BAB III

GAYA SENTRAL

II.1 Gaya Sentral dan Energi Potensial

Gaya sentral adalah gaya yang bekerja pada sebuah partikel yang selalu

mengarah pada satu titk yang dinamakan pusat (asal) dari gaya. Jadi aksi gaya sentral

pada partikel yang berjarak r dari pusat gaya dapat dinyataka sebagai:

(III.1.1)

dimana adalah vector satuan ke arah radial. Dari bentuk gaya ini, mempunyai implikasi

bahwa momentum sudut partikel adalah kekal atau tidak berubah. Dengan kata lain, jika

gaya sentral adalah isotropik yakni , maka gaya sentral adalah gaya

konservatif., sehingga energi mekanik partikel adalah kekal. Jadi kita akan sampai pada

kesimpulan bahwa untuk gaya sentral, momentum sudut dan energi akan kekal (konstan)

Hukum kekekalan ini adalah hasil dari sifat simetri radial dalam kasus ini. Selanjutnya

vector satuan dapat ditulis sebagai , sehingga persamaan di atas dapat dituli sebagai:

(III.1.2)

Komponen-komponenya

(III.1.3)

Dapat ditegaskan bahwa gaya sentral adalah gaya yang bergantung posisi dan

konservatif. Dengan demikian, kita mendapatkan fungsi energi potensial V(r) pada

sebuah gaya sentral, hanya mungkin jika curl dari gaya lenyap, yaitu:

1

(III.1.4)

Persamaan (III.14) dapat ditulis sebagai:

(III.1.5)

Dengan menggunakan persamaan (III.1.3), komponen-komponen pada persamaan

(III.1.5) akan diperoleh:

(III.1.6a)

dan hal yang sama

(III.1.6b)

Substitusikan persamaan (III.1.6) ke dalam persamaan (III.1.5) dan menggunakan

hubungan , maka komponen kearah x akan

menghasilkan:

(III.1.7)

Sama halnya dengan komponen-komponen lainnya (y,z) akan lenyap. Dengan demikian

persamaan (III.1.4) terpenuhi, yang mempunyai implikasi bahwa gaya sentral adalah

gaya konservatif, dan diasosiakan dengan sebuah fungsi energi potensial V(r) sedemikian

bahwa:

(III.1.8)

2

Dalam koordinat bola, operator gradient adalah:

Dan kebalikan persamaan (III.1.8) yang tiada lain adalah energi potensial dalam bentuk

integral, yakni:

(III.1.8)

II.2 Gerak Gaya Sentral Sebagai Benda Sistem Satu Badan

Sistem yang terdiri atas beberapa titik massa yang paling sederhana adalah system

dua badan , namun masih cukup umum untuk memperoleh gambaran mengenai dinamika

system banyak titik massa. Yang menarik bagi system dua badan ini ialah dapatnya

direduksi menjadi system satu badan .

Misalkan gaya antara dua benda

disebabkan oleh sebuah potensial

interaksi U yang hanya bergantug

kepada vektor relatf antara kedua

benda.

Energi potensial hanya ditentukan oleh akibat interaksi antara massa m1 dan massa m2 ,

dan oleh karena itu sehingga hanya bergantung pada vector letak yang menghubungkan

antara kedua titk massa dan kecepatan bila energi potensial itu bergantung pada

kecepatan, dan bukan bergantung pada vector letak dan . Dengan demikian, untuk

energi potensial system dua badan tidak perlu lagi ditransformasikan.

3

Selanjutnya vector letak ttik pusat massa bila diterapkan untuk system dua badan

ditentukan oleh:

(III.2.1)

Perlu diketahi bahwa sekalipun vector letak ditentukan olek vektor , namun

tidak bergantng pada . Dinyatakan dalam vector R dan r , vector letak akan

segera dapat dituliskan sebagai:

(III.2.2)

Dari persamaan (III.2.2 ), maka kita dapat menyatakan energi kinetic sebagai:

(III.2.3a)

atau

(III.2.3b)

dimana telah diambil sebagai massa total system, sebagai

massa tereduksi system yakni system dua badan. Berdasarkan uraian ini, Lagrangian

system akan dapat dinyatakan sebagai:

