51854350 bab ii deret fourier
TRANSCRIPT
BAB 2DERET FOURIER
2.1. Pendahuluan Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang har monik yang tersusun atas banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus, dimana jumlah superposisi dari semua gelombang penyusunnya membentuk getaran atau osilasi tersebut. Bentuk getar an atau osilasi di dalam fisika banyak macamnya, misalnya vibrasi dar i garpu tala, getaran atau ayunan dari bandul, gelombang air, getaran dar i sistem benda pegas, gelombang bunyi, arus listr ik, dan lain sebagainya. Uraian suatu gelombang ke dalam gelombang penyusunnya Dere dinamakan t Fourie . Setiap gelombang penyusun mempunyai amplitudo yang r dinamakan Koefisien . Fourier Bab ini akan membahas tentang Fungsi Periodik, Nilai Rata-rata dar i suatu fungsi Per iodik, Deret Fourier Sinus dan Cosinus, Koefisien Four ier, I nterval Fourier, Deret Fourier Bentuk Kompleks, dan Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil. Pada akhir bab ini dibahas tentang contoh-contoh deret Fourier. Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat mengenal perumusan deret Fourier, melakukan penguraian suatu fungsi periodik ke dalam bentuk deret Fourier, dan dapat memahami bentuk deret Fourier fungsi genap dan fungsi ganjil. 2.2. Fungsi Periodik Suatu fungsi f( t) dikatakan periodik dengan perioda T jika nilai fungsi f(t) sama (ber ulang) setiap selang periodanya. Hal ini dapat dirumuskan : f(t) =f(t+T) , untuk setiap t.download on www.enggar.tk
Banyak fungsi f(t) merupakan fungsi per iodik, misalnya Sin (t + 2 ) = Sin t Agar lebih jelas, dapat dilihat melalui gambar berikut : f(t )
t T P(t) 2T 3T
T 2T 3T 4T 5T S(t)
6T
T
T 2T L(t)
3T
T 2T 3T Gambar 2.1. Fungsi per iodikdownload on www.enggar.tk
2.3. Kondisi Dirichlet Suatu fungsi f( t) terdefinisi pada inter val ( -L, L), periodik dengan per ioda 2L. f(t) dan f (t) kontinu dalam inter val tersebut. Jika ada nilai f(t) yang bersifat diskontinu pada f(t) lim f(t) , maka interval tersebut, misal pada titik t = lim t 0 t 0 0,
f(0)dimana :
f(0 ) 2
f(0 )
f(0 ) adalah nilai f(0) dari t = 0 sebelah kanan f(0 ) adalah nilai f(0) dar i t = 0 sebelah kiri2.4. Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodik Suatu fungsi f(t) yang per iodik, mempunyai nilai rata-rata pada interval (a,b) sebagai ber ikut :
f(x 1 )
f(x 2 )
f(x 3 ) n
f(x n )
Jika interval sebesar menjadi : f(x 1)
(a,b)
dibagi
kecil-kecil
t sebanyak n, maka nilai ratarata
f(x 2 )
f(x 3 ) n tt
f(x n )
t
Untuk nilai n interval adalah :
8 , maka
periodikb
(a,b)
0, sehingga sepanjang
nilai
rata-rata
fungsi
periodik
f(t) dta
b
a
, atau
1 b a
b
f(t) dtawww.enggar.tk
download on
Beberapa contoh perhitungan nilai rata-rata fungsi periodik : a. f(t) Sin t , dengan interval periodik , ) (p p 1 1 Sin t dt Cos t dt 0 Nilai rata-r ata 2p 2p = p p
b. f(t)
Cos 2 t , dengan interval periodik , ) (p p 1 1 2t 2 t dt Sin Cos dt 1 Nilai rata-r ata 2p 2p = p p
Sin 2 t
c. f(t)
