e - modul matematika wajib

E - Modul Matematika WAJIB xii ipa/ips

Oleh : Mu. Bima Azmi

i

Salah satu penunjang dalam proses belajar mengajar adalah modul. Modul yang baik

adalah modul yang menarik dipelajari, mudah dipahami, dan tidak membosankan serta

memberikan makna dan salah satu mata pelajaran sebagai ilmu dasar yang dapat digunakan

sebagai alat bantu memecahkan masalah dalam berbagai bidang ilmu, seperti Ekonomi,

Akuntansi, Geografi, Astronomi dan lainnya dalah matematika. Puji syukur penulis panjatkan

kehadirat Tuhan yang Maha Esa karena berkat rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat

menyusun modul matematika kelas XII SMA untuk digunakan sebagai bahan ajar oleh guru.

Modul ini penulis susun berdasarkan Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar mata

pelajaran Matematika Wajib SMA/MA yang tercantum dalam kurikulum 2013 revisi yang

bertujuan untuk memabantu guru dalam mempelajari dan menerapkan pembelajaran yang

inovatif serta penulis telah menjabarkan Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar menjadi

materi yang dapat memberikan pembelajaran yang cukup bagi siswa. Dalam modul ini akan

dipelajari beberapa pokok bahasan pada semester ganjil dengan disertai langkah-langkah

pembelajaran yang menarik dan mendorong rasa ingin tahu siswa untuk menemukan konsep

matematika yang diperkenalkan secara lebih mandiri.

Setelah mempelajari modul ini diharapkan guru dapat menerapkannya dalam

pembelajaran disekolah dan beberapa siswa memperoleh pemahaman tentang konsep –

konsep yang berkaitan dengan matematika. Kemampuan dasar untuk berpikir logis, kritis dan

rasa ingin tahu memecahkan masalah sangat diharapkan dalam modul ini. Selain itu

diharapkan siswa memiliki kemampuan dan pengetahuan matematika yang dikaitkan dengan

kehidupan sehari – hari.

Namun demikian, penulis menyadari bahwa modul ini juga tak lepas dari kekurangan.

Karenanya penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak baik rekan – rekan guru

maupun para siswa, demi perbaikan diedisi mendatang.

Medan, Juli 2019

Penulis,

KATA PENGANTAR

ii

Daftar isi

KATA PENGANTAR .................................................................................... ........ i

DAFTAR ISI ................................................................................................... .......ii

PENDAHULUAN .......................................................................................... ...... iv

PETA KONSEP .............................................................................................. .....vii

PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL ........................................................ ...... ix

MODUL I : TITIK , GARIS, DAN BIDANG

A. Tujuan Pembelajaran .......................................................................... ....... 1

B. Uraian Materi. ..................................................................................... ....... 1

C. Tes ....................................................................................................... ....... 6

D. Rangkuman ......................................................................................... ....... 7

E. Kunci Jawaban .................................................................................... ....... 8

MODUL II : JARAK DALAM BANGUN RUANG

A. Tujuan Pembelajaran .......................................................................... ....... 9

B. Uraian Materi ....................................................................................... ....... 9

C. Tes ........................................................................................................ ..... 15

D. Rangkuman .......................................................................................... ..... 16

E. Kunci Jawaban ..................................................................................... ..... 16

MODUL III : PENGERTIAN DASAR DAN PENYAJIAN DATA STATISTIKA A. Tujuan Pembelajaran .......................................................................... ..... 17

B. Uraian Materi ....................................................................................... ..... 17

C. Tes ........................................................................................................ ..... 23

D. Rangkuman .......................................................................................... ..... 24

E. Kunci Jawaban ..................................................................................... ..... 24

MODUL IV : UKURAN STATISTIK DATA

A. Tujuan Pembelajaran .......................................................................... ..... 25

B. Uraian Materi ....................................................................................... ..... 25

C. Tes ........................................................................................................ ..... 34

D. Rangkuman .......................................................................................... ..... 36

E. Kunci Jawaban ..................................................................................... ..... 36

iii

MODUL V : KAIDAH PENCACAHAN DAN PERMUTASI

A. Tujuan Pembelajaran ........................................................................... 37

B. Uraian Materi ....................................................................................... 37

C. Tes ........................................................................................................ 44

D. Rangkuman .......................................................................................... 45

E. Kunci Jawaban ..................................................................................... 45

MODUL VI : KOMBINASI DAN BINOMIUN NEWTON

A. Tujuan Pembelajaran ........................................................................... 46

B. Uraian Materi ....................................................................................... 46

C. Tes ........................................................................................................ 50

D. Rangkuman .......................................................................................... 51

E. Kunci Jawaban ..................................................................................... 51

MODUL VII : PELUANG A. Tujuan Pembelajaran ........................................................................... 52

B. Uraian Materi ....................................................................................... 52

C. Tes ........................................................................................................ 58

D. Rangkuman .......................................................................................... 59

E. Kunci Jawaban ..................................................................................... 59

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 60

iv

Standar isi satuan pendidikan merupakan standar pengukuran dalam pembelajaran yang

telah diberlakukan dalam satuan pendidikan menengah atas yang dasar itu penyusanan modul

menjadi suatu tatanan para guru dalam upaya untuk meningkatkan kemandirian dan keaktifan

siswa dalam belajar sebagai bahan ajar yang tepat untuk digunakan.

Seperti halnya dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan dengan persoalan

yang kalau ditelusuri ternyata merupakan masalah matematika. Seperti halnya meghitung

antar jarak pada suatu ruangan, pendataan dari suatu data, dan menghitung peluang suatu

kejadian misalnya. Dengan ilmu matematika maka persoalan tersebut akan lebih mudah untuk

diselesaikan ditambah dengan model pembelajaran yang inovatif. Oleh karena itu penulis

menyusun modul matematika kelas XII SMA dengan menerapkan pembelajaran kooperatif

dengan beberapa variasi. Kemudian diaharapkan setelah mempelajari modul ini akan

memperoleh pemahaman tentang konsep-konsep matematika yang dikaitkan dengan masalah

konstektual.

Adapaun modul ini akan mempelajari beberapa pokok bahasan mengenai, jarak dalam

bangun ruang, statistika dan peluang berdasarkan indikator pembelajaran. Indikator untuk

pencapaian hasil belajar dalam materi pokok tersebut adalah sebagi berikut.

Kompetensi Inti

KI–1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya

KI–2 : Menghayati dan mengamalkan prilaku jujur, disiplin, santun, peduli (gotong

royong, kerjasama, toleran, damai), bertanggung jwab, responsif, dan pro–aktif

dalam berinteraksi secara efektif sesuai dengan perkembangan anak dilingkungan,

keluarga, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara,

kawasan, regional dan kawasan internasional.

KI–3 : Memahami, menerapkan dan menganalisis pengetahuan konseptual, prosedural, dan

metakognitif berdasarkarasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi,

seni budaya dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan,

kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian serta

menerapkan pengatahuan procedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai

dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

KI-4 : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait

dengan pengembangan dari yang dipelajarinya disekolah secara mandiri, bertindak

secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah

keilmuan

Pendahuluan

v

3.1.1 Memahami konsep geometri ruang

3.1.2 Mengidentifikasi fakta jarak dalam

bangun ruang (antar titik, titik kegaris,

dan titik kebidang)

3.1.3 Mendeskripsikan jarak dalam bangun

ruang (antar titik, titik kegaris, dan

titik kebidang)

4.1.1 Menentukan jarak dalam bangun ruang

(antar titik, titik kegaris, dan titik

kebidang)

4.1.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan geometri ruang

4.1.3 Menyajikan penyelesaian masalah yang

berkaitan dengan geometri ruang

3.2.1 Mengidentifikasi fakta pada ukuran

pemusatan dan penyebaran data yang

disajikan dalam bentuk tabel,

distribusi frekuensi dan histogram

3.2.2 Menentukan ukuran pemusatan dan

penyebaran data yang disajikan dalam

bentuk tabel distribusi frekuensi dan

histogram

3.2.3 Menganalisis ukuran pemusatan dan

penyebaran data yang disajikan dalam

bentuk tabel distribusi frekuensi dan

histogram


dengan penyajian data hasil pengukuran

dan pencacahan dalam tabel distribusi

frekuensi dan histogram


berkaitan dengan penyajian data hasil

pengukuran dan pencacahan dalam tabel

distribusi frekuensi dan histogram

Kompetensi Dasar

3.1 Mendeskripsikan jarak dalam ruang (antar titik, titik ke garis, dan titik ke bidang).

4.1 Menentukan jarak dalam ruang (antar titik, titik ke garis, dan titik ke bidang).

3.2 Menentukan dan menganalisis ukuran pemusatan dan penyebaran data yang disajikan

dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.

4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian data hasil pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram.

3.3 Menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi,

dan kombinasi) melalui masalah kontekstual

4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan (aturan

penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi).

3.4 Mendeskripsikan dan menentukan peluang kejadian majemuk (peluang kejadian-

kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat) dari suatu percobaan acak.

4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang kejadian majemuk (peluang, kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat).

Indikator

vi

3.3.1 Memahami konsep kaidah pencacahan

3.3.2 Mengidentifikasi fakta pada aturan

pencacahan (aturan penjumlahan,

aturan perkalian, permutasi, dan

kombinasi) melalui masalah

kontekstual

3.3.3 Menganalisis aturan pencacahan

(aturan penjumlahan, aturan perkalian,

permutasi, dan kombinasi) melalui

masalah kontekstual

4.3.1 Menyelesaikan masalah kontekstual yang

berkaitan dengan kaidah pencacahan


permutasi, dan kombinasi)


berkaitan dengan kaidah pencacahan


permutasi, dan kombinasi)

3.4.1 Memahami konsep peluang majemuk

3.4.2 Mengidentifikasi fakta pada peluang

kejadian majemuk (peluang, kejadian-

kejadian saling bebas, saling lepas,

dan kejadian bersyarat) dari suatu

percobaan acak

3.4.3 Mendeskripsikan peluang kejadian

majemuk (peluang kejadian-kejadian

saling bebas, saling lepas, dan

kejadian bersyarat) dari suatu

percobaan acak

3.4.4 Menentukan peluang kejadian

majemuk (peluang kejadian-kejadian

saling bebas, saling lepas, dan

kejadian bersyarat) dari suatu

percobaan acak


dengan peluang kejadian majemuk

(kejadian-kejadian saling bebas, saling

lepas, dan kejadian bersyarat)

4.2.2 Menyajikan masalah yang berkaitan

dengan peluang kejadian majemuk

(peluang, kejadian-kejadian saling bebas,

saling lepas, dan kejadian bersyarat)

vii

Peta konsep

STATISTIKA

GEOMETRI

Modul I Titik, Garis, Bidang

Modul II Jarak dalam Bangun Ruang

Kegiatan Belajar I ▪ Pengertian titik, garis,

dan bidang ▪ Kedudukan titik, garis

dan bidang dalam bangun ruang

Kegiatan Belajar II ▪ Jenis-jenis Bangun Ruang ▪ Jarak dalam Bangun

Ruang

Modul III Pengertian dasar dan

Penyajian Data Statistika

Modul IV Ukuran Statistika Data

Kegiatan Belajar III ▪ Pengertian Statistika ▪ Tabel Frekuensi

Distribusi ▪ Diagram/Grafik ▪ Ogive

Kegiatan Belajar IV ▪ Ukuran Pemusatan

Data ▪ Ukuran Letak Data ▪ Ukuran Penyebaran

data

viii

Peta konsep

PELUANG

Modul V Kaidah Pencacahan dan

Permutasi

Modul VI Kombinasi dan Binomium

Newton

Kegiatan Belajar V ▪ Aturan Penjumlahan ▪ Aturan Perkalian ▪ Notasi Faktorial ▪ Permutasi dari Unsur

Berbeda-beda ▪ Permutasi dengan

Beberapa Unsur Sama ▪ Permutasu Berulang ▪ Permutasi Siklis

Kegiatan Belajar VI ▪ Kombinasi ▪ Konsep binomian

Newton ▪ Menentukan Suku dan

Koefisien Binomial

Modul VII Peluang

Kegiatan Belajar VI ▪ Konsep Dasar Peluang ▪ Peluang Suatu Kejadian ▪ Frekuensi Harapan ▪ Kejadian Majemuk

ix

Petunjuk bagi Siswa

Untuk memperoleh prestasi belajar secara maksimal, maka langkah-langkah yang

perlu dilaksanakan dalam modul ini anatar lain :

1. Baca dan pahami benar-benar tujuan yang terdapat dalam modul ini

2. Perhatikan uraian yang terdapat dalam modul ini

3. Bila dalam mempelajari modul ini belum menguasai level materi yang diharapkan,

ulangi lagi pada kegiatan belajar sebelumnya. Dan bila masih mengalami

kesulitan, diskusikan dengan teman-teman yang lain. Dan apabila belum

terpecahkan sebaiknya tanyakan pada guru.

