modul matematika trigonometri xi

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS 1

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Penyusun : Dra. Nuning Sulistyowati Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.

Imam Indra Gunawan, S.Si. I. Pengukuran Sudut

Sebelum membahas satuan pengukuran sudut,kita ulang terlebih dahulu tentang pengertian sudut. Sudut adalah suatu daerah yang dibatasi oleh dua sinar(garis) yang bersekutu pada titik pangkalnya. Perhatikan pada gambar dibawah ini:

Garis dan garis bersekutu di titik O Membentuk sudut AOB ditulis AOB∠ Sudut satu putaran penuh 3600 atau 2 radian(dalam radian). Dengan demikian besar sudut satu derajat (1°) didefinisikan sebagai ukuran sudut yang besarnya putaran penuh dapat dituliskan :

putaran

°=°

36011

Ukuran sudut lainnya adalah radian. Satu radian(1 rad) didefinisikan sebagai besarnya sudut pusat suatu lingkaran yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran tersebut (lihat gambar). Dapat dituliskan besar POR adalah 1 rad. Untuk satu putaran penuh nilainya sama dengan keliling lingkaran yaitu 2 ,oleh karena itu

1 putaran penuh = r

r⋅⋅π2 = 2 rad

Hubungan derajat dan radian 2 rad = 3600 rad = 1800

1 rad = π°180

1 rad = 57,30 atau radian°

=°180

1 π

Contoh 1.Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat ke dalam satuan radian

a. 300 = °°

18030

x = 61

b. 900 = °°

18090

x = 21

2. Ubahlah besar sudut dalam satuan radian ke dalam satuan derajad

a. 41 = °=

°⋅ 45180

41

ππ

b. 32 = °=

°⋅ 120180

32

ππ

O A

B

r r

r O

P

R

1 rad



II. NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT Trigonometri terdiri dari sinus(sin), cosinus(cos), tangens(tan), cotangens(cot), secan(sec), dan cosecan(cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat Cartesius atau segitiga siku-siku.

Misal lingkaran L berjari-jari r. Titik P(a, b) terletak pada lingkaran L dan OP = r , OP membentuk sudut α dengan sumbu x positif.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==jarijari

ordinatrbαsin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

ordinatabsis

yxαcot

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==absis

jarijarixrαsec

cosec ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==ordinat

jarijariyrα

Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku maka definisinya adalah sebagai berikut:

cba =sin

cosec

bc

=α

ca

=αcos a

c=αsec

Contoh Jika sin 2

1=α dan 0O < α < 90O, tentukan nilai cosα dan tanα Jawab: sin 2

1=α dapat digambarkan pada segitiga siku-siku.

3cos 21

23 ==α 3tan 3

13

1 ==α

α

c

b

a

α

2 1

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

absisordinat

xyαtan

ab

=αtan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==jarijari

absisraαcos α

P(a, b)

x

y

r

O

ba

=αcot



1. Nilai Trigonometri Untuk Sudut-Sudut Istimewa Di dalam trigonometri ada 5 sudut yang dikategorikan sudut istimewa. Kelima sudut tersebut adalah sudut-sudut yang besarnya 0O , 30O, 45O , 60O , 90O. Nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa ini disajikan pada tabel berikut:

0° 30° 45° 60° 90° Sin α 0

21 22

1 321 1

Cos α 1 321 22

1 21 0

Tan α 0 331 1 3 -

Cosec α - 2 2 332

1

Sec α 1 332 2 2 -

Cot α - 3 1 331

0

A. Rumus-Rumus Identitas Trigonometri

ααα

cossintan =

ααα

sincoscot =

α

αcos

1sec =

cosecα

αsin

1=

1cossin 22 =+ αα αα 22 sec1tan =+ =+1cot 2 α cosec2α

B. Perbandingan trigonometri suatu sudut di berbagai kuadran. 1. Sudut pada kuadran

Sumbu-sumbu pada koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat daerah yang disebut dengan kuadran. Sehingga besar sudut α dapat dikelompokkan menjadi 4 daerah seperti yang terlihat pada gambar berikut :