Sin 2 t , dengan interval periodik , ) (p p 1 1 2 t dt Sin Cos 2 t dt Nilai rata-r ata 2p 2p = p p
1/2
d. f(t)
Sin mt Cos mt , dengan interval periodik , ) (1 p Sin mt Cos nt dt Nilai rata-r ata 2p = p 1 p e imt 2pp
e imt e int 2i
e int 2
dt
1 p 1 ei(m nt) 2pp
e i(m n)t 2i
ei(m -n)t
e i(m -n)t 2i
2
dt
download on
www.enggar.tk
Nilai rata
rata-
1 p 1 2pp
2
Sin (m
n)t
Sin (m - n)t
dt
0
untuk semua m dan n e. f(t)
Sin mt Sin nt , dengan interval periodik , ) (p 1 Sin mt Sin nt dt Nilai rata-r ata 2p = p 1 p e imt 2pp
e imt e int 2i ei(m nt)
e int 2i
dt
1 p 1 2pp
e i(m n)t 2
e i(m - n)t 2
e i(m - n)t
2
dt
1 p 1 2p*) Untuk m Nilai rata *) Untuk m = n Nilai rata p
2
Cos (m - n)t - Cos (m
n)t
dt
n, maka rata-
1 p 2pp
Cos pt - Cos qt dt
0
0, maka rata-
1 p 1 2pp
2
1 - Cos qt dt
1 2
download on
www.enggar.tk
*) Untuk m = n = 0, maka Nilai rata rata-
1 2p
p p
1 2
1 -1 dt
0
f. f(t)
Cos mt Cos nt , dengan interval periodik , ) (1 p Cos mt Cos nt dt Nilai rata-r ata 2p = p 1 p e imt 2pp
e imt e int 2 ei(m nt) 2
e int
dt
1 p 1 2pp
e i(m n)t 2
e i(m - n)t 2
e i(m - n)t
2
dt
1 p 1 2p*) Untuk m Nilai rata *) Untuk m = n Nilai rata p
2
Cos (m
n)t
Cos (m - n)t
dt
n, maka rata-
1 p 2pp
Cos pt
Cos qt dt
0
0, maka rata-
1 p 1 2pp
2
Cos pt
1 dt
1 2
download on
www.enggar.tk
*) Untuk m = n = 0, maka Nilai rata rata-
1 2p
p p
1 2
1 1 dt
1
2.5. Deret Fourier Sinus dan Cosinus Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang ter susun atas banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus, dimana jumlah superposisi dari semua gelombang penyusunnya membentuk getaran atau osilasi tersebut. Fungsi Sinus nt dan Cosinus nt mempunyai per ioda 2 , merupakan fungsi dasar yang nantinya dikembangkan ke bentuk fungsi Sin n t dan Cos n t. Dengan demikian akan berlaku : Sin n(t + 2 ) = Sin (nt + n2 ) = Sin nt Perumusan deret Four ier bentuk Sinus dan Cosinus adalah : a0 f(t) a Cos nt bn Sin nt 2 n 1n n 1
a0 2
a1 Cos t b1 Sin t
a 2 Cos 2t
a n Cos nt b n Sin nt
b 2 Sin 2t
Dengan a n dan b
merupakan koefisienkoefisien yang harus dirumuskan menggunakan nilai rata-rata fungsi periodik, dan dinamakan koefisien Four ier.n
2.6. Koefisien Fourier Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus mengandung suku 0 , an , dan b n a yang dinamakan koefisien Fourier. Koefisien-koefisien ini dapat dihitung dengan cara merumuskannya ter lebih dahulu.download on www.enggar.tk
Perumusan koefisien-koefisien Fourier menggunakan prinsip nilai rata-rata sebagai ber ikut : a) Jika dilakukan integrasi dari perumusan deret Fourier, akan didapat : p p a0 p f(t) dt dt a 1 Cos t a 2 Cos 2t a n Cos nt 2 -p -p -p p
dt
b1 Sin t-p
b 2 Sin 2t
b n Sin nt
dt
a0 2dengan didapat :
2p
0
0
demikian
a0
1 p pp
f(t) dt
b) Jika kedua diintegrasikan, akan didapat : p f(t) Sin nt dt -p
ruas deret
Fourier
dikalikan
dengan
Sin
nt,
kemudian
a0 p 2p
Sin nt dt
-p
a1 Cos t-p
a 2 Cos 2t
a n Cos nt
Sin nt dt
p
b 1 Sin t-p p -p
b 2 Sin 2t
b n Sin nt
Sin nt dt
b n Sin 2 nt dt
p bnwww.enggar.tk