4

(III.2.4)

karena R sebagai titik pusat massa tidak pernah berubah terhadap waktu maka ,

sehingga momentum sistem kekal dan karena , maka suku

pertama dari L konstan sehingga titk polar dari benda memberikan kontribusi pada massa

gerak. Oleh karena itu, suku tadi diabaikan sehingga secara efektif L berbentuk:

(III.2.5)

yang tiada lain menyajikan gerak sebuah partikel bermassa massa

tereduksi dalam potensial . Jadi L merupakan fungsi Lagrange bagi sebuah

partikel. Bisa disimpulkan bahwa persoalan dua benda adalah ekuivalen dengan

persoalan satu benda.

III.3 Persamaan Gerak Dalam Medan Potensial Sentral

Setelah pada uraian di atas dimana system dua badan direduksikan menjadi satu

badan, maka dalam hal pusat massa tak bergerak (yaitu bila satu titik massa kecil

bergerak terhadap massa besar), system dapat dipandang sebagai hanya satu titik materi

yang bergerak terhadap suatu titk. Persamaan gerak oleh gaya sentral dari system massa

tereduksi dapat diperoleh dengan meninjau persamaan (III.1.1) di atas, adalah:

(III.3.1)

Dengan mengganti percepatan massa tereduksi ke arah radial dengan percepatan

untuk system koordinat polar a, maka akan diperoleh persamaan gerak dalam koordiant

polar sebagai:

(III.3.2)

5

atau setelah dipisahkan dengan komponen-komponenya, maka:

(III.3.3a)

(III.3.3b)

Untuk mendapatkan persamaan gerak oleh gaya sentral di atas, maka selain

dengan hokum Newton dapat pula diperoleh dengan metode persamaan Euler-Lagrange

dengan merumuskan fungsi keadaan system yang disebut fungsi Lagrange. Suatu system

yang bergerak terhadap satu titik dimana potensial interaksi dimisalkan hanya bergantung

pada jarak relatif saja yang menghubungkan antara kedua benda, maka fungsi

Lagrange adalah :

(III.3.4)

Gambar 3.2

Dengan menggunakan persamaan geraka Euler-Lagrange dengan variabel , yakni:

(III.3.5)

maka tampak bahwa variasi terhadap menghasilkan momentum sudut, yakni:

6

Gaya sentral menghasilkan gerak dalam bidang saja. Pilih sebagai arah sumbu polar (x,z). Gunakan koordinat polar dalang bidang (x,y), Jadi penambahan dimaksudkan disamping gerak translasi, juga berotasi.

(III.3.6a)

sehingga

konstan (III.3.6b)

Besar momentum sudut system , yang berarti

persamaan (II.3.6b) tiada lain adalah momentum sudut. Jadi besar dari momentum

sudut adalah konstan. Karena system merupakan system tertutup, L tetap dank arena itu

persamaan gerak Lagrange:

(III.3.7)

Secara geometris kekekalan momentum sudut dapat ditafsirkan bila kita meninjau faktor:

Karena merupakan luasan yang disapu oleh jari-jari r setelah menempu sudut

per satuan waktu, maka . Dengan demikian,

sebagai konsekuensi hokum kekekalan momentum sudut, maka luasan yang disapu jari-

jari yang menghubungkan antara dua massa yang berinteraksi secara sentra persatuan

waktu ternyata haruslah tetap, yang dinyatakan dalam persamaan matematis, yakni:

tetap (III.3.7)

Pernyataan ini tiada lain dari pada hukum Kepler kedua

Atau dapat pula diperlihatkan dengan analisa dari hokum Newton berikut :

(III.3.8)

7

karena .

Selanjutnya untuk system berinteraksi dengan gaya sentral maka :

(III.3.9)

karena , sehingga berarti konstan, besarnya adalah:

(III.3.10)

Dan juga diperoleh : ; adalah luasan yang disapu

persatuan waktu

sehingga :

konstan (III.3.11)

Tampak bahwa Hukum Kepler II yang membicarakan luasan yang disapu oleh garis

hubung planet dengan matahari pada asasnya hanyalah merupakan konsekuensi hokum

kekekalan momentum sudut.