Y

900 – 1800 00 – 900 X 1800 – 2700 2700 - 3600

Pembagian sudut pada tiap kuadran : Kuadran I = 0o < α < 90o Kuadran II = 90o < α < 180o Kuadran III = 180o < α < 270o Kuadran IV = 270o < α < 360o

Kuadran I ( x, y)

Kuadran II ( -x, y)

Kuadran III ( -x, - y)

Kuadran IV ( x, - y)



Dari gambar tersebut nilai ( tanda ) perbandingan trignometri diberbagai kuadran dapat dilihat pada tabel sebagai berikut :

Perbandingan Trigonometri

Kuadran I

Kuadran II

Kuadran III

Kuadran IV

Sinus α + + - - Cosinus α + - - + Tangen α + - + - Cosecan α + + - - Secan α + - - +

Tangen α + - + - 2. Sudut Berelasi

a. Sudut di kuadran I ( 0o < x < 90o ) Perhatikan segitiga OAP di kuadran I dan titik P ( x,y)

Dapat disimpulkan bahwa : Sin (90o – a ) = Cos ao

Cos (90o – a ) = Sin ao Tan (90o – a ) = Cot a o b. Sudut di kuadran II ( 90o < x < 180o ) Perhatikan segitiga OAP di kuadran I, titik P (x,y) dan titik p’ ( -x,y) Dari beberapa rumusan diatas dapat disimpulkan : Sin ( 180o – ao) = Sin a o

Cos ( 180o – ao) = – Cos a o Tan ( 180o – ao) = – Tan a o

Sin ao = y/r Cos ao = x/ r Tan ao = y/ x Sin ( 90o - a) = x/r Cos ( 90o - a) = y/r Tg ( 90o - a) = x/y

Sudut di kuadran I Sin ao = y/r Cos ao = x/r Tan ao = y/x

Sudut di kuadran II Sin ( 180o – a) = y/r Cos ( 180o – a) = – x/r Tan ( 180o – a) = y/–x

a

90°– a

O A

P(x,y)

x

y r

a

90°– a

O A

P(x,y)

x

y r

P(–x,y)

r

a

y

–x

(180°– a)



c. Sudut di kuadran III ( 180o < x < 270o )

Perhatikan segitiga OAP di kuadran I dan titik P ( x,y) dan titik P’ (–x, –y) di kuadran III. Diperoleh relasi sebagai berikut :

Dari beberapa rumusan diatas, dapat disimpulkan :

d. Sudut di kuadran IV ( 270o < x < 360o ) Dengan cara yang sama didapat hubungan(relasi) sebagai berikut :

Contoh :

1. Tentukan nilai trigonometri berikut : a. Sin 600

b. Sin 1200 c. Cos 2100 d. Tan 2400 e. Sin 3150 f. Cos 3000 Jawab :

a. Sin 600 = Sin (900 – 300) = Cos 300 = 321

b.Sin 1200 = Sin (1800 – 600) = Sin 600 = 321

c. Cos 2100 = Cos (1800 + 300) = – Cos 300 = – 32

1

Sudut di kuadran I Sin ao = y/r Cos ao = x/ r Tan ao = y/ x

Sudut di kuadran III Sin ( 180o + a) = – y/r Cos ( 180o + a) = – x/r Tan ( 180o + a) = y/x

Sin ( 180o + ao) = – Sin ao Cos ( 180o + ao) = – Cos ao Tan ( 180o + ao) = Tan ao

Sin (360o– ao) = – Sin ao Cos (360o– ao) = Cos ao Tan (360o– ao) = – Tan ao

a

90°– a

O A

P(x,y)

x

y r

P(–x, –y)

r

a

–y

–x

(180°+ a)



d. Tan 2400 = Tan (1800 + 600) = Tan 600 = 3 e. Sin 3150 = Sin (3600 – 450) = – Sin 450 = – 22

