bab 1 deret takhingga
DESCRIPTION
FISIKA MATEMATIKA 1TRANSCRIPT
![Page 1: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/1.jpg)
DERET TAKHINGGA
![Page 2: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/2.jpg)
FENOMENA FISIKA
Fenomena 1 Fenomena 2
Perhatikan fenomena fisika berikut.
Adakah persamaan dan perbedaannya?
![Page 3: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/3.jpg)
AYUNAN SEDERHANA
Berdasarkan hk. II Newton, diperoleh
sin2
2
l
g
dt
d
Pers. ini sulit diselesaikan karena adanya sin . Untuk menyederhanakannya, lakukan hampiran sin melalui deret pangkat
53
!5
1
!3
1sin
Untuk << , sin
l
g
dt
d
2
2
![Page 4: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/4.jpg)
BARISAN DAN DERET
Barisan adalah urutan suku-suku yang dibentuk mengikuti aturan ataukaidah yang telah ditetapkan.
Contoh:
...,3
3,
3
2,
3
1
,3,2,1
32
333
132
1
3333
3...
3
3
3
2
3
1
321
nn
n
n
n
Deret adalah pernyataan penjumlahan yang ditunjukkan oleh suku-suku suatu barisan.
Contoh:
![Page 5: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/5.jpg)
MACAM-MACAM DERET
1
3333 ...321n
n
132 3...
3
3
3
2
3
1n n
n
• Deret yang jumlah suku-sukunya berhingga
Deret berhingga
• Deret yang jumlah suku-sukunya tak berhingga
Deret Takhingga
![Page 6: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/6.jpg)
DERET GEOMETRI
Deret Geometri adalah deret di mana tiap-tiap suku merupakan hasilperkalian dari suku sebelumnya dengan suatu bilangan tertentu.Contoh:
Rumusan menghitung jumlah n suku dari deret tersebut adalah
...81
16
27
8
9
4
3
21 ...32 ararara
r
raS
n
n
1
)1(
![Page 7: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/7.jpg)
DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN
Diberikan suatu deret
Dengan menjumlahkan beberapa suku awal dari deret tersebut akandiperoleh
Besaran Sn disebut jumlah per bagian, yaitu jumlah dari n suku pertamaderet.
Dalam suatu deret akan diperoleh Sn yang mendekati harga tertentu S,karena pertambahan an sangat kecil. Sehingga dikatakan Sn mendekatilimit tertentu,
naaaa ...321
nn aaaaS ...321
SSnn
lim
![Page 8: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/8.jpg)
DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN
Jika keadaan ini terjadi, maka didefinisikan hal-hal sebagai berikut:1. Jika Sn dari Deret Takhingga cenderung menuju limit S, maka deret
disebut Deret Konvergen.2. Nilai limit S disebut Jumlah Deret.3. Terdapat nilai sisa deret setelah suku ke-n yaitu Rn = S - Sn.
Sehingga,
0)(limlim
nn
nn
SSR
![Page 9: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/9.jpg)
CONTOH APLIKASI DERET
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian tertentu. Setelah menyentuh lantai, bola selalu memantul kembali setinggi 2/3 dari tinggi sebelumnya.
Ketinggian pantulan bola ini dapat ditulis dalam bentuk
81
16
27
8
9
4
3
221
81
16.2
27
8.2
9
4.2
3
2.21
Deret
![Page 10: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/10.jpg)
CONTOH APLIKASI DERET
• Berapa jumlah n suku deret tsb?
Untuk n >>, maka Sn = 2.
• Berapa ketinggian bola saat memantul ke sepuluh?
n
n
n
nS3
212
3
21
3
21
3
2
3
2
81
16
27
8
9
4
3
2
0173,059049
1024
19683
256
3
2
3
2
3
2
3
2
3
29110
1
n
n arU
![Page 11: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/11.jpg)
UJI DERET KONVERGENSI
1. UJI AWAL
2. UJI NISBAH
3. UJI INTEGRAL
4. UJI AKAR CAUCHY
5. UJI BANDING
6. UJI BANDING KHUSUS
![Page 12: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/12.jpg)
1. UJI AWAL (PRELIMINARY TEST)
Jika suatu Deret Takhinggaa. , maka deret tersebut divergen.
b. , maka deret perlu diuji lebih lanjut
Contoh:Ujilah konvergensi deret berikut,
1. Deret 2. Deret
0lim
nn
a
0lim
nn
a
1 12n n
n
1 !
1
n n
![Page 13: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/13.jpg)
2. UJI NISBAH (RATIO TEST)
di mana
Dengan kriteria sebagai beikut,a. deret konvergenb. deret divergenc. perlu uji lebih lanjut
Contoh:Ujilah Deret
nn
limn
n
na
a 1
111
1 !
1
n n
![Page 14: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/14.jpg)
3. UJI INTEGRAL (INTEGRAL TEST)
Suatu deret dikatakan:
a. Konvergen, jika
b. Divergen, jika
Contoh:1. Deret
2. Deret
1n
na
berhingga
n
n dna
1 22 1ndn
n
n
hingga)tak(
nn dna
1
1
ndn
n
![Page 15: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/15.jpg)
SOAL LATIHAN
Kerjakan dalam kelompok Saudara1. Ubahlah deret berikut ke dalam bentuk
a. b.
2. Ujilah konvergensi deret berikut dengan menggunakan salah satu dari uji awal, uji nisbah, dan uji integral
a. d.
b. e.
c. f.
11
16
9
8
7
4
5
2
3
1
32
1
16
1
8
1
4
1
12 10
3
n nn
n
4
5
3
4
2
32
12
2
n
n
n
1 !2
!
n n
n
2 ln
1
n nn
12 4n n
n
![Page 16: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/16.jpg)
4. UJI AKAR CAUCHY
Suatu deret .
dengan kriteria sebagai berikut:
a. deret Konvergenb. deret Divergenc. perlu uji lanjut
Contoh:Deret
1n
na
1 4
1
n
n
n
nn
naC
lim
1C1C1C
![Page 17: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/17.jpg)
5. UJI BANDING (COMPARISON TEST)
Diketahui dua buah deret sebagai berikut:
Jika terdapat deret
sedemikian hinggaa. , maka konvergen mutlak
b. , maka divergen mutlak
c. Selain di atas, maka perlu uji lanjut
)konvergenderet(...321 nmmmm
)divergenderet(...321 ndddd
1
321 ...n
naaaa
nn ma
1n
na
nn da
1n
na
![Page 18: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh: Diketahui deret adalah konvergen. Bagaimana dengan
deret
Petunjuk: Gunakan tabel.
1 2
1
nn
1 !
1
n n
![Page 19: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/19.jpg)
6. UJI BANDING KHUSUS
Uji ini terdiri atas 2 bagian, yakni: uji konvergen dan uji divergen.
Ditinjau deret positif
a. Jika deret positif konvergen dan , maka deret
konvergen.
b. Jika deret positif divergen dan , maka deret
divergen
1n
na
1n
nb
n
n
n b
alim
1n
na
1n
nd 0lim
n
n
n d
a
1n
na
![Page 20: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/20.jpg)
Contoh:
Ujilah deret
Petunjuk: Bandingkan dengan (konvergen)
323
2
274
152
n nn
nn
3
2
1
n
nn
b
![Page 21: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/21.jpg)
SOAL LATIHAN
Kerjakan dalam kelompok SaudaraSelesaikan uji konvergensi dari deret-deret berikut
a.
b. jika adalah konvergen
c.
1 1
2
nn
n
n
n
1
1
n n
1 2
1
nn
12 73
5312
n n
nn
![Page 22: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/22.jpg)
DERET BOLAK-BALIK
Deret bolak-balik (alternating series) merupakan deret dengan suku-suku positif dan negatif secara bergantian, contohnya
Pengujian deret bolak-balik dapat dilakukan menggunakan kriteriaLeibnitz.
Deret bolak-balik dengan akan konvergen, jika :
1. Secara numerik, setiap suku deret kurang dari suku-sukusebelumnya, yaitu
2.
n
n 11
5
1
4
1
3
1
2
11
n
n
na
1
11 0na
nn aa 1
0lim
nn
a
![Page 23: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/23.jpg)
DERET BOLAK-BALIK
Ujilah konvergensi deret bolak-balik berikut!
1.
2.
1
1
n
n
n
1 5
1
n
n
n
n
![Page 24: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/24.jpg)
TUGAS
Kerjakan soal berikut:1. Problems, section 6, page 9 no. 5 (b)2. Problems, section 6, page 15 no. 32, 35, dan 363. Problems, section 7, page 16 no. 2, 7, dan 8
![Page 25: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/25.jpg)
KONVERGEN MUTLAK
Suatu deret dikatakan konvergen mutlak jika deret yang dibentuk (dengan menjadikan suku-sukunya positif) adalah konvergen.
Contoh 1:Deret jika dimutlakkan menjadi
Karena deret kedua merupakan deret konvergen, maka deret pertama merupakan konvergen mutlak
n
n
n
1
432
1
4
1
3
1
2
11
nn
1
4
1
3
1
2
11
432
![Page 26: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/26.jpg)
KONVERGEN MUTLAK
Contoh 2:Deret jika dimutlakkan menjadi
Dengan uji integral, deret kedua merupakan deret divergen, maka deret pertama merupakan konvergen bersyarat.
n
n 11
4
1
3
1
2
11
n
1
4
1
3
1
2
11
![Page 27: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/27.jpg)
FAKTA TENTANG DERET
1. Deret konvergen atau divergen tidak dipengaruhi oleh perkalian tiap suku-sukunya dengan sebuah konstanta bukan nol
2. Penambahan atau pengurangan dua buah deret konvergen suku demi suku akan menghasilkan deret konvergen pula
3. Jika konvergen, maka . Tetapi kebalikannya tidak selalu benar.
na 0lim
nn
a
![Page 28: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/28.jpg)
Secara umum, deret pangkat dapat dituliskan sebagai
atau
Contoh
Deret pangkat ini belum bisa dikatakan konvergen atau tidak. Untuk mengetahui konvergen-tidaknya deret ini, maka nilai x perlu ditentukan lebih dulu agar deret menjadi konvergen.
Semua nilai x yang memenuhi syarat konvergensi suatu deret pangkat berada pada interval tertentu (interval konvergensi). Interval konvergensi ini ditentukan melalui uji rasio.
DERET PANGKAT
2
210
0
xaxaaxan
n
n
2
210
0
axaaxaaaxan
n
n
n
nxxxx
28421
32
![Page 29: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/29.jpg)
INTERVAL KONVERGENSI
Carilah interval konvergensi dari deretJawab:
Deret akan konvergen jika yaitu atau Untuk (deret divergen) Untuk (deret bolak-balik, divergen)Sehingga interval konvergensi deret tersebut
n
nxxxx
28421
32
22/
2/ 11
1 x
x
x
a
ann
nn
n
nn
22limlim
xx
nn
n
1 2x 22 x
2x 1111
2x 111122 x
![Page 30: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/30.jpg)
INTERVAL KONVERGENSI
Carilah interval konvergensi dari deret berikut!
1.
2.
3.
1
11
n
nn
n
x
1
121
!12
1
n
nn
n
x
0 3
2
nn
nx
![Page 31: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/31.jpg)
EKSPANSI FUNGSI KE DALAM DERET PANGKAT
Ekspansi fungsi ke dalam deret pangkat dapat ditulis,
Terdapat dua masalah pada deret tersebut, yakni:1. Menentukan nilai-nilai koefisien sehingga menjadi bentuk
identitas.2. Menentukan interval konvergensi di mana identitas tersebut
berlaku.
n
n axaaxaaxaaxaaxf )()()()()( 3
3
2
210
)(xf
na
![Page 32: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/32.jpg)
EKSPANSI FUNGSI KE DALAM DERET PANGKAT
Dengan menerapkan teorema diferensial pada deret tersebut, maka
Dengan mengambil , maka
)(pangkatmengandungyangsukusuku.1)2)(1()(
)()1()(3.4)(2.32)(''
)()(4)(3)(2)('
)()()()()(
22
432
13
4
2
321
3
3
2
210
axannnxf
axannaxaaxaaxf
axnaaxaaxaaxaaxf
axaaxaaxaaxaaxf
n
n
n
n
n
n
n
n
ax
n
n anafaafaafaaf !)(,,2)('',)(',)( )(
210
![Page 33: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/33.jpg)
DERET TAYLOR - DERET MACLAURIN
Dengan demikian, Deret Taylor untuk adalah
Sedangkan Deret Maclaurin untuk adalah deret Taylor terhadap titik asal. Dengan mengambil akan diperoleh deret Maclaurin
Contoh : Carilah deret Taylor dan Maclaurin dari
)()(!
1)('')(
!2
1)(')()()( )(2 afax
nafaxafaxafxf nn
ax )(xf
)(xf
0a
)0(!
)0(''!2
1)0(')()0()( )(2 n
n
fn
xfxfxfxf
xxf sin)(
![Page 34: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/34.jpg)
DERET MACLAURIN BEBERAPA FUNGSI DASAR
Deret Maclaurin Interval Konvergensi
(deret binomial, p sembarang bilangan real)
,!7!5!3
sin753
xxx
xx
,!6!4!2
1cos642
xxx
x
x
,!4!3!2
1432
xxx
xe x
,432
)1(ln432
xxx
xx 11 x
1x
x
x
,!3
)2)(1(
!2
)1(1)1( 32
x
pppx
pppxx p
![Page 35: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/35.jpg)
TEKNIK MEMEROLEH EKSPANSI DERET PANGKAT
1. Perkalian Deret dengan Polinomial atau Deret Lain
Contoh:
2. Pembagian Dua Deret atau Pembagian Deret oleh Polinomial
Contoh:
!3!3
!5!3)1(sin)1(
432
53
xxxx
xxxxxx
4321
432
11ln
1
32
432
xxx
xxxx
xx
x
![Page 36: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/36.jpg)
TEKNIK MEMEROLEH EKSPANSI DERET PANGKAT
3. Deret Binomial
Contoh:
4. Substitusi Deret atau Polinomial pada Deret Lain
Contoh:
32
321
1
!3
)3)(2)(1(
!2
)2)(1(1)1(
1
1
xxx
xxxxx
!3!21
!3!21
642
322222
xxx
xxxe x
![Page 37: Bab 1 Deret Takhingga](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082203/5695d1621a28ab9b0296517e/html5/thumbnails/37.jpg)
TEKNIK MEMEROLEH EKSPANSI DERET PANGKAT
5. Metode KombinasiContoh: Carilah deret dari arc tan x
Karena , maka
Sehingga
Jadi,
xxt
dt xx
tanarctanarc1 0
0
2
64212 1)1( tttt
0
753
0
642
0
2
753
11
x
xx
tttt
dttttt
dt
753
tanarc753 xxx
xx