i Daftar Isi PENDAHULUAN ....................................................................................................................................... 1 A. Latar Belakang ................................................................................................................................. 1 B. Tujuan ............................................................................................................................................. 2 BAB II ....................................................................................................................................................... 3 PEMBAHASAN ......................................................................................................................................... 3 A. System Massa Pegas ........................................................................................................................ 3 B. Fast Fourier Transform ..................................................................................................................... 4 C. Simulasi Massa Pegas dengan MatLab .............................................................................................. 8 BAB III .................................................................................................................................................... 18 PENUTUP ............................................................................................................................................... 18 A. Kesimpulan .................................................................................................................................... 18 Daftar Pustaka ....................................................................................................................................... 19 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang DeretFourieradalahsuatuderetberbentuksinusdankosinusyang dapatmemperesentasikanfungsipriodik,denganTransformasiFouriersinyal dalamDomainwaktudapatdipresentasikandalamDomainFekuensi.Dalam MatriksLaboratory(MatLab)telahdisediakanfungsiuntukmelakukan TransformasiFouriertersebutyangdikenaldenganFastFourierTransform (fft.m).AplikasiFFTmencakupberbagaibidangdiantaranya,padaTeknik structuralAnalysis,modulationdandemodulation,ImageProcessing,Vibration Analysis dan lain lain.PadaTulisaniniakancobadigunakan/toolssuatufungsifftyangada dalam Matlab untuk suatu studi kasus massa pegas. JikasuatuMassaM1digantungpadasuatupegasyangmemilki kekakuan(stiffness) k (N/m) dimanakondisinya berada dalamkeseimbangan. JikaadasatumassayanglaindisebutmassakeduaM2dijatuhkandari ketinggiantertentu(h)meterdanlangsungmenempelpadaM1(tanpa pantulan).PadakasusiniakandilihatpengaruhdijatuhkannyamasaM2 terhadapkeseimbangansystem:Pengaruhketinggian(h),sertakekakuan (konstanta)pegas.Massa(M1)dan(M2)masing-masing10kgdan20kg (konstan) 2 B. Tujuan Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas mata kuliah Kapita Selekta dan untuk mengetahui aplikasi dari fast fourier transform menggunakan Matlab. 3 BAB II PEMBAHASAN A. System Massa Pegas Getaranadalahgerakanbolak-balikdalamsuatuintervalwaktutertentu. Getaranberhubungandengangerakosilasibendadangayayangberhubungan dengangeraktersebut.Semuabendayangmempunyaimassadanelastisitas mampubergetar,jadikebanyakanmesindanstrukturrekayasa(engineering) mengalamigetaransampaiderajattertentudanrancangannyabiasanya memerlukanpertimbangan sifat osilasinya. Ada dua kelompok getaran yang umum yaitu :(1). Getaran Bebas. Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi karena bekerjanya gaya yang ada dalam sistem itu sendiri (inherent), dan jika ada gaya luas yang bekerja. Sistem yang bergetarbebasakanbergerakpadasatuataulebihfrekuensinaturalnya,yang merupakansifatsistemdinamikayangdibentukolehdistribusimassadan kekuatannya.Semuasistemyangmemilikimassadanelastisitasdapatmengalamigetaran bebas atau getaran yang terjadi tanpa rangsangan luar. (2). Getaran Paksa. Getaran paksa adalah getaran yang terjadi karena rangsangan gaya luar, jika rangsangantersebutberosilasimakasistemdipaksauntukbergetarpadafrekuensi rangsangan.Jikafrekuensirangsangansamadengansalahsatufrekuensinatural sistem,makaakandidapatkeadaanresonansidanosilasibesaryangberbahaya mungkinterjadi.Kerusakanpadastrukturbesarsepertijembatan,gedungataupun 4 sayappesawatterbang,merupakankejadianmenakutkanyangdisebabkanoleh resonansi. Jadi perhitungan frekuensi natural merupakan hal yang utama. Gerakosilasidapatberulangsecarateraturataudapatjugatidakteratur, jika gerak ituberulang dalam selang waktu yang sama maka gerak itu disebut gerak periodik.Waktupengulangantersebutdisebutperiodaosilasidankebalikannya disebut frekuensi. Jika gerak dinyatakan dalam fungsi waktu x (t), maka setiap gerak periodik harus memenuhi hubungan(t) = x (t + ).Sebuahalternatifpendekatanuntukmendapatkanpersamaanadalah penggunaanPrinsipDAlembertyangmenyatakanbahwasebuahsistemdapat dibuatdalamkeadaankeseimbangandinamisdenganmenambahkansebuahgaya fiktif pada gaya-gaya luaryang biasanya dikenal sebagai gaya inersia. B. Fast Fourier Transform FastFourierTransformadalahsuatualgoritmayangdigunakanuntuk merepresentasikansinyaldalamdomainwaktudiskritdandomainfrekuensi. Sementaraitu,IFFTadalahsingkatandariInverseFastFourierTransform. MembahasmengenaiFFT-IFFTtentunyatidakdapatdilepaskandariDFT(Discrete FourierTransform).DFTmerupakanmetodetransformasimatematisuntuksinyal waktu diskritke dalam domain frekuensi. Secara sederhana dapat dikatakan bahwa DFT merupakan metode transformasi matematis sinyal waktu diskrit, sementara FFT adalah algoritma yang digunakan untuk melakukan transformasi tersebut. Secara matematis, DFT dapat dirumuskan sebagai berikut : ...(1) 5 dimana disebut sebagai twiddle factor, memiliki nilai, sehingga ...(2) Sementara itu, Inverse Discrete Fourier Transform (IDFT) dapat dirumuskan sebagai berikut : ....(3) Sehingga persamaan IDFT dapat dituliskan juga sebagai berikut : ...(4) FFTdipergunakanuntukmengurangikompleksitastransformasiyang dilakukandenganDFT.Sebagaiperbandingan,bilakitamenggunakanDFT,maka kompleksitastransformasikitaadalahsebesarO(N2),sementaradengan menggunakanFFT,selainwaktutransformasiyanglebihcepat,kompleksitas transformasi pun menurun, menjadi O(N log (N)). Untuk jumlah sample yang sedikit mungkinperbedaankompleksitastidakbegituterasa,namunlainceritanyabilakita mengambiljumlahsampleyangsedikitlebihbanyak.Misalnyakitahanya mengambil2 sample, dengan menggunakan DFT, tingkat kompleksitas transformasi kita adalah 4, sementara dengan menggunakan FFT kompleksitasnya sebesar 0,602. Perbedaan yang semakin mencolok tampak bila kita mengambil jumlah sample yang lebihbanyaklagi,misalnyakitainginmeninjau64titiksample,makakompleksitas 6 