1

f. Cos 3000 = Cos (3600 – 600) = Cos 600 = 21

C. Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub/Polar.

a. Merubah Koordinat Cartesius ke Koordinat Kutub

Diketahui koordinat P(x, y) →P(r, ao) = …..? Lihat ∆OAP siku-siku di A

22 yxr += ; Tan ao xy=

ao = arc Tan ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

xy

b. Merubah Koordinat Kutub ke Koordinat Cartesius

Diketahui koordinat P(r, ao) →P(x, y) = …..? Lihat ∆OAP siku-siku di A

Sin ao = ry

; Cos ao = rx

y = r Sin a° x = r Cos a°

Contoh 1.Tentukan koordinat kartecius dari titik A( 2,1350) Jawab x = r Cos a° y = r Sin a° = 2 cos 1350 = 2 sin 1350 = 2 cos(1800 – 450) = 2 sin (1800 – 450) = 2. – cos 450 = 2 sin 450

= 2 . – = 2 .

= – = Jadi Koordinat kartecius titik A(– , )

2.Tentukan koordinat kutub dari titk B(- 2, 2) Jawab r = = = 2

1 - 2-2 tan ===°

xya

a = arc tan(–1) maka a = 1350 ( dikuadran II sin (+) dan cos (-))

Jadi koordinat kutub titik B(2 ,1350 )

ao O A

P(x,y)

x

y r



Latihan 1 1. Nyatakan dalam bentuk derajat :

a rad b. rad c. rad d. rad 2. Nyatakan dalam bentuk radian :

a. 1200 b. 1750 c. 720 d. 480 3. Tentukan nilai berikut :

a.Sin 1500 c.tan 3300 e. Cos

b.Cosec 450 d.Sin f. Sin 4. Hitunglah nilai dari :

a. Cos π32

– Cos π35 + Sin π3

2

b. Sin 600.Cos 3300 + tan 2250 c. (Cos 3000 – Sin 2100) x ( Cos 3000 + Sin 2100 )

d. °−°°+°

60cos150tan60cos150tan

e. Jika Cot ß =34 , tentukan nilai trigonometri berikut:

* Sin ß dan tg ß. * Sec ß dan Ctg ß. * ( Sin ß )2 + (Cos ß)2 * Cos ß dan Cosec ß

5. Nyatakan titik –titik berikut dalam koordinat kutub ! a. A( 4 4 ) b. B( 5,6 ) c. C(–5, –5 ) d.D(–2,2 ) 6. Nyatakan titik-titik berikut dalam koordinat Cartecius a. A( 6,300 ) b.( 9,1500 ) c.C( 12,2400 ) d.D( 4,1500) III. Aturan Sinus dan Kosinus a.Aturan Sinus Dalam segitiga ABC seperti pada gambar berikut :

Dalam ADC, kita tentukan panjang DC ditinjau dari Sin α Sin α = maka DC = AC Sin α → DC = b Sin α ........1

Dalam BDC,kita tentukan panjang DC ditinjau dari Sin β Sin β = maka DC = BC Sin β → DC = a Sin β.......2 Dari persamaan 1 dan 2 : DC = DC b Sin α = a Sin β = ...............1

ab

c



Sama dengan diatas coba tentukan panjang AE jika ditinjau dari Sin β dan Sin γ. Sin β = → AE = AB Sin β maka AE = c. Sin β dan

Sin γ = →AE = AC Sin γ maka AE = b. Sin γ Dari kedua pernyataan diatas diperoleh : c. Sin β = b. Sin γ = .........2 Sehingga dari pers. 1 dan 2 diperoleh aturan sinus berikut :

γβα Sin

cSin

bSin

a==

Contoh :

1. Diketahui : PQR dengan sisi p = 10 cm dan q = 10 cm, P = 600 dan Q = 300 Tentukan : a. R , b.panjang sisi r Jawab :

a. R = 1800 – ( P + Q) = 1800 – ( 600 + 300 )

