Wed 16/10/13

1

1

ESTIMASI (PENDUGAAN STATISTIK)

Ir. Tito Adi Dewanto

Statistika

Deskriptif Inferensi

Estimasi Uji Hipotesis

Titik Rentang

Estimasi dan Uji Hipotesis

Dilakukan setelah penelitian dalam tahap pengambilan suatu

kesimpulan

Tujuan: mengetahui bagaimana data yang ada pada sampel bisa

menggambarkan keadaan populasi

Dua konsep yang berkaitan dengan inferensia:

Estimasi atau pendugaan menduga keadaan populasi dengan

memakai data di tingkat sampel

Pengujian hipotesis memeriksa apakah data yang ada di

tingkat sampel mendukung atau berlawanan dengan dugaan

peneliti.

Estimasi : Salah satu cara mengemukakan pernyataan induktif

(menyatakan karakteristik populasi dengan menggunakan

karakteristik yang didapat dari cuplikan).

Contoh Pendugaan Statistik misalnya menduga rata-rata penghasilan

penduduk suatu kecamatan () dengan mengambil cuplikan 10

keluarga saja, lalu cari rata-rata cuplikan

X (sample means).

X merupakan penduga yg baik untuk .

Hasil suatu cuplikan Proses Pendugaan Ingin diketahui berapa

Misal 1)

X nilai 1)

2) S2 2)

2

Penduga Target

Sifat Penduga Yang Baik

1. Tidak Bias : yaitu jika

)(E

Wed 16/10/13

2

2

2. Varian Terkecil : Semakin kecil semakin baik

Penduga 1 lebih efisien dari penduga 2

3. Rata-rata Simpangan Terkecil : Efisien dari setiap penduga

1 penduga tak bias, 3 punya varian terkecil, 2 yang lebih baik

4. Konsisten : (bila bias

2 =0 dan

2=0)

Semakin besar jumlah

sample makin konsisten

Efisiensi relative dari i terhadap j =)(

)(

j

i

RSK

RSK

Jawab: a. tidak b. 90%

Soal 1:

Pada soal diatas efisiensi relatif X 100 terhadap X 90

dengan memakai

konsep RSK adalah ....

A. 90% C. 10%

B. 111% D. 100%

Wed 16/10/13

3

3

Pendugaan Titik : Bila nilai dari populasi hanya diduga dengan 1

nilai statistic

X sample.

Contoh :

Seorang ahli sosial ekonomi ingin mengestimasi rata-rata penghasilan

buruh di kota Bogor. Sebuah sampel dikumpulkan menghasilkan rata-

rata Rp 2.000.000,-.

Dalam hal ini telah dilakukan estimasi titik, dengan menggunakan

estimator berupa statistic mean ( X ) untuk mengestimasi parameter

mean populasi (μ). Nilai sampel Rp 2.000.000,- sebagai nilai estimate

dari mean populasi.

Pendugaan Rentang : Bila nilai dari populasi diduga dengan memakai

beberapa nilai statistic (range) . =

X Kesalahan Baku Z

Hasil merupakan sekumpulan angka dan akan lebih objektif

Menyatakan berapa besar tingkat kepercayaan bahwa interval yang

terbentuk memang mengandung nilai parameter yang diduga

Peneliti bebas menentukan interval kepercayaan (90%, 95%, 99%)

Hal tersebut berkaitan dengan alpha (daerah penolakan) Misal, apabila

ditetapkan interval kepercayaan sebesar 95% maka (alpha) sebesar 5%

(100% - 95%) . Artinya bahwa diberikan toleransi untuk melakukan

kesalahan sebanyak 5 kali dalam 100 kali percobaan Interval kepercayaan

90% (alpha 10%) diberikan toleransi untuk melakukan kesalahan sebanyak

10 kali dari 100 kali percobaan

Maka interval kepercayaan 95% akan lebih teliti dibanding interval 90%

(alpha 0.10)

