modul pembelajaran kapita selekta matematika

i

KAPITA SELEKTA MATEMATIKA

MODUL PEMBELAJARAN

EDITOR

Drs. Budi Santoso M.Si

Elika Kurniadi, S.Pd., M.Sc

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2017

iv

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur tim editor panjatkan kehadirat Allah SWT , yang telah melimpahkan

berbagai nikmat-Nya sehingga tim editor dapat menyelesaikan modul ini. Shalawat serta

salam juga tak lupa tim editor haturkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW , yang

telah membawa umat manusia keluar dari zaman jahiliyah menuju zaman yang penuh dengan

IPTEK.

Modul ini merupakan hasil dari pembelajaran mata kuliah Kapita Selekta Matematika

yang disusun menjadi sebuah buku. Jadi tujuan utama penyusunan modul ini adalah sebagai

salah satu media pembelajaran matematika. Tim editor juga berharap , modul ini dapat

bermanfaat bagi siapa saja yang membacanya .

Ucapan terima kasih tidak lupa penulis sampaikan kepada orang tua tim, dosen mata

kuliah Kapita Selekta Matematika , teman-teman , seluruh civitas akademika Unsri , dan juga

semua pihak yang telah membantu tim menyelesaikan modul ini.

Seperti kata pepatah , “Adat Periuk Berkerat, Adat Lesung Berdedak”, modul ini juga

masih sangat jauh dari sempurna . Oleh karena itu , kritik dan saran sangat tim editor harapkan

agar dapat memacu tim editor untuk menyusun buku yang jauh lebih baik pada buku-buku

yang akan datang . Semoga pembaca dapat menikmati dan mengambil manfaat dari modul ini

. Selamat membaca .

Indralaya , Maret 2016

Tim Editor

v

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ........................................................................................................... iv

DAFTAR ISI ........................................................................................................................... v

PENDAHULUAN .................................................................................................................. ix

BAB 1 ....................................................................................................................................... 1

LOGIKA MATEMATIKA .................................................................................................... 1

1.1. Pernyataan...................................................................................................................... 2

1.2. Negasi / Pernyataan Ingkaran ........................................................................................ 2

1.3. Pernyataan Majemuk ..................................................................................................... 3

1.4. Ekuivalensi Pernyataan Majemuk ................................................................................. 5

1.5. Konvers, Invers dan Kontraposisi.................................................................................. 6

1.6. Kuantor Pernyataan ....................................................................................................... 6

1.7. Ingkaran Dari Pernyataan Berkuantor ........................................................................... 6

LATIHAN SOAL ................................................................................................................. 8

BAB 2 ..................................................................................................................................... 11

HIMPUNAN .......................................................................................................................... 11

2.1. Pengertian Himpunan .................................................................................................. 13

2.2. Anggota Himpunan...................................................................................................... 13

2.3. Menyatakan Suatu Himpunan...................................................................................... 14

2.4. Macam-macam Himpunan........................................................................................... 14

2.5. Diagram Venn.............................................................................................................. 15

2.7. Operasi pada Himpunan .............................................................................................. 16

2.8. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan.............................................................................. 20

LATIHAN SOAL ............................................................................................................... 22

BAB 3 ..................................................................................................................................... 25

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS ............................................................... 25

3.1 Fungsi Dan Jenis-Jenisnya........................................................................................... 27

3.1.1. Pengertian Fungsi .................................................................................................. 27

3.1.2. Sifat-Sifat Fungsi................................................................................................... 27

3.1.3. Jenis-Jenis Fungsi.................................................................................................. 28

3.1.4. Fungsi Komposisi.................................................................................................. 32

vi

3.1.5. Fungsi Invers ......................................................................................................... 33

3.1.6. Fungsi Invers Dari Fungsi Komposisi................................................................... 34

LATIHAN SOAL ............................................................................................................... 34

BAB 4 ..................................................................................................................................... 37

FUNGSI KUADRAT ............................................................................................................ 37

4.1 Pengertian fungsi kuadrat ............................................................................................. 38

4.2 Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat ................................................................ 38

4.3 Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat terhadap Sumbu X................................................ 39

4.4 Menentukan Fungsi Kuadrat......................................................................................... 41

4.5 Aplikasi Fungsi Kuadrat ............................................................................................... 41

LATIHAN SOAL ................................................................................................................... 42

BAB 5 ..................................................................................................................................... 45

PERSAMAAN LINGKARAN ............................................................................................. 45

5.1 Definisi Lingkaran ........................................................................................................ 47

5.2 Jarak Dua Titik ............................................................................................................. 47

5.3 Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari.............................................. 48

5.4 Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari r ........................................... 49

5.5 Hubungan Lingkaran Dengan Titik .............................................................................. 51

5.6 Hubungan Antara Garis Dan Lingkaran ...................................................................... 52

5.7 Persamaan Garis Singgung ...................................................................................... 55

5.8 Hubungan Antar Lingkaran .......................................................................................... 63

LATIHAN SOAL ............................................................................................................... 65

BAB 6 ..................................................................................................................................... 67

PYTHAGORAS .................................................................................................................... 67

6.1 Materi Prasyarat Teorema Phytagoras ..................................................................... 69

6.2 Menemukan Teorema Phytagoras ................................................................................ 72

LATIHAN SOAL ............................................................................................................... 76

BAB 7 ..................................................................................................................................... 79

ARITMATIKA SOSIAL...................................................................................................... 79

7.1 Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, Dan Nilai Sebagian .......................................... 80

7.2 Harga Pembelian Dan Harga Penjualan .................................................................. 81

7.3 Untung Dan Rugi ..................................................................................................... 84

7.4 Diskon (Rabat), Bruto, Neto, Dan Tara ................................................................... 89

vii

7.5 Pajak Dan Bunga Tabungan ......................................................................................... 90

LATIHAN SOAL ............................................................................................................... 92

BAB 8 ..................................................................................................................................... 97

PERBANDINGAN ............................................................................................................... 97

8.1 Pengertian Perbandingan ............................................................................................. 98

8.2 Pengertian Skala .......................................................................................................... 99

8.3 Terapan Perbandingan ............................................................................................... 100

8.4 Jenis-Jenis Perbandingan ........................................................................................... 103

LATIHAN SOAL ............................................................................................................. 107

BAB 9 ................................................................................................................................... 109

GENERALISASI DN POLA BILANGAN ...................................................................... 109

9.1 Generalisasi................................................................................................................. 110

9.1.1 Pengertian ............................................................................................................. 110

9.1.2 Indikator ............................................................................................................... 110

9.2 Pola Bilangan .............................................................................................................. 111

9.2.1 Pengertian ............................................................................................................. 111

9.3 Barisan Dan Deret Bilangan ....................................................................................... 113

9.3.1 Pengertian ............................................................................................................. 113

9.3.2 Jenis – Jenis ......................................................................................................... 114

LATIHAN SOAL ............................................................................................................. 119

BAB 10 ................................................................................................................................. 123

KAIDAH PENCACAHAN ................................................................................................ 123

10.1 Pengertian Kaidah Pencacahan .............................................................................. 124

LATIHAN SOAL ............................................................................................................. 128

BAB 11 ................................................................................................................................. 131

PELUANG........................................................................................................................... 131

11.1 Peluang Suatu Kejadian ......................................................................................... 132

11.2 Peluang Kejadian Majemuk................................................................................... 136

LATIHAN SOAL ............................................................................................................. 139

BAB 12 ................................................................................................................................. 143

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS ............................................................................. 143

12.1 Menentukan Posisi Titik ........................................................................................ 145

12.1.1 Posisi Titik terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y ................................................... 145

viii

12.1.2 Posisi Titik terhadap Titik Asal (0,0) dan Titik Tertentu (a,b) .......................... 147

12.2 Menentukan Posisi Garis ....................................................................................... 150

12.2.1 Posisi Garis terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y .................................................. 150

LATIHAN SOAL ............................................................................................................. 152

PEMBAHASAN .................................................................................................................. 156

PENUTUP ........................................................................................................................... 191

PROFIL TIM EDITOR ..................................................................................................... 193

PROFIL HIMMALAYA 2015 ........................................................................................... 194

DAFTAR PUSTAKA ........................................................... Error! Bookmark not defined.

ix

PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

Kebanyakan siswa menganggap Matematika adalah pelajaran yang sulit. Pada

dasarnya Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang logika berpikir. Soal sesulit

apapun akan menjadi mudah jika mahasiswa memiliki logika berpikir yang baik. Sama halnya

dengan buku yang kami buat berjudul “KAPITA SELEKTA MATEMATIKA”. Untuk

menjawab soal-soal yang ada di dalam buku ini sendiri tentu setiap siswa harus memilik i

kecakapan dalam menganalisi semua data yang di peroleh dengan system logika berpikir yang

baik.

TUJUAN

Untuk memudahkan siswa untuk belajar dan memahami konsep dari

pelajaran Matematika itu sendiri.

1 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A

BAB 1

LOGIKA MATEMATIKA

PETA KONSEP


Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan dari

ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan memberikan landasan tentang

bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal paling penting yang akan kalian dapatkan dengan

mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan

kesimpulan mana yang benar atau salah.

1.1. Pernyataan

Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di dalamnya

terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah' namun kalimat tersebut tidak

bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan

sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar

atau salah dan bersifat relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu

pernyataan tertutup dan terbuka.

A. Pernyataan tertutup adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai

benar-salahnya.

B. Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai

benar salahnya.

Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:

30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)

30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)

Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)

1.2. Negasi / Pernyataan Ingkaran

Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan,

negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak benar bahwa...' di depan

pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada contoh yang ada di bawah ini:

Pernyataan Negasi

http://rumusmatematika27.blogspot.com/2014/09/logika-matematika.html


Becak memiliki tiga buah roda

Tidak benar bahwa becak memiliki tiga buah

roda

1.3. Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi ,

implikasi , dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:

a. Konjungsi

Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan

menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini menunjukkan

logika yang berlaku dalam sistem konjungsi:

P Q p^ q Logika matematika

B B B Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar

B S S Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah

S B S Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah

S S S Jika p salah dan q salah maka p dan q adalah salah

Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungsi, kedua

pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu pernyataan akan dianggap

salah.

b. Disjungsi

Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat

dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk memahaminya,

perhatikan tabel di bawah ini:

P Q p v q Logika matematika


B B B Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar

B S B Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar

S B B Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar

S S S Jika p salah dan q salah maka p atau q adalah salah

Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah satu atau

kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap benar.

Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah.

c. Implikasi

Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan

akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan makna 'jika p ... Maka q ...'.

Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel berikut:

P Q p => q Logika matematika

B B B Jika p BENAR lalu q BENAR maka dianggap BENAR

B S S Jika p BENAR lalu q SALAH maka dianggap SALAH

S B B Jika p SALAH lalu q BENAR maka dianggap BENAR

S S B Jika p SALAH lalu q SALAH maka dianggap BENAR

d. Biimplikasi

Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai

sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap salah.

Biimplikasi ditunjukan dengan symbol dengan makna ‘ p ….. Jika dan hanya jika q …..'

P Q p q Logika matematika


B B B

p adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR

(dianggap benar)

B S S

p adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH

(dianggap salah)

S B B

p adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR

(dianggap salah)

S S B

p adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH

(dianggap benar)

1.4. Ekuivalensi Pernyataan Majemuk

Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan dalam

konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita dapat mengetahui

negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. konsep ekuivalens i

dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti yang ada pada gambar di bawah ini:

Pada ekuivalensi pernyataan majemuk, jika semua hasil pernyataan menyatakan

benar, maka hasilnya disebut dengan Tautology. Sedangkan jika semua hasil pernyataan

menyatakan salah, maka disebut Kontradiksi.

http://3.bp.blogspot.com/-sCjJJwEo-F0/VBVOOuSvFzI/AAAAAAAAENo/eaeTM6Ms-08/s1600/Ekuivalensi+Pernyataan+%E2%80%93+Pernyataan+Majemuk.jpg


1.5. Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan

implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti yang ada pada gambar

bawah ini:

1.6. Kuantor Pernyataan

Pernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat konsep

kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor eksistensial.

a. Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau

semua.

b. Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada,

sebagian, beberapa, atau terdapat.

1.7. Ingkaran Dari Pernyataan Berkuantor

Pernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor

universal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada contoh di bawah

ini:

1.8. Penarikan Kesimpulan

http://4.bp.blogspot.com/-55huCvPt2nE/VBVOP4g0xsI/AAAAAAAAEN0/e5QsgA499l8/s1600/Konvers,+Invers+dan+Kontraposisi.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-N8la3HcXxi4/VBVOSMFmZVI/AAAAAAAAEOE/vhNDks7ICeU/s1600/Kuantor+Universal.jpg

http://4.bp.blogspot.com/-84iNJIKxNt8/VBVORb-FNWI/AAAAAAAAEN8/ge4g5t3oI2c/s1600/Kuantor+Eksistensial.jpg

http://1.bp.blogspot.com/-XRG-XN79k7g/VBVOPLlZ63I/AAAAAAAAENs/REjWI2NS7xQ/s1600/Ingkaran+dari+pernyataan+berkuantor.jpg


Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-pernya taan

yang kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep penarikan kesimpulan di

dalam logika matematika berikut ini:

a. Modus Ponens

b. Modus Tollens

c. Silogisme

http://4.bp.blogspot.com/-SD_bYKvsDEs/VBVRMAcIIAI/AAAAAAAAEOc/-lBkNHwUcSM/s1600/Modus+Tollens.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-nX7pk1Lt-Dk/VBVRL3Y22BI/AAAAAAAAEOM/9iQkqRLftkI/s1600/Modus+Ponens.jpg

http://4.bp.blogspot.com/-MHI8iQVMDlc/VBVRM9f-3ZI/AAAAAAAAEOg/_Yqjl6cjWmc/s1600/Silogisme.jpg


LATIHAN SOAL

1. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di bawah ini:

"Jika hari ini hujan maka Wayan mengendarai mobil"

2. Tentukanlah kesimpulan dari dua buah premis berikut:

premis 1 : Jika harga BBM turun maka harga cabai turun

premis 2 : Harga cabai tidak turun

Maka kesimpulan dari premis di atas adalah "Harga BBM tidak turun"

3. Negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan

rajin.” adalah ?

4. Suatu pernyataan "Jika ABCD layang- layang maka AC tegak lurus BD".

Pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi di atas adalah ...

5. Perhatikan premis berikut :

(1) Jika Taylor Swift konser di Jakarta, maka Reza akan menonton

(2) Jika Reza menonton, maka ia akan senang

Invers dari kesimpulan di atas adalah ...

6. Diketahui premis-premis :

(1) Jika Rani menjadi juara kelas dan menjuarai olimpiade nasional, Ibu akan

menyekolahkan Rani ke luar Negeri.

(2) Ibu tidak menyekelohkan Rani ke luar Negeri.

Kesimpulan yang sah adalah ....

7. Diketahui pernyataan :

(1) Jika hari panas, maka Dian memakai topi

(2) Dian tidak memakai topi atau ia memakai payung

(3) Dian tidak memakai payung

Kesimpulan yang sah adalah ...

8. Suatu pernyataan "Jika ABCD layang- layang maka AC tegak lurus BD". Pernyataan

yang ekuivalen dengan implikasi di atas adalah ...


9. Dari argumentasi berikut :

Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jika adik senang maka dia tersenyum.

Kesimpulan yang sah adalah ...

10. Perhatikan premis berikut :

(1) Jika Aldi giat belajar, maka ia bisa menjadi juara

(2) Jika bisa menjadi juara, maka ia boleh ikut liburan. Kesimpulan yang sah adalah

...


Andy Maulana

Sondang Meriapul Kristiani Sitohang

Iga Octriana

Rati Septyani


BAB 2

George Cantor (1845-1918) dianggap

sebagai Bapak teori himpunan, karena beliaulah

yang pertama kali mengembangkan cabang

matematika ini. Ide-idenya tentang teori himpunan

dapat memuaskan keinginan publik terutama idenya

tentang himpunan tak berhingga (infinit) (himpunan

yang banyak anggotanya tak berhingga).

Sekitar tahun 1867 dan 1871, Cantor

menerbitkan sejumlah artikel tentang topik teori bilangan. Suatu kejadian yang sangat penting

terjadi sekitar tahun 1872 ketika Cantor melakukan perjalanan ke Swiss. Cantor bertemu

Richard Dedekind yang kemudian tumbuh persahabatan di antara mereka. Sekitar tahun 1873-

1879, banyak huruf yang diawetkan meskipun hanya sedikit membahas tentang matematika

yang dijelaskan Dedekind secara abstrak yang mana mengembangkan ide-ide dari Cantor.

Cantor pindah dari teori bilangan ke karya seri trigonometri. karya ini berisi ide-ide

Cantor tentang teori himpunan dan juga tentang bilangan irrasional. Sekitar tahun 1874,

Cantor menerbitkan artikel di jurnal Crelle yang mana menandai kelahiran teori himpunan.

PETA KONSEP

TOKOH INSPIRASI


2.1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang

jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

Contoh:

1. A adalah himpunan bilangan genap antara 1 sampai dengan 11.

Anggota himpunannya adalah 2,4,6,8,10.

Jadi A = {2,4,6,8,10}

2. B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

Anggota himpunannya adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9

Jadi B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

3. C adalah himpunan nama bulan yang huruf depannya J

Anggota himpunannya adalah Januari, Juni, Juli

Jadi C = {Januari, Juni, Juli}

2.2. Anggota Himpunan

Anggota himpunan adalah semua benda atau obyek yang terdapat di dalam himpunan.

Anggota himpunan dinyatakan dengan notasi ∈ dan jika bukan anggota himpunan dinyatakan

dengan notasi ∉.

Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).

Contoh:

A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 10 ditulis:

A={bilangan prima kurang dari 10} atau A = {2,3,5,7}

maka 2 ∈ A, 3 ∈ A, 5 ∈ A, 7 ∈ A sedangkan 1 ∉ A, 4 ∉ A, 6 ∉ A, 8 ∉ A, 9 ∉ A

Banyak anggota himpunan A adalah n(A) = 4


2.3. Menyatakan Suatu Himpunan

Untuk menyatakan himpunan dapat digunakan 3 cara :

1. Menuliskan dengan kata-kata atau syarat keanggotaannya

2. Memberikan notasi pembentuk himpunan

3. Mendaftarkan anggota-anggotanya

No Dengan kata-kata Notasi pembentuk

himpunan

Mendaftarkan

anggotanya

1 A adalah himpunan bilangan genap

dibawah 10

𝐴 = {𝑥|𝑥 < 10

∈ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝}

A= {2,4,6,8}

2 B adalah himpunan keliapatan 5

dibawah 10

𝐵 = {𝑥|𝑥 < 10

∈ 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 5}

B={5,10,15}

2.4. Macam-macam Himpunan

1. Himpunan kosong

Himpunan yang tidak mempunyai anggota, dilambangkan dengan { } atau ∅

contoh:

P adalah himpunan nama bulan yang diawali huruf K.

Tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf K, maka P={ }

2. Himpunan terhingga

Himpunan yang banyak anggotanya terhingga atau terbatas

contoh:

P adalah himpunan bilangan genap di bawah 5, ditulis P ={2,4}

3. Himpunan tak terhingga

Himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga atau tak terbatas.

contoh:

Q adalah himpunan bilangan cacah, ditulis Q={0,1,2,3,...}

4. Himpunan semesta

Himpunan yang memuat semua objek (anggota himpunan) yang dibicarakan.

Himpunan semesta dilambangkan dengan “S”.


contoh:

R={1,2,3,4,5}

Himpunan semesta yang mungkin adalah:

S={bilangan asli di bawah 10}, S={Bilangan cacah} dsb.

5. Himpunan Bagian

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A

menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A ⊂ B.

contoh:

A={2,4}

B={1,2,3,4,5}

maka A ⊂ B

Himpunan A dengan banyak anggota n(A) mempunyai himpunan bagian yang

mungkin dari himpunan itu sebanyak 2𝑛(𝐴)

contoh:

Banyak himpunan yang mungkin dari himpunan A adalah :

2𝑛(𝐴) = 23 = 8

Himpunan bagian dari A adalah:

{ }, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

6. Himpunan Ekuivalen

Himpunan A dan B dikatakan Ekuivalen jika banyak anggota kedua himpunan

contoh:

n(A) = n(B), maka A ekuivalen dengan B

2.5. Diagram Venn

Diagram Venn adalah suatu diagram yang digunakan untuk meyatakan sebuah

himpunan atau beberapa himpunan yang saling berhubungan.


Aturan untuk membuat diagram Venn:

1. Himpunan semesta digambarkan dalam sebuah persegipanjang, simbol S ditulis pada pojok

kiri atas.

2. Setiap himpunan yang dibicarakan ditunjukkan dengan gambar berupa kurva tertutup

sederhana.

3. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan noktah atau titik

Contoh:

S= {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

A={2,4,6,8,10,12}

B={10,12,14,16,18,20}

Diagram Vennnya:

S A B

·2 ·14

·4 ·6 ·10 ·16

·8 ·12 ·18 ·20

2.7. Operasi pada Himpunan

1. Irisan Himpunan

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan

anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B.

Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan:

A ∩ B = {x| x ∈ A dan x ∈ B}


Daerah yang diarsir merupakan daerah A ∩ B

Contoh:

Diketahui:

A={bilangan ganjil kurang dari 10}

B={bilangan prima kurang dari 10}

carilah A ∩ B dan gambar diagram Vennnya!

Jawab:

A ={1,3,5,7,9}

B ={2,3,5,7}

A ∩ B = { 3,5,7 }

Diagram Vennnya:

S A B

·1

·9 ·3

·5 ·2

·7


2. Gabungan Himpunan

Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya

merupakan himpunan A saja atau himpunan B saja.

Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan:

A ∪ B = {x| x ∈ A atau x ∈ B}

Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan A ∪ B

contoh:

Diketahui:

A={faktor prima dari 30}

B={Nilai genap dibawah 10}

Tentukan A ∪ B dan gambar diagram Vennnya!

Jawab:

A={2,3,5}

B={2,4,6,8}

A ∪ B ={2,3,4,5,6,8}

Diagram Vennnya:

S A B

·3 ·4

·5 ·2 ·6

·8


3. Selisih Himpunan

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan anggota A yang tidak menjadi

anggota B.

Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan: A – B, dibaca A kurang B

contoh:

Diketahui:

A={1,2,3,4,5}

B={4,5,6,7,8}

Tentukan A – B!

Jawab:

A-B = {1,2,3,4,5} - {4,5,6,7,8} = {1,2,3}

4. Jumlah Himpunan

Jumlah himpunan A dan B adalah himpunan dimana anggotanya adalah

gabungan A dan B tetapi bukan irisan A dan B.

contoh:

Diketahui:

A={a,b,c,d,e,f}

B={d,e,f,g,h,i}


Tentukan A + B!

Jawab:

A+B= {a,b,c,d,e,f} + {d,e,f,g,h,i} = {a,b,c,g,h,i}

5. Komplemen

Jika S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. Komplemen dari

himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan

anggota himpunan A. Komplemen A dinotasikan A’ dengan atau Ac

contoh:

S={1,2,3,4,5,6}

A={4,5,6}

tentukan Ac !

Jawab:

Ac= {1,2,3}

2.8. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

1. Komutatif.

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

2. Asosiatif

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

3. Distributif

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)


4. Dalil De Morgan

Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan

anggota A dan dilambangkan dengan Ac.

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

(A ∪ B)c = Ac ∩

Contoh Soal :

Dalam sebuah kelas terdapat 48 anak. 23 orang suka matematika, 35 orang suka fisika dan

14 orang suka kedua-duanya. Berapakah jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya?

Jawaban :

diagram ven

Mari kita lihat gambar di atas. Soal diatas bisa dibuat menjadi diagram ven.

M = anak yang suka matematika

F = anak yang suka fisika

X = anak yang tidak suka kedua-duanya. Kalau tidak suka harus ditempatkan diluar lingkaran.

Dalam soal ada anak yang suka kedua-duanya, berarti kedua lingkaran M dan F saling

berpotongan dan ditengahnya diisi dengan angka 14, yaitu jumlah anak yang suka kedua-

duanya (angka berwarna biru).

Kemudian dicari jumlah anak yang suka matematika saja, yaitu dengan mengurangkan

jumlah anak yang suka matematika dengan jumlah anak yang suka kedua-duanya, yaitu 23-

14.

http://3.bp.blogspot.com/-WTXeEsAQQCs/Ujei33xizaI/AAAAAAAAHOU/pqNjBqXuDTY/s1600/1.jpg


Sekarang dicari jumlah anak yang suka fisika saja, yaitu anak yang suka fisika

dikurangi dengan anak yang suka kedua-duanya, yaitu 35-14.

Langkah terakhir adalah menjumlakan semuanya

48 = (23-14) + (35-14) + 14 + x

48 = 9 + 21 + 14 + x

48 = 44 + x

48 - 44 = x

4 = x

Jadi jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya adalah 4 orang.

LATIHAN SOAL

1. A = {Nama-nama bulan pada kalender}

Berapa elemen dari A?

