1

kuncikolompadaNilai

KNkolompadaNilaibarisIndeks

...

.....

Ir. Tito Adi Dewanto

Cara dan formulasi masalah ke dalam persamaan linier sama dengan metode grafik.

Perbedaan pada langkah-langkah untuk pemecahan optimal. Kelebihan metode Simpleks

dibanding dengan metode sebelumnya (metode Grafik) adalah metode ini bisa digunakan

untuk memecahkan masalah yang memiliki variable lebih dari dua macam.

Langkah-langkah Metode Simpleks :

Langkah 1: Formulasikan ke dalam SPL

Contoh Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3X1 + 4X2

Batasan – batasan : (1) 2X1 + X2 6000

(2) 2X1 + 3X2 9000

(3) X1 0 ; X2 0

Langkah 2 : Mengubah Fungsi Tujuan dan Batasan

Maksimumkan Z = 3X1 + 4X2 diubah menjadi

Maksimumkan Z - 3X1 - 4X2 = 0

Batasan 2X1 + X2 6000 diubah menjadi

2X1 + X2 + S1 = 6000 S adalah slack variable yang

mengubah tanda menjadi =

2X1 + 3X2 9000

2X1 + 3X2 + S2 = 9000

Fungsi Tujuan Maksimumkan Z - 3X1 - 4X2 = 0

Batasan-batasan (1) 2X1 + X2 + S1 = 6000

(2) 2X1 + 3X2 + S2 = 9000

(3) X1 , X2 , S1, S2 0

Langkah 3 : Menyusun Persamaan-persamaan ke dalam table

V.D Z X1 X2 S1 S2 N.K

Z

S1

S2

1

0

0

-3 -4 0 0

2 1 1 0

2 3 0 1

0

6000

9000

Langkah 4 : Memilih Kolom Kunci

Pilih kolom pada baris Z nilai negative terkecil.

Lingkari kolom tsb untuk kemudahan

Langkah 5 : Memilih Baris Kunci

Pilih baris kunci, yaitu baris yang punya indeks + terkecil.(lalu lingkari)

2

.

Didapat angka kunci yaitu 3

Indeks terkecil baris S2 (jadi X2)

Langkah 6: Mengubah Nilai Baris Kunci

Ubah nilai pada baris kunci dengan membaginya angka kunci (3)

Ubah VD dengan variable yg kolomnya terpilih sbg kolom kunci. (S2 X2)

Langkah 7: Mengubah Nilai diluar baris kunci

3

Langkah 8 : Melanjutkan Perbaikan

Selama masih ada nilai negative pada baris Z maka ulangi langkah 3-7.

Bila tidak ada negative lagi berarti sudah Optimal

Arti: Produk I dihasilkan 2.250 unit (X1 = 2250), produk II=1500 unit (X2=1.500)

Sumbangan terhadap laba sebesar Rp 12.750 (Z=12.750)

C. Ketentuan Tambahan

1. Terdapat 2 atau lebih Nilai Negatif Terkecil pada baris Z

Bebas pilih nilai Z terkecil (hasil akan sama), Misalnya table sbb :

2. Terdapat 2 baris atau lebih Memiliki Indeks Negatif Terkecil

Bebas pilih Indeks Negative Terkecil.(Optimal sama)

3. Multiple Optimal Solutions

Bila diperoleh 2 atau lebih solusi dengan nilai Z optimal sama.

4

D. Penyimpangan dari Bentuk STANDAR

1. Fungsi Tujuan Bersifat Meminimumkan Nilai Z.

Ubah menjadi memaksimumkan, fungsi tujuan kali (-1)

Minimumkan Z = 3X1 + 4 X2

Maksimumkan [Z = 3X1 + 4 X2] . (-1)

Maksimumkan –Z = - 3X1 - 4 X2 atau Maksimumkan –Z + 3X1 + 4 X2 = 0

2. Batasan Bertanda Sama Dengan (=)

............0,)3(

900032)2(

..60002)1(

43

21

21

21

21

XX

XX

XX

XXZ

....................0,)3(

900032)2(

..60002)1(

043

21

221

121

121

XX

SXX

RXX

MRXXZ

5

3. Batasan Dengan Tanda Lebih Besar atau Sama Dengan ()

6

7

8

Analisis Sensitivitas

Menghitung akibat-akibat perubahan kendala dan fungsi tujuan pada nilai tujuan (hasil),

pada metode simpleks menggunakan tabel optimal.