denganmenggunakanDFTadalahsebesar4096,sementaradenganmenggunakan FFTkompleksitasnyamenjadi115,6.Perbedaanyangsangatmencolokmelihat perbandinganyang mencapai hampir40 kali lipatnya. Kompleksitastransformasiini terutamamenjadivitalsaatdiimplementasikanpadaperangkatriil.Perbandingan kompleksitas DFT dan FFT dapat dilihat pada gambar berikut gambar 02. Perbandingan DFT dengan FFT Secaraumum,terdapatduabuahpendekatanyangdijalankandalam algoritma FFT. Pendekatan tersebut yaitu Decimation in Time (DIT) serta pendekatan DecimationinFrequency(DIF).DITmerupakanusulanpendekatanyang dikemukakanolehCooley-Tukey,sementaraDFTmerupakanusulanpendekatan algoritmayangdikemukakanolehSande-Tukey.Perbedaanutamaantaradua pendekatan ini dapat dilihat pada gambar berikut ini 7 (a) (b) gambar 03 (a)algoritma Cooley Tukey(b) algoritma Sande Tukey Dalam implementasi perangkat, pendekatan DIF lebih disenangi karena data inputdapatlangsungdimasukkansesuaidenganposisiaslinya,natural,sementara dalam pendekatan DIT data input harus terlebih dahulu diubah secara bit-reversed. Pengertiansusunandatamasukannaturalataubit-reversedsecaralebih mudah dapat dilihat pada contoh berikut Input ke -Deretun blt pudu urutun normulDeretun blt-reversed 1000 (0)000 (0) 2001 (1)100 (4) 3010 (2)010 (2) 4011 (3)110 (6) 5100 (4)001 (1) 6101 (5)101 (5) 8 110 (6)011 (3) 8111 ()111 () Tabel 01. Susunan data masukan DalamtransformasisinyalwaktudiskritdenganmenggunakanFFTdikenal istilah butterfly. Butterfly adalah elemen terkecil dari suatu operasi FFT. C. Simulasi Massa Pegas dengan MatLab Semuasystemyangmemilikimassadanelastisitasdapatmengalamigetaran (vibration),denganatautanparansangan(gaya)dariluar.Systemtersebutmemiliki frekuansi natural (alamiah). Gambar 04 . Sistem Massa Pegas System massa pegas (gambar 4), dari teori getaran persamaan geraknya dapat ditentukan sebagaimana persamaan berikut: 9 (5) dari persamaan (1) dengan menggunakan fungsi fft yang ada di Matlab. JikasuatuMassaM1digantungpadasuatupegasyangmemilki kekakuan(stiffness) k (N/m) dimanakondisinya berada dalamkeseimbangan. JikaadasatumassayanglaindisebutmassakeduaM2dijatuhkandari ketinggiantertentu(h)meterdanlangsungmenempelpadaM1(tanpa pantulan).PadakasusiniakandilihatpengaruhdijatuhkannyamasaM2 terhadapkeseimbangansystem:Pengaruhketinggian(h),sertakekakuan (konstanta)pegas.Massa(M1)dan(M2)masing-masing10kgdan20kg (konstan) BerikutiniadalahlistingprogramyangdisusunpadaM-FileMatlab, pergerakansystemdenganfungsiwaktu(t),ditransformasikandalamdomain frekuensi, dengan fungsi fft. Berikut ini adalah listing program yang dibuat, sbb: function Y = pfft ( ) t = 0:0.001:0.2; g = 9.81; m1=100; k=6000; l=0; in=0; disp ('========================================================'); disp ('Nama : Amanda Larasati'); 10 disp ('No Reg : 3225083203 '); disp (' '); disp ('======================================================='); disp ('Analisis getaran pada pegas ');disp ('DENGAN K PEGAS = 6000 & M1 = 10 kg(konstan) '); disp ('=======================================================');

while(l~=1) if in==0 M=0;

while ((M100)) M = input ('masukan massa benda kedua(1-100)(kg) = '); H=0;

while ((H10)) H = input ('masukan jarak m1 dan m2(0.1-1)(meter) = '); end end

end