Semakin besar tingkat kepercayaan yang diberikan, semakin tinggi tingkat

kepercayaan bahwa parameter populasi yang diestimasi terletak dalam

interval yang terbentuk, namun penelitian menjadi semakin tidak teliti

Der. Kep Zα/2

95%

96%

90%

99%

1,96

2,05

1,64

2,575

Wed 16/10/13

4

4

Nilai Dugaan Rentang untuk (Derajat Kepercayaan 95%)

Pr(

X -1,96.x < <

X +1,96.x) = 0,95 atau =

X 1,96.x

Contoh : Dari kelas statistic diketahui simpangan baku=12. dari

cuplikan sebanyak 16 menghasilkan

X = 58. Tentukan dugaan rentang

dengan derajat kepercayaan 95%.

Pemecahan:

n=16, =12 dan

X = 58. =

X 1,96.x sementara n

x

= 58 (1,96).16

12 = 58 6 52 < < 64

Soal 2:

Hasil penelitian terhadap 10 orang mhs menunjukan bahwa rata-rata

uang saku adalah Rp 27,6 (ribuan), dengan simpangan baku seluruh

pelajar adalah Rp 12,00. Rata-rata uang saku diseluruh pelajar adalah

(derjat keperc. 95%) ?

A. 27,6±6,44 C. 27,6±8,589

B. 27,6±7,44 D. 27,6±8,623

Pemakaian distribusi t, bila tidak diketahui (Derajat Kep. 95%)

Jika dimiliki sampel X1, X2, …., Xn dari distribusi normal N(, 2)

dengan 2 tidak diketahui maka : berdistribusi t dengan

derajat bebas n-1.

=

X t0,25. n

S atau =

n

SX .262,2

untuk n = 10

= n

SX .182,3

untuk n = 4

Dimana 22 )(1

1

XXn

S , Derajat kebebasan = n – 1

Contoh:Dari suatu kelas yang besar, diambil sample 4 buah nilai ujian

statistic masing-masing 64, 66, 89 dan 77. Tentukan nilai duga rentang

untuk rata-rata seluruh kelas.

Pemecahan : Untuk n=4, Derajat kebebasan=4-1=3. Dari table didapat

t0,25 =3,182. Dari sample dihitung

X =74 dan S2 = 132,7 dan S = 11,5

= 74 3,182.4

7,132 = 74 18 56 < < 92

Soal 3 :

Hasil penelitian terhadap 10 orang mhs menunjukan bahwa rata-rata

uang saku adalah Rp 27,6 (ribuan), dengan simpangan baku cuplikan

(S) adalah Rp 9,00. Rata-rata uang saku diseluruh pelajar adalah

(derajat kepercaan 95%) ?

A. 27,6±6,44 C. 27,6±8,589

B. 27,6±7,44 D. 27,6±8,623

nS

Xt

/

Wed 16/10/13

5

5

2

2

2

1

2

1

21 nnxx

Pendugaan Nilai Rentang untuk Beda Nilai Rata-rata 2 Populasi

Simpangan Baku beda 2 rata-rata :

Simp. Baku ini dimasukan ke pers. (1 - 2) = 21

.)( 25,021 xxZXX

(1 - 2) = (2

2

2

1

2

125,021 )(

nnZXX

bila 1 2 dan =95%

(1 - 2) = (21

25,021

11.)(

nnZXX

bila 1 = 2 dan =95%

Contoh :

Ujian statistika diberikan kepada 2 kelompok mahasiswa, yaitu

mahasiswa perempuan sebanyak 75 orang dan mahasiswa laki-laki

sebanyak 50 orang. Kelompok perempuan memperoleh rata-rata 82

dengan simpangan baku 8, sedangkan kelompok laki-laki memperoleh

rata-rata 76 dan simpangan baku 6. Buatlah interval kepercayaan 96%

untuk menduga berapa sesungguhnya beda rata-rata 2 kelompok

mahasiswa tersebut ?