= 900 b. Panjang sisi r → =

=

r =

r = = 3320 cm

b. Aturan Cosinus Dalam Segitiga ABC sembarang telah diketahui ukuran sebuah sudut dan dua

sisi yang mengapitnya.Bagaimana menentukan panjang sisi lainnya?perhatikan gambar dibawah ini

Pada gambar diatas ABC segitiga lancip dan CD AB Misal AD = x maka BD = (c – x )

Pada ADC ; CD2 =.........( 1) Pada BDC ; CD2 = a2 – ( c – x)2 =...... (2) Dari (1) dan (2) diperoleh : CD2 = CD2

b2 – x2 = a2 – c2 + 2cx– x2

b2 = a2 – c2 + 2cx

atau a2 = b2 + c2 – 2bc.....(3) Dalam ADC Cos A = x = b cos A........(4) Dari persamaan( 3) dan( 4) a2 = b2 + c2 – 2bc cos A



Dengan cara yang serupa dapat kita buktikan pula bahwa : b2 = a2 + c2 - 2ac cos B dan c2 = a2 + b2 - 2ab cos C Aturan Cosinus :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC panjang AB = 7 cm,AC = 8 cm,dan BC = 5 cm besar sudut-sudut segitiga ABC.

Jawab :

Misal AB = c = 7 cm,AC = b = 8 cm, BC = a = 5 cm

= , = , =

Degan aturan cosinus diperoleh

a2 = b2 + c2 – 2bc cos

= = 0,7857

Jadi = arc cos 0,7857 α= 38,21°

Sudut dapat ditentukan dengan cara berikut :

b2 = a2 + c2 – 2ac cos

Cos =

= = = 0, 1429

Jadi = arc cos 0,1429 β = 81,790

Dengan demikian, kita dapat menentukan yaitu :

= 1800 – 38,210 – 81,790 = 600

c. Luas Segitiga Misal diketahui segitiga ABC sembarang

Jika panjang alas dan tinggi segitiga diketahui maka kita dapat menentukan luas daerah yaitu:

L = 21 x alas x tinggi

Rumus luas segitiga tersebut dapat dikembangkan menjadi luas segitiga yang lain dengan menggunakan

Unsur trigonometri.

• L = x alas x tinggi

L = x c x t



Pada segitiga ACP Sin A = t = b.sin A

Sehingga L = x c .b.sin A

• L = x alas x tinggi

L = x c x t

Pada segitiga BPC Sin B = t = a.sin B

Sehingga L = x c .a.sin B

• Pada aturan sinus berlaku :

Sin B =

L = x a.c.sin B L = x a.c.

Sehingga, L = x a.b.sin C

• Berdasarkan penjelasan diatas,Luas daerah segitiga ABC dapat ditentukan apabila panjang dua sisi dan satu sudut apitnya diketahui.

Luas CbaABC sin...21=∆

Luas BcaABC sin...21=∆

Luas AcbABC sin...21=∆

Luas segitiga ABC dapat pula ditentukan apabila panjang ketiga sisinya diketahui

L = ))()(( csbsass −−−

Dengan S = 21 keliling =

21 (a+b+c)

Contoh :

1. Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui a = 3 cm,b = 6 cm,dan = 450 Jawab : L = a.b. sin C = 3.6.sin 450 = 18 = cm2 2. Tentukan luas segitiga ABC bila diketahui panjang sisi- sisinya, masing-masing

AB = 4 cm,AC = 5 cm dan BC = 7 cm! Jawab : Keliling segitiga = AB + AC + BC = 4 + 5 + 7 = 16 cm

Sehingga : S = x 16 = 8 cm

L = L = = = 4 cm2



Latihan 2. Kerjakan soal-soal berikut dengan benar!

1. Dari segitiga ABC , jika diketahui dengan panjang a = 2 cm, panjang b = 32 cm, dan besar sudut C = 30O. Tentukan Panjang sisi c = ....