m2= M*10; h=H*10; f = (h*k/((m1+m2)^0.5))/(2*pi); 11 b = sin(2*pi*f*t); y = ((m2*g)*(1-(cos(2*pi*f*t)))/k)+(m2*((2*g*h)^0.5)*b)/(k*((m1+m2)^0.5)); subplot(2,1,1); plot(y(1:200)); xlabel ('waktu (detik)'), grid on ylabel ('abs. Amplitudo'), grid on Y = fft(y,400); MagY = abs(Y); f = 1000*(0:200)/400; subplot(2,1,2); plot(f,MagY(1:201)); xlabel ('frekwensi (Hz)'), grid on ylabel ('abs. magnitude'),grid on end BerikutiniadalahhasildariRunning(simulasi)Program,untuktiga kategori ketinggian (h) yakni: 0,2 meter, 0,5 meter, dan 0,7 meter. Untuk setiap ketinggian (h) diinput masa dua (M2) yakni 20 kg dan 50 kg . Dengan massa dan nilai kekakuan K = 6000 N/m. Gambar(5)adalahtampilanuntukketinggianjatuh(h)=0,2meter., konstanta pegas 6000 N/m, Massa (M1 ) = 10 kg, dengan input massa dua (M2)= 12 20 kg,terlihatsinyal frekuensi 110 Hz tergambar pada window atas,sementara padawindowbawahterlihathasildaritransformasiFourierdimanamagnitude tertinggi pada110 Hz. Gambar 05. M2= 20 kg h =0,2 m f=110Hz Gambar(6)adalahtampilanuntukketinggianjatuh(h)=0,5meter., konstanta pegas 6000 N/m, Massa (M1 ) = 10 kg, dengan input massa dua (M2)= 20 kg, terlihat sinyal frekuensi 275 Hz tergambar padawindow atas, sementara 13 padawindowbawahterlihathasildaritransformasiFourierdimanamagnitude tertinggipada275Hz. Gambar 06 h =0,5 M2=20kg f= 275 Hz Gambar(7)adalahtampilanuntukketinggianjatuh(h)=0,7meter., konstanta pegas 6000 N/m, Massa (M1 ) = 10 kg, dengan input massa dua (M2)= 14 20 kg, terlihat sinyal frekuensi 385 Hztergambar pada window atas, sementara padawindowbawahterlihathasildaritransformasiFourierdimanamagnitude tertinggi pada385 Hz. Gambar 07 h =0,7 m M2=20kgf= 385 Hz Gambar(8)adalahtampilanuntukketinggianjatuh(h)=0,2meter., konstanta pegas 6000 N/m, Massa (M1 ) = 10 kg, dengan input massa dua (M2)= 50 kg, terlihat sinyal frekuensi 77,5 Hz tergambar pada window atas, sementara 15 padawindowbawahterlihathasildaritransformasiFourierdimanamagnitude tertinggi pada77,5 Hz. Gambar 08 h =0,2 m M2=50 kgf= 77,5 Hz Gambar(9)adalahtampilanuntukketinggianjatuh(h)=0,5meter., konstanta pegas 6000 N/m, Massa (M1 ) = 10 kg, dengan input massa dua (M2)= 50 kg, terlihat sinyal frekuensi 195 Hz tergambar padawindow atas, sementara 16 padawindowbawahterlihathasildaritransformasiFourierdimanamagnitude tertinggi pada 195 Hz. Gambar 09. h =0,5 m, M2= 50kg, f= 195 Hz Gambar(10)adalahtampilanuntukketinggianjatuh(h)=0,7meter., konstanta pegas 6000 N/m, Massa (M1 ) = 10 kg, dengan input massa dua (M2)= 50kg,terlihatsinyalfrekuensi272.5Hztergambarpadawindowatas, 17 sementarapadawindowbawahterlihathasildaritransformasiFourierdimana magnitude tertinggi pada 272.5 Hz. Gambar 10. h =0,7 M2=50 kgf= 272.5 Hz 18 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan ySemakintinggijarak(h),denganmassadankekakuanpegasyangsama akanmemberikansinyalfrekuaensiyangsemakinbesarpula,halini bersesuain dengan teori dasar getaran. ySemakin tinggi kekakuan, dengan massa dan tinggi jarak pegas yang sama akan memberikan sinyal frekuensi yang besar juga . yTransformasiFouriermerupakansuatualatbantuyangsangatberguna danpraktisuntukmentransformasikansuatupergerakansinyaldari domainwaktu keDomain Frekuensi hal inikompatibel denganfungsi fft (Matlab). 19 Daftar Pustaka 1.Anonim.DiscreteFourierTransformdanFFTdiunduhpadahariMinggu8 januari 2012 jam 08.00 2. Chan, Yefri. Getaran Mekanik. Jakarta : Universitas Darma Persada3.Ridwan.SimulasisystemMassaPegasdenganVariasikekakuandanJarak MassadenganMatlab(fft).UniversitasGunadarma:MechanicalEngineering Department