download on
dengan didapat :
demikian
bn
1 p
p
f(t) Sin nt dt pdengan Cos nt, kemudian
c. Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan diintegrasikan, akan didapat : p a0 p f(t) Cos nt dt Cos nt dt 2 -p -p p a 1 Cos t a 2 Cos 2t -p p
a n Cos nt
Cos nt dt
b 1 Sin t-pp -p
b 2 Sin 2t
b n Sin nt
Cos nt dt
a n Cos 2 nt dt
p an
dengan didapat :
demikian
an
1p pp
f(t) Cos nt dt
koefisien-koefisien Fourier dirumuskan : 1 p an f(t) Cos nt dt , dan a 0 p p
a n (n
0)
1 p p
f(t) dt p
bn
1 p p
f(t) Sin nt dt p
download on
www.enggar.tk
Tinjau f(t) seperti di bawah ini : f(t ) 1 -3 -2 2 3 4 t
Gambar 2.2 fungsi f(t) Fungsi f(t) dirumuskan : ini dapat
f(t)
0, 1,
p 0
t t
0 p
Kita hitung koefisien- koefisien Fourier : 1 p a0 f(t) dt p p
1 0 pp
0 dt
1p p0
dt
0 1 1an 1 pp
f(t) Cos nt dtp p
1 0 pp
0. Cos nt dt
1 p
Cos nt dt0
0
0
0
download on
www.enggar.tk
bn
1 p pp
f(t) Sin nt dt 1p p0
1 0 pp
0. Sin nt dt
Sin nt dt
01 np b1 b2 1 p 1 1
Cos nt p np 01 Cos np 2 p 0
Cos p Cos 2p
1 2p
b3b4
1 1 Cos 3p 3p1 1 p 4 Cos 4p
2 3p0
Deret Fourier yang terbentuk adalah : a0 f(t) a1 Cos t a 2 Cos 2t 2
a n Cos nt b n Sin nt
b1 Sin t
b 2 Sin 2t
1 2 1 2
2 Sin t p 2 Sin t p 1
2 Sin 3t 3p Sin 3t 3
2 Sin 5t 5p Sin 5t 5
download on
www.enggar.tk
2.7. Deret Fourier Bentuk Kompleks Jika kita ingat kembali bahwa : e int - e -int Sin nt 2i
Cos nt
e int 2
e- intfungsi eksponensial komponen , sama perioda fungsi dengan
ternyata komponen Sin nt dan Cos nt ter susun dari bentuk kompleks. Deret Four ier dapat dirumuskan ke dalam eksponensial bentuk kompleks e int atau -int yang periodik dengan perioda 2 e fungsi Sin nt atau Cos nt. Perumusan deret Four ier bentuk Kompleks adalah : f(t) C n e int n -
C0
C1 e it C -1 e -it
C 2 e i2t C -2 e - i2t
C3 e i3t C -3 e -i3t
C n e int C - n e - int
Koefisien-koefisien n dapat dihirung dengan cara sebagai ber C ikut : Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengane , kemudian int akan didapat :p
diintegrasikan,
f(t) e -int dt
p
C0-p
C1 e it
C 2 e i2t
C n eint
e -int dt
-p
p -p
C -1 e -it
C -2 e -i2t
C -n e -int
e -int dt
download on
www.enggar.tk
p -p
f(t) e -int dt
p -p
C n e int e -int dtdapat
C n 2p
Sehingga koefisien Fourier dirumuskan : 1 p Cn f(t) e -int dt 2p-p
Kita tinjau f(t) seperti di bawah ini : 0, p t 0 f(t) 1, 0 t p Koefisien Fouriernya :
Cn
1 p 2p-p
f(t) e -int dt
1 0 2p 1 2p 1 2pin C0 1 p 2p 1 2pi0
0. e -int dt
1 p 2p0
e -int dt
-p
e int p in 0
1
e int
dt
1 2 e ip 1 1 - 2pi eip 1 -pi
C1
1
, dan C 1 pidownload on
1
www.enggar.tk
C2
1 4pi
1
e i2p
0 , dan C 2
1 - 4pi
1
e i2p
0
C3 C4 C5
1 1 e i3p 6pi 1 1 e i4p 8pi 1 1 e i5p 10piyang
1 , dan C 3 pi 3 0 , dan C 4
1 1 e i3p - 6pi 1 1 e i4p - 8pi 0
1 pi -3
1 , dan C 5 5pi
1 1 e i5p - 10pi
1 - 5pi
Deret Fourier adalah :
terbentuk
f(t)
1 1 2 pi 1 pi 1 2 1 2 2 p
e it 1 e-it 1 eit
ei3t 3 e -i3t -3 e it 2i
ei5t 5 e -i5t -5 1 e i3t e i3t 3 2i 1 Sin 5t 5 1 e i5p e i5p 5 2i
2 Sin t p
1 Sin 3t 3
2.8. Fourier
Interval
Fungsi Sin nt, Cos nt, e int
