∫ ∫−= duv(du)ddvu

∫ ∫= duv.-v.udvu

Contoh :

05. ∫ =.dx.sinxx .............Penyelesaian :Mis : u = x & dy = sin dx

du = dx v = - cosmaka :x. sin dx = ∫ ∫−= vduuvudx

= x (-cos x) - ∫ − dxcos)(

= -x cos x + sin x + c5. pengintegral DenganSubstitusiContoh06. Selesaiaknlah :

I. ∫ − dxx4 2 = .........

II. =+∫ 2)dxx.cos(x 2 ...........

Penyelesaian :I. Substitusi : x = 2 sin u

dx = 2 cos u duSehingga :

∫ − dxx4 2 =

∫− duucosu.2sin44 2

= ∫ duucosu.24cos2

= ∫ duu4cos2

= ∫ + du)2ucos2(2

= ∫ ++ C2usin2u

= 2sin -1 x/2 - x C2

x4 2

+−

Catatan :

x= 2 sin u > sin u = x/2

cos u =2

4 2 x−

24 x−

Sin 2x = 2sin x . cos x

II. ∫ =+ .............dx2)(xx.cos 2

Substitusi : u =x2 + 2

du =2x dx

∫ ∫=+ ducosu1/22)dx(xx.cos 2

= 1/2 sin u + C= 1/2 sin (x2 + 2 ) + C

6. Integral tertentu

Bila fungsi F(x) dalam interval (a,b) mem punyai turunan = f(x) maka :

] (a)F(b)F(x)Fdx(x)f b

a

b

a

−==∫

Sifat-sifat integral tertentu

1 ∫∫ = b

a

b

a

dx(x)f dx(x)f

2 ∫∫∫ += b

c

c

a

b

a

dx(x)f dx(x)f dx(x)f

Dimana: a < c < b

Contoh :

07. ]31

3

1

2 15)2(3x12

1 .

31

dx5)(3x +−+

=−∫

= 33 )2(91

)4(91

−−

= 898

964

=+

7. Penggunaan Integral Tertentu :- Luas daerah dibawah kurva- Luas daerah diatara 2 kurva- Isi benda putar - Isi perputaran 2 kurva- Panjang busur suatu kurvaa. Menghitung luas = L

Luas yang dibatasi kurva y = f(x) dengan sumbu –x,garis x = a dan garis x = b (daerah yang diarsir)ialah :

L = ∫ b

a

dx(x)f

Dimana :a = batas bawah b = batas atas





- 42 -

b. luas daerah diantara dua kurva

L = [ ]∫ − b

a21 dyxf xf

* luas daerah antara kurva dengan sb- y

L = ∫n

m

dyx

c. Menghitung isi benda putar

Bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(X0,

sumbu- x ,garis x = a dan garis x = b, diputar mengililingi sumbu – x, maka isi (volume) bangun yang terjadi :

V = [ ]2 b

a

f(y)π ∫

Analog dengan perputaran mengililinggi sumbu-y, maka volume benda putaran sama dengan :

V = [ ] dxf(y)π2n

a∫

Isi perputaran antara 2 kurva :

Jika suatu daerah yang dibatasi oleh kedua kurvay = f(x), maka diperoleh bangun dengan volumeialah :

V = [ ]2 b

a

f(y)π ∫ - [ g(x)2] dx

C. Menghitung panjang busur :Panjang busur kurva y = f(x) yang dibatasi titik pada x = a dan x = b ialah :

a = ∫ + b

a

2 dx.(dy/dx)1π

Contoh soal :01. jika y = 1/3 (x3 + 3/x), maka :

=+∫ .dx(dy/dx)4 22

(A)

13/6 (D) 16/6(B) 14/6 (E) 17/6(C) 15/6

UMPTN ’89 Kode 11 No. 72

Penyelesaian :y = 1/3 (x3 + 3/x) = 1/3x2 x —1

dxdy

x2 – x-2

dxdy 2

= x4 – 2 + x —4

4 + (dy/dx) = x-4 – x4 + 2

= (x —2 + x2)2

∫ + .dx(dy/dx)4 22

1

= .dx)x(x 222

1

2∫ −

= ∫2

1

(x-2 + x2) dx

= [-1/x + 1/3x3]21

= [-1/2 + 8/3] - [-1 +1/3]

=17/6 Jawab : E

02. Luas daerah yang dibatasi antara kedua kurva y= x + 2, dan y = x2 ialah : ....satuan luas :(A) 3,0 (D) 7,5(B) 4,5 (E) 5,0(C) 6,0

PPI ’81 No. 26Penyelesaian :

