MAKALAH KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

Oleh :

Kelompok III Matkom III-A

NING MASITAH (09320039)

UMMI LAILA NURJANNAH (09320044)

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN

KOMPUTASI

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

2010

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

Dalam materi persamaan dan fungsi kuadrat terdapat 3 indikator, yaitu :

1. Membentuk persamaan kuadrat yang diketahui sifat – sifat akarnya.

2. Menentukan fungsi kuadrat yang diketahui satu titik dan titik puncaknya.

3. Mencari titik ekstrim dan sumbu simetri fungsi kuadrat.

A. Persamaan Kuadrat

1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat.

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variable atau peubah x

adalah sebagai berikut :

ax2 + bx +c = 0

dengan a, b, c bilangan real, dan a 0.

a disebut koefisien x2, b koefisien x, dan c disebut konstanta.

2. Membentuk persamaan kuadrat yang diketahui sifat - sifat akarnya.

a. Sifat – Sifat Akar Persamaan Kuadrat.

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2

adalah akar-akarnya. Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat

dari rumus ABC, yaitu:

Maka x1 = maka x2 =

Sehingga didapat hubungan :

x1 + x2 =

x1 . x2 =

Bentuk diatas dikenal sebagai sifat akar pada persamaan kuadrat.

b. Cara Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 dan x2 adalah :

( x – x1 ) . ( x – x2 ) = 0 atau x2 – ( x1 + x2 )x + ( x1 . x2 ) = 0.

Contoh soal :

1) Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya -3 dan 1/3.

Jawab :

( x – x1 ) . ( x – x2 ) = 0

( x – (-3)) . ( x – 1/3 ) = 0

( x + 3 ) . ( x – 1/3 ) = 0

x2 – 1/3 x + 3x – 1 = 0

x2 – 2 2/3 x – 1 = 0

x2 – 8/3 x – 1 = 0

2) Jika akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – x -5 = 0 adalah p dan q,

maka persamaan juadrat yang akar – akarnya ( p -1) dan (q -1)

adalah

Jawab :

2x2 – x - 5 = 0; a = 2, b = -1, c = -5

Maka :

p + q = -b / a = - (-1) /2 = 1/2 dan p . q = c / a = -5 / 2

Sehingga :

( p – 1 ) + ( q – 1 ) = ( p + q ) – 2

= 1/2 – 2

= -3 / 2

( p – 1) ( q – 1 ) = pq – p – q + 1

= pq – ( p + q ) + 1

= -5/2 – (1/2) + 1

= -2

Jadi persamaan kuadratnya adalah :

x2 – ( x1 + x2 ) x + ( x1 . x2 ) = 0.

x2 – (( p – 1 ) + ( q – 1)) x + (( p – 1) ( q – 1 )) = 0.

x2 – ( -3/2 ) x + ( -2 ) = 0.

x2 + 3/2 x -2 = 0.

2x2 + 3x – 4 = 0.

B. Fungsi Kuadrat

1. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi yang mempunyai variable dengan pangkat tertinggi dua

disebut fungsi kuadrat. Bentuk umumnya :

F(x) = ax2 + bx + c ; a, b, c, є bilangan real dan a ≠ 0.

Contoh : a) f(x) = x2 – 4

b) f(x) = 2x2 + 5x + 6

2. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Diketahui 1 Titik dan Titik

Puncaknya.

Jika fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c mempunyai titik puncak P (xp , yp),

maka fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

Y = a(x - xp)2 + yp

Selanjutnya untuk menentukan nilai a, kita subtitusikan nilai x dan y dari

suatu titik lain yang dilalui grafik fungsi kuadrat ke persamaan diatas.

Contoh soal :

1) Tentukan rumus fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak P (2, -1)

serta melalui titik A ( 0,3).

Jawab :

Dengan menggunakan rumus di atas untuk xp = 2 dan yp = -1, maka

diperoleh:

Y = a(x - xp)2 + yp

Y = a(x – 2)2 – 1

Karena grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik A( 0, 3), maka:

3 = a (0 - 2)2 – 1

3 = 4a – 1

3 + 1 = 4a

4 = 4a

A = 1

Sehingga diperoleh:

y

x0

P (xp , yp)

A (x, y)

Y = 1 (x – 2)2 – 1

Y = (x - 2) (x - 2) – 1

Y = x2 - 4x + 4 - 1

Y = x2 – 4x + 3

3. Sumbu Simetri dan Titik Ekstrim

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabol (seperti gambar di atas)

dapat menghadap ke bawah atau ke atas. Grafik itu mempunyai sumbu

simetri yaitu l, dan titik puncak P. Titik puncak disebut juga titik balik .