A. Marginal Value

Adalah nilai baris Z pada kolom slack variable

Contoh Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3X1 + 4X2

Batasan : (1) 2X1 + X2 6000

(2) 2X1 + 3X2 9000

(3) X1 0 ; X2 0

Jawaban Optimal :

VD Z X1 X2 S1 S2 NK

Z

X1

X2

1

0

0

0 0 ¼ 5/4

1 0 ¾ - ¼

0 1 - ½ ½

12.750

2.250

1.500

X1= 2.250 X2= 1.500 Z=12.750

Marginal Value input pertama adalah S1 yaitu sebesar ¼

Apabila nilai kanan kendala I ditambah 10 unit maka nilai Z bertambah

10.( ¼ )=2,5

Marginal Value input pertama adalah S2 yaitu sebesar 5/4

Apabila kendala II dilonggarkan 1 unit maka nilai Z bertambah 5/4 atau

1,25.

B. Mencari nilai Optimal Baru Setelah Perubahan

NK baru baris i = NK lama-nilai kolom i (tambahan = i).

Pada kendala I bila ditambah dengan i : 2X1+X2 6.000 + i

maka nilai kanan berubah (bila i=100)

(1)

Baris

(2)

NKlama

(3)

Nilai S1

(4)

NK baru

(5)

Z

X1

X2

12.750

2.250

1.500

¼

¾

- ½

12.750+ ¼ i

2.250+ ¾ i

1.500+ (-½i)

12.775

2.325

1.450

perubahan yang terjadi tidak boleh melanggar kondisi feasible, sehingga

semua variable harus positif yang berarti:

2.250+ ¾ I 0 1.500+(- ½ ) I 0

¾ i -2.250 ½ I 1500

I -3000 I 3000

jadi penggunaan tabel optimal hanya dapat dilakukan apabila

-3000 I 3000

sehingga nilai kanan kendala I

minimum adalah 3000 = (6000-3000)

maksimum 9000 = (6000+3000),

kalau melebihi batas itu maka ada variable (Xj) yang

bernilai negative, berarti tidak feasible.

9

Tes Formatif 2

Diketahui fungsi tujuan memaksimumkan z = 5x1 + 3x2

Batasan-batasan : (1) 3x1 + 5x2 ≤ 15

(2) 5x1 + 2x2 ≤ 10

(3) x1 , x2 ≥ 0

Tabel optimal permasalahan tersebut sbb:

V.D Z X1 X2 S1 S2 N.K

Z

X2

X1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0,2632

0,2632

-0,1053

0,8421

-0,1579

0,2632

12,37

2,368

1,053

Dari data tersebut jawab pertanyaan berikut :

1. Marginal value input pertama adalah …..

A. 0,2632

B. 0,368

C. 0,8421

D. 12,37

2. Berdasarkan marginal value input pertama maka apabila nilai kanan kendala 1

ditambah 10 unit maka nilai Z bertambah …..

A. 12,37

B. 8,421

C. 3,68

D. 2,632

3. Apabila kendala kedua dilonggarkan 1 unit maka nilai Z akan bertambah …

A. -0,1579

B. 0,2632

C. 0,8421

D. 1,053

4. Apabila nilai kanan ken dala pertama ditambah dengan i maka penambahan nilai

kanan kendala 1 akan berkisar ….

A. -8,99 ≤ i ≤ 10

B. 8,99 ≤ i ≤ 10

C. 10 ≤ i ≤ 46,99

D. -46,99 ≤ i ≤ 10

5. Maksimal nilai kendala 1 adalah …….

A. 10

B. 15

C. 25

D. 35