2. Pada segitiga PQR sudut P = 300,p = 4 cm,dan q = 5 cm.Tentukan dan panjang sisi r !

3. Pada segita ABC,diketahui BC =4 cm,AC = 5cm dan = 450,Tentukan panjang AB dan besar sudut B!

4. Suatu segitiga ABC diketahui = 450, = 650 jika panjang c = 18 cm.Tentukan luas segitiga tersebut!

5. Tentukan luas segitiga ABC,jika diketahui panjang AB = 10 cm, BC = 8 cm,dan AC = 6 cm.

6. Dalam segitiga PQR diketahui panjang PQ = 6 cm dan PR = 10 cm jika luas segitiga PQR = 15 cm2,tentukan panjang QR tersebut!

7. Pada segitiga ABC diketahui = 500, = 700 ,dan panjang b = 12 Tentukan panjang sisi a dan c

IV. Rumus-Rumus Fungsi Trigonometri Untuk Jumah dan Selisih Dua Sudut

a. ( )BA+cos = BABA sin.sincos.cos − b. ( )BA−cos = BABA sin.sincos.cos + c. ( )BA+sin = BABA sin.coscos.sin + d. ( )BA−sin = BABA sin.coscos.sin −

e. ( )BA+tan = BA

BAtan.tan1

tantan−

+

f. ( )BA−tan = BA

BAtan.tan1

tantan+

−

Contoh 1. Hitunglah Cos 150 dan Cos 1050 tanpa menggunakan tabel matematika atau kalkulator. Jawab : a.Cos 150 = Cos( 45 – 30)0

= cos 450.cos 300 + sin450 sin300 = ( )(. ( ) +( )( )

= +

= ( ) b. Cos 1050 = Cos ( 600 + 450 )

= cos 600cos 450 – sin 600 sin 450

= . ( ) - ( ) ( )

= -

= ( - )



2. Buktikan bahwa cos ( ) + cos ( ) = cos a Bukti : Ruas kiri = cos ( ) + cos ( )

=( cos cos a – sin sin a ) + ( cos cos a + sin sin a )

= 2 cos cos a

= 2( ) cos a

= cos a = Ruas kanan (terbukti)

3. Hitung nilai Sin 750 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel matematika Jawab : Sin 750 = Sin(450 + 300 )

= sin 450 cos 300 + cos 450sin 300 = ( )( ) + ( )( )

= +

= ( + )

4. Diketahui sin A = ,cos B = ,sudut A dan B lancip.Hitunglah nilai tan( A – B )! Jawab : AP =

= = = = 4 tan A =

RS = = = = = 5 tan B =

Tan (A – B ) =

=

=

= x

=



V.Rumus-Rumus Sudut Rangkap

a. AAA cos.sin22sin = b. AAA 22 sincos2cos −=

A2sin21−= 1cos2 2 −= A

c. A

AA 2tan1tan22tan

−=

Contoh

1.Diketahui Sin A = dan sudut A lancip Hitunglah sin 2A,cos 2A,tan 2A Jawab : Perhatikan gambar disamping Sin A = maka BC = 4,dan AC = 5

AB = = = = 3 Sehingga Cos A = =

Tan A =

Dengan demikian : Sin 2A = 2 sin A.cos A

= 2( )( )

= Cos 2A = - =( )2 – ( 2

= – = –

AAATan 2tan1

tan2 2 −

=

= = = x - = - =



VI. Rumus Perkalian Cosinus Dan Sinus a. BA cos.cos.2 = ( ) ( )BABA −++ coscos b. BA sin.sin.2 = ( ) ( )BABA −−+ coscos c. BA cos.sin.2 = ( ) ( )BABA −++ sinsin d. BA sin.cos.2 = ( ) ( )BABA −−+ sinsin

Contoh 1.Hitunglah nilai dari (cos 750 sin 150),tanpa menggunakan tabel matematika

atau kalkulator. Jawab : 2 cos A.sin B = sin(A+B) – sin(A – B)

Cos A.sin B = Sehingga : Cos 750.sin 150 = = (sin 900 - sin 600 )

= ( 1 - )