Titik potong y1 = y2

x2 + 2 = x2

x2 - x - 2 = 0x1 = -1, x2 = 2L = dx y yb

a )21( −∫

=

∫

2

1

(2 + x + x2).dx





- 43 -

= (2x +1/2x2 + 1/3x3)-12

= (4 + 2-8/3) – (-2 +1/2 +1/3)= 8-3 1/2= 4 1/2

JAWAB : B

V E K T O R

Vektor Bidang Datar (R 2)

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor di R 2 mempunyai 2 komponen,misalnya :

R (titik ujung)ā

A (titik pangkal)

AB = aVektor yang sama

Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnyasama :

ā b a = b

Penjumlahan Vektor Dua vektor dapat dijumlahkan dengan 2 cara :1. Cara segitiga2. Cara jajaran genjang

1. Cara segitiga

2.Cara jajaran genjang

Vektor NolMerupakan vektor yang tidak mempunyai besarandan arah yang tidak terdefinisi.

DACDBCAB +++

Pengurangan vektor a adalah vektor yang mempunyai besaran samadengan a dan mempunyai arah yang berlawanandengan ā.Misalnya ;

B B

A A

a AB = ba −= b BA = BA AB =

Contoh :

a . b = a b C ba + ( ) AC AB AC AB −+=− b

CA AB == A a B

AB AC AB =.

Besaran vektor B(x2,y2)

A(x1, y2)

|AB| = | a | = ( ) ( )212

212 y y x x −+−

Sudut antara dua vektor





- 44 -

r =

1

1

1

zyx

disebut vvektor kolom

Panjang vektor :| r | = 2

12

12

1 zyx ++

Jika vektor posisi r membentuk sudutα dengansumbu x, sudut β dengan sumbu y dan t dengansumbu z, maka :

Cos a =r

x1 ; cos b =r

y1

Cos t =r

z1

Karena : x12

+ y12

+ z12

= | r |2

2

21

r

x+

2

21

r

y+

2

21

r

z

Maka : cos2 + cos2 β + cos2t = 1

Vektor SatuanSuatu vektor dikatakan vektor satuan jika panjangvektor tersebut adalah 1Jadi vektor satuan r / | r |, dimana r dan vektor satuan r searah dan panjang r / | r | adalah 1

Contoh : a = 4i - 2j + 4kTentukan vektor satuan aPenyelesaian :a = (4, - 2, 4) maka

16416a ++=

= 6

Vektor satuan a =6

k4 j2i4 +−

= 2/3 j1/3-i + 2/3 k Panjang vektor satuan a adalah :

= 9/49/19/4 ++

= 1 = 1

Contoh soal :

01. a = 2 j2i + - k

b = (4, 0 , -3)

−

−

=

4

42

c

c ba =+

cosβ ba2 bac222

++=

cosα ba2 bac22

++=

Perkalian vector dengan skalar

a 2 a 1/2 a

2 a adalah vektor yang besarnya dua kali besarnya vector a dan arahnya sama dengan a.1/2 a adalah vektor a dan arahnya sama denganvektor a.Vektor Dalam Ruang (R 3)Perhatikan gambar di bawah ini :

Vektor-vektor j,i dan k seperti terlihat padagambar masing-masing panjangnya satu satuan.Sehingga :I = (1, 0, 0) ; j = (0, 1, 0); k =(0, 0, 1)Setiap vektor di R 3 dapat dinyatakan kombinasilinier dari vektor j,i dan k .Misalnya titik P (x1, y1, z1) di gambar dalam ruangR 3.

Jika vektor OP = r , maka :r = (x1, y1, z1). Juga dapat dituliskan dalamkombinasi linier :r = x1i + y1 j + z1kcatatan :

r = (x1, y1, z1) disebut vektor baris





- 45 -

Penyelesaian :

*2

a = 22 + 22 + (-1)2 = 9

9=a = 3

*2

b = 16 + 0 + 9 = 25

25=b = 5

*2

c = 4 +16 +16 = 36

36=c = 6

Perhatikan gambar di bawah ini :

OA = (x1, y1, z1)OB = (x2, y2, z2)Maka vektor :

−

−

−

=

12

12

12

zzyyxx

AB

−

−

−

=

21

21

21

zzyyxx

BA

Jarak antara titik A dan titik Badalah :2

122

122

12 )z(z)y(y)x(xAB −+−+−= Dimana :

BA AB =

Contoh :Jadi titik A(-1, 2, 3) dan B (-1, -4, -5)tentukan vektor posisi AB dan AB Penyelesaian :

AB =

−−−−

+−

3524

11

= (0, -6, -8)