2. Tentukan himpunan semesta dari

M = {Mawar, Melati, Anggrek, Tulip}

3. Subset dari

a. X = {m,n}

b. Y = {2,4,6,8}

4. Gambarkan diagram venn untuk

P = {bilangan genap}

Q = {bilangan riil}

5. Diberikan

Semesta = {bilangan antara 21 dan 37}

A = {kelipatan 5}

B = {bilangan ganjil}

Tentukan 𝐴 ∩ 𝐵

Jumlah anak = jumlah anak yang hanya suka matematika + jumlah anak yang suka fisika + jumlah anak yang suka kedua-duanya + jumlah anak yang tidak suka kedua-

duanya


6. A = {1,3,5,7,9}

B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

C = {2,4,6,8}

Tentukan 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

7. Diketahui

K={bilangan prima antara 2 dan 12}

L={4 bilangan kelipatan 3 yang pertama}

Dit: K∩ 𝐿?

8. Dalam sebuah kelas terdapat 17 orang gemar matematika,15 gemar fisika,8 siswa

gemar keduanya.Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah…

9. Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa. Mereka memilih dua jenis olahraga yang

mereka gemari. Ternyata 29 siswa gemar bermain basket, 27 siswa gemar bermain

voli, dan 6 siswa tidak menggemari kedua olahraga tersebut.

Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut.

Tentukan banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli.

Banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli ada 14 orang

10. Pada sebuah kelas yang terdiri atas 46 siswa dilakukan pendataan pilihan

ekstrakurikuler. Hasil sementara diperoleh 19 siswa memilih KIR, 23 siswa memilih

PMR, dan 16 siswa belum menentukan pilihan. Tentukan banyaknya siswa yang

hanya memilih PMR saja dan KIR saja.


Dea Maria Neli Saragih

Dita Larissa

Melia Kartika

Qonita Amyra Nisrina


BAB 3

Mengenai sejarah fungsi ini memang sangat tua sekali, hampir setua ilmu matematika

itu sendiri, hal itu dikenal sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau

perkataan lainnya perluasan pokok masalah.

Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang, adalah tentang

bilangan: pernyataan bahwa dua jenis binatang (sebagai contoh : kambing & unta) memilik i

jumlah yang sama, kemudian dari segi administrasi, pada jaman nabi sulaeman dulu jelas

melakukan perhitungan matematika yang didalamnya termasuk fungsi misalnya begini

f(kunci) = 500 gudang karena didalam gudang terdapat kunci -kunci penyimpanan beras dsb,

jelas ini memakai fungsi sebagai perhitungannya, hanya tidak dibukukan atau tidak tercatat

dalam sejarah.


PETA KONSEP

FUNGSI

A. FUNGSI DAN

JENIS-JENISNYA

B. OPERASI

ALJABAR PADA

FUNGSI

C. FUNGSI

KOMPOSISI

D. FUNGSI

INVERS

E. FUNGSI

INVERS DARI

FUNGSI

SIFAT-SIFAT

FUNGSI KOMPOSISI

TEOREMA FUNGSI

INVERS

PENGERTIAN

FUNGSI

SIFAT-SIFAT

FUNGSI

FUNGSI-FUNGSI

KHUSUS


3.1 Fungsi Dan Jenis-Jenisnya

3.1.1. Pengertian Fungsi

Fungsi atau pemetaan f dari A ke B adalah pemasangan setiap unsur di A ke tepat satu

unsur di B, dengan A, B himpunan tak kosong. Himpunan A disebut daerah asal (domain)

dilambangkan dengan D dan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dilambangkan

dengan K. Sementara itu, himpunan semua peta dari himpunan A di B disebut daerah hasil

(range) dan dilambangkan dengan R. Suatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil,

seperti f, g dan h.

Misalnya f adalah fungsi yang memetakan dari A ke B, maka fungsi tersebut ditulis f : A → B

Contoh:

Diagaram disamping adalah pemetaan f: A → B dengan

daerah asal A = {a,b,c}

daerah kawan B = {x,y,z}

f(a) = x; f(b) = y; f(c) = z, sehingga didapat range

(daerah hasil) H = {x,y,z}

3.1.2. Sifat-Sifat Fungsi

a. Fu ngsi Satu-Satu

f : A → B merupakan fungsi satu-satu (injektif) jika setiap unsure yang berbeda di A

memiliki peta yang saling beda. Fungsi satu-satu digambarkan sebagai berikut.

b. Fungsi Pada

f : A → B merupakan fungsi pada (surjektif) jika setiap unsur di B memiliki prapeta di

A. Gambar berikut merupakan contoh fungsi pada.


c. Fungsi Satu-Satu dan Pada

f : A → B merupakan fungsi satu-satu dan pada (bijektif) hanya jika f satu-satu dan

pada.

3.1.3. Jenis-Jenis Fungsi

a. Fungsi konstan (fungsi tetap)

Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila

untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}.

Sehingga, gambar grafiknya.

b. Fungsi linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax +

b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Perhatikan

contoh berikut.

Diketahui f(x) = 2x + 3, gambar grafiknya

http://4.bp.blogspot.com/-Lcb4nXyrPRc/Vcu6oLwG0XI/AAAAAAAAG4E/bVk6aVy9mh0/s1600/fungsi+konstan.png


c. Fungsi kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2

+ bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

Perhatikan contoh fungsi kuadrat berikut.

Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x – 3, gambar grafiknya.

d. Fungsi identitas

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi

berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik

fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun

ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agar lebih memahami tentang

fungsi identitas, pelajarilah contoh berikut ini.

Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.

a. Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3).

http://4.bp.blogspot.com/-YXYVAcBk-Gc/Vcu6o59IzKI/AAAAAAAAG4k/MTCxsrIfrfs/s1600/fungsi+linear.png

http://1.bp.blogspot.com/-P1JJ9K29D2Y/Vcu6oN1j-OI/AAAAAAAAG4o/2rE7mZZJxsQ/s1600/fungsi+kuadrat.png


b. Gambarlah grafiknya.

Penyelesaian:

a. Nilai f(–2), f(0), f(1), dan f(3).

f(x) = x

f(–2) = –2

f(0) = 0

f(1) = – 1

f(3) = 3

b. Gambar grafik.

e. Fungsi tangga (bertingkat)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-

interval yang sejajar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Diketahui fungsi:

Tentukan interval dari:

a. f(–2)

b. f(0) e. gambar grafiknya.

c. f(3)

d. f(5)

e. gambar grafiknya.

http://1.bp.blogspot.com/-MdIW49gZs8A/Vcu6oFevWRI/AAAAAAAAG4U/pifVcAsEQzs/s1600/fungsi+identitas.png

http://3.bp.blogspot.com/-vFsBnNR0G2g/Vcu6pj1w3pI/AAAAAAAAG44/BdB6rTS69k4/s1600/fungsi+tangga.png


Penyelesaian:

a. f(–2) = –1

b. f(0) = 0

c. f(3) = 2

d. f(5) = 3

e. Gambar grafik

f. Fungsi modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan

setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. Untuk lebih

memahaminya, pelajarilah fungsi berikut berikut.

f : x → | x | atau f : x → | ax + b |

f(x) = | x | artinya:

Gambar grafiknya

http://1.bp.blogspot.com/-9Za2Ss3QZ5Q/Vcu6qMhBsnI/AAAAAAAAG5A/9FENfVAzRAo/s1600/fungsi+tangga1.png

http://3.bp.blogspot.com/-XQZ7ikrWNXk/Vcu6pB5DFgI/AAAAAAAAG4w/STtk6S6nook/s1600/fungsi+modulus1.png

http://4.bp.blogspot.com/-EBniWRzDQg8/Vcu6pGOGYqI/AAAAAAAAG40/KN6yIPyoKXs/s1600/fungsi+modulus.png


3.1.4. Fungsi Komposisi

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan

menggunakan sistem operasi komposisi. Operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o"

(komposisi/bundaran). Fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Sifat-sifat Fungsi Komposisi:

- Tidak Komutatif: (g o f)(x) = (f o g)(x)

- Asosiatif: (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)

- Fungsi Identitas I(x) = x : (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui :

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat

menentukan fungsi g. Demikian juga sebaliknya.

Contoh:

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2. Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

(f o g) (x) = -4x + 4

f (g (x)) = -4x + 4

2 (g (x)) + 2 = -4x + 4

2 g (x) = -4x + 2

g (x) = −4x + 2

2

g (x) = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1


3.1.5. Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f

merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A→ B adalah

f-1: A → B. Dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x)

begitupun sebaliknya.

Teorema fungsi invers

Misalkan f : A → B adalah fungsi bijektif f-1: B → A menyatakan fungsi invers dari f

yang juga bijektif.

Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

1. Ubah persamaan y = f (x) kemudian diubah menjadi bentuk x = g(y)

2. Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y)= g(y)

3. Ubah huruf y menjadi x sehingga [f-1(y) menjadi f-1(x)]

Grafik fungsi f-1 (x) adalah pencerminan dari grafik fungsi f(x) terhadap garis y = x

Rumus Fungsi Invers

f(x) f-1(x)

𝑎𝑥 + b 𝑥−𝑏

𝑎

ax2 + bx + c −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑

−𝑑𝑥+𝑏

𝑐𝑥−𝑎

𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏 𝑥−𝑏

𝑎

1

𝑛

√𝑎𝑥 + 𝑏𝑛 𝑥𝑛−𝑏

𝑎

𝑎𝑏𝑥+𝑐 −𝑐+𝑎𝑙𝑜𝑔 𝑥

𝑏

alog (𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑎𝑥 −𝑐

𝑏

f(x) = y f-1(y) = x


3.1.6. Fungsi Invers Dari Fungsi Komposisi

Teorema 1: Jika f : A → B bijektif dan f-1 adalah fungsi invers dari f, maka f-1 o f= f o f-1= I,

dengan I fungsi identitas.

Teorema 2: Jika f : A → B bijektif dan g : B → A bijektif sehingga g o f = f o g = I, maka g

= f-1.

Teorema 3: Misalkan f : A → B bijektif dan g : B → C bijektif, maka g o f = A → C bijektif

dan fungsi inversnya (g o f)-1 = f-1 o g-1. Sehingga, (f o g o h)-1= h-1 o g-1 o f-1, jika f, g, dan h

bijektif.

LATIHAN SOAL

1. Diketahui f(x) = x2 + 4x dan g(x) = -2 + √(x + 4) dengan x ≥ -4 dan x bilangan real.

Fungsi komposisi (g o f)(x) adalah ...

A. 2x - 4

B. x - 2

C. x + 2

D. x

E. 2x

2. Jika g(x) = x + 1 dan (f o g)(x) = x2 + 3x + 1 maka f(x) sama dengan ...

A. x2 + 5x + 5

B. x2 + x - 1

C. x2 + 4x + 3

D. x2 + 6x + 1

E. x2 + 3x - 1

3. Diketahui f(x) = - (2 - 3x)/ 2, maka f-1(x) sama dengan ...

A. 2/3 (1 + x)

B. 2/3 (1 - x)

C. 3/2 (1 + x)

D. -2/3 (1 + x)

E. -3/2 (x - 1)


4 .Invers dari fungs i f(x) = (7x + 5)/(3x - 4), x ≠ 4/3 adalah ...

A. (4x + 5)/ (3x - 7), x ≠ 7/3

B. (7x + 5)/ (3x + 4), x ≠ -4/3

C. (5x + 7)/ (4x - 3), x ≠ 3/4

D. (7x + 4)/ (3x - 5), x ≠ 5/3

E. (7x + 4)/ (3x + 5), x ≠ -5/3

5. Jika g(x) = x + 1 dan (f o g)(x) = x2 + 3x + 1 maka f(x) sama dengan ...

A. X2 + 5x + 5

B. X2 + X - 1

C. X2 + 4X + 3

D. X2 + 6X + 1

E. X2 + 3X – 1

6.jika g(x + 1) = 2x - 1 dan f(g(x + 1)) = 2x + 4, maka f(0) sama dengan ...

A. 6

B. 5

C. 3

D. -4

E. -6

7. Diketahui f(x) = - 2x + 3 dan g(x) = x2 - 4x + 5. Komposisi fungsi g o f(x) =...

A. 4x2 - 4x + 2.

B. 4x2 - 4x + 7.

C. 4x2 - 6x + 7.

D. 4x2 + 2x + 2.


E. 4x2 + 8x + 2.

8. Diketahui fungsi f : R → R, g : R → R dirumuskan dengan f(x) = 2x - 1 dan g(x) =

(x + 3) / (2 - x), x ≠ 2. Fungsi Invers dari f o g(x) = ....

A. (2x + 4) / (x + 3)

B. (2x - 4) / (x + 3)

C. (2x + 4) / (x - 3)

D. (3x - 2) / (2x + 2)

E. (3x - 3) / (-2x + 2)

9.Diketahui f(x) = 4x + 2 dan g(x) = (x - 3) / (x + 1), x ≠ - 1. Invers dari g o f(x)

adalah...

A. (4x + 1) / (3x + 4)

B. (4x - 1) / (-3x + 4)

C. (3x - 1) / (4x + 4)

D. (3x + 1) / (4 - 4x)

E. (3x + 1) / (4x + 4)

10.Diketahui f : R → R, g : R → R, f(x) = x2 + x - 1 dan g(x) = 2x + 1. Hasil dari f o

g(x) adalah...

A. 2x2 + 2x - 1

B. 2x2 - 2x - 1

C. 4x2 + 6x + 1

D. 4x2 + 2x + 1

E. 4x2 + 6x - 1


BAB 4

FUNGSI KUADRAT

PETA KONSEP

Pengertian

FungsiKuadrat

FUNGSI

KUADRAT

Menentukan Fungsi Kuadrat

Kedudukan Fungsi

Kuadrat

Meggambar Grafik

Fungsi Kuadrat

Aplikasi Fungsi

Kuadrat

Menentu-

kan Titik

Potong

Menentu-

kan Titik

Puncak

Berdasar-

kan Tanda a

Berdasar-

kan Tanda

D = b2- 4ac


4.1 Pengertian fungsi kuadrat

Suatu fungsi dalam himpunan bilangan rill yang dinyatakan dengan

rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat

berbentuk parabola simetris.

4.2 Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Berikut ini adalah langkah-langkah untuk melukis grafik fungsi kuadrat.

1. Menentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat

a. Titik potong dengan sumbu X, jika y = 0 atau ax2 + bx + c = 0.

Bila D > 0, x1 ≠ x2. Grafik memotong sumbu X di dua titik yaitu (x1,0)

dan (x2,0).

Bila D = 0, x1 = x2. Grafik memotong sumbu X di satu titik yaitu (x1,0).

Grafik yang sedemikian menyinggung sumbu x.

Bila D < 0, tidak ada nilai yang memenuhi. Ini berarti grafik tidak

memotong sumbu x.

b. Titik potong grafik dengan sumbu Y, jika x = 0.

y = ax2 + bx + c = a(0)2 + b(0) + c = c

Jadi,titik potong dengan sumbu Y adalah (0,c).

2. Menentukan Titik Puncak

Untuk menentukan titik puncak kita dapat mengubah fungsi kuadrat menjadi

bentuk kuadrat sempurna.

y = ax2 + bx + c = a(x2 + b

ax) + c = a(x2 +

b

ax +

b2

4a2 - b2

4a2 ) + c

= a(x2 + b

ax +

b2

4a2 )– b2

4a2 + c = a(x +b

2a)2 +

− ( b2− 4ac)

4a= a (x +

b

2a)2 +

−D

4a

Dari bentuk kuadrat sempurna tersebut diperoleh bahwa nilai( x + b

2a)2

tidakakan pernah negative berapa pun nilai x. Sehingga nilai fungsi akan

maksimum/minimum untuk x + b

2a = 0 atau x = −

b

2a dan nila i

maksimum/minimum fungsi adalah y = −D

4a.


Jadi, titik puncak fungsi kuadrat adalah (−b

2a−

D

4a).

4.3 Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat terhadap Sumbu X

Kedudukan grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c terhadap sumbu X

ditentukan oleh tanda-tanda dari a dan tanda-tanda dari diskriminan D = b2 – 4ac.

Secara umum tanda-tanda dari a dan tanda-tanda dari diskriminan D dapat

ditetapkan sebagai berikut.

1. Berdasarkan tanda a

Jika a > 0, maka grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum atau

parabolanya terbuka keatas.

Jika a < 0, maka grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum atau

parabolanya terbuka ke bawah.

Persamaan sumbu simetri parabola : x = −b

2a.

Nilai ekstrim (maksimum/minimum) parabola : y = −D

4a.

2. Berdasarkan tanda D = b2- 4ac

Dengan menggabungkan tanda-tanda dari a dan tanda-tanda dari

diskriminan D, kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c terhadap

sumbu X dapat diperhatikan padagambar berikut.


Berdasarkan gambar di atas, kedudukan fungsi kuadrat terhadap sumbu X

dapat ditetapkan sebagai berikut.

a. Jika a > 0 dan D > 0, maka parabola terbuka ke atas dan memotong sumbu

X di dua titik yang berlainan.

b. Jika a > 0 dan D = 0, maka parabola terbuka ke atas dan menyinggung

sumbu X. Dikatakan parabola di atas dan pada sumbu X untuk setiap x ∈

R.

Secara aljabar dapat dikatakan:

Bentuk aljabar ax2 + bx + c ≥ 0 untuk setiap x ∈ R atau bentuk ax2 + bx

+ c tidak pernah negative untuk setiap x ∈ R.

c. Jika a > 0 dan D < 0, maka parabola terbuka ke atas dan tidak memotong

maupun menyinggung sumbu X. Dikatakan parabola selalu berada di atas

sumbu X untuk setiap x ∈ R.

Secara aljabar dapat dikatakan :

Bentuk ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x ∈ R atau bentuk ax2 + bx + c

disebut definit positif.

d. Jika a <0 dan D > 0, maka parabola terbuka ke bawah dan memotong

sumbu X di dua titik yang berlainan.

e. Jika a < 0 dan D = 0, maka parabola terbuka ke bawah dan menyinggung

sumbu X. Dikatakan parabola di bawah dan pad asumbu X untuk setiap

x ∈ R.

Secara aljabar dapat dikatakan:

Bentuk aljabar ax2 + bx + c ≤ 0 untuk setiap x ∈ R atau bentuk ax2 + bx

+ c tidak pernah positif untuk setiap x ∈ R.


f. Jika a > 0 dan D < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan tidak

memotong maupun menyinggung sumbu X. Dikatakan parabola selalu

berada di bawah sumbu X untuk setiap x ∈ R.

Secara aljabar dapat dikatakan :

Bentuk ax2 + bx + c < 0 untuk setiap x ∈ R atau bentuk ax2 + bx + c

disebut definit negatif.

4.4 Menentukan Fungsi Kuadrat

Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat

sering kali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri-ciri itu diantaranya adalah sebagai

berikut.

a. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A(x1, 0) dan B(x2, 0) serta

melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan

sebagai :

y = f(x) = a (x – x1) (x – x2) dengan nilai a ditentukan kemudian.

b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A (x1, 0) dan melalui sebuah

titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:

y = f(x) = a (x –x1)2dengan nilai a ditentukan kemudian.

c. Grafik fungsi kuadrat melalui titik pun cakatau titik balikP(xp, yp) dan

melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan

sebagai :

y = f(x) = a (x –xp)2+ yp dengan nilai a ditentukan kemudian.

d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3, y3).

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :

y = f(x) = ax2 + bx + c dengan nilai a, b dan c ditentukan kemudian.

4.5 Aplikasi Fungsi Kuadrat

Selain dalam matematika, fungsi kuadrat juga dapat diterapkan untuk

menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari.


LATIHAN SOAL

A. PILIHAN GANDA

1. Jika fungsi y = ax2 + 4x + 3a mempunyai nilai maksimum -11, maka a2 – a

adalah:

a. 1/6

b. 1/3

c. 3

d. 10

e. 20

2. Apabila grafik fungsi y = kx2 + (k – 3)x – 4 seluruhnya dibawah sumbu x,

maka nilai k tidak mungkin sama dengan:

a. -10

b. -8

c. -6

d. -4

e. -2

3. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik-titik A(-2, 17).

B(1, 5) dan C(4, 11) mempunyai persamaan…

a. y = x2 + 3x – 7

b. y = x2 +3x – 3

c. y = x2 + 3x – 3

d. y = x2 + 3x – 3

e. y = x2 – 3x + 7

f. jawab: e. y = x2 – 3x + 7

4. Grafik fungsi y = x2 – 4x – 8 memotong sumbu y di titik:

a. (-8, 0)

b. (-4, 0)

c. (0, 8)

d. (0, -8)

e. (-4, 8)

5. Pembuat nol dari fungsi kuadrat y = x2 – x – 12 adalah:

a. x = -1 atau x = 2


b. x = -3 atau x = -4

c. x = 1 atau x = -2

d. x = 1 atau x = 2

e. x = -3 atau x = 4

B. ESSAY

1. Tentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 5x2 - 20x + 1!

2. Tentukan titik balik fungsi kuadrat F(x) = 2(x + 2)2 + 3!

3. Tentukan koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y =

(x - 6) (x + 2).

4. Jika grafik fungsi y = x2 + px + k mempunyai titik puncak (1,2), maka tentukan

nilai p dan k.

5. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x2 - x - 2 dengan

sumbu x dan sumbu y.


Bannati Khairani

Indah Sari

Raden Ayu Maudiana Sari

Rani Sembiln Sembilan S


BAB 5

Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah penemuan

mendasar dari sifat lingkaran. Orang-orang Yunani menganggap Mesir sebagai penemu

geometri. Juru tulis Ahmes, penulis dari papirus Rhind, memberikan aturan untuk

menentukan area dari sebuah lingkaran yang sesuai dengan π = 256 / 81 atau sekitar

3,16.

Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan dengan

Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan dengan sifat lingkaran

dan masalah inscribing dan escribing poligon.

Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah menemukan persegi

dengan wilayah yang sama sebagai sebuah lingkaran yang diberikan. Beberapa 'kurva

terkenal dalam tumpukan pertama kali dipelajari dalam upaya untuk memecahkan

masalah ini. Anaxagoras di 450 SM adalah matematikawan recored pertama untuk studi

masalah ini.

Masalah untuk menemukan luas lingkaran menyebabkan integrasi. Untuk

lingkaran dengan rumus yang diberikan di atas wilayah ini π^2 dan panjang kurva adalah

suatu 2π.

Pedal lingkaran adalah cardioid jika titik pedal diambil pada lingkar dan merupakan

limacon jika titik pedal bukan pada keliling.

Apollonius, pada sekitar 240 SM, efektif menunjukkan bahwa persamaan r

bipolar = kr 'merupakan sistem lingkaran koaksial sebagai k bervariasi. Dalam hal

persamaan bipolar mr^2 + nr^2 = c^2 merupakan sebuah lingkaran yang pusatnya

membagi ruas garis antara dua titik tetap dari sistem dalam rasio n ke m.Sejarah aljabar

dimulai di Mesir kuno dan Babilonia, di mana orang belajar untuk memecahkan linear

(ax = b) dan quadratic (ax^2 + bx = c) persamaan, sertapersamaan tak tentu seperti x^2

+ y^2 = z 2, dimana beberapa diketahui terlibat. Orang-orang Babilonia kuno dapat

memecahkan persamaan kuadrat dengan prosedur yang sama. Mereka juga bisa

memecahkan beberapa persamaan tak tentu.


PETA KONSEP


5.1 Definisi Lingkaran

Perhatikan gambar lingkaran di samping!

Sebuah lingkaran mempunyai beberapa unsur,

diantaranya jari – jari dan pusat lingkaran .

O merupakan titik pusat.

OA, OB , dan OC adalah jari – jari .

Jari – jari (r) pada lingkaran memiliki panjang

yang sama. Sehingga, OA = OB = OC

Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa :

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik

(himpunan titik) yang jaraknya terhadap satu titik tertentu

adalah sama ( konstan ) .

Titik tertentu disebut pusat lingkaran, dan jarak konstan disebut jari – jari lingkaran.

5.2 Jarak Dua Titik

Sebelum memasuki persamaan lingkaran, diperlukan penguasaan terlebih dahulu

mengenai jarak dua titik. Dengan menggunakan Theorema Phytagoras, kita dapat

menemukan jarak antara dua titik (d) yaitu dengan pemisalan titik A (x1,y1) dan B (x2,y2,)

.

0

y

x

A(x1,y1) C

B(x2,y2)

O

A B

C


Pada segitiga ABC di atas, berlaku :

𝐴𝐵² = 𝐴𝐶² + 𝐵𝐶²

𝐴𝐵² = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)²

𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2

Dengan menggunakan definisi lingkaran dan mencari jarak antara dua titik

tersebut, diharapkan siswa dapat menemukan rumus persamaan lingkaran dengan pusat

O(0,0) dan jari – jarinya r.

5.3 Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari

Misalkan titik P(x0,y0) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran, maka:

𝑂𝑃 = 𝑟

√(𝑥0 − 0)2 + (𝑦0 − 0)2 = 𝑟

(𝑥0 − 0)2 + (𝑦0 − 0)2 = 𝑟2

𝑥02 + 𝑦0

2 = 𝑟2

Y

X

P(x0,

O


(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐

Untuk memudahkan penulisan rumus, kita dapat menghilangkan indeks 0 pada x0 dan

y0, sebab maknanya akan sama saja. Sehingga akan menjadi 𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑟2 .