Penyelesaian

Kelompok Mhs Pr : n1=75, X1 = 82, S1=8

Kelompok Mhs Lk : n1=50, X1 = 76, S1=6

Zα/2 = Z0,04/2 = Z0,02 = 2,05

(1 - 2) = (2

2

2

1

2

125,021 )(

n

S

n

SZXX

(1 - 2) = (50

6

75

805,2)7682(

22

3,429< 1 - 2 < 8,571

Sesungguhnya beda rata-rata 2 kelompok mahasiswa tersebut adalah

antara 3,429 sampai 8,571. Dapat disimpulkan bahwa rata-rata

kelompok Pr lebih tinggi dari Lk.

Pendugaan Nilai Rentang untuk Beda Nilai Rata-rata 2 Populasi

bila 1 ,2 tidak diketahui tapi nilainya dianggap sama

(1 - 2) = (2

2

2

1

2

125,021 )(

nnSZXX p

1 2

1 1

222

211

21

2 )()(2

1 n

i

n

i

iip XXXXnn

S

Contoh : dari sebuah kelas diambil cuplikan nilai ujian 64,66,89 dan

77. dari kelas lain juga diambil 56,71 dan 53. Tentukan Nilai duga

rentang beda 2 rata-rata nilai kelas tersebut 1-2 ?

Wed 16/10/13

6

6

Pemecahan :

Kelas I Kelas II

Nilai

X1i X1i- 1

X (X1i- 1

X )2 Nilai

X2i X2i- 2

X (X1i- 2

X )2

64

66

89

77

-10

-8

15

3

100

64

25

9

56

71

53

-4

11

-7

16

121

49

296

X =296/4

=74

0 398 180

X =180/3

=60

0 186

2

pS =234

1

(398+186)=

5

584=117, dari table t0,25 = 2,571

Derajat kebebasan=(4-1)+(3-1)=5

(1-2)=(74-60)2,5713

1

4

1.117 =14 21

Dibaca: besarnya nilai duga rentang untuk beda rata-rata 2 populasi

adalah -7 sampai 35 dengan derajat kepercayaan 95%.

Pendugaan Rentang untuk Proporsi

Proporsi dari populasi dinyatakan dengan P=X/N dan proporsi untuk

sampel/cuplikan dinyatakan dengan p=x/n

Pendugaan Rentang Proporsi dengan cuplikan besar

=P1,96n

PP )1(

Pendugaan Rentang untuk Beda 2 Proporsi dengan Cuplikan Besar

(1-2)=(P1-P2) 1,962

22

1

11 )1()1(

n

PP

n

PP

Contoh : Suatu penelitian oleh perusahaan sabun cuci “Ekonomi”

dengan mengambil cuplikan 200 orang, bahwa 140 orang memakai

produk tsb. Hitung berapa proporsi seluruh penduduk yang

menggunakan dan menyukai produk tsb. (pakai 95% derajat

kepercayaan).

Pemecahan : P=10

7

200

140 =0,7

=0,71,96200

)7,01(7,0 =0,70,0324(1,96) 0,6365 < < 0,7635

Soal 4:

Pada suatu sampel acak berukuran n=500 orang di kota Bogor

ditemukan bahwa 340 orang suka nonton Indonesia Lawyers Club.

Hitunglah interval kepercayaan 95% untuk menduga berapa proporsi

sesungguhnya penduduk kota Bogor yang suka acara tersebut ?

A. 0,531 < P < 0,719 C. 0,641 < P < 0,719

B. 0,641 < P < 0,809 D. 0,651 < P < 0,919

Contoh : Perusahaan tsb ingin menaikan luas pasar. Hal ini dilakukan

adalah merubah nama menjadi “Ekonomi Baru” sekali lagi dilakukan

Wed 16/10/13

7

7

penelitian dengan cuplikan sebesar 250 acak. Dari jumlah tersebut 180

orang menyukai dan memakai produk tsb. Tentukan kenaikan

/penurunan luas seluruh pasar produk tsb.