4. Rangkumlah materi dengan bahasa mu sendiri agar lebih mudah dalam mengingat

kembali materi yang dipelajari.

Petunjuk bagi Guru

Dalam setiap pembelajaran , guru berperan untuk :

1. Membantu siswa dalam proses pembelajaran

2. Membimbing siswa dalam memahami konsep, analisa dan menjawab pertanyaan

siswa

3. Mengorganisir kegiataan belajar kelompok.

PeTunjuk Penggunaan modul

1

A. TUJUAN PEMBELAJARAN

B. URAIAN MATERI

1. Pengertian Titi, Garis, dan Bidang

a. Titik

Titik tidak memiliki dimensi (tidak memiliki ukuran), disimbolkan dengan noktah

dan diberi nama dengan huruf kapital, misalnya 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 dan lainnya.

Contohnya :

• 𝐴

b. Garis

Garis adalah kumpulan dari beberapa titik yang memiliki satu dimensi yaitu

dimensi panjang. Disimbolkan dengan dengan huruf kecil atau dua buah huruf besar.

Contohnya :

c. Bidang

Bidang memiliki dua dimensi yaitu dimensi panjang dan lebar. Bidang tidak

memiliki ketebalan. Bidang biasa disimbolkan dengan huruf yunani seperti yang diberikan

di pojok suatu bidang. Namun terkadang penamaan bidang berdasarkan nama titik-titik

hubungannya.

Modul I Titik, Garis, dan Bidang

Kamu akan mempelajari :

• Apa itu titik, garis, dan bidang

• Bagaimana kedudukan titik, garis dan bidang

dalam bangun ruang

2

Contohnya :

contoh :

Dari gambar balok ABCD.EFGH berikut ini, manakah yang dinamakan titik, garis dan

bidang!

Jawab :

Titik yaitu : A, B, C, D, E, F, G, dan H

Garis yaitu : AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, AE, BF, CG, dan DH

Bidang yaitu : ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, ADHE dan BCGF

2. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Bangun Ruang

a. Kedudukan titik terhadap garis

Kedudukan titik terhaap garis yaitu :

➢ Titik yang dilewati garis atau berada digaris

➢ Titik yang berada diluar garis

b. Kedudukan titik terhadap bidang

Kedudukan titik terhadap bidang yaitu :

A B

CD

E

H GF

3

➢ Titik yang berada di bidang

➢ Titik yang berada diluar bidang

c. Kedudukan garis terhadap garis lainnya

Kedudukkan garis terhadap garis lainnya terdiri dari empat, yaitu :

➢ Berpotongan, jika kedua garis terletak di bidang yang sama dan saling

bertemu pada satu titik potong pada garis-garis tersebut.

➢ Sejajar, jika terletak sebidang tetapi tidak memiliki titik potong.

➢ Berimpit, jika kedua garis terletak dibidang yang sama dan setiap titik pada

garis pertamaberada pada garis kedua.

4

➢ Bersilangan, jika dua garis tersebut tidak sebidang dan juga tidak sejajar, serta

tidak berpotongan.

d. Kedudukan garis terhadap bidang

➢ Garis terletak pada bidang, jika semua titik garis tersebut berada pada bidang

➢ Garis memotong pada bidang, jika garis tidak pada bidang, sehingga garis

tersebut memotong bidang.

➢ Garis sejajar dengan bidang, jika garis tersebut tidak berada pada bidang, dan

tidakmemiliki titik persekutuan.

e. Kedudukan bidang dengan bidang lain

5

➢ Berpotongan ika kedua bidang bertemu dan membentuk satu garis

persekutuan.

➢ Sejajar, jika kedua bidang tersebut tidak memiliki daerah persekutuan.

➢ Berimpit, jika pertemuan kedua bidang tersebut membentuk persekutuan

berupa bidang.

contoh :

Dari gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini,

Tentukanlah kedudukan dari

a. Titik A terhdap rusuk AB, AD, dan AE

b. Titik C terhadap diagonal AC, AH, dan CH

c. Titik F terhadap bidang ABFE, CDGH, dan BDHF

d. Titik H terhadap bidang ABCD, BCHE, dan ACGE

Jawab :

a. Titik A terletak pada rusuk AB, terletak pada rusuk AD, dan terletak pada rusuk AE

b. Titk C terletak pada diagonal AC, terletak diluar diagonal AH, dan terletak pada diagonal

CH

c. Titik F terletak pada bidangABFE, terletak diluar bidang CDGH, dan terletak pada bidang

BDHF

d. Titik H terletak diluar bidang ABCD, terletak pada bidang BCHE, dan terletak diluar

bidang ACGF

A B

C D

E F

GH

6

C. TES

TES UJIAN KEMAMPUAN SISWA

1. Nyatakan pernyataan berikut ini benar atau salah

a. Jika suatu titik dilalui suatu garis, maka dikatakan titik tersebut terletak pada garis

b. Jika titik P dan Q masing – masing terletak pada garis k dan l, maka kedua garis

tersebut berimpit

c. Jika garis k dan l tidak mempunyai titik persekutuan, maka kedua garis tersebut

sejajar

d. Jika garis k dan l terletak sebidang, maka kedua garis itu bersilangan

e. Jika garis k dan bidang u tidak mempunyai titik persekutuan, maka garis k dan bidang

u sejajar

2. Tentukan titik – titik sudut limas T. ABC yang

a. Terletak pada garis TA

b. Terletak di luar garis TA

3. Tentukan banyaknya titik – titik sudut limas T. ABC yang

a. Terletak pada bidang TAB

b. Terletak di luar bidang TAB

4. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan kedudukan garis BC terhadap garis

a. AF c. EH

b. BE d. AG

5. Tentukan banyaknya diagonal – diagonal pada kubus ABCD.EFGH yang sejajar dengan

bidang BCGF

6. Tentukan banyaknya rusuk – rusuk pada kubus ABCD.EFGH yang sejajar dengan bidang

ABCD

7. Tentukan banyaknya rusuk – rusuk limas T.ABCD yang

a. Sejajar dengan rusuk AB

b. Berpotongan dengan rusuk AB

c. Bersilangan dengan rusuk AB

8. Diketahui prisma tegak seperti tergambar di samping ini.

Tentukan kedudukan bidang ABGH terhadap

a. Bidang DEKJ

b. Bidang CDJI

c. Bidang CFLI

d. Bidang CDEF

A B

E DF C

G H

I

JK

L

7

D. RANGKUMAN

1. Titik A terletak pada garis g, sementara titik B terletak di luar garis g.

2. Titik A, B, C, dan D terletak pada bidang 𝛼. sementara titik E dan F terletak di

luar bidang 𝛼.

3. Kedudukan garis terhadap garis dapat berimpit (kedudukannya sama),

berpotongan (sebidang dan memiliki 1 titik persekutuan), sejajar (sebidang tapi

tidak memiliki titik persekutuan), atau bersilangan (tidak sebidang).

4. Kedudukan garis terhadap bidang dapat sejajar (0 titik persekutuan),

berpotongan (1 titik persekutuan), atau terletak pada (tak hingga titik

persekutuan)

5. Kedudukan bidang terhadap bidang dapat sejajar (0 persekutuan), berpotongan

(1 titik persekutuan), atau berimpit (tak hingga garis persekutuan)

ABg

A B

CDE

F

8

E. KUNCI JAWABAN

1. Pernyataan

a. Benar d. Salah

b. Salah e. Benar

c. Benar

2. Titik – titik yang terletak

a. T dan A

b. C dan B

3. Banyaknya titik – titik yang terletak

a. 3

b. 1

4. kedudukan

a. bersilangan

b. Bersilangan

c. Bersilangan

d. Sejajar

5. AH dan ED jadi banyaknya ada 2

6. EF, FG, GH, dan EH jadi banyak nya ada 4

7. Banyak rusuk

a. 1

b. 2

c. 2

8. Kedudukan

a. Sejajar

b. Bersilangan

c. Sejajar

d. Bersilangan

T

A B

C

D

A B

C

E F

GH

T

A B

CD

9


B. URAIAN MATERI

1. Jenis – Jenis Bangun Ruang

a. Kubus

Kubus merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh 6 bujur sangkar yang saling

kongruen. Keenam bujur sangkar disebut sisi kubus dan garis yang menjadi perpotongan dua

sisi kubus disebut rusuk kubus. Kubus memiliki 12 rusuk sama panjang.

b. Balok

Balok memiliki 6 sisi dimana masing-masing sisi yang berhadapan saling kongruen.

Balok memiliki 12 rusuk dengan 3 kelompok panjang yang berbeda yaitu p, l, dan t

Modul II Jarak dalam Bangun Ruang

Disini kita akan mempelajari tentang

1. Apa saja jenis-jenis bangun ruang

2. Bagaimana menentukan jarak dalam

bangun ruang

Volume : 𝑠3 Luas permukaan : 6𝑠2

Volume : 𝑝 × 𝑙 × 𝑡

Luas permukaan : 2(𝑝𝑙 + 𝑝𝑡 + 𝑙𝑡)

10

c. Prisma

Prisma adalah bangun ruang yang memiliki 2 bidang yang sejajar dan kongruen yang

disebut penampang. Bidang yang menghubungkan kedua penampang disebut selimut prisma.

d. Limas

Limas merupakan bangun ruang yang terdiri dari satu bidang alas dan selimut bangun

yang berbentuk bidang-bidang segitiga. Satu titik dari masing-masing segitiga saling bertemu

di sebuah titik disebut titik puncak limas.

e. Slinder

Slinder merupakan bangun ruang yang memiliki 2 bidang penampang berbentuk

lingkaran yang sejajar dan kongruen. Bidang selimut slinder merupakan bidang persegi

panjang yang dilengkungkan secara mulus mengikuti keliling bidang lingkarannya.

f. Kerucut

Kerucut merupakan bidang ruang yang terdiri dari satu bidang alas lingkaran dan sebuah

titik puncak dengan selimut bidang berbentuk juring lingkran dan busurnya dilengkungan

semulus keliling lingkarannya.

Volume : luas alas ×tinggi Luas permukaan : (2×luas alas) + keliling × tinggi

Volume : 1

3 (luas alas ×tinggi)

Luas permukaan : luas alas + luas selimut

Volume : 𝜋𝑟2 × 𝑡 Luas permukaan : (2 × luas alas) + luas selimut

11

g. Bola

Bola merupakan bangun ruang yang tidak mempunyai bidang alas dan titik pojok. Bola

merupakan himpunan titik dalam dimensi tiga yang memiliki jarak sama terhadap satu titik

tertentu yang disebut pusat bola. Jarak pusat bola ke titik-titik permukaan lingkaran disebut

jari-jari bola.

2. Jarak dalam Bangun Ruang

a. Jarak titik ke titik

Jarak antara titik A dan titik B adalah panjang ruas garis AB.

Contoh

Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm terdapat titik P di tengah-tengah AB. Tentukan

jarak titik G ke titik P!

Jawab

𝑃𝐵 =1

2𝐴𝐵 =

1

2. 8 = 4 𝑐𝑚

𝐵𝐺 = √𝐵𝐶2 + 𝐶𝐺2

𝐵𝐺 = √82 + 82

𝐵𝐺 = √128 = 8√2 𝑐𝑚

Volume : 1

3𝜋𝑟2 × 𝑡

Luas permukaan : luas alas + luas selimut

Volume : 4

3𝜋𝑟3𝑡

Luas permukaan : 4𝜋𝑟2

12

Maka

𝑃𝐺 = √𝑃𝐵2 + 𝐵𝐺2

𝐵𝐺 = √42 + (8√2)2

𝐵𝐺 = √16 + 128

𝐵𝐺 = √144 = 12 𝑐𝑚

b. Jarak titik ke garis

Jarak antara titik A dan ruas garis g adalah panjang ruas garis AA1, dimana A1

merupakan proyeksi A pada garis g dan tegak lurus.

Contoh

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukan jarak antara titik F

dengan diagonal ruang HB.

Jawab

𝐹𝐻 = 4√2

𝐻𝐵 = √𝐹𝐻2 + 𝐹𝐵2

𝐻𝐵 = √(4√2)2 + 42

𝐻𝐵 = √32 + 16 = √48 = 4√3

Jarak titik F dengan garis HB sama dengan

panjang garis PF.