Jadi , persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah :

𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑟2

5.4 Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari

r

Jarak MP = r = jari –jari. Titik M (a,b) adalah pusat lingkaran. Andaikata P (x0,y0)

adalah titik yang terletak pada lingkaran, maka dengan menggunakan definisi lingkaran

didapat :

𝑀𝑃 = 𝑟

√(𝑥0 − 𝑎)2 + (𝑦0 − 𝑏)2 = 𝑟

(𝑥0 − 𝑎)2 + (𝑦0 − 𝑏)2 = 𝑟2

Dengan menghilangkan indeks 0, maka didapat : (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

Jadi, persamaan Lingkaran dengan pusat M (a,b) dan jari – jari r adalah :

O

P ( x0,y0 )

M (a,b)

Y

X


5.2 Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Dengan menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk umum, siswa dapat

menemukan pusat dan jari – jari lingkaran, dengan cara sebagai berikut :

Persamaan lingkaran dengan titik pusat (a,b) dan jari-jari r adalah

(x-a)2+ (y-b)2 = r2

x2 - 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 - 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 - r2 = 0

Bila -2a = A, -2b = B dan C = a2 + b2 – r2, maka persamaan

x2 - 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 - r2 = 0 dapat ditulis sebagai :

𝑥 2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Dengan demikian bila diketahui persamaan lingkaran

x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka :

𝑥 2 + 𝐴𝑥 + (1

2𝐴) ² + 𝑦2 + 𝐵𝑦 + (

1

2𝐵) ² + 𝐶 − (

1

2𝐴) ² − (

1

2𝐵) ² = 0

(𝑥 +1

2𝐴)2 + (𝑦 +

1

2𝐵)

2

= 1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶

Dari bentuk terakhir ini, siswa dapat menentukan pusat dan jari – jari lingkaran.

Sehingga, didapat rumus untuk pusat lingkaran adalah 𝑃 (−1

2𝐴, −

1

2𝐵) dan jari – jari

lingkaran 𝑅 = √1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶,

𝑅 = −√1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶 tidak diambil, karena jari – jari lingkaran selalu positif.


5.5 Hubungan Lingkaran Dengan Titik

Ada 3 kemungkinan kedudukan titik terhadap lingkaran :

1. Titik di luar lingkaran,jika kuasa titik (K) > 0

2. Titik pada lingkaran,jika kuasa titik (K) = 0

3. Titik di dalam lingkaran,jika kuasa titik (K) < 0

Kuasa titik (K) terhadap lingkaran :

Definisi :

1. Kuasa titik terhadap lingkaran adalah bilangan yang di dapat dari pemetaan

koordinat titik ke dalam persamaan lingkaran umum.

2. Kuasa titik terhadap lingkaran adalah kuadrat jarak antara titik itu ke titik singgung

dari garis pada lingkaran.

Contoh :

1. Diketahui persamaan x2 + y2 = 9 dan titik P (5,1)

Kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran x2 + y2 = 9 adalah :

K = 25 + 1 – 9 = 17

K > 0 ,maka titik P (5,1) di luar lingkaran

A.

Menurut definisi (2) K = PQ2

Jadi kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran adalah 17

Jika ada sebuah titik dengan nama O (0,0) maka kemungkinan posisinya terhadap

lingkaran

http://4.bp.blogspot.com/_ROPmeb2FPo0/TTZZiC6ifaI/AAAAAAAAAUs/Fg4zhuPI07Q/s1600/a5.png

http://4.bp.blogspot.com/_ROPmeb2FPo0/TTZZi7Zc-iI/AAAAAAAAAUw/F37HGRvVcaA/s1600/a6.png


x2 + y2 = r2 maka

Hub. titik P (x1,y1) Terhadap Lingkaran Berlaku Jika

Di dalam lingkaran x12+y12 < r2

Terletak di Lingkaran x12+y12 < r2

Di Luar Lingkaran x12+y12 < r2

Kedudukan titik Q ( x,y ) terhadap lingkaran dengan pusat P ( a,b ) dan jari-jari r

memenuhi :

( 1 ) Terletak di dalam Lingkaran → ( x – a )2 + ( y – b )2 < r2

( 2 ) Terletak pada Lingkaran → ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2

( 3 ) Terletak di luar Lingkaran → ( x – a )2 + ( y – b )2 > r2

5.6 Hubungan Antara Garis Dan Lingkaran

P

Y

X

A

C

B

0

𝒍𝟏

𝒍𝟑

𝒍𝟐


Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar lingkaran,

misalnya titik P. Melalui titik P diminta untuk menggambar garis 𝑙1 yang memotong

lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan titik B, garis 𝑙2 yang memotong lingkaran di

satu titik saja, yaitu titik C dan garis 𝑙3 yang tidak memotong lingkaran.

GARIS KUASA

Garis kuasa adalah kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap kedua

lingkaran. Cara mencari garis kuasa cukup dengan mengurangkan persamaan lingkaran

yang satu dengan lingkaran kedua. Jika kedua lingkaran berpotongan maka garis

kuasanya adalah garis potong kedua lingkaran. Jika kedua lingkaran sekonsentris

(pusatnya sama) maka tidak mempunyai garis kuasa.

Contoh gambar garis kuasa :

Pada gambar di samping, garis yang berwarna

merah adalah garis kuasa dari L1L1 dan L2L2.

Semua titik yang berada pada garis kuasa

misalnya titikAA dan BB, mempunyai kuasa

sama terhadap kedua lingkaran.

A. Posisi Garis Terhadap Lingkaran

1. Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda

A

B


D>0 garis memotong pada 2 titik yang berbeda

2. Garis Memotong Lingkaran pada Satu Titik Saja dan Ini Disebut Garis Menyinggung

Lingkaran

D= 0 garis menyinggung pada satu titik

3. Garis Tidak Memotong Lingkaran Maupun Menyinggung Lingkaran

D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Posisi garis terhadap lingkaran dapat juga dilihat dari nilai diskriminan:

A


𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

Jika D < 0 Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda

D= 0 garis menyinggung pada satu titik

D>0 garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

5.7 Persamaan Garis Singgung

5.7.1 Definisi Garis Singgung

Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik

tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung selalu

tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut!

g ≡ Garis singgung

A(x1,Y1) titik singgung

𝐴𝑃 ⊥ 𝑔

Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c. Persamaan Garis

singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti digambarkan berikut ini:

P(a,b)

r

A(x1,y2)

D=0 g≡Garis Singgung

O(0,0)


Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran

Garis singgung bergradien m

Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran

Y=mx+c T(x1,y1)

Y=m+c2

Y=m+c1

Y=m2x+c2

R(x1,y1)

Y=m1x+c1


5.7.2 Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran

Persamaan garis singgung melalui A(x1,y1) pada Lingkaran x2 + y2 = r2

Perhatikan Gambar 6., garis k menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik A(x1,y1).

Garis singgung lingkaran k itu memiliki sifat tegaklurus terhadap garis OA.

Titik O(0,0) dan A(x1,y1) , maka gari s OA memiliki gradien 𝑚1 = 𝑦1

𝑥1 .

Karena garis k tegak lurus garis OA maka gradien garis singgung k adalah 𝑚2 =−𝑥1

𝑦1

(kedua garis saling tegak lurus bila hasil kali gradiennya

m1.m2 = -1)

y

A(x1,y1)

x

Titik A(x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 ,maka x12 + y1

2 = r2 .

Selanjutnya,persamaan garis k yang melalui A(x1,y1) dengan gradien m2 adalah

y - y1 = m2 (x – x1 )

y - y1 = −𝑥1

𝑦1 ( x-x1)

𝑦1𝑦 − 𝑦12 = -x1x + x2

x1x .y1y = x12 + y1

2

x1x .y1y = r2

Dengan demikian diperoleh kesimpulan:


Jika titik A(x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 , maka garis singgung lingkaran yang

melalui titik A adalah x1x+y1y = r2.

Rumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut:

Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung

𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟2

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 (𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏)

= 𝑟2

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 +

1

2𝐴(𝑥 + 𝑥1)

+1

2𝐵(𝑦 + 𝑦1) + 𝐶 = 0

Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui satu titik pada

lingkaran.

5.7.3 Persamaan Garis Singgung Bergradien m

Gradien ( m)

Ruas garis AB melalui titik-

titik A(3, 1) dan B(6, 2). Untuk

menentukan kemiringan ruas

garis AB, kita tentukan terlebih dahulu lebar, Δx, dan tingginya, Δy.

∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 = 6 − 3 = 3


∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦2 = 4 − 1 = 3

Kemiringan ruas garis AB dapat ditentukan dengan membagi Δy dengan Δx.

Sehingga kemiringan ruas garis AB: Δy/Δx = 3/3 = 1. Kemiringan dari ruas garis ini

selanjutnya disebut gradien.

Gradien merupakan tingkat kemiringan ruas garis atapun garis. Gradien dapat

ditentukan dengan membagi Δy dengan Δx.

Dari kesimpulan tersebut, kita juga dapat menentukan gradien dari ruas

garis KL dan PQ. Gradien dari ruas garis KL adalah Δy/Δx = (7 – 3)/(2 – 0) = 4/2 = 2.

Sedangkan gradien dari ruas garis PQ adalah (5 – 6)/(3 – 1) = –1/2.

Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx

Garis yang memiliki persamaan y = mx melalui titik asal, O(0, 0). Karena

apabila kita substitusikan x = 0, maka kita dapatkan y = m(0) = 0. Untuk (x, y) titik selain

(0, 0) yang dilewati oleh garis y = mx, kita dapat menentukan gradien garis tersebut

sebagai berikut.

Gradien = ∆𝑦

∆𝑥

=𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

=𝑦−0

𝑥 −0

=𝑦

𝑥

=𝑚𝑥

𝑥

= 𝑚

Perhitungan di atas dapat membawa kita untuk mengetahui gradien dari y = mx.

Apa yang dapat kita peroleh dari perhitungan di atas?

Gradien dari garis yang memiliki persamaan y = mx adalah m.

Sebagai contoh kita dapat menentukan gradien dari garis yang memilik i

persamaan y = 3xdan –2x = 5y. Dengan jelas kita dapat menentukan gradien dari y =

3x adalah 3. Bagaimana dengan gradien garis –2x = 5y? Untuk menentukan gradien garis

tersebut, kita ubah dulu persamaan garis tersebut menjadi bentuk y = mx.

-2x = 5y

5y = -2x


5𝑦

5=

−2𝑥

5

Y = -2

5𝑥

Dari perhitungan tersebut kita dapat memperoleh bahwa gradien dari garis –2x = 5y

adalah –2/5.

Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c dan ax + by + c = 0

Misalkan dua titik K(x1, y1) dan L(x2, y2) dilalui oleh garis y = mx + c.

Maka y1 = mx1 + cdan y2 = mx2 + c. Sehingga gradien dari garis y = mx dapat ditentukan

sebagai berikut.

𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 = ∆𝑦

∆𝑥

= 𝑦2 −𝑦1

𝑥2−𝑥1

= (𝑦2+𝑐)−(𝑦1+𝑐)

𝑥2−𝑥2

=𝑚𝑥2+𝑐−𝑚𝑥1−𝑐

𝑥2−𝑥1

=𝑚𝑥2−𝑚𝑥1

𝑥2−𝑥1

=𝑚(𝑥2−𝑥1)

𝑥2−𝑥1

= m

Sehingga gradien garis yang memiliki persamaan garis y = mx + c adalah m,

yaitu koefisien dari x. Bagaimana dengan gradien dari garis yang memiliki persamaan

garis ax +by + c = 0?

Untuk menentukan gradien dari ax + by + c = 0, kita ubah dulu

persamaan ax + by + c = 0 menjadi bentuk y = mx + c, seperti berikut.

ax + by + c =0

by = -ax-c

y = −𝑎𝑥−𝑐

𝑏

y = −𝑎

𝑏𝑥 −

𝑐

𝑏

Dari uraian di atas, ax + by + c = 0 dapat diubah menjadi y = –a/b x – c/b.

Sehingga, gradien dari ax + by + c = 0 adalah –a/b.

Gradien dari garis y = mx + c adalah m, sedangkan gradien dari garis ax + by + c = 0

adalah –a/b.


Rumus persamaan garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan garis

singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau

unsur lain yang berhubungan dengan gradien. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah

Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung

𝑥 2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2

𝑥 2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Ubah bentuk persamaan ke (𝑥 −

𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 gunakan rumus

𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2

5.7.4 Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara lain:

menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m.

a. Menggunakan rumus

Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik 𝐴(𝑥1,𝑦1) pada lingkaran

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 adalah 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) adalah dengan

𝑚 =(𝑦1 − 𝑏)(𝑥1 − 𝑎) ± √(𝑦1 − 𝑏)2 + (𝑥1 − 𝑎)2 − 𝑟2

(𝑥1 − 𝑎)2 − 𝑟2

b. Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien m

Teknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu)

adalah garis melalui 𝐴(𝑥1,𝑦1) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgng

bergradien m.

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, 𝑥 2 + 𝑦2 = 25 yang malalui (7,1)

Jawab

Persamaan 1 : 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 1 = 𝑚 (𝑥 − 7)

𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1

Persamaan 2 : 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2

𝑦 = 𝑚𝑥 ± 5√1 + 𝑚2


𝑦 = 𝑚𝑥 ± 5√1 + 𝑚2 → 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1

5√1 + 𝑚2 = 7𝑚 + 1

25(1 + 𝑚2 ) = 49𝑚2 − 14𝑚 + 1

25 + 25𝑚2 = 49𝑚2 − 14𝑚 + 1

24 − 14 − 24 = 0

(4𝑚 + 3)(3𝑚 − 4) = 0

𝑚1 = −3

4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚2 =

4

3

Persamaan Garis singgung 1

𝑚1 = 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1

𝑦 = −3

4𝑥 − 7 (−

3

4) + 1

4𝑦 = −3𝑥 + 21 + 4

3𝑥 + 4𝑦 = 25

Persamaan Garis singgung ke 2

𝑚2 = 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1

𝑦 =4

3𝑥 − 7 (

4

3) + 1

3𝑦 = 4𝑥 − 28 + 3

4𝑥 − 3𝑦 = 25


5.8 Hubungan Antar Lingkaran

a. Dua lingkaran yang saling berpotongan

Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran :

Pada gambar a lngkaran 𝑙1 dan 𝑙2 berpotongan di dua titik yang berlainan

- Jika pusat lingkaran 𝑙2 berada di lingkaran 𝑙1, atau sebaliknya dikatakan 𝑙1 dan

𝑙2 berpotongan didalam. Perhatikan gambar a(i)

- Jika pusat lingkaran 𝑙2 di luar lingkaran 𝑙1 atau sebaliknya ,dikatakan 𝑙1 dan 𝑙2

berpotongan di luar. Perhatikan gambar a(ii)

b. Dua lingkaran yang saling menyinggung

b(i)

a (i) a(ii)

b (ii)

(i)


(b) 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan

Pada gambar b (i) lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan di dalam sedangkan gambar b(ii),

lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan di luar

c. Dua Lingkaran yang Tidak Saling Berpotongan dan Menyinggung

c (i)

(c) 𝑙1 dan 𝑙2 Tidak berpotongan maupun bersinggungan

Pada gambar c(i), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggung didalam

Pada gambar c(ii), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggung diluar

Jika lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggungan di kataka 𝑙1 dan 𝑙2

saling lepas.

(ii)

c (ii)

(i)

(ii)


Disamping posisi dua lingkaran yang telah dibicarakan di atas , masih ada dua

kemungkinan posisi dua lingkaran yang khusus yaitu:

Dua lingkaran sepusat atau kosentris

Lingkaran 𝑙1 dikatakan sepusat dengan lingkaran 𝑙2 , jika pusat lingkaran 𝑙1 berimpit

dengan pusat lingkaran 𝑙2 , tetapi jari – jari lingkaran 𝑙1 tidak sama dengan jari – jari

lingkaran 𝑙2

Dua lingkaran berimpit

Lingaran 𝑙1 dikatakan berimpit dengan lingkaran 𝑙2 jika pusat dan jari – jari lingkaran 𝑙1

sama dengan pusat dan jari – jari lingkaran 𝑙2

LATIHAN SOAL

1. Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x2 + y2 = 25 maka tentukan c !

2. Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L

diputar 90° searah jarum jam terhadap titik O (0,0), kemudian digeser ke bawah

sejauh 5 satuan, maka tentukan persamaan lingkaran yang dihasilkan !

3. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 di

(5,1 ) !

4. Lingkaran dengan persamaan 2x2 + 2y2 − 1

2 ax + 4y − 12 = 0 melalui titik

(1, − 1). Diameter lingkaran tersebut adalah....

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x − 2)2 + (y + 1)2 = 13

dititik yang berabsis -1!

6. Tentukan nilai m supaya garis 3x – 4y + m = 0 menyinggung lingkaran

x2+y2=16

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 -2x + 4y + 4 = 0 yang

tegak lurus garis 3x - 4y - 5=0

8. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan menyinggung sumbu

Y !

9. Tentukan persamaan garis singggung yang melalui titik B (1,4) dan lingkaran

(x+3)2 + ( y-2)2 = 20

10. Lingkaran x2+y2-8x+2Ay+5 = 0 melalui titik (6,-1). Titik pusat lingkaran

tersebut adalah...


Aldillah Fatmawati

Fatria Anggita

Freti Lesiana

Muthmainah

BAB 6

PYTHAGORAS

TAHUKAH ANDA??

“JIKA ENGKAU INGIN HIDUP SENANG, MAKA HENDAKLAH ENGKAU RELA

DIANGGAP SEBAGAI TIDAK BERAKAL ATAU DIANGGAP BODOH”

(PYTHAGORAS)

Pythagoras (569-475

S.M) adalah seorang agamawan dan filsuf di

Yunani yang

mengembangkan matematika, astronomi

dan teori musik.


PETA KONSEP

TEOREMA

PYTHAGORAS

CARA MENEMUKAN TEOREMA

PYTHAGORAS

MATERI PRASYARAT TEOREMA

PYTHAGORAS

Kuadrat

Luas Persegi Akar Kuadrat

Luas Segitiga

Siku-siku

Rumus Definisi


6.1 Materi Prasyarat Teorema Phytagoras

Pernahkah kalian memerhatikan kerangka sebuah rumah yang dibuat dari kayu. Pada kerangka

rumah tersebut sebagian besar rusuk tegak lurus terhadap rusuk yang lain. Sudut-sudut yang terbentuk

pada rusuk yang saling tegak lurus tersebut merupakan sudut siku-siku. Dengan memanfaatkan

teorema Pythagoras, dapatkah kalian menentukan panjang dari rusuk-rusuk yang saling tegak lurus

tersebut?

Dalam Teorema Phytagoras melibatkan bilangan kuadrat dan akar kuadrat dalam sebuah segitiga.

Oleh karena itu, sebelum membahas Teorema Pythagoras, marilah kita mengingat kembali materi

kuadrat bilangan, akar kuadrat bilangan, luas daerah persegi, dan luas daerah segitiga siku-siku. Luas

daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah

luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi siku-siku segitiga tersebut.

a. Kuadrat

Untuk menentukan kuadrat dari suatu bilangan adalah dengan cara mengalikan bilangan tersebut

dengan dirinya sendiri.

Contoh :

b. Akar Kuadrat

Kebalikan dari kuadarat suatu bilangan adalah akar kuadrat.

Misalkan, bilangan p yang tak negatif diperoleh p2 = 16. Maka bilangan p dapat ditentukan dengan

menarik √16 menjadi p = √16. Bilangan p yang diinginkan adalah 4 karena 42 = 4 × 4 = 16. Bilangan

p = 4 dinamakan akar kuadrat dari bilangan 16. Jadi, akar kuadrat suatu bilangan adalah bilangan tak

negatif yang apabila dikuadratkan akan menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan semula.

Tentukan kuadrat dari bilangan berikut!

a. 8,3 b. 12

Penyelesaian: a. 8,32 = 8,3 × 8,3 = 68,89

b. 122 = 12 × 12 = 144


contoh :

c. Luas Daerah Persegi

D C

S

s

A s B

Pada gambar di atas tampak sebuah persegi ABCD yang panjang sisinya s satuan panjang.

Luas persegi ABCD = sisi х sisi

L = s х s

Contoh:

Tentukan luas persegi jika diketahui sisi sisinya berukuran 21 cm!

Tentukan akar kuadrat dari

√441 !

√441 = √21 x √21

= 21

L = s2 satuan luas

Penyelesaian:

L = s2

= 21 cm × 21 cm

= 441 cm2 Jadi luas persegi adalah 441 cm2.


d. Luas Segitiga Siku-siku

D C

l

A p B

Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi panjang ABCD yang panjangnya p dan lebarnya l

satuan. Diagonal BD membagi persegi panjang ABCD menjadi dua buah segitiga siku-siku, yaitu Δ

ABD dan Δ BCD. Luas persegi panjang ABCD sama dengan jumlah luas Δ ABD dan Δ BCD.

Adapun luas Δ ABD sama dengan luas Δ BCD, sehingga diperoleh

luas Δ ABD = luas Δ BCD

= 1

2 luas persegi panjang ABCD

Karena persegi panjang PQRS berukuran panjang p dan lebar l,

luas Δ ABD = 1

2 x p x l

atau

luas segitiga siku-siku = 1

2 x 𝑎𝑙𝑎𝑠 x 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖


Contoh :

Tentukan luas segitiga jika diketahui alasnya berukuran 12 cm dan tingginya 5 cm!

6.2 Menemukan Teorema Phytagoras

Perhatikan contoh soal berikut!

Rayhan menapakkan kakinya ke arah Selatan sebanyak 8 kali, kemudian dilanjutkan ke arah Timur

sebanyak 6 kali. Dalam menapakkan kakinya,

Rayhan menempelkan tumit kaki kirinya pada ujung kaki kanannya, kemudian tumit kaki kanannya

ditempelkan pada ujung kaki kirinya, dan seterusnya. Berapa kali Rayhan harus menapakkan kakinya

jika ia mulai berjalan langsung tanpa berbelok dari tempat semula ke tempat terakhir?

Jika satu kotak mewakili 1 telapak kaki Rayhan, maka perjalanan

Rayhan dapat dengan mudah digambarkan pada kertas berpetak seperti berikut.

Penyelesaian:

L = 1

2 x alas x tinggi

= 1

2 × 12 cm x 5 cm

= 30 cm2

Jadi luas segitiga adalah 30 cm2.


Untuk menghitung berapa kali Rayhan harus menapakkan kakinya dari tempat semula ke tempat

terakhir, kita gunakan kertas berpetak lainnya sebagai bantuan

Dengan menghitung banyaknya kotak, berapakah panjang AB?

Apakah Δ ABC berupa segitiga siku-siku?

Berapa kotakkah luasnya?

Pada gambar di atas, sisi siku-sikunya adalah AB dan BC,

Dalam segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri dari dua sisi yang saling tegak

lurus yang disebut sisi siku-siku, dan satu sisi dihadapan sudut siku-siku

disebut sisi miring atau juga disebut hipotenusa.


serta hipotenusanya adalah AC.

Perhatikan panjang sisi-sisi Δ ABC pada gambar di atas.

Apakah hipotenusa Δ ABC merupakan sisi terpanjang?

Kita gambar suatu persegi dengan sisi AB (8 kotak) pada kertas berpetak berwarna

merah. Berapakah luas persegi dengan sisi tersebut?

Gambar persegi dengan sisi BC (6 kotak) pada kertas berpetak

berwarna biru. Berapakah luas persegi dengan sisi

tersebut?

Gambar persegi dengan sisi terpanjang yaitu (10 kotak) pada kertas

berpetak berwarna kuning. Berapa luas persegi dengan sisi tersebut?

Perhatikan luas ketiga persegi tersebut. Apakah jumlah dua luas persegi yang kecil sama dengan luas

persegi terbesar?

Simpulan di atas, disebut sebagai Teorema Pythagoras.

Dalam segitiga siku-siku berlaku jumlah kuadrat sisi siku-sikunya

sama dengan kuadrat hipotenusanya.

JAWAB


C

a

b

A c B

Jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan a panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang sisi siku-

sikunya maka berlaku :

Pernyataan di atas jika diubah ke bentuk pengurangan menjadi :

Jika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga sikusiku dengan a, b dan c bilangan asli, maka a, b, c

disebut bilangan Tripel Pythagoras.

Contoh :

Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 15 cm. Jika panjang salah satu sisi siku-sikunya 9

cm, tentukan panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya!

C

? 15 cm

A 9 cm B

a2 = b2 + c2

b2 = a2 – c2 atau

c2 = a2 – b2


𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2

𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 – 𝐴𝐵2

= 52 – 92

= 225 – 81

= 144

AC =√144 = 12 cm Jadi, panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya (AC ) = 12

cm

LATIHAN SOAL

1. Pernyataan di bawah ini sesuai dengan dalil Pythagoras, kecuali....

2. Panjang KN pada gambar di bawah ini adalah ....

A. 100 cm C. 115 cm

B. 105 cm D. 125 cm

A. BC2 = AC2 + AB2 C. AB2 = AC2 − BC2

B. AC2 = BC2 + AB2 D. a2 = b2 − c2

http://2.bp.blogspot.com/-1LAqzLdKqKU/VVoCt0ykOWI/AAAAAAAAJA8/WO4oZ9-SIAA/s1600/phytagoras-2.png

http://4.bp.blogspot.com/--oI9ZzWR1C8/VVoL7qYiB9I/AAAAAAAAJBg/yKb_MMHsU94/s1600/phytagoras-5.png


3. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 35 cm dan sisi alas memiliki panjang 28

cm. Tentukan luas segitiga tersebut!