bersifat per iodik dengan perioda , dan telah 2 digunakan dalam perumusan deret Fourier pada interval , ). Per umusan deret Four ier (bisa menggunakan interval lain sepanjang satu per ioda, misalnya (0, ), ( , 3 ) , dan 2download on www.enggar.tk
seterusnya. misalnya
Pada
kebanyakan
persoalan
fisika
mempunyai
perioda
2L, dengan
interval (- L, L). Pada interval tersebut fungsi 2 , sehingga berlaku hubungan :
Si n
np t per iodik L perioda np t L
Sin
np t L
2L
Sin
np t L
2np
Sin
Cos Hal ini ber laku juga untuk fungsi nt, e . int Perumusan deret Four ier menjadi : a0 np t np t f(t) a n Cos bn Sin 2 L L n 1 n 1f(t) a0 2 a1 Cos p t L p t L a 2 Co s 2p t L 2p t L a n Cos np t L np t L
b1 Sin
b 2 Sin
bn Sin
Koefisien-koefisien deret Fourier adalah : 1 L a0 f(t) dt L L
an
1 L L-L
f(t) Cos
np t L np t L
dt
bn
1 L L-L
f(t) Sin
dt
download on
www.enggar.tk
Dan dalam kompleks :
bentuk
f(t)n -
Cn e L
i
np t
Koefisien-koefisien deret Fourier adalah : np t -i 1 L Cn f(t) e L dt 2L -L Tinjau f(t) didefinisikan : f(t ) 1 -4L -3L -2L -L L 3L 3L t yang
Gambar 2.3. Fungsi periodik f(t)
f(t)Koefisien Fouriernya :
0, 1, L
0 t
t
L 2L
Cn
np t -i 1 2L f(t) e L dt 2L 0
download on
www.enggar.tk
Cn
np t 1 L -i L 0. e dt 2L 0 np t 2L i e L
np t 1 2L -i L e dt 2L L
1 2L
i1
np L
L
2in p 1 2in p 1 2L 2L 1 2ip 1 4piL
p e in 2
e inp
1
e inp
C0
dt
1 2 e ip -1 1 - 2pi 1 - 4pi e ip 1 pi 0
C1 C2
1
, dan C 1 pi
1
1
e i2p
0 , dan C 2
1
e i2p
C3 C4 C5
1 1 e i3p 6pi 1 1 e i4p 8pi 1 1 e i5p 10pi
-1 , dan C 3 3pi 0 , dan C 4 -1 , dan C 5 5pi
1 1 e i3p - 6pi 1 1 e i4p - 8pi 0
1 3pi
1 1 e i5p - 10pi
1 5pi
download on
www.enggar.tk
Deret Fourier adalah :
yangp t i e L
terbentuki 3p t i 5p t
f(t)
1 2
1 pi
e L 3
e L 5
1
1 pi
p t -i e L
e
-i
3p t L
e
-i
5p t L
1
3
5
1 2
2 p
pt i e L
p t i e L
3p t 1 e L i
e 2i
i
3 t p L
5p t 1 e L i
e 2i
i
5p t L
2i
3
5
1 2
pt 2 Sin p L
1 3p t Sin 3 L
1 5p t Sin 5 L
2.9. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Perumusan fungsi adalah : f( t) f(t) genap
2 , dan lainnya. Misal fungsi t , Cos nt genap : f(t) periodik mempunyai sifat : L L f(t)dt 2 f(t)dt L 0
download on
www.enggar.tk
Perumusan fungsi adalah : f( t) f(t)
ganjil
Misal fungsi t, Sin nt , dan lainnya. ganjil : f(t) periodik mempunyai sifat : L f(t)dt 0 L Perumusan koefisien- koefisien deret Fourier untuk f(t) adalah : 1 p 2p a0 f(t) dt f(t) dt p p p 0 fungsi genap
an
2p p0
f(t) Cos
np t
dt , L karena
f(t) Cos
np t
merupakan L genap
fungsi
bn
1 p pp
f(t) Sin
np t L
dt
0, karenaganjil
f(t) Sin
np t
merupakan L fungsi
Perumusan koefisien- koefisien deret Fourier untuk f(t) adalah : 1 p a0 f(t) dt 0 pp
fungsi ganjil
an
1 p pp
f(t) Cos
np t L
dt
0, karenaganjil
f(t) Cos
np t
merupakan L fungsi
bn
2 p pp
f(t) Sin
np t L
dt , karena
f(t) Sin
np t
merupakan L genap
fungsi
download on
www.enggar.tk
Tinjau fungsi f(t) sebagai berikut : 1, 0 t 1/ 2 f(t) 0, 1/2 t 1 Jika f( t) merupakan fungsi ganjil, maka f(t) berupa f(t )
-2 -1 0 1 2
Gambar ganjil p
2.4.