AB = 222 3)(6)((0) −+−+

= 100 = 10Rumus pembagian Dalam Bentuk Vektor

Bila p menyatakan vector posisi titik P yangmembagi AB dengan perbandingan m : n atau :

PB:AB = m : n

Maka :P =

nman bm

+

+

Suatu titik P mebagi garis AB didalam dengan perbandingan m : n bila :

PB:AP = m : n, maka PBdanAB mempunyaiarah yang sama dan m dan n mempunyai tandayang sama:

PB:AP = m : n atau

AB:AP = m : (m + n)

Rumus Perbandingan Dalam Bentuk Koordinat

Jika P ( x p, y p, z p) membagi garis yang menghubung-kan titik A(a, y1, z1) dan titik B(x2, y2, z2) dengan perbandingan m : n maka koordinat titik P adalah :

x p =nm

xn.m.x 12

+

+

y p =nm

yn.m.y 12

++

z p =nm

zn.m.z 12

+

+

HASIL KALI SKALAR DARI DUA

VEKTOR

Perkali skalar a dan b adalah bilangan riel .Jadi a = a1 j bi 1+ +c1 k

b = a2 j bi 2+ +c2 k

Maka ;a . b = a1a2 + b1 b2 + c1c2

Contoh :a = 2 j3i − + 4 k

b = ji + + k

a . b = 2. 1 + -3 . 1 + 4 . -2= -5





- 46 -

SUDUT DIANTARA DUA VEKTOR

a = a1 j bi 1+ +c1 k

b = a2 j bi 2+ +c2 k

cosθ = b.a

b.a

Vector tegak lurus :Vector a tegak lurus terhadap vector bJadi sudut θ = 90º

Maka cos 90º = b.a

b.a

a . b = 0Contoh :Tentukan besar sudut antara vector :

a=

ji+− dengan vektor

b=

j2i− +2

k

Penyelesaian :a = (-1, 1, 0) dan b = (1,-2,2)a = 011 ++ = 2

b = 441 ++ = 9 = 3

a . b = -1.1 + -2 . 1 + 2 . 0 = -3

cos θ =

b.a

b.a=

23

3-

= -1/2 2 θ = 135°

PROYEKSI SUATU VEKTOR PADA

VEKTOR LAIN

Jika vektor a diproyeksikan ke vektor b , makahasilnya adalah sebuah vektor yang searahdengan vektor b .

Misalnya c adalah proyeksi vector a ke vector b,maka :

θ cosac =

> cosθ = b.a

b.a

ac = b.a

b.a=

b

b).(a.

b

b

c =2

b

b) b .(a

Contoh :Diketahui : a = 5 j10i + +2 k

b = j4i3 +

Tentukan proyeksi vektor a terhadap vektor b

Penyelesaian :a = (5, 10, 2) dan

b = (3, 4, 0)

=c proyek a terhadap b

c =2

b

b) b .(a

a . b = 13 + 40 = 55 b = 25 = 5

c =25

(3,4.0)(55)

c = 2,2 (3 , 4, 0)= 6,61 + 8,89

Contoh Soal:

01. Diketahui u = (2, -1, 1) dan v = (-1, 1, -1)

vektor w yang panjangnya 1, tegak lurus pada

u dan tegak lurus pada v adalah :

(A) (0, 0, 1)(B) (0, 1/2 2 , 1/2 2 )(C) (0, -1/2 2 , 1/2 2 )(D) (-2/3, 1/3, 2/3)(E) (2/3, 1/3, -2/3)

Penyelesaian :

u . w = 0 = 2a . b + c

v . w = 0 –a + b – cc = b – 2a = b – a

a = 0

b = c





- 47 -

Suatu bidang datar dapat dibentuk oleh :1. tiga titik yang tidak segaris

2. Satu garis dan satu titik diluar garis

3. dua garis yang berpotongan (sejajar)

Jarak titik dan garis :

Jarak suatu titik pada garis adalah panjang garistegak lurus yang ditarik dari titik itu pada garistersebut.

AA tegak lurus pada garis 1, maka d adalah jaraktitik A pada garis 1.

Jarak suatu titik pada bidang

Jarak suatu titik pada bidang adalah panjang garisyang tegak lurus dari titik itu pada garis tersebut.

AA' tegak lurus pada garis U, maka d adalah jaraktitik A pada garis U.