Pemecahan :

P2 = 250

180=0,72, P2 proporsi cuplikan yang menyukai produk tsb.

P1 dari data diatas =0,7

Kenaikan proporsi luas seluruh pasar = (1-2)

(1-2)=(P1-P2) 1,96250

)38,0(72,0

200

)3,0(7,0

(1-2)=(0,72-0,70)1,96(0,0463) = 0,020,09 -0,07< (1-2) < 0,11

Jadi dengan derajat kepercayaan 95% maka kenaikan luas pasar setelah

dipakai nama baru sebesar -7% sampai 11% (turun 7% sampai naik

11%). Karena duga rentang melewati angka 0% dapat dikatakan bahwa

pemakaian nama baru tidak menambah luas pasar.

Soal 5:

Suatu survei diadakan terhadap pengunjung PRJ. Untuk itu diambil 2

kelompok sampel. Sampel 1 adalah ibu2 sebanyak 500 orang, sebanyak

325 mengatakan puas. Sampel 2 adalah bapak2 sebanyak 700 orang,

sebanyak 400 menyatakan puas terhadap PRJ. Buatlah interval

kepercayaan 95% untuk menduga berapa sesungguhnya beda 2

populasi pengunjung yang puas dengan PRJ ?

A. 0,01 < P1-P2 < 0,14 C. 0,01 < P1-P2 < 0,17

B. 0,02 < P1-P2 < 0,14 D. 0,02 < P1-P2 < 0,18

Peluang - t Dua sisi α/2

Satu sisi α

Wed 16/10/13

8

8

Tugas III

statistika

1. Misalkan diberikan nilai ujian matematika dari 10 siswa sebagai

berikut: 58, 58, 43, 64, 47, 54, 59, 47, 60, dan 64. Estimasi rata-rata

nilai Matematika sesungguhnya (populasi), dengan tingkat kepercayaan

95 persen ?

2. Seorang guru ingin mengestimasi waktu rata-rata yang digunakan untuk

belajar. Suatu sampel acak ukuran 36 menunjukan bahwa rata-rata

waktu yang digunakan siswa untuk belajar di rumah setiap harinya

adalah 100 menit. Informasi sebelumnya menyatakan bahwa standar

deviasi adalah 20 menit. Estimasilah rentang nilai para seluruh siswa

tersebut dengan tingkat kepercayaan 95 persen ?

3. Dari kelas statistic diketahui simpangan baku=12. dari cuplikan

sebanyak 25 menghasilkan

X = 58. Tentukan dugaan rentang dengan

derajat kepercayaan 95% ?

4. Untuk data ujian mahasiswa berikut,

x Frek

37

47

57

67

77

87

97

2

8

17

35

27

13

5

Tentukanlah

a. Peluang Nilai X > 80 ?

b. Peluang Nilai X < 75 ? dan

c. Peluang Nilai 66 < X < 88 ?

(Petunjuk cari dulu rata-rata, dan simpangan bakunya, lalu ingat

materi distribusi normal)

5. Misalkan kita memiliki hasil ujian Statistik, diperoleh rata-ratanya 72

dan simpangan bakunya 9. Berapa besar probabilitas bahwa bila

diambil sebuah cuplikan acak sebanyak 12 pelajar akan memperoleh

rata-rata hasil ujian lebih besar dari 80 ?

6. Suatu survei diadakan terhadap pengunjung PRJ. Untuk itu diambil 2

kelompok sampel. Sampel 1 adalah ibu2 sebanyak 500 orang, sebanyak

325 mengatakan puas. Sampel 2 adalah bapak2 sebanyak 700 orang,

sebanyak 400 menyatakan puas terhadap PRJ. Buatlah interval

kepercayaan 95% untuk menduga berapa sesungguhnya beda 2

populasi pengunjung yang puas dengan PRJ ?

Wed 16/10/13

9

9