Fungsi
bn
2 p
f(t) Sinp
np t L
dt
2 1/2 10
Sin
np t 1
dt
2 1 11/ 2
0.Sin
np t 1
dt
2 np
/ Cos np t 10 2
2 np 1- Cos np 2 b1 2 , b2 p 4 , b3 2p 2 , b4 3p 0
download on
www.enggar.tk
Deret Fourier adalah :
yang
terbentuk
f(t)
2 Sin p t p
2Sin 2p t 2
Sin 3 t p 3
Sin 5 t p 5
2Sin 6p t 6
Jika f( t) merupakan fungsi genap, maka f(t) ber upa f(t )
-2 -1 0 1 2
Gambar 2.5. Fungsi genap
a0
2 1/2 10
dt
1
an
21 10
f(t) Cos
np t 1
dt
2
1/2 0
Cos np t dt
2
1
0.Cos np t dt
1/ 2
2 / Sin np t 102 np
2 np Sin np 2
download on
www.enggar.tk
Deret Fourier adalah :
yang
terbentuk
f(t)
1 2
2 Cosp t p 1
Cos 3p t 3
Cos 5p t 5
2.10. Teorema Parseval Ada hubungan antara nilai rata-rata fungsi 2 (t) dengan koefisien- koefisien f deret Fourier. Kita turunkan hubungannya menggunakan perumusan deret Fourier dan nilai rata-rata fungsi. Deret Fourier dirumuskan : a0 f(t) a Cos nt bn Sin nt 2 n 1n n 1 Nilai rata-rata dari f (t) dalam inter val , ) (adalah : 2 1 p f(t) dt Nilai rata-rata 2 (t) = 2p f p2
Nilai rata-rata dari koefisien Four ier adalah : 2 2 1 1 a a Nilai rata-rata = 2 0 2 0 dari Nilai dari rata-rata
a n Cos nt 2 = a n 2 1 / 2
Nilai rata-rata b n Sin nt 2 = b n 2 1/ 2 dari Jika 2 (t) diterapkan pada perumusan deret Fourier, maka akan terdapat f hasil perkalia 2. 1/2 a 0 .a n Cos nt, 2. 1/2 a 0 .b n Sin nt, dan hasil perkalian n) n (m 2.a n b n Cos nt Sin mt yang semuanya mempunyai nilai rata-rata nol.download on www.enggar.tk
Dengan demikian perumusan deret Fourier yang telah dikuadratkan tersisa menjadi : a0 2 1 1 (a n ) 2 (b n ) 2 Nilai rata-rata 2 (t) = 2 2n 1 2n 1 f Untuk deret didapat : Fourier bentuk2
kompleks
Nilai rata-rata | f( t)|
= n
| C n |2
Tinjau fungsi f( t) = t pada interval 1 < t < 1. f(t) diuraikan ke dalam deret Fourier bentuk kompleks. Koefisien-koefisien Fourier adalah : 1 1 Cn f(t) e -inp t dt 2 -1
1 1 2 1 2 1 2 1 in p-1
t e -in p t dt1 e -inp t
t.