Maka luas segitiga HBF diketahui

Luas ∆𝐵𝐹𝐻 = Luas ∆𝐵𝐹𝐻 1

2. 𝐻𝐵. 𝐹𝑃 =

1

2. 𝐻𝐹. 𝐹𝐵

4√3. 𝐹𝑃 = 4√2. 4

𝐹𝑃 =4√2.4

4√3

𝐹𝑃 =4

3√6

13

c. Jarak titik ke bidang

Jarak antara titik p dan bidang v adalah panjang ruas garis ,, dimana P merupakan

proyeksi p, pada bidang v.

Contoh

Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm terdapat titik P ditengah-tengah AE.

Tentukanlah jarak titik P ke bidang BDHF.

Jawab

𝑃𝑅 =1

2𝑃𝑄

𝑃𝑅 =1

2𝐸𝐺

𝑃𝑅 =1

2. 6√2

𝑃𝑅 = 3√2

d. Jarak antar dua garis

• Dua garis yangs sejajar

Jarak antara garis g dan l yang sejajar adalah panjang ruas garis AA1, dimana A

adalah sembarang titik pada g dan A1 merupakan proyeksi A pada garis l.

• Dua garis yang bersilangan

Jarak antara garis g dan l yang bersilangan adalah panjang ruas garis AA1, dimana

A pada g dan A1 pada l sehingga AA1 tegak lurus g dan AA1 tegak lurus l.

14

Contoh

Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm tentukanlah jarak garis AB ke garis HG

Jawab

AB dan HG sejajar

Jarak AB dan HG = AH

Jarak AB dan HG = 8√2 cm

e. Jarak garis ke bidang

Jarak antara garis g dan bidang v adalah panjang ruas garis AA1, dimana A adalah titik

sembarang pada g dan A1 adalah proyeksi A pada bidang v.

Contoh

Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm tentukanlah jarak garis AD dan bidang BCGF !

Jawab

jarak AD dan BCGF = AB

jarak AD dan BCGF = 8 cm

f. Jarak antar dua bidang

Jarak antara bidang v dan w yang saling sejajar adalah panjang ruas garis AA1, dimana A

adalah titik sembarang pada v dan A1 adalah proyeksi A pada bidang w.

Contoh

Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm tentukanlah jarak bidang BDG dan bidang AFH

Jawab

Jarak BDG dan AFH = PQ

Jarak BDG dan AFH = 1

3 EC

Jarak BDG dan AFH = 1

3. 6√3

Jarak BDG dan AFH = 2√3

15

C. TES


1. Dikethaui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik

M ke AG adalah ….

a. 4√6 cm d. 4√2 cm

b. 4√5 cm e. 4 cm

c. 4√3 cm

2. Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak dan Panjang rusuk alas 4 cm.

jarak titik A ke TB adalah …

a. 2√2 cm d. 4√2 cm

b. 2√3 cm e. 4√3 cm

c. 4 cm

3. Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah 12 cm. jika P titik tengah CG maka jarak titk P

dengan garis HB adalah …

a. 8√5 cm d. 6√2 cm

b. 6√5 cm e. 6 cm

c. 6√3 cm

4. Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki Panjang

AB = 4 cmdan TA = 6 cm. jarak titik C ke garis AT = …

a. 1

4√14 cm d.

3

2√14 cm

b. 2

3√14 cm e.

4

3√14 cm

c. 3

4√14 cm

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. titik S adalah tengah – tengah BC.

Jarak titik titik G ke AS adalah …

a. 6√5 cm d. 6√3 cm

b. 3

5√30 cm e.

12

5√30 cm

c. 6√2 cm

16

D. RANGKUMAN

E. KUNCI JAWABAN

1. D

2. B

3. D

4. E

5. A

Misalkan diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan Panjang rusuk a cm.

Maka Panjang :

Diagonal sisi (AC) = a√2

Diagonal ruang (EC) = a√3

Ruas garis (EO) = a

2√6

D

A B

C

E F

GH

17


B. URAIAN MATERI

PENGERTIAN DASAR STATISTIKA

A. Pengertian Dasar Statistika

Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan

data, pengolahan, penganalisiannya, dan penarikan kesimpulan berdasarkan data dan

penganalisian nya yang dilakukan.

Statistik adalah pengumpulan data, bilangan maupun non bilangan yang disusun

dalam tabel dan atau diagram yang menggambarkan atau melukiskan suatu masalah.

Secara umum, statistika dibagi menjadi dua fase:

1. Statistik Deskriptif

Yaitu fase statistika yang hanya meliputi kegiatan-kegiatan mengumpulkan data,

menyusun dan menggambarkan data dalam bentuk tabel atau grafik serta menganalisis data

yang diperoleh tanpa menarik kesimpulan terhadap populasi secara umum.

2. Statistika Induktif atau Inferensi

Yaitu fase statistika lebih lanjut dimana data yang telah diperoleh dianalisa agar

diperoleh kesimpulan secara umum.

B. Istilah dalam Statistika

➢ Data atau data Statistik

Kumpulan keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan.

a. Data kuantitatif : data berupa bilangan

b. Data kualitatif : data berupa kategori (rusak, gagal, berhasil, baik)

➢ Populasi

Keseluruhan objek yang akan diteliti

➢ Sampel

Sebagian anggota populasi yang benar-benar diamati atau diteliti

Modul III Pengertian dasar dan Penyajian

Data Statistika


• Apa itu statistika

• Bagaimana menyajikan suatu data dalam

konsep statistika

18

C. Penyajian Data

1. Pengamatan (observasi)

2. Penggunaan koesioner (angket)

3. Wawancara (interview)

4. Literatur

PENYAJIAN DATA

A. Tabel Frekuensi Distribusi

Suatu tabel dapat disajikan sebagai Distribusi Frekuensi Tunggal ataupun Distibusi

Frekuensi Berkelompok.

1. Distribusi Frekuensi Tunggal

Nilai Frekuensi

40 2

50 3

60 3

70 7

80 4

90 1

Jumlah 20

2. Distribusi Frekuensi Kelompok

Bila data tersedia cukup banyak dan bervariasi, maka dapat dibuat data distribusi

frekuensi kelompok sebagai berikut :

Interval Nilai Titik Tengah Frekuensi

56 – 60 58 3

61 – 65 63 10

66 – 70 68 12

71 – 75 73 14

76 – 80 78 8

81 – 85 83 17

86 – 90 88 5

Beberapa istilah yang terdapat dalam distribusi frekuensi kelompok.

a) Kelas Interval

Banyak data yang dikumpulkan dalam kelompok berbentuk 𝑎 − 𝑏 disebut kelas

interval yang disusun mulai dari data terkecil samapi dengan data terbesar.

Kelas I : 56 - 60

Kelas VII : 86 – 90

b) Batas Kelas

Pada tabel diatas batas kelas 56 − 60 adalah batas kelas bawah 56 dan batas kelas

atasnya 60.

c) Tepi Kelas

Data ulangan harian matematika 20 siswa :

Nilai 40 muncul 2 kali






19

Tepi kelas ada dua macam

• Tepi kelas bawah : batas kelas bawah −0,5

• Tepi kelas atas : batas kelas atas +0,5

Pada interval 71 − 75

Tepi kelas bawah : 70,5

Tepi kelas atas : 75,5

d) Panjang Kelas

Dengan demikian panjang kelas masing-masingkelas selalu sama

e) Titik Tengah Kelas

Titik tengah atau nilai tengah suatu interval kelas merupakan pertengahan antara

batas kelas bawah dan batas kelas atasnya.

Nilai titik tengah dapat ditentukan dengan cara :

Batas kelas : 81 -85

Titik tengah : 1

2 (81+85) = 83

Untuk menyusun sekumpulan data kedalam tabel distribusi frekuensi kelompok

diperlukan langkah sebagai berikut:

1) Tentukan jangkauan atau range data tersebut

2) Tentukan banyak kelas yang akan disusun

Biasanya banyak kelas yang digunakan paling sedikit 5 kelas dan paling banyak 15

kelas. Bisa juga menggunakan aturan Sturges.

3) Tentukan panjang kelas

4) Tentukan batas bawah kelas interval pertama

▪ Batas bawah kelas pertama boleh dipilih data yang terkecil

▪ Batas bawah interval kelas pertama boleh dipilih lebih kecil dari data yang

terkecil asalkan nilai terkecil berada pada kelas pertama dan nilai terbesar

berada pada kelas interval terakhir.

Panjang kelas = tepi kelas atas – tepi kelas bawah

Titik Tengah = 𝟏

𝟐 ( batas kelas bawah + batas kelas atas )

Jangkauan = nilai terbesar – nilai terkecil

𝐉 = 𝐗𝐦𝐚𝐱 − 𝐗𝐦𝐢𝐧

𝐊 = 𝟏 + 𝟑, 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝐧

𝐏 =𝐉

𝐊

20

Contoh :

Berikut ini merupakan nilai ujian matematika 40 orang siswa kelas XII MIA 1

65 72 67 82 72 91 67 73 71 70

85 87 68 86 83 90 74 89 75 61

65 76 71 65 91 79 75 69 66 85

95 64 73 68 86 90 70 71 68 68

Susunlah data diatas kedalam tabel distribusi frekuensi kelompok dengan panjang kelas yang

sama.!

Pembahasan :

1. Jangkauan : 95 − 61 = 34

2. Kelas : 1 + 3,3 log 40 = 6,28, banayk kelas bisa 6 atau 7

3. Panjang kelas : 𝑃 =34

7= 4,86, maka panjang kelasnya 5

4. Batas bawah diambil 61, sehingga diperoleh kelas intervalnya 61 – 65, 66 – 0, 71 – 75,

76 – 80, 81 – 85, 86 – 90, 91 – 95.

Nilai Frekuensi

Frekuensi

Komulatif

(naik)

Frekuensi

komulatif

(turun)

61 – 65 4 4 40

66 – 70 9 13 36

71 – 75 11 24 27

76 – 80 2 26 16

81 – 85 4 30 14

86 – 90 7 37 10

91 – 95 3 40 3

Jumlah 40 40 40

3. Jenis – Jenis Tabel Distribusi Frekuensi

a. Tebel Distribusi Frekuensi Relatif

Tebel distribusi frekuensi relatif mempunyai frekuensi relatif dalam bentuk

persentase (%) dan dilambangkan dengan fr. Frekuensi relatif dirumuskan dengan:

fr : frekuensi relatif

fi : banyaknya frekuensi

n : jumlah seluruh frekuensi

Contoh :

Untuk kelas 61 – 65

fr =4

40× 100% = 10

b. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif

Frekuensi komulatif adalah frekuensi suatu kelas yang dijumlahkan dengan

frekuensi kelas sebelumnya. Frekuensi komulatif terbagi atas dua macam. Frekuensi

komulatif kurang dari (jumlah frekuensi kelas itu dengan frekuensi komulatif kelas

sebelumnya) dan frekuesni komulatif lebih dari (jumlah frekuensi kelas dengan frekuensi

komulatif kelas sesudahnya). Contoh bisa dilihat dari tabel distribusi diatas.

𝐟𝐫 =𝐟𝐢

𝐧× 𝟏𝟎𝟎%

21

B. Diagram / Grafik

1. Diagram Batang

Contoh :

2. Diagram Lingkaran

Contoh :

Data jumlah siswa perkelas

3. Diagram Garis

Contoh :

Data jumlah panen mangga pertahun

.

22

4. Histigram dan Poligon Frekuensi

Ada dua cara membuat histigram dan poligon frekuensi dari daftar distribusi

frekuensi yaitu :

• Pada sumbu datar dicantumkan tepi-tepi kelas setiap kelas intervalnya (misal .... ) atau

bisa mencantumkan titik tengah – titik tengah setiap kelas intervalnya (misal ... )

• Pada sumbu tegak cantumkan bilangan-bilangan untuk nilai frekuensinya.

Contoh :

5. Ogive

ogive adalah grafik dari tabel frekuensi kumlatif. Untuk data yang disusun dalam

bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari, grafiknya berupa ogive positif,

sedangkan untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih

dari, grafiknya berupa ogive negatif.

Contoh :

23

C. TES


1. Hasil ujian matematika siswa laki – laki dan perempuan disajikan pada diagram berikut

Jumlah laki – laki dan perempuan yang dapat nilai 7 adalah ….

a. 7 d. 20

b. 9 e. 22

c. 13

2. Diagaram lingkaran dibawah ini menunjukkan pekerjaan kepala rumah tangga dari 720

kepala keluarga disuatu daerah. Banyak kepala keluarga dengan pekerjaan petani adalah

….

a. 260 d. 360

b. 276 e. 380

c. 340

3. Diagram lingkaran berikut menggambarkan banyak siswa yang mengikuti olahraga. Jika

banyak siswa ada 400 siswa, maka banyak siswa yang mengikuti dance adalah … siswa

a. 40 d. 140

b. 80 e. 160

c. 120

24

D. RANGKUMAN

E. KUNCI JAWABAN

1. E

2. B

3. D

1. Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara

pengumpulan data, pengolahan, penganalisiannya, dan penarikan kesimpulan

berdasarkan data dan penganalisian nya yang dilakukan.