4. Perhatikan gambar segitiga berikut!

Tentukan panjang sisi AB!

5. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini!

Jika panjang AC 12√3 cm dan sudut C sebesar 30°, tentukan

panjang AB dan panjang BC!


Alma Alpiana

Destia Eka Putri

Rizky Diah Peratiwi

Upika Rizkie


BAB 7

ARITMATIKA SOSIAL

PETA KONSEP

ARITMATIKA SOSIAL

KONSEP ARITMATIKA SOSIAL

NILAI KESELURUHAN, NILAI PER UNIT, DAN NILAI

SEBAGIAN

HARGA PEMBELIAN DAN HARGA PENJUALAN

UNTUNG DAN RUGI

MENGHITUNG UNTUNG DAN RUGI

MENGHITUNG PERSENTASE UNTUNG DAN RUGI

MENGHITUNG HARGA PEMBELIAN ATAU

PENJUALAN BERDASARKAN PERSENTASE UNTUNG DAN

RUGI

DISKON (RABAT), BRUTO, NETO, DAN TARA

PAJAK DAN BUNGA TABUNGAN


Kegiatan perdagangan yang biasa dilakukan oleh masyarakat meliputi kegiatan jual

beli barang antara penjual (pedagang) dan pembeli. Kegiatan perdagangan dapat terjadi

berdasarkan prinsip saling menguntungkan. Penjual mendapat keuntungan berupa uang dari

barang yang dijualnya, sedangkan pembeli mendapat keuntungan dari barang yang dibelinya

atas dasar manfaat yang diperoleh dari barang tersebut.

Dalam melakukan kegiatan perdagangan, seorang pedagang harus pandai

melakukan perhitungan perdagangan atas barang dagangannya. Misalnya, untuk

mendapatkan keuntungan yang wajar, seorang pedagang harus menetapkan berapa harga

jual pada barang dagangannya sehingga harga jual tersebut tidak terlalu tinggi (agar dapat

bersaing) dan juga tidak terlalu rendah (agar tidak rugi). Hal itu tentunya membutuhkan

perhitungan tertentu yang dibahas dalam aritmetika sosial.

Aritmetika merupakan bagian dari matematika yang disebut ilmu hitung. Kata

“sosial” dapat diartikan sebagai hal-hal yang berkenaan dengan masyarakat. Jadi,

aritmetika sosial dapat diartikan sebagai bagian dari matematika yang membahas

perhitungan-perhitungan yang digunakan masyarakat dalam kehidupan sehari-hari.

Kamu pasti sudah pernah ke supermarket atau pasar. Di sana tentu kalian dapat

melihat kegiatan-kegiatan yang dilakukan orang-orang yang melakukan jual-beli.

Kegiatan jual beli yang dilakukan supermarket atau pasar, merupakan salah satu contoh

aritmatika sosial dalam kegiatan ekonomi.

7.1 Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, Dan Nilai Sebagian


Nilai keseluruhan, nilai per unit, dan nilai sebagian mempunyai suatu hubungan, yaitu:

Seorang pedagang buah membeli 25 buah mangga. Ia membayar dengan 2 lembar uang seratus

ribuan dan mendapat uang kembalian sebesar Rp40.000,00.

a. Tentukan harga pembelian seluruhnya.

b. Tentukan harga pembelian tiap buah.

c. Jika pedagang tersebut hanya membeli 7 buah mangga, berapakah ia harus membayar?

7.2 Harga Pembelian Dan Harga Penjualan

Nilai keseluruhan = banyak unit x nilai per unit

Nilai per unit =

Nilai sebagian = banyak sebagian unit x nilai per unit

Contoh

Penyelesaian:

a. Harga pembelian = 2 x Rp100.000,00 - Rp40.000,00

= Rp200.000,00 - Rp40.000,00

= Rp160.000,00

Jadi, harga pembelian seluruhnya adalah Rp160.000,00.

b. Harga mangga per buah =

= Rp6.400,00

Jadi, Harga tiap buah mangga adalah Rp6.400,00.

c. Harga 7 buah mangga = 7 x Rp6.400,00

= Rp44.800,00

Jadi, harga 7 buah mangga adalah Rp44.800,00.


Dalam suatu kegiatan jual beli atau perdagangan ada dua pihak yang saling

berkepentingan, yaitu penjual dan pembeli. Penjual adalah orang yang menyerahkan barang

kepada pembeli dengan menerima imbalan berupa sejumlah uang dari pembeli. Pembeli

adalah orang yang menerima barang dari penjual dengan menyerahkan sejumlah uang

kepada penjual sebagai pembayarannya.

Untuk mendapatkan barang yang akan dijual, seorang pedagang terlebih dahulu

harus membelinya dari pedagang lain dengan mengeluarkan sejumlah uang yang disebut

harga pembelian atau modal. Setelah barang itu didapatkan, kemudian dijual kembali kepada

pembeli. Uang yang diterima pedagang dari pembeli atas barang yang dijualnya disebut

harga penjualan.

Jika harga penjualan lebih tinggi daripada harga pembelian, dan besar untung sama

dengan harga penjualan dikurangi harga pembelian maka diperoleh hubungan berikut ini.

Harga pembelian sebuah kalkulator Rp50.000,00. Setelah terjual ternyata pedagang itu

mendapat untung Rp15.000,00. Tentukan harga penjualan!

Sebaliknya, jika jual-beli mengalami kerugian, maka harga penjualan lebih rendah

dari harga pembelian, dan rugi sama dengan harga pembelian dikurangi harga penjualan,

sehingga diperoleh hubungan berikut ini.

Harga penjualan = harga pembelian +

untung

Harga pembelian = harga penjualan – untung

Contoh

Penyelesaian:

Harga pembelian = Rp50.000,00

Untung = Rp15.000,00

Harga penjualan = harga pembelian + untung

= Rp50.000,00 + Rp15.000,00

= Rp65.000,00

Jadi, harga penjualan kalkulator adalah Rp65.000,00.

Harga penjualan = harga pembelian –

rugi

Harga pembelian = harga penjualan + rugi


Seorang pedagang membeli sebuah laptop bekas dengan harga Rp 2.500.000. Jika pedagang

itu menderita rugi Rp 150.000, maka berapakah harga penjualannya?

Karena harga penjualan adalah hasil perkalian antara harga jual tiap satuan barang dan

banyaknya barang, maka diperoleh rumus sebagai berikut:

Karena harga pembelian adalah hasil perkalian harga beli tiap satuan barang dan banyaknya

barang, maka diperoleh harga sebagai berikut:

Contoh

Penyelesaian:

Harga pembelian = Rp2.500.000,00

Rugi = Rp150.000,00

Harga penjualan = Rp2.500.000,00 - Rp. 150.000,00

= Rp2.350.000,00

Jadi, Harga penjualan laptop adalah Rp2.350.000,00.

Harga penjualan = harga jual tiap satuan barang × banyaknya barang

Harga jual tiap satuan barang = ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑗𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔

Harga pembelian = harga beli tiap satuan barang × banyaknya barang

Harga beli tiap satuan barang = ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑒𝑙𝑖𝑎𝑛

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔

Contoh


Untuk membiayai sekolahnya, Wawan berjualan koran. Pada suatu hari ia membeli 50 koran

dari agen korannya dengan harga Rp. 2.000,00 tiap koran. Karena hari hujan, ia hanya dapat

menjual 30 koran pada pagi hari. Koran yang tersisa dijualnya pada siang hari dengan harga

Rp. 1.500,00. Setelah dihitung-hitung, ternyata Wawan menderita rugi sebesar Rp.

10.000,00. Berapa harga jual setiap Koran yang dijajakan Wawan pada pagi hari?

7.3 Untung Dan Rugi

1. Menghitung Untung Dan Rugi

Dalam perdagangan, terdapat dua kemungkinan yang akan dialami oleh pedagang, yaitu

untung dan rugi. Pedagang dapat mengalami untung atau rugi tergantung pada beberapa hal,

Penyelesaian :

Harga pembelian = 50 × Rp. 2.000,00 = Rp. 100.000,00

Harga penjualan seluruhnya = harga pembelian – rugi

= Rp. 100.000,00 - Rp. 10.000,00

= Rp. 90.000,00

Harga penjualan seluruhnya = harga penjualan pagi hari + harga penjualan siang hari

Harga penjualan pagi hari = harga penjualan seluruhnya – harga penjualan siang hari

= Rp. 90.000,00 - (50-30) × Rp. 1.500,00

= Rp. 90.000,00 – Rp. 30.000,00

= Rp. 60.000,00

Harga jual setiap Koran pada pagi hari = ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑗𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑔𝑖 ℎ𝑎𝑟𝑖

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑘𝑜𝑟𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑢𝑎𝑙

= 𝑅𝑝.60.000 ,00

30

= Rp 2000,00

Jadi, harga jual setiap Koran yang dijajakan Wawan pada pagi hari = Rp2000,00


seperti besarnya harga jual, kondisi barang yang dijual (mengalami kerusakan atau tidak),

dan situasi pembeli.

Pengertian Untung

Seorang pedagang dikatakan mendapat untung apabila ia berhasil menjual barang

dagangannya dengan harga penjualan yang lebih tinggi daripada harga pembeliannya.

Besarnya selisih antara harga penjualan dan harga pembelian itu merupakan besarnya untung

yang diperoleh pedagang tersebut.

Keuntungan yang diperoleh seorang pedagang dapat dirumuskan sebagai berikut:

Seorang pedagang membeli telur 10 kg dengan harga Rp 120.000, kemudian telur itu dijual

dengan harga Rp12.500/kg. Berapakah keuntungan pedagang tersebut?

Pengertian Rugi

Seorang pedagang dikatakan mendapat rugi apabila ia menjual barang dagangannya

dengan harga penjualan yang lebih rendah daripada

Untung = Harga Penjualan – Harga Pembelian

Contoh

Rugi = harga pembelian – harga penjualan

Penyelesaian :

Harga beli 10 kg telur Rp. 120.000,00

Harga jual 1 kg telur Rp. 12.500,00

Untung = Harga Jual – Harga Beli

Harga jual = 10 x Rp. 12.500,00 = Rp. 125.000,00

Untung = Rp. 125.000,00 – Rp. 120.000,00 = Rp. 5.000,00

Jadi, pedagang itu mendapat keuntungan Rp. 5000,00


harga pembelian. Besar selisih antar harga pembelian dan harga penjualan adalah besar

kerugian yang diderita oleh pedagang tersebut. Besarnya kerugian yang diderita oleh seorang

pedagang dapat dirumuskan sebagai berikut:

Pak Dono membeli sebuah mobil dengan harga Rp. 10.000.000,00. Pada suatu saat karena

ia sangat membutuhkan uang, ia bermaksud menjual mobilnya. Ternyata ia hanya dapat

menjual mobilnya dengan harga Rp. 8.000.000,00. Berapa kerugian Pak Dono?

2. Menghitung Persentase Untung Dan Rugi

Dalam dunia perdagangan untung atau rugi dapat dinyatakan dengan persen. Misalnya,

bila kita sedang tawar-menawar suatu barang di pasar (karena harganya dirasakan terlalu

mahal bagi kita), kadang-kadang pedagang itu berkilah dengan mengatakan bahwa ia hanya

mengambil keuntungan sedikit, beberapa persen saja.

Dengan menyatakan keuntungan atau kerugian dalam bentuk persen, kita dapat meliha t

apakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh pedagang tersebut berada dalam tingkat

yang wajar atau tidak. Kemudian juga, kita dapat membandingkan besarnya keuntungan atau

kerugian yang diperoleh oleh dua buah barang yang berbeda. Apakah keuntungan atau

kerugian yang diperoleh oleh barang yang satu lebih besar atau lebih kecil daripada yang

diperoleh oleh barang yang lain.

Menyatakan Persentase Keuntungan

Persentase keuntungan biasanya dihitung dari harga pembelian. Jadi, jika kita mendengar

ada seorang pedagang yang mengambil keuntungan 10%, itu berarti bahwa pedagang

tersebut mengambil keuntungan sebesar 10% dari harga pembelian barang itu.

Contoh

Penyelesaian :

Harga pembelian = Rp. 10.000.000,00

Harga penjualan = Rp. 8.000.000,00

Rugi = harga pembelian – harga penjualan

= Rp. 10.000.000,00 - Rp. 8.000.000,00

= Rp. 2.000.000,00

Jadi, Pak Dono mengalami kerugian sebesar Rp. 2.000.000,00.


Menyatakan keuntungan dengan persentase dari harga pembelian dirumuskan sebagai

berikut:

Jadi, berdasarkan rumus tersebut, tahapan-tahapan yang perlu diperhatikan dalam

menentukan persentase keuntungan dari harga pembelian adalah sebagai berikut:

Memperhatikan besarnya modal atau harga pembelian dan harga penjualan.

Menentukan besarnya untung.

Membandingkan nilai untung dengan harga pembelian.

Mengalikan nilai perbandingan tersebut dengan 100% sehingga didapatkan persentase

keuntungan.

Apabila harga pembelian (modal) dan persentase keuntungan diketahui, maka

perhitungan untuk mendapatkan harga penjualan dapat diturunkan dari rumus persentase

keuntungan diatas.

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa keuntungan = persentase keuntungan × harga

pembelian

Karena harga penjualan sama dengan harga pembelian ditambah keuntungan, maka

diperoleh rumus sebagai berikut:

Seorang pedagang membeli gula 5 kg dengan harga Rp. 35.000,00 kemudian dijual dengan

harga Rp. 45.000,00. Berapakah besar persentase keuntungan pedagang tersebut?

Penyelesaian :

Harga beli Rp. 35.000,00

Harga jual Rp. 45.000,00

Untung = Rp 45.000 – Rp 35.000 = Rp 10.000

Persentase keuntungan (%) = 𝑅𝑝.10.000

𝑅𝑝.35.000 × 100% = 28,6%

Jadi persentase keuntungannya adalah 28,6 %

Menyatakan Persentase Kerugian

Persentase keuntungan (%) = 𝑘𝑒𝑢𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛

ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑒𝑙𝑖𝑎𝑛 × 100%

Harga penjualan = harga pembelian + persentase keuntungan × harga pembelian = harga pembelian (1 + persentase keuntungan)

Contoh


Besarnya kerugian yang diderita seorang pedagang juga dapat dinyatakan dalam

persentase yang dihitung dari harga pembelian. Jadi, jika seseorang menderita sebesar 5%,

itu artinya orang tersebut menderita kerugian 5% dari harga pembelian. Persentase kerugian

ini dapat dinyatakan dalam rumus sebagai berikut:

Tahapan-tahapan yang perlu diperhatikan dalam menentukan persentase kerugian

sama dengan tahapan yang perlu diperhatikan dalam menentukan persentase keuntungan.

Hanya besarnya keuntungan kita ganti dengan besarnya kerugian.

Apabila harga pembelian (modal) dan persentase kerugian dikerahui maka

perhitungan untuk mendapatkan harga penjualan dapat diturunkan dari rumus persentase

kerugian di atas.

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa kerugian = persentase kerugian × harga

pembelian

Karena harga penjualan sama dengan harga harga pembelian dikurangi kerugian

maka diperoleh rumus harga penjualan sebagai berikut:

Seorang bapak membeli sebuah mobil seharga Rp. 50.000.000,00 karena sudah bosan

dengan mobil tersebut maka mobil tersebut dijual dengan harga Rp. 45.000.000,00.

Tentukan persentase kerugiannya!

Penyelesaian :

Harga beli Rp. 50.000.000,00

Harga jual Rp. 45.000.000,00

Rugi = Rp. 50.000.000,00 – Rp. 45.000.000,00 = Rp 5.000.000

Persentase kerugian = 𝑅𝑝.5.000 .000

𝑅𝑝.50.000 .000 × 100% = 10%

Jadi persentase kerugiannya adalah 10%.

Persentase kerugian (%) = 𝑘𝑒𝑟𝑢𝑔𝑖𝑎𝑛

ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑒𝑙𝑖𝑎𝑛 × 100%

Harga penjualan = harga pembelian + persentase kerugian × harga

pembelian = harga pembelian (1 - persentase kerugian)

Contoh


3. Menghitung Harga Pembelian Atau Penjualan Berdasarkan Persentase Untung

Atau Rugi

Seorang pedagang membeli sebuah mainan seharga Rp. 125.000. Jika pedagang tersebut

menghendaki untung 20%, berapa rupiahkah mainan tersebut harus dijual?

Penyelesaian :

Harga pembelian = Rp. 125.000

Untung 20% = 20

100 × Rp. 125.000

= Rp. 25.000

Harga penjualan = harga pembelian + untung

= Rp. 125.000 + Rp.25.000

= Rp. 150.000

7.4 Diskon (Rabat), Bruto, Neto, Dan Tara

Rabat

Rabat artinya potongan harga atau lebih dikenal dengan istilah diskon. Rabat

biasanya diberikan kepada pembeli dari suatu grosir atau toko tertentu.

Rabat (diskon) seringkali dijadikan alat untuk menarik para pembeli, misalnya ada

toko yang melakukan obral dengan diskon dari 10% sampai 50%, sehingga para pembeli

menjadi tertarik untuk berbelanja di toko tersebut, karena harganya terkesan menjadi murah.

Harga bersih = harga kotor – rabat (diskon)

Pada rumus di atas, harga kotor adalah harga sebelum dipotong diskon, dan harga

bersih adalah harga setelah dipotong diskon.

Sebuah toko memberikan diskon 15 %, Budi membeli sebuah rice cooker dengan harga Rp.

420.000,00. Berapakah harga yang harus dibayar budi?

Penyelesaian :

Harga sebelum diskon = Rp. 420.000,00

Potongan harga = 15 % x Rp. 420.000,00 = Rp. 63.000,00

Harga setelah diskon = Rp. 420.000,00 – Rp. 63.000,00

Contoh

Contoh


= Rp 375. 000,00

Jadi Budi harus membayar Rp 375.000,00

Bruto, Neto, dan Tara

Bruto (berat kotor) adalah berat benda ditambah dengan berat kemasan.

Neto (berat bersih) adalah berat bendanya saja.

Tara adalah selisih antara bruto dan neto.

Hubungan antara bruto, neto, dan tara dapat dirumuskan sebagai berikut.

1. Dalam sebuah karung yang berisi pupuk tertera tulisan berat bersih 50 kg. Sedangkan berat

kotor 0,08 kg, maka berat seluruhnya = 50kg + 0,08kg = 50,8kg. Berat karung dan pupuk

yaitu 50,8 kg disebut bruto (berat kotor). Berat karung 0,08 kg disebut tara. Berat pupuk 50

kg disebut berat neto ( berat bersih).

2. Seorang pedagang membeli 5 karung beras dengan bruto masing-masing 72 kg dan tara 1%.

Berapa rupiah pedagang itu harus membayar jika harga setiap kg beras Rp. 4.500?

Penyelesaian :

Berat bruto = 5 × 72 kg = 360 kg

Tara 1% = 1

100 × 360 kg = 3,6 kg

Neto = 360 kg – 3,6 kg = 356,4 kg

Jadi, pedagang harus membayar = 356,4 × Rp. 4.500 = Rp. 1.603.800

7.5 Pajak Dan Bunga Tabungan

1. PAJAK

Pajak merupakan suatu kewajiban dari warga negara untuk menyerahkan sebagian

kekayaan kepada negara menurut peraturan-peraturan yang ditetapkan oleh pemerintah,

Bruto = Neto + Tara

Neto = Bruto – Tara

Tara = Bruto – Neto

Tara = %Tara × Bruto

Contoh


tetapi tanpa mendapat jasa balik dari negara secara langsung. Hasil dari pajak digunakan

untuk kesejahteraan umum.

Pegawai tetap dari perusahaan swasta atau pegawai negeri dikenakan pajak

pengahasilan kena pajaknya yang disebut dengan Pajak Penghasilan (PPh).

Apabila kita berbelanja di dealer, atau grosir, atau toko swalayan, atau tempat

lainnya, maka terdapat barang-barang yang harganya ditambah dengan pajak yang disebut

dengan Pajak Pertambahan Nilai (PPN).

Seorang ibu mendapat gaji sebulan sebesar Rp. 1.000.000,00 dengan penghasilan tidak kena

pajak Rp. 400.000,00. Jika besar pajak penghasilan (PPh) adalah 10 % berapakah gaji yang

diterima ibu tersebut?

Penyelesaian:

Besar penghasilan = Rp. 1.000.000,00

Penghasilan tidak kena pajak Rp. 400.000,00

Penghasilan kena pajak = Rp. 1.000.000,00 – Rp. 400.000,00 = Rp 600.000,00

Besar pajak penghasilan = 10 % x Rp. 600.000,00 = Rp. 60.000,00

Jadi besar gaji yang diterima ibu tersebut adalah = Rp 1.000.000 – Rp 60.000

= Rp 940.000

2. BUNGA TABUNGAN

Jika kita menyimpan uang di bank, maka uang kita akan bertambah karena kita mendapat

bunga. Jenis bunga tabungan yang akan kita pelajari adalah bunga tunggal, artinya yang

mendapat bunga hanya modalnya saja, sedangkan bunganya tidak akan berbunga lagi.

Apabila bunganya turut berbunga lagi, maka jenis bunga tersebut disebut bunga majemuk

yang kelak akan dipelajari di sekolah yang lebih tinggi.

Bunga tabungan biasanya dihitung dalam persen yang berlaku untuk jangka waktu 1

tahun, bunga 15% per tahun artinya tabungan akan mendapat bunga 15% jika telah disimpan

di bank selama 1 tahun.

Persen bunga selalu dinyatakan untuk 1 tahun, kecuali jika ada keterangan lain pada soal.

Contoh

Bunga 1 tahun = persen bunga × modal

Bunga n bulan = 𝑛

12 × persen bunga × modal

= 𝑛

12 × bunga 1 tahun


1. Pak Soni memiliki tabungan di Bank B sebesar Rp. 750.000 dengan bunga 15% per tahun.

Berapa jumlah uang Pak Soni setelah 1 tahun?

Penyelesaian :

Bunga 1 tahun = 15

100 × Rp. 750.000 = Rp. 112.500

Jumlah uang Pak Soni setelah disimpan 1 tahun

= Rp. 750.000 + Rp. 112.500

= Rp. 862.500

2. Rio menabung dibank sebesar Rp 75.000,00 dengan bunga 12% per tahun. Hitung jumlah

uang rio setelah enam bulan.

Penyelesaian :

Besar modal (uang tabungan) = Rp 75.000,00

Bunga 1 tahun 12 % = 12

100 × Rp. 75.000,00 = Rp. 9.000,00

Bunga 6 bulan = Rp. 4.500,00

Jadi jumlah uang Rio setelah disimpan selama enam bulan menjadi:

= Rp. 75.000,00 + Rp. 4.500,00

= Rp. 79.500,00

LATIHAN SOAL

I. PILIHAN GANDA

1. Seorang pedagang membeli 3 kodi pakaian dengan harga Rp 600.000,- perkodi. Pakaian

tersebut ia jual kembali dengan harga Rp 400.000,- perlusin. Dalam waktu dua hari pakaian

tersebut sudah habis. Keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut adalah ....

A. Rp 200.000,- C. Rp 400.000,- E.Rp 600.000,-

B. Rp 300.000,- D. Rp 500.000,-

2. Seorang pedagang membeli sebuah TV dengan harga Rp 2.000.000,-. Jika TV tersebut ia

jual kembali dengan harga Rp 2.400.000,- maka persentase keuntungan yang diperoleh

pedagang tersebut adalah ....

A. 10% C. 25% E. 50%

B. 20% D. 30%

Contoh


3. Seorang pedagang membeli 1 rim kertas A4 dengan harga Rp 50.000,-. Kertas tersebut dijual

secara ecer per 5 lembar. Agar pedagang tersebut untung Rp 20.000,- dari hasil penjualan

kertas itu, maka harga ecer per 5 lembar kertas adalah .....

A. Rp 700,- C. Rp 500,- E. 900,-

B. Rp 600,- D. Rp 400,-

4. Seorang pedagang membeli 20 kg salak seharga Rp 140.000,-. Setengahnya ia jual kembali

dengan harga Rp 10.000,-/kg dan setengahnya lagi ia jual dengan harga Rp 6.000,- karena

sudah mulai rusak. Jika seluruh salak terjual habis, maka keuntungan yang diperoleh

pedagang adalah .....

A. Rp 30.000,- C. Rp 20.000,- E. Rp 29.000,-

B. Rp 25.000,- D. Rp 18.000,-

5. Jessy mendapatkan potongan harga sebesar 25% dari total pembelian barang di suatu mall.

Mall tersebut membebani pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong.