= 341

21−

VII. Rumus Jumlah dan Selisih Cosinus dan Sinus

a. DC coscos + = ( ) ( )2

cos.2

cos2 DCDC −+

b. DC coscos − = ( ) ( )2

cos.2

cos2 DCDC −+−

c. DC sinsin + = ( ) ( )2

cos.2

sin2 DCDC −+

d. DC sinsin − = ( ) ( )2

sin.2

cos2 DCDC −+

Contoh 1. Nyatakan bentuk perkalian berikut dan sederhanakan jika mungkin

a. Sin 750 + Sin 150 Jawab : Sin C + Sin D = 2 sin (C + D).cos (C – D).maka

Sin 750 + Sin 150 = 2 sin ( ).cos ( ). = 2 sin 450.cos 300

= 2( )( )

=



b.Sin 3x – sin x Jawab :

Sin C – sin D = 2 cos (C + D).sin (C – D ) maka

Sin 3x – sin x = 2 cos (3x+ x).sin (3x – x ) = 2 cos 2x .sin x

Latihan 3 Kerjakan soal-soal berikut dengan jawaban yang tepat!

1. sin 3A =.... 2. sin 4A =.... 3. 2 sin 500 cos 400 + 2 cos 200 sin 100 =.........

4. Jika 6πβα =+ dan

43cos.cos =βα , maka ( ) .... cos =− βα

5. Jika tan = a , maka cos 2 = ....... 6. ....3cos.4cos3sin.4sin =− xxxx 7. Untuk semua nilai A, bentuk sin (A + 30O) + cos (A + 60O) sama dengan .... 8. ....7sin3sin =+ xx 9. Tan 700 + tan 200 =.....

10. 4 cos (15 + a)0 cos( 15 – a )0 =....

== oOo ==



Bagaimana Mendapatkan Modul Ini Di Internet Secara GRATIS?

Modul ini bersama modul-modul yang lain, serta semua informasi tentang E-Learning matematika SMA-SMK dapat kalian manfaatkan secara GRATIS .

Semua modul merupakan hasil karya semua anggota MGMP Matematika SMK Kota Pasuruan. Mohon maaf apabila ada kesalahan penulisan. Tahun pelajaran 2010/2011 merupakan tahun pertama kami merintis. Akan kami revisi di tahun pelajaran berikutnya. Kritik dan saran kami terima lewat E-mail : [email protected] Bagaimana caranya memanfaatkannya : A. Weblog : www.matematika-pas.blogspot.com (i) Buka browser internet (contoh : Mozilla Firefox, Opera, Internet Explorer, Google Crome, dll) (ii) Pada Addres (alamat) gantilah dengan : www.matematika-pas.blogspot.com lalu tekan Enter (iii) Untuk mendapatkan Modul Ini secara GRATIS, pilih menu Modul, lalu pilih Modul yang sesuai & klik

(iv)Terhubung (Link) dengan ziddu.com. Ikuti saja perintahnya. Ulangi beberapa kali jika gagal. B. Facebook (i) Masuk akun facebook (ii) Pada menu Search, ketik : Matematika SMA/SMK lalu tekan Enter (iii) Klik (Pilih) Matematika SMA/SMK dengan gambar kubus ajaib bertuliskan E-Learning (iv)Terhubung ke Page (halaman) E-learning Matematika SMA/SMK, Klik Suka (Like) (v) Semua Informasi E-Learning (Pembelajaran Elektronik) matematika tanpa tatap muka dikelas

secara otomatis akan masuk di Beranda (Home) akun facebook kalian. (vi) Segera ajak teman-teman facebook kalian untuk bergabung disini.

Tidak semua Internet itu tidak baik, banyak sisi positif yang dapat diambil dari sana. Hanya keyakinan kita pada ajaran agama masing-masing yang dapat membentenginya. Kami sudah dapat membuktikannya melalui E-LEARNING MATEMATIKA dengan memanfaatkan Weblog dan Facebook.

Semoga Bermanfaat.

modul matematika trigonometri xi

Documents