1 1 e -inp t1
- in p e- inp in p
2
-1
in p
dt
-
e inp in p 1
1 1 e -inp t
2 (n p) 2 e- in p ein p (n p) 2
1
Cos n p i
2 (n p) 2 Sin np
Cos np in p i np
(npn 2 Cos np
download on
www.enggar.tk
Deret Fourier adalah :
yang
terbentuk
f(t)n -
C n e inp t e-ip t 1 -i2p t e 2 1 i2p t e 2 1 i3p t e 3 1 -i3p t e 3
f(t)
i ip t e p2
Nilai rata-rata f Nilai r ata-rata f Dengan Parseval :
(t) pada interval ( -1, 1) adalah :2
1 1 2 t (t) = 21
1 x3 2 3
1
11
3
menggunakan2
teorema
Nilai rata-rata f
(t) = n
| C n |22 i Cos np np
n
1 p2 2 p2
1 1 1 4
1 4 1 9
1 4
1 9
1 9
1
Dar i kedua per samaan diatas, dapat dibuat persamaan :
1 2 1 2 3 p
1 4
1 9
2
1
p 2 n2
n
download on
www.enggar.tk
Dapat bahwa :
disimpulkan
1n2
n
p2 6
2.11. Contoh-cont oh ( i). Ur aikan fungsi f(t) ke dalam deret Fourier 0, 5 t 0 f(t) 3, 0 t 5 Jika uraian deret Fourier konvergen ke f(t) pada interval 5 kembali f(t) Gambar sketsa f(t) adalah : f(t ) 3 t -15 -10 -5 0 5 10 15 20 t 5, definisikan
per ioda = 10 2L = 10, maka L = 5
f(t)
a0 2
n 1
a n Cos
np t L
n 1
bn Sin
np t L
download on
www.enggar.tk
a0
1 L L
f(t) dt
-L
1 0 5
0. dt
1 5 50
3 dt
3
-5
an
1 L LL
f(t) Cos
np t L
dt
1 0 55
0. Cos
np t 5
dt
15 50
3 Cos
np t 5
dt
3 5 np t 5 Sin 5 np 5 0bn 1 L LL
0
f(t) Sin
np t L
dt
1 0 55
0. Sin
np t 5
dt
15 50
3 Sin
np t 5
dt
3 5Uraian Fourier :
5 np t 5 Cos np 5 0
3 1 - Cos np np
deret
f(t)
a0 2
a n Cosn 1
np t L
bn Sinn 1
np t L
download on
www.enggar.tk
f(t)
3 2
n 1
3 1 - Cos np np t Sin np 5 1 3p t Sin 3 5 1 5p t Sin 5 5didefinisikan
3 6 pt Sin 2 p 5
Jika deret konvergen ke f(t) pada interval t 5 , maka f(t) 5 kembali menggunakan kondisi Dir ichlet pada t = - 5, t = 0, t = 5, menjadi :
3/2,t 0, f(t) 3/2, 3, 3/2, 0 t 5 t t
5 0 0 t 5 5
( ii). Uraikan fungsi f(t) = 2 , 0 < t < 2 ke dalam deret Fourier bentuk Sinus t dan Cosinus.
Bentuk sketsa fungsi f(t) = 2 t f(t )
t -6 -4 -2 0 2 4www.enggar.tk
6
download on
Per ioda = 2 L = 2 , atau L =
an
1 2L L0
f(t) Cos
npp L
dt
1 2p 2 t Cos nt dt p 0 1 p t2 Sin nt n - Cos nt n2 - Sin nt n32p 0
- 2t
2
4 n2
, dimana n
0
Untuk n = 0 , didapat :
a0
1 2L f(t) dt L0
1 2p 2 t dt p 0 bn 1 2L L0
2p t3 0 3p
1
8p 2 3
f(t) Sin
np t L
dt
1 2p 2 t Sin nt dt p0 2p 0
1 p
t2
- Cos nt n
- 2t
- Sin nt n2
2
Cos nt n3
download on
www.enggar.tk
Didapat, untuk : n
0
bnUraian Fourier :
- 4p nderet
f(t)
a0 2 4p 2 3
a n Cosn 1
np t L
bn Sinn 1
np t L
4n 21 n
Cos nt n 1
4p Sin nt n
( iii). Suatu fungsi f(t) = t , 0 < t < 2. a. Uraikan f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil. b. Uraikan f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi genap. a. Ur aian f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil : f(t )
t -8 -4 0 2 4 6 8
download on
www.enggar.tk
an bn
0 2L L0
f(t) Sin
np t L
dt
2 2 20
t Sin
np t 2
dt
t
-2 np
Cos
np t 2
-
-4 n 2p 2
Sin
np t 2
2 0
Sehinggan didapat :
bnUraian adalah :
4 Cos np p nderet Fourier
f(t)
4 np t Cos np Sin np 2 n 1 pt 4 Sin p 2 1 2p t Sin 2 2 1 3p t Sin 3 2
b. Uraian f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi genap : f(t )
t -8 -4 0 2 4 6 8
download on
www.enggar.tk
bn an
0 2 L L0
f(t) Cos
np t L
dt
22 20
t Cos
np t 2
dt
t
2 np
Sin
np t 2
-
-4 n 2p 2
Cos
np t 2
2 0
4 n 2p 2Untuk n = 0 , didapat :
Cos np - 1 , dimana n
0
a0