Jika x adalah harga total pembelian, maka jessy harus membayar sebesar …

A. (1,5 x 0,05) x C. (1,1 x 0,25) x E. (0,1 x 0,75) x

B. (0,1 x 0,05) x D. (1,1 x 0,75) x

6. Andi menabung di bank sebesar Rp 2.100.000,00 dengan bunga tunggal 8% setahun. Saat

diambil tabungan andi menjadi Rp2.282.000,00. Lama andi menabung adalah …

A. 14 bulan C. 15 bulan E. 13 bulan

B. 16 bulan D. 10 bulan

7. Setelah 9 bulan uang tabungan Susi di koperasi berjumlah Rp 3.815.000. Koperasi memberi

jasa simpanan berupa bunga 12% per tahun. Berapa tabungan awal Susi di koperasi …

A. Rp 6.500.000,- C. Rp 3.500.000,- E. Rp 8.500.000,-

B. Rp 3.900.000,- D. Rp 4.500.000,-

8. Harga beli tas Rp 15.000.000, pajak yang harus dibayar anisa yaitu 10 %. Anisa menjua l

tasnya seharga Rp 11.500.000. Berapa kerugian yang dialami anisa …

A. Rp 5.000.000,- B. Rp 4.500.000,- E. Rp 6.900.500,-

B. Rp 4.000.000,- D. Rp 7.000.000,-


9. Diketahui di sebuah mall harga baju Rp 40.000, diskon 10 %, harga celana Rp 70.000, diskon

15 %, harga topi Rp 20.000, diskon 5 %, harga tas Rp 35.000,diskon 5 %, harga kaos Rp

55.000,diskon 15 %. Uang belanja Rp 130.000. 3 jenis barang apa saja yang dapat dibeli

Yuda dengan harga Rp 133.750,00 …

A. Celana, tas, kaos C. baju, tas, celana E. topi, tas, baju

B. Tas, kaos, topi D. celana, topi, baju

II. ESAY

10. Bu Echa membeli 2 karung beras dengan harga Rp. 350.000 per karungnya dan mendapat

diskon 10%. Dalam karung beras bertuliskan brutonya 50 kg dan taranya 1%. Kemudian Bu

Echa menjual 45kg beras tersebut dengan harga Rp. 10.000 per kg dan diskon 15%. Sisanya

dijual dengan harga Rp.9.000 dan diskon 10%. Berapa keuntungan yang diperoleh Bu Echa

(dalam Rp dan %) setelah kena pajak Rp. 9.900?


Betyana Tinambunan

Ershy Rishelly Ravensky

Kiki Ismayanti

Renni Juli Yanna


BAB 8

PERBANDINGAN


8.1 Pengertian Perbandingan

Perbandingan adalah membandingkan dua nilai atau lebih dari suatu besaran yang sejenis dan

dinyatakan dengan cara yang sederhana.

Perbandingan merupakan suatu hal yang sangat penting dalam matematika, demikian juga dalam

kehidupan sehari-hari kita pun tidak lepas dari perbandingan.

Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut :

a. Usia Ayah 45 tahun dan usia ibu 40 tahun, sedangkan usia Ali 15 tahun serta usia Ani 10 tahun.

Perbandingan usia ayah dan ibu = 45 tahun : 40 tahun = 45 : 40 = 9 : 8

Perbandingan Usia Ali dan Ani = 15 tahun : 10 tahun = 15 : 10 = 3 : 2

Perbandingan usia Ayah dan Ali = 45 tahun : 15 tahun = 45 : 15 = 3 : 1

b. Tinggi badan Dewa 160 cm, tinggi badan Dewi, 120 cm dan tinggi badan Gita 60 cm


Perbandingan tinggi badan Dewa dan Dewi = 160 cm:120 cm = 160:120 = 4:3

Perbandingan tinggi badan Dewi dan Gita = 120 cm:60 cm = 120:60 = 2:1

Perbandingan tinggi badan Dewa dan Gita = 160 cm:60 cm = 160:60 = 8:3

Dari contoh tersebut dapat diketahui bahwa untuk membandingkan dua buah besaran perlu

diperhatikan :

a. Bandingkan besaran yang satu dengan yang lain

b. Samakan satuannya

c. Sederhanakan bentuk perbandingannya

Dari uraian dan contoh masalah di atas dapat diperoleh arti perbandingan sebagai berikut :

a. Perbandingan antara a dan b ditulis dalam bentuk sederhana atau a : b, dengan a dan b

merupakan bilangan asli, dan b 0.

b. Kedua satuan yang dibandingkan harus sama.

c. Perbandingan dalam bentuk sederhana atinya antara a dan b sudah tidak mempunyai faktor

persekutuan, kecuali 1.

8.2 Pengertian Skala

Skala adalah perbandingan antara jarak pada gambar dengan jarak yang sebenarnya. Skala

biasanya digunakan pada denah lokasi, peta, dan rancangan benda.

Contoh penulisan skala :

1 : 20.000, 1 : 15.000, dan 1 : 750.000

Rumus Skala

Skala Peta = 𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟

𝑆𝑘𝑎𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑡𝑎


Contoh 1:

Jarak dari kota A ke kota B pada peta adalah 3,5 cm. Skala pada peta adalah 1:2.000.000. Berapakah

jarak dari kota A ke kota B sesungguhnya?

Jarak sesungguhnya = 𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟

𝑆𝑘𝑎𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑡𝑎

= 3,5 𝑐𝑚

1∶2.000 .000

= 7.000.000 cm

= 70 km

8.3 Terapan Perbandingan

Permasalahan perbandingan yang sering muncul dalam kehidupan sehari-hari antara lain

adalah perbandingan antara uang yang dimiliki seseorang terhadap orang yang lain. Perbandingannya

dapat berupa perbandingan yang satuan pembandingnya sama dan perbandingan yang satuan

pembandingnya berbeda.

1. Satuan Pembandingnya Sama

Contoh Masalah

Uang Ali dibanding uang Budi dibanding uang Cahya adalah 2:5:7. Jumlah uang mereka

Rp70.000,00. Tentukan uang mereka masing-masing. Berpakah selisih antara uang Ali

dengan uang Cahya?

Pemecahan Masalah

Jika uang Ali dibanding uang Budi dibanding uang Cahya adalah 2:5:7 maka Ali diwakili

oleh 2 petak, Budi 5 petak, dan Cahya 7 petak, atau A = 2p, B = 5p, dan C = 7p.

Selanjutnya jika yang diketahui adalah jumlah uangnya, maka petak-petak yang

bersesuaian disambungkan, sebaliknya jika yang diketahui adalah selisihnya maka petak-

petak yang bersesuaian disandingkan.

2. Satuan Pembandingnya Tak Sama

Contoh Masalah

Uang Ali dibanding dengan uang Budi 3 : 5.

Uang Budi dibanding uang Cahya 2 : 3


Jumlah uang mereka Rp62.000,00.

Berapa rupiah uang mereka masing-masing?

Jawab

Yang diketahui adalah (1) perbandingan uang Ali banding Budi 3 : 5

(2) perbandingan uang Budi dan Cahya 2 : 3

(3) jumlah uang mereka Rp62.000,00.

Yang ditanyakan adalah: uang mereka masing-masing

Kerangka berpikir informal

Karena perbandingan Ali dengan Budi 3 : 5, maka Ali diwakili oleh 3 petak yang

masing-masing petaknya berukuran p dan Budi diwakili oleh 5 petak yang masing-

masing petaknya berukuran p, sehingga Ali = 3p dan Budi = 5p (lihat gambar).

Karena perbandingan Budi dengan Cahya 2 : 3, maka Budi diwakili oleh 2 petak baru

yang masing-masing petaknya berukuran q dan Cahya diwakili oleh 3 petak yang

masing-masing petaknya juga berukuran q, sehingga Budi = 2q dan cahya = 3q (lihat

gambar).

Dari gambar milik Budi kita peroleh kesamaan 5p = 2q maka q = 5

2𝑝. Selanjutnya

semua satuan pembandingnya kita nyatakan dalam p. Hasilnya

Ali : Budi : Cahya = 3p : 5p : 3q : dengan q = = 5

2𝑝.

= 3p : 5p : 3 x 5

2𝑝

= 3p: 5p : = 15

2𝑝

= 6 : 10 : 15 .

Karena jumlahnya diketahui = 62.000 rupiah, maka :

Uang Ali = 6

6+10+15 x 62.000 =

6

31 x 62.000 = 12.000 rupiah

Uang Budi = 10

6+10+15 x 62.000 =

10

31 x 62.000 = 20.000 rupiah

Uang Cahya = 15

6+10+15 x 62.000 =

15

31 x 62.000 = 30.000 rupiah

Total = 12.000+20.000+30.000 = 62.000 rupiah


Kerangka berfikir formal

Karena perbndingan uang Ali dan Budi = 3 : 5, maka Ali = 3p dan Budi = 5p.

Karena perbanddingan uang Budi dan Cahya = 2 : 3, maka Budi = 2q dan Cahya = 3q.

Maka uang Budi = 5p = 2q

Dari 5p = 2q diperoleh 2q = 5p, atau

q = 5

2𝑝

Karena perbandingan uang Ali : Budi = 3p : 5p, dan perbanddingan uang Budi dan Cahya = 2q : 3q,

maka :

Jika dibandingkan, maka Ali : Budi : Cahya

3p : 5p

2q : 3q

Dengan demikian maka perbandingan uang

Ali : Budi : Cahya = 3p : 5p : 3q : dengan q = = 5

2𝑝.

= 3p : 5p : 3 x 5

2𝑝

= 3p: 5p : = 15

2𝑝

= 6 : 10 : 15 .


Uang Ali = 6

6+10+15 x 62.000 =

6

31 x 62.000 = 12.000 rupiah

Uang Budi = 10

6+10+15 x 62.000 =

10

31 x 62.000 = 20.000 rupiah

Uang Cahya = 15

6+10+15 x 62.000 =

15

31 x 62.000 = 30.000 rupiah

Total = 12.000+20.000+30.000 = 62.000 rupiah

Cara Cepat

Uang Ali : Budi = 3 : 5

Budi : Cahya = 2 : 3

Maka :

Uang Ali : Budi : Cahya = 6 : 10 : 15 = 6 + 10 + 15 = 31



Uang Ali = 6

6+10+15 x 62.000 =

6

31 x 62.000 = 12.000 rupiah

Uang Budi = 10

6+10+15 x 62.000 =

10

31 x 62.000 = 20.000 rupiah

Uang Cahya = 15

6+10+15 x 62.000 =

15

31 x 62.000 = 30.000 rupiah

Total = 12.000+20.000+30.000 = 62.000 rupiah

8.4 Jenis-Jenis Perbandingan

1. PERBANDINGAN SENILAI

Perbandingan senilai merupakan sebuah perbandingan yang memiliki sifat besaran apabila salah

satu bertambah, maka yang lainnya pun akan ikut bertambah. Perbandingan senilai berkaitan dengan

perbandingan dua buah besaran, di mana jika besaran yang satu berubah naik/turun, maka besaran

yang lain juga berunah naik/turun.

Contoh masalah yang berkaitan dengan perbandingan senilai adalah :

Jumlah barang yang dibeli dengan harga yang harus di bayar

Jumlah konsumsi bahan bakar dan jarak yang ditempuh

Jumlah kaleng cat dan luas permukaan yang bisa di cat

dan lain-lain

Cara menyelesaikan masalah perbandingan senilai adalah dengan :

a. Menentukan nilai satuan

Dilakukan dengan menentukan nilai satuan dari besaran yang dibandingkan, baru kemudian

dikalikan dengan besaran yang ditanyakan.

b. Menuliskan perbandingan senilai

Dilakukan dengan perbandingan langsung antara dua keadaan atau lebih

Misalkan diketahui dua besaran A dan B

Karena berlaku perbandingan senilai maka :


Berdasarkan hubungan tersebut diperoleh :

Contoh Soal:

1. Sebuah kendaraan dapat menempuh jarak 24 km dengan mengkonsumsi bensin 2 liter. Berapa

liter bensin yang diperlukan untuk menempuh jarak 60 km ?

Jawab :

Cara 1 :

2 liter bensin dapat menempuh jarak 24 km

1 liter bensin dapat menempuh jarak 12 km

Jadi untuk menempuh jarak 60 km diperlukan bensin sebanyak 60 : 12 = 5 liter.

Cara 2 :

Di buat tabel sebagai berikut :

Perhitungan dilakukan dengan :

Jadi untuk menempuh jarak 60 km diperlukan bensin sebanyak 60 : 12 = 5 liter.

2. 1lusin baju dibeli dengan harga Rp 480.000,00. Berapakah harga 15 buah baju yang sama ?

Jawab :

Cara 1 :

1 lusin baju harganya Rp 480.000,00

1 buah baju harganya Rp 480.000,00 : 12 = Rp 40.000,00

Jadi harga 15 buah baju adalah 15 x Rp 40.000,00 = Rp 600.000,00


Cara 2 :

Dibuat tabel sebagai berikut :

Perhitungan dilakukan dengan :

Jadi harga 15 buah baju adalah 15 x Rp 40.000,00 = Rp 600.000,00

2. PERBANDINGAN BERBALIK NILAI

Perbandingan berbalik nilai adalah sebuah perbandingan yang memiliki sifat besaran apabila

salah satu bertambah maka yang lainnya akan berkurang.

Perbandingan berbalik nilai berkaitan dengan membandingkan dua buah keadaan di mana jika

besaran yang satu bertambah/berkurang maka besaran yang lain berkurang/bertambah.

Masalah yang berkaitan dengan perbandingan berbalik nilai antara lain :

Banyaknya pekerja dengan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan (untuk

pekerjaan yang sama)

Kecepatan dengan waktu tempuh (untuk jarak yang sama)

Banyaknya ternak dan waktu untuk menghabiskan makanan tersebut (untuk jumlah makanan

ternak yang sama)

Dan sebagainya

Misalkan diketahui dua besaran A dan B


Karena berlaku perbandingan berbalik nilai maka :

Berdasarkan hubungan tersebut diperoleh :

Contoh Soal:

1. Suatu pekerjaan akan selesai dalam waktu 42 hari jika dikerjakan oleh 12 orang. Berapa lama

pekerjaan yang sama akan selesai jika dikerjakan oleh 14 orang ?

Jawab :


Perhitungan perbandingan berbalik nilai dilakukan dengan membalik Salah satu ruas:

Jadi jika pekerjaan tersebut dikerjakan oleh 14 pekerja akan selesai dalam waktu 36 hari.

2. Jarak kota A ke kota B sama dengan jarak kota B ke kota C. Jika AB dapat ditempuh dengan

kecepatan 40 km/jam selama 10 jam, berapakah kecepatan yang harus ditambahkan jika jarak BC

akan ditempuh selama 8 jam ?

Jawab :


Perhitungan perbandingan berbalik nilai dilakukan dengan membalik salah satu ruas:


Kecepatan yang harus ditambahkan adalah 50 – 40 = 10 km/jam.

LATIHAN SOAL

1. Suatu minuman dibuat dengan mencampur air, sirop, dan santan dengan perbandingan 3 : 4 : 5.

Jika ibu ingin membuat minuman sebanyak 36 liter, santan yang diperlukan adalah....liter

2. Seorang tata usaha dapat mengetik 1200 kata dalam 1 jam.

a. Berapa kata dapat diketik dalam wkatu 1¾ jam?

b. Jika tata usaha itu dapat mengetik 1800 kata, berapa lama waktu yang diperlukannya?

3. Seorang pedagang mampu menjual 28 botol sirup dengan harga Rp. 184.800,00. Pada minggu

berikutnya sirup yang terjual 2 lusin. Hitung jumlah uang hasil penjualan sirup tersebut.

4. Pekerjaan dapat diselesaikan dalam waktu 5 hari dengan 10 orang pekerja. Jika ternyata hari ke-2,

ke-3, dan ke-4 pekerjaan dihentikan, maka butuh berapa pekerja tambahan untuk

menyelesaikannya tepat 5 hari?

5. Jarak kedua kota pada peta adalah 13 cm. skala yang digunakan peta tersebut adalah 1 : 250.000.

Berapakah jarak sebenarnya dari kedua kota tersebut ???


Adelia Afissa

Nurwaningsih

Ratih Puspita Sari

Yurika Mariani


BAB 9

GENERALISASI DN POLA BILANGAN

PETA KONSEP

Keterangan :

= Diaplikasikan pada

= Judul

= Sub Judul

GENERALISASI

POLA BILANGAN

PENGERTIAN

INDIKATOR

PENGERTIAN

JENISNYA

BARISAN DAN DERET

BILANGAN

PENGERTIAN

JENISNYA


9.1 Generalisasi

9.1.1 Pengertian

Generalisasi merupakan terjemahan dari generalization yang artinya perumuman.

Ada beberapa pendapat mengenai pengertian generalisasi :

1. Soekadijo (1999: 134) mengatakan bahwa penalaran yang menyimpulkan suatu konklusi yang

bersifat umum dari premis-premis yang berupa proposisi empirik itu disebut generalisasi.

2. Samsul Maarif (2012) menyatakan, kemampuan generalisasi matematis adalah keterampilan

proses penarikan kesimpulan dimulai dengan memeriksa keadaan khusus menuju kesimpulan umum

atau pola umum.

Jadi dapat disimpulkan bahwa, generalisasi adalah kemampuan untuk membuat sebuah

kesimpulan dari hal-hal yang bersifat khusus.

9.1.2 Indikator

Menurut Samsyul maarif 2012 menyatakan bahwa ada 4 indikator dalam kemampuan

generalisasi yaitu perception of generality, ekspression of generality, symbolic ekspression of

generality, manipulation of generality.

1. tahap perception of generality

Pada tahap ini siswa baru sampai pada tahap mengenal sebuah aturan/ pola. Pada tahap ini

siswa juga telah mampu mempersepsi atau mengidentifikasi pola. Siswa telah mengetahui bahwa

masalah yang disajikan dapat diselesaikan menggunakan aturan/pola.

2. tahap ekspression of generality

Pada tahap ini siswa telah mampu menggunakan hasil identifikasi pola untuk menentukan

struktur/ data/ gambar/ suku berikutnya. Pada ini siswa juga telah mampu menguraikan sebuah

aturan/ pola, baik secara numerik maupun verbal.

3. tahap symbolic ekspression of generality

Pada tahap ini siswa telah mampu menghasilkan sebuah aturan dan pola umum. Selain itu

siswa juga telah mampu memformulasikan keumuman secara simbolis.


4. tahap manipulation of generality

Pada tahap ini siswa telah mampu menggunakan hasil generalisasi untuk menyelesaikan

masalah, dan mampu menerapkan aturan/ pola yang telah mereka temukan pada berbagai persoalan.

9.2 Pola Bilangan

9.2.1 Pengertian

Pola adalah model/aturan yang bisa dipakai untuk membuat atau untuk menghasilkan suatu

bilangan.

b) Contoh

a. Pola Bilangan Persegi

Contoh pola bilangan persegi: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ….

Pola bilangan tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut:

Pole ke-1 yaitu 1 = 1 x 1 = 12

Pola ke-2 yaitu 4 = 2 x 2 = 22

Pola ke-3 yaitu 9 = 3 x 3 = 32

Pola ke-4 yaitu 16 = 4 x 4 = 42

Pola ke 5 yaitu 25 = 5 x 5 = 52

Pola ke n yaitu 𝑈𝑛 = 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑛2

3. Pola Bilangan Segitiga

Contoh pola bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ….

http://dumatika.com/pola-bilangan-segitiga/

http://dumatika.com/?attachment_id=1293


Pola bilangan tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut:

𝑃𝑜𝑙𝑎 𝑘𝑒 1 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 ∶ 1 = 1

2 𝑥 1(1 + 1)


2 𝑥 2 (2 + 1)


2 𝑥 3 (3 + 1)


2 𝑥 4 (4 + 1)


2 𝑥 5 (5 + 1 )

𝑃𝑜𝑙𝑎 𝑘𝑒 6 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 ∶ … = 1

2 𝑥 6 (6 + 1 )

𝑃𝑜𝑙𝑎 𝑘𝑒 𝑛 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 ∶ 𝑈𝑛 = 1

2 𝑥 𝑛 ( 𝑛 + 1 )

4. Pola Bilangan Ganjil

Contoh pola bilangan Ganjil : 1,3,5,7,,,,,,,,,,,

\

Pola bilangan tersebut dapat disusun barisan bilangan sebagai berikut

1 1 = 2 x 1 - 1

2 3 = 2 x 2 – 1

http://dumatika.com/?attachment_id=1294


3 5 = 2 x 3 – 1

4 7 = 2 x 4 – 1

n = 2 n – 1

9.3 Barisan Dan Deret Bilangan

9.3.1 Pengertian

a. Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah rangkaian bilangan yang disusun menurut aturan (pola) tertentu.

Contoh :

a) 2, 6 , 10, 14,…

Aturan pembentukannya adalah “ ditambah 4”

Dua suku berikutnya adalah 18 dan 22.

b) 1, 2, 5, 10,…

Aturan pembentukannya adalah “ ditambah bilangan ganjil berurutan “

Dua suku berikutnya adalah 17 dan 26

c) 1, 1, 2, 3, 5, …

Aturan pembentukannya adalah “ suku berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua suku di

depannya “.

Dua suku berikutnya adalah ( 3 + 5 ) = 8 dan ( 5 + 8 ) = 13. Barisan bilangan 1,1,2,3,5,8,,……

disebut barisan Fibonacci

5. Deret Bilangan

Deret bilangan adalah penjumlahan dari bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan

bilangan.

Contoh :

Tentukan jumlah dari barisan bilangan berikut

a) 2, 6 , 10, 14

Hasil jumlahnya yaitu : 2 + 6 + 10 + 14 = 32


9.3.2 Jenis – Jenis

a. Barisan Bilangan

1) Barisan Arimetika atau Barisan Hitung

Barisan Aritmatika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya

dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap.

Perhatikan barisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan sebagai

berikut :

U1 = a

U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b

U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b

.Un = Un-1 + b = a + (n – 2) b + b = a + (n – 1) b

Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda

dapat di uraikan sebagai berikut :

U2 = U1 + b => b = U2 – U1

U3 = U2 + b => b = U3 – U2

U4 = U3 + b => b = U4 - U3 ---- Un = a + (n – 1 )b Dengan n = 1, 2, 3,..

Un = Un-1 + b => b = Un – Un-1

Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.

Bila b > 0 maka barisan aritmetika itu naik.

Bila b < 0 maka barisan aritmetika itu turun.

Contoh:

1. Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan

aritmetika tersebut.

a. 1, 3, 5, 7,. . . .

b. 4, 2, 0, -2,. . .

Jawab :

Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing barisan

aritmetika.

a. Barisan 1, 3, 5, 7 . .

berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh ..

U1 = 1 U2 = 3 U3 = 5

b = U2 - U1 = 2 b = U3 – U2 = 2 b = U4 – U3 = 2

karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik.

U10 = U1 (10 – 1) . b --- U10 = 1 + 9 . 2 = 19

b. Barisan 4, 2, 0, -2, . .

4 2 0 -2

U1 = 4 U2 = 2 U3 = 0 U4 = -2


b = U2 - U1 = - 2 b = U3 – U2 = -2 b = U4 – U3 = - 2

Karena b = - 2 < 0, maka barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus:

Un = U1 (n – 1) . b ------ U10 = 4 + (9 . (- 2) ) = -14

Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14

2) Barisan Geometri atau Barisan Ukur

Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan

mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap.

Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :

U1 = a

U2 = U1 . r = ar

U3 = U2 . r = ar2

U4 = U3 . r = ar3

Un = Un-1 . r = arn-1

Jadi,

1. Un = r × Un-1 atau r = Un

Un−1

2. Un = a × rn-1

Dengan r = rasio atau pembanding

n = bilangan asli

a = suku pertama

Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun.

Bila r > 1 maka barisan geometri naik.

Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.

Contoh :

a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri :

1

3, 1, 3, 9, ...

b. Tuliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri :

2, 1, 1

2,,

1

4,, ...

Jawab:

a. A = 1

2 ; Un = 1 ; r = 3

U8 = 1

3 × 38-1 =

1

3 × 37 = 729

Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri diatas adalah 729


b. U1 = 2 ; U2 = 1 ; r = ½

Un = 2 x ( 1

2 ) n-1 = (

1

2 ) n-2

Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah ( 1

2 ) n-2

b. Deret Bilangan

1) Deret aritmatika

Definisi deret aritmatika :

Jika U1,U2,U3,…..Un adalah barisan aritmatika maka jumlah U1 + U2 + U3 +… + Un adalah deret

aritmatika

Pembuktian rumus deret aritmatika yaitu

Penurunan rumus deret aritmatika (Sn), dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.

Jadi, secara umum jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika atau dengan kata lain rumus deret

aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus berikut.