2. Data atau data Statistik

Kumpulan keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan.

a. Data kuantitatif : data berupa bilangan

b. Data kualitatif : data berupa kategori (rusak, gagal, berhasil, baik)

3. Populasi

Keseluruhan objek yang akan diteliti

4. Sampel

Sebagian anggota populasi yang benar-benar diamati atau diteliti

25


B. URAIAN MATERI

UKURAN STATISTIK DATA

A. Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan data (ukuran tendensi sentral) adalah suatu ukuran atau nilai yang

diperoleh dari sekumpulan data dan mempunyai kecendrungan berada di tengah-tengah dari

sekumpulan data tersebut. Ukuran pemustan data terbagi atas tiga macam.

1. Rata-Rata Hitung (Mean �̅�)

Rata-rata hitung adalah jumlah semua nilai data dibagi dengan banyaknya data.

• Rata-Rata Data Tunggal

a. Rata-rata dari data 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 dimana 𝑥𝑖 = data ke i ( i = 1,2,3,...) dan n = banyak

data

Contoh :

Nilai 10 orang siswa SMA yang mengikuti ujian matematika adalah

60, 70, 65, 55, 82, 68, 73, 57, 55, 65. Maka rata-rata nilai ujian semua siswa tersebut adalah ...

Pembahasan :

�̅� =60+70+65+55+82+68+73+57+55+65

10=

650

10= 65

b. Rata-rata hitung dari data 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 dengan bobot (frekuensi) 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, … , 𝑓𝑛

Modul IV Ukuran Statistika Data


1. Apa saja jenis-jenis bangun ruang

2. Bagaimana menentukan jarak

dalam bangun ruang

�̅� =𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒙𝟑+⋯+𝒙𝒏

𝒏=

∑ 𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏

𝒏

26

Contoh :

Perhatikan tabel berikut

Nilai ujian 3 4 5 6 7 8 9

Frekuensi 3 5 12 17 14 6 3

Maka rata-ratanya adalah ....

Pembahasan :

�̅� =3.3+4.5+5.12+6.17+7.14+8.6+9.3

60=

364

60= 6,07

c. Rata-rata Gabungan

Jika 𝑓1 buah bilangan mempunyai rata-rata 𝑚1

Jika 𝑓2 buah bilangan mempunyai rata-rata 𝑚2

Jika 𝑓𝑛 buah bilangan mempunyai rata-rata 𝑚𝑛, maka rata-ratanya adalah ...

Contoh :

Diketahui empat kelompok siswa masing-masing terdiri dari 5, 8, 10 dan 17 siswa ikut

menyumbang korban bencana alam. Rata-rata sumbangan masing-masing kelompok adlah

4000, 2500, 2000, dan 1000 dalam rupiah. Maka rata-rata sumbangan tiap siswa seluruhnya

adalah ....

Pembahasan :

𝑓1 = 5 𝑓2 = 8 𝑓3 = 10 𝑓4 = 17

𝑚1 = 4000 𝑚2 = 2500 𝑚3 = 2000 𝑚4 = 1000

�̅�𝑔𝑎𝑏 =5.4000+8.2500+10.2000+17.1000

5+8+10+17=

7700

40= 1925

• Rata-Rata Data Kelompok

Bentuk umum data kelompok

Kelas

Interval

Frekuensi

(𝒇𝒊) Titik tengah kelas (𝒙𝒊) 𝒇𝒊. 𝒙𝒊

𝒂𝟏 − 𝒃𝟏

𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

𝒂𝟑 − 𝒃𝟑

.

.

.

𝒂𝒏 − 𝒃𝒏

𝑓1

𝑓2

𝑓3

.

.

.

𝑓𝑛

𝑥1

𝑥2

𝑥3

.

.

.

𝑥𝑛

𝑓1𝑥1

𝑓2𝑥2

𝑓3𝑥3

.

.

.

𝑓𝑛𝑥𝑛

�̅� =𝒇

𝟏𝒙𝟏+𝒇

𝟐𝒙𝟐+𝒇

𝟑𝒙𝟑+⋯+𝒇

𝒏𝒙𝒏

𝒏=

∑ 𝒇𝒊𝒙𝒊

𝒏𝒊=𝟏

𝒏

�̅�𝒈𝒂𝒃 =𝒇𝟏𝒎𝟏+𝒇𝟐𝒎𝟐+𝒇𝟑𝒎𝟑+⋯+𝒇𝒏𝒎𝒏

𝒇𝟏+𝒇𝟐+𝒇𝟑+⋯+𝒇𝒏

27

Jumlah ∑ 𝑓𝑖 ∑ 𝑓𝑖 . 𝑥𝑖

Titik tengah kelas ke-i (𝑥𝑖) dapat dihitung nilainya dengan menghitung

𝑥𝑖 =1

2(𝑎1 + 𝑏1)

Kegunaan atau fungsi titik tengah kelas merupakan wakil nilai-nilai yang terdapat

dalam suatu kelas interval. Sehingga untuk menghitung rata-rata data kelompok adalah

𝑥𝑖 = titik tengah kelas ke-i

𝑓𝑖 = frekuensi kelas ke-i

Cara lain yang lebih sederhana untuk menentukan rata-rata data kelompok adalah

dengan mempergunkan nilai rata-rata sementara.

�̅�𝑠 = rata-rata sementara ( pilih 𝑥𝑖 yang mempunyai frekuensi terbanyak atau yang

letaknya ditengah

𝑝 = panjang kelas

𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − �̅�𝑠

𝑢𝑖 =𝑑𝑖

𝑝

Contoh :

Tentukan rata-rata dari tabel berikut.!

Kelas

Interval (𝒇𝒊) 𝒙𝒊 𝒇𝒊. 𝒙𝒊 𝒅𝒊 = 𝒙𝒊 − 𝒙𝒊 𝒇𝒊. 𝒅𝒊 𝒖𝒊 𝒇𝒊. 𝒖𝒊

𝟓𝟓 − 𝟓𝟗

𝟔𝟎 − 𝟔𝟒

𝟔𝟓 − 𝟔𝟗

𝟕𝟎 − 𝟕𝟒

𝟕𝟓 − 𝟕𝟗

𝟖𝟎 − 𝟖𝟒

𝟖𝟓 − 𝟖𝟗

3

5

8

16

10

6

2

57

62

67

72

77

82

87

171

310

536

1152 770

492

174

−15

−10

−5

0

5

10

15

−45

−50

−40

0

50

60

30

−3

−2

−1

0

1

2

3

−9

−10

−8

0

10

12

6

50 3605 5 1

Pembahasan :

�̅� =3605

50= 72,1

Dengan menggunakan rata-rata sementara

➢ �̅�𝑠 = 72

�̅� = �̅�𝑠 +∑ 𝑓𝑖𝑑𝑖

𝑛𝑖=1

∑ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1

= 72 +5

50= 72,1

�̅� =∑ 𝒇𝒊𝒙𝒊

𝒏𝒊=𝟏

∑ 𝒇𝟏𝒏𝒊=𝟏

�̅� = �̅�𝒔 + (∑ 𝒇𝒊𝒅𝒊

𝒏𝒊=𝟏

∑ 𝒇𝒊𝒏𝒊=𝟏

)

�̅�

= �̅�𝒔 + (∑ 𝒇𝒊𝒅𝒊

𝒏𝒊=𝟏


)

�̅� = �̅�𝒔 + 𝒑 (∑ 𝒇𝒊𝒖𝒊

𝒏𝒊=𝟏


)

28

➢ �̅� = �̅�𝑠 + 𝑝 (∑ 𝑓𝑖𝑢𝑖

𝑛𝑖=1

∑ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1

) = 72 + 5(1

50) = 72,1

2. Modus ( Mo )

modus digunakan untuk gejala-gejala yang sering terjadi, diberi simbol Mo (atau

data dengan frekuensi terbanyak).

• Modus Data Tunggal

𝒙𝒊 𝒇𝒊

𝟐𝟎

𝟐𝟐

𝟐𝟓

𝟐𝟗

𝟑𝟎

81

56

98

75

72

Frekuensi terbanyak pada data ke-25 makanya modusnya adalah 25.

• Modus Data Berkelompok

tb : tepi bawah kelas modus

p : panjang kelas interval

𝑑1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas

sebelumya

𝑑2 : selisih frekuensi kelas modus dengankelas

sesudahnya

Contoh :

Tentukan modus dari data berikut

Kelas

Interval (𝒇𝒊)

𝟑𝟎 − 𝟑𝟗

𝟒𝟎 − 𝟒𝟗

𝟓𝟎 − 𝟓𝟗

𝟔𝟎 − 𝟔𝟗

𝟕𝟎 − 𝟕𝟗

𝟖𝟎 − 𝟖𝟗

𝟗𝟎 − 𝟗𝟗

2

3

9

12

6

6

2

jumlah 40

3. Median ( Me )

Median dari data yang telah terurut dari yang paling kecil ke yang paling besar

adalah nilai data yang berada tepat ditengah bila data ganjil atau rata-rata data yang berada

ditengah bila banyak data genap.

• Median Data Tunggal

I. Data Ganjil

8,7,8,7,6,8,7,6,4,5,5,6,4,9,8

𝑴𝒐 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (𝒅𝟏

𝒅𝟏 + 𝒅𝟐)

Pembahasan :

𝑡𝑏 = 60 − 0,5 = 59,5 𝑝 = 39,5 − 29,5 = 10 𝑑1 = 12 − 9 = 3 𝑑2 = 12 − 6 = 6

𝑀𝑜 = 𝑡𝑏 + 𝑝(𝑑1

𝑑1+𝑑2)

𝑀𝑜 = 59,5 + 10(3

3+6)

𝑀𝑜 = 59,5 + 3,3 = 62,8

29

Urutkan terlebih dahulu dari yang terkcil

4,4,5,5,6,6,6,7,7,7,8,8,8,8,9

Maka mediannya adalah 7

II. Data Genap

21, 21, 24, 26, 29, 30, 31, 29, 40

Maka mediannya adalah

𝑀𝑒 =𝑋4+𝑋5

2

𝑀𝑒 =26+29

2= 27,5

• Median Data Berkelompok

F : jumlah semua frekuensi (frekuensi komulatif)

sebelum frekuensi kelas median

𝑓𝑚𝑒 : frekuensi kelas median

Contoh :

Median dari data berikut adalah ....

Kelas

Interval (𝒇𝒊) 𝒇𝒌

𝟓𝟓 − 𝟓𝟗

𝟔𝟎 − 𝟔𝟒

𝟔𝟓 − 𝟔𝟗

𝟕𝟎 − 𝟕𝟒

𝟕𝟓 − 𝟕𝟗

𝟖𝟎 − 𝟖𝟒

𝟖𝟓 − 𝟖𝟗

3

5

8

16

10

6

2

3

8

16

32

42

48

50

50

B. Ukuran Letak Data

1. kuartil

Nilai yang membagi data yang sudah terurut menjadi empat bagian yang ama

dinamakan dengan kuartil. Masing-masing nilai pembagi terseut dinamakan dengan kuartil

bawah (𝑄1), kuartil tengah (𝑄2), dan kuartil atas (𝑄3).

• Untuk Data Tunggal

Untuk mennetukan nilai (𝑄𝑖) (𝑖 = 1,2,3) data tunggal digunakan rumus :

Jika 𝑄𝑖 =𝑖

4(𝑛 + 1) bukan bilangan bulat, maka 𝑄𝑖

ditentukan dengan interpolasi,

Contoh :

Tentukan nilai 𝑄𝑖 (𝑖 = 1,2,3) dari sekumpulan data berikut 9, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 19, 21, 22,

23, 25, 25, 29, 33, 35, 35, 39, 43, 47.