Hubungan garis dan Bidang :

Sebuah garis dapat :- menembus bidang- terletak pada bidang- sejajar pada bidang1. Suatu garis menembus bidang bila garis dan

bidangnya hanya mempunyai 1 titik sekutu.

w = (a, b, c)

w = 1

= 222 b b0 ++

1 = 222 c ba ++ 1 = 2b2

b = 2/1 =22

= c

J AWAB : B

02. Diketahui vektor a = k3 jei3 ++ , maka besar sudut yang dibentuk vektor a dengan sumbu yadalah :(A) 30° (D) 90°(B) 45° (E) 120°

(C) 60°Penyelesaian :

a = (3, 2, - 3 )

349 ++=a = 4

Proyeksi a pada sumbu y adalah (0, 2, 0) = b

b = 2

Jadi : cosθ = b.a

b.a

=4.2

040 ++

= 1/2θ = 30°

JAWAB : A

RUANG DEMINSI TIGA

A.- Bidang Datar

- Hubungan Antara* titik dan garis* titik dan bidang* garis dan bidang* garis dan garis

Bidang Datar :Bidang atar biasanya dilambangkan dengan jajaran genjang.





- 48 -

Jika suatu garis tegak lurus pada suatu bidang, maka garis itu akan tegak lurus padasetiap garis pada bidang itu.

2. Suatu garis terletak pada suatu bidang bilagaris dan bidang paling sedikit mempunyai 2

titik sekutu.

3. Suatu garis dikatakan sejajar dengan bidang bila dua titik yang berbeda pada garismempunyai jarak sama terhadap bidang.

Hubungan 2 garis :Dua garis pada ruang mempunyai tigakemungkunan yaitu :1 Berpotongan2 Sejajar 3 Bersilangan

Jarak dua garis bersilangan

a dan b dua garis yang saling bersilangan, PQtegaklurus pada garis a dan garis b, maka d jarakgaris bersilangan a dan b

Contoh – contoh :

Pada kubus ABCD,EFGH yang mepunai rusuk a.tentukan :a. Panjang diagonal bidangnya b. Panjang diagonal rusuknyac. Jarak titik A pada garis BDd. Jarak titik A pada bidang EBDe. Jarak garis bersilangan BD dan AB

Penyelesaian :

a.Diagonal bidangkeluarkanlah salah satu sisi dari kubus tersebut

seperti berikut :

Dengan mengggunakan teorema Phtagoras makadiperoleh :AC2 = AB2 + BC2

= a2 + a2 = 2a2

Maka diagonal bidang AC = a 2 b.Diagonal ruang

Kelurkan segitiga ACG, seperti pada gambar berikut :

Dengan menggunakan teorema PhtagorasMaka diperoleh:AG2 = AC2 + CH2

= 2a2 + a2 = 3a2

Maka diagonal ruang AG = a 3

c. jarak titik A pada garis BDKelurkan bbujur sangkar ABCD, seperti padagambar dibawah ini :





- 49 -

Sifat : Diagonal bidang suatu bujur sangkar salingmembagi dua dan saling tegak lurus.

Maka jarak titik A pada BD adalah :1/2a 2

d. jarak titik A pada bidang EBD Keluarkan segitiga ATE seperti pada gambar berikut :

Maka titik A pada bidang EBD adalah AT'.Dengan mempergunakan rumus perbandingan,

maka :sin a =

21/2a

AT

61/2a

a '

=

AT' =6a1/2

2a.1/2a

= 1/3 a 3e. jarak garis bersilang BD dan AG

Keluarkan segitiga ACG seperti pada gambar berikut :

Jarak garis bersilang BD dan AG adalah TT'Dengan menggunakan rumus perbandinganmaka :

sin a =21/2a

TT

3a

a '

=

AT' =31

2a.1/2a

= 1/6 a 6B.

- Proyeksi titik dan garis pada bidang- Sudut antara garis dan bidang- Hubungan antara dua bidang

1. Proyeksi titik pada bidang :adalah titik tembus dari garis yang

melalui titik dan tegak lurus pada bidang

Proyeksi garis pada bidang :

Adalah garis yang menghubungkan proyeksi keduatitik ujung dari garis yang diproyeksikan .

2. Sudut antara garis dan bidangLihat gambar di bawah ini :

Bila a' proyeksi a pada bidang U dan a sudut antaraa da a, maka a sudut antara garis a dan U atau :

sudut antara garis dan bidang adalah sudut yangdibentuk garis itu dengan proyeksinya pada bidang.