Dengan:

Sn = jumlah n suku pertama

Un = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n = banyak suku

http://2.bp.blogspot.com/-hmeu0gT0V3c/UdSh4NZ_1qI/AAAAAAAAAb8/Sj0cLfTt6no/s485/penurunan+rumus+deret+aritmatika.jpg

http://2.bp.blogspot.com/-PkCClPorHeQ/UdSh4NztYQI/AAAAAAAAAbw/ayQXArRdBP0/s326/rumus+deret+aritmatika.jpg


Contoh :

Diketahui deret aritmatika 17, 20, 23, 26, ... Jumlah tiga puluh suku pertama deret tersebut adalah...

a. 1.815

b. 2.520

c. 2.310

d. 2.550

Pembahasan:

suku pertama = a = 17

Beda = b = U2-U1 = 20-17 = 3

Jumlah 30 suku pertama = S30

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

S30 = 30/2 (2.17 + (30-1)3)

= 15 (34 + 29.3)

= 15 (34 + 87)

= 15.121

= 1.815 (pilihan a)

2) Deret geometri

Definisi deret geometri :

Jika U1,U2,U3,…..Un adalah barisan geometri maka jumlah U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret

geometri

di mana r ≠ 0 adalah bilangan rasio pengali dan a adalah faktor skala. Dalam hal ini suku ke-n:

Jumlah semua suku:

untuk r > 1, dan

untuk r < 1.

Pembuktian

Suku ke-n


....

jadi jumlah suku ke-n adalah

Jumlah suku ke-n

.... (1)

... (2) dikalikan dengan r

persamaan (1) dikurangi (2) menjadi:

Deret geometri tak terhingga

untuk -1 < r < 1 di mana adalah serta adalah 0.

Deret geometri ganjil dan genap

untuk bilangan ganjil.

untuk bilangan genap.

Rumus umum

untuk r < 1

untuk r > 1

untuk -1 < r < 1


Contoh :

Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 …

Tentukan jumlah 7 suku pertamanya.

Pembahasan :

Dari deret tersebut diketahui a = 4 dan r = 12/4 = 3

Jadi,

S7 = 2 (37 – 1)

= 2 (2187 – 1)

= 2 (2186) = 4372

LATIHAN SOAL

1. Selisih dua bilangan asli adalah 36 dan bilangan kedua adalah lima kali bilangan pertama.

Jika kedua bilangan itu berturut – turut membentuk suku kelima dan suku kedua suatu

barisan aritmetika maka tentukan suku ke sepuluh!

2. Jika jumlah sepuluh suku pertama suatu deret aritmetika adalah – 110 dan jumlah dua suku

berturut-turut berikutnya adalah 2 maka tentukan jumlah 2 suku pertama !

3. Diketahui barisan bilangan bulat 3, x, y dan 18. Jika tiga bilangan pertama membentuk

barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan aritmetika. Maka tentukan x

+ y !

4. Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.

3 + 6 + 12 + ....

Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!

5. Jika a, b, c, d dan e membentuk barisan geometri dan a.b.c.d.e = 1.024 maka berapakah nilai

c ?

6. Pada pola bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan pada garis ke – 7 adalah?


7. Diketahui p, q dan r merupakan akar – akar persamaan suku banyak berderajat tiga. Jika p,

q dan r membentuk barisan aritmetika, dengan suku ketiga tiga kali suku pertama dan jumlah

dari ketiga akar adalah 12 maka tentukan persamaan dari suku banyak tersebut !

8. Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut :

kelompok 1 : {1},

kelompok 2 : {3,5},

kelompok 3 : {7,9,11},

kelompok 4 : {13,15,17,19}, …

dst

maka berapakah bilangan pertama dari kelompok ke-100 ?

9. Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan

terkecil ditambah 10 dan bilangan terbesar dikurangi 7, maka diperoleh barisan geometri.

Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut !

10. Misalkan a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah 75. Jika

a2 = 8 maka tentukan a6 !


Regitha Intan Cahyani

Restu Sri Rahayu

Robi’atul angka Wiyah

Rosari Indah Safitri


BAB 10

KAIDAH PENCACAHAN

PETA KONSEP

KAIDAH PENCACAHAN

ATURAN PERKALIAN KOMBINASI PERMUTASI

NOTASI

FAKTORIAL

L

PERMUTASI SIKLIS PERMUTASI DENGAN

BEBERAPA UNSUR

YANG SAMA

ATURAN

PRINSIP

TEMPAT


10.1 Pengertian Kaidah Pencacahan

Terdapat dua prinsip dasar dalam pencacahan yaitu aturan perkalian dan aturan

penjumlahan.Dalam kehidupan sehari-hari sering dihadapkan pada pemecahan masalah yang

berkaitan denganmenentukan atau menghitung berapa banyak cara yang mungkin terjadi dari sebuah

percobaan.

Sebagai ilustrasi, simak contoh berikut ini:

Pada waktu liburan sekolah, Rully bersama keluarganya berlibur ke Bali. Ia mencoba 3 macam kaos

dan 2 celana jeans. Ia memadukan ketiga kaos dan kedua jeans tersebut. Berapa banyak pasangan

warna kaos dan celana yang dapat disusun Rully? Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan

menggunakan kaidah pencacahan (counting rules). Kaidah pencacahan memudahkan untuk

menentukan banyaknya cara yang mungkin, jika beberapa kejadian digabungkan. Sehingga dapat

dikatakan bahwa:

Kaidah pencacahan adalah suatu cara atau aturan untuk menghitung semula kemungkinan yang dapat

terjadi dalam suatu percobaan.

Adapun yang akan dibahas pada materi kaidah pencacahan ini yaitu, :

1. Aturan perkalian

2. Aturan

A. Pembahasan Materi

1. Aturan Perkalian

Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam m cara dan setiap

kejadian pertama diikuti oleh kejadian kedua yang terjadi dalam n cara maka kejadian pertama dan

kejadian kedua tersebut secara bersama-sama terjadi dalam (m × n) cara.

Contoh:

1. Berapakah banyaknya kejadian yang mungkin muncul jika dua dadu dilempar satu kali?

Jawab:

Dadu pertama dapat muncul dalam m = 6 cara yang berbeda yaitu {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan untuk setiap

cara-cara tersebut dadu kedua dapat muncul dalam n = 6 cara yaitu {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sehingga kedua

dadu dapat muncul dalam m × n = 6 × 6 = 36 cara.

2. Ucok ingin bepergian dari kota Surabaya ke kota Jakarta. Dari kota Surabaya ke kota Semarang

dapat ditempuh melalui 3 jalur, sedangkan dari kota Semarang ke kota Jakarta dapat ditempuh melalui

2 Jalan. Berapa banyak cara yang dapat ditempuh Ucok jika ingin bepergian dari kota Surabaya ke

kota Jakarta?

Penyelesaian:


Dari kota Surabaya ke kota Semarang terdapat 3 cara. Dari kota Semarang ke kota Jakarta terdapat 2

cara. Dari kota Surabaya ke kota Jakarta melalui kota Semarang, terdapat 3 x 2 = 6 cara. Jadi banyak

cara yang dapat dipilih Ucok untuk bepergian dari kota Surabaya ke kota Jakarta melalui kota

Semarang adalah 6 cara.

Adapun sub bagian dari aturan perkalian yaitu:

1. Notasi faktorial

Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan

bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n

faktorial.

Sebagai contoh, 7! adalah bernilai 7×6×5×4×3×2×1 = 5040. Berikut ini adalah daftar

sejumlah faktorial :

0! = 1

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 120

6! = 720

7! = 5040

8! = 40320

9! = 362880

10! = 3628800

11! = 39916800

12! = 479001600

http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_asli


2. Aturan pengisian tempat

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar istilah semua kemungkinan yang

terjadi dalam suatu percobaan. Misalnya, seorang siswa tiap kali ulangan nialainya selalu

kurang baik, adakah kemungkinan siswa itu naik kelas?

Contoh Soal:

Dalam contoh tersebut tersedia 3 buah kaos, misalnya berwarna abu-abu, kuning, dan putih,

serta 2 buah celana jeans, misalnya berwarna biru dan hitam. Banyak pasangan warna celana

dan kaos yang mungkin disusun dapat dicari dengan beberapa cara, antara lain:

a. Diagram Pohon

Perhatikan diagram pohon berikut ini!

Warna celana Warna kaos Pasangan warna

Biru (b) Abu-abu(a) (b,a)

Kuning(k) (b,p)

Putih(p) (b,k)

Hitam (h) Abu-abu(a) (h,a)

Kuning(k) (h,k)

Putih(p) (h,p)

Berdasarkan diagram pohon di atas, pasangan warna celana jeans dan kaos yang dapat disusun ada 6

macam, yaitu (b, a), (b, k), (b, p), (h, a), (h, k), dan (h, p). Pasangan (b, a) artinya celana jeans biru dan

kaos abu-abu, demikian seterusnya.

b. tabel silang

Perhatikan tabel silang berikut ini!

Warna Kaos

Warna

Celana Jeans

Abu-abu (a) Kuning (k) Putih (p)

Biru (b) (b, a)

(b, k) (b, p)

Hitam (h) (h, a) (h, k) (h, p)


Berdasarkan tabel silang di atas, terlihat bahwa pasangan warna celana jeans yang dapat disusun ada

6 macam.

3. Permutasi

Definisi: Permutasi

Permutasi dari sejumlah objek adalah susunan objek dalam urutan

berhingga.

Definisi: Notasi nPr

Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan , banyaknya

permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah

nPr = n!

(n-r)!

Contoh :

Membentuk Bilangan Berbeda dengan Permutasi

Tersedia angka-angka 1, 2, 3, 5, 7.

a. Berapa banyak bilangan puluhan ribu dapat dibuat dari angkaangka tersebut tanpa ada angka

yang diulang?

Penyelesaian:

a. Bilangan puluhan ribu adalah bilangan dari 10.000 sampai dengan 99.999. Jelas bahwa

bilangan puluhan ribu terdiri atas 5 angka. Dengan demikian, masalahnya adalah mengambil lima

angka dari lima angka yang tersedia. Perhatikan, bilangan 12.357 ≠ bilangan 13.257. Ini adalah kasus

permutasi, karena urutan yang berbeda memberikan hasil yang berbeda. Dengan demikian, banyak

bilangan puluhan ribu yang dapat dibuat adalah P (5, 5) = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Jenis-jenis permutasi:

a. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama;

𝒏𝑷𝒏𝟏,𝒏𝟐,𝒏𝟑= 𝒏 !𝒏𝟏!.𝒏𝟐!.𝒏𝟑! ,𝒏𝟏+𝒏𝟐+𝒏𝟑+⋯…<𝑛

Contoh : Berapakah banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf huruf “PENDIDIK”:

Jawab: Diketahui jumlah huruf = n = 8 Huruf yang sama D = n1 = 2 , I = n2 = 2 Maka 8P2.2 = 8

!2!.2!= 8.7.6.5.4.3.2.12.1.2.1 = 10.080 susunan

b. Permutasi Siklis

Permutasi siklis didefinisikan “ banyaknya permutasi n objek yang disusun secara melingkar adalah (

n – 1 ) ! ”.

Contoh:

Berapa cara yang mungkin dapat dibuat jika dalam suatu pesta makan terdapat 7 orang yang


duduk dalam:

a. Berjajar satu baris

b. Meja makan bundar

Jawab:

a. Posisi duduk berjajar dalam satu baris merupakan permutasi 7 unsur dari 7 unsur.

7P7 = 7! = 3040 cara

b. Posisi duduk mengelilingi meja makan bundar merupakan permutasi siklis dari 7 unsur.

Psiklis = (7 – 1)! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 cara

4. Kombinasi

Definisi:

Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya.

Definisi: Notasi nCr

Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan , banyaknya kombinasi

n objek yang diambil 4 objek pada suatu waktu adalah:

nCr = n!

r! (n-r)1

contoh soal:

Sederhanakan 8 C 5

Penyelesaian:

8 C 5 = 8! = 8 x 7 x 6 x5! = 8 x 7 x6 = 56

5!3! 5!3! 3 x 2 x 1

LATIHAN SOAL

1. dari 10 orang siswa, terdiri dari 7 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang

beranggotakan 5 orang. jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka

banyak tim yang dapat dibentuk adalah...

2. Diketahui p(n,4)= 30C(n,5).nilai n adalah...

3. Jika 2 bola merah sejenis, 3 bola kuning yang sejenis, dan 4 bola hijau yang sejenis disusun secara

teratur dalam satu baris, maka banyak susunan adalah...

4.Buktikan mengapa 0! = 1 ?


5. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi,

sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.

6. Dari angka-angka :0,1,2,3,4,5,6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka

dengan angka angkanya boleh berulang.Banyak bilangan yang dapat disusun adalah...

7. Dari angka-angka :0,1,2,3,4,5,6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka

dengan angka angkanya tidak boleh berulang.Banyak bilangan yang dapat disusun adalah...

8. Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang

memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih

ternak-ternak yang di inginkannya?


Anisa Miftah Khuromah

Ayu Hardianti

Lorent Agustina Arissanti

Meidian Renaldo


BAB 11

PELUANG

PETA KONSEP

Peluang

Suatu

Kejadian

Peluang

Kejadian

Majemuk

Peluang Gabungan

2 kejadian

Percobaan Statistika

Ruang Sampel, Titik

Sampel, dan Kejadian

Peluang Kejadian

Saling Lepas (Saling

Asing)

Frekuensi Harapan

Suatu Kejadian

Kisaran Nilai

Peluang

Menentukan Peluang

Suatu Kejadian

Peluang Kejadian

Bersyarat

Peluang Kejadian

Saling Bebas

Peluang


PELUANG

Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Pada tahun 1654, Chevalier

de Mere, menemukan sebuah sistem perjudian. Ketika Chevalier de Mere kalah dalam berjudi,

dia meminta temannya Blaise Pascal, ahli Matematika Prancis untuk menganalisis sistem

perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai Chevalier akan mengakiba tkan

dia kalah dengan peluang 51%. Setelah menemukan hal tersebut, Pascal semakin tertarik

dengan ilmu peluang. Pascal kemudian berdiskusi dengan Piere de Fermat, ahli Matematika

Prancis yang lain melalui surat-menyurat. Diskusi ini menghasilkan hukum-hukum peluang

yang dikenal sampai sekarang.

11.1 Peluang Suatu Kejadian

1. Percobaan Statistika Ruang Sampel, Titik Sampel, dan Kejadian

a. Percobaan Stastistika

Setiap kegiatan yang menghasilkan data disebut percobaan statistika. Contoh dari suatu

percobaan (eksperimen) antara lain melambungkan sekeping atau lebih mata uang logam atau

dadu. Setiap jenis percobaan mempunyai beberapa kemungkinan hasil atau kejadian yang akan

terjadi (possible out comes).

b. Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan.

Ruang sampel di lambangkan dengan S.

c. Titik Sampel

Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel.

d. Kejadian

Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel atau bagian dari hasil

percobaan yang diinginkan.

Contoh :

Pada percobaan pelemparan sebuah dadu :

a. Ruang sampel (himpunan semua hasil yang mungkin) adalah {1,2,3,4,5,6};

b. Titik sampel adalah 1,2,3,4,5, dan 6;

c. Kejadian muncul mata dadu ganjil adalah {1,3,5}.

2. Menentukan Peluang Suatu Kejadian

1. Menentukan peluang kejadian dengan pendekatan frekuensi relatif


Frekuensi relatif muncul kejadian A = banyak muncul kejadian Abanyak percobaan yang dilakukan

2. Menentukan peluang kejadian menggunakan ruang sampel

Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di

mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul, maka peluang dari

suatu kejadian A ditulis sebagai berikut :

n(A)

P(A) = ———

n(S )

Keterangan:

P(A) = peluang kejadian A

n(A) = banyaknya anggota A

n(S) = banyaknya anggota ruang sampel S

Contoh :

Pada pelemparan 3 buah uang logam sekaligus, tentukan peluang muncul:

a. ketiganya sisi gambar;

b. satu gambar dan dua angka.

Penyelesaian:

a. S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}

Maka n(S) = 8

Misal kejadian ketiganya sisi gambar adalah A.

A = {GGG}, maka n(A) = 1

P(A) = n(A)

n(S)=

1

8

b. Misal kejadian satu gambar dan dua angka adalah B.

S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}


B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3

P(B) = n(B)

n(S)=

3

8

3. Kisaran Nilai Peluang

Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 𝐴 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1.

Jika 𝐴 = ∅ maka P(A) = 0 sehingga dapat dikatakan A adalah kejadian yang mustahil

terjadi.

Jika A = S maka P(A) = 1 sehingga dapat dikatakan A adalah kejadian yang pasti terjadi.

Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan sekali, tentukan peluang munculnya

a. Mata dadu 8 b. Mata dadu kurang dari 7

Penyelesaian:

a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6

misal kejadian muncul mata dadu 8 adalah A

A = { }, n(A) = 0

P(A) = n(A)

n(S)=

0

6 = 0

Kejadian muncul mata dadu 8 adalah kejadian mustahil, P(A) = 0

b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6

misal kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah B

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6

P(B) = n(B)

n(S)=

6

6 = 1

Kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah kejadian pasti, P(A) = 1

Jadi kisaran nilai peluang: 0 ≤ P(A) ≤ 1

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan


peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi

harapannya ditulis sebagai berikut.

Fh(A) = n × P(A)

dengan Fh(A) = frekuensi harapan kejadian A

n = banyak percobaan

P(A) = peluang kejadian A

Contoh :

Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan

frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka.

Penyelesaian:

S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} ⇒ n(S) = 8

A = {AGG, GAG, GGA} ⇒ n(A) = 3

Fh(A) = n × P(A) = 240 × n(A)

n(S) = 240 ×

3

8 = 90 kali

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Menentukan peluang komplemen suatu kejadian.

Jika A` adalah komplemen (bukan) kejadian A, peluang kejadian A` ditulis P(A`) atau P(Ac).

P(A`) = 1 - P(A)

dengan P(A) = peluang kejadian

P (A`) = peluang komplemen kejadian A atau peluang bukan kejadian A

Contoh:

Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya:

a. nomor dadu ganjil,

b. nomor dadu tidak ganjil?

Penyelesaian:

a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6.


A adalah kejadian keluar nomor dadu ganjil

A = {1, 3, 5}, maka n(A) = 3 sehingga

P(A) = n(A)

n(S)=

3

6=

1

2

b. B adalah kejadian keluar nomor dadu tidak ganjil

B = {2, 4, 6}, maka n(B) = 3 sehingga Peluang B adalah Peluang komplemen dari A

yaitu 1

2 .

11.2 Peluang Kejadian Majemuk

1. Peluang Gabungan 2 kejadian

Misal A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S. Peluang

gabungan dua kejadian (kejadian A atau kejadian B) ditulis P (A∪B) ditentukan dengan

aturan:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Contoh:

Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan

B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya

bilangan ganjil atau prima!

Penyelesaian:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6

B = bilangan prima : {2, 3, 5} → P(B) =3/6

A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6

P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

= 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3

Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima adalah 2/3


2. Peluang Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)

Kejadian A dan B saling asing jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-

sama. Ini berarti A∩B = 0 atau P(A∩B) = 0

Sehingga: P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0

P (A∪ B) = P(A) + P(B)

Contoh:

Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B

adalah kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan

ganjil atau genap!

Penyelesaian:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6

B = bilangan genap : {2, 4, 6} → P(B) =3/6

A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)

;P(A∪ B) = P(A) + P(B)

= 3/6 + 3/6 = 1

Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap adalah 1

3. Peluang Kejadian Saling Bebas

Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau

tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua

kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua

buah dadu sekaligus.

A adalah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan

B adalah kejadian munculnya dadu kedua angka 5

maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang

kejadian ini dapat dirumuskan:

P(A∩B) = P(A) × P(B)


Contoh:

Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama, tentukan peluang munculnya mata dadu 3 pada

dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua!

Penyelesaian:

Kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama tidak terpengaruh kejadian munculnya

mata dadu 5 pada dadu kedua jadi ini adalah dua kejadian yang saling bebas

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ….., (6, 6)} → n(S) = 36

Misal kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama adalah A, maka:

A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} → n(A) = 6 P(A) = 6

36=

1

6

Misal kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua adalah B, maka:

B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} → n(B) = 6 P(B) = 6

36= 1

6

P(A∩B) = P(A) × P(B) = 1

6 x

1

6=

1

36

Jadi peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua =

1

36

4. Peluang Kejadian Bersyarat

Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi

atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B.

Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah:

P(A/B) = P(A∩B)

P(B) , P(B) ≠ 0

Atau Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi adalah:

P(B/A) = P(A∩B)

P(A) , P(A) ≠ 0

Contoh:

Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak

berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya


keduanya bola merah!

Penyelesaian:

Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah A, maka:

P(A) = n(A)

n(S)=

5

8

Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah B, maka:

P(B/A) = n(B/A)

n(S)=

4

7

P(A∩B) = P(A) × P(B/A) = 5

8 ×

4

7=

5

14

LATIHAN SOAL

1. Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul jumlah angka

kedua dadu sama dengan 3 atau 10 adalah....

A. 2/36

B. 3/36

C. 4/36

D. 5/36

E. 6/36

2. Sebuah kantong berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola

secara acak, peluang terambil bola merah atau hitam adalah....

A. 4/5

B. 7/10

C. 3/6

D. 2/6

E. 1/10


3. Kotak I berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak II berisi 5 bola merah dan 3 bola

putih. Dari masing-masing kotak diambil 1 bola. Peluang bola yang terambil bola merah

dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah....

A. 1/40

B. 3/20

C. 3/8

D. 2/5

E. 31/40

4. Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilemparkan sekali bersama-sama di atas meja.

Peluang munculnya mata dadu lima dan angka pada uang logam adalah...

A. 1/24

B. 1/12

C. 1/8

D. 2/3

E. 5/6

5. Dalam sebuah keranjang A yang berisi 10 buah jeruk, 2 buah jeruk diantaranya busuk,

sedangkan dalam keranjang B yang berisi 15 buah salak, 3 diantaranya busuk. Ibu

menghendaki 5 buah jeruk dan 5 buah salak yang baik, peluangnya adalah....

A. 16/273

B. 26/273

C. 42/273

D. 48/273

E. 56/273

6. Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan peluang munculnya angka genap atau

angka lebih besar dari 3.

7. Dalam sebuah kelompok 30 siswa, 10 orang suka matematika, 15 orang suka Fisika dan

5 orang suka kedua-duanya. Jika dipilih satu orang dari kelompok tersebut, tentukan

peluang yang terpilih itu:

a) suka matematika dan fisika

b) suka matematika atau fisika


8. Dalam sebuah kotak terdapat 10 bola yang terdiri dari 5 bola warna merah, 3 bola warna

kuning, dan 2 bola warna hijau. Bila diambil 3 bola sekaligus secara acak, berapakah

peluang terambilnya 2 bola berwarna merah dan 1 boal berwarna hijau?

9. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 2 bola kuning dan 1 bola biru. Akan diambil sebuah

bola secara acak. Tentukan peluang terambilnya bola merah atau bola kuning!

10. Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning sedangkan Kotak B berisi 5 bola merah

dan 2 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak dari masing-masing kotak.

Tentukan peluang terambilnya bola merah dari kotak A dan terambilnya bola kuning dari

kotak B!


Adit Chandra Kira Wijaya

Linda Farida

Putri Maya Sari

Rizky Yuli Setiawati


BAB 12

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

Descartes dikenal sebagai Renatus

Cartesius dalam literatur berbahasa Latin,

merupakan seorang lsuf dan matematikawan

Perancis. Beliau mempersembahkan sumbangan

yang penting yaitu penemuannya tentang

geometri analitis, yang akhirnya dkenal sebagai

pencipta “Sistem koordinat Cartesius”, yang

memengaruhi perkembangan kalkulus modern

dan menyediakan jalan buat Newton menemukan

Kalkulus. Beliau memberikan kontribusi yang

besar dalam kemajuan di bidang matematika, sehingga dipanggil sebagai "Bapak Matematika

Modern".

Descartes, adalah salah satu pemikir paling penting dan berpengaruh dalam sejarah

barat modern. Metodenya ialah dengan meragukan semua pengetahuan yang ada, yang

kemudian mengantarkannya pada kesimpulan bahwa pengetahuan yang ia kategorikan ke

dalam tiga bagian dapat diragukan, yaitu pengetahuan yang berasal dari pengalaman inderawi

dapat diragukan, fakta umum tentang dunia semisal api itu panas dan benda yang berat akan

jatuh juga dapat diragukan, dan prinsip-prinsip logika dan matematika juga ia ragukan. Dari

keraguan tersebut, Descartes hendak mencari pengetahuan apa yang tidak dapat diragukan

yang akhirnya mengantarkan pada premisnya Cogito Ergo Sum yang artinya “aku berpikir

maka aku ada”.

TOKOH INSPIRASI


PETA KONSEP

SISTEM KOORDINAT

KARTESIUS

ORIENTASI DAN LETAK

(POSISI)

TITIK

TITIK

ASAL

SUMBU

X

SUMBU

Y

GARIS

SEJAJA

R

GARIS

BERPOTONGAN

GARIS

TEGAK

LURUS

GARIS



Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik

dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan

koordinat y (ordinat) dari titik tersebut. Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis

berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat

tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut.

Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari

Perancis Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri

(Cartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam

perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi. Ide dasar sistem ini dikembangkan

pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya

Discourse on the Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau

objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu

dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep

yang telah dikembangkannya.