Pembahasan :

𝑛 = 20

𝑴𝒆 =𝑿𝒏

𝟐+𝑿𝒏

𝟐+𝟏

𝟐

𝑴𝒆 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (𝒏

𝟐−𝑭

𝒇𝒎𝒆)

Pembahasan :

𝑡𝑏 = 69,5 𝑝 = 5 𝐹 = 3 + 5 + 8 = 16 𝑓𝑚𝑒 = 16

𝑀𝑒 = 69,5 + 5 (50

2−16

16)

𝑀𝑒 = 69,5 + 5(2.8) = 83,5

Letak 𝑸𝒊 =𝒊

𝟒(𝒏 + 𝟏)

30

Letak 𝑄1 =1

4(20 + 1) = 5,25 Letak 𝑄3 =

3

4(20 + 1) = 15,75

Nilai 𝑄1 = 𝑋5 + 0,25(𝑋6−𝑋5 Nilai 𝑄3 = 𝑋15 + 0,75(𝑋16−𝑋15)

= 14 + 0,25(17 − 14) = 33 + 0,75(35 − 33)

= 14,75 = 34,75

Letak 𝑄2 =2

4(20 + 1) = 10,5

Nilai 𝑄1 = 𝑋10 + 0,5(𝑋11−𝑋10

= 22 + 0,5(23 − 22)

= 22,5

• Untuk Data Berkelompok

Untuk data kelompok 𝑄𝑖 dapat ditentukan dengan :

𝑄𝑖 : kuartil ke-i

𝑡𝑏 : tepi bawah kelas kuartil

𝑝 : panjang kelas

𝑛 : jumalh semua frekuensi

𝐹 : jumlah semua frekuensi kumulatif sebelum

frekuensi kelas kumulatif

𝑓𝑄𝑖 : frekuensi kelas kuartil ke-i

2. Desil

Jika sekumpulan data yang sudah diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar

dibagi menjadi 10 bagian disebut persepuluh atau disebut desil.


Untuk mennetukan nilai desil 𝐷𝑖 data tunggal digunakan rumus :

Jika 𝑄𝑖 =𝑖


ditentukan dengan interpolasi.

Contoh :

Diberikan data dari yang terkecil sampai yang terbesar sebagai berikut 9, 9, 10, 13, 14, 17, 19,

19, 21, 22, 23, 25, 25, 29, 33, 35, 35, 39, 43, 47

Tentukan nilai dari 𝐷6

Pembahasan :

𝑛 = 20

Letak 𝐷6 =6

10(20 + 1) = 12,6

Nilai 𝐷6 = 𝑋12 + 0,6(𝑋13−𝑋12

= 25 + 0,6(25 − 25)

= 25


Untuk data kelompok dari 𝐷𝑖 dapat ditentukan dengan

𝑓𝐷𝑖 : frekuensi kelas desil ke-i

𝑸𝒊 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (

𝒊𝟒

𝒏 − 𝑭

𝒇𝑸𝒊)

Letak 𝑫𝒊 =𝒊

𝟏𝟎(𝒏 + 𝟏)

𝑫𝒊 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (𝒊

𝟏𝟎𝒏−𝑭

𝒇𝑫𝒊)

31

3. Persentil

Persentil merupakan ukuran letak yang paling halus karena pembagiannya 1

sampai denga n 100.


Untuk mennetukan nilai persentil 𝑃𝑖 data tunggal digunakan rumus :

Jika 𝑄𝑖 =𝑖


ditentukan dengan interpolasi.

Contoh :

Tentukan 𝑃25 dan 𝑃70 dari data berikut ini .!

9, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 19, 21, 22, 23, 25, 25, 29, 33, 35, 35, 39, 43, 47

Pembahasan :

𝑛 = 20

Letak 𝑃25 =25

100(20 + 1) = 5,25 Letak 𝑃70 =

70

100(20 + 1) = 14,7

Nilai 𝑃25 = 𝑋5 + 0,25(𝑋6−𝑋5) Nilai 𝑃70 = 𝑋14 + 0,7(𝑋15−𝑋14)

= 14 + 0,25(17 − 14) = 29 + 0,7(33 − 29)

= 14,75 = 31,8


𝑓𝑃𝑖 : frekuensi kelas desi ke-i

Contoh :

Diberikan data tinggi badan 40 orang siswa kelas XII MIA 15

Kelas

Interval (𝒇𝒊) (𝒇𝒌)

𝟏𝟒𝟎 − 𝟏𝟒𝟒

𝟏𝟒𝟓 − 𝟏𝟒𝟗

𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟓𝟒

𝟏𝟓𝟓 − 𝟏𝟓𝟗

𝟏𝟔𝟎 − 𝟏𝟔𝟒

𝟏𝟔𝟓 − 𝟏𝟔𝟗

𝟏𝟕𝟎 − 𝟏𝟕𝟒

4

5

7

13

7

2

2

4

9

16

29

36

38

40

40

Tentukan 𝑄3, 𝐷6, dan 𝑃35 !

Pembahasan :

𝑛 = 40

Letak 𝑄3 =3

4𝑛 =

3

4. 40 = 30 Letak 𝐷6 =

6

10. 40 = 24

Letak 𝑷𝒊 =𝒊

𝟏𝟎𝟎(𝒏 + 𝟏)

𝑷𝒊 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (𝒊

𝟏𝟎𝟎𝒏−𝑭

𝒇𝑷𝒊)

32

Kelas 30 : 160 − 164 Kelas 24:155 − 159

Maka tb : 159,5 Maka tb : 154,5

Nilai 𝑄3 = 159,5 + 5 (3

440−29

7) Nilai 𝐷6 = 159,5 + 5 (

6

1040−16

13)

= 159,5 + 5 (1

7) = 159,5 + 5 (

8

13)

= 160,2 = 157,57

Letak 𝑃35 =35

100𝑛 =

35

100. 40 = 14

Kelas 30 : 150 − 154

Maka tb : 149,5

Nilai 𝑄3 = 149,5 + 5 (35

10040−9

7)

= 159,5 + 5 (5

7)

= 153,07

C. Ukuran Penyebaran Data ( Dispersi )

Ukuran penyebaran data (ukuran dispersi) adalah suatu ukuran yang menyatakan

sejauh mana penyimpangan-penyimpangan antara nilai data dengan nilai rata-rata,

1. Jangkauan atau rentang ( range )

Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum. Jangkauan

data dirumuskan :

Untuk data kelompok jangkauan ditentukan dengan

➢ Selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah

➢ Selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi kelas terendah

Jangkauan antar kuartil atau rentang antar kuartil (RAK) merupakan selisih antara

kuartil atas dengan kuartil bawah. RAK sering disebut juga Hamparan.

Disamping RAK ada juga yang disebut dengan Rentang Semi Kuartil atau

Jangkauan Semi Kuartil yang nilainya sama dengan setengah RAK.

2. Rata – Rata Simpangan

Jika kita mempunyai data 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 dan nilai rata-ratanya �̅� maka kita dapat

menentukan selisish tiap-tiap nilai data dengan nilai rat-ratanya. Sehingga kita peroleh

sebagai berikut

𝑹 = 𝑿𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒎𝒊𝒏

𝑹𝑨𝑲 = 𝑸𝟑 − 𝑸𝟏

𝑹𝑺𝑲 =𝟏

𝟐(𝑸𝟑 − 𝑸𝟏)

|𝒙𝟏 − �̅�|, |𝒙𝟐 − �̅�|, … , |𝒙𝒏 − �̅�|

33

Jika kita mencari rata-rata baru tersebut, maka kita peroleh nilai rata-rata

simpangan dan dituliskan

RS : rata-rata simpangan

𝑥𝑖 : data ke-i

�̅� : rata-rata hitung

𝑛 : banyak data

Untuk data kelompok, rata-rata simpangan dapat ditentukan dengan menggunakan

rumus.

𝑥𝑖 : titik tengah kelas ke-i ∑ 𝑓𝑖: jumlah smeua frekuensi

𝑓𝑖 : frekuensi kelas ke-i

3. Simpangan Baku atau Deviasi Standar (S)

Dalam rata-rata simpangan nilai selalu mempunyai kelemahan.

Sebagai contoh : |−4|+|−6|+|3|

3= 4,5 jangakauan 9

|4|+|6|+|3|

3= 4,5 jangkauan 3

Dalam contoh diatas mempunyai rata-rata simpangan yang sama padahal

jangkauan berbeda. Untuk mengatasi kelemahan rata-rata simpangan tersebut maka dipelajari

nilai simpangan baku.

Ukuran penyimpangan inilah yang umumnya banyak dipakai. Kuadrat dari

simpangan baku disebut Varians atau Ragam. Jika kita mempunyai sampel berukuran 𝑛

dengan data 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 dengan rata-rata �̅� dan setiap selisih antara 𝑥𝑖 dan �̅� dikuadratkan

maka :

𝑆2 : varians atau ragam



𝑛 : banyak data

Jika nilai ragam ditarik kembali akarnya maka diperoleh simpangan baku. Yakni :

𝑹𝑺 =∑ |𝒙𝒊−�̅�|𝒏

𝒊=𝟏

𝒏

𝑹𝑺 =∑ |𝒙𝒊−�̅�|𝒇𝒊

𝒏𝒊=𝟏


𝑺𝟐 =(𝒙𝟏−�̅�)𝟐+(𝒙𝟐−�̅�)𝟐+⋯+(𝒙𝒏−�̅�)𝟐

𝒏 𝑺𝟐 =

∑ (𝒙𝒊−�̅�)𝟐𝒏𝒊=𝟏

𝒏

𝑺 =√∑ (𝒙𝒊 − �̅�)

𝟐𝒏𝒊=𝟏

𝒏

34

Untuk data terkelompok, maka varians dan simpangan bakunya :

𝑓𝑖 : frekuensi data ke-i



𝑛 : banyak data

C. TES


1. Siswa suatu kelas terdiri atas tiga kelompok penyumbang korban bencana banjir.

Kelompok I, II, dan IIImasing – masing terdiri atas 10, 12 dan 18 siswa. Jika rata- rata

sumbangan kelompok I adalah Rp 10.000,00. Rata – rata sumbangan kelompok II adalah

Rp 11.000,00 dan rata – rata sumbangan seluruh kelas adalah Rp 9.400,00 maka rata -rata

sumbangan kelompok III adalah …

a. Rp 7.500,00 d. Rp 9.000,00

b. Rp 8.000,00 e. Rp 10.000,00

c. Rp 8.500,00

2. Perhatikan data pada table berikut

Nilai Frekuensi

31 – 40 3

41 – 50 5

51 – 60 10

61 – 70 11

71 – 80 8

81 – 90 3

Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah ….

a. 48,5 d. 54,5

b. 51,5 e. 58,5

c. 52,5

3. Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut

Nilai Frekuensi

20 – 29 3

30 – 39 7

40 – 49 8

50 – 59 12

60 – 69 9

70 – 79 6

80 – 89 5

𝑺𝟐 =∑ 𝒇𝒊(𝒙𝒊−�̅�)𝟐𝒏

𝒊=𝟏

𝒏

𝑺 = √∑ 𝒇𝒊(𝒙𝒊−�̅�)𝟐𝒏

𝒊=𝟏

𝒏

35

Nilai modus dari data pada tabel adalah …

a. 49,5 −40

7 d. 49,5 +

40

7

b. 49,5 −36

7 e. 49,5 +

48

7

c. 49,5 +36

7

4. Rata – rata dari x, 62, 74, 83, 2x , 85, 60 adalah 73. Nilai x adalah …

a. 45 d. 90

b. 47 e. 98

c. 49

5. Simpangan baku dari data 2,1,3,6, 1, 4, 2, 5 adalah …

a. √7 d. √3

b. √6 e. √2

c. √5

6. Ragam atau varian dari data 6, 8, 6, 7, 8, 7, 9, 7, 7, 6, 7, 8, 6, 5, 6, 7 adalah ….

a. 1 d. 7

8

b. 13

8 e.

5

8

c. 11

8

7. Perhatikan tabel berikut

Nilai Frekuensi

10 – 19 8

20 – 29 12

30 – 39 10

40 – 49 13

50 – 59 7

Nilai median dari data tersebut adalah …

a. 30,50 d. 34,50

b. 32,50 e. 38,50

c. 32,83

8. Rata – rata upah 10 orang pekerja Rp 70.000,- perhari. Jika upah ketua kelompok pekerja

itu juga dihitung maka rata – ratanya menjadi Rp 71.000,-. Upah ketua kelompok itu

perhari adalah ….

a. Rp 78.500,- d. Rp 80.500,-

b. Rp 79.000,- e. Rp 81.000,-

c. Rp 80.000,-

36

D. RANGKUMAN

E. KUNCI JAWABAN

1. B 5. D

2. C 6. A

3. D 7. D

4. C 8. E

1. Rata – rata data tunggal

�̅� =𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒙𝟑+⋯+𝒙𝒏

𝒏=

∑ 𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏

𝒏

2. Rata – rata data kelompok

�̅� =𝒇𝟏𝒙𝟏+𝒇𝟐𝒙𝟐+𝒇𝟑𝒙𝟑+⋯+𝒇𝒏𝒙𝒏

𝒏=

∑ 𝒇𝒊𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏

𝒏

3. Kuartil data tunggal

Letak 𝑸𝒊 =𝒊

𝟒(𝒏 + 𝟏)

4. Kuartil data kelompok

𝑸𝒊 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (𝒊

𝟒𝒏−𝑭

𝒇𝑸𝒊)

5. Modus data kelompk

𝑴𝒐 = 𝒕𝒃 + 𝒑 (𝒅𝟏

𝒅𝟏+𝒅𝟐)

6. Simpangan baku

𝑺𝟐 =(𝒙𝟏−�̅�)𝟐+(𝒙𝟐−�̅�)𝟐+⋯+(𝒙𝒏−�̅�)𝟐

𝒏

37


B. URAIAN MATERI

1. KAIDAH PENCACAHAN Kaidah pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan banyaknya

cara suatu percobaan dapat terjadi. Menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi

dilakukan dengan :

a. Aturan Penjumlahan

Contoh :

Budi akan membeli sebuah mobil di sebuah showroom yang menyediakan 5 jenis mobil sport

dan 3 jenis mobil minibus. Banyak pilihan Budi untuk membeli mobil adalah

Jawab :

Banyak pilihan Budi membeli mobil adalah 5 + 3 = 8 pilihan

b. Aturan Perkalian

pada peraturan perkalian dapat diperinci menjadi dua yaitu :

I. Menyebutkan Kejadian Satu perSatu

Contoh :

1. Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan. Berapa cara yang

mungkin terjadi ?