3. Bidang V dikatakan sejajar dengan bidang U.Jikagaris yang tegak lurus terhadap V tegak lurusterhadap U.

Sudut antara dua bidang :





- 50 -

h = perpotongan bidang U dan VL pada U dan tegak lurus pada hm pada V dan tegak lurus pada h.Bila a sudut antara L dan m, adalah sudut antara bidang U dan V.Contoh :Pada kubus ABCD, EFGh yang mempunyai panjang rusuk a, maka tentukanlah sudut antara :1. AH dan bidang BDHF2. Harga tg sudut yang membentuk BDG dan

ABCDPenyelesaian :1. Sudut antara AB dan BDHF

Proyeksi AH pada BDHF adalah HT maka :

sin a =21

2a

2a1/2=

= = = > a = 30º

Tg sudut yang dibentuk BDG dan ABCD, HD perpotongan bidang BDS GT pada BDG dan

tegak lurus BD a sudut antara GT dan CT, maka: a sudut antara BDG dan ABCD.

Tg sudut yang dibentuk BDG dan ABCD, HD perpotongan bidang BDS dan ABCD dimana :GT pada BDG dan tegak lurus BD CL padaABCD dan tegak lurus BD a sudut antara GT danCT, maka : a sudut antara BDG dan ABCD.

tg a = 22a1/2

a=

Contoh Soal01. ABC terletak pada busur sebuah lingkaran ABC

= u/2 adalah AB : BC = 1 : 3 jika busur ABadalah u, maka keliling itu :

(A) 1 + 3 (D) (3+ 3 ) 3(B) 3 + 3 (E) 3(3 + 3 )

(C) 7 + 3 UMPTN ’90 (IPA) Kode No. 1

Penyelesaian :

AC2 = 12 + ( 3 )2 = 4

AC = 2K = 1 + 3 + 2

= 3 3 JAWAB : B

02. ABCD adalah empat persegi panjang pada bid-ang horizontal, dan ADEF adalah empat persegi

panjang pada bidang vertikal.Jika panjang AF = 3 cm, BC = 4 cm, dan CE =7 cm. A dan β adalah sudut antara BE dengan bidang ABCD dan bidang ADEF, makatg a .tg β = …….

(A) 3/ 35 (D) 4/ 21

(B) 5/ 35 (E) 5/ 21

(C) 4/ 35Penyelesaian :DC2 = 22 37 − = 40

DC = 10240 = )

DB2 = 2)40(42 +

DB = 14256 =

BE2 = 22 )56(3 + = 65

BE = 65

tg aDBDC

=1414

x142

3

142

3=

=

28

143





- 51 -

AE2 = 42 + 32 = 25AE = 25 = 5

tg β =AEAB

=540

tg a .tg β = x28143

540

= 560140

3

= 3514012

= 35353

=35

3

L I M I T

Limit fungsi :

01. Lim (x2 + 2x + 3) =x >1

12 + 2(1) + 3 = 6

02. Lim =+

−

2x2x 2

x >-1

321- 2(-1)

2

−=+

−

03. Lim =−

2-x4x 2

x >2

Lim =+

2)-(x2)(x2)-(x

x >2

Lim ( x + 2 ) = 4x >2

Limit fungsi Trigonometri

Lim =x

sin xLim 1

sin xx

=

x >0 x >0

Lim =x

xtgLim 1

xtgx

=

x >0 x >0

Contoh :

01. .........2x

2xsinLim =

x >0

.........2x

2xsin2 Lim =

x >0

2 32x

2xsinLim =

x >0

02. .........2xtg3xsin

Lim =

x >0

=2x 3x tg 22x3xsin3

Lim

3/22xtg

2x Lim .

3x3xsin

Lim

x >0 x >0

= 3/2

Limit menuju tak hingga

Lim =+

++

5x4x32xx

2

2

x >~

Lim =+

++22

2

5x4x3/x2/x1

x >~

Lim 4/15/x4

3/x2/x1 2

=+

++

x >~

y = f(x)y + y = f(x +x)

y = f(x +x) - f(x)

∆xf(x)∆x)(xf

∆x∆y −+

=

(laju perbulan y terhadap x)

Lim y = Lim∆x

f(x)∆x)(xf −+

∆ x >0 ∆ x >0(lihat laju perubahan y terhadap x) atau :

dy/dx = f'(x)turunan fun si an terhada x





- 52 -

Contoh :01. y = x2

y + y = (x +x)2 y = 2x . x +(x)2

∆x∆y

= 2x + x

Lim y = Lim (2x + x)∆ x >0 ∆ x >0

dy/dx = 2xy = xn > dy/dx = nx n -1

02. Limxx42x

2

2

+

−=

x >~(A) -1 (D) 1

(B) 2 (E)(C) 0

03. Lim1x

12x 2

+

−+ x=

x >-1

(A) -1 (D) 1(B) -2 (E)(C) 0

04 Lim 5xsin x10tg x >0(A) 0 (D) 10(B) 2 (E) 1(C) 1/2

JAWAB :02. B03. C04. B




smart learning centersmart learning centersmart learning center

modul matematika

Documents