2L L0
f(t) dt
22 20
t dt
2
f(t) 1
42 n 21 n p
Cos np -1 Cos pt 2 1 32 3p t 2
np t 2 1 52 Sin 5p t 2
1
8 p2
Cos
Cos
( iv) Dengan menggunakan teorema Parseval, hitunglah nilai dari der et deret :
1
1
1
1
1
n 41 n
14
24
34
44
download on
www.enggar.tk
Uraian deret Fourier pada contoh (ii) bagian b menghasilkan koefisienkoefisien Fourier : 2 L np t an f(t) Cos dt L L 0
4 n 2p 2Untuk n = 0, didapat :
Cos np - 1 , n
0
a0
2L L0
f(t) dt
22 20
t dt
2
Dengan menggunakan teorema Parseval : 1 L2 (a 0 ) 2 f (t) dt (a n ) 2 L 2 n 1 L Dengan menggunakan hasil di atas didapat : 1 2 2 1 2 2 (a 0 ) 2 f (t) dt t dt 2 2 2 2 2
(b n ) 2
(b n ) 2 n 1
1 2 2 t dt 2 2
11 32 t 2 23
8 3
(a 0 ) 2 2
n 1
(b n ) 2
4 2
44 4 n 1n p
Cos np - 1 2
download on
www.enggar.tk
Dar i kedua per samaan di atas dapat dibuat persamaan : 8 4 64 1 2 Cos np - 1 2 2 4 4 3 p 4 14 n 1n p ata u
1 34
1 54
1 74
1 14
1 34
1 54
1 74
p4 96
Dengan hasil ini kita dapat menghitung deret :
1
1
1
1
1
n 41 n
14 1 14 1 14 1 14
24 1 34 1 34 1 34
34 1 54 1 54 1 54
44 1 74 1 74 1 74 1 24 1 1 24 1 4 1 1 24 n 41 n 1 44 1 24 1 64 1 34 1 84 1 44
Dengan melakukan per hitungan kecil akan didapat :
1
n 41 n
1
1
1
1
1
1
24
14
34
54
74
1Jumlah adalah : deret
1 p4 24 96
1n 41 n
p4 90
download on
www.enggar.tk
2.12. Rangkuman ( i). Fungsi dirumuskan : f(t) =f(t+T) dengan perioda T Periodik
( ii). Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodikb a
f(t) dt b a, atau
1 b a
b
f(t) dta
( iii). Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus adalah : a0 p t 2p t np t f(t) a1 Cos a 2 Co s a n Cos 2 L L L
b1 Sin
p t L
b 2 Sin
2p t L
bn Sin
np t L
a0 2
n 1
a n Cos
np t L
n 1
b n Sin
np t L
( iv). Koefisien-koefisien deret Fourier adalah : 1 p a0 f(t) dt p p
an
1 p 1 p
p
f(t) Cosp p
np t L np t L
dt
bn
f(t) Sinp
dt
download on
www.enggar.tk
(v). Perumusan deret Fourier bentuk Kompleks adalah :
f(t)n -
Cn e Lpt i C1 e L pt -i e L 2p t C2 e L i 2p t C -2 e L -i 3p t C3 e L i 3p t C -3 e L -i np t Cn e L i np t C -n e L -i
i
np t
C0
C -1
Koefisien-koefisien Fourier n : C np t -i 1 p Cn f(t) e L dt 2p -p (vi). Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi genap adalah : 2p a0 f(t) dt p 0
an bn
2p p 00
f(t) Cos
np t L
dt
(vii). Perumusan koefisien-koefisien der et Fourier untuk f(t) fungsi ganjil adalah : a0 0
an bn
0 2 pp
f(t) Sinp
np t L
dtwww.enggar.tk
download on
(viii). Teorema Parseval Deret Fourier dir umuskan : a0 f(t) a Cos nt 2 n 1n n 2 (t) pada selang Nilai rata-r ata dari f (p Nilai rata-rata f2
(t) =
1 2p
1 interval 2
bn Sin nt, ) adalah :
f(t) dtp
Dengan menggunakan perumusan deret Fourier, persamaan di atas menjadi : a0 2 1 1 2 (t) = (a n ) 2 (b n ) 2 Nilai rata-rata 2 2n 1 2n 1 f Dalam kompleks : Nilai rata-rata | f(t)| bentuk = n
2
| C n |2
2.13. Latihan Soal ( i) Buktikan bahwa : p/2 p /2 2 t dt Sin Cos 2 t dt a). 0 dengan iabel : p t 2 b b). a 0 perubahan var
xb a
Sin 2 kt dt
Cos 2 kt dt
1 2
b
a
download on
www.enggar.tk
( ii). Hitunglah nilai rata-r ata dari : 2 a. Sin t Sin t , pada interval 2 b. . t Cos 6t , pada interval c. Sin t d. 1 t
selang selang
0,2p
p 0, 6selang
2 Sin 2t
3Sin 3t ,
pada interval
0,
p 2
, pada selang interval ( iii). Hitunglah nilai integral dari : 4p /3 3t Sin 2 dt a. 2 0 b.