12.1 Menentukan Posisi Titik

12.1.1 Posisi Titik terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y

Koordinat titik-titik yang ditentukan dengan cara ini, seringkali dikenal sebagai

koordinat Cartesius.

a. Titik Asal

posisi titik tersebut ditentukan oleh dua buah garis yanng ditarik secara vertikal dan

horizontal dimana titik pusatnya berada pada titik 0 (titik asal).

b. Sumbu X

Garis horizontal disebut sebagai sumbu X dimana X positif digambarkan mendatar

ke kanan sedangkan X negatif digambar mendatar ke kiri.

c. Sumbu Y

Garis Vertikal disebut sebagai sumbu Y dimana Y positif digambarkan kearah atas

dan Y negatif digambarkan ke arah bawah.

https://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

https://id.wikipedia.org/wiki/Titik_%28geometri%29

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bidang_%28matematika%29&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan

https://id.wikipedia.org/wiki/Koordinat

https://id.wikipedia.org/wiki/Absis

https://id.wikipedia.org/wiki/Ordinat

https://id.wikipedia.org/wiki/Filsuf

https://id.wikipedia.org/wiki/Perancis

https://id.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

https://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar

https://id.wikipedia.org/wiki/Geometri

https://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latin

https://id.wikipedia.org/wiki/Geometri_analitik

https://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus

https://id.wikipedia.org/wiki/Kartografi

https://id.wikipedia.org/wiki/1637

https://id.wikipedia.org/wiki/Discourse_on_the_Method

https://id.wikipedia.org/wiki/Titik_%28geometri%29

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=La_G%C3%A9om%C3%A9trie&action=edit&redlink=1


Gambar diatas merupakan sebuah bidang koordinat yang dibentuk oleh dua

buah garis yaitu garis X (Sumbu X) yang mendatar serta garis Y (Sumbu Y) yang

Tegak. Kedua garis tersebut berpotongan pada satu titik yang disebut sebagai pusat

koordinat (titik 0).

Sumbu X dan sumbu Y , membagi bidang koordinat menjadi 4 kuadran, yaitu :

1) Kuadran I : koordinat X positif dan koordinat Y positif

2) Kuadran II : koordinat X negatif dan koordinat Y positif

3) Kuadran III : koordinat X negatif dan koordinat Y negatif

4) Kuadran IV : koordinat X positif dan koordinat Y negatif


12.1.2 Posisi Titik terhadap Titik Asal (0,0) dan Titik Tertentu (a,b)

Posisi suatu titik pada bidang koordinat dapat ditentukan dari titik lain sebagai

titik acuan. Misal titik A(3,4) sebagai titik acuan, dan titik B mempunyai koordinat (6,-

8), maka posisi titik B dari titik A yaitu 3 satuan ke kanan dan 12 satuan ke bawah.

Contoh soal:

1. Buatlah dengan koordinat kartesius

pos utama (0,0)

pos A (2,2)

pos B (4,4)

pos C (-3,3)

jawab :

buat sumbu X(horizon) dan Y(vertikal)

lalu buat garis-garis, yang ke kanan dan ke atas (positif), yang ke kiri dan

ke bawah negatif

pos utama ada di (0,0) artinya ada di X=0 dan Y=0 (dipusat/ pertemuan Y

dan X)

selanjutnya

pos A (2,2) artinya X=2 dan Y=2

pos B (4,4) artinya X = 4 dan Y=4

pos C (-3,3) artinya X = -3 dan Y= 3


A. Menentukan Titik pada Sistem Koordinat

Bidang koordinat di atas disebut sebagai bidang koordinat kartesius yang

digunakan untuk menentukan posisi dari sebuah titik yang dinyatakan dalam pasangan

angka/bilangan. Coba kalian perhatikan tiitk A,B,C, dan D yang ada di dalam bidang

tersebut. Untuk menentukan letak dari titik-titik tersebut kalian harus memulainya dari

pusat koordinat (titik 0). Lalu perhatikan angka yang ada pada sumbu X barulah setelah

itu perhatikan angka yang ada pada sumbu Y. Mengapa demikian? Karena untuk

menuliskan letak titik pada bidang koordinat kartesius, kita menggunakan pasangan

bilangan (X,Y).

Sebagai contoh, dari gambar di atas kita bisa menentukan pasangan bilangan

untuk titik A, B, C, dan D sebagai berikut:

Letak Koordinat titik A = A(1,0)

Letak Koordinat titik B = B(2,4)

Letak Koordinat titik C = C(5,7)

Letak Koordinat titik D = D(6,4)

B. Jarak antara Dua Titik

Dua buah titik yang berlainan dapat dicari jaraknya dengan cara mengukur

panjang ruas garis yang melalui titik tersebut. Dengan sistem koordinat, kita dapat

menghitung jarak dua titik tersebut menggunakan teorema Phytagoras.

Cara menentukan jarak antara dua titik:

1. Ambillah koordinat dari dua titik yang ingin Anda cari jaraknya. Sebutlah salah satu

titik sebagai Titik 1 (x1,y1) dan titik lainnya sebagai Titik 2 (x2,y2). Tidak masalah

http://3.bp.blogspot.com/-YJ-QTDEc61s/VJ0F-_miLCI/AAAAAAAAG0k/BpXkhPM9qss/s1600/Cara+Menentukan+Titik+Pada+Sistem+Koordinat+Kartesius+1.jpg


titik mana yang menjadi titik 1 atau 2 selama Anda tetap konsisten dalam memberi

label (1 dan 2) saat menyelesaikan soal.

x1 adalah koordinat horizontal (searah dengan sumbu x) dari Titik 1, dan x2

adalah koordinat horizontal dari Titik 2. y1 adalah koordinat vertikal (searah

dengan sumbu y) dari Titik 1, dan y2 adalah koordinat vertikal dari Titik 2.

2. Ketahui rumus jarak. Rumus ini menghitung panjang garis yang terbentang di

antara dua titik: Titik 1 dan Titik 2. Jarak liniernya merupakan akar kuadrat dari

kuadrat jarak horizontal ditambah kuadrat jarak vertikal di antara kedua titik.

Singkatnya, jarak linier merupakan akar kuadrat dari: (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2

3. Carilah jarak horizontal dan vertikal di antara dua titik. Pertama, kurangkan y2 – y1

untuk mencari jarak vertikalnya. Kemudian, kurangkan x2 – x1 untuk mencari jarak

horizontalnya. Jangan khawatir jika pengurangan menghasilkan angka negatif.

Langkah selanjutnya adalah menguadratkan nilai-nilai ini, dan penguadratan selalu

menghasilkan angka bulat positif.

Carilah jarak yang searah dengan sumbu y.

Carilah jarak yang searah dengan sumbu x.

4. Kuadratkan kedua nilainya. Ini berarti Anda akan menguadratkan jarak pada sumbu

x (x2 – x1), dan Anda akan menguadratkan jarak pada sumbu y (y2 – y1) secara

terpisah.

5. Jumlahkan nilai kuadratnya. Penjumlahan ini akan menghasilkan kuadrat jarak

linier diagonal di antara kedua titik Anda.

6. Carilah akar kuadrat dari persamaan. Ini adalah langkah terakhir dalam persamaan.

Jarak linier di antara kedua titik merupakan akar kuadrat dari jumlah nilai kuadrat

jarak pada sumbu x dan jarak pada sumbu y.

Tidak masalah jika Anda mendapatkan angka negatif setelah mengurangkan

y2 – y1 atau x2 – x1 karena Anda akan selalu mendapatkan jarak yang

bernilai positif sebagai jawaban saat Anda memangkatkan selisih keduanya.

TIPS


12.2 Menentukan Posisi Garis

12.2.1 Posisi Garis terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y 1) Garis Sejajar terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y

Dua buah garis dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut memiliki jarak yang

selalu sama.

Garis k sejajar terhadap sumbu x.

Gaaris l sejajar terhadap sumbu y.


2) Garis Berpotongan terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y

Jika suatu garis tidak sejajar dengan sumbu koordinat, maka garis tersebut akan

berpotongan dengan sumbu X maupun sumbu Y, karena posisi garis dan sumbu

koordinat terletak dalam satu bidang datar.

Garis K dan L berpotongan terhadap sumbu x dan sumbu y.

3) Garis Tegak Lurus terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y

Suatu garis dapat dinyatakan tegak lurus jika:

Jika garis m sejajar dengan garis n, dan garis m tegak lurus terhadap sumbu X

maka garis n juga tegak lurus dengan sumbu X.

Jika garis m sejajar dengan garis n, dan garis m tegak lurus terhadap sumbu Y

maka garis n juga tegak lurus dengan sumbu Y.

Garis l tegak lurus terhadap sumbu x.


Garis k tegak lurus terhadap sumbu y.

LATIHAN SOAL

A. PILIHAN GANDA

1. Diketahui koordinat titik A(-3, 5); B(-5, 1); C(-3, -3); dan D(-1, 1). Jika keempat titik

tersebut dihubungkan, ABCD membentuk bangun....

a. Trapesium

b. Layang-layang

c. Jajargenjang

d. Belahketupat

2. Koordinat-koordinat di bawah ini yang sesuai dengan gambar adalah....

a. P(-2,-4)

b. P(4,5)

c. P(-2,6)

d. P(1,-4)


3. Perhatikan gambar!

Jarak titik A terhadap sumbu-x dan sumbu-y adalah....

a. 5 satuan dan 6 satuan

b. 6 satuan dan 6 satuan

c. 5 satuan dan 5 satuan

d. 6 satuan dan 5 satuan

4. Gambar titik K terhadap titik L yang memiliki koordinat K(-5, -3) adalah....

a.

b.

c.

d.


5. Perhatikan gambar dibawah ini!

Pernyataan mengenai gambar diatas

I. Koordinat titik A(-2,3)

II. Koordinat titik B(1,2)

III. Garis m berpotongan dengan garis n

IV. Garis m melalui titik A

V. Garis m melalui titik B

VI. Garis n melalui titik B

Pernyataan manakah yang benar?

a. I,III, dan IV

b. I,II, dan IV

c. II,III, dan IV

d. II, V, dan VI

B. ESSAI

1. Diketahui titik-titik pada bidang koordinat Kartesius sebagai berikut.

e. (10,-5)

f. (2,8)

g. (-7,-3)

h. (6,1)

i. (-4,9)

Tentukan absis dan ordinat dari masing-masing titik tersebut!


2. Perhatikan gambar dibawah ini!

tentukan:

a. kota janto terletak pada koordinat?

b. kota meulaboh terletak pada koordinat?

c. Kota Langsa terletak pada koordinat?

d. Kota apakah yang terletak pada

koordinat (9,F)?

e. Kota apakah yang terletak pada koordinat (9,N)?

3. Jika ada garis a melalui titik B(4, 5) dan titik C(4, −5), bagaimanakah kedudukan

garis tersebut terhadap sumbu-x dan sumbu-y?

4. Apabila dua garis l dan m memotong sumbu-x dan sumbu-y tidak tegak lurus,

bagaimanakah posisi garis l terhadap garis m?

5. Diketahui ttitik A(5, 6), B(3, −3) dan C(−4, 6).

a. Jika dibuat garis yang melalui titik A dan B, bagaimanakah kedudukan garis

tersebut terhadap sumbu-x dan sumbu-y

b. Jika dibuat garis yang melalui titik A dan C, bagaimanakah kedudukan garis


c. Jika dibuat garis yang melalui titik B dan C, bagaimanakah kedudukan garis


http://3.bp.blogspot.com/-D49zhOYzxrw/T3UqRWWfQyI/AAAAAAAAAA0/AB42HIJekcQ/s1600/Sistem_K_9.jpg


PEMBAHASAN

BAB 1

LOGIKA MATEMATIKA

1. Pernyataan tersebut adalah implikasi p -> q

sehingga:

p: Hari ini hujan

q: Wayan mengendarai mobil

Konvers dari pernyataan tersebut adalah q-> p

"Jika Wayan mengendarai mobil maka hari ini hujan"

Invers dari pernyataan di atas adalah ~p -> ~q

"Jika hari ini tidak hujan maka Wayan tidak mengendarai mobil"

Kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah ~q -> ~p

"Jika Wayan tidak mengendarai mobil maka hari ini tidak hujan"

p: Harga BBM turun

q: Harga cabai turun

kita simpulkan dengan menggunakan modus Tollens

p → q

~q

_______

∴ ~p

Maka kesimpulan dari premis di atas adalah "Harga BBM tidak turun"

2. p = ada ujian sekolah


q = semua siswa belajar dengan rajin

~(p → q) = p ᴧ ~q

p ᴧ ~q = ada ujian di sekolah dan ada / terdapat / beberapa siswa tidak belajar

dengan rajin

3. Misalkan :

p = ABCD layang-layang

q = AC tegak lurus BD

p → q = jika ABCD layang-layang, maka AC tegak lurus BD

Bentuk ekuivalen :

p → q ≡ ~q → ~p = jika AC tidak tegak lurus BD, maka ABCD bukan

layang-layang. (opsi A)

4. Misalkan :

p = Taylor konser di Jakarta

q = Reza menonton

r = Reza senang

Kesimpulannya berdasarkan silogisme adalah :

p → q

q → r

————

∴ p → r

Invers dari p → r = ~p → ~r = jika Taylor tidak konser di Jakarta, maka Reza

tidak senang. (opsi A).


5. Misalkan :

a = Rani menjadi juara kelas

b = Rani menjuarai olimpiade nasional

p = (a ∧ b) = Rani menjadi juara kelas dan menjuarai olimpiade nasional

q = Ibu menyekolahkan Rani ke luar Negeri

~q = Ibu tidak menyekolahkan Rani ke luara Negeri

Kesimpulan yang saha berdasarkan Modus Tollens adalah sebagai berikut :

p → q

-q

————

∴ ~ p

Karena p merupakan pernyataan majemuk, maka : ~ p = ~ (a ∧ b) = ~a ∨ ~b

“Rani tidak menjadi juara kelas atau Rani tidak menjuarai olimpiade

nasional”.

6. Misalkan :

p = Hari panas

q = Dian memakai topi

r = Dian memakai payung

Maka pernyataan di atas dapat ditulis menjadi :

(1). p → q

(2). ~ q ∨ r

(3). ~ r

Karena ~ q ∨ r ≡ q → r, maka dari pernyataan 1 dan 2 diperoleh :

p → q

q → r

————

∴ p → r

Selanjutnya, dari kesimpulan pertama dan pernyataan 3 diperoleh :

p → r

~ r

————


∴ ~ p

Jadi kesimpulan yang sah adalah hari tidak panas.

7. Misalkan :

p = ABCD layang-layang

q = AC tegak lurus BD

p → q = jika ABCD layang-layang,

maka AC tegak lurus BD Bentuk ekuivalen :

p → q ≡ ~q → ~p = jika AC tidak tegak lurus BD,

maka ABCD bukan layang- layang.

8. misal :

p = ibu tidak pergi.

q = adik senang.

r = adik tersenyum.

Berdasarkan Silogisme, kesimpulan yang sah dari argumen di atas adalah :

p → q

q → r

————

∴ p → r

Maka kesimpulan yang sesuai dengan pernyataan adalah jika ibu tidak pergi,

maka adik tersenyum.

9. Misalkan :

p = Aldi giat belajar

q = Aldi menjadi juara

r = Aldi boleh ikut liburan

Kesimpulan yang sah adalah :

p → q

q → r

________

∴ p → r

---> jika Aldi giat belajar maka Aldi boleh ikut liburan.

Ingkaran dari kesimpulan : ~(p → r) = p ∧ ~r Aldi giat belajar dan Aldi tidak boleh ikut liburan.


BAB 2

HIMPUNAN

1. A = {Nama-nama bulan}

A={Januari,Februari,Maret,April,Mei,Juni,Juli,Agustus,September,Oktober,

November, Desember}

N(A) = 12

2. M = {Mawar, Melati, Anggrek, Tulip}

S = {Nama-nama bunga}

3. X = {m,n}

n(X) = 2

Subset X = 2n = 22 = 4

a. Y = {2,4,6,8}

N(Y) = 4

Subset Y = 2n =24 = 16

4. Gambarkan diagram venn untuk

P = {bilangan genap}

Q = {bilangan riil}

5. A = {25,30,35}

B = {23,25,27,29,31,33,35}

𝐴 ∩ 𝐵 = {25,35}

6. A = {1,3,5,7,9}

B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

C = {2,4,6,8}

Q

P

s


Tentukan 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

Jawab: 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {}

7. Diketahui

K={bilangan prima antara 2 dan 12}

L={4 bilangan kelipatan 3 yang pertama}

Dit: K∩ 𝐿?

Jawaban :

K={3,5,7,11}

L={3,6,9,12}

K∩ 𝐿 ={3}

8. n(M) = 17 orang

n(f) = 15 orang

n(m∩f) = 8 orang

n(m∪f) = n(M)+n(f)-n(M∩f)

= 17+15-8=32-8=24 orang

9. Gambar diagram Venn dari keterangan tersebut dapat diperoleh jika

banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli diketahui, maka cari

terlebih dahulu banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli:

bermain basket dan voli = (29 + 27) – (48–6)

bermain basket dan voli = 14 orang

Gambar diagram Venn dari keterangan tersebut adalah

Banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli ada 14 orang

http://4.bp.blogspot.com/-WJuttTdCFk8/U5tTWSUa3wI/AAAAAAAAASc/tVJLf-BYPzw/s1600/11.png


10. siswa yang memilih PMR dan KIR adalah:

= (19 + 23) – (46 – 16)

= 12

Jadi banyaknya siswa yang hanya memilih PMR saja ada 11 siswa dan KIR

saja ada 7 siswa.

BAB 3

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

1. D

Pembahasan

f(x) = x2 + 4x

g(x) = -2 + √(x + 4)

(g o f)(x) = g(f(x)

⇒ (g o f)(x) = -2 + √(x2 + 4x + 4)

⇒ (g o f)(x) = -2 + √(x + 2)2

⇒ (g o f)(x) = -2 + (x + 2)

⇒ (g o f)(x) = x

2. B

Pembahasan

g(x) = x + 1

(f o g)(x) = x2 + 3x + 1

⇒ (f o g)(x) = x2 + 3x + 1

http://1.bp.blogspot.com/-XqSeSxH76Rk/U5tTw0udRzI/AAAAAAAAASs/Tz6tl9s4Hbo/s1600/13.png


⇒ f (g(x)) = x2 + 3x + 1

⇒ f(x + 1) = x2 + 3x + 1

Misal x + 1 = p, maka x = p - 1.

⇒ f(p) = (p - 1)2 + 3(p - 1) + 1

⇒ f(p) = p2 - 2p + 1 + 3p - 3 + 1

⇒ f(p) = p2 + p - 1

Jadi f(x) = x2 + x - 1

3. A

Pembahasan

f(x) = -(2 - 3x)/ 2

f(x) = (-2 + 3x)/2

⇒ y = (-2 + 3x)/2

⇒ 2y = -2 + 3x

⇒ 2y + 2 = 3x

⇒ x = (2y + 2)/3

Jadi f-1(x) = (2x + 2)/3

⇒ f-1(x) = 2(x + 1)/3

⇒ f-1(x) = 2/3 (x + 1)

4. A

Pembahasan

f(x) = (7x + 5)/(3x - 4)

⇒ y = (7x + 5)/(3x - 4)

⇒ 3xy - 4y = 7x + 5

⇒ 3xy - 7x = 4y + 5

⇒ (3y - 7)x = 4y + 5

⇒ x = (4y + 5)/ (3y - 7)

Jadi f-1(x) = (4x + 5)/ (3x - 7) ; x ≠ 7/3

5. B

Pembahasan

g(x) = x + 1 (f o g)(x) = x2 + 3x + 1

⇒ (f o g)(x) = x2 + 3x + 1

⇒ f (g(x)) = x2 + 3x + 1

⇒ f(x + 1) = x2 + 3x + 1

Misal x + 1 = p, maka x = p - 1.


⇒ f(p) = (p - 1)2 + 3(p - 1) + 1

⇒ f(p) = p2 - 2p + 1 + 3p - 3 + 1

⇒ f(p) = p2 + p - 1

Jadi f(x) = x2 + x - 1

6. B

Pembahasan

g(x + 1) = 2x - 1 f(g(x + 1)) = 2x + 4

⇒ f(2x - 1) = 2x + 4 misal 2x - 1 = p,

maka x = (p + 1)/2

⇒ f(p) = 2{(p + 1)/2} + 4

⇒ f(p) = p + 1 + 4 maka f(x) = x + 5

⇒ f(0) = 0 + 5 = 5

7. A

Pembahasan

Ganti x pada g(x) dengan f(x).

g o f(x) = f(x)2 - 4f(x) + 5 = (-2x + 3)2 - 4 (-2x + 3) + 5 = 4x2 - 12x + 9 + 8x -

12 + 5

g o f(x) = 4x2 - 4x + 2

8. B

Pembahasan

Terlebih dahulu tentukan f o g(x) dengan cara mengganti x pada f(x) dengan

g(x).

Catatan:

Cara menginvers fungsi pembagian f(x) = (ax + b) / (cx + d) maka f-1(x) = (-

dx + b) / (cx - a)

http://4.bp.blogspot.com/-7PSHKT1i7Js/VkTYbQQgsHI/AAAAAAAAHR8/jFluafrNGRI/s1600/Untitled.png


9. D

Pembahasan

Ganti x pada g(x) dengan f(x).

10. C

Pembahasan

Ganti x pada f(x) dengan g(x)

f o g(x) = g(x)2 + g(x) - 1 = (2x + 1)2 + (2x + 1) - 1 = 4x2 + 4x + 1 + 2x + 1 -

1 = 4x2 + 6x + 1

BAB 3

FUNGSI KUADRAT

A. Pilihan Ganda

1. Nilai maksimum y = ax2 + 4x + 3a adalah -11

3a2 – 4 = -11a

3a2 + 11 a = 0

(3a – 1)(a + 4) = 0

A = 1/3 a = -4

Karena y mempunyai nilai maksimum maka a < 0, sehingga nilai a yang

memenuhi adalah -4. Jadi a2 – a = (-4)2 – (-4) = 20

2. y = kx2 + (k – 3)x – 4

grafik seluruhnya di bawah sumbu x, maka syaratnya adalah:

(1) k < 0

(2) D < 0

b2 – 4ac < 0

(k – 3)2 – 4. K(-4) < 0

k2 – 6k + 9 + 16k < 0

k2 + 10k + 9 < 0

http://2.bp.blogspot.com/-rLIU5354mLM/VkTZ8CfHkdI/AAAAAAAAHSI/i8mgwSdo2jE/s1600/Untitled.png


(k + 9)(k + 1) < 0

-9 < k < -1

k < 0 dan -9 < k < -1 → -9 < k < -1

berarti k tidak mungkin -10.

3. Misal persamaan fungsi kuadrat itu adalah:

y = ax2 + bx + c

melalui titik A(-2, 17):

17 = a(1)2 + b(-2) + c 4a – 2b + c = 17 …(1)

Melalui titik B(1, 5):

5 = a(1)2 + b(1) + c a + b + c = 5 …(2)

Melalui titik c(4, 11):

11 = a(4)2 + b(4) + c 16a + 4b + c =11 …(3)

Eliminasi c

4a – 2b + c = 17

5a + b = 2 ….(5)

Dari persamaan (4) dan ( 5) di peroleh:

A –b = 2

+

a = 1 5(1) + b = 2

b = -3

jadi persamaan fungsi kuadrat nya adalah

y = x2 – 3x + 7

4. Diketahui y = x2 – 4x – 8

Titik potong dengan sumbu y diperoleh jika x = 0.

y = x2 – 4x – 8

= 0 – 0 – 8

= -8

Jadi grafik fungsi y = x2 – 4x – 8 memotong sumbu y di titik (0, -8).

5. Diketahui y = x2 – x – 12

Pembuat nol fungsi kuadrat diperoleh jika y = 0


x2 – x – 12 = 0

(x + 3)(x – 4) = 0

x = -3 x = 4

BAB 5

PERSAMAAN LINGKARAN

B. Essay

1. Substitusi y = x + c ke x2 + y2 = 25 maka

x2 + (x + c)2 2x2 + 2cx + c2 – 25 = 0

D = b2 – 4 ac = 0 => 4c 2 – 8c2 + 200 = 0 c = ± 5√2

Maka c = ± 5√2 .