Berikutnya, persamaan gerak yang menyangkut r, dari fungsi Lagrange

persamaan (III.3.4), yakni:

(III.3.12)

8

(III.3.13)

Dengan menggunakan atau konstan, sehingga :

(III.3.14)

atau

(III.3.15)

Pindahkan semua suku ke ruas kiri, kemudian kalikan dengan :

(III.3.16)

Jadi,

(kekal) (III.3.17)

Diperoleh suku pertama adalah kontribusi radial untuk energi kinetic dan suku kedua

adalah kontribusi momentum sudut untuk energi potesail.

Selanjutnya integral lain:

9

(III.3.18)

Pernyataan ini adalah tetapan integrasi persamaan gerak dalam medan potensial sentral.

Apabial V(r) diketahui maka integral dapat dihitung hingga ditemukan persamaan

lintasan system terhadap waktu, secara formal fungsi t = t(r) dapat diubah menjadi

r = r(r).

Akhirnya, dari integrasi dt, bentuk integral lain yaitu terhadap peubah sudut

dengan meninjau :

Sebetulnya yang hendak diturunkan dalam gaya sentral ini adalah persamaan orbit yakni

hubungan r = r( ) atau = (r). Sehingga dalam hal ini, waktu sebenarnya merupakan

parameter dan lebih menguntungkan jika dinyatakan dalam sudut karena keliling

daripada suatu lingkaran adalah , maka :

(III.3.18)

atau

(III.3.19)

Bentuk integral terakhir ini dapat diselesaikan untuk bentuk potensial sebagai berikut :

dengan n = 1, -2 dan lain-lain asal n -1.

10

III.4 Orbit Medan Gaya Sentral Dan Potensial Efektif

Untuk menurunkaan gerak partikel dibawah aksi sebuah gaya sentral, kita telah

perlihatkan bahwa geraknya masih terbatas pada dua dimensi. Selanjutnya dengan

menggunakan kekekalan momentum sudut dan energi, kita telah mereduksi gerak dua

dimensi menjadi gerak satu dimensi. Tinjau kekekalan energi total, sesuai dengan

persamaan (III.3.17), adalah:

(III.4.1)

dimana Trad dan Vsent adalah adalah masing-masing menyatakan energi kinetic ke arah

radial dan gerak ke arah sudut. Dua suku terakhir digabung bersama sebagai energi

potensial efektif, maka:

(III.4.2)

Sekarang tinjaulah kasus sebuah partikel bergerak didalam ruang yang berada dibawah

gaya berbanding terbalik kuadrat yang dapat ditulis sebagai:

(III.4.3)

dengan k adalah konstan. Jika gaya , maka energi potensialnya adalah:

(III.4.4a) ;

(III.4.4b)

11

Selanjutnya energi potensial efektif diberikan oleh :

(III.4.5)

dengan suku pertama adalah sumbangan gaya radial (F(r)) dan suku kedua adalah

sumbangan gaya sentripetal. Seperti halnya gerak 1-D dalam potensial, jika kita

ungkapkan dalam bentuk momentum sudut, persamaan gerak dalam arah radial dapat

ditulis sebagai :

(III.4.6)

dengan gaya sentripugal.

Untuk gerak1-dimensi, potensial efektif dapat diperoleh sebagai berikut:

(III.4.7)

dimana k < 0 untuk gaya tarik-menarik

k > 0 untuk gaya tolak-menolak

Terdapat dua kasus penting yang bersangkutan dengan ini, yaitu:

Gaya gravitasi yang selalu tarik-menarik dengan konstanta

dengan G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2

Gaya coulomb dengan ; = 8,85 x 10-12 C2/Nm2

12

Gambar.3.3

Titik r1 pada gambar (3.3) adalah titik terdekat ke potensial (perhelion)

Untuk k > 0 dan L 0 gerak partikel (orbit) unbounded jika E > 0. Dari grafik, energi

potensial efektif minimum berada pada syarat titik kesetimbangan, yakni :

(III.4.8)

dengan ; sedangkan nilai potensial Veff di r = ro diperoleh:

13

(III.4.9)

dengan:

