MATEMATIKA EKONOMI

LIMIT , KONTINUITAS DAN TURUNAN

Tito Adi Dewanto S.TP tito math’s blog titodewanto@yahoo.com

Limit

Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati a dari arah kanan maka dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan L dan dinotasikan:

Lxfax

)(lim

Limit

Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati a dari arah kiri maka dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan l dan dinotasikan:

lxfax

)(lim

Limit

Bila L = l maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan L dan dinotasikan:

Bila L ≠ l maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada.

lLxfax

)(lim

tables unt mencari

Contoh 1 – Mencari LIMIT dengan TABEL

Jawab:

Kita buat 2 tabel, seperti dibawah, pertama nilai x

mendekati 3 dari kiri, dan kedua dengan x mendekati 3 dari

kanan.

Limit Penting!

x

2

2.9

2.99

2.999

3

3.001

3.01

3.1

4

f (x)

8

9.8

9.98

9.998

?

10.002 10.02 10.2

12

x 3lim 2x 4 10

Def: Ditulis

jika x → c, maka f (x) → L

3

10

x clim f (x) L

7

Contoh 2

2

x 2

x x 6 0lim Which is undefined!

x 2 0

2

x 2 x 2 x 2

x x 6 (x 3)(x 2)lim lim lim (x 3) 5

x 2 x 2

2x x 6

NOTE : f ( x ) graphs as a straight line.x 2

Buat Grafiknya ?.

Tapi nilai limitnya ada!!!!

Apa yang terjadi saat x = 2?

Atau grafik berbentuk Garis Lurus

8

Contoh 3 f (x) = (x2 – 9)/(x + 3) pada x = -3

2

x 3

x 9lim f ( 3)

x 3

c.

2

x 3

x 9lim

x 3

b. - 6

The limit exist!

f (-3) = 0/0 a. Adalah bentuk tak tentu!

Therefore the function is not continuous at x = -3.

-3

-6

You can use table on your calculator to verify this.

Sifat Limit

Sifat Limit

Contoh 4 (Mencari LIMIT dengan subtitusi langsung)

x 4

1. xlim

Substitusi x=4. 4 2

2

x 6

x2.

x 3lim

26 36

46 3 9

Substitusi x= 6

Contoh 5 (untuk x mendekati a)

9

3a) lim

9x

x

x

9

( 3)

( 3)

( 3) = lim

( 9)x

x

x

x

x

9

9 lim

( 9)( 3)x

x

x x

9

1 1 lim

63x x

2

2 3 2

4b) lim

2x

x

x x

2 2

(2 )(2 )= lim

(2 )x

x x

x x

2 2

2 = lim

x

x

x

2

2 ( 2) 41

( 2) 4

Contoh 6

Limit di Tak Hingga

Secara umum, limit fungsi dari

untuk x mendekati tak hingga atau minus tak hingga sama dengan nol, dituliskan :

Contoh 7

3 2

3 2

2 3 21. lim

100 1x

x x

x x x

3 2

3 3 3

3 2

3 3 3 3

2 3 2

lim100 1x

x x

x x x

x x x

x x x x

3

2 3

3 22

lim1 100 1

1x

x x

x x x

22

1

Untk x mendekati

0

2

3 2

4 5 212. lim

7 5 10 1x

x x

x x x

2

3 3 3

3 2

3 3 3 3

4 5 21

lim7 5 10 1x

x x

x x x

x x x

x x x x

2 3

2 3

4 5 21

lim5 10 1

7x

x x x

x x x

0

7

2 2 43. lim

12 31x

x x

x

2 2 4

lim12 31x

x x

x x xx

x x

42

lim31

12x

xx

x

2

12

Cobalah ?

Soal: Hitunglah

Kontinuitas

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila:

f(a) terdefinisi

, yaitu

)(lim xfax

)()( limlim xfxfaxax

)()(lim afxfax

20

Contoh 9 f (x) = (x2 – 9)/(x + 3) pada x = -3

2

x 3

x 9lim f ( 3)

x 3

c.

2

x 3

x 9lim

x 3

b. - 6

The limit exist!

f (-3) = 0/0 a. Adalah bentuk tak tentu!

Therefore the function is not continuous at x = -3.

-3

-6

You can use table on your calculator to verify this.

Soal dan Pembahasan

Pembahasan

Soal

Diketahui:

Carilah (jika ada):

1. 2. 3.

1,2

1,1)(

2

xx

xxxf

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

Soal

Diketahui:

Hitung dan !

Selidiki apakah ada!

Jika ada, berapa nilainya?

1,

1,1)(

2

2

xxx

xxxf

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

Soal

Cari titik diskontinu fungsi berikut:

3

3)(

2

x

xxxf

8

4)(

3

2

x

xxf

Ada 3 jenis diskontinu yaitu :

(i) Diskontinue titik lowong (ii) Diskontinue tak terhingga (iii) Diskontinue terhingga

a

(i)

º f(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

DISKONTINUE TITIK LOWONG

DISKONTINUE TERHINGGA

a

(ii)

1L

2LKarena limit kiri(L1) tidak sama dengan limit kanan(L2) maka f(x) tidak mempunyai limit di x=a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

DISKONTINUE TERHINGGA

Diskontinue Tak Terhingga

1lim

nx a x a

1lim if is even

nx a

nx a

1lim if is odd

nx a

nx a

-8 -6 -4 -2 2

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

-2 2 4 6

-20

-10

10

20

30

40

-8 -6 -4 -2 2

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

F(x) =

F(x) =

F(x) =

(iv)

a

f(a)

f(a) ada

)(lim xfax

ada

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=a

contoh

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya

2

4)(

2

x

xxf

2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxfa. b.

2,1

2,1)(

2 xx

xxxfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x=2 b. f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

x

x

xx

x

x

xxx

)2()(lim2

fxfx

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak kontinu di x=2

c. 312)2( 2 f

31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2

Definisi Turunan Fungsi

,h

f(a)h)f(aLimit (a)' f

0 h

CONTOH 1.

1 xpada

2x,-3f(x) fungsirunan Carilah tu

JAWAB

-2(1)' fadalah

1 xpada2x,-3f(x) fungsi turunan Jadi

22Limith

2hLimit(1)' f

h

2(1)}-{3-h)}2(1-{3Limit(1)' f

h

f(1)-h)f(1Limit(1)' f

(1)' fadalah 1 x pada 2x,-3f(x)

0 h 0 h

0 h

0 h

h

xhx 22

0h

3)(3limy'

Tentukan turunan dari : Y = 3x2 Jawab :

h

xhhxx 222

0h

3363lim

x6

36lim36

lim 0h

2

0h

hxh

hhx

Contoh 2

Turunan

SOAL LATIHAN

mungkin yang a nilaicarilah 19,(a)' f Jika b.

Radengan (a)' fCarilah a.

}/{D asaldaerah

dengan,723

1f(x) Diketahui 2.

2 xpada,xf(x) b.

4 xpada 2x,-5f(x) a.

disebutkan yang x nilai-nilaiuntuk

berikut fungsi-fungsi darirunan Carilah tu 1.

f

23

23

Rxx

xxx

x