2. Persamaan lingkaran dengan (-2, 3) dan melalui titik (1, 5) adalah :

(x + 2)2 + (y – 3)2 = r2

(1 + 2)2 + (5 – 3)2 = r2

r2 = 13

Jadi, (1 + 2)2 + (5 – 3)2 = 13

x2 + y2 + 4x – 6y = 0 . . . . . . . . (1)

(𝑥′𝑦′

) = (cos(−90ᵒ) − sin(−90ᵒ)sin(−90ᵒ) cos(−90ᵒ)

) . (𝑥𝑦) = (

0 1−1 0

) . (𝑥𝑦) = ( 𝑦

−𝑥)

(𝑥"𝑦"

) = ( 𝑦−𝑥

) . + ( 0−5

) = ( 𝑦−𝑥−5

) => 𝑥= −𝑦"−5𝑦=𝑥"

. . . . . (2)

Substitusi persamaan (2) ke (1) :

(-y” -5)2 + (x”)2 + 4(-y” -5) - 6(x”) = 0

x2 + y2 – 6x + 6y + 5 = 0

3. x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0

(x - 2)2 + ( y + 3)2 = 25

Persamaan garis singgungnya :

(x1 – 2)(x - 2)2 + (y1 + 3)( y + 3)2 = 25


(5 – 2)(x - 2)2 + (1 + 3)( y + 3)2 = 25

3x + 4y – 19 = 0

4. Masukkan titik (1, − 1) ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan nilai a

terlebih dahulu:

2x2 + 2y2 − 1

2 ax + 4y − 12 = 0

2(1)2 + 2(-1)2 − 1

2 a(1) + 4(-1) − 12 = 0

2 + 2 − 1

2 a – 4 – 12 = 0

-12 = 1

2 a

a = -24

Jadi, persamaan lingkaran sebenarnya adalah :

2x2 + 2y2 – 12x + 4y – 12 = 0

x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0

Jari-jarinya =

r = √1

4𝐴2 +

1

4𝐴2 − 𝐴

= √36

4+

4

4− (−6)

= √9 + 1 + 6

= √16 = 4

Jadi, diameternya adalah 2 . 4 = 8

5. Berabsis , ini menunjukkan bahwa x = -1

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 13

((−1) − 2)2

+ (𝑦 + 1)2 = 13

9 + 𝑦2 + 2y +1 -13 = 0

𝑦2+ 2y -3 = 0

( y + 3 ) (y – 1) = 0

y = -3 atau y = 1


( -1,-3) atau ( -1,1)

Persamaan garis singgung melalui (-1,-3)

(x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b) = r2

(-1-2)(x-2) + (-3+1)(y +1) =13

-3(x-2) + -2(y-1) = 13

-3x + 6 -2y + 2 -13 = 0

-3x -2y +8 -13 = 0

-3x – 2y -5 = 0

3x + 2y + 5 = 0

Persamaan garis singgung melalui (-1,1)

(x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b) = r2

(-1-2)(x-2) + (1+1)(y +1) =13

-3x + 6 +2y +2 – 13 = 0

-3x +2y -5 = 0

3x – 2y + 5 = 0

6. by = -ax – c

-4 y = -3x – m

y = 3

4 𝑥 +

𝑚

4

x2 + y2 =16

x2 + (3

4𝑥 +

𝑚

4)

2

= 16

x2 + 9𝑥2

16 +

6𝑚𝑥

16+

𝑚2

16= 16

x2 + 9𝑥2

16 +

6𝑚𝑥

16+

𝑚2

16− 16 = 0

16x2+ 9x2 + 6mx + m2-16 = 0

25 x2 + 6mx + m2-16 = 0

Karena garis menyinggung lingkaran maka, D = 0

D = 0

b2-4ac = 0

(6m)2- 4(25)(m2-256) = 0

36m2 – 100m2 + 25600 = 0

-64m2 = -25600

m2 = −25600

−64

m2 = 400


m = ±√400

m = ± 20

m = 20 atau m = -20

6. x2 + y2 -2x +4y +4 = 0

Pusat a = −1

2(−2) b = −

1

24

a = 1 b = −1

24

b = -2

Jari-jari r = √(−1

2𝐴)

2

+ (−1

2𝐵)

2

− 𝐶

√(−1

2(−2))

2

+ (−1

24)

2

− 4

√(1)2 + (−2)2 − 4

√1 + 4 − 4

√1

1

m1 = - 3

−4

m1 = 3

4

karena tegak lurus maka didapatkan m2 = - 4

3

persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah

(y – b) = m(x – a) ± r √1 + m2

(y – (-2)) = - 4

3 (x – 1) ± r1√1 + (−

4

3)2

y + 2 = - 4

3𝑥 +

4

3± 1 √

25

9

y = - 4

3𝑥 +

4

3−

6

3± 1.

5

3

y = - 4

3𝑥 −

2

3 ±

5

3

y = - 4

3𝑥 − 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 = −

4

3𝑥 −

7

3


7. Karena pusatnya (3,2) dan menyinggung sumbu Y maka r = 3

Persamaan lingkarannya :

(x - 3)2 + ( y - 2)2 = 9

x2 + y2 - 6x - 4y + 4 = 0

9. x1 = 1

y1 = 4

(x+3)2 + ( y-2)2 = 20

(x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2

(1 + 3) (x + 3) + (4 – 2) (y – 2) = 20

4(x+3) + 2(y-2) = 20

4x + 12 + 2y -4 = 20

4x +2y + 8 – 20 = 0

4x +2y -12 = 0

10. x2+y2-8x+2Ay+5 = 0

62 + (-1)2 – 8 (6) + 2A6 + 5 = 0

36 + 1 – 48 +12A + 5 = 0

37 – 48 +5 = 2A

-6 = 2A

-3 = A

P (a,b)

a = −1

2𝐴 b = −

1

2𝐵

a = −1

2(−8) b = −

1

2(−6)

a = 4 b = 3


BAB 6

PHYTAGORAS

1. A

Pembahasan:

Ingat saja bahwa untuk segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan

jumlah kuadrat sisi lainnya. Pernyataan yang benar berdasarkan teorem

Pythagoras antaralain :

⇒ AC2 = AC2 + AB2

⇒ AB2 = AC2 − BC2

⇒ BC2 = AC2 − BC2

Atau :

⇒ b2 = a2 + c2

⇒ a2 = b2 − c2

⇒ c2 = b2 − a2

Jadi, pernyataan yang tidak sesuai dengan teorema pythagoras adalah BC2 =

AC2 + AB2.

2. C

Pembahasan:

Untuk mengetahui panjang KN, maka kita harus mengetahui panjang KL

dan LN dengan memanfaatkan dalil pythagoras.

Perhatikan segitiga KLM untuk mencari panjang KL :

⇒ KL2 = KM2 − LM2

⇒ KL2 = 172 − 82

⇒ KL2 = 289 − 64

⇒ KL2 = 225

⇒ KL = √225


⇒ KL = 15 cm.

Perhatikan segitiga LMN untuk mencari panjang LN :

⇒ LN2 = MN2 − LM2

⇒ LN2 = 102 − 82

⇒ LN2 = 100 − 64

⇒ LN2 = 36

⇒ LN = √36

⇒ LN = 6 cm.

Jadi, KN = KL − LN = 15 − 6 = 9 cm.

3. Tentukan tinggi segitiga terlebih dahulu:

Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi sehingga didapat hasil:

4. Perbandingan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku dengan sudut 45°

adalah sebagai berikut:


Bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian didapat:

5. Tengok perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yang mengandung

sudut 30° dan 60° kemudian kita buat perbandingan dengan segitiga ABC:

Dari sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:


BAB 7

ARITMATIKA SOSIAL

1. A

Pembahasan :

Ingat 1 kodi = 20 buah, maka 3 kodi = 5 lusin.

Harga beli pakaian :

⇒ Harga beli = Rp 600.000,- x 3

⇒ Harga beli = Rp 1.800.000,-

Harga jual pakaian :

⇒ Harga jual = Rp 400.000,- x 5

⇒ Harga jual = Rp 2.000.000,-

Keuntungan :

⇒ Untung = harga jual − harga beli

⇒ Untung = Rp 2.000.000,- − Rp 1.800.000,-

⇒ Untung = Rp 200.000,-

2. B

Pembahasan :

Keuntungan :


⇒ Untung = Rp 2.400.000,- − Rp 2.000.000,-

⇒ Untung = Rp 400.000,-

Persentase keuntungan :

⇒ % untung = untung x 100%

harga beli

⇒ % untung = Rp 400.000,- x 100%


Rp 2.000.000,-

⇒ % untung = 20%

3. A

Pembahasan :

Ingat, 1 rim = 500 lembar. Karena kertas dijual eceran per 5 lembar, maka

ada 100 eceran.

Keuntungan :


⇒ Rp 20.000,- = harga jual − Rp 50.000,-

⇒ harga jual = Rp 20.000,- + Rp 50.000,-

⇒ harga jual = Rp 70.000,-

Harga jual total harus Rp 70.000,- maka harga jual eceran per 5 lembar

kertas adalah :

⇒ harga jual eceran = harga jual

100

⇒ harga jual eceran = Rp 70.000,-

100

⇒ harga jual eceran = Rp 700,-

4. C

Pembahasan :

Harga jual I :

⇒ Harga jual = Rp 10.000,- x 10

⇒ Harga jual = Rp 100.000,-

Harga jual II :

⇒ Harga jual = Rp 6.000,- x 10



Harga jual total :

⇒ Harga jual = harga jual I + harga jual II

⇒ Harga jual = Rp 100.000,- + Rp 60.000,-


Keuntungan :


⇒ Untung = Rp 160.000,- − Rp 140.000,-

⇒ Untung = Rp 20.000,-

5. D

Pembahasan :

Diketahui: harga total pembelian = x

Diskon = 25% x = 0,25 x

Harga setelah diskon = harga total pembelian – diskon

= x – 0,25 x

= 0,75 x

Pajak = harga setelah diskon x 10%

= (0,75 x) x 10%

= 0,75 x x 0,1

Harga yang harus dibayar = harga setelah diskon + pajak

= 0,75 x + 0.1 x 0,75 x

= (1.1 x 0,75) x


6. E

Pembahasan :

Hal pertama yang dicari adalah bunga tabungan yang didapatkan oleh

andi selama menabung.

Bunga = tabungan akhir – tabungan awal

Bunga = 2.282.000 – 2.100.000

Bunga = 182.000

Bunga = a . p . M

182.000 = a . 8% . 2.100.000

182.000 = a . (8/100) . 2.100.000

182 = 168a

a = (182/168) tahun

= (13/12) tahun

a = (13/12) 12 bulana

= 13 bulan

7. C

Pembahasan :

Missal:

Tabungan awal = M

Persentase = p

Tahun = a

Karena bunganya pertahun maka:

9 bulan = 9

12 tahun =

3

4 tahun,

jadi:

a = ¾ tahun

Ingat rumusnya:


Bunga = a . p . M

Bunga = ¾ . 12% . M

Bunga = 9M%

Bunga = 9M/100

Tabungan akhir = bunga + M

3.815.000 = (9M/100) + M

3.815.000 = (9M/100) + (100M/100)

3.815.000 = 109M/100

M = 3.815.000 . 100/109

M = 3.500.000

8. B

Pembahasan :

Diketahui: harga beli Rp 15.000.000

Pajak 10 % = 10 % x 15.000.000 = Rp 500.000

Harga jual Rp 11.500.000

Ditanya: kerugian?

Jawab:

Besar modal ( harga beli + pajak) = Rp 15.000.000 + Rp 500.000

= Rp 15.500.000

Rugi = Rp 15.500.000 – Rp 11.500.000

= Rp 4.000.000

Jadi, kerugian yang diderita Ahmad adalah Rp 4.000.000

9. C

Pembahasan :

Harga setelah didiskon:

Baju = 40.000 – (10 % x Rp 40.000) = 40.000 – 4000 = 36.000

Celana = 70.000 – (15% x Rp 70.000) = Rp 64.500

Topi = 20.000 – (5 % x Rp 20.000) = Rp 19.000


Tas = Rp 35.000 – ( 5 % x Rp 35.000) = Rp 33.250

Kaos = Rp 55.000 – (15 % x Rp 55.000) = Rp 41.250

Jadi barang yang dapat dibeli Yuda adalah baju, tas, celana

10. Terlebih dahulu kita cari harga pembelian (HB) untuk 2 karung beras

sebelum mendapat diskon HBtotalsblm diskon = Rp.350.000/karung x

2 karung

HBtotalsblm diskon = Rp. 700.000

Kemudian cari berapa mendapat diskon pembelian untuk 2 karung

berasHarga diskon =Rp. 700.000 x 10%

Harga diskon = Rp. 700.000 x 10/100

Harga diskon = Rp. 70.000

Maka harga pembelian (HB) untuk 2 karung beras setelah mendapat

diskon adalah sebagai berikut:

HBsetelah diskon= Rp. 700.000 – Rp. 70.000

HBsetelah diskon= = Rp. 630.000

Kita ketahui beras dalamkarung tersebut masih dalam keadaan massa

kotor (bruto), oleh karena itu cari massa bersih untuk 2 karung beras

tersebut, yakni:

Netto = bruto – tara

Netto = 50 kg – 50 kg x 1%

Netto = 50 kg – 50 kg x 1/100

Netto = 50 kg – 0,5 kg

Netto = 49,5 kg

Nettototal = 49,5 kg/karung x 2 karung

Nettototal = 99 kg

Langkah selanjutnya adalah mencari harga jual (HJ) untuk beras 45 kg

yang dijual dengan harga Rp. 10.000/kg sebelum memberikan diskon,

yakni:

HJ45kgsebelum diskon = 45kg x Rp. 10.000/kg

HJ45kgsebelum diskon = Rp. 450.000


Kemudian cari berapa pemberian diskon penjualan untuk beras 45 kg

yang besarnya 15%, yakni:

Harga Diskon = Rp. 450.000 x 15%

Harga Diskon = Rp. 450.000 x 15/100

Harga Diskon = Rp. 67.500

Maka harga penjualan (HJ) untuk beras 45 kg setelah mendapat

diskonadalah sebagai berikut:

HJ45kg setelah diskon = Rp. 450.000 - Rp. 67.500

HJ45kg setelah diskon = Rp. 382.500

Langkah berikutnya adalah mencari harga jual untuk sisa beras setelah

dikurangi 45 kg. Pada awalnya beras tersebut (bruto) 100 kg dan nettonya

99 kg. Setelah dikurangi 45 kg maka sisa beras tersebut adalah 54 kg dan

dijualdengan harga Rp. 9.000/kg, maka kita dapat tentukan harga

penjualan beras untuk 54 kg sebelum diberikan diskon 10% adalah

sebagai berikut:

HJsisa sebelum diskon = 54 kg x Rp. 9.000/kg

HJsisa sebelum diskon = Rp.486.000

Kemudian cari berapa pemberian diskon penjualan untuk beras 54 kg

yang besarnya 10%, yakni:

Harga diskon = Rp. 486.000 x 10%

Harga diskon = Rp. 486.000 x 10/100

Harga diskon = Rp. 48.600

Maka harga penjualan (HB) untuk beras 54 kg setelah mendapat

diskonadalah sebagai berikut:

HJsisa setelah diskon = Rp. 486.000 - Rp. 48.600H

Jsisa setelah diskon = Rp. 437.400

Jadi harga penjualan total beras setelah diberikan diskon adalah sebagai

berikut:

HJtotal = HJ45kg+ HJsisa

HJtotal = Rp. 382.500 + Rp. 437.400

HJtotal = Rp. 819.900


Setelah mendapat harga penjualan total maka dapat ditentukan

keuntungan yang diperoleh Bu Echa sebelum membayar pajak, yakni:

Useblum kena pajak = HJtotal- HBsetelah diskon

Useblum kena pajak = Rp. 819.900 - Rp. 630.000

Useblum kena pajak = Rp. 189.900

Maka keuntungan yang diperoleh Bu Echa setelah membayar pajak

sebesar sebesar Rp. 9.900, yakni:

Usetelah kena pajak = Rp. 189.900 - Rp. 9.900

Usetelah kena pajak = Rp. 180.000

Setelah keuntungan diperoleh maka dapat ditentukan keuntungan Bu

Echa dalam bentuk persentase, yakni:

%Usetelah kena pajak = (U/HB) x 100%

%Usetelah kena pajak = (180.000/630.000) x 100%

%Usetelah kena pajak = (2/7) x 100%%Usetelah kena pajak=

(200/7)%

%Usetelah kena pajak = 28 4/7 %

Jadi, keuntungan yang diperoleh Bu Echa adalah Rp. 180.000 atau

28 4/7%

BAB 8

PERBANDINGAN

1. Untuk menentukan bayak bagian masing- masing dapat dilakukan dengan cara

menjumlahkan perbandingan yaitu 3 + 4 + 5 = 12 , jadikan penyebut untuk

menentukan bagian masing-masing bagian.

Banyak air :

3

12 x 36 = 9 liter

Banyak sirop :

4

12 x 36 = 12 liter


Banyak santan :

5

12 x 36 = 15 liter

2. a. Untuk menjawab soal tersebut kita konversi saja satuan jam menjadi satuan

menit agar lebih mudah dalam pengerjaannya, 1 jam = 60 menit dan 1¾ jam

= 105 menit, naka

60 menit => 1200 kata

105 menit => ? kata

60 menit/105 menit = 1200 kata/? kata

? kata = 1200 kata.105 menit/60 menit

? kata = 2100 kata

Jadi dalam 1 ¾ jam seorang tata usaha dapat mengetik 2100 kata.

b. untuk menjawab soal tersebut anda tidak perlu melakukan konversi satuan,

maka

1200 kata => 1 jam

1800 kata => ? jam

1200 kata/1800 kata = 1 jam/? Jam

? jam = 1800 kata. 1 jam/1200 kata

? jam = 1,5 jam

Jadi untuk mengetik 1800 kata diperlukan waktu sebanyak 1,5 jam.

3. 28 botol => Rp. 184.800,00.


24 botol => ?

Maka

28 botol/12 botol = Rp. 184.800,00./?

? = Rp. 184.800,00. 24 botol/28 botol

? = Rp. 158.400,00

Jadi pada minggu berikutnya jumlah uang hasil penjualan 2 lusin sirup

adalah Rp. 158.400,00

4. Rumus cepatnya :

J(awal) * W(awal) = [ J(awal) * W(kerja) ] + [ W(sisa) * J(akhir) ]

J(awal)

(jumlah pekerja awal) = 10 orang

W(awal)

(waktu awal) = 5 hari

W(kerja)

(pekerjaan yang sudah selesai) = 1 hari

W(sisa)

(sisa waktu kerja) = W(awal) - [W(kerja) + W(stop)]

5 - (1 + 3) = 1 hari

J(akhir)

(total pekerja yang diperlukan) = p (ditanyakan)

Masukkan ke rumus :

<=> 10 x 5 = (10 x 1) + (1 x p)

<=> 50 = 10 + p


<=> p + 10 = 50

<=> p = 50 -10

==> p = 40

Sekali lagi, p adalah total pekerja yang diperlukan.

► Jadi tambahan pekerja yang dibutuhkan adalah...

40 orang - 10 orang = 30 orang

5. Skala = jarak peta/jarak sebenarnya

Jarak sebenarnya = jarak peta/skala

= 13/1:250.000

= 13 x 250.000/1

= 3250.000/1

= 3250.000 cm

= 3250.000 : 100.000

= 32,5 km

Jadi, jarak sebenarnya antara kedua kota tersebut adalah 32,5 km.

BAB 9

GENERALISASI DAN POLA BILANGAN

1. *) y – x = 36 → y = 36 + x → 5x = 36 + x

*) y= 5x 4x = 36

x = 9

y = 45

U5 = 9 → a + 4b = 9

U2 = 45 → a + b = 45 -

3b = -36

b = – 12


a = 57

U10 = a + 9b

= 57 – 108

= – 51

2. S10 = 5(2a + 9b) U11 + U12 = 2 2a + 9b = – 22

– 110 = 5(2a + 9b) a + 10b + a+ 11b =2 2a + 21b = 2 -

– 22 = 2a + 9b 2a + 21b = 2 12b =

24 b =2 → a

= – 20

sehingga a + a + b = – 40 + 2 = – 38

3. y : x = x : 3 18 – y = y – x

x2 = 3y 2y = 18 + x → y = (18 + x)/2

x2 = 3(18 + x)/2

2x2 = 3(18 + x) sehingga : x + y = 6 + 12 = 18

2x2 – 3x – 54 =0

(2x + 9)(x – 6) = 0

x = 6 → y = 12

4. 2S4 = 3(U2 +U4)

2 a(r4 - 1)/(r - 1) = 3(ar + ar3)

2a(r4 – 1) = 3ar(1 + r2)(r – 1)

2(r2 + 1)(r – 1)(r + 1) = 3r(r2 +1)(r – 1) x = a + 2b

= 2 + 4 = 6

2r + 2 = 3r y = a + 4b

= 2 + 8 = 10

r = 2 z = a + 5b

= 2 + 10 =

12

U1 U2 x U3 y z w U4 w =a+ 6b

= 2 + 12 =14

a 2a 4a 8a jadi, x + y + z + w = 42

b =2a – a

2 = a

5. a.b.c.d.e = 1.024

a.ar.ar2.ar3.ar4 = 45

a5.r10 = 45


(ar2)5 = 45

ar2 = 4

karena c merupakan sukU ke-3 maka c = ar2 = 4

6. Pola bilangan Pascal sebagai berikut

1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Jumlah bilangan pada garis ke 7 = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64

7. r – q = q – p r = 3p p + q + r = 12

2q = p + r p + 2p + 3p = 12

2q = p + 3p 6p = 12

2q = 4p p = 2→ q = 4 → r = 6

q = 2p

sehingga persamaan suku banyaknya : (x – 2)(x – 4)(x – 6) = 0

8. kelompok 1 : {1} = 12 – 0

kelompok 2 : {3,5} = 22 – 1

kelompok 3 : {7,9,11} = 32 – 2 kelompok 4 : {13,15,17,19} = 42 – 3 .

. Kelompok 100 = 1002 – 99

= 10.000 – 99 = 9.901

9. Misalkan bilangan itu : a – 16, a , a + 16

(a + 16 – 7 ) : a = a : (a – 16 + 10)

a2 = (a + 9)(a – 6)

a2 = a2 + 3a – 54

3a = 54 → a = 18

Sehingga jumlah 3 bilangan itu = 2 + 18 + 34 = 54

10. a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 75


a2 = 8

a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 75

a + b = 8

6a + 15b = 75

a = 8 – b

2a + 5b = 25

2(8 – b) + 5b = 25

16 + 3b = 25 → b = 3 → a = 5 → a6 = a + 5b = 5 + 15 = 20

BAB 10

KAIDAH PENCACAHAN

1. tidak ada putri = 7C5 = 21

1 putri = 7C4 x 3C1 = 35 x 3 = 105

2 putri = 7C3 x 3C2 = 35 x 3 = 105

Jadi,banyak tim ada = 105 + 105 + 21 = 231 tim

2. P(n, 4) = 30 C(n, 5)


3. Diketahui:

n = 2 + 3 + 4 = 9

n1 = 2

n2 = 3

n3 = 4

Ditanya: 9P2,3,4 = ...

Jawab

9P2,3,4 = 9! / 2! . 3! . 4! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4! / (2 . 1) . (3 . 2. 1) . 4!

9P2,3,4 = 15120 / 2 . 6 = 1260

4. Seperti yang kita tahu, misalnya:

4! = 4x3x2x1

6! = 6x5x4x3x2x1

1! = 1.

Dengan beberapa contoh ini dapat disimpulkan bahwa:

n! = n x (n – 1)!


Kemudian kita dapat bagi setiap sisi dengan n.

n!/n = [n x (n – 1)!]/n

n!/n = (n – 1)!

Nah kemudian coba subtitusi nilai n = 1. Maka:

n!/n = (n – 1)!

1!/1 = (1 – 1)!

1 = 0!

0! = 1 —–> terbukti.

5. Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang

dengan 3 kursi kosong.

Maka banyaknya cara duduk ada :

7P3 = 7!/(7-3)!

= 7!/4!

= 7.6.5

= 210 cara

BAB 12


A. Pilihan Ganda

1. D


2. B

3. D

4. B

5. A

B. Essai

1. a. Dari titik (10, –5) diperoleh absis: 10, ordinat: –5

b. Dari titik (2, 8 ) diperoleh absis: 2, ordinat: 8

c. Dari titik (–7, –3) diperoleh absis:–7, ordinat: –3

d. Dari titik (6, 1) diperoleh absis: 6, ordinat: 1

e. Dari titik (–4, 9) diperoleh absis:–4, ordinat: 9

2. a. (4, N)

b. (5, J)

c. (12, K)

d. Tapak Tuan

e. Lhoksumawe

3. Garis tersebut sejajar dgn sumbu y dan tegak lurus dgn sumbu x

4. Posisi garis I terhadap garis M adalah sejajar dan tidak tegak lurus

5. A.Memotong tidak tegak lurus terhadap -x dan sumbu -y

B.Sejajar dengan sumbu -x dan tegak lurus terhadap sumbu -y

C.Memotong tidak tegak lurus terhadap sumbu -x dan sumbu -y

PENUTUP


Demikian yang dapat kami paparkan mengenai materi dan pembahasan

Matematika dalam buku ini, tentunya banyak kekurangan dan kelemahan. Semoga

dapat bermanfaat bagi orang yang membaca dan mempelajari isi di dalamnya. Kami

mohon maaf apabila ada kesalahan penulisan kata dan kalimat yang tidak jelas,

mengerti dan lugas mohon jangan di masukkan ke dalam hati.

Dan kami juga sangat mengharapkan yang membaca buku inii akan

bertambah pengetahuan dan semangat dalam belajar.

Sekian penutup dari kami semoga berkenan di hati dan kami ucapkan terima

kasih yang sebesar-besarnya.


PROFIL TIM EDITOR


PROFIL HIMMALAYA 2015


Catatan:

modul pembelajaran kapita selekta matematika

Education