Modul V Kaidah Pencacahan dan Permutasi


• Apa itu kaidah pencacahan dan permutasi

• Bagaimana konsep kaidah pencacahan dan

permutasi

Jika ada sebanyak 𝑎 benda pada himpunan pertama dan ada sebanyak 𝑏 benda pada

himpunan kedua, dan kedua himpunan itu tidak beririsan maka kejadian tersebut dapat

terjadi dalam (𝑎 + 𝑏) cara.

38

Jawab :

Uang Dadu Hasil yang mungkin

1 G1

2 G2

G 3 G3

4 G4

5 G5

6 G6

1 A1

2 A2

A 3 A3

4 A4

5 A5

6 A6

2. Dua buah Dadu dilemparkan secara bersamaan, berapa banyak kemungkinan mata dadu

yag akan muncul?

Jawab :

3. Dari kota A ke kota B dapat ditempuh dengan 2 cara, dari kota A ke kota C dapat ditempuh

dengan 4 cara, dari kota B ke kota D dapat ditempuh dengan 3 cara dan dari kota C ke kota

D dapat ditempuh dengan 3 cara. Tentukan banyaknya cara yang ditempuh dari kota A ke

kota D !

Jawab :

B.

A. .D

C.

Banyaknya cara yang dapat ditempuh dari kota A ke kota D adalah :

18 cara

II. Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia

Menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat dilakukan dengan menyebutkan

satu-persatu. Tetapi akan mengalami kesulitan jika kejadiannya cukup banyak. Hal ini akan

lebih cepat jika diselesaikan dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia atau

dengan mengalikan.

1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

39

Contoh :

1. Budi mempunyai 6 baju dan 4 celana. Berapa cara Budi dapat memakai baju dan celana?

Jawab :

Misalkan ke enam baju itu 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3, 𝐵4, 𝐵5, 𝐵6, dan ke empat celana tersebut adalah

𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4, hasil yang mungkin terjadi adalah

Langkah diatas dapat dilakukan dengan cara

Baju Celana

Jadi 6 × 4 = 15cara

Contoh :

2. Tito mempunya 5 baju, 3 celana, 4 sepatu, dan 2 topi. Tentukan berapa cara Tito dapat

memakainya!

Jawab :

Baju Celana Sepatu Topi

Jadi ada 5 × 3 × 4 × 2 = 120 cara

Contoh :

3. Dari angka-angka 0,1,2,3,4,5,dan 6 berapa banyak bilangan terdiri dari 4 angka yang dapat

disusun

a. Tanpa pengulangan

b. Boleh berulang

Jawab :

a. Tanpa pengulangan

Ribuan Ratusan Puluhan Satuan

Jadi banyak bilangan yang apat disusun 6 × 6 × 5 × 4 = 720 cara

b. Boleh Pengulangan

𝑩𝟏 𝑩𝟐 𝑩𝟑 𝑩𝟒 𝑩𝟓 𝑩𝟔

𝑪𝟏 𝐵1𝐶1 𝐵2𝐶1 𝐵3𝐶1 𝐵4𝐶1 𝐵5𝐶1 𝐵6𝐶1

𝑪𝟐 𝐵1𝐶2 𝐵2𝐶2 𝐵3𝐶2 𝐵4𝐶2 𝐵5𝐶2 𝐵6𝐶2

𝑪𝟑 𝐵1𝐶3 𝐵2𝐶3 𝐵3𝐶3 𝐵4𝐶3 𝐵5𝐶3 𝐵6𝐶3

𝑪𝟒 𝐵1𝐶4 𝐵2𝐶4 𝐵3𝐶4 𝐵4𝐶4 𝐵4𝐶4 𝐵6𝐶4

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam 𝑛1 𝑐𝑎𝑟𝑎 yang berlainan dan kejadian yang lain

dapat terjadi dalam 𝑛2 𝑐𝑎𝑟𝑎 yang berlainan maka kejadian-kejadian tersebut bersama-

sama dapat terjadi 𝑛1. 𝑛2 𝑐𝑎𝑟𝑎 yang beralianan.

6 cara 4 cara

5 cara 3 cara 4 cara 2 cara

6 6 5 4

40

Ribuan Ratusan Puluhan Satuan

Jadi banyak bilangan yang dapat disusun 6 × 7 × 7 × 7 = 2058 cara

Contoh :

4. Berapakah banyak bilangan-bilangan ganjil terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari

angka-angka 3,4,5,6 dan 7.

Jawab :

Ratusan Puluhan Satuan

Jadi banyak bilangan yang dapat disusun 5 × 5 × 3 = 75 cara

2. PERMUTASI

Permutasi dari sejumlah objek adalah susunan objek dalam urutan berhingga.

a. Pengertian dan Notasi Faktorial

Perkalian 𝑛 bilangan asli yang berurutan yang dimulai dari 𝑛 dan diakhiri dengan

angka 1 disebut 𝑛 faktorial dan ditulis dengan notasi 𝑛!. Dengan demikian 𝑛 didefinisikan

sebagai berikut :

Sifat-sifat fakatorial

Contoh :

Tentukan nilai dari

1. 4!

2. 11!

9!

Jawab :

1. 4! = 4 × 3 × 2 × 1

= 24

2. 11!

9!=

11 ×10 × 9!

9!

= 110

b. Permutasi Dari Unsur-Unsur Berbeda

Sekumpulan 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang disusun dalam suatu urutan

tertentu sehingga diperoleh urutan yang berbeda disebut permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur.

6 7 7 7

5 5 3

𝒏! = 𝒏 × (𝒏 − 𝟏) × (𝒏 − 𝟐) × … × 𝟏

1. 𝟏! = 𝟏 4. 𝟎! = 𝟏

2. 𝒏! = 𝒏(𝒏 − 𝟏)! 5. 𝒏!

(𝒏−𝟏)!= 𝒏

3. 𝒏!

(𝒏−𝟏)!≠ (

𝒏

𝒏−𝟏) ! 6. 𝒏! (𝒏 − 𝟏)! ≠ (𝒏(𝒏 − 𝟏))!

41

Dalam permutasi, urutan dipermasalahkan, misalkan dua huruf dari huruf-huruf A, B,

C, dan D adalah AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, dan DC.

Perhatikan kasus berikut!

Banyaknya permutasi dari sekumpulan 6 huruf a, b, c, d, e, ,dan f jika setiap kali diambil 3

huruf!

Pembahasan :

Untuk bentuk ini dapat diselesaikan dengan aturan penyajian tempat yang tersedia

Huruf I Huruf II Huruf III

Maka banyaknya permutasi : 6 × 5 × 4 = 120 cara

Dari contoh diatas , hasil permutasi dapat dinyatakan dalam notasi faktorial sebagai berikut

𝑃(6,3) = 6 × 5 × 4

=6×5×4×3×2×1

3×2×1=

6!

3!=

6!

(6−3)!

Dengan demikian secara umum dapat didefinisikan

Contoh :

Berapa banyak permutasi dari pengambilan 5 kartu pada 52 kartu?

Jawab :

𝑃(52,5) =52!

(52−5)!

𝑃(52,5) =52×51×50×49×48×47!

47! = 311.875.200

c. Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama

Adakala diantara sekumpulan objek yang tersedia, terdapat objek-objek yang sama.

Jika semua objek tersebut disusun, maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi

yang sama.

Perhatikan susunan huruf yang mungkin pada kata “APA” berikut ini. Misalkan kedua

huruf A berbeda A1 dan A2 maka didapat

Permutasi 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang berbeda (tiap unsur

berbeda) adalah susunan dari 𝑟 unsur itu dalam suatu urutan (𝑟 ≤ 𝑛).

Banyaknya permutasian 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia

dilambangkan dengan 𝑷(𝒏,𝒓), 𝑷𝒓𝒏, 𝒏𝑷𝒓

6 cara 5 cara 4 cara

Banyaknya permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur yang berbeda adalah

𝑷(𝒏,𝒓) =𝒏!

(𝒏 − 𝒓)! , 𝒓 ≤ 𝒏

42

𝑃(3,3) =3!

(3−3)!=

3×2×1

0!= 6

Yakni A1A2P, A2A1P, A1PA2 , A2PA1 , PA1A2 , PA2A1 . akan tetapi kedua huruf A

sama, maka didapat AAP, APA, PAA. Jadi permutasi 3 huruf dari huruf-huruf “APA”

sebanyak 3 permutasi yang berasal dari perhitungan 6

2=

3!

2!.

Contoh : Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-huruf dari kata

1. KATAK

2. BATARA

Jawab :

1. Pada kata KATAK

Huruf A ada 2 maka 𝑟1 = 2

Huruf K ada 2 maka 𝑟2 = 2

Jumalh kata ada 5 maka 𝑛 = 5

𝑃(5;2,2) =5!

2!2!=

5×4×3×2!

2×1×2!= 30 cara

2. Pada kata BATARA

𝑃(6;3) =6!

3!=

6×5×4×3!

3!= 120 cara

d. Permutasi Berulang

Permutasi dua huruf dari huruf-huruf A, B, C adalah AB, BA, AC, CA, BC,dan CB.

Dalam hal ini huruf-huruf digunakan tidak berulang. Bila huruf-huruf boleh digunakan secara

berulang maka hasilnya akan menjadi AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC. Jadi

banyaknya permutasi berulang 2 huruf dari 3 huruf A, B, dan C adalah 9.

Perhitungan ini dapat juga dilakukan dengan craa sebagai berikut :

• Huruf pertama dapat diisi dengan huruf A, B, C ( 3 cara )

• Karena pemakaian huruf boleh berulang maka huruf kedua juga dapat diisi dengan

huruf A, B, C ( 3 cara )

Berdasarkan aturan pengisian tempat yang tersedia, banyaknya susunan seluruhnya

adalah 3 × 3 = 32.

Banyaknya permutasi keseluruhan dari 𝑛 unsur yang dari 𝑛 unsur tersebut

terdapat 𝑟1 unsur yang sama dan terdapat 𝑟2 unsur yang sama pula dan

seterusnya adalah

𝑷(𝒏;𝒓𝟏,𝒓𝟐,… ) =𝒏!

𝒓𝟏! × 𝒓𝟐 × …

43

Secara umum

Contoh : Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 3 angka yang dibentuk dari angka-angka 1, 2,

3, 4, 5 bila pemakaian angka

a) Tidak boleh berulang

b) Boleh berulang

Jawab :

a) Tidak boleh berulang

𝑃(5,3) =5!

(5−3)!=

5×4×3×2!

2!= 60 cara

b) Boleh berulang

𝑃𝑏(5,3) = 53 = 125 cara

e. Permutasi Siklis

Ciri khusus dari permutasi siklis adalah adanya tempat pertama untuk diisi. Misalkan 4

orang yaitu P, Q, R dan T yang akan duduk dimeja bundar. Oleh karena tidak ada tempat

pertama yang harus diisi, maka dapat diambil salah satu dari 4 orang sebagai patokan.

Misalnya P, selanjutnya tinggal menyusun tiga orang lainnya disekeliling P.

Perhatikan susunan tempat duduk berikut

P P P

Q S Q R S R

R S Q

P P P

S Q R S R Q

R Q S

Banyaknya permutasi berulang 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang

tersedia adalah

𝑷𝒃(𝒏,𝒓) = 𝒏𝒓

44

Dari gambar diatas terlihat bahwa yang menyusun permutasi hanya 3 orang. Sehingga

banyaknya cara penyusunan adlah 6. Hal tersebuat juga dapat diperoleh dengan (4 − 1)! = 6

Contoh :

Empat pejabat yang diundang akan duduk dalam satu meja bundar. Banyak cara pejabat untuk

memili tempat duduk adalah ?