Etotal = stasioner karena r adalah konstan

E = Veff min hanya ada ro yang memenuhi, orbitnya lingkaran

Selanjutnya akan ditinjau persamaan orbit dari sebuah benda yang bergerak di

bawah pengaruh gaya sentral. Dalam hal ini dapat mulai dari persamaan:

(III.4.10)

dengan menandai bahwa , maka:

(III.4.10a)

(III.4.10b)

dan

(III.4.10c)

Subtitusi persamaan (II.4.10) ke dalam persamaan (III.4.10), maka diperoleh:

14

(III.4.11)

atau

(III.4.12)

Jika , maka :

(III.4.13)

Persamaan terakhir ini terdiri atas persamaan osilator harmonik (homogen) dengan

dan solusi tidak homogen, sehingga solusinya masing-masing adalah :

(III.4.14a)

(III.4.14b)

atau

(III.4.14c)

15

)(cos11

2

eL

k

r

Persamaan terakhir adalah persamaan irisan-irisan kerucut dengan yang

disebut e (eksentrisitas) yaitu perbandingan antara sumbu panjang dengan sumbu pendek.

dan e diperoleh dari syarat awal atau dari kekekalan energi, yaitu:

r

k

r

LrE

2

22

21 (III.4.15)

Karena E ini berlaku untuk semua r, maka kita pilih saja di titik perhelion, yakni ,

sehingga :

r

k

r

LE

2

2

(III.4.16)

Selanjutnya tinjau kembali (III.4.14b),yaitu:

;

III.4.14b)

atau (III.4.17a)

(III.4.17b)

dengan semi_latius rectum dan adalah eksentrisitas yaitu

perbandingan sumbu panjang dan sumbu pendek.

Selanjutnya nilai minimum r diperoleh dengan mengambil = 0 dan cos =

+1dalam persamaan (III.4.17), yakni:

16

Orbit tertutup

atau

(III.4.18)

Kalau ini dimasukkan ke dalam persamaan :

Maka

Gambar.3.4

Dari gambar 3.4 untuk Em=V0 potensial

; elips

; lingkaran

17

Orbit terbuka; parabola

; hiperbola

Contoh 1:

Sebah partikel bermassa m diamati bergerak dalam orbit spiral diberikan oleh

persamaan , dimana k adalah konstan. Carilah bentuk fungsi gayanya.

Penyelesaian :

Gunakan persamaan diferensial persamaan (III.4.12)

(III.4.12)

Ambillah : (1)

atau

(2)

Subtitusi ini ke dalam persamaan (III.4.12) :

(3)

atau

(4)

Masukkan kembali , maka:

(5)

Contoh .2. Hal yang sama dengan soal di atas, jika orbit spiralnya diberikan oleh .

Jawab:

18

Misalkan :

atau

Soal Latihan:

1. Sesuai dengan teori nuklir Yukawa, gaya tarik-menarik antara sebuah neutron dan

proton di dalam inti atom digambarkan sebuah fungsi potensial yang berbentuk:

dimana k dan adalah konstanta dan k<0.

a. Carialah gaya F(r) dan buatkan plot gambarnya

b .Hitung E dan L jika partikel bergerak dalam lingkaran berjari-jari r0

2. Sebuah partikel bermassa m bergerak di dalam gaya tarik-menarik berbading

terbalik pangkat tiga (kubik) yang diberikan oleh:

a. Bicarakan gerak secara kualitatif dengan metode potensial efektif

19

b. Carialah E dan L ketika partikel bergerak dalam orbit lingkaran.

Dapatkan perioda waktu orbit.

3. Sebuah benda bermassa m bergerak dalam orbit lingkaran dibawah pengaruh gaya

sentral sedemikian bahwa orbitnya dapat ditulis sebagai . Perlihatkan

bahwa gaya sentral adalah berbading pangkat lima jari-jarinya.

4. Tinjau sebuah osilator harmonic isotropik yang mempunyai potensial yang

diberikan oleh V(r)=(1/2)kr2 .Hitunglah:

a. Gaya F(r) dan buatlah plot pada V(r) dan F(r)

b. Buatlah plot potensial efektif untuk partikel bermassa m yang bergerak

dengan energi E dan momentum sudut.

20