Jika grafik fungsi y = ax2 + bx +c dipotongkan dengan sumbu x,

yang berarti y = 0, maka diperoleh ax2 + bx +c = 0. Jika grafik fungsi

berpotongan di A (x1, 0) dan B (x2, 0), maka x adalah akar – akar

persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Dikatakan pula bahwa x1 dan x2 adalah

pembuat nol fungsi f(x) = ax2 + bx +c.

Garis l adalah sumbu simetri, yang berarti melalui tengah – tengah

AB, sehingga persamaannya adalah = . Titik P

diperoleh dengan memotongkan garis x = -b/2a dengan kurva y = ax2 + bx

+c.

y = -b/2a dan y = ax2 + bx +c , maka :

y = a (-b/2a)2 + b(-b/2a) + c

= b2 – 2b2 + 4ac / 4a = - b2 – 4ac / 4a = -D/4a.

y

x0

P

B (x2, 0)A (x1, 0)

ly

x0

P

B (x2, 0)

A (x1, 0)

l

Jadi koordinat titik puncak adalah P ( -b/2a , -D/4a ).

Karena terdapat dua akar yaitu x1 dan x2, maka pasti D > 0. Ini

berarti jika a > 0, maka (-D/4a) < 0, dan jika a < 0, maka (-D/4a) > 0.

Dengan kata lain, jka a > 0 maka grafik menghadap keatas, dan jika a < 0,

maka grafik menghadap ke bawah.

Jika grafik menghadap ke atas maka titik puncaknya adalah titik

puncak minimum, dan jika grafiknya menghadap ke bawah, maka titik

puncaknya adalah titik puncak maksimum. Dengan demikian, berlaku sifat

berikut :

Pada fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx +c dengan a ≠ 0

a. Grafiknya berbentuk parabola

b. Bila a > 0 grafik menghadap keatas.

c. Bila a < 0 grafik menghadap ke bawah.

d. Persamaan sumbu simetri x =

e. Koordinat titik puncak P , .

Titik ekstrim disebut juga titik puncak, yaitu: P , .

Contoh soal:

1) Tentukan sumbu simetri dan titik puncak maksimum dari persamaan

f(x) = - x2 + 8x – 12!

Jawab:

a = -1 < 0 → membuka ke bawah, punya titik puncak maksimum.

D = b2 – 4ac

= 82 – 4(-1) (-12)

= 64 – 48 = 16

Titik potong dengan sumbu x, berarti f(x) = 0

f(x) = 0 → - x2 + 8x – 12 = 0

→ x2 – 8x + 12 = 0

→ (x – 6) (x – 2) = 0

→ x = 6; x = 2

Jadi titik potong dengan sumbu x adalah M (6, 0) dan N (2, 0)

Titik potong dengan sumbu Y berarti x = 0

X = 0 → f(x) = - 02 + 8 . 0 – 12 = - 12

Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah P = (0, 12)

Persamaan sumbu simetri: x = = = 4

Titik puncak: = 4

= = 4

Jadi, titik puncak maksimumnya adalah G (4, 4)

C. LATIHAN SOAL

1. Hitunglah persamaan kuadrat yang akar – akarnya mempunyai jumlah

2/3 dan hasil kalinya 5!

2. Akar – akar persamaan kuadrat x2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2.

Hitunglah persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 + x2 dan x1 . x2!

3. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di titik (3, 2) dan melalui

titik (2, 4) adalah…….

4. Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut ini!

F(x) = x2 – 2x - 8

5. Jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan 3x2 – 6x + 3 = 0 adalah

?

DAFTAR PUSTAKA

Abdurahman, Maman. 2006. Intisari Matematika SMA IPA : Ringkasan

Materi Lengkap Disertai Contoh Soal – Jawab dan Soal – Soal Latihan UNAS.

Kurikulum Berbasis Kompetensi, Penerbit CV PUSTAKA SETIA.

Kuncoro Priyo dan Ihsanudin. 2008. Panduan Praktis Siap Uji

Menghadapi UN SPMB IPA SMA. Penerbit ERLANGGA.

Foster, Bob. 2006. 1001 Plus Soal dan Pembahasan Matematika Seleksi

Penerimaan Mahasiswa Baru. Penerbit ERLANGGA.

Alders, C.J. dan Ir. Bahar. 1987. Ilmu Aljabar 2. Penerbit PT. Pradnya

Paramita.

Johanes. Kastolan. Sulasim. 2003. Kompetensi Matematika untuk Kelas 1

SMA Semester Pertama. Penerbit Yudhistira.

www.belajar-matematika.com

httpcom.umy.ac.idelschoolmuallimin_muhammadiyahfile.php1materiMatematika

PERSAMAAN%20DAN%20FUNGSI%20KUADRAT%20-%202%5B1%5D.pdf