Jawab :

𝑛 = 4

Maka banyak cara memilih adalah (𝑛 − 1)! = (4 − 1)! = 6

C. TES


1. Dari angka – angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilanagn yang terdiri dari 3

angka berbeda. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah …

a. 18 d. 120

b. 36 e. 216

c. 60

2. Dari angka – angka 2,3 ,5, 7 dan 8 disusun bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda.

Banyak bilangan yangd apat disusun adalah …

a. 10 d. 48

b. 15 e. 60

c. 20

3. Seorang ingin melakukan pembicaraan melalui sebuah wartel. Ada 4 buah kamar bicara dan

ada 6 buah nomor yang akan dihubungi. Banyak susunan pasangan kamar bicara dan nomor

telepon yang dapat dihubungi adalah ….

a. 10 d. 1.296

b. 24 e. 4.096

c. 360

4. Dalam kompetisi bola basket yang terdiri dari 10 regu akan dipilih juara 1, 2 , dan 3. Banyak

cara memilih adalah …

a. 120 d. 720

b. 360 e. 900

c. 540

5. Dari 7 orang pengurus suatu ekstrakurikuler akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris,

bendahara dan humas. Banyak cara pemilihan pengurus adalah …

Secara umum, banyaknya permutasi siklis dari

𝑛 unsur adalah

(𝒏 − 𝟏)!

45

a. 2.100 d. 4.200

b. 2.500 e. 8.400

c. 2.520

D. RANGKUMAN

E. KUNCI JAWABAN

1. D

2. E

3. C

4. C

5. C

1. Kaidah pencacahan

Aturan perkalian

Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap

pertama terdapat a1 cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n dapat

terjadi dalam an cara yang berbeda , maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat

terjadi adalah a1 × a2 ×a3 × ... × an

2. Permutasi

46


B. URAIAN MATERI

KOMBINASI

Misalkan kombinasi 3 huruf dari huruf-huruf a, b, c dan d adalah abc, abd, acd, dan bcd.

Berikut ini akan anda perhatikan perbandingan antara kombinasi 3 huruf tersebut dengan

permutasinya.

Kombinasi Permutasi

abc abc, acb,, bac, bca, cab, cba

abd abd, adb, bad, bda, dab, dba

acd acd, adc, cad, cda, dac, dca

bcd bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb

Perhatikan bahwa banyaknya kombinasi adalah 4 dan masing-masing kombinasi terdiri

dari 3 unsur serta ketiga unsur tersebut mempunyai 3! = 6 susunan dan permutasinya ada 24

susunan.

Jika kita hubungkan banyaknya kombinasi dengan banyaknya permutasi pada pengambilan

3 huruf dari 4 huruf yang tersedia, maka akan diperoleh hubungan :

𝐶(4,3)3! = 𝑃(4,3)

𝐶(4,3) =𝑃(4,3)

3!

𝐶(4,3)3! =4!

3!(4−3)!= 4

Kombinasi adalah suatu permutasi yang tidak memperhatikan urutan. Walaupun urutannya

berbeda, asal unsur-unsurnya sama dianggap kombinasi.

Modul VI Kombinasi dan Binomium Newton


1. Ap itu kombinasi dan binomium

newton

2. Bagaimana konsep kombinasi dan

binomium newton

47

Contoh :

Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi no 1 sampai 4 wajib dikerjakan.

Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa!

Jawab :

Mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan berarti tinggal memilih 2

soal lagi dari soal nomor 5 samapi 8.

𝑟 = 2 dan 𝑛 = 4

𝐶(4,2)=

4!

2!(4−2)!=6

Jadi banyaknya pilihan yang dapat dilakukan oleh siswa adalah 6 pilihan

Dari sebuah kantong yang berisi 10 bola merah dan 8 bola putih akan diambil 6 bola sekaligus

secara acak. Tentukan banyaknya cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih!

Jawab :

Mengambil 4 bola merah dari 10 merah

𝐶(10,4) =10!

4!(10−4)!

=10×9×8×7×6!

4×3×2×1×6!

= 210

Mengambil 2 bola putih dari 8 bola putih

𝐶(8,2) =8!

2!(8−2)!

=8×7×6!

2×1×6!

= 28

Jadi banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bo;a putih adalah

Banyaknya kombinasi 𝑟 unsur dan 𝑛 unsur yang disediakan (𝑟 ≤ 𝑛)

ditulis dengan lambang 𝒏𝑪𝒓 atau 𝑪(𝒏,𝒓) atau 𝑪𝒓𝒏 atau (

𝒏𝒓

).

Secara umum banyaknya kombinasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur adalah

𝒏𝑪𝒓 =𝒏!

𝒓! (𝒏 − 𝒓)!

48

𝐶(10,4). 𝐶(8,2) = 210 × 28

= 5880 cara

3. BINOMIUM NEWTON (EKSPANSI NEWTON)

a. Konsep Binomial Newton

Binomial Newton mempelajari tentang cara penjabaran (ekspansi) bentuk pangkat aljabar

yang terdiri dari dua suku (binomial). Untuk menjabarkan pangkat aljabar dua suku bisa

menggunakan segitiga Pascal seperti berikut :

Dari bentuk segitiga pascal tersebut dapat membantu dalam penjabaran pangkat dua suku

berikut dimana angka-angka pada segitiga pascal merupakan koefisien dari setiap sukunya

(𝑎 + 𝑏)0 = 1

(𝑎 + 𝑏)1 = 𝑎 + 𝑏

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

(𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏 + 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4

(𝑎 + 𝑏)5 = 𝑎5 + 5𝑎4𝑏 + 10𝑎3𝑏2 + 10𝑎2𝑏3 + 5𝑎𝑏4 + 𝑏5

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ⋯

Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomial

yaitu dengan menggunakan konsep kombinasi 𝐶𝑟𝑛 yang dinamakan Bonomial Newton,

sehingga segitiga pascal dapat dituli sebagai berikut

(𝑎 + 𝑏)0 → 𝑛 = 0 𝐶00

(𝑎 + 𝑏)1 → 𝑛 = 1 𝐶01 𝐶1

1

(𝑎 + 𝑏)2 → 𝑛 = 2 𝐶02 𝐶1

2 𝐶22

(𝑎 + 𝑏)3 → 𝑛 = 3 𝐶03 𝐶1

3 𝐶23 𝐶3

3

(𝑎 + 𝑏)4 → 𝑛 = 4 𝐶04 𝐶1

4 𝐶24 𝐶3

4 𝐶44

(𝑎 + 𝑏)0 = 𝐶00

(𝑎 + 𝑏)1 = 𝐶01𝑎 + 𝐶1

1𝑏

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝐶02𝑎2 + 𝐶1

2𝑎𝑏 + 𝐶22𝑏2

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝐶03𝑎3 + 𝐶1

3𝑎2𝑏 + 𝐶23𝑎𝑏2 + 𝐶3

3𝑏3

(𝑎 + 𝑏)4 = 𝐶04𝑎4 + 𝐶1

4𝑎3𝑏 + 𝐶24𝑎2𝑏2 + 𝐶3

4𝑎𝑏3 + 𝐶44𝑏4

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

... ... ... ... ...

dan seterusnya

49

Sehingga dapat disimpulkan secara umum rumus Binomial Newton yakni :

Contoh :

Jabarkan bentuk polonimial berikut ini:

(𝑥 + 2)3

Jawab :

(𝑥 + 2)3 artinya 𝑛 = 4

(𝑥 + 2)3 = ∑ 𝐶𝑟4−𝑟2𝑟3

𝑟=0

= 𝐶03𝑥3−020 + 𝐶1

3𝑥3−121 + 𝐶23𝑥3−222 + 𝐶3

3𝑥3−323

= 1. 𝑥3. 1 + 3. 𝑥2. 2 + 3. 𝑥. 22 + 1.1. 23

= 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8

b. Menentukan Suku dan Koefisien Binomial

Contoh :

Tentukan suku ke-3 dari binomial (2𝑥 − 5𝑦)20 dan besar koefisiennya.

Jawab :

𝑛 = 20, 𝑘 = 3

𝐶(𝑘−1)𝑛 𝑎𝑛−(𝑘−1)𝑏𝑘−1 = 𝐶(3−1)

20 (2𝑥)20−(3−1)(−5𝑦)3−1

= 𝐶220(2𝑥)18(−5𝑦)2

=20!

2!(20−2)!218𝑥18(−5)2𝑦2

=20!

2!18!218𝑥18 25𝑦2

(𝒂 + 𝒃)𝒏 = ∑ 𝑪𝒓𝒏𝒂𝒏−𝒓𝒃𝒓

𝒏

𝒓=𝟎

Atau (𝒂 + 𝒃)𝒏 = 𝑪𝟎

𝒏𝒂𝒏 + 𝑪𝟏𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒃 + ⋯ + 𝑪𝒏−𝟏

𝒏 𝒂𝒃𝒏−𝟏 + 𝑪𝟑𝟒 +

𝑪𝒏𝒏𝒃𝒏

Dengan 𝑛, 𝑟 adalah bilangan asli

Dari rumus Binomial Newton berikut ini,

(𝒂 + 𝒃)𝒏 = ∑ 𝑪𝒓𝒏𝒂𝒏−𝒓𝒃𝒓𝒏

𝒓=𝟎

Maka suku ke-𝑘 bentuk suku banyak hasil penjabaran dapat ditentukan dengan rumus

𝑪(𝒌−𝟏)𝒏 𝒂𝒏−(𝒌−𝟏)𝒃𝒌−𝟏

50

=20×19×18!

2×1×18!218𝑥18 25𝑦2

=20×19

221825 𝑥18𝑦2

= 4750 × 218𝑥18 25𝑦2

Sehingga koefisien suku ke 3 dari binomial (2𝑥 − 5𝑦)20 adalah 4750 × 218

C. TES


1. Banyak cara Menyusun suatu regu cerdas cermat yang terdiri dari 3 siswa dipilih daei 10

siswa yang tersedia adalah ….

a. 80 d. 240

b. 120 e. 720

c. 160

2. Dari 20 orang siswa yang berkumpul, mereka saling berjabat tangan, maka banyaknya

jabatan tangan yang terjadi adalah ….

a. 40 d. 360

b. 80 e. 400

c. 190

3. Seorang ibu mempunyai 8 sahabat, banyak komposisi jika ibu ingin mengundang 5

sahabatnya untuk makan malam adalah ….

a. 8! 5! d. 8!

5!

b. 8! 3! e. 8!

3!5!

c. 8!

3!

4. Banyak kelompok yang terdiri atas 3 siswa berbeda dapat dipilih dari 12 siswa pandai

untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika adalah ….

a. 180 d. 420

b. 220 e. 1.320

c. 240

5. Seorang peserta ujian haris mengerjakan 6 soal dari 10 soal yang ada. Banyak cara peserta

memilih soal ujian yang harus dikerjakan adalah ….

a. 210 d. 5.040

b. 110 e. 5.400

c. 230

51

D. RANGKUMAN

E. KUNCI JAWABAN

1. B

2. C

3. E

4. B

5. A

1. Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya.

Notasi: Untuk semua bilangan positif n dan r,

dengan , banyaknya kombinasi r objek yang diambil dari n

objek pada waktu yang sama.

2. Binomial Newton adalah teorema yang menjelaskan mengenai

pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel

(binomial). Dalam Binomial Newton menggunakan koefisien-koefisien (a +

b)n.

Misalnya, n = 2 didapat: (a + b)2 = (1) a2 + 2ab + (1)b2

Koefisien-koefisien hasil penjabaran (a + b)2 adalah 1, 2, 1 yang senilai

dengan C(2,0) dan C(2,2) dapat ditulis

https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema

https://id.wikipedia.org/wiki/Eksponen

52


B. URAIAN MATERI

PELUANG

Peluang (Probabilitas) merupakan suatu konsep matematika yang digunakan untuk

melihat kemungkinan terjadinya suatu kejadian.

Istilah-istilah dalam mempelajari peluang :

Ruang sampel

Ruang sampel dari suatu percobaan adalah himpunan seluruh kejadian yang mungkin

dari percobaan tersebut. Ruang sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk

diagram pohon atau tabel.

Contoh :

Sebuah kotak berisi lima baterai, dua diantaranya rusak. Dua baterai diambil secara acak dari

kotak untuk di tes. Tentukanlah anggota-anggota ruang sampelnya!

Jawab :

Misalkan baterai-baterai yang tidak rusak T1, T2, T3

baterai-baterai yang rusak R1, R2

maka banyak ruang sampel yang mungkin adalah

S = {T1R1, T2R1, T3R1, T1R2, T2R2, T3R2, T1T2, T1T3, T2T3, R1R2}

a. Peluang Suatu Kejadian

Peluang sautu kejadian didefenisikan berdasarkan konsep ruang sampel dan kejadian.

Misalkan S mewakili suatu ruang sampel dengan n(S) menyatakan banyaknya hasil yang

mungkin yang mempunyai kesempatan sama untuk muncul dan misalkan E suatu kejadian

pada ruang sampel yang berisi n(E) hasil dimana 𝐸 ⊆ 𝑆 maka peluang kejadian E

didefenisikan :

Modul VII Peluang


• Apa itu peluanh

• Bagaimana konsep peluang dalam

meyelesaikan masalah konstektual dalam

kehidupan sehari - hari

𝑷(𝑬) =𝒏(𝑬)

𝒏(𝑺)

53

Karena E adalah himpunan bagian dari S, 𝑛(𝐸) ≤ 𝑛(𝑆). Sehingga 𝑃(𝐸) ≤ 1

Jika E adalah kejadian yang tidak mungkin, maka E = ⊘ dan n(E) = 0. Sehingga P(E) = 0

Jika E adalah kejadian yang pasti terjadi, maka E = S dan n(E) = n(S). Sehingga P(E) = 1

Dari hasil tersebut dapat disimpulkan untuk setiap kejadian E, maka :

𝟎 ≤ 𝑷(𝑬) ≤ 𝟏

Jika Ec yang merupakan kejadian yang bukan kejadian E, maka

Contoh :

Pada pelemparan tiga mata uang logam sekaligus. Berapakah peluang bahwa :

a. E1 : dua atau lebih muncul gambar

b. E2 : paling sedikit muncul satu angka

Jawab :

Ruang sampel dalam percobaan ini adalah

S ={GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}

Sehingga n(S) = 8

a. E1 = {GGG, GGA, GAG, AGG}

Sehingga, P(E1) = n(E1)

n(S)=

4

8=

1

2

b. E2 : {GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}

P(E2) = n(E2)

n(S)=

7

8=

1

2

Contoh :

Sebuah kantong berisi 8 kelereng merah dan 5 kelereng biru,diambil 3 kelereng sekaligus

secara acak. Tentukan :

a. Peluang terambilnya dua kelereng merah dan satu kelereng biru

b. Peluang terambilnya satu kelereng merah dan dua kelereng biru

c. Peluang terambilnya ketiganya kelereng merah

d. Peluang terambilnya ketiganya kelereng biru

Jawab :

Ruang sampel S adalah banyaknya cara memilih tiga kelereng dari tiga belas kelereng. Ini

adalah kombinasi karena urutan pengambilan tidak dipentingkan,

𝑛(𝑆) = 𝐶313 =

13!

3! 10!= 286

a. Misalkan E1 kejadian mendapatkan dua kelereng merah dan satu kelereng biru

𝑛(𝐸1) = 𝐶28. 𝐶1

5 = 140

𝑃(𝐸1) =𝑛(𝐸1)

𝑛(𝑆)=

140

286=

70

143

catatan

𝑷(𝑬𝒄) = 𝟏 − 𝑷(𝑬)

54

b. Misalkan E2 kejadian mendapatkan satu kelereng merah dan dua kelereng biru

𝑛(𝐸2) = 𝐶18. 𝐶2

5 = 80

𝑃(𝐸2) =𝑛(𝐸2)

𝑛(𝑆)=

80

286=

40

143

c. Misalkan E3 adalah kejadian mendapatkan tiga kelereng merah

𝑛(𝐸3) = 𝐶38 = 280

𝑃(𝐸3) =𝑛(𝐸3)

𝑛(𝑆)=

280

286=

140

143

d. Misalkan E4 adalah kejadian mendapatkan tiga kelereng biru

𝑛(𝐸4) = 𝐶45 = 10

𝑃(𝐸3) =𝑛(𝐸4)

𝑛(𝑆)=

10

286=

5

143

b. Frekuensi Harapan

Jika suatu percobaan dilakukan sebanyak N kali dan peluang kejadian E = P(E),

maka frekuensi harapan munculnya kejadian E adalah :

Contoh :

Dari seperangkat kartu bridge yang banyaknya 52 kartu, diambil 2 kartu sekaligus. Jika

pegambilan dilakukan sebanyak 884 kali. Tentukan frekuensi harapan yang terambil

keduanya kartu As !

Jawab :

Munculnya kedua kartu As

𝑛(𝐸) = 𝐶24 = 6

Munculnya kedua kartu dari 52 kartu yang tersedia

𝑛(𝑆) = 𝐶252 = 1326

𝑃(𝐸) =𝑛(𝐸)

𝑛(𝑆)=

6

1326=

1

221

Jadi, frekuensi harapan yang terambil keduanya kartu As adalah

𝐹ℎ(𝐸) = 𝑃(𝐸). 𝑁

=1

221. 884 = 4

c. Kejadian Majemuk

1) Pengertian Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk dapat terbentuk dengan cara mengkombinasikan dua atau lebih

kejadian. Kerana kejadian merupakan himpunan, maka operasi pada himpunan juag berlaku

pada kejadian-kejadian

• Gabungan

𝐸1 ∪ 𝐸2 adalah kejadian “terjadi 𝐸1, 𝐸2 atau 𝐸1 dan 𝐸2”

𝑭𝒉(𝑬) = 𝑷(𝑬). 𝑵

55

• Irisan

𝐸1 ∩ 𝐸2 adalah kejadian “terjadi 𝐸1 dan 𝐸2”

• 𝐸𝑐 = 𝐸 , = (komplemen E) adalah kejadian “tidak terjadi 𝐸

2) Kejadian Saling Lepas

Dua kejadian disebut saling lepas (mutually exclusive) apabila kedua kejadian tersebut

tidak dapat terjadi secara bersamaan. Dengan notasi himpunan dapat kita tulis bahwa kejadian

𝐸1 dan 𝐸2 saling lepas apabila 𝐸1 ∩ 𝐸2 =⊘.

Jika dua kejadian memiliki titk sampel persekutuan maka kedua kejadian itu disebut

kejadian yang tidak saling lepas. Kejadian 𝐸1 dan 𝐸2 tidak saling lepas apabila 𝐸1 ∩ 𝐸2 ≠⊘

Contoh :

Pada pelemparan dua dadu secara bersamaan. Tentukan peluang

a. Munculnya jumlah mata dadu sama dengan 8 atau 10

b. Munculnya jumlah mata dadu bilangan prima atau bilangan genap

Jawab :

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

a. Munculnya jumlah mata dadu sama dengan 8 atau 10

n(S) = 36

E1 = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} maka n(E1) = 5

E2 = {(4,6), (5,5), (6,4))} maka n(E2) = 3

Maka peluang munculnya jumlah mata dadu sama dengan 8 atau 10 adalah

P(E1) + P(E2) = 5

36 +

3

36 =

8

36 =

2

9

b. Munculnya jumlah mata dadu bilangan prima atau bilangan genap

n(S) = 36

E1 = {(1,1), (1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3), (5,2)(6,1)}

maka n(E1) = 13

Peluang Gabungan Dua Kejadian

➢ 𝑷(𝑬𝟏 ∪ 𝑬𝟐) = 𝑷(𝑬𝟏) + 𝑷(𝑬𝟐) saling lepas

➢ 𝑷(𝑬𝟏 ∪ 𝑬𝟐) = 𝑷(𝑬𝟏) + 𝑷(𝑬𝟐) − 𝑷(𝑬𝟏 ∩ 𝑬𝟐) tidak saling lepas

56

E2 = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), }

= {(5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}

Maka n(E2) = 18

E1⋂ E2 = {(1,1)}

maka n(E1⋂ E2) = 1

Maka peluang munculnya jumlah mata dadu bilangan prima atau bilangan genap

adalah P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) − P(E1 ∩ E2) =13

36+

18

36−

1

36=

30

36=

5

6

3. Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian disebut saling bebas (independent) jika terjadinya kejadian pertama tidak

tergantung kepada terjadinya kejadian kedua. Misalnya dalam pelemparan dua dadu secara

bersamaan, kejadian munculnya mata dadu pertama tidak tergantung kepada munculnya mata

dadu kedua.

Misalnya peluang kejadian E1 = P(E1) dan peluang kejadian E2 = P(E2). Jika kejadian E1

dan E2 bebas maka peluang terjadinya kejadian E1 dan E2 adalah

Contoh :

Dua dadu dilempar secara bersamaan. Tentukan peluang munculnya mata dadu pertama 2 dan

mata dadu kedua 4!

Jawab :

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Misalnya, munculnya jumlah mata 2 dadu pertama adalah E1

E1 = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)} maka n(E1) = 6

Misalnya, munculnya jumlah mata 2 dadu pertama adalah E2

E2 = {(1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4)} maka n(E2) = 6

E1⋂ E2 = {(2,4)} maka n(E1⋂ E2) = 1

Sehingga peluang munculnya mata dadu pertama 2 dan mata dadu kedua adalah 4 yakni

P(E1⋂E2) = P(E1). P(E2) =6

36×

6

36=

1

36

𝑷(𝑬𝟏⋂𝑬𝟐) = 𝑷(𝑬𝟏). 𝑷(𝑬𝟐)

57

4. Kejadian Bersyarat

Jika kedua kejadian terjadi secara berurutan dan kedua kedua kejadian tersebut tidak

saling lepas, tetapi saling mempengaruhi maka kejadian tersebut disebut kejadian bersyarat.

Peluang terjadinya kejadian B apabila kejadian A diketahui telah terjadi disebut peluang

bersyarat dan dilambnagkan dengan : P(B/A)

Dirumuskan dengan :

Contoh :

Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. Jika mata dadu pertama adalah bilangan ganjil,

tentukan peluang bahwa jumlah mata kedua dadu kurang dari 5!

Jawab :

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Misal, A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil pada mata dadu pertama yaitu

A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2)}

{(5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}

Maka 𝑃(𝐴) =18

36

Misal, B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 5 yaitu

B = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)}

𝐴⋂𝐵 = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1)} maka 𝑃(𝐴⋂𝐵) =4

36

Jadi peluang bahwa jumlah mata kedua dadu kurang dari 5 dengan syarat mata dadu pertama

bilangan ganjil adalah

P(B ∕ A) =P(A⋂B)

P(A)=

436⁄

1836⁄

=4

18=

2

9

𝑷(𝑩 ∕ 𝑨) =𝑷(𝑨⋂𝑩)

𝑷(𝑨)

58

C. TES


1. Sebuah kotak berisi 6 bola hitam dan 5 bola putih. Jika dari kotak tersebut diambil 2 bola

secara acak, maka peluang terambil 2 bola hitam adalah …

a. 2

55 d.

15

55

b. 6

55 e.

25

55

c. 12

55

2. Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 5 bola putih. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus

secara acak. Peluang terambil 1 bola merah dan 2 bola putih adalah …

a. 3

20 d.

9

20

b. 2

9 e.

10

21

c. 1

3

3. Dua buah dadu dilempar undi bersama sama sebanyak satu kali. Peluang munculnya mata 3 pada

dadu pertama atau 2 pada dadu kedua adalah …

a. 5

36 d.

12

36

b. 6

36 e.

17

36

c. 11

36

4. Dua buah dadu dilempar undi satu kali. Peluang kejadian muncul mata dadu berjumlah 4 atau 7

adalah …

a. 4

36 d.

9

36

b. 5

36 e.

18

36

c. 7

36

5. Dalam suatu kotak terdapat 6 bola kuning dan 10 bola biru. Dua bola diambil satu demi satu tanpa

pengembalian bolz pertama kedalam kotak. Peluang terambilnya pertama bola kuning dan kedua

bola biru adalah ….

a. 15

64 d.

4

25

b. 3

20 e.

35

64

c. 1

4

59

D. RANGKUMAN

E. KUNCI JAWABAN

1. D

2. E

3. C

4. D

5. C

60

Anton, Howard, Dasar – Dasar Aljabar, Edisi Ketujuh, Interaksara, Batam Center, 2000

Sembiring, Suwah and Sudarajat, M. 2008. Penuntun MAFIKIBI kelas XII. Bandung :

Yrama Widya

Simangunsong, Wilson, Poyk M, Frederik, Matematika kelas 2 SMU IPA, Gematama,

Jakarta, 2003

Sukirman, dkk, matematika, Unibersitas Terbuka, Jakarta, 2009

Tampomas, Husein. 2008. Seribu pena matematika untuk SMA/MA kelas X, XI & XII.

Jakarta: Erlangga

Wirodokromo, Sartono. 2003. Matematika 2000. Bandung : Erlangga

DAFTAR PUSTAKA

e - modul matematika wajib

Documents