e
0,1
pt Sin 2 3 -1
2
dt
3p /2 t Cos 2 dt c. 2 -p/2 2p / d. 0 ( iv). Ur aikan fungsi di bawah ini ke dalam deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus : 1, p t 0 f(t) a. 0, 0 t p
Sin 2t
dt
0,b. f (t )
p 0 t
t
0
1,
p/2 t p
0, p/2
download on
www.enggar.tk
c. f(t)
0, 1, - 1, 1,
p p/2 p p/2
t t t
p/2 p p/2 t p
d. f(t)
e. f (t)
0 - 1, 0 t p/2 1, p/2 t p0, t, 0, Sin t, t p, p 0 p 0 p 0 p t t t p t 0 0
0,
p
t
f. f(t)
g. f(t)
t p t 0
h. f(t) i. f(t)
- t, 1 t,
t p p
(v). Uraikan fungsi di bawah ini ke dalam deret Fourier bentuk kompleks : 2 a. f(t) t , p t p b. f(t) c. f(t) d. f(t) e. f(t) f. f(t)
t2 , 0 t et , p et , 0 t 2 2 t, t
2p p 2p 2 4
2 t
t,0 t
download on
www.enggar.tk
g. f(t) h. f(t)
Sin p t ,
1/ 2 t 1
1/ 2
Sin p t , 0 t
(vi). Uraikan fungsi f(t) di bawah ini ke dalam uraian deret Fourier : - 1, -L t 0 a. f(t) 1, 0 t L Hitunglah berikut : deret
1b. f(t)
1 321/2
1 52t
1 721/2
t2 ,
Hitunglah berikut :
deret
1c. f(t)
1 24t, p
1 34tderet
1 44p
1
Hitunglah berikut :
1
1 22
1 32
1 42
2.14. Daftar Pustaka 1. Arfken , George , Mathematical Methods for Physicists , Academic Press, Newook , 2 nd ed .,1970. Y 2. BOAS, Mary L., Mathematical Methods in The Physical Sciences , second Edition Wily and sons, 1983 . , John 3. Bradbury , Ted clay ., Mathematical Methods with Applications to Problems in thePhysical Sciences , John Wily and Sons, 1984. 4. DAzzo , John J . and Constantne H . Haupis , Feed back Control System Analysis and Synthesis , second Edition , Mc Graw Hill , 1966.download on www.enggar.tk
5. Hilde brand , Francis B ., Advanced Calculus for Applications, Prentice Hall, Engle wood Cliffs , 2 nd Ed . 1976. 6. Kaplan , Wilfred , Advanced Calculus , Second Edition , AddisonPublishing Company , 1981. Wesley, 7. Kreyszig , Erwin ., Advanced Engineering Mathematics, Fourth Edition , John Wiley and Sons , 1979. 8. Sokolnikoff , 1 . S . , and R . M . Redheffer , Mathematics of Physics and Modern Engineering , Mc Graw Hill 2 nd ed . , 1966. 9. Wos pakrik , Hans J . , Dasar Dasar Matematika untuk Fisika , ITB , Bandung , 1993 .
